Re Sueltos
3
1 En adelante las respectivas letras C, K, M, N denotaran las constantes de integración. 1. dy dx = sin x cos y ............................................ Solución: Se trata de una ecuación de variable separable. cos y dy = sin x dx Z cos y dy = Z sin x dx sin y =- cos x + C o bien sin y + cos x = C .................................... 2. xy dx -(x + 2)dy = 0 .................................... Solución: Ecuación de variable sepa- rable. 1 y dy = x x + 2 dx Z 1 y dy = Z x x + 2 dx (1) Como Z x x + 2 dx = x ln(x + 2)- Z ln(x + 2)dx = x ln(x + 2)-(x + 2) ln(x + 2) +(x + 2)+ M =-2 ln(x + 2)+(x + 2)+ M pues para integrar por partes f = x () 0 df = dx ; dg = 1 x + 2 R g = ln(x + 2) luego (1) resulta ln y =-2 ln(x + 2)+(x + 2)+ M + C como M y C son constantes de inte- gración podemos tomar ln(K), con K = M + C, que también es una constante de integración. Así ln y + 2 ln(x + 2)=(x + 2)+ ln K ln y(x + 2) 2 =(x + 2)+ ln K y(x + 2) 2 = e x+2 K .................................... 3. dy dx = x 2 + y - 1 .................................... Solución: No es de variable separable, entonces hacemos un cambio de varia- ble u = x 2 + y - 1 () 0 du dx = 2x + dy dx de donde dy dx = du dx - 2x reemplazando en la ecuación original du dx - 2x = u du dx - u = 2x que es una ecuación lineal, con P(x)= -1, Q(x)= 2x, cuya solución es u = e x Z e -x 2x dx + C R por partes = e x - 2xe -x - 2e -x + C =-2x - 2 + Ce x Juan Carlos Huayta S.
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1En adelante las respectivas letras C,K,M,Ndenotaran las constantes de integracin.
1.dy
dx=
sin x
cosy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Se trata de una ecuacin devariable separable.
cosydy = sin xdxcosydy =
sin xdx
siny = cos x+ C
o bien siny+ cos x = C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. xydx (x+ 2)dy = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Ecuacin de variable sepa-rable.
1
ydy =
x
x+ 2dx
1
ydy =
x
x+ 2dx (1)
Comox
x+ 2dx = x ln(x+ 2)
ln(x+ 2)dx
= x ln(x+ 2) (x+ 2) ln(x+ 2)
+ (x+ 2) +M
= 2 ln(x+ 2) + (x+ 2) +M
pues para integrar por partes
f = x() df = dx ;
dg =1
x+ 2
g = ln(x+ 2)
luego (1) resulta
lny = 2 ln(x+ 2) + (x+ 2) +M+ C
como M y C son constantes de inte-gracin podemos tomar ln(K), con K =M + C, que tambin es una constantede integracin. As
lny+ 2 ln(x+ 2) = (x+ 2) + lnK
ln[y(x+ 2)2
]= (x+ 2) + lnK
y(x+ 2)2 = ex+2K
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.dy
dx= x2 + y 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: No es de variable separable,entonces hacemos un cambio de varia-ble
u = x2 + y 1() du
dx= 2x+
dy
dx
de dondedy
dx=du
dx 2x
reemplazando en la ecuacin original
du
dx 2x = u du
dx u = 2x
que es una ecuacin lineal, con P(x) =1, Q(x) = 2x, cuya solucin es
u = ex
{ex2xdx+ C
}por partes
= ex{ 2xex 2ex + C
}= 2x 2+ Cex
Juan Carlos Huayta S.
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2pero u = x2 + y 1 luego
x2 + y 1 = 2x 2+ Cex
x2 + 2x+ 1+ y = Cex
As la solucin es (x+ 1)2 + y = Cex.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.dy
dx= sin(x+ y)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Sea u = x + y de dondedudx = 1 +
dydx luego
dudx = sinu + 1 es una
ecuacin de variable separable, donde
du
sinu+ 1= dx
du
sinu+ 1=
dx
2 sin(u/2)cos(u/2) + sin(u/2)
= x+ C
2
cos(u/2) + 1= x+ C
como u = x+ y resulta
2
cos((x+ y)/2
)+ 1
= x+ C
de donde
2 = (x+ C)(cos[x+ y
2
]+ 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. (4x+ y)dy
dx= y 2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: La ecuacin no es separabley la podemos escribir como
dy
dx=y 2x
4x+ y(2)
aplicamos el mtodo de sustitucin,sea y = xu derivando respecto a x dydx =u+ xdudx reemplazando en (2)
u+ xdu
dx=xu 2x
4x+ xu=u 2
u+ 4
de donde
xdu
dx=u 2
u+ 4 u =
(u+ 2)(u+ 1)
u+ 4
es una ecuacin de variable separable,u+ 4
(u+ 2)(u+ 1)du =
dx
x
3 ln(u+ 1) 2 ln(u+ 2) = ln x+ lnC
(u+ 1)3
(u+ 2)2=C
x
pero y = xu de donde haciendo opera-ciones
(x+ y)3 = (2x+ y)2C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. xydx (x2 + 2y2)dy = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Ahora te toca resolver staecuacin diferencial, es similar al an-terior la respuesta es
4y2 lny x2 = y2K con K = 4C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. (2x+ 3y)dx+ (y+ 2)dy = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solucin: Re escribimos la ecuacin
dy
dx=
2x+ 3y
y+ 2(3)
Juan Carlos Huayta S.
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3Debes notar que (3) no es separable,que no se puede aplicar el mtodo desustitucin, pero utilizamos el mtodode cambio de coordenadas. Sean x =u+h e y = v+k donde dx = du y dy = dv,reemplazando en (3)
dv
du=
2(u+ h) + 3(v+ k)
(v+ k) + 2
=2u+ 3v+ 2h+ 3k
v+ k+ 2(4)
resolviendo la ecuacin
2h+ 3k = 0
k+ 2 = 0
} k = 2 y h = 3
reemplazando en (4) resultadv
du=
2u+ 3v
v(5)
donde se puede aplicar el mtodo desustitucin, sea v = ut ()
dvdu = t + u
dtdu
reemplazando en (5) y haciendo opera-ciones tenemos
udt
du=
t2 + 3t+ 2
t
que es una ecuacin de variable sepa-rable, luego
t
(t+ 2)(t+ 1)dt =
du
u
2 ln(t+ 2) ln(t+ 1) = lnu+ lnC
(t+ 2)2
t+ 1=C
u
pero v = ut de donde
( vu + 2)2
vu + 1
=C
u
(v+ 2u)2
v+ u= C
adems x = u+ 3 e y = v 2 de donde
(y+ 2+ 2(x 3)
)2(y+ 2) + (x 3)
= C
(2x+ y 4)2 = (x+ y 1)C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Listo esito seria, espero te ayude
Juan Carlos Huayta S.
