FACULTADE DE FÍSICA

Radiación cósmica Laboratorio de Nuclear. Técnicas

experimentais IV

Iago López Grobas

13/03/2015

1. Introdución

Inconscientemente no día a día estamos sometidos a radiación orixinada por diversas fontes e

causas. Así, elementos como os raios cósmicos , minerais radioactivos que se atopan nas

capas superficiais da cortiza terrestre (uranio e torio), residuos de explosións nucleares son

fontes de radiación ao igual que certos elementos radioactivos que absorbemos a través da

auga e dos alimentos.

Na nosa experiencia de laboratorio centrámonos na radiación cósmica que son partículas

subatómicas que proveñen do espazo exterior con enerxía moi elevada debido á súa gran

velocidade. Estes raios compostos principalmente por protóns, partículas alfa, electróns e

partículas pesadas (radiación primaria) interaccionan co campo magnético terrestre dando

lugar á radiación secundaria que é a que nós detectamos. A nivel do mar dita radiación

componse fundamentalmente por:

- Muóns: son as partículas cargadas máis numerosas a nivel do mar (Gráfica 1). A maioría dos

muóns proceden das capas altas da atmosfera e perden uns 2 GeV na ionización antes de

acadar o chan. A súa enerxía e a súa distribución angular reflicten que o espectro dos muóns é

afectado pola perda de enerxía e polo decaemento dos mesmos ao longo do seu percorrido

pola atmosfera. Por exemplo, os muón de 2,4 GeV de enerxía teñen unha lonxitude de

decaemento de 15 km pero debido á perda de enerxía que sofren ao atravesar a atmosfera

decaen ao chegaren a 8,7 km.

A distribución de muóns a nivel do chan vai con cos2 𝜃 cando levan enerxía ao redor de 3 GeV.

A enerxías máis baixas a distribución agudízase mentres que a enerxías altas a distribución

aplánase e tende a 𝑠𝑒𝑐𝜃.

Gráfica 1. Fluxo vertical de raios cósmicos na atmosfera con E>1GeV (rango de enerxías onde as partículas son máis numerosas a excepción dos electróns).

- Compoñente electromagnética: A nivel do chan, esta compoñente consiste basicamente en

positróns, electróns e fotóns que proveñen principalmente do decaemento dos mesóns

(cargados e neutros). O decaemento dos muóns é a principal fonte de electróns de baixa

enerxía a nivel do mar. A desintegración de pións neutros é máis importante a grandes alturas

ou cando a enerxía limiar é alta. A distribución angula de electróns e positróns é moi complexa

debido a que hai varias fontes que os producen a diferentes niveis de altura.

- Protóns: Os nucleóns que posúen un momento de ao redor 1 Gev/c son remanentes da

radiación cósmica primaria. Ao nivel do mar, un terzo dos nucleóns que inciden en dirección

vertical son neutróns.

Na práctica inténtase detectar así como caracterizar a radiación cósmica grazas a dous

detectores de escintileo en posición paralela un do outro. Neste caso, cando a partícula

atravesa un dos detectores, xérase unha sinal útil de tipo eléctrico en forma de pulso.

Para levar a cabo isto, hai que ter en conta que os detectores teñen unha rexión onde a súa

eficiencia está preto do 100%. Esta é pois o punto coñecido como plateau e que deberiamos

escoller para traballar.

Doutra banda, recóllese un sinal cando un raio cósmico atravesa aos dous escintileadores en

menos dun intervalo temporal duns microsegundos (ventá temporal). O primeiro detector

polo que pasa a conta crea un sinal electrónico que tarda certo tempo en transmitires e o

mesmo ocorre no segundo detector. Temos pois unha anchura temporal entre que chegan as

dúas sinais electrónicas. Esta anchura temporal se é menor que a nosa ventá contaremos unha

coincidencia. Polo tanto, se unha partícula atravesa os dous detectores separados varios

centímetros en tempos de microsegundos será tomado como que os atravesa á vez

(coincidencias), porén, as que precisan máis tempo non serán tratadas como tal (ruído). Se

aumentaramos a ventá temporal habería unha probabilidade de que ocurrira máis dun suceso

nese tempo de detección polo que perderiamos contas.

A probabilidade de que a radiación incidente atravese os detectores é o suficientemente

pequena para que se poidan cumprir os dous enunciados seguintes

1. Prodúcese un número medio de sucesos constantes por unidade de observación

2. Os sucesos aparecen aleatoriamente de xeito independente.

Estes son os procesos que se denominan de tipo Poisson con probabilidade de que ocorra

certo suceso dada por:

𝑃(𝑛, 𝑚) =𝑚𝑛

𝑛!𝑒−𝑚 (1)

Sendo m a media e n o número de eventos.

Os raios cósmicos seguen tamén unha lei de atenuación que adoita describirse a través do

percorrido libre medio (𝜆) que é diferente para os muóns (radiación dura e penetrante) e para

os electróns/positróns (radiación branda). Se supomos que 𝜙0 é o fluxo do feixe incidente,

representando o número de partículas que na unidade de tempo atravesan unha área

perpendicular á dirección do feixe e 𝜙 é o fluxo á saída, é dicir, detrás do branco a lei de

desintegración vén dada por:

𝜙 = 𝜙0𝑒− 𝑥𝜌

𝜆 (2)

Onde x é o espesor do material e 𝜌 a súa densidade. Así pois, interpondo distintos espesores

de materiais con distinta densidade, no noso caso Ferro e Chumbo, poderemos separar a

compoñente branda e dura dos raios cósmicos. Ao comezar a atenuar agárdase que haxa unha

caída abrupta do fluxo debido á eliminación da compoñente branda da radiación (sobre todo

cando poñamos o Pb) seguida por unha atenuación máis suave da compoñente dura

provocada ao interpor bloques de varios cm de Pb pois esta aínda é capaz de penetrar no

material (só se atenúa a menos enerxética).

Por último, a radiación cósmica en teoría provén do cosmos polo que tería que experimentarse

certa variación na taxa de contaxe ao ir variando o ángulo no que están colocados os

detectores. Así pois, o fluxo de muóns incidentes por unidade de tempo e área vén dado por:

𝑗(𝜃, 𝜙) =𝑑3𝑁

𝑑𝐴𝑑𝑡𝑑Ω= 𝑗0 cos2 𝜃 (3)

Onde 𝑗0 = 𝑗(𝜃 = 0, 𝜙) corresponde ao fluxo na dirección vertical, Ω é o ángulo sólido que ve o

feixe, e A a área que atravesa á superficie. A integral da ecuación anterior en tódalas posíbeis

direccións de incidencia é1:

𝐽 = ∫ ∫ 𝑗(𝜃, 𝜙)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙0

𝜋

2

2𝜋

0=

𝜋

2𝑗0 (4)

O 𝑐𝑜𝑠𝜃 da ecuación da conta da área proxectada na dirección incidente do raio cósmico (área

efectiva).

2. Material e métodos

Para levar a cabo o experimento contamos con dous detectores de escintileo a centímetros de

distancia (a cal variaremos para levar a cabo certos apartados da práctica) e unha lona negra

coa que os mantemos cubertos para evitar contaminación lumínica e que os fotóns

pertencentes a este factor non aumenten a taxa detectada. Ambos detectores teñen un

fotomultiplicador no interior do cal, as partículas incidentes son traducidas a un pulso eléctrico

de duración típica duns poucos nanosegundos que se transmite polos cables de saída.

Co fin de separar o ruído da radiación de interese, esíxeselle ao sinal que provén dos

fotomultiplicadores que a súa amplitude exceda certo limiar que fixamos nós. O módulo que

executa esta tarefa é o discriminador, cuxa entrada é un sinal analóxico de amplitude e

duración dependente do proceso que tivera lugar no detector. Á saída do discriminador temos

unha sinal dixital de forma cadrada. Para comprobar isto, conectamos os detectores ao

osciloscopio en lugar de ao discriminador e vimos os fotopicos e, conectando os

fotomultiplicadores ao discriminador e logo este á súa vez ao osciloscopio, observabamos un

sinal cadrado de certa anchura (tempo) e certa altura (enerxía). O descrito móstrase na

ilustración 1.

1 [1] Apuntes sobre raios cósmicos da aula virtual

Ilustración 1. Montaxe experimental dos sistema lóxico de detección.

Ademais disto, hai unha fonte de alta tensión que o que fai é amplificar a corrente que

producen as partículas que chegan. Explicado en detalle, pódese ver que cada vez que chega

ao noso detector unha partícula (tanto raios cósmicos como ruído) prodúcese no fotocátodo

unha choiva de electróns. Depende da enerxía da partícula incidente que se produzan máis ou

menos enerxéticos. Así pois, se o conectamos a un osciloscopio veríamos como a amplitude

dos pulsos debidos ao ruído forman un fondo fronte ao pulso de amplitude grande que xera o

raio cósmico en cuestión. Coa alta voltaxe o que facemos é aumentar o potencial entre

dinodos do fotomultiplicador favorecendo o tránsito de electróns que xeran as nosas

partículas. Claro que, isto non só favorece que detectemos raios cósmicos con pouca enerxía

senón que tamén nos arriscamos a contar o ruído como se fosen as partículas de interese. Na

ilustración 2 pode verse unha imaxe detallada do noso detector.

Ilustración 2. Descrición gráfica dun detector de escintileo.

En definitiva, a montaxe experimental coa que traballamos no laboratorio está fotografada na

ilustración 3.

Ilustración 3. Montaxe do laboratorio.

O primeiro que imos facer é calcular a ventá temporal. Con este obxectivo, o que se fixo foi

separar os dous detectores de escintileo e levalos a lugares remotos dentro da aula para que

todas as coincidencias que se producisen fosen ao chou (asegurándonos de que ambos

estaban ben tapados). Así pois, medindo as contas de ambos detectores e as coincidencias

(que son ao chou) pódese empregar a seguinte fórmula para determinar a ventá temporal: 𝑁𝑎𝑧𝑎𝑟

𝑡=

𝑁1

𝑡

𝑁2

𝑡2Δ𝑇 (5)

En segundo lugar determinaremos o plateau. Isto facémolo de dous xeitos diferentes: un deles

é variando a alta voltaxe (sen exceder o valor marcado polo fabricante) e representando fronte

a estes valores as diferentes taxas de coincidencias obtidas; o outro xeito é variar a voltaxe de

discriminación e facer a mesma gráfica. O plateau vén dado por unha rexión onde a a taxa non

aumenta ao aumentar a voltaxe (zona horizontal na curva graficada).

Logo disto, imos caracterizar estatisticamente a radiación cósmica secundaria. Para facelo

collemos o cronómetro do noso móbil e cada cinco segundos anotamos o número de contas

en coincidencia. Despois, agrupamos os intervalos de cinco segundos en intervalos de 10 e

posteriormente de 20. A continuación compárase o histograma obtido cunha Poisson e unha

Gaussiana coa mesma media polo método do test 𝜒2. Nel agrúpanse as contas en certo

número de intervalos e mírase con que frecuencia se repite o número de contas en cada clase

agrupada (por exemplo, houbo 54 veces que se contaron 7 contas). Logo áchanse as

frecuencias agardadas que veñen dadas pola fórmula teórica da Poisson (1) multiplicada polo

número de medicións (o que estamos a facer non é mais que achar a probabilidade teórica de

que haxa certo número de contas certo número de veces e, dita probabilidade polo número de

sucesos da a frecuencia agardada de cada suceso) ou pola Gaussiana:

𝑃(𝑛, 𝑚) =1

√2𝜋𝑚𝑒−

(𝑛−𝑚)2

2𝑚 (7)

O valor estatístico de 𝜒2 viría dado por:

𝜒2 = ∑(𝑂𝑖−𝐸𝑖)2

𝐸𝑖

𝑘𝑖=1 (8)

Onde 𝑂𝑖 é a frecuencia coa que se repite cada número de contas e 𝐸𝑖 son as frecuencias

agardadas e k é o número de clases. Esta magnitude caracteriza a dispersión das frecuencias

observadas con respecto ás agardadas (digamos que é unha desviación pesada polas

desviacións da mostra). Digamos que o numerador de (8) é unha medida da dispersión das

observacións e o denominador unha medida da dispersión agargada. Se ambas frecuencias

foran coincidentes o valor de 𝜒2 sería 0.

Así pois, unha vez temos calculado o noso 𝜒2 fixamos un punto na distribución completa como

se amosa na seguinte imaxe:

Ilustración 4. Na imaxe, alfa é a rexión amarela e o resto da área sería o intervalo de

confianza. Os graos de liberdade na imaxe son n aínda que nós empreguemos outra notación.

Á dereita deste punto hai unha certa área que chamaremos 𝛼. Esta área da a probabilidade de

que, sendo correcto o modelo, os resultados obtidos sobre a miña mostra da poboación se

desvíen máis dos valores agardados pola distribución teórica que estou comprobando do que

se me desviaran na medida que fixen da mostra. Imaxinemos que temos unha dispersión de

puntos coas súas barras de erro correspondentes e que estamos a describir ditos puntos por

unha distribución teórica con certos parámetros. Esta alfa daría o número de veces que as

desviacións ao medir unha nova mostra de puntos son maiores que as das medidas

anteriormente realizadas. Polo tanto, a área que queda á esquerda do noso valor de 𝜒2 sería

1 − 𝛼 que da a probabilidade de que se volvo a realizar o experimento me de mellor do que

me dera na ocasión anterior (ao dicir que me de mellor quero dicir que os meus datos se

desvíen menos do modelo) asumindo que o modelo é correcto.

A partir desta área á esquerda obtense o que se chama grao de confianza que non é unha

probabilidade senón máis ben a certeza de que atines ao rexeitar o teu modelo.

Finalmente, imos a unha táboa de valores de 𝜒2 e dados os grados de liberdade e o nivel de

confianza desexado podemos comparalo co valor tabulado. Se o tabulado supera o valor

obtido é que o noso valor está á esquerda da curva da distribución 𝜒2.

Os graos de liberdade son 𝜈 = 𝑘 − 𝑟 onde r é o número de parámetros estimados. Como nós

só precisamos a normalización e a media da distribución 𝑟 = 2 => 𝜈 = 𝑘 − 2. Facendo a

integral a toda a área da distribución de 𝜒2, isto é, < 𝜒2 > no caso ideal (dispersión dos datos

igual a dispersión agardada) non obtemos como resultado un, senón o número total de

eventos medidos menos r. Así pois, para un certo número de graos de liberdade podemos

normalizar dito valor esperado de xeito que < 𝜒𝜐2 >= 1 onde 𝜒𝜈

2 ≡𝜒2

𝜈. Os valores que

obteñamos moi por enriba de un quererán dicir que hai grandes desviacións con respecto ao

agardado no modelo. Se están moi por debaixo a situación tamén é desfavorábel por dúas

razóns posibles:

1) Que os datos estean amañados. Un valor moi baixo do test non só está indicar que a nube

de puntos se adapta ao modelo senón que cada un dos puntos cae enriba do modelo (é como

tirar 100 veces unha moeda e que che saia 100 veces cara).

2) Que as incertezas estean sobreestimadas. Neste caso pode que haxa varias distribucións

que se adapten á distribución de puntos por teren estes incertezas moi elevadas e que varios

axustes disten menos dun sigma deles.

A continuación levouse a cabo a parte de atenuación dos raios cósmicos. Aquí contamos con

láminas de Ferro, láminas de Chumbo e bloques de Chumbo de varios centímetros de espesor.

Así pois, ao comezo iamos engadindo láminas de Ferro para atenuar a compoñente branda da

radiación, logo pasamos a empregar láminas de Chumbo para adquirir máis información sobre

a atenuación da compoñente branda pois para a dura non foi posíbel realizar a atenuación ata

que engadimos os bloques. Porén, para empregar ditos bloques foi necesario pór unha base de

láminas de Ferro que os sustentaran pois eran moi pesados e as láminas de Chumbo eran

maleábeis polo que non se podían pór ditos bloques xusto enriba. Ademais disto, cada vez que

os engadíamos tamén púñamos algunhas láminas de Aluminio para comprobar se a zona da

curva de atenuación na que estabamos tiña moita pendente e, polo tanto, unha rápida

variación e tiñamos que coller máis puntos ou, pola contra, se era unha zona suave na que

necesitabamos engadir máis bloques para ver a evolución da mesma. Unha vez temos os datos

empregamos (2) para determinar o percorrido libre medio e así identificar cando hai

compoñente branda e dura na radiación incidente pois cada unha delas ten unha magnitude

distinta e característica para este parámetro.

Despois disto determinamos a distribución angular da radiación cósmica incidente. Con este fin,

colocamos ambos detectores paralelos e tapados á distancia máxima na que se podían colocar

e comezamos a inclinalos certos ángulos respecto ao chan indo desde 0º ata 90º. Así

compróbase como dependen as coincidencias (partículas que atravesan ambos detectores) da

inclinación dos mesmos respecto ao chan, é dicir, é unha forma de ver de que dirección veñen

a meirande parte dos raios cósmicos.

Por último, imos determinar a eficiencia xeométrica do noso sistema de detección. Para facer

isto imos proceder de dúas maneiras ben diferenciadas. Dunha banda, no laboratorio,

medimos as contas que atravesan cada detector así como o número de coincidencias para

diferentes distancias de separación entre detectores. Deste xeito, o fluxo neto vai diminuíndo

seguindo a relación:

𝐽(𝑑) = 𝜖𝑔𝑒𝑜𝑚(𝑑)𝐽(0) (9)

Onde J(0) é o fluxo medido cando os detectores están pegados. Doutra banda,podemos facer

uso do cálculo numérico de Montecarlo. Para isto, facemos un programa en FORTRAN (aínda

que podería ser noutra linguaxe) no que simulamos un casquete esférico (que representa a

zona atmosférica que está por enriba do detector) do cal proceden os raios cósmicos. No

centro de dito casquete situamos un dos dous centelleadores coas dimensións medidas no

laboratorio. O casquete ten que ter unha distribución homoxénea de partículas polo que se

xeran números aleatorios de 0 a 2π que sería o que abrangue o ángulo fi das coordenadas

esféricas, e de 0 a 1 que sería o que abrangue o 𝑐𝑜𝑠𝜃 de 0 a π/2. Agora unimos cada punto do

casquete con todos os do primeiro detector e, simulando un segundo, vemos que traxectorias

que pasan polo primeiro van tamén polo segundo. Estas son as coincidencias procuradas e, o

cociente entre as partículas que pasan polo segundo detector e a suma total de partículas (as

que pasan por ambos detectores máis as que pasan polo primeiro sen pasar polo segundo)

dará a eficiencia xeométrica. Pódese representar a distribución esférica da que emanan as

partículas segundo o programa:

Na base e no centro do mesmo atoparíase o noso detector e, paralelo a el, o segundo detector

do sistema. Puxen un raio aproximadamente igual ao da Terra para simular o casquete pero no

programa vese que non inflúe na eficiencia xeométrica.

3. Resultados e discusión dos mesmos

3.1. Cálculo da ventá temporal

Cando un de nós paraba a contaxe o outro compañeiro detía o cronómetro pero aínda que

este medira ata as centésimas de segundo, a nosa capacidade de reacción non é tan rápida.

Para comprobalo collemos un cronómetro e facemos 10 medidas intentando parar o tempo

cando o cronómetro chega a 5 s. Logo facemos a media e calculamos a súa desviación típica.

Estes datos amósanse na táboa 1 obténdose o resultado:

𝜎 = 0,28𝑠

Que aproximaremos a 0,3 s pois o erro na medida increméntase ao introducir o factor de que

un compañeiro tiña que avisar ao outro para deter o cronómetro.

A voltaxe de discriminación mediámola cun voltímetro que daba ata as milésimas de milivoltio

polo que este valor de mínima escala partido por raíz de doce será a súa incerteza. Mais para

chegar a isto hai que asumir unha distribución de probabilidade uniforme na medida o que

ocorrería no caso máis ideal. Por isto imos coller un factor de cobertura que nos permite

aumentar o intervalo de confianza da nosa medida. Neste caso eliximos tres (para unha

magnitude con distribución gaussiana tres correspondería cun nivel de confianza do 99,73%)

porque ao coller a medida moitas veces o voltímetro non se mantiña estábel. Isto fai que:

𝑠(𝑉) = 31

√12= 0,87 𝑚𝑉

A incerteza asociada ao medir o número de contas vén dada pola raíz cadrada das mesmas por

ser unha distribución de Poisson.

Para calcular a ventá temporal precisamos as taxas rexistradas polos dous detectores. A

incerteza das taxas (contas partido por tempo) vén dada pola seguinte expresión:

𝑠(𝑡𝑎𝑥𝑎) = √(1

𝑡)

2

𝑠2(𝑁) + (𝑁

𝑡2)

2

𝑠2(𝑡)

Na táboa 2 amósanse as medidas tomadas para determinar a ventá temporal coas súas

incertezas asociadas. Para calcular esta magnitude empregamos a fórmula:

∆𝑇 =𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐

2𝑡1𝑡2

Coa fórmula de propagación de incertezas asociada:

𝑠(∆𝑇) = √(1

2𝑡1𝑡2)

2

𝑠2(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 ) + (𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐

2𝑡12𝑡2

)

2

𝑠2(𝑡1) + (𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐

2𝑡1𝑡22)

2

𝑠2(𝑡2)

Como tomamos medidas para tres voltaxes teremos tamén tres ventás temporais (táboa 3)

polo que haberá que facer unha media ponderada das mesmas obtendo a incerteza aplicando

a expresión da desviación típica da media ponderada

𝑠(�̅�) =√

1

∑ (1

𝑠(𝑥𝑖))2

𝑖

∆𝑇𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1,389(0,061) ∙ 10−5 𝑠 = 13,89(0,61) 𝜇𝑠

Os raios cósmicos, ao seren partículas con velocidades típicas de 30𝑐𝑚

𝑛𝑠 e, ao estar os

detectores separados uns 30cm digamos que un raio cósmico atravesa ambos detectores nun

nanosegundo. En realidade un pouco máis pois os materiais que ten que atravesar a partícula

poden freala e ademais tense que producir a sinal eléctrica correspondente á conta. Aínda así,

un raio cósmico pode atravesar ambos escintileadores dentro da ventá temporal determinada.

Se aumentamos dita ventá, tamén aumenta a probabilidade de que eventos de interese caian

nos detectores mentres esteamos aínda na contaxe anterior como explicamos na introdución.

Non obstante, o sistema de detección é máis difícil de construír canto menor sexa a ventá

temporal (pois hai que ter en conta tempos de transmisión dos impulsos, que as partículas

incidentes se atenúan minimamente ao pasaren polo primeiro detector...).

3.2. Determinación do plateau

Agora variando alta voltaxe anotamos o número de contas en certo tempo obtendo así as

taxas. As incertezas son exactamente as mesmas que no caso anterior exceptuando a medida

co polímetro pois agora medimos alta voltaxe con precisión de decenas de voltios polo que é

esta cantidade a que hai que dividir por raíz de doce e logo multiplicar polo factor de cobertura

que é tres, quedando así:

𝑠(𝑉) = 310

√12= 8,7 𝑉

Os datos tomados variando alta voltaxe foron collidos cunha voltaxe discriminadora

𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐 = 60(0,87) 𝑚𝑉 e veñen dados na táboa 4. Con estes calculamos as taxas para ambos

detectores e para as coincidencias. Como xa temos a ventá temporal podemos determinar o

número de contas ao chou que veñen dadas pola ecuación (5) cunha incerteza que se obtén

facendo a propagación obtendo así a fórmula seguinte:

𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) = 2√(𝑡2Δ𝑇)2𝑠2(𝑡1) + (𝑡1Δ𝑇)2𝑠2(𝑡2) + (𝑡1𝑡2)2𝑠2(Δ𝑇)

Como esta taxa hai que extraerlla á taxa das coincidencias hai que facer unha propagación

máis para ter a incerteza da taxa definitiva:

𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 − 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 => 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) = √𝑠2(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 ) + 𝑠2(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟)

Os datos relacionados co cálculo desta taxa están na táboa 5. Facendo unha gráfica de como

evoluciona esta taxa fronte ao alto voltaxe obtemos:

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

Ta

xa

(N

/s)

HV (V)

O plateau non está nada definido nesta curva pois debería ser unha zona na que a taxa se

mantivese practicamente constante ao aumentar a voltaxe pero isto non ocorre. Quizais hai

unha zona na que varía máis amodo que é sobre os 1500V. Aínda así non se pode tomar isto

como plateau.

Imos agora co outro método de determinalo que é variando a voltaxe discriminadora e

comprobando o que ocorre coa taxa. Para isto fixamos a alta voltaxe en 1900V (escollemos

esta magnitude porque o plateau non estaba moi determinado e ao ser elevada permitíanos

coller máis contas en menos tempo diminuíndo así a incerteza relativa da medida). Así pois,

procedendo de xeito análogo ao anterior construímos as táboas 6 e 7 quedando unha gráfica

da forma:

-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

Ta

xa

(N

/s)

Vdis (mV)

Aquí xa se aprecia unha rexión máis plana que se pode considerar no intervalo de

[−350, −150] 𝑚𝑉. No laboratorio, escollemos o punto medio deste intervalo −250(0,87)𝑚𝑉

e os 1900(8,7)𝑉 como a rexión ideal de traballo a partir deste momento. O resto de medidas

da práctica serán tomadas con ditas magnitudes.

Non obstante, o valor da voltaxe discriminadora é demasiado baixa (demasiado grande en

amplitude) pois pode que así quitáramos o ruído pero estamos perdendo parte da física como

se amosa na seguinte imaxe:

Gráfica 2. Contribución do ruído e das contas coa voltaxe (co eixo X invertido respecto á gráfica anterior). O que vimos anteriormente é a suma das dúas contribucións desta imaxe dadas polo ruído e as contas (amosadas en forma de campá).

Ao coller o nivel de voltaxe anterior mente citado hai parte boa parte das contas que non

percibidas polos detectores pois sesgamos parte da campá amosada. Se ben, agora xa non

podemos facer nada porque as medidas foron tomadas neste rango polo que temos que

apandar coa nosa inexperiencia no que resta.

3.2. Caracterización estatística da radiación cósmica

Traballando na zona do plateau comprobamos que collíamos aproximadamente tres contas

por segundo e tomamos as coincidencias cada 5 segundos. Logo agrupamos os datos de 10 en

10 e 20 en 20. Para representar os datos miramos a frecuencia coa que se repite un

determinado valor para o número de contas (por exemplo a cantidade de veces que medimos

7 contas no detector de coincidencias). Histogramando a distribución obtida en intervalos de 5

segundos obtense:

Pola forma parece que é unha distribución de Poisson. Para comprobalo fago o test 𝜒2

calculando a probabilidade de que certo suceso ocorra segundo a distribución de Poisson (1) e

a través da distribución Gaussiana (7). Con isto vexo a cal tende en maior medida a miña

distribución de datos. Os resultados obtidos amósanse na táboa 8.

Para a distribución experimental que ten unha media: �̅� = 3,36(0,44) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑠 e onde as

contas están agrupadas en 11 clases como amosa a gráfica, obtemos o valor de 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 =

11,932. Para avaliar a distribución Gaussiana procedemos do mesmo xeito. O resultado obtido

é 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠2 = 88,615. Para comparar cal dos dous modelos se desvía menos dos datos tomados

dividimos estes resultados polo número de graos de liberdade e, canto máis se afaste de un o

resultado peor se axusta o modelo:

𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2

9= 1,326;

𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠2

9= 9,846

Polo que nos quedamos coa Poisson. Para ver canto mellor é unha sobre a outra miramos os

valores tabulados::

𝜒0,25; 92 ≡ 11,389 < 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛

2 < 𝜒0,20;92 ≡ 12,242

O primeiro subíndice amosa, dado un valor do 𝜒2 a área da distribución que se deixa á dereita

de dito valor. Polo tanto, a integral á dereita deste valor é aproximadamente do 20% e á

esquerda do 80% o que implica que as desviacións agardadas se estiveramos ante unha

Poisson serían superiores o 20% das veces que fixera de novo o experimento. O valor desta

probabilidade coñécese como grao de confianza. O segundo subíndice é o número de graos de

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fre

cue

nci

a

Clase

Histograma

Frecuencia

liberdade que se corresponde co número de clases menos dous estimadores que son a media

e a normalización.

Para o caso da distribución Gaussiana, o 𝜒2 tabulado con 9 graos de liberdade que ten o

máximo valor vén dado cando a área que se deixa á dereita da curva é do 0,1% e é menor que

o anterior 𝜒2 obtido; é dicir:

𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠2 > 𝜒0,001;9

2 = 29,588

Polo que se rexeita o modelo de Gauss con moita certeza.

Agora, agrupando os datos de 10 en 10 obtense unha distribución da forma (táboa 9):

Procedendo de xeito similar ao anterior coa salvedade de que agora agrupamos os datos en 13

clases e, polo tanto, aumenta o número de grados de liberdade sendo 13-2=11. Ao agrupar os

datos de 10 en 10 segundos a media muda o seu valor (pois o promedio é o das contas de

todas as clases agrupadas que agora son distintas) sendo �̅� = 6,73(0,75). Para estes valores

obtemos para o test 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 = 8,674 e comparándoa cos valores tabulados:

𝜒0,70;112 ≡ 8,148 < 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛

2 < 𝜒0,65;112 ≡ 8,695

Para a distribución Gaussiana obtemos que 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠2 = 77,345 e este é maior que calquera dos

tabulados. O maior dos tabulados vén dado por:

𝜒0,001;122 ≡ 32,909 < 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

2

Polo que podemos descartar o axuste a un moi alto nivel de confianza. Evidentemente, ao

igual que no caso anterior a distribución de Poisson axústase mellor que a de Gauss aos datos.

Por último, agrupamos os datos da distribución de 20 en 20 obtendo así a media �̅� =

13,4(1,7). Facendo o histograma empregando os datos da táboa 10:

0

10

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fre

cuen

cia

Clase

Histograma

Frecuencia

Obtense para este caso como resultado do test para Poisson 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 =15,413. Como o

número de clases no que dividimos as contas agora son 14, o número de graos de liberdade

será 12. Para a distribución Gaussiana obtemos que 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠2 = 14,464. Comparando ambos

valores normalizados segundo os graos de liberdade:

𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2

12= 1,284;

𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠2

12= 1,205

Agora a Gaussiana describe mellor os resultados empíricos que a Poisson.

Comparando o noso resultado cos tabulados:

𝜒0,25;122 ≡ 14,845 < 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛

2 < 𝜒0,2;132 ≡ 15,812

Como explicamos anteriormente, pódese rexeitar a Poisson a un 80% de nivel de confianza.

Neste caso para a Gaussiana obtense que:

𝜒0,3;122 ≡ 14,011 < 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

2 < 𝜒0,30;132 ≡ 15,119

3.4. Atenuación da radiación cósmica

Esta parte comezámola poñendo láminas de Ferro enriba de ambos detectores

completamente pegados. O espesor das mesmas mediuse co calibre. Resultou que todas tiñan

o mesmo espesor (nun primeiro momento pensamos que non pero a variabilidade da medida

era debida á capa de óxido que as cubría, unha vez a eliminamos obtíñamos os mesmos

resultados nas medicións). Como o calibre medía ata décimas de milímetro o resultado da

medida é:

𝑥 = 1,5(0,1) 𝑚𝑚

Agora determinamos o número de contas ao azar e restámosllas ás coincidencias obtendo a

taxa definitiva (táboa 11). Para facer o axuste imos linealizar a ecuación (2):

0

5

10

15

20

25

6 7 8 9 1011121314151617181920

Fre

cue

nci

a

Clase

Histograma

Frecuencia

𝐿𝑛(𝜙) = 𝐿𝑛(𝜙0) −𝑥𝜌

𝜆

Poñendo o espesor en centímetros para que pondo a densidade en 𝑔

𝑐𝑚3 me saia un percorrido

libre medio en 𝑔

𝑐𝑚2. A recta a que axustamos ten unha intersección fixa cando x=0 que é o

neperiano da taxa cando non hai láminas.

Para facer o axuste hai que ter en conta que hai unha distancia (medida cunha regra de

precisión de milímetros) de 𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒 = 2,6(0,1) 𝑐𝑚 entre os detectores e a primeira lámina de

ferro. Isto hai que telo en conta na lei de decaemento na forma:

𝜙 = 𝜙0𝑒−

(𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒+𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒)𝜆

Sendo 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒(𝑇 = 293𝐾, 𝑝 = 1𝑎𝑡𝑚) = 1,205 ∙ 10−3 𝑔

𝑐𝑚3 e 𝜌𝐹𝑒 = 7,87𝑔

𝑐𝑚3. Agora ben como a

densidade do aire é moito menor ca do Ferro imos ver se podemos desprezar o segundo

sumando da exponencial. Para isto ímonos pór no caso máis desfavorábel que é cando o

espesor de Fe é mínimo de xeito que:

𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒 = 7,87 0,15(0,01) = 1,1805(0,079)𝑔

𝑐𝑚2

𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1,29 ∙ 10−3 2,6(0,1) = 0,00335(0,00013)𝑔

𝑐𝑚2

Aínda que é pouco significativo, sendo estritos, como a incerteza do resultado do Fe abrangue

ata as milésimas e o resultado para o aire afecta xusto nas milésimas, temos que tela en conta

(se fose nas dezmilésimas xa non por exemplo). Para contar isto no axuste queda a expresión

logarítmica da forma:

𝐿𝑛(𝜙) = 𝐿𝑛(𝜙0) −1

𝜆(𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒 + 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒)

Sumarei logo a todos os produtos de densidade e espesor de ferro a cantidade fixa da

densidade por espesor do aire (habería que facer a propagación correspondente pero como só

collo dúas cifras significativas nas incertezas, a do produto densidade-espesor do aire é

desprezábel fronte a do Ferro). Só falta propagar a incerteza do fluxo das contas ao facerlle o

logaritmo:

𝑠(𝐿𝑛𝜙) =𝑠(𝜙)

𝜙

Con estas consideracións creamos a táboa 12 onde están os datos para facer o axuste cos

resultados obtidos dando a seguinte gráfica:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1,64

1,66

1,68

1,70

1,72

1,74

1,76

1,78

1,80

1,82

1,84

1,86

1,88

1,90

1,92

Ln

(

x*g/cm^2)

Onde fixemos un axuste do tipo 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 con 𝑦 = 𝐿𝑛(𝜙), 𝑛 = 𝐿𝑛(𝜙0), 𝑥 = 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒 +

𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒 , onde n fixámolo no axuste e 𝑚 =1

𝜆 a inversa do dato de interese. Para comprobar a

bondade do axuste hai que facer un test 𝜒2. Nós empregamos 7 datos e só temos un

parámetro m na recta a axustar polo que temos 6 graos de liberdade. De xeito similar a como

fixemos na análise estatística da radiación e, cos datos obtidos no axuste, avaliamos a recta

que axustamos en cada 𝑥𝑖 que empregamos para o axuste (táboa 13) construíndo así a variábel

que ten que seguir unha distribución 𝜒2 : 𝜒2 = ∑ (((𝐿𝑛(𝜙))

𝑖−𝑦(𝑥𝑖))

𝑠𝑖)

2

𝑖 . Isto danos 𝜒𝐹𝑒2 =

14,805 que, comparándoo cos tabulados:

𝜒0,025;62 ≡ 14,449 < 𝜒𝐹𝑒

2 < 𝜒0,01;62 ≡ 16,812

A área á dereita da curva da distribución de 𝜒2 é do 1% polo que polo comentado na

introdución, podo descartar o axuste a un 99% de nivel de confianza (só o teríamos un un por

certo de probabilidades de que as medidas tomadas nun novo experimento se desviaran máis

do axuste que estas supoñendo que o axuste é o correcto polo que se infire que case con total

seguridade se pode descartar o axuste).

Invertendo o valor da pendente da recta e propagando incertezas: 𝑠(𝜆) =𝑠(

1

𝜆)

(1

𝜆)

2 , polo que:

𝜆 = 250(220)𝑔

𝑐𝑚2

Teoricamente este percorrido para radiación branda é de 100𝑔

𝑐𝑚2 polo que estamos dentro

deste valor tendo en conta a nosa incerteza. Por isto, podemos concluír que estamos

eliminando a radiación branda con Ferro pero non a dura.

Repetimos o procedemento agora para o caso do chumbo (táboa 14) con densidade:

𝜌𝑃𝑏 = 11340𝑔

𝑐𝑚3. O espesor destas láminas tamén foi medido co calibre. Non obstante,

debido á maleabilidade do chumbo, a medida variaba na propia lámina dependendo de onde

situáramos o calibre. A variación era mínima e en torno ao mesmo espesor que no caso do Fe

polo que consideramos que coa incerteza que está asociada a dita magnitude é suficiente para

describir o espesor das láminas de chumbo.

Neste material, si que podería desprezar a contribución do aire pero vouna ter en conta

porque xa temos o algoritmo feito para o caso anterior e sería aínda máis traballoso

desprezala. Con estes datos obtemos a gráfica da regresión lineal (táboa 15):

0 2 4 6 8 10 12 14

1,68

1,70

1,72

1,74

1,76

1,78

1,80

1,82

1,84

1,86

1,88

1,90

1,92

Ln

(

x* (g/cm^2)

Facendo o mesmo que co Fe (táboa 16) obtemos 𝜒𝑃𝑏2 = 6,528 e comparándoo cos tabulados

para 6 graos de liberdade:

𝜒0,4;62 ≡ 6,211 < 𝜒𝑃𝑏

2 < 𝜒0,35;62 ≡ 6,695

Da inversa da pendente da recta obtemos o percorrido libre medio:

𝜆 = 1100(2400)𝑔

𝑐𝑚2

Que é un resultado axeitado para o percorrido libre medio da compoñente dura da radiación

pois o valor tabulado é: 𝜆~1500𝑔

𝑐𝑚2.

Por último, facemos combinacións con Ferro e Chumbo pero a grandes espesores. De feito,

empregamos uns bloques deste último material que había no laboratorio e que tiñan un

espesor de: 𝑥𝑃𝑏,𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 5,0(0,1) 𝑐𝑚 medidos con regra. Agora con toda certeza pódese

desprezar o efecto da capa de aire que queda entre o material e as placas tendo así:

𝐿𝑛(𝑁) = 𝐿𝑛(𝑁0) −1

𝜆(𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒 + 𝜌𝑃𝑏𝑥𝑃𝑏)

O agardado nesta combinación é que as medidas (táboa 17) se vexan afectadas só cando

engadimos bloques de chumbo pois a atenuación que poidan achegar as láminas de Fe en

proporción será desprezable. En realidade, ir engadindo láminas finas cando temos un bloque

moi ancho o que proporciona é unha serie de puntos ao redor dunha rexión moi pequena. Isto

obsérvase na seguinte gráfica que se corresponde cos datos amosados na táboa 18:

0 50 100 150 200

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

Ln

()

x* (g/cm^2)

Para este axuste obtemos unha 𝜒2 = 61,660 (táboa 19). Comparando cos tabulados:

𝜒0,001;62 ≡ 22,456 < 𝜒2

O que significa que podo rexeitar o axuste lineal con un 99,9% de nivel de confianza. O valor

que se obtén neste caso para o percorrido libre medio é:

𝜆 = 735(81)𝑔

𝑐𝑚2

Conseguimos máis precisión nesta medida pero é menos exacta pois se afasta dos resultados

teóricos tanto para a radiación branda como para a dura.

3.5. Distribución angular

Na zona do plateau e mantendo a separación dos detectores constante a 22,7(0,1)𝑐𝑚 imos

inclinando ambos detectores todos os ángulos que podemos escoller cunha escuadra e un

cartabón. Unha vez fixamos o ángulo comezamos a contaxe. A inclinación, unha vez

determinada, tiña que sosterse durante todo o tempo de contaxe constante, pero isto non

ocorría. Debido a dificultades coa montaxe tiñamos que apoiala nos nosos xeonllos, en

cadeiras... polo que non había unha boa precisión nos ángulos de inclinación. Isto fai que

escollamos unha incerteza tipo B para o ángulo de inclinación de 𝑠(𝜃) = 5º. Os datos das taxas

obtidas (e xa subtraendo o valor das contas debidas ao azar) atópanse na táboa 20.

Para obter o fluxo de partículas hai que dividir o número final de contas pola área do detector.

Ambos son máis ou menos das mesmas dimensións pero ao medir coa regra vimos que o que

estaba posto abaixo tiña un lado un pouco menor. Chamando x ao ancho, y ao longo e z ao

grosor dos detectores como amosa a seguinte figura:

Ilustración 5. Correspondencia en coordenadas cartesianas de cada unha das tres direccións

do espazo para os detectores.

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎: 𝑥 = 6,7(0,1) 𝑐𝑚; 𝑦 = 37,8(0,1) 𝑐𝑚; 𝑧 = 1,5(0,1)𝑐𝑚

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜: 𝑥 = 6,4(0,1) 𝑐𝑚; 𝑦 = 37,8(0,1) 𝑐𝑚; 𝑧 = 1,5(0,1)𝑐𝑚

Como o que nos interesa é a área que atravesan as coincidencias imos escoller a menor

porque é a máis restritiva (unha partícula que caera na vertical no extremo do detector de

arriba non pasaría polo de abaixo pero se invertemos a posición dos detectores si que se

atoparía unha coincidencia ao pasar a partícula polo extremo do de arriba). Para calcular o

área hai que multiplicar x por y e propagar incertezas:

𝑠(𝑥𝑦) = √𝑦2𝑠2(𝑥) + 𝑥2𝑠2(𝑦) => 𝑆 ≡ 𝑥𝑦 = 241,9(3,8) 𝑐𝑚2

Dividindo as taxas finais por esta cantidade determinamos o fluxo que, para conseguir a súa

incerteza, temos que facer a propagación unha vez máis:

𝑠 (𝑡

𝑆) = √(

1

𝑆)

2

𝑠2(𝑡) + (𝑡

𝑆2)

2

𝑠2(𝑆)

Graficando os datos obtense:

Onde se presenta a taxa de coincidencias fronte ao ángulo. Esta relación ten que seguir a

relación:

𝐽 = 𝐽0 cos2 𝜃

0,0 0,7 1,4

0

20

40

60

J(1

/(m

^2

s))

(rad)

𝑗0 debería de ser fixo pero tiven que deixar libre o parámetro no axuste para que o cadrado do

coseno se adaptara á curva. Facendo un test 𝜒2 (táboa 21) obtense un valor para esta

magnitude de 𝜒2 = 77,608. Como temos 5 puntos e un só parámetro de axuste quedámonos

con catro graos de liberdade e comparando co valor tabulado:

𝜒0,001;42 ≡ 18,466 < 𝜒2

Podo descartar o axuste case con toda seguridade. Isto ten unha explicación sinxela. O test 𝜒2

compara os resultados obtidos empiricamente cos que obteríamos para unha distribución de

puntos que seguen a fórmula teórica. Cando chegamos á situación límite de 90º, a teoría di

que o número resultante do fluxo é estritamente 0 pero isto non ocorre na realidade física

mesmo porque poden chegar partículas que atravesen os detectores do chan (cascadas

horizontais)... Por isto imos engadir unha constante ao axuste que vén sendo un parámetro

libre. Dito parámetro terá o valor do fluxo detectado cando o ángulo é de 90º.

Matematicamente (táboa 22):

𝐽 = 𝐽0 cos2 𝜃 + 𝑏

Obtendo o axuste:

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

0

10

20

30

40

50

J(1

/(m

^2

s))

rad)

O test 𝜒2 esta vez da un valor: 𝜒2 = 4,092 e, tendo en conta que agora hai un grao de

liberdade menos, pois temos un parámetro a maiores (tres graos de liberdade):

𝜒0,3;32 ≡ 3,665 < 𝜒2 < 𝜒0,25;6

2 ≡ 4,108

Agora a probabilidade de que os meus datos sigan a lei teórica enunciada xa é importante (non

como no caso anterior). Para ver canto de ben predí os datos tomados comparamos os

parámetros obtidos no axuste cos experimentais:

𝐽0𝑎𝑥𝑢𝑠𝑡𝑒 = 40,5(2,3)

1

𝑚2𝑠 ↔ 𝐽0

𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙= 46,2(2,4)

1

𝑚2𝑠

𝑏𝑎𝑥𝑢𝑠𝑡𝑒 = 6,72(0,92)1

𝑚2𝑠 ↔ 𝑏𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 7,17(0,87)

1

𝑚2𝑠

As 𝐽0 están relativamente preto e os b son coincidentes (tendo en conta o intervalo que

abranguen as incertezas) polo que o axuste predí bastante ben os parámetros experimentais.

Doutra banda, aínda que nós tomamos no laboratorio que as medidas dos detectores eran as

comentadas anteriormente, os datos achegados como información din que as dimensións reais

de ambos detectores son:

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠: 𝑥 = 10(0,1) 𝑐𝑚; 𝑦 = 30(0,1) 𝑐𝑚; 𝑧 = 1,5(0,1)𝑐𝑚

Para este obtemos o axuste:

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

J(1

/(m

^2

s))

rad)

O test de bondade de axuste da exactamente igual ao anterior (táboa 23). Comparando os

parámetros do axuste cos experimentais:

𝐽0𝑎𝑥𝑢𝑠𝑡𝑒 = 37,2(1,9)

1

𝑚2𝑠 ↔ 𝐽0

𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙= 32,7(1,9)

1

𝑚2𝑠

𝑏𝑎𝑥𝑢𝑠𝑡𝑒 = 5,79(0,74)1

𝑚2𝑠 ↔ 𝑏𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 5,42(0,70)

1

𝑚2𝑠

Que saen tamén próximos como no caso anterior.

O interesante é ver como de cae a contaxe a medida que imos inclinando o nosos sistema

vendo así que a maioría de raios cósmicos inciden desde o cénit.

3.6. Eficiencia xeométrica

Na práctica collemos datos de coincidencias tomando diferentes distancias entre detectores.

Estas distancias son bastante imprecisas por varios feitos. Para comezar había veces que

tiñamos que empalmar dúas regras para poder abarcar todo o espazo que había entre

detectores. Ademais disto existía un forte error de paralaxe que se produce cando o

observador mira desde certo ángulo a medida e non está aliñado coa marca. Isto ocorría

basicamente porque non podíamos manter á vez ambas regras empalmadas e medir o que

marcaba a regra de abaixo (teríamos que tirarnos no chan) levando os ollos a ese nivel. Por

último, non tiñamos como fixar os instrumentos así que a posición dos mesmos se desprazaba

minimamente entre que collíamos a medida de arriba e a de abaixo. Por todo isto e algúns

erros a maiores de menor importancia decidimos que a medida ten unha incerteza tipo B de

medio centímetro no canto de ser a mínima resolución da escala (un milímetro).

Método de contador Geiger para estimar a eficiencia xeométrica empregando a área das

placas medida no laboratorio

As medidas tomadas para cada distancia veñen dadas na táboa 24. De xeito similar ao

apartado anterior, a partir da taxa final calculamos os fluxos dividindo pola área que atravesan

os raios. Estes fluxos fronte a distancia pódense axustar se supomos que a eficiencia é

inversamente proporcional ao cadrado da distancia entre detectores como ocorre no caso dos

detectores Geiger:

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0

50

100

150

200

250

J (

1/(

m^2

s))

d (m)

O axuste realizado é da forma: 𝐽(𝑑) = 𝐵𝐴

𝑑2 que, comparándoo con (9) identificamos B como

un parámetro fixo 𝐵 = 𝐽(0) e 𝐴

𝑑2 = 𝜖(𝑑) con A un parámetro variable. Como collemos 7

valores das distancias temos 7 − 1 = 6 graos de liberdade. O test deste axuste (táboa 25)

proporciona un valor de: 𝜒2 = 687,387 que, dados os graos de liberdade, comparándoo cos

tabulados:

𝜒0,001;62 ≡ 22,458 < 𝜒2

Isto indica que acertamos en descartar o modelo a un 99,9% de nivel de confianza. De novo, o

elevado valor do test débese a un punto concreto que é cando a distancia tende a 0 para o cal

a distribución experimental non pode ser infinito e, porén, a teórica si que é infinitamente

grande. Isto soluciónase facendo un axuste do tipo:

𝑦 = 𝐵𝐴

(𝐶 + 𝑥)2

Isto da como resultado a seguinte gráfica:

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0

50

100

150

200

250

J (

1/(

m^2

s)

d (m)

No axuste anterior obtívose que (táboa 26): 𝜒2 = 72,420 que ocorre o mesmo que co anterior

resultado pois:

𝜒0,001;52 ≡ 20,515 < 𝜒2

Onde agora temos un grao de liberdade menos porque temos un parámetro máis. Isto leva a

pensar que a suposición inicial de que a eficiencia xeométrica segue a mesma tendencia que

nos detectores como Geiger-Muller é probablemente falsa.

Aínda así, imos calcular no primeiro axuste a eficiencia xeométrica. Para ver un valor da

eficiencia segundo este axuste imos coller unha distancia entre detectores de referencia como

por exemplo 22,5(0,5) 𝑐𝑚 que foi empregada bastante ao longo da experiencia e imos

calcular a eficiencia xeométrica do sistema. Para calcular a incerteza aplicamos a fórmula de

propagación:

𝑠 (𝐴

𝑑2) = √(

1

𝑑2)

2

𝑠2(𝐴) + (2𝐴

𝑑3)

2

𝑠2(𝑑)

𝜖(0,225) =𝐴

𝑑2=

0,00145

0,2252= 0,029(0,018) = 2,9(1,8)%

O cal parece un valor excesivamente baixo para a eficiencia xeométrica dada a distancia á que

están. Agora para ilustrar mellor a variación da eficiencia imos ver a canta distancia terían que

estar os detectores para obter unha eficiencia xeométrica do 95% segundo o primeiro axuste:

𝑑 = √𝐴

𝜖= √

0,00145

0,95~0,039 𝑚 = 3,9 𝑐𝑚

Isto parece xa máis razoable, a eficiencia é próxima ao 100% cando están a case 4cm. Parece

que dita eficiencia cae abruptamente nun comezo coa distancia (logo isto verase mellor co

Montecarlo).

Para o caso do axuste que inclúe o parámetro C:

𝜖(0,225) =𝐴

(𝐶 + 𝑑)2=

0,038

0,2252= 0,20(0,11) = 20(11)%

O cal é un valor bastante elevado comparado co resultado anterior. A distancia para o 95% de

rendemento sería:

𝑑 = √𝐴

𝜖− 𝐶 = √

0,038

0,95− 0,209 < 0 𝑐𝑚

O que indica que o axuste sobreestima o parámetro C pois a resta anterior debería ser maior

que cero para un rendemento do 100% pois as dimensións dos detectores son diferentes.

Vistos os contrastes entre os axustes anteriores e que o test de bondade da bastante mal non

parece que esta descrición sexa un bo procedemento para estudar a eficiencia xeométrica.

Método de Montecarlo para estimar a eficiencia xeométrica coa área das placas medida no

laboratorio

Outro xeito de determinala dos detectores é a través de cálculo numérico con simulación

Montecarlo. Repetimos 10 veces dita simulación para obter 10 valores diferentes da eficiencia

xeométrica coa área dos detectores medida por nós. Facendo a media e calculando a

desviación típica obtemos un valor para unha distancia de 0,225 m:

𝜖(0,225) = 5,15(0,19)%

Valor que está preto do resultado anterior obtido experimentalmente para o caso do primeiro

axuste.

Agora imos executar o programa de Montecarlo para obter as eficiencias de cada unha das

distancias simuladas no laboratorio (táboa 26) e facer un axuste fronte aos fluxos de raios

cósmicos rexistrados experimentalmente quedando (táboa 27):

0 20 40 60 80 100

0

50

100

150

200

250

J (

1/(

m^2

s))

(m)

O axuste ten que ser unha recta que pasa pola orixe segundo: 𝐽(𝑑) = 𝐽(0)𝜖(𝑑). Pero o

resultado é catastrófico pois non se parece ao experimental:

𝐽𝑀𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑙𝑜(0) = 3,180(0,092)1

𝑚2𝑠 ↔ 𝐽𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙(0) = 229(10)

1

𝑚2𝑠

E o test chi cadrado (táboa 27) di que se pode descartar o axuste a practicamente calquera

nivel de confianza.

Probando con moitas máis distancias na simulación e representándoas fronte ás eficiencias

podemos ver a tendencia que segue a eficiencia cando imos separando os detectores:

0 10 20 30 40 50

0

20

40

60

80

100

d

)

d (cm)

Non teño un modelo teórico que me diga que lei segue esta variación así que non imos facer

un axuste. Porén, nela vese que a eficiencia cae abruptamente cando separamos os detectores

ao principio e que, cando xa están lonxe, apenas afecta á mesma que se varíe a distancia. Polo

tanto, hai unha dependencia moi forte da eficiencia con respecto á distancia entre detectores

cando estes están pouco separados pero a grandes distancias a dependencia é moi feble.

Como resume aclaratorio poñemos unha táboa comparando os resultados da eficiencia

calculada a 22,5 cm polos diferentes métodos:

Método Axuste 1 parámetro Axuste 2 parámetros Montecarlo

𝜖(0,225) 2,9(1,8)% 20(11)% 5,15(0,19)%

Imos agora estudar o caso en que os detectores empregados non tiveran a área medida senón

a achegada polo profesor, é dicir:

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠: 𝑥 = 10(0,1) 𝑐𝑚; 𝑦 = 30(0,1) 𝑐𝑚; 𝑧 = 1,5(0,1)𝑐𝑚

Agora ambos teñen a mesma área polo que cando están pegados a eficiencia sería idealmente

do 100%. Isto é unha diferenzas relevante con respecto ao caso anterior pois como o detector

de arriba era o de maior área non todas as contas que pasaban por el tiñan que facelo polo

inferior aínda estando pegados.

Determinación da eficiencia xeométrica polo método de Geiger coa área das placas achegada

polo profesor

Para ser eficientes no tratamento dos datos, esta vez imos unicamente a intentar ver se os

resultados experimentais seguen a tendencia:

𝑦 = 𝐵𝐴

(𝐶 + 𝑥)2

Pois o axuste que fixemos sen incluír o parámetro C resultou ser moito menos representativo

dos nosos datos. Coa nova área dos detectores quedaría (táboa 28):

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

J (

1/m

^2

s)

d (m)

O axuste é practicamente o mesmo, o test é tan malo como cando as áreas eran diferentes e o

valor da eficiencia aproximadamente idéntico (dada a precisión que temos nas nosas

magnitudes de axuste non podemos discernir a diferenza entre ambos valores, é dicir, ambos

son idénticos dentro do rango de cifras significativas dado polas incertezas). Porén, desta vez

sabemos que como os detectores teñen o mesmo tamaño podemos facer o axuste fixando C

pondo a condición de que para distancia nula o rendemento é 100%:

𝐶 = √𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝑠(𝐶) =𝑠(𝐴)

2√𝐴= 0,195(0,031) 𝑚

Para este axuste obtense 𝜒𝜐2 = 15057 moito máis elevado que o do axuste resultante sen fixar

C. O valor de A obtido nesta ocasión é: 𝐴 = 0,0349(0,0032) 𝑚2 (non se expón a gráfica pois é

similar á anterior). O tratamento con este axuste non paga a pena pois o anterior é moito

mellor.

Método de Montecarlo para estimar a eficiencia xeométrica coa área das placas achegada polo

profesor

Calculando agora co programa Montecarlo o fluxo de raios cósmicos ás diferentes distancias

medidas (táboa 28):

0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

J(1

/m^2

s)

m)

O axuste segue sendo malo pois cun 𝜒2 = 1011,273 podo seguilo rexeitando a un nivel de

confianza altísimo. O fluxo a distancia 0 segundo o axuste sería:

𝐽𝑀𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑙𝑜(0) = 2,392(0,067)1

𝑚2𝑠 ↔ 𝐽𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 (0) = 184,5(8,2)

1

𝑚2𝑠

Que segue sendo un resultado catastrófico na estimación do fluxo a distancia 0. Os cálculos

para ver o comportamento da eficiencia son análogos a cando as placas tiñan dimensións

diferentes polo que xa non se tratan aquí.

4. Conclusións

Aínda que tivemos dificultades ao determinar o plateau variando a alta voltaxe pois non había

ningunha rexión onde se mantivese constante a taxa, ao fin puidemos facelo variando a

voltaxe discriminadora. Para isto, quizais sobreestimamos un pouco a alta voltaxe pero isto

non se vía que prexudicara á calidade das medidas. Para comprobalo, acoplamos o noso

detector ao osciloscopio e o que se vía eran pulsos claros sen que o ruído os eclipsase. Porén,

si melloraba a nosa precisión ao tomar as contas (pois tomábamos máis en menos tempo

reducindo así a incerteza) e, polo tanto, a eficiencia da práctica.

Estatisticamente comprobouse como ao ir aumentando a anchura dos intervalos nos que

agrupamos o número de contas, é dicir, agrupando as contas en intervalos temporais máis

grandes a distribución que describen as partículas pasa de ser de Poisson a Gaussiana. Isto

prodúcese pola natureza das propias distribucións, pois a medida que a media dunha

distribución de Poisson se fai máis grande tamén vai tendendo a unha distribución de Gauss

que é o que comprobamos que ocorría.

Na atenuación logramos obter os percorridos libres axeitados para cada tipo da compoñente

de radiación. Cando atenuamos con Fe atenuábamos electróns, positróns e partículas gamma

que son as que forman a compoñente branda dos raios cósmicos. Cando o facíamos con Pb

atenuábamos os muóns que son os constituíntes da compoñente dura. Esta comprobación foi

posíbel grazas a que obtivemos os percorridos libres medios correspondentes a ambas

compoñentes. Ao atenuar á vez con Pb e Fe obtivemos un percorrido libre a medio camiño

entre as compoñentes branda e dura.

Na distribución xeométrica da radiación comprobamos que a meirande parte dela vén do cénit

decaendo o fluxo cando iamos inclinando os detectores de maneira que cando chegabamos

aos 90º obtiñamos un fluxo moi pequeno. A pesar disto o test de axuste para describir os datos

segundo o cos2 𝜃 dinos case con toda seguridade que non segue esta distribución. Isto é

debido ao último dato dos collidos pois para a inclinación de 90º teoricamente teriamos que

ter un fluxo nulo pero na práctica por moi baixa que sexa a taxa non imos obter xusto o valor 0

o que dispara o valor da variábel 𝜒2 . Isto solucionouse engadindo o parámetro b e,

comprobouse así, que efectivamente os datos se axustaban acorde o predito teoricamente.

Por último, a eficiencia xeométrica obtida polo método experimental para unha distancia duns

20cm achegou un valor dun 3% e un 20% cando incluímos o parámetro C, resultado moi

impreciso pois a incerteza asociada é da orde da propia medida debida a que o axuste non

resultou ser demasiado acorde cos datos experimentais. Isto explícase porque, a diferenza dos

detectores como o Geiger, no que se supón que a fonte emite isotropamente e, polo tanto,

nunha esfera, nós temos unha distribución de partículas que veñen da atmosfera polo que non

levan dita distribución. O método de Montecarlo achegou un valor moito máis preciso debido

á baixa incerteza asociada pero quizais non máis exacto pois a simulación numérica non ten en

conta nin o tempo que tarda o impulso electrónico en transmitirse polos detectores,

tampouco o grosor dos mesmos que pode facer que se atenúen as partículas menos

enerxéticas... Aínda así, ambos valores están preto pois para á mesma distancia no caso do

primeiro axuste pois ambos rendementos non difiren en máis dun 2,25%.

O desastre dos resultados en Montecarlo nos axustes de fluxo fronte á eficiencia deben estar

causados polos malos puntos tomados. Por exemplo, experimentalmente anotamos que na

segunda distancia de separación o fluxo diminúe con respecto á primeira e debería aumentar

porque os detectores están máis achegados. Isto dificultou claramente o estudo da eficiencia

xeométrica.

5. Anexos

5.1. Programa principal de Montecarlo realizado en FORTRAN

! IAGO LOPEZ GROBAS

! Este programa simula dos detectores de centelleo creando una lluvia de particulas que

proviene

! de un casquete esferico. Traza rectas que pasen por el casquete y el primer detector y

comprueba

! si estas trayectorias cruzan tambien el segundo para ver el numero de coincidencias.

Haciendo

! el cociente con el total de particulas se puede calcular la eficiencia del detector.

program eficienciageom

use defprecision

implicit none

integer (kind=entero) :: i,iflag,j,acepto,rechazo,k

real (kind=dp) ::

fi,cost,random,r,sx3,sy3,t,sx2,sy2,x,y,r1,absx,absy,sx32,sy32,eficiencia,dacepto,drechazo

real(kind=dp), parameter :: pi=3.1415926535898d00

integer(kind=entero), parameter :: kt=10000,n=7 ! n es el numero de distancias que

tomamos entre detectores

character (len=25) :: almacen1, almacen2,almacen3,almacen4

real(kind=dp), dimension(kt) :: x1,y1,z1,x2,y2

real(kind=dp), dimension(n) :: h

! Creo archivos de texto para guardar los datos de interes

! Casquete.dat contiene las coordenadas de mi casquete esférico

! Detector1.dat contiene las del primer detector del sistema

! Coordcoincid.dat contiene los puntos del detector 2 por los que pasa alguna trayectoria

que proviene del 1

! Acepta.dat contiene los datos del numero de veces que las trayectorias pasan por ambos

detectores, que pasan

! solo por el primero y la eficiencia del detector en tanto por ciento

almacen1='casquete.dat'

almacen2='detector1.dat'

almacen3='coordcoincid.dat'

almacen4='acepta.dat'

open(10,file=almacen1,access='append')

open(11,file=almacen2,access='append')

open(12,file=almacen3,access='append')

open(13,file=almacen4,access='append')

9000 format ('acepto= ', i9, ' rechazo= ',i9, ' eficiencia= ', 1pe13.6,'%')

9001 format (3(2x,e19.12))

9002 format (2(2x,e19.12))

write(13,*) 'INICIO DE SIMULACION'

! Esta es la semilla de la funcion de numeros aleatorios (meto un numero

cualquiera diferente cada vez

! que repito la simulacion para generar una serie distinta)

iflag=-5243

!Las dimensiones de la PLACA DE ARRIBA SON

sy2=30.d00

sx2=10.d00

!Las dimensiones de la placa de ABAJO SON

sy3=30.d00

sx3=10.d00

!La distancia entre placas paralelas es (tomadas en el laboratorio

h=(/52.5d00,42.7d00,33.2d00,22.7d00,13.5d00,4.5d00,0.d00/)

!Para hacer un ajuste con mayor numero de datos tomamos mas valores de h y creamos

un vector

!que esté equiespaciado dos undidades con 25 elementos entre 0 y 50 cm

! h(1)=0.d00

! do i=2,25

! h(i)=2.d00+h(i-1)

! end do

do k=1,n

! Se puede hacer una serie de comprobaciones del programa como por ejemplo diminuir el

área

! del segundo detector viendo como disminuye asi la eficiencia. Tambien puedo pegar

ambos detectores

! y ver que, si tienen las mismas dimensiones, la eficiencia es del 100%

!Pongo a 0 los contadores, acepto significa que la trayectoria de la particula que nace en el

casquete

!pasa por ambos detectores, rechazo significa las veces que solo pasa por el primer

detector

acepto=0

rechazo=0

! El radio del casquete semiesférico es (en cm)(puede ser cualquier otro)

r1=6370.d05

! Inicio un bucle para creal el casquete y el detector 1

do i=1,kt

! Multiplico un numero random entre 0 y 1 por 2pi y luego otro que vaya de 0 a 1 pues el

cos(t)

! va de 0 a pi/2 pues es medio casquete terrestre y para estos valores el coseno varia de 0 a

1

fi=2.d00*pi*random(iflag)

cost=random(iflag)

! Hallo theta para pasar todo a coordenadas cartesianas (x1,y1,z1 son las coord. del

casquete)

t=acos(cost)

x1(i)=r1*sin(t)*cos(fi)

y1(i)=r1*sin(t)*sin(fi)

z1(i)=r1*cost

! Estas tres cantidades son las coordenadas de un punto de la semiesfera

! y por el tiene que pasar una trayectoria recta que llegue hasta la primera placa.

! Una vez aquí la misma recta ha de pasar por la segunda placa. Ambas placas tienen unas

dimensiones

! determinadas

! Supongo que el detector de arriba tiene z=0

! El detector de abajo tiene puntos que van de ancho por largo del propio detector 37,8*6,4

! Voy a coger mi origen en el centro del detector

r=random(iflag)

x2(i)=sx2*(r-1.d00/2.d00)

r=random(iflag)

y2(i)=sy2*(r-1.d00/2.d00)

! Escribo las coordenadas en un fichero

write(10,9001) x1(i),y1(i),z1(i)

write(11,9002) x2(i),y2(i)

end do

! close(10)

! close(11)

! Ahora cojo un punto del casquete y otro del primer detector y hago las ecuaciones de

las rectas

! Estas me quedan con ecuacion en z de manera que z=z1+(0-z1)*t donde t es un parametro

! La condicion de que pasemos por el segundo detector es que z=-h por lo que

sustituyendolo arriba

! y despejando t podemos reemplazarlo en las otras dos ecuaciones de la recta quedando:

! Recta x=x1+(x2-x1)*((h+z1)/(z1))

! y=y1+(y2-y1)*((h+z1)/(z1))

! El doble bucle hace que cada uno de los puntos que genero en el casquete esférico

! produzca muchas partículas y cada uno de los puntos lleva asociado trayectorias

diferentes

! que atraviesan el detector 1

do i=1,kt

do j=1,kt

x=x1(i)+(x2(j)-x1(i))*(h(k)+z1(i))/z1(i)

y=y1(i)+(y2(j)-y1(i))*(h(k)+z1(i))/z1(i)

absx=abs(x)

absy=abs(y)

sx32=sx3/2

sy32=sy3/2

! Ahora pongo la condicion de que el punto calculado este dentro del area del detector 2

! Cuando lo esta hay coincidencia y por lo tanto sumo una aceptacion

! Cuando no lo esta no hay coincidencia y la particula pasa solo por el detector 1

if (absx<sx32 .AND. absy<sy32) then

acepto=acepto+1

write(12,9001) x,y

else

rechazo=rechazo+1

end if

end do

end do

! Calculo la eficiencia

dacepto=dble(acepto)

drechazo=dble(rechazo)

eficiencia=dacepto/(dacepto+drechazo)*100.d00

close(12)

write(13,9000) acepto,rechazo,eficiencia

write(*,*) eficiencia

end do

close(13)

end program eficienciageom

5.2. Módulo de Montecarlo para definir a precisión das variábeis

module defprecision

!Este modulo es para fijar la precision de las distintas variables

implicit none

integer, parameter :: entero=SELECTED_INT_KIND(9)

integer, parameter :: dp=SELECTED_REAL_KIND(15,307)

end module defprecision

5.3. Función random proporcionada polo profesor Carlos Rey Losada

function random(idum)

implicit none

integer, parameter :: entero=SELECTED_INT_KIND(9)

integer, parameter :: doblep=SELECTED_REAL_KIND(15,307)

!

! random es real*8. idum integer*4

! devuelve un numero alatorio entre (0,1), si el parametro

! idum es negativo o es la primera vez que se la llama

! inicializa el generador en base a idum.

!

integer (kind=entero) :: idum

real (kind=doblep), parameter :: mbig=4.d+06,mseed=1618033.d00

real (kind=doblep), parameter :: mz=0.d00,fac=1.d00/mbig

integer (kind=entero) :: i,iff,ii,inext,inextp,k

real (kind=doblep) :: random,mj,mk,ma(55)

save iff,inext,inextp,ma

data iff/0/

!

if (idum<=0.or.iff==0) then

iff=1

mj=abs(mseed-abs(idum))

mj=mod(mj,mbig)

ma(55)=mj

mk=1

do i=1,54

ii=mod(21*i,55)

ma(ii)=mk

mk=mj-mk

if (mk.lt.mz) mk=mk+mbig

mj=ma(ii)

end do

do k=1,4

do i=1,55

ma(i)=ma(i)-ma(1+mod(i+30,55))

if (ma(i).lt.mz) ma(i)=ma(i)+mbig

end do

end do

inext=0

inextp=31

idum=1

end if

inext=inext+1

if (inext==56) inext=1

inextp=inextp+1

if (inextp==56) inextp=1

mj=ma(inext)-ma(inextp)

if(mj.lt.mz) mj=mj+mbig

ma(inext)=mj

random=mj*fac

return

end function random

5.4. Táboas.

T1(s) T2(s) T3(s) T4(s) T5(s) T6(s) T7(s) T8(s) T9(s) T10(s) media

5,09 4,8 5,73 5,11 5,38 5,06 4,71 5,04 4,98 4,89 5,079

Táboa 1. Medidas persoais con cronómetro para calcular a incerteza temporal.

(𝑡 ± 0,3) 𝑠 (𝑉𝑑𝑖𝑠 ± 0,87)𝑚𝑉 Ncoinc s(Ncoinc) N1 s(N1) N2 s(N2)

227,4 -150 186 14 21400 150 66400 260

331,7 -200 152 12 25100 160 78100 280

632,7 -250 193 14 37400 190 116500 340

Táboa 2. Toma de datos no laboratorio necesarios para calcular a ventá temporal.

𝑡1 (𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡1) (

𝑁

𝑠) 𝑡2 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡2) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) Ventá (s) s(ventá) (s)

94,12 0,66 292,05 1,19708643 0,818 0,06 1,49E-05 1,1E-06

75,67 0,48 235,45 0,87 0,458 0,04 1,29E-05 1,0E-06

59,11 0,31 184,12 0,55 0,305 0,02 1,40E-05 1,0E-06

Táboa 3. Determinación da ventá temporal.

(𝐻𝑉 ± 8,7) 𝑉 N1 s(N1) N2 s(N2) Ncoinc s(Ncoinc) (𝑡 ± 0,3) 𝑠 1300 3022 55 76300 280 964 31 595,3

1400 4884 70 46900 220 982 31 357,6

1500 9460 97 43700 210 986 31 328,8

1600 15500 120 38100 200 970 31 285,9

1700 19200 140 32800 180 962 31 248,0

1800 27400 170 30300 170 985 31 229,0

1900 37200 190 28400 170 1010 32 211,4

2000 53200 230 25000 160 1037 32 184,9

Táboa 4. Toma de datos necesarios para calcular o plateau a través do HV.

(𝐻𝑉± 8,7) 𝑉 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛) (

𝑁

𝑠)

1300 1,619 0,052 0,01807 0,00086 1,601 0,052

1400 2,746 0,088 0,0498 0,0023 2,697 0,088

1500 2,999 0,095 0,1062 0,0048 2,892 0,096

1600 3,393 0,109 0,2007 0,0090 3,192 0,109

1700 3,879 0,125 0,284 0,013 3,595 0,126

1800 4,302 0,137 0,440 0,020 3,862 0,138

1900 4,777 0,150 0,657 0,029 4,120 0,153

2000 5,608 0,174 1,081 0,048 4,527 0,181

Táboa 5. Datos para ter en conta as taxas fortuítas á hora de facer os cálculos variando HV.

(𝑉𝑑𝑖𝑠 ± 0,87) 𝑚𝑉 N1 s(N1) N2 s(N2) Ncoinc s(Ncoinc) (𝑡 ± 0,3) 𝑠 -400 11020 110 44000 210 974 31 327,4

-350 11420 110 39800 200 963 31 295,9

-300 15860 130 44800 210 1067 33 328,5

-250 17400 130 39500 200 981 31 285,8

-200 20600 140 37000 190 987 31 266,1

-150 26000 160 36200 190 975 31 262,8

-100 33200 180 34100 190 1097 33 248,4

-50 42200 210 25400 160 988 31 183,5

Táboa 6. Toma de datos necesarios para calcular o plateau a través do Vdis.

(𝑉𝑑𝑖𝑠

± 0,87) 𝑚𝑉 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛) (

𝑁

𝑠)

-400 2,975 0,095 0,1257 0,0057 2,849 0,095

-350 3,25 0,10 0,1443 0,0065 3,11 0,11

-300 3,248 0,099 0,1830 0,0082 3,07 0,10

-250 3,43 0,11 0,234 0,010 3,20 0,11

-200 3,71 0,12 0,299 0,013 3,41 0,12

-150 3,71 0,12 0,379 0,017 3,33 0,12

-100 4,42 0,13 0,510 0,023 3,91 0,14

-50 5,39 0,17 0,885 0,039 4,50 0,18

Táboa 7. Datos para ter en conta as taxas fortuítas á hora de facer os cálculos variando Vdis.

Clase Frecuencia Poisson*n 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 Gauss*n 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

2 0 21 25 0,713 29 2,440

1 88 85 0,119 69 5,194 2 155 143 1,092 120 10,120

3 146 160 1,166 155 0,544

4 137 134 0,062 149 0,947

5 94 90 0,166 106 1,370

6 45 50 0,595 56 2,198

7 23 24 0,063 22 0,042

8 7 10 0,993 6 0,050

9 8 4 4,639 1 31,332

10 3 1 2,324 0 34,377

Sumas 727 11,932 88,615

Táboa 8. Datos para o primeiro test χ^2. Nel a suma da segunda columna representa n (número total de eventos), e os da 4ª e 6ª columna son as sumas dos χ^2 de Poisson e Gauss respectivamente.

Clase Frecuencia Poisson*n 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 Gauss*n 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

2 2 10 10 0,003 11 14,540

3 23 22 0,043 20 16,579

4 38 37 0,024 32 4,423

5 44 50 0,695 45 7,499

6 63 56 0,886 54 2,840 7 66 54 2,767 56 4,916

8 39 45 0,866 50 9,351

9 28 34 1,009 38 7,652

10 21 23 0,139 25 3,373

11 16 14 0,306 14 4,904

12 6 8 0,422 7 0,168

13 6 4 0,944 3 0,000

14 3 2 0,572 1 1,100

Sumas 363 8,674 77,345

Táboa 9. Datos para o segundo test χ^2. Nel a suma da segunda columna representa n (número total de eventos), e os da 4ª e 6ª columna son as sumas dos χ^2 de Poisson e Gauss respectivamente.

Clase Frecuencia Poisson*n 𝜒𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 Gauss*n 𝜒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

2 6 4 2 1,486 3 0,829

7 4 4 0,010 4 0,016 8 4 7 1,316 7 1,039

9 14 10 1,169 10 2,071

10 14 14 0,000 13 0,115

11 20 17 0,471 16 1,067

12 19 19 0,002 18 0,026

13 12 20 3,056 20 2,945

14 19 19 0,000 19 0,011

15 15 17 0,220 18 0,483

16 13 14 0,100 15 0,360

17 19 11 5,449 12 3,803

18 11 8 0,851 9 0,452

19 7 6 0,212 6 0,118

20 6 4 1,071 4 1,127

Sumas 181 15,413 14,464

Táboa 10. Datos para o terceiro test χ^2. Nel a suma da segunda columna representa n (número total de eventos), e os da 4ª e 6ª columna son as sumas dos χ^2 de Poisson e Gauss respectivamente.

𝑥 (𝑚𝑚) 𝑠(𝑥)(𝑚𝑚) 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑓 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑓) (

𝑁

𝑠)

0 0 5,92 0,24 0,0149 0,0056 5,90 0,25

1,5 0,10 6,30 0,22 0,0119 0,0054 6,29 0,22

3 0,14 5,50 0,22 0,0103 0,0054 5,49 0,22

4,5 0,17 6,42 0,27 0,0164 0,0054 6,40 0,27

6 0,20 6,06 0,24 0,0128 0,0085 6,04 0,24

7,5 0,22 5,73 0,22 0,0106 0,0052 5,72 0,22

9 0,24 5,43 0,21 0,0096 0,0053 5,42 0,21

Táboa 11. Magnitudes obtidas para a determinación do percorrido libre medio.

𝑡1 (𝑁

𝑠) 𝑠 (𝑡1 (

𝑁

𝑠)) 𝑡2 (

𝑁

𝑠) 𝑠 (𝑡2 (

𝑁

𝑠))

90,42 0,99 151,70 1,47

68,15 0,73 144,62 2,37

67,30 0,79 150,34 2,26

91,97 1,05 143,44 1,33

76,29 0,87 264,64 2,63

66,45 0,77 144,82 2,28

63,70 0,74 146,18 2,48 Anexo 1. Táboa complementaria á anterior.

𝐿𝑛(𝜙) 𝑠(𝐿𝑛(𝜙)) 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒

+ 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒 (𝑔

𝑐𝑚2)

𝑠(𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒

+ 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒) (𝑔

𝑐𝑚2)

Resultados axuste 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

1,775 0,042 0 0 𝑚 =

1

𝜆

= 0,0040(0,0035)𝑐𝑚2

𝑔

𝑛 = 1,775

1,839 0,035 1,184 0,079

1,702 0,040 2,36 0,11

1,856 0,042 3,54 0,14

1,799 0,040 4,73 0,16

1,744 0,039 5,91 0,18 1,690 0,039 7,09 0,19

Táboa 12. Datos para o axuste da determinación do percorrido libre medio atenuando con Fe.

𝐿𝑛(𝜙) 𝑠(𝐿𝑛(𝜙)) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2 Datos axuste

1,775 0,042 1,775 0,000 𝑚 =

1

𝜆

= −0,0040(0,0035)𝑐𝑚2

𝑔

𝑛 = 1,775

1,839 0,035 1,771 3,800 1,702 0,040 1,766 2,502

1,856 0,042 1,761 5,216

1,799 0,040 1,756 1,131

1,744 0,039 1,752 0,036

1,690 0,039 1,747 2,119

Sumatorio 14,805

Táboa 13. Test para o caso do Fe onde na última fila preséntase a suma das filas superiores. Na última columna están os datos do axuste precisos para levar a cabo o test.

𝑥 (𝑚𝑚) 𝑠(𝑥)(𝑚𝑚) 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛) (

𝑁

𝑠)

0 0 5,92 0,24 0,015 0,015 5,90 0,24

1,5 0,10 5,74 0,25 0,011 0,011 5,73 0,25

3 0,14 6,40 0,29 0,019 0,019 6,38 0,29

4,5 0,17 5,77 0,25 0,013 0,013 5,76 0,25

6 0,20 5,77 0,25 0,017 0,017 5,76 0,25

7,5 0,22 5,82 0,25 0,013 0,013 5,81 0,25

9 0,24 5,86 0,26 0,016 0,016 5,85 0,26

10,5 0,26 5,88 0,21 0,013 0,013 5,87 0,21

Táboa 14. Magnitudes obtidas para o Pb na determinación do percorrido libre medio.

𝑡1 (𝑁

𝑠) 𝑠 (𝑡1 (

𝑁

𝑠)) 𝑡2 (

𝑁

𝑠) 𝑠 (𝑡2 (

𝑁

𝑠))

90,42 0,99 151,7 1,5

70,91 0,90 146,1 1,8

108,4 1,2 143,7 1,0

80,34 0,96 143,8 1,6

106,4 1,1 143,0 1,1

79,85 0,98 145,3 1,6

95,3 1,1 143,0 1,3 Anexo 2. Táboa complementaria á anterior.

𝐿𝑛(𝜙) 𝑠(𝐿𝑛(𝜙)) 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒

+ 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒 (𝑔

𝑐𝑚2)

𝑠(𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒

+ 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒) (𝑔

𝑐𝑚2)

Resultados axuste 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

1,775 0,042 0 0 𝑚 =

1

𝜆

= −0,0009(0,0020)𝑐𝑚2

𝑔

𝑛 = 1,775

1,839 0,035 1,184 0,079

1,702 0,040 2,36 0,11

1,856 0,042 3,54 0,14

1,799 0,040 4,73 0,16

1,744 0,039 5,91 0,18

1,690 0,039 7,09 0,19

Táboa 15. Datos para o axuste da determinación do percorrido libre medio atenuando con Pb.

𝐿𝑛(𝜙) 𝑠(𝐿𝑛(𝜙)) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2 Datos axuste

1,775 0,041 1,775 0,000 𝑚 =

1

𝜆=

−0,0009(0,0020)𝑐𝑚2

𝑔

𝑛 = 1,775

1,745 0,043 1,769 0,300

1,854 0,045 1,762 4,226

1,751 0,043 1,755 0,010

1,750 0,044 1,748 0,002

1,759 0,044 1,741 0,170

1,766 0,044 1,735 0,525

1,769 0,036 1,728 1,295

Sumatorio 6,528

Táboa 16. Test para o caso do Pb onde na última fila preséntase a suma das filas superiores. Na última columna están os datos do axuste precisos para levar a cabo o test.

𝑥𝑃𝑏 (𝑚𝑚) 𝑠(𝑥𝑃𝑏)(𝑐𝑚) 𝑥𝐹𝑒 (𝑐𝑚) 𝑠(𝑥𝐹𝑒) (𝑚𝑚)

𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛) (

𝑁

𝑠)

5,00 0,10 0,90 0,24 5,17 0,17 0,013 0,016 5,16 0,17

5,00 0,10 1,05 0,26 4,91 0,21 0,011 0,014 4,90 0,21

5,00 0,10 1,20 0,28 4,67 0,20 0,007 0,010 4,66 0,20

5,00 0,10 1,35 0,30 4,64 0,20 0,007 0,011 4,64 0,20

5,00 0,10 1,65 0,32 5,01 0,22 0,012 0,014 5,00 0,22

10,00 0,14 1,65 0,32 4,68 0,20 0,007 0,010 4,67 0,20

10,00 0,14 1,80 0,33 5,06 0,19 0,007 0,010 5,05 0,19

10,00 0,14 1,95 0,35 5,35 0,22 0,008 0,010 5,34 0,22

10,00 0,14 2,10 0,36 4,85 0,18 0,008 0,011 4,84 0,18

10,00 0,14 2,25 0,37 4,71 0,19 0,008 0,011 4,70 0,19

10,00 0,14 2,40 0,39 5,07 0,21 0,008 0,010 5,07 0,22

15,00 0,17 2,40 0,39 4,37 0,16 0,006 0,009 4,36 0,16 15,15 0,17 2,40 0,39 4,89 0,21 0,008 0,010 4,88 0,21

15,30 0,17 2,40 0,39 5,31 0,23 0,009 0,011 5,30 0,23

15,45 0,17 2,40 0,39 4,40 0,19 0,006 0,010 4,40 0,19

15,60 0,17 2,40 0,39 4,87 0,22 0,009 0,011 4,86 0,22

Táboa 17. Magnitudes obtidas para combinación de materiais na determinación do percorrido libre medio.

𝐿𝑛(𝜙) 𝑠(𝐿𝑛(𝜙)) 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒

+ 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒 (𝑔

𝑐𝑚2)

𝑠(𝜌𝑎𝑖𝑟𝑒𝑥𝑎𝑖𝑟𝑒

+ 𝜌𝐹𝑒𝑥𝐹𝑒) (𝑔

𝑐𝑚2)

Resultados axuste 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

1,641 0,032 63,8 2,2 𝑚 =

1

𝜆

1,588 0,043 65,0 2,4 = −0,00136(0,00015)

𝑐𝑚2

𝑔

𝑛 = 1,775

1,539 0,042 66,1 2,5

1,534 0,043 67,3 2,6

1,609 0,043 69,7 2,7

1,541 0,042 126,4 3,0

1,619 0,038 127,6 3,1

1,676 0,041 128,7 3,2

1,577 0,038 129,9 3,3

1,548 0,041 131,1 3,4

1,623 0,042 132,3 3,4

1,474 0,037 189,0 3,6

1,586 0,044 190,7 3,6

1,667 0,044 192,4 3,6

1,481 0,044 194,1 3,6

1,582 0,044 195,8 3,6 Táboa 18. Datos para o axuste da determinación do percorrido libre medio atenuando con ambos

materiais.

𝐿𝑛(𝜙) 𝑠(𝐿𝑛(𝜙)) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2 Datos axuste

1,641 0,032 1,689 2,138 𝑚 =

1

𝜆=

−0,00136(0,00015)𝑐𝑚2

𝑔

𝑛 = 1,775

1,588 0,043 1,687 5,319

1,539 0,042 1,685 12,237

1,534 0,043 1,684 11,902

1,609 0,043 1,681 2,718

1,541 0,042 1,603 2,210

1,619 0,038 1,602 0,212

1,676 0,041 1,600 3,347

1,577 0,038 1,599 0,328

1,548 0,041 1,597 1,459

1,623 0,042 1,595 0,407

1,474 0,037 1,518 1,445

1,586 0,044 1,516 2,541

1,667 0,044 1,514 12,225

1,481 0,044 1,511 0,490

1,582 0,044 1,509 2,680

Sumatorio 61,660

Táboa 19. Test para o caso de ambos materiais onde na última fila preséntase a suma das filas superiores. Na última columna están os datos do axuste precisos para levar a cabo o test.

(𝜃± 0,087) 𝑟𝑎𝑑

𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛) (

𝑁

𝑠)

0,000 1,274 0,057 0,1573 0,0070 1,117 0,057

0,524 1,155 0,052 0,1805 0,0080 0,974 0,052

0,785 0,832 0,041 0,1919 0,0085 0,640 0,042

1,047 0,598 0,029 0,227 0,010 0,372 0,031

1,571 0,392 0,019 0,2179 0,0096 0,174 0,021

Táboa 20. Datos para axuste da inclinación dos contadores fronte á taxa de contaxe.

(𝜃 ± 0,087) 𝑟𝑎𝑑 𝐽 (

1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

0,000 46,2 2,4 51,018 4,257 𝑚 = 𝐽(0) = 51,0(6,8)

1

𝑚2𝑠

0,524 40,3 2,2 38,263 0,871

0,785 26,4 1,7 25,509 0,287

1,047 15,4 1,3 12,754 4,145

1,571 7,17 0,87 0,000 68,048

Sumatorio 77,608

Táboa 21. No axuste, a primeira columna é o eixo das x e a segunda o das y. A pendente da o fluxo cando os detectores están en vertical.

(𝜃 ± 0,087) 𝑟𝑎𝑑 𝐽 (

1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

0,000 46,2 2,4 47,238 0,210 𝑚 = 𝐽(0) = 40,5(2,3)

1

𝑚2𝑠

𝑏 = 6,72(0,92)1

𝑚2𝑠

0,524 40,3 2,2 37,108 2,157

0,785 26,4 1,7 26,979 0,095

1,047 15,4 1,3 16,850 1,356

1,571 7,17 0,87 6,720 0,273

Sumatorio 4,092 Táboa 22. No axuste, a primeira columna é o eixo das x e a segunda o das y. A pendente da o fluxo cando os detectores están en vertical e o parámetro independente o da cando están en horizontal.

(𝜃 ± 0,087) 𝑟𝑎𝑑 𝐽 (

1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

0,000 37,2 1,9 38,093 0,210 𝑚 = 𝐽(0) = 32,7(1,9)

1

𝑚2𝑠

𝑏 = 5,42(0,74)1

𝑚2𝑠

0,524 32,5 1,7 29,924 2,157

0,785 21,3 1,4 21,756 0,095

1,047 12,4 1,0 13,588 1,356

1,571 5,8 0,7 5,419 0,273

Sumatorio 4,092

Táboa 23. No axuste, a primeira columna é o eixo das x e a segunda o das y. A pendente da o fluxo cando os detectores están en vertical e o parámetro independente o da cando están en horizontal.

Este está feito supoñendo detectores de 30x10 cm^2.

(𝑑 ± 0,5) 𝑐𝑚 𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑎𝑧𝑎𝑟) (

𝑁

𝑠) 𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛 (

𝑁

𝑠) 𝑠(𝑡𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛) (

𝑁

𝑠)

52,5 0,698 0,041 0,00606 0,00029 0,692 0,041

42,7 0,832 0,049 0,343 0,01528 0,488 0,051

33,2 1,075 0,060 0,342 0,01527 0,733 0,062

22,7 1,303 0,074 0,316 0,01417 0,988 0,076

13,5 1,71 0,10 0,298 0,01347 1,41 0,10 4,5 3,38 0,19 0,281 0,01311 3,10 0,19

0 5,92 0,24 0,381 0,01751 5,54 0,25

Táboa 24. Taxas collidas ao variar a distancia entre detectores para determinar a eficiencia xeométrica.

(𝑑 ± 0,005) 𝑚 𝐽 (

1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

0,525 28,6 1,7 1,204 256,929 𝐴 = 0,00145(0,00093)𝑚2

𝐵 = 𝐽(0) = 229(10)1

𝑚2𝑠

0,427 20,2 2,1 1,820 76,099

0,332 30,3 2,6 3,010 111,948

0,227 40,8 3,1 6,440 121,012

0,135 58,2 4,0 18,207 99,559

0,045 128,0 7,7 163,862 21,841

0 229 10 - -

Sumatorio 687,387

Táboa 25. No axuste, a primeira columna é o eixo das x e a segunda o das y. O parámetro variábel da a eficiencia multiplicada pola distancia entre detectores ao cadrado.

(𝑑 ± 0,005) 𝑚 𝐽 (

1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

0,525 28,6 1,7 16,263 52,072 𝐴 = 0,038(0,011)𝑚2

𝐵 = 𝐽(0) = 229(10)1

𝑚2𝑠

0,427 20,2 2,1 21,665 0,490

0,332 30,3 2,6 29,948 0,018

0,227 40,8 3,1 46,126 2,872 𝐶 = 0,209(0,043)𝑚

0,135 58,2 4,0 74,134 15,858

0,045 128,0 7,7 136,090 1,110

0 229 10 201,140 7,477

Sumatorio 72,420

Táboa 26. No axuste, a primeira columna é o eixo das x e a segunda o das y. O parámetro variábel A da a eficiencia multiplicada pola distancia entre detectores ao cadrado. C simplemente é un

parámetro de “apoio” para ter un mellor axuste.

𝐽 (1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠)

𝜖(𝑑) 𝑠(𝜖(𝑑)) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

28,6 1,7 1,311 0,086 4,168 349,153 𝐴 = 𝐽(0)

= 3,180(0,092)1

𝑚2𝑠

20,2 2,1 1,823 0,083 5,797 98,389

30,3 2,6 2,771 0,086 8,809 179,055

40,8 3,1 4,96 0,18 15,758 201,058

58,2 4,0 10,24 0,21 32,557 163,891

128,0 7,7 31,62 0,43 100,532 98,417

229 10 95,52 0,15 303,696 553,050

1643,012

Táboa 27. Axuste coas eficiencias Montecarlo.

(𝑑 ± 0,005) 𝑚 𝐽 (

1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

0,525 23,1 1,4 13,114 52,084 𝐴 = 0,038(0,012)𝑚2

𝐵 = 𝐽(0) = 184,5(8,2)1

𝑚2𝑠

𝐶 = 0,209(0,043)𝑚

0,427 16,3 1,7 17,469 0,489

0,332 24,4 2,1 24,149 0,019

0,227 32,9 2,5 37,194 2,869 0,135 46,9 3,2 59,779 15,850

0,045 103,2 6,2 109,740 1,108

0 184,5 8,2 162,196 7,479

Sumatorio 72,418

Táboa 28. No axuste, a primeira columna é o eixo das x e a segunda o das y. O parámetro variábel A da a eficiencia multiplicada pola distancia entre detectores ao cadrado. C simplemente é un parámetro de “apoio” para ter un mellor axuste (caso no que os detectores sexan 10x30 cm)

𝐽 (1

𝑚2𝑠) 𝑠(𝐽) (

1

𝑚2𝑠)

𝜖(𝑑) 𝑠(𝜖(𝑑)) 𝑦(𝑥𝑖) 𝜒2

Datos do axuste

23,1 1,4 1,311 0,086 3,684 272,415 𝐴 = 𝐽(0)

= 2,392(0,067)1

𝑚2𝑠

16,3 1,7 1,823 0,083 5,654 66,509

24,4 2,1 2,771 0,086 8,527 121,652

32,9 2,5 4,96 0,18 15,828 115,937 46,9 3,2 10,24 0,21 33,116 58,955

103,2 6,2 31,62 0,43 95,304 10,146

184,5 8,2 95,52 0,15 239,195 365,658

Sumatorio 1011,273

Táboa 29. Axuste coas eficiencias Montecarlo (caso en que os detectores sexan 10x30 cm)

6. Bibliografía

1. Canavos. Probabilidad y estadística – Aplicaciones y métodos. McGraw-Hill (1994).

2. Apuntes de raios cósmicos proporcionados polo profesor.

3. S.Eidelman et al. Phys. Lett. B 592, 1(2004). En particular el capítulo titulado “cosmic

rays", y en especial el apartado 24.3, escrito por T.K. Gaisser y T. Stanev. Disponible en:

http://pdg.lbl.gov/2004/reviews/cosmicrayrpp.pdf

4. Philip R. Bevington, D. Keith Robinson. Data Reduction and error analysisi for physical

sciences. McGraw-Hill (2002).

5. H. Gould, J. Tobochnik, W. Christian. An introduction to computer simulation methods.

Applications to physical system. Pearson (2007).

6. G. F. Knoll, Radiation detection measurement, John Wiley and Sons, New York (1979).