Recopilacion_MAT042

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaCampus Santiago

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Recopilacion de Ayudantıas

Probabilidad y Estadıstica

MAT042

Primer Semestre de 2010

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Profesores : Francisca GonzalezEnzo Hernandez

Ayudante : Hugo Salazar Riquero

Indice

1. Ayudantıa 1 41.1. Estadıstica Descriptiva Univariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Estadıstica Descriptiva Bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Ayudantıa 2 112.1. Estadıstica Descriptiva Bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Teorıa de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Ayudantıa 3 193.1. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Extras (Cadenas de Markov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Ayudantıa 4 274.1. Ejercicios Certamen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Ayudantıa 5 335.1. Variables Aleatorias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2. Extras (Convergencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3. Anexos (Variables Aleatorias Discretas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Ayudantıa 6 456.1. Variables Aleatorias Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2. Anexos (Variables Aleatorias Continuas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Ayudantıa 7 617.1. Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2. Extras (Demostracion VAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8. Ayudantıa 8 668.1. Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2. Funcion Generadora de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9. Ayudantıa 9 779.1. Ejercicios Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.Ayudantıa 10 9010.1. Vectores aleatorios Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.2. Vectores Aleatorios Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.3. Extras, Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

11.Ayudantıa 11 10111.1. Vectores Aleatorios Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

12.Ayudantıa 12 10812.1. Estimacion Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

12.1.1. Metodo de los Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10812.1.2. Maxima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

13.Ayudantıa 13 11513.1. Intervalos de Confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.2. Test de Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

14.Ayudantıa 14 12414.1. Ejercicios Certamen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

15.Controles 13815.1. Control 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13815.2. Control 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14215.3. Control 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.Certamenes 15116.1. Certamen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15116.2. Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15816.3. Certamen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


a

1. Ayudantıa 1

1.1. Estadıstica Descriptiva Univariada

1. El promedio global de cierta asignatura es de 80. Los 60 hombres que tomaron el ramo,obtuvieron un promedio de 84, en cambio las mujeres solo consiguieron una media de 70.

a) ¿Cuantas mujeres cursaron el ramo?

b) Si las mujeres obtuvieron una desviacion de 7, y de los hombres se sabe que

1

n

n∑i=1

x2i = 7225

¿Que grupo es mas homogeneo?

Desarrollo:

a) El promedio viene dado por:

X =Xhnh +Xmnm

nh + nm

Donde:Xh: Promedio asociado a los hombres.nh: Cantidad de hombres que cursaron el ramo.Xm: Promedio asociado a las mujeres.nm: Cantidad de mujeres que cursaron el ramo.X: Promedio global de la asignatura.

80 =84 · 60 + 70 · nm

60 + nm=⇒ nm = 24

Por lo tanto 24 mujeres cursaron el ramo.

b) Se define el coeficiente de variacion (CV ) como: σX

. Por lo tanto el grupo que posea uncoeficiente de variacion mas pequeno, sera el mas homogeneo.

CVm =σm

Xm

=7

70= 0, 1

MAT042 HSR 4


Para calcular CVh, primero es necesario calcular la desviacion estandar asociada a loshombres, con la informacion dada:

S =

√√√√ 1

n

n∑i=1

x2i −X

2

h =√

7225− (84)2 = 13

CVh =σh

Xh

=13

84= 0, 155

Por lo tanto el grupo mas homogeneo es el de las mujeres.

2. Se poseen los siguientes datos de altura (en pulgadas) de una muestra de 100 alumnos

Altura 59, 5− 62, 5 62, 5− 65, 5 65, 5− 68, 5 68, 5− 71, 5 71, 5− 74, 5Frecuencia 5 18 42 27 8

a) Encuentre la altura media de los estudiantes, la moda y la mediana.

b) Calcule la varianza muestral, desviacion estandar, rango intercuartılico, clase percentil70 y coeficiente de variacion.

Desarrollo:

a) Primero se debe construir una tabla de frecuencias:

Clase MCi Lımites ni Ni fi Fi diC1 61 59, 5− 62, 5 5 5 0, 05 0, 05 −2C2 64 62, 5− 65, 5 18 23 0, 18 0, 23 −1C3 67 65, 5− 68, 5 42 65 0, 42 0, 65 0C4 70 68, 5− 71, 5 27 92 0, 27 0, 92 1C5 73 71, 5− 74, 5 8 100 0, 08 1 2

Altura media:

X = M0 +1

nI

k∑i=1

nidi = 67 +1

100· 3 · 15 = 67, 45

MAT042 HSR 5


Moda:

lm0 +∆1

∆1 + ∆2

I; con ∆1 = nm0 − n−m0y ∆2 = nm0 − n+

m0

=⇒Moda = 65, 5 + 2424+15

· 3 = 67, 35

Mediana: Fi ≥ 0, 5⇒ C3 : F3 = 0, 65Formula a usar:

lMe +n2−N−Me

nMe

I = 65, 5 +1002− 23

42· 3 = 67, 43

b) Varianza:

S2 = I2

1

n

k∑i=1

nid2i −

(1

n

k∑i=1

nidi

)2 = 32

[97

100−(

15

100

)2]

= 8, 5275

Desviacion estandar: S = 2, 92

Rango intercuartılico: RSQ = Q3−Q1

2

Q3: Clase cuantil 3, F3 ≥ 0, 75⇒ C4 : F4 = 0, 92Formula a usar:

li +ni4−N−CQnCQ

I;

con: CQ: Clase cuantil y i= Cuantil

=⇒ 68, 5 +(100·3

4− 65)

27· 3 = 69, 61

Q1: Clase cuantil 1, F1 ≥ 0, 25⇒ C3 : F3 = 0, 65

=⇒ 65, 5 +(100·1

4− 23)

42· 3 = 65, 64

MAT042 HSR 6


Luego RSQ = 69,61−65,642

= 1, 99

Rango percentil:

P90 − P10 ⇒ Pi = li +nq100−Ni−1

niI

P90: Clase percentil 90, Fi ≥ 0, 9⇒ C4 : F4 = 0, 92

=⇒ 68, 5 +(100·90

100− 65)

27· 3 = 71, 28


=⇒ 62, 5 +(100·10

100− 5)

18· 3 = 63, 33

Luego RP = 71, 28− 63, 33 = 7, 95


=⇒ 68, 5 +(100·70

100− 65)

27· 3 = 69, 05

Coeficiente de variacion:

σ

X=

2, 92

67, 45= 0, 0433 = 4, 33 %

MAT042 HSR 7


1.2. Estadıstica Descriptiva Bivariada

1. Se clasifica a los trabajadores de un mineral en 3 categorıas, mayores de 35 anos, entre 25 y 35anos y menores a 25 anos, obteniendose la siguiente informacion respecto a su productividaden Kgs

Categorıa N Trabajadores Productividad Media Desviacion Estandar20− 25 200 40 725− 35 260 60 535− 40 300 70 4

a) Calcule la productividad media total.

b) Calcule la variabilidad de la produccion.

c) ¿Que porcentaje de la variabilidad total es explicada por la diferencia de edad entre losestratos?

d) ¿Que grupo es mas homogeneo? Justifique.

Desarrollo:

a)

X t =

3∑i=1

niP i

Totaltrabajadores=

200 · 40 + 260 · 60 + 300 · 70

40 + 60 + 70= 58, 68

b) Vintra= Variabilidad al interior de los grupos

S2intra =

3∑i=1

nis2i

Totaltrabajadores=

200 · (7)2 + 260 · (5)2 + 300 · (4)2

40 + 60 + 70= 27, 76

Vinter= Variabilidad entre los grupos

S2inter =

3∑i=1

niP2

i

Totaltrabajadores−X2

t =200 · (40)2 + 260 · (60)2 + 300 · (70)2

40 + 60 + 70−58, 682 = 143, 49

Por lo tanto la variabilidad total viene dada por S2t = S2

intra + S2inter

MAT042 HSR 8


=⇒ S2t = 27, 76 + 143, 49 = 171, 25

c)S2inter

S2t

=143, 49

171, 25= 0, 8379 = 83, 79 %

Por lo tanto la variabilidad observada, para los 760 trabajadores, se puede explicar enun 83, 79 % por la diferencia de edad entre las distintas categorias.

d)

CV1 =σ1

X1

=7

40= 0, 175

CV2 =σ2

X2

=5

60= 0, 083

CV3 =σ3

X3

=4

70= 0, 057

Por lo tanto el grupo mas homogeneo es el numero tres.

2. A continuacion se presentan los valores experimentales de la presion de cierta masa de gas ylos valores correspondientes al volumen.

Volumen [in3] 54, 3 61, 8 72, 4 88, 7 118, 6 194, 0Presion [lb/in2] 61, 2 49, 5 37, 6 28, 4 19, 2 10, 1

De acuerdo a los principios termodinamicos, deberıa existir una relacion entre las variablesde la forma PV β = C, donde β y C son constantes.

a) Encuentre dichos valores (β y C) para determinar la ecuacion anterior.

b) Estime el volumen de la masa a una presion de 5 [lb/in2].

Desarrollo:

MAT042 HSR 9


a)

PV β = C / ln(·)ln(PV β) = ln(C)

ln(|P |) + β ln(|V |) = ln(|C|)

Sean: ln(|P |) = Y , ln(|V |) = X, ln(|C|) = b, obteniendo como ecuacion:

Y + βX = b

Por lo que se hace necesario construir una nueva tabla:

V P ln(V ) ln(P )54, 3 61, 2 3, 99 4, 1161, 8 49, 5 4, 12 3, 9072, 4 37, 6 4, 28 3, 6388, 7 28, 4 4, 49 3, 35118, 6 19, 2 4, 78 2, 95194, 0 10, 1 5, 27 2, 31

Luego los datos de las dos ultimas columnas se ingresan a la calculadora en el formatode regresion lineal y se obtienen los valores para las constantes β y b, los cuales son:1, 52 y 10, 19, respectivamente.Recordar que:

ln(|C|) = b =⇒ C = e10,19

Finalmente se tiene que la ecuacion pedida es:

PV 1,52 = 26635, 5

b) Basta con reemplazar el valor dado, es decir:

PV 1,52 = 26635, 5

(5)V 1,52 = 26635, 5

V =

(26635, 5

5

) 11,52

=⇒ V = 282, 90

MAT042 HSR 10


2. Ayudantıa 2

2.1. Estadıstica Descriptiva Bivariada

1. En el prestigioso hospital de La Florida, a 50 pacientes se les administra una sustancia quese identifica con la letra C en miligramos, considerando como segunda variable la edad Emedida en anos, tal como se muestra en la siguiente tabla de contingencia:

MCE \MCC 15 20 25 30 35 ni·

20 4 2 2 830 2 6 3 1 1240 2 5 4 3 1450 2 3 6 1160 2 2 1 5

n·j 6 12 15 13 4 50

a) Calcular el promedio de cada variable.

b) Calcular Sn2C y Sn

2E.

c) Calcule el coeficiente de correlacion muestral.

d) Calcule las medias condicionales para C y E.

e) Calcule las varianzas condicionales para C y E.

f ) Analice independencia entre C y E.

Desarrollo:

Primero debemos ampliar la tabla a:

dj -2 -1 0 1 2di MCE \MCC 15 20 25 30 35 ni·

-2 20 4 2 2 8-1 30 2 6 3 1 120 40 2 5 4 3 141 50 2 3 6 112 60 2 2 1 5

n·j 6 12 15 13 4 50

MAT042 HSR 11


a)

C = MC0 +1

nIC

k∑j=1

djn·j = 25 +1

50· 5 ·

5∑j=1

djn·j = 24, 94

E = MC0 +1

nIE

k∑i=1

dini· = 40 +1

50· 10 ·

5∑i=1

dini· = 38, 6

b)

Sn2C = I2

1

n

k∑j=1

njd2j −

(1

n

k∑j=1

njdj

)2

= 52

1

50

5∑j=1

njd2j −

(1

50

5∑j=1

njdj

)2

= 52

[65

50−(−3

50

)2]

∴ Sn2C = 32, 41

Sn2E = I2

1

n

k∑i=1

nid2i −

(1

n

k∑i=1

nidi

)2

= 102

1

50

5∑i=1

nid2i −

(1

50

5∑i=1

nidi

)2

= 102

[75

50−(−7

50

)2]

∴ Sn2E = 148, 04

c) Coeficiente de correlacion muestral

ρ =cov(E,C)

sEsC

cov(E,C) =1

n

(r∑i=1

s∑j=1

nijMCiMCj

)− (E · C)

=1

50

(5∑i=1

5∑j=1

nijMCiMCj

)− (24, 94 · 38, 6)

=1

50· 49700− 962, 684

= 31, 316

MAT042 HSR 12


=⇒ ρ =31, 316

5, 69 · 12, 17= 0, 45

d)

XEj =1

n·j

k∑i=1

MCEinij

XE1 =1

6· (20 · 4 + 30 · 2) = 23, 3

XE2 =1

12· (20 · 2 + 30 · 6 + 40 · 2 + 50 · 2) = 33, 3

XE3 = 40

XE4 = 46, 92

XE5 = 45

XCi =1

ni·

k∑j=1

MCCjnij

XC1 =1

8· (15 · 4 + 20 · 2 + 25 · 2) = 18, 75

XC2 =1

12· (15 · 2 + 20 · 6 + 25 · 3 + 30 · 1) = 21, 25

XC3 = 27, 85

XC4 = 26, 81

XC5 = 29

e)

S2nEj =

1

n·j

k∑i=1

nij(MCEi −XEj)2

S2nE1 =

1

6· (4 · (20− 23, 3)2 + 2 · (30− 23, 3)2) = 22, 2

S2nE2 =

1

12· (2 · (20− 33, 3)2 + 6 · (30− 33, 3)2 + 2 · (40− 33, 3)2 + 2 · (50− 33, 3)2) = 88, 8

S2nE3 = 146, 6

S2nE4 = 67, 45

S2nE5 = 75

MAT042 HSR 13


S2nCi =

1

ni·

k∑j=1

nij(MCEj −XEi)2

S2nC1 =

1

8· (4 · (15− 18, 75)2 + 2 · (20− 18, 75)2 + 2 · (25− 18, 75)2) = 17, 18

S2nC2 =

1

12· (2 · (15− 21, 25)2 + 6 · (20− 21, 25)2 + 3 · (25− 21, 25)2 + 1 · (30− 21, 25)2) = 17, 18

S2nC3 = 23, 98

S2nC4 = 14, 87

S2nC5 = 22

f ) Sea:

fi· =ni·n

f·j =n·jn

fij =nijn

Las variables son independientes si y solo si se cumple que:

fij = fi· · f·j

Para esto es necesario escoger un i y un j cualquiera y verificar si se cumple dichacondicion, por ejemplo tomemos i = 4 y j = 3

fij = f43 =3

50

fi· = f4· =11

50

f·j = f·3 =15

50

¿3

50=

11

50· 15

50? =⇒ 0, 06 6= 0, 66

Por lo tanto las variables E y C no son independientes.

MAT042 HSR 14


2.2. Teorıa de Probabilidades

1. Se sacan 3 bolitas de una caja, que contiene 20 verdes, 30 negras y 70 azules; si todas salende distinto color se procede a extraer una bolita de la caja 1, que contiene 40 rojas y 60blancas; si salen 2 bolitas de color verde se procede a extraer una bolita de la caja 2, quecontiene 30 rojas y 70 blancas; en caso contrario se procede a extraer una bolita de la caja3, que contiene 20 rojas y 80 blancas.

a) Determine la probabilidad que la bolita extraıda sea roja.

b) Si la bolita extraıda es blanca, ¿Cual es la probabilidad de que hubiese sido sacada dela caja 2?

Desarrollo:

a)

P(Roja) = P(R|C1) · P(C1) + P(R|C2) · P(C2) + P(R|C3) · P(C3)

= 0, 4 · P(C1) + 0, 3 · P(C2) + 0, 2 · P(C3)

Aparte:

P(C1) =

(201

)(301

)(701

)(

1203

) = 0, 149

P(C2) =

(202

)(1001

)(

1203

) = 0, 068

P(C3) = 1− P (C1)− P (C2) = 0, 783

Luego tenemos que:

= 0, 4 · 0, 149 + 0, 3 · 0, 068 + 0, 2 · 0, 783

=⇒ P(Roja) = 23, 66 %

MAT042 HSR 15


b)

P(C2|B) =P(B|C2) · P(C2)

P(B)=

0, 7 · 0, 068

0, 7634= 6, 2 %

2. En una caja con fichas rojas y blancas, se sabe hay 30 fichas rojas y el 20 % de ellas sonblancas. Se extraen simultaneamente 5 fichas. Encontrar la probabilidad de que:

a) Dos fichas sean rojas.

b) La primera y la quinta ficha sean rojas.

c) La quinta sea la primera ficha roja.

d) La quinta sea la segunda ficha roja.

Desarrollo:

Sea: 30 + 0, 2 ·X = X =⇒ X = 38 por lo que se tiene que las fichas blancas son 8.

a)

P(2 Rojas) =

(83

)(302

)(

385

) = 4, 85 %

b)

P(A) =30

38· 8

37· 7

36· 6

35· 29

34= 0, 48 %

c)

P(A) =

(84

)(

384

) · 30

34= 0, 08 %

d)

P(A) =

(83

)(301

)(

384

) · 29

34= 1, 9 %

MAT042 HSR 16


2.3. Probabilidad Condicional

1. Sea Ω un espacio muestral y P(·) una medida de probabilidad. Sean A,B,C ⊆ Ω. Determinesi la siguiente proposicion es verdadera o falsa:

Si P(A|C) ≥ P(B|C) y P(A|C) ≥ P(B|C) =⇒ P(A) ≥ P(B)

Si la proposicion es verdadera, demuestrela. Si es falsa, provea un contraejemplo. Contrae-jemplos deben incluir: el espacio muestral Ω, los eventos A,B,C y la medida de probabilidadP(·)

Desarrollo:

La proposicion es verdadera.Demostracion:

P(A|C) ≥ P(B|C) ⇒ P(A ∩ C)

P(C)≥ P(B ∩ C)

P(C)

⇒ P(A ∩ C) ≥ P(B ∩ C)

P(A|C) ≥ P(B|C) ⇒ P(A ∩ C)

P(C)≥ P(B ∩ C)

P(C)

⇒ P(A ∩ C) ≥ P(B ∩ C)

Sumando se tiene:

P(A ∩ C) + P(A ∩ C) ≥ P(B ∩ C) + P(B ∩ C)

=⇒ P(A) ≥ P(B)

Con lo anterior se completa la demostracion.

2. Al contestar una pregunta en un examen de seleccion multiple, un estudiante o sabe larespuesta o la adivina. Sea p la probabilidad de que sepa la respuesta y 1− p la probabilidadde que adivine. Suponga que un estudiante que adivina la respuesta acierta con probabilidadde 1

m, donde m es el numero de alternativas en la opcion multiple:

a) ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante haya sabido la respuesta a la preguntapuesto que su respuesta fue correcta?

b) Si una pregunta consta de 5 alternativas y un estudiante sabe la respuesta tres veces masa menudo que no. ¿Cual es la probabilidad de que ese estudiante supiera la respuesta auna pregunta que contesto correctamente?

MAT042 HSR 17


3. Ayudantıa 3

3.1. Probabilidad Condicional

1. Una Isapre clasifica a sus afiliados en tres estratos socioeconomicos: Alto, Medio, Bajo. Sesabe que la cantidad de afiliados de clase alta es igual a la de la clase media, mientras que lacantidad de afiliados de la clase alta es la tercera parte de los de clase baja. Sus estadısticasindican que el porcentaje de licencias medicas otorgadas a sus afiliados de clase alta, es eltriple de las de la clase media, por otro lado, a la clase baja se le otorga el doble de licenciasque a la clase media. El pocentaje de licencias otrogadas por la Isapre a sus afiliados, entotal, es de un 20 %. Se seleccionan dos afiliados al azar.

a) ¿Cual es la probabilidad de que ninguno este con licencia?

b) ¿Cual es la probabilidad de que uno este con licencia y el otro no este con licencia?

c) Si ambos estan con licencia, ¿Cual es la probabilidad de que sean de clase alta?

Desarrollo:

Sea:

X : cantidad de afiliados.

Clase Alta = XClase Media = XClase Baja = 3X

Total = 5X

Sea P(Xi) con i = A,M,B, probabilidad de pertenecer a clase Alta, Media o Baja

P(XA) =X

5X= 0, 2

P(XM) =X

5X= 0, 2

P(XB) =3X

5X= 0, 6

MAT042 HSR 19


Sea P(Yi) con i = A,B,C, probabilidad de obtener licenca medica en la clase i.Luego:

0, 2 · P(YA) + 0, 2 · P(YM) + 0, 6 · P(YB) = 0, 2

Pero sabemos que:

3P(YM) = P(YA) y P(YB) = 2P(YM)

Reemplazando tenemos:

0, 2 · 3P(YM) + 0, 2 · P(YM) + 0, 6 · 2P(YM) = 0, 2

∴ P(YM) = 0, 1 =⇒ P(YA) = 0, 3 ∧ P(YB) = 0, 2

a) Sea P(A) = Probabilidad de que uno no este con licencia =⇒ P(A)2 = Probabilidad deque ninguno de los dos este con licencia.

P(A)2 =[P(XA | Y

A

)+ P

(XM | Y

M

)+ P

(XB | Y

B

)]2

=[P(Y A | XA

)· P(XA) + P

(Y M | XM

)· P(XM) + P

(Y B | XB

)· P(XB)

]2

= [0, 7 · 0, 2 + 0, 9 · 0, 2 + 0, 8 · 0, 6]2

= [0, 8]2

∴ P(A)2 = 0, 64 (Probabilidad de que ninguno este con licencia)

b) Sea P(B) = Probabilidad de tener licencia.Por lo que la probabilidad pedida es: P(A) · P(B).Ademas:

P(B) = 1− P(A)

Por lo que se tiene:

P(A) · P(B) = P(A) · [1− P(A)]

= P(A)− P(A)2

= 0, 8− (0, 8)2

∴ P(A) · P(B) = 0, 16

Por lo tanto, la probabilidad de que uno este con licencia y el otro no es de un 16 %.

MAT042 HSR 20


c) Se nos pide calcular:

P(XA | YA)

P(B)con P(B)= Probabilidad de tener licencia

Esto se puede calcular de dos formas:

P(XA | YA)

P(B)=

P(YA | XA) · P(XA)

P (YA | XA) · P(XA) + P (YM | XM) · P(XM) + P (YB | XB) · P(XB)

o bien:

P(XA | YA)

P(B)=P(YA | XA) · P(XA)

1− P(A)

con P(A) = Probabilidad de no estar con licencia.Usando la segunda formula tenemos:

=0, 3 · 0, 21− 0, 8

∴P(XA | YA)

P(B)= 0, 3

2. Un avion lanza tres cohetes a una nave con las siguientes probabilidades de dar en el blanco:para el primer cohete 1/3 y para los siguientes cohetes, 1/2 si el anterior dio en el blanco y1/4 si el anterior no dio en el blanco. Se pide determinar la probabilidad de que al menos dostiros den en el blanco dado que el primer tiro no dio en el blanco. Suponga que: P(Ai), es laprobabilidad de dar en el blanco el tiro i y P(Bi) es la probabilidad de no dar en el blancoel tiro i, con i = 1, 2, 3.

Desarrollo:

Dado que no dio en el blanco el primer tiro, necesariamente debe acertar en los siguientesdos, por lo que la probabilidad pedida es:

P(B1 | A2 ∩ A3) =P(A3 | A2 ∩B1) · P(A2 | B1) · P(B1)

P(B1)

= P(A3 | A2 ∩B1) · P(A2 | B1)

=1

2· 1

4∴ P(B1 | A2 ∩ A3) = 0, 125

MAT042 HSR 21


3. Un inversionista estima que la probabilidad de que un proyecto sea rentable es de 0,65. Paraasegurarse contrata los servicios de dos analistas externos que evaluan el proyecto de formaindependiente. El historial del analista I permite suponer que evaluara el proyecto comorentable, cuando en realidad lo es, con probabilidad 0,9, mientras que la probabilidad de quelo evalue como rentable, cuando en realidad no lo es, es de 0,05. El historial del analista IIgarantiza que evalua como rentables proyectos que si lo sean un 85 % de las veces y evaluacomo rentables aquellos que no lo son en un 10 % de las veces.

a) Determinar la probabilidad de que ambos analistas evaluen el proyecto como rentable.

b) Si el proyecto evaluo rentable por ambos analistas, determinar la probabilidad de quesea rentable.

Desarrollo:

a) La probabilidad pedida es: P(ERAnalista 1

)· P(ERAnalista 2

)Donde:

i) ERAnalista 1 : (A) = analista 1 evaluo el proyecto como rentable

ii) ERAnalista 2 : (B) = analista 2 evaluo el proyecto como rentable

Pi(·) = Probabilidades asociadas al analista i, con i = 1, 2

P(A) · P (B) =[P1 (ER|R) · P1 (R) + P1

(ER|R

)· P1

(R)]

= ·[P2 (ER|R) · P2 (R) + P2

(ER|R

)· P2

(R)]

= [0, 9 · 0, 65 + 0, 05 · 0, 35] · [0, 85 · 0, 65 + 0, 1 · 0, 35]

= 0, 3539

∴ P (A) · P (B) = 35, 39 %

b) La probabilidad pedida es: P(R|ERAnalista 1

)· P(R|ERAnalista 2

)= P(R|ER)

Donde:

i) P(R|ERAnalista 1

)= Probabilidad de que el proyecto sea rentable dado que el

analista 1 evaluo el proyecto como rentable

MAT042 HSR 22


ii) P(R|ERAnalista 2

)= Probabilidad de que el proyecto sea rentable dado que elanalista 2 evaluo el proyecto como rentable

Pi(·) = Probabilidades asociadas al analista i, con i = 1, 2

P(R|ER) =

(P1(ER|R) · P1(R)

P1(ER)

)·(P2(ER|R) · P2(R)

P2(ER)

)=

(P1(ER|R) · P1(R) · P2(ER|R) · P2(R)

P1(ER) · P2(ER)

)=

0, 9 · 0, 65 · 0, 85 · 0, 65

0, 3539

∴ P(R|ER) = 0, 9131

3.2. Extras (Cadenas de Markov)

1. Segun el cuento en la Tierra de Oz nunca hay dos dıas consecutivos con buen tiempo. Despuesde un dıa con buen tiempo, le sigue (con igual probabilidad) un dia con lluvia o nieve. Delmismo modo, si nieva (o llueve), el dıa siguiente nevara (o llovera) con probabilidad 1/2,pero si cambia el tiempo, solo la mitad de las veces sera un lindo dıa.

a) Determine la matriz de probabilidades de transicion en una etapa que modele lasituacion descrita.

b) ¿Cual es la probabilidad que si este martes hay buen tiempo vuelva a darse nuevamentebuen tiempo el viernes?

Desarrollo:

a) Matriz de Probabilidades. Sea:

B: Buen Clima.LL: Lluvia.N : Nieve.

B → B = 0 N → N = 1/2 LL→ LL = 1/2B → LL = 1/2 N → B = 1/4 LL→ B = 1/4B → N = 1/2 N → LL = 1/4 LL→ N = 1/4

MAT042 HSR 23


Por lo tanto la matriz queda:

P =

0 1/2 1/21/4 1/2 1/41/4 1/4 1/2

b) Se tienen las siguientes posibilidades:

Martes Miercoles Jueves Viernes

LL → B

LL

B N → B

LL → B

N

N → B

La probabilidad pedida es:

=

(1

2· 1

2· 1

4

)+

(1

2· 1

4· 1

4

)+

(1

2· 1

4· 1

4

)+

(1

2· 1

2· 1

4

)=

3

16

Por lo tanto, la probabilidad de que si este martes hay buen tiempo, tambien lo hayael viernes, es de 18,75 %.

MAT042 HSR 24


2. Actualmente existen tres marcas en el mercado A, B y C, cuyas participaciones actualesson: 45 %, 35 % y 20 % respectivamente. Segun estudios anteriores, se ha logrado determinarque un individuo que consume la marca A se cambia a la marca B con una probabilidad del12 % y a C con 8 % en un mes. A su vez un individuo que consume la marca B se cambiaa la marca A con probabilidad del 14 % y a la marca C con 12 % en un mes, finalmenteun individuo que consume la marca C solo estarıa dispuesto a cambiarse con un 21 % a lasmarca A en un mes.

a) Determinar la matriz de probabilidades.

b) Determinar como sera la distribucion al cabo de dos meses.

Desarrollo:

a) Primero debemos encontrar la matriz de probabilidades de transicion en una etapa, lacual esta dada por:

A→ A = 0, 80 B → A = 0, 14 C → A = 0, 21A→ B = 0, 12 B → B = 0, 74 C → B = 0A→ C = 0, 08 B → C = 0, 12 C → C = 0, 79

Por lo tanto la matriz queda:

P =

0, 80 0, 12 0, 080, 14 0, 74 0, 120, 12 0 0, 79

b) Para este punto debemos saber que para cualquier distribucion variable en el tiempo;en el tiempo n esta sera igual a:

f (n) =(P T)

(n)f (0)

Donde:

(P T)(n)

: matriz traspuesta elevada a n.

f (0): matriz de distribucion inicial.

y sus matrices son:

MAT042 HSR 25


P T =

0, 80 0, 14 0, 210, 12 0, 74 00, 08 0, 12 0, 79

f (0) =

0, 450, 350, 20

Ahora necesitamos calcular f (2) =

(P T)(2)

f (0)

Pero primero calcularemos(P T)(2)

:

=

0, 80 0, 14 0, 210, 12 0, 74 00, 08 0, 12 0, 79

· 0, 80 0, 14 0, 21

0, 12 0, 74 00, 08 0, 12 0, 79

=

0, 6736 0, 2408 0, 33390, 1848 0, 5644 0, 02520, 1416 0, 1948 0, 6409

=⇒(P T)(2)

f (0) =

0, 6736 0, 2408 0, 33390, 1848 0, 5644 0, 02520, 1416 0, 1948 0, 6409

· 0, 45

0, 350, 20

=

0, 454180, 285740, 26008

Por lo tanto la distribucion al cabo de 2 meses sera:

A = 45, 4 %

B = 28, 5 %

C = 26, 0 %

MAT042 HSR 26


4. Ayudantıa 4

4.1. Ejercicios Certamen 1

1. Una caja contiene 4 ampolletas malas y 6 buenas. Las ampolletas se verifican sacando una alazar, se prueba y se repite el proceso hasta que se encuentran las cuatro ampolletas malas.¿Cual es la probabilidad de encontrar la cuarta ampolleta mala...

a) ... en la quinta prueba?

Desarrollo:

Sea A: Probabilidad de que en la quinta prueba se extraıga la cuarta ampolleta mala.

P (A) =

(43

)(61

)(

104

) · 1

6

=2

105∴ P (A) = 0, 019

b) ... en la decima prueba?

Desarrollo:

Sea B: Probabilidad de que en la decima prueba se extraıga la cuarta ampolleta mala.

P (B) =

(43

)(66

)(

109

) · 1

1

=2

5∴ P (B) = 0, 4

MAT042 HSR 27


2. Un estudiante lanza 10 monedas y contabiliza el numero de caras en cada experiencia. Susresultados fueron:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30 45 79 100 120 126 120 100 79 45 30

El estudiante asevera que las monedas que uso tenıan una medida de 1/2 salir cara. Deacuerdo con sus resultados y la informacion que dio el estudiante, ¿es posible asegurar queel hizo la experiencia y no invento los datos? Explique y argumente su afirmacion.

Desarrollo:

Para desarrollar este ejercicios se deben comparar las frecuencias relativas con la medidateorica. Por lo que tenemos:Numero de experiencias: 874

P(Y = k) =

(10k

)210

Probabilidad Teorica

f(k) =fk

874Medida Experimental

P(Y = 0) =

(100

)210

= 0, 00097656

f(0) =30

874= 0, 03432

P(Y = 5) =

(105

)210

= 0, 246

f(5) =126

874= 0, 14

Con esto se observa que exıste una diferencia notoria entre los valores experimentales yteoricos, por lo que el estudiante invento los datos.

MAT042 HSR 28


3. Un aeroplano ha desaparecido y se piensa que existe la misma posibilidad de que hayacaıdo en una de tres regiones. Sea 1 − α la probabilidad de que al buscar el aeroplano seaencontrado en la i−esima region, puesto que el aeroplano realmente esta en esa region, i =1, 2, 3. (A las constantes αi se le llama probabilidades de supervision porque ellas representanlas probabilidades de supervision del aeroplano; generalemente se atribuyen a condicionesgeograficas y ambientales de la region.)

a) Cual es la probabilidad que el aeroplano este en la i−esima region puesto que labusqueda en la region 1 no tuvo exito?, i = 1, 2, 3.

Desarrollo:

Sean los eventos:

Ri: El aeroplano esta en la i−esima region, i = 1, 2, 3.N1: La busqueda en la region 1 no tuvo exito.

Sabemos que:

P(N

1 | R1

)= 1− α1 ⇒ P (N1 | R1) = α1

P (N1 | R2) = 1P (N1 | R3) = 1

Ademas P (R1) = P (R2) = P (R3) = 1/3

Se pide calcular:

P (R1 | N1) =P (N1 | R1) · P (R1)

P (N1)

=P (N1 | R1) · P (R1)

P (N1 | R1) · P (R1) + P (N1 | R2) · P (R2) + P (N1 | R3) · P (R3)

=α1 · 1

3

α1 · 13

+ 1 · 13

+ 1 · 13

∴ P (R1 | N1) =α1

α1 + 2

P (R2 | N1) =P (N1 | R2) · P (R2)

P (N1)

=P (N1 | R2) · P (R2)


=1 · 1

3

α1 · 13

+ 1 · 13

+ 1 · 13

∴ P (R2 | N1) =1

α1 + 2

MAT042 HSR 29


P (R3 | N1) =P (N1 | R3) · P (R3)

P (N1)

=P (N1 | R3) · P (R3)


=1 · 1

3

α1 · 13

+ 1 · 13

+ 1 · 13

∴ P (R3 | N1) =1

α1 + 2

b) Si αi = 0, 4, calcule la probabilidad que el aeroplano no este en la region 1, puesto queno se encontro en una busqueda en esa region.

Desarrollo:

Se pide calcular P (R1 | N1), considerando α1 = 0, 4

P (R1 | N1) =0, 4

0, 4 + 2=

0, 4

2, 4=

1

6

4. Se ha nominado a tres miembros de un club privado para ocupar la presidencia del mismo.Laprobabilidad de que se elija al senor A es de 0,3; la que se haga lo propio con el senor B, de0,5, y la de que gane la senora C, de 0,2. En caso que se elija al senor A, la probabilidad de quela cuota de ingreso incremente en 0,8, si se elije al senor B o la senora C, las correspondientesprobabilidades de que haya un incremento en la cuota son de 0,1 y 0,4 respectivamente.

a) ¿Cual es la probabilidad de que haya un incremento en la cuota de membresıa?

Desarrollo:

Definamos los eventos:

A: “el senor A es elegido como presidente”.B: “el senor B es elegido como presidente”.C: “el senor C es elegido como presidente”.E: “el candidato electo incrementa la cuota”.

Para esto ultizamos probabilidades totales (equivalentemente, podemos definir un di-agrama de arbol) ya que necesitamos P(E). Del enunciado tenemos que: P(A) = 0, 3,P(B) = 0, 5, P(C) = 0, 2, P(E | A) = 0, 8, P(E | B) = 0, 1, P(E | C) = 0, 4

MAT042 HSR 30


Por lo tanto,

P(E) = P(E | A) · P(A) + P(E | B) · P(B) + P(E | C) · P(C)

= 0, 3 · 0, 8 + 0, 5 · 0, 1 + 0, 2 · 0, 4= 0, 37

b) Dado que la cuota se ha incrementado, ¿cual es el candidato con mayor probabilidadde haber sido electo presidente?¿Tenıa este candidato la mayor probabilidad de ser electo inicialmente? Comente.

Desarrollo:

Necesitamos utilizar el teorema de Bayes para calcular las probabilidades luego deaumenta la cuota. Ası,

P(A | E) =P(E | A) · P(A)

P(E)

=0, 8 · 0, 3

0, 37= 0, 65

P(B | E) =P(E | B) · P(B)

P(E)

=0, 1 · 0, 5

0, 37= 0, 14

P(C | E) =P(E | C) · P(C)

P(E)

=0, 4 · 0, 2

0, 37= 0, 21

Dado que la cuota se incrementa, el candidato con mayor probabilidad de ser electo esel senor A, aun cuando a priori sabıamos que el senor B tenıa mayor probabilidad deser electo, el aumento de la cuota resulta ser un beneficio para la candidatura del senorA.

5. Con base en varios estudios una compania ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad dedescrubrir petroleo, las formaciones gelogicas en tres tipos. La compania pretende perforarun pozo en un determinado sitio al que se le asignan probabilidades 0, 35, 0, 40 y 0, 25 paralos tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia se sabe que elpetroleo se encuentra en un 40 % de formaciones del tipo I, en un 20 % del tipo II y en un30 % de formaciones del tipo III.

MAT042 HSR 31


a) ¿Cual es la probabilidad de descubrir petroleo?

Desarrollo:

Sean:

Fi: La formacion geologica es del i−esimo tipo. i = I, II, III.D: Se descubre petroleo.

P (FI) = 0, 35 , P (FII) = 0, 4 , P (FIII) = 0, 25P (D | FI) = 0, 4 , P (D | FII) = 0, 2 , P (D | FIII) = 0, 3

Se pide:

P (D) = P (D | FI) · P (FI) + P (D | FII) · P (FII) + P (D | FIII) · P (FIII)

= 0, 4 · 0, 35 + 0, 2 · 0, 4 + 0, 3 · 0, 25

= 0, 295

b) ¿Cual es la probabilidad de descubrir petroleo y de que la formacion geologica sea deltipo I?

Desarrollo:

P (D ∩ FI) = P (D | FI )·P (FI )

= 0, 4 · 0, 35

= 0, 14

c) Si la compania no descubre petroleo en ese lugar, determine la probabilidad de queexista una formacion del tipo II.

Desarrollo:

P(FII | D

)=

P(D | FII

)· P (FII)

P(D)

=0, 8 · 0, 4

0, 705= 0, 4539

MAT042 HSR 32


5. Ayudantıa 5

5.1. Variables Aleatorias Discretas

1. Suponga que X es una variable aleatoria discreta con funcion de cuantıa:

x −2 −1 0 1 2 4f(x) 0, 1C 0, 2C 0, 6C 0, 5C 0, 4C 0, 2C

a) Determine C para que f(x) sea una distribucion de probabilidad.

b) Obtenga:

B P (x < 1),

B P (−2 < x < 2) y

B P (x ≥ 2 | x > 0)

Desarrollo:

a) Para que sea una distribucion de probabilidad se debe cumplir que:∑x∈Rec(x)

f(x) = 1 y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec(x)

Por lo que debemos calcular:

0, 1C + 0, 2C + 0, 6C + 0, 5C + 0, 4C + 0, 2C = 1 =⇒ ∴ C = 12

b) B P (x < 1) = P (x = −2) + P (x = −1) + P (x = 0) = 0, 05 + 0, 1 + 0, 3 = 0, 45B P (−2 < x < 2) = P (x = −1) + P (x = 0) + P (x = 1) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 25 = 0, 65

B P (x ≥ 2 | x > 0) =P (x = 2) + P (x = 4)

P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 4)=

0, 2 + 0, 1

0, 25 + 0, 2 + 0, 1

=0, 3

0, 55= 0, 545

MAT042 HSR 33


2. El 90 % de los arboles plantados en una campana de reforestacion sobrevive. ¿Cual es laprobabilidad de que sobrevivan 8 o mas arboles de 10 arboles que acaban de ser plantados?

Desarrollo:

Sea X: ”Arboles plantados que sobreviven”, y ademas X ∼ Bin(n = 10, p = 0, 9). Por lotanto la probabilidad pedida es:

P (X ≥ 8) =10∑x=8

(10x

)0, 9x(1− 0, 9)10−x

= 92 %

3. Se tendieron 1000 trampas para langostas, en las que se atraparon 1200 langostas. Con-siderando que el numero de langostas por trampa es una V.A.D. se pide determinar laprobabilidad que una trampa contenga dos o mas langostas.

Desarrollo:

Sea X: ”Numero de langostas por trampa ”. Y ∼ P (λ) con λ = 12001000

= 1, 2

P (X ≥ 2) = 1− P (X ≤ 1)

= 1− [P (X = 0) + P (X = 1)]

= 1−1∑

x=0

λxe−λ

x!

= 1−1∑

x=0

(1, 2)xe−1,2

x!

= 1− 0, 6626

∴ P (X ≥ 2) = 0, 337

4. En una encuesta hecha para averiguar los errores de ortografıa que cometen los estudiantesen sus apuntes, se detecto que en 500 paginas cometıan aproximadamente 1000 errores. Siconsideramos 5 paginas, encuentre la probabilidad de que en 2 o mas de ellas haya mas de 3errores en cada una.

Desarrollo:

Sea:

X: Numero de errores por pagina.X ∼ P (λ) con λ = 1000

500⇒ λ = 2

MAT042 HSR 34


P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3)

= 1−3∑

x=0

2xe−2

x!

= 1− 0, 86

= 0, 14

Sea:

Y : Numero de paginas.Y ∼ Bin(n, p) con n = 5 y p = 0, 14.

P (Y ≥ 2) = 1− P (Y < 2)

= 1−1∑y=0

(5y

)0, 14y (1− 0, 14)5−y

= 1− 0, 85

= 0, 15

∴ la probabilidad de que en 2 o mas de ellas haya mas de 3 errores en cada una es 15 %

5. El promedio de demandas en una companıa de seguros es de 3 demandas por dıa.

a) Encontrar la probabilidad que en una semana se presenten a lo menos 5 dıas, 2 o 3 o4 demandas.

b) Determinar la probabilidad que en una mes, a lo menos 15 dıas y a los mas 22 dıas, elnumero de demandas este entre 3 y 6 demandas.

Desarrollo:

a) Sea:

X: Numero de demandas por dıa.X ∼ P (λ), con λ = 3.

Se pide calcular P (2 ≤ X ≤ 4)

P (2 ≤ X ≤ 4) =4∑

x=2

3xe−3

x!

= 0, 6163

Sea:

MAT042 HSR 35


Y : Numero de dıas de la semana.Y ∼ Bin (n, p) con n = 7 y p = 0, 6163.

P (Y ≥ 5) =7∑y=5

(7y

)0, 6163y (1− 0, 6163)7−y

= 0, 4554

∴ la probabilidad que en una semana se presenten a lo menos 5 dıas, 2 o 3 o 4 demandas45, 54 %

b) Sea:

X: Numero de demandas diarias.X ∼ P (λ) con λ = 3.

P (3 < X < 6) =5∑

x=4

3xe−3

x!

= 0, 26885

Sea:

Y : Numero de dıas al mes.Y ∼ Bin (n, p) con n = 30 y p = 0, 26885

P (15 ≤ Y ≤ 22) =22∑y=15

(30y

)0, 26885y (1− 0, 26885)30−y

= 0, 00584

∴ la probabilidad que en una mes, a lo menos 15 dıas y a los mas 22 dıas, el numerode demandas este entre 3 y 6 es 0, 584 %

6. Un fabricante de automoviles compra sus motores a un proveedor que recibe estrictas es-pecificaciones de el. Cada mes recibe un lote de 40 motores. Para asegurarse de la calidadde ellos, el fabricante toma una muestra de 8 motores y acepta el lote solo si ningun motorpresenta serias faltas a la especificacion. Si existen 3 motores con falta en el lote. Calcule laprobabilidad de que el lote sea aceptado.

Desarrollo:

Sea:

MAT042 HSR 36


X: Cantidad de motores con falla.X ∼ Hip(N,M, n), con

- N = 40 (total de motores).

- M = 3 (motores con falla).

- n = 8 (muestra de motores).

P (X = 0) : Probabilidad de que el lote sea aceptado.

P (X = x) =

(3x

)(40− 38− x

)(

408

)

P (X = 0) =

(30

)(378

)(

408

)= 0, 5020

∴ la probabilidad de que el lote sea aceptado es 50, 20 %

7. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha agregado 6 tabletas de narcoticosa un frasco que contiene 9 tabletas de vitaminas que son muy similares en apariencia. Si eloficial de aduana selecciones 3 tabletas al aleatoriamente para analizar:

a) ¿Cual es la probabilidad de que todas las tabletas sean de narcoticos? y ¿Cual es laprobabilidad de que el viajero sea arrestado por posesion ilegal de narcoticos?

b) Si el viajero realiza siempre el mismo procedimiento con 6 frascos de una caja de 25frascos, y en inspeccion de aduanas se realiza, para verificacion, en todas las cajas,un muestreo de 4 frascos elegidos al azar, que se revisan completamente y luego sedevuelven a la caja. ¿Cual es la probabilidad de que el viajero sea arrestado si estepasa 25 cajas por la aduana?

Desarrollo:

a) Sea:

X: Cantidad de tabletas de narcoticos.X ∼ Hip(N,M, n) con:

MAT042 HSR 37


- N = 15 (total de tabletas).

- M = 6 (tabletas de narcoticos).

- n = 3 (tamano de la muestra).

P (X = 3) =

(63

)(15− 63− 3

)(

153

)

=

(63

)(90

)(

153

)= 0, 0439

∴ la probabilidad de que todas las tabletas sean de narcoticos es 4, 39 %

P (X ≥ 1): Probabilidad de que sea arrestado.

P (X ≥ 1) =3∑

x=1

(

6x

)(9

3− x

)(

153

)

= 0, 815

∴ la probabilidad de que el viajero sea arrestado es 81, 5 %

b) Sea:

X: Frascos de narcoticos por caja.X ∼ Hip(N,M, n) con:

- N = 25 (total de frascos).

- M = 6 (tabletas de narcoticos).

- n = 4 (tamano de la muestra).

MAT042 HSR 38


P (1 ≤ X ≤ 4): Probabilidad de que sea arrestado al pasar 25 cajas por la aduana.

P (1 ≤ X ≤ 4) =3∑

x=1

(

6x

)(19

4− x

)(

254

)

= 1− P (X = 0)

= 1−

(

60

)(194

)(

254

)

= 1− 0, 3064

= 0, 6936

Sea:

Y : Cantidad de cajas con frascos de narcoticos.Y ∼ Bin(n, p) con n = 25 y p = 0, 6936

P (X = 1): Probabilidad de ser arrestado (basta que una de las 25 cajas, sin importarel orden, contenga frascos de narcoticos)

P (X = 1) =

(251

)0, 69361 (1− 0, 6936)25−1

= 8, 12 · 10−12

∴ la probabilidad de que el viajero sea arrestado, si este pasa 25 cajas por la aduana,es 8, 12 · 10−10 %

MAT042 HSR 39


5.2. Extras (Convergencia)

1. Sea Xn una variable aleatoria con distribucion Bin (n, p). Haciendo p = λn, demuestre que la

distribucion del lımite cuando n −→∞ es P (λ), es decir:

lımn→∞

Xn = P (λ)

Desarrollo:

Xn ∼ Bin(n, p), haciendo p = λn

se tiene: Xn ∼(nk

)(λn

) (1− λ

n

)n−k. Luego:

= lımn→∞

(nk

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n−k= lım

n→∞

(nk

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n(1− λ

n

)−k

= lımn→∞

(nk

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n· lımn→∞

1−0λ

n

−k

︸︷︷︸1

= lımn→∞

n!

(n− k)! · k!· λ

k

nk

(1− λ

n

)n= lım

n→∞

n!

(n− k)! · nk· λ

k

k!

(1− λ

n

)n=

(λk

k!

)· lımn→∞

n(n− 1)(n− 2) . . . (n− (k + 1))(n− k)!

nk(n− k)!·(

1− λ

n

)n=

(λk

k!

)· lımn→∞

n(n− 1)(n− 2) . . . (n− (k + 1))

nk· (n− k)!

(n− k)!︸︷︷︸1

(1− λ

n

)n

=

(λk

k!

)· lımn→∞

n

n· n− 1

n· n− 2

n· · · n− (k + 1)

n

(1− λ

n

)n

=

(λk

k!

)· lımn→∞

1−0

1

n

︸︷︷︸

1

·

1−0

2

n

︸︷︷︸

1

· · ·

1−0k

n−0

1

n

︸︷︷︸

1

·(

1− λ

n

)n

=

(λk

k!

)· lımn→∞

(1 +

(−λ)

n

)n=

λk

k!e−λ

MAT042 HSR 40


∴ lımn→∞

Xn = P (λ)

Por lo tanto se demuestra que Xn ∼ Bin(n, p) cuando n −→ ∞ y haciendo p = λn

tienefuncion densidad de Poisson de parametro λ (Xn ∼ P (λ))

MAT042 HSR 41


5.3. Anexos (Variables Aleatorias Discretas)

Definicion: Sea X una V.A.D. se le asigna una funcion FX , F : Rec (x)→ R la cual llamaremos“funcion de cuantıa de X” si y solo si satisface:

i)FX (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec(x)

ii) ∑x∈Rec(x)

FX (x) = 1

Algunas funciones de cuantıa importantes son:

B Bernoulli:

Se define la V.A. X : Ω→ [0, 1] por:

X (ω) =

1 ; ω ∈ A0 ; ω /∈ A

FX (x) = px (1− p)1−x x ∈ 0, 1

B Binomial:

Sean X1, X2, . . . , Xn V.A. del tipo Bernoulli es decir:

Xi (ω) =

1 ; ω ∈ A0 ; ω /∈ A ∀ i = 1, 2, . . . , n

Se asume que X1, X2, . . . , Xn generan eventos independientes entre ellos, luego la V.A.:Y = X1 +X2 + . . .+Xn genera la funcion de cuantıa Binomial definida por:

FY (y) =

(ny

)py (1− p)n−y ; y ∈ 0, 1, 2, . . . , n

Demostracion de funcion de cuantıa:

i) notar que FY (y) ≥ 0 ∀y ∈ 0, 1, 2, . . . , n

ii) P.D. que: ∑y∈Rec(y)

FY (y) = 1

MAT042 HSR 42


=⇒n∑y=0

(ny

)py (1− p)n−y =

n∑y=0

(ny

)py

(1− p)y(1− p)n

= (1− p)nn∑y=0

(ny

)(p

(1− p)

)y= (1− p)n

(p

1− p+ 1

)n= (1− p)n

(p+ (1− p)

1− p

)n= (1− p)n

(1

1− p

)n= 1

∴ la funcion FY (y) es funcion de cuantıa.

B Poisson:

FX(x) =λxe−λ

x!; x ∈ 0, 1, 2, . . . , n y λ : representa un promedio

Demostracion de funcion de cuantıa:

i) notar que FX(x) ≥ 0 ∀x ∈ 0, 1, 2, . . . , nii) P.D. que: ∑

x∈Rec(x)

FX(x) = 1

=⇒n∑x=0

λxe−λ

x!= e−λ

n∑x=0

λx

x!︸︷︷︸Serie de eλ

= e−λeλ

= e(−λ+λ)

= 1

MAT042 HSR 43


B Geometrica:

Con X= Numero de intentos fracasados hasta que ocurre el primer exitoSuposiciones:

1. Cada intento es o bien un exito o un fracaso.

2. La probabilidad de exito es p para cada intento.

3. Todos los intentos son independientes.

4. La secuencia de intentos se termina despues del primer exito.

FX (x) = p (1− p)x−1 con x ∈ 1, 2, . . . , n

B BinomialNegativa:

Con X=Numero de fracasos hasta el r−esimo exitoSuposiciones:

1. Cada intento es un exito o un fracaso.

2. La probabilidad de exito es p para cada intento.

3. Todos los intentos son independientes.

4. La secuencia de intentos se termina despues del r−esimo exito.

FX(x) =

(x− 1r − 1

)pr (1− p)x−r con x ∈ r, r + 1, . . . , n

B Hipergeometrica:

Con X=Numero de exitos en una muestra de tamano nSuposiciones:

1. La muestra se toma sin reemplazo de un conjunto finito de tamano N que contieneM exitos y N −M fracasos.

FX(x) =

(Mx

)(N −Mn− x

)(Nn

) con x ∈ 0, 1, 2, . . . ,mın (n,M)

MAT042 HSR 44


6. Ayudantıa 6

6.1. Variables Aleatorias Continuas

1. Sea la funcion:

fX (x) = ke−

x2

√xI[0,∞[ (x)

Calcule la constante k para que sea funcion densidad.

Hint:1√2π

∫ t

0

e−x2

2 dx = Φ (t)− 1

2

Donde Φ es la funcion distribucion normal (0, 1)

Desarrollo:

Para encontrar k debemos calcular:∫ ∞−∞ke−

x2

√xI[0,∞[ (x) dx = 1

interceptando el recorrido de x con los lımites de la integral se tiene que:∫ ∞0

ke−

x2

√xdx = 1

Luego:

k

∫ ∞0

e−x2

√xdx = 1

∴ k =1∫ ∞

0

e−x2

√xdx

Aparte: ∫ ∞0

e−x2

√xdx = 2

√xe−

x2

∣∣x=∞x=0

+

∫ ∞0

√xe−

x2 dx

lo anterior se obtiene haciendo integracion por partes y definiendo:

u = e−x2 → du = −1

2e−

x2 dx ; dv =

1√xdx→ v = 2

√x

MAT042 HSR 45


notar que cuando x = 0 no hay problemas en ver que el termino 2√xe−

x2 = 0, pero cuan-

do x =∞ tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lımx→∞

2√xe−

x2 .

lımx→∞

2√xe−

x2 = lım

x→∞

2√x

ex2

aplicando L’H se tiene:

= lımx→∞

1√x

12ex2

= 2 lımx→∞

01√xe

x2

= 0

por lo que tenemos:∫ ∞0

√xe−

x2 dx =

∫ ∞0

ze−z2

2 2z dz ; Haciendo z =√x→ dz = dx

2√x⇒ dx = 2zdz

= 2

∫ ∞0

z2e−z2

2 dz︸︷︷︸aparte

Aparte: ∫ ∞0

z2e−z2

2 dz = −ze−z2

2

∣∣∣z=∞z=0

+

∫ ∞0

e−z2

2 dz

lo anterior se obtiene haciendo integracion por parte y definiendo:

u = z → du = dz ; dv = ze−z2

2 dz → v = −e−z2

2

notar que cuando z = 0 no hay problemas en ver que el termino −ze− z2

2 = 0, pero

cuando z =∞ tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lımz→∞−ze− z

2

2 .

lımz→∞−ze−

z2

2 = − lımz→∞

z

ez2

2

aplicando L’H se tiene:

= − lımz→∞

1

zez2

2

= (−1) lımz→∞

01

zez2

2

= 0

MAT042 HSR 46


por lo que tenemos: ∫ ∞0

e−z2

2 dz =√

2π

(1√2π

∫ ∞0

e−z2

2 dz

)︸︷︷︸

Aplicar Hint.

=√

2π

(Φ (∞)− 1

2

)=√

2π

(1− 1

2

)=

√2π

2

luego:

=⇒∫ ∞

0

√xe−

x2 dx = 2

(√2π

2

)=√

2π

Por lo que finalmente tenemos que:

k =1√2π

y la funcion queda:

fX (x) =e−

x2

√2πx

I[0,∞[ (x)

2. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto marcapasos sigue una distribucionexponencial con media 16 anos.

a) Determine la probabilidad de que a una persona, a la que se le ha implantado estemarcapasos, se le deba reimplantar otro antes de los 20 anos.

b) Si el marcapasos lleva funcionando correctamente mas de 5 anos, ¿cual es la prob-abilidad de que haya que cambiarlo antes de los 25 anos?

Desarrollo:

a) Sea:

X: Vida del marcapasos.X ∼ exp (λ) con λ = 1

E(x)⇒ λ = 1

16

MAT042 HSR 47


P (X < 20) =

∫ 20

0

1

16e−

116x dx

= −e−116x∣∣∣x=20

x=0

= −

(e−

2016 −

*1e−

016

)= 1− 1

e54

= 0, 7135

∴ P (X < 20) = 0, 7135

b) Sea:

X: Vida del marcapasos.

X ∼ exp (λ) con λ =1

E⇒ λ =

1

16

P (X < 25 | X > 5) =

∫ 25

5

1

16e−

116x dx∫ ∞

5

1

16e−

116x dx

=−e− 1

16x∣∣∣x=25

x=5

−e− 116x∣∣∣x=∞

x=5

=e−

516 − e− 25

16

e−516

= 0, 7135

∴ P (X < 25 | X > 5) = 0, 7135

3. Los procesos de falla de cada una de 10 componentes se comportan de manera prob-abilısticamente independientes y siguiendo un mismo modelo probabilıstico. Sea Xi eltiempo de falla de la i−esima componente, expresado en miles de horas. Suponga quesu densidad de probabilidad es:

fXi (x) =

0, 8e−x + 0, 4e−2x , x ≥ 0

0 , e.o.c.

para cualquier i = 1, 2, . . . , 10

a) La funcion distribucion acumulada de X3.

b) Calcule la probabilidad de que a lo mas 3 componentes fallen en 1,5 horas.

MAT042 HSR 48


Desarrollo:

a) La funcion distribucion de la variable X3 viene dada por:

FX3 (x) =

∫ X3

0

(0, 8e−x + 0, 4e−2x

)dx , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

∫ X3

0

0, 8e−x dx+

∫ X3

0

0, 4e−2x dx , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8

∫ X3

0

e−x dx+ 0, 4

∫ X3

0

e−2x dx , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8 (−e−x)|x=X3

x=0 + 0, 4(−e−2x

2

)∣∣∣x=X3

x=0, x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8

(1− e−X3

)+ 0, 4

(1−e−2X3

2

), x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8− 0, 8e−X3 + 0, 2− 0, 2e−2X3 , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

1− 0, 8e−X3 − 0, 2e−2X3 , x ≥ 0

0 , e.o.c.

∴ FX3 (x) =

1− 0, 8e−X3 − 0, 2e−2X3 , x ≥ 0

0 , e.o.c.

b) La probabilidad de que una componente cualquiera falle antes de 1.5 horas, vienedada por:

P (Xi < 1, 5) = FXi (1, 5) = 1− 0, 8e−1,5 − 0, 2e−2·1,5 = 0, 8115

Sea ahora:

Y : Numero de componentes que fallan antes de 1, 5 horas.Y ∼ Bin (10; 0, 8115).

y lo que se pide es:

P (Y ≤ 3) =3∑y=0

(10y

)0, 8115y (1− 0, 8115)10−y

= 0, 000591241

MAT042 HSR 49


∴ la probabilidad pedida es 0, 059 %

∴ P (Y ≤ 3) = 0, 059 %

4. Sea x una V.A.C. con funcion densidad:

fX (x) = 2xe−x2

I[0,∞[ (x)

a) Determinar la funcion densidad de Y = X2, donde X tiene funcion densidadfX (x).

b) Demostrar que fY (y) (encontrada en a), es funcion densidad.

c) Determinar E (y) y V (y).

Desarrollo:

a) Sea FY (y) = P (Y ≤ y), relacion entre la funcion distribucion y probabilidad, porlo que se tiene:

FY (y) = P (Y ≤ y) = P(X2 ≤ y

)= P (|X| ≤ √y)

= P (X ≤ ±√y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= P (X ≤ √y)−

:

X ∈ R+0

P (X ≤ −√y)

= FX (√y)

∴ FY (y) = FX(√

y), por lo que al derivar encontraremos la funcion densidad de

y.

dFY (y)

dy= F ′X (

√y)

1

2√y

=fX(√

y)

2√y

= 2√ye−(√y)

2

2√y

I[0,∞[ (y)

= e−yI[0,∞[ (y)

∴ fY (y) = e−yI[0,∞[ (y)

MAT042 HSR 50


b) Por demostrar que:

• fY (y) ≥ 0∀x ∈ R+0 , lo cual es obvio.

•∫ ∞−∞fX (x) dx = 1:

∫ ∞−∞e−yIR+

0(y) dy =

∫ ∞0

e−y dy = −e−y∣∣y=∞y=0

= −

(*0

e−∞ −>1

e−0

)= 1

∴ se demuestra que fY (y) es funcion densidad.

c) • E (y): se define la esperanza como sigue:

E (y) =

∫ ∞−∞yfY (y) dy

por lo que debemos calcular:∫ ∞−∞ye−yIR+

0dy =

∫ ∞0

ye−y dy

= −ye−y∣∣y=∞y=0

+

∫ ∞0

e−y dy︸︷︷︸1

(La integracion por partes realizada es: u = y → du = dy y dv = e−ydy →v = −e−y)

Es claro que cuando y = 0 se tiene que −ye−y = 0, pero cuando y = ∞ en-tonces tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lım

y→∞−ye−y

lımy→∞−ye−y = − lım

y→∞

y

eyaplicando L’H se tiene:

= − lımy→∞

0

1

ey

= 0

∴ E (y) = 1

MAT042 HSR 51


• V (y), se define la varianza como: V (y) = E (y2)−(E (y))2. Por lo que debemoscalcular E (y2).

E(y2)

=

∫ ∞0

y2e−y dy

haciendo:

u = y2 → du = 2ydy y dv = e−ydy → v = −e−y

se tiene:

= −y2e−y∣∣y=∞y=0

+ 2

∫ ∞0

ye−y dy︸︷︷︸1

notar que cuando y = 0 no hay problemas en ver que −y2e−y = 0, perocuando y = ∞ tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcularlımy→∞−y2e−y.

lımy→∞−y2e−y = − lım

y→∞

y2


= − lımy→∞

2y


= −2 lımy→∞

0

1

ey

= 0

∴ E (y2) = 2 y se tiene que V (y) = 2− (1)2

∴ V (y) = 1

5. El numero de barcos que llegan al Puerto de Valparaıso sigue un proceso de Poissoncon tasa de llegada cinco por dıa.

a) ¿Cual es la probabilidad de que transcurran mas de seis horas sin que arribeninguno?

b) Si el costo de operacion ”C” es una funcion del tiempo ocioso X (entre llegadas),donde C = 1 − e−5x, encuentre el costo medio, donde C se mide en millones depesos.

Desarrollo:

MAT042 HSR 52


a) Sea N1: cantidad de barcos que llegan al puerto de Valparaıso en un dıa.N1 ∼ P (λ · 1)⇒ λ = 5Sea X: tiempo (dıas) entre llegadas consecutivas. X ∼ exp (λ) con λ = 5

fX (x) = 5e−5xI[0,∞[ (x)

Se pide calcular P (X > 0, 25) (un dıa tiene 24 horas, por lo que si queremoscalcular la probabilidad que no lleguen barcos en mas de seis horas debemos hacer624

= 0, 25)

P (X > 0, 25) =

∫ ∞0,25

5e−5x dx

= −e−5x |x=∞x=0,25

= −(

:0e−5·∞ − e−5·0,25

)= 0, 2865

∴ P (X > 0, 25) = 28, 65 %

b) Se pide el costo medio de ”C”, es decir E (C), por lo que se tiene:

E (C) = E(1− e−5x

)=

∫ ∞0

(1− e−5x

)5e−5x dx

=

∫ ∞0

5e−5x dx︸︷︷︸1

−1

2

∫ ∞0

10e−10x dx︸︷︷︸1

= 1− 1

2

=1

2

Es decir, el costo medio es de 500000

MAT042 HSR 53


6. Demuestre que Z = X−µσ

tiene distribucion N (0, 1) si X ∼ N (µ, σ2)

Desarrollo:

Primer metodo, cambio de variable:

Sea FZ (z) = P (Z ≤ z)

P (Z ≤ z) = P(X − µσ

≤ z

)= P (X ≤ σz + µ)

= FX (σz + µ)

∴ FZ (z) = FX (σz + µ), derivando tenemos:

dFZ (z)

dz= F

′

Xσ

= fX (σz + µ)σ

=1√2πσ

e−12( (σz+µ)−µ

σ )2

σIR (z)

fZ (z) =1√2πe−

z2

2 IR (z)

∴ Z ∼ N (0, 1)

Segundo metodo, Funcion generadora de momentos:

definicion de f.g.m.

ϕX (t) = E(ext)

=

∫ ∞−∞extfX (x) dx

Funcion generadora de momentos para la funcion densidad normal (µ, σ2):

ϕX (t) = eµt+t2σ2

2

MAT042 HSR 54


Ocuparemos esta definicion para desmotrar lo pedido.

E(eZt)

= E(e(

X−µσ )t

)= E

(eXtσ−µtσ

)= E

(eXtσ

)· E(e−

µtσ

)= E

(eX( tσ )

)· E(e−

µtσ

)=

(eµ

tσ

+ t2

σ2σ2

2

)·(e−

µtσ

)= e

µtσ

+ t2

2−µtσ

= et2

2

∴ Z ∼ N (0, 1)

7. Sea x una V.A.C con funcion distribucion FX . Demostrar que Y = F X tiene funciondensidad U [0, 1]

Desarrollo:

Sea:

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (F X ≤ y)

= P (FX (X) ≤ y)

= P(F−1X (FX (X)) ≤ F−1

X (y))

= P(X ≤ F−1

X (y))

= FX(F−1X (y)

)∴ FY (y) = y

Derivando se tiene:

dFY (y)

dy= 1 =⇒ fY (y) = 1

∴ Y ∼ U [0, 1]

Nota: F debe ser creciente en [0, 1] para que exista FX(F−1X (X)

)= X

MAT042 HSR 55


6.2. Anexos (Variables Aleatorias Continuas)

Para que X sea un V.A.C. debe cumplir que:

• Su recorrido debe ser infinito no numerable.

• a) fX (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec (x)

b)

∫ ∞−∞fX (x) dx = 1

Algunas funciones de densidad importantes son:

• Uniforme: X ∼ U [a, b]

fX (x) =1

b− aI[a,b] (x)

Por Demostar:

B fX (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec (x). Es claro que fX (x) es mayor a cero ∀x ∈ Rec(x).

B∫ ∞−∞fX (x) dx = 1. Es decir:

∫ ∞−∞fX (x) dx =

∫ ∞−∞

1

b− aI[a,b] (x) dx

=

∫ b

a

1

b− adx

=x

b− a

∣∣∣∣x=b

x=a

=

1b− ab− a

= 1

Con los dos puntos anteriores se demuestra que fX(x) es funcion densidad.

MAT042 HSR 56


• Exponencial: X ∼ exp (λ)

fX (x) = λe−λxI[0,∞[ (x)

Por Demostar:



∫ ∞−∞fX (x) dx =

∫ ∞−∞λe−λxI[0,∞[ (x) dx

=

∫ ∞0

λe−λx dx

= −e−λx∣∣x=∞x=0

= −

(

:0e−λ·∞ −

*1e−λ·0

)= − (−1)

= 1

Con los dos puntos anteriores se demuestra que fX(x) es funcion densidad.

• Normal: X ∼ N (µ, σ2)

fX (x) =1√2πσ

e−12(

x−µσ )

2

IR (x)

Por Demostrar:


MAT042 HSR 57



∫ ∞−∞fX (x) dx =

∫ ∞−∞

1√2πσ

e−12(x−µσ )

2

IR (x) dx

=

∫ ∞−∞

1√2πσ

e−12(x−µσ )

2

dx Haciendo z = x−µσ→ dz = 1

σdx

=

∫ ∞−∞

1√2πe−

z2

2 dz

=1√2π

∫ ∞−∞

e−z2

2 dz︸︷︷︸Aparte

Aparte, sea: ∫ ∞−∞

e−z2

2 dz = I =⇒(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)2

= I2

Resolvamos I2:(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)2

=

(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)·(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)=

(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)·(∫ ∞−∞

e−y2

2 dy

)=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−z2

2 e−y2

2 dz dy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−z2

2− y

2

2 dz dy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−12(z2+y2) dz dy

Recordatorio cambio de variables:∫∫A

af (x, y) dA =

∫∫A′af (x (u, v) , y (u, v)) J

(x, y

u, v

)dA′

Donde:

J

(x, y

u, v

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =∂x

∂u· ∂y∂v− ∂x

∂v· ∂y∂u

Haciendo el siguiente cambio de variables:

z = r cos θ y = r sin θ con 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ r <∞

MAT042 HSR 58


y calculando:

J

(z, y

r, θ

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂z

∂r

∂z

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣= r cos2 θ −

(−r sin2 θ

)= r

(sin2 θ + cos2 θ

)= r

por lo que:∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−12(z2+y2) dz dy =

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−12 [(r cos θ)2+(r sin θ)2]r dr dθ

=

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−12 [r2(cos2 θ+sin2 θ)]r dr dθ

=

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−r2

2 r dr dθ

=

∫ 2π

0

−e−r2

2

∣∣∣∣r=∞r=0

dθ

= −∫ 2π

0

*0e−∞2

2 −>

1

e−02

2

dθ

= −∫ 2π

0

(−1) dθ

=

∫ 2π

0

dθ

= θ|2π0= 2π

∴ I2 = 2π =⇒ I =√

2π, es decir:∫ ∞−∞

1√2πσ

e−12(x−µσ )

2

IR (x) dx =1√2π

√2π

= 1

∴ se demuestra que fX(x) es funcion densidad.

MAT042 HSR 59


• Gamma:X ∼ Gamma (α, λ) conX = Tiempo que transcurre hasta la α− esima ocurrencia.

fX (x) =λα

Γ (α)xα−1e−λx si x > 0 y λ, α > 0

con

Γ (α) =

∫ ∞

0

xα−1e−x dx si α ∈ R

(α− 1) · Γ (α− 1) = (α− 1)! si α ∈ N

• Beta: X ∼ Beta (α, β)

fX (x) =Γ (α + β)

Γ (α) Γ (β)xα−1 (1− x)β−1 si x ∈ [0, 1] y α, β > 0

con

Γ (α + β) =

∫ ∞

0

x(α+β)−1e−x dx si α, β ∈ R

((α + β)− 1) · Γ ((α + β)− 1) = ((α + β)− 1)! si α, β ∈ N

Γ (α) =

∫ ∞

0

xα−1e−x dx si α ∈ R

(α− 1) · Γ (α− 1) = (α− 1)! si α ∈ N

Γ (β) =

∫ ∞

0

xβ−1e−x dx si β ∈ R

(β − 1) · Γ (β − 1) = (β − 1)! si β ∈ N

MAT042 HSR 60


7. Ayudantıa 7

7.1. Distribucion Normal

1. El peso de ninos espanoles al momento de nacer se distribuye normal, si sabemos queel peso medio en el momento de nacer es de 3,25 kg y la desviacion tıpica es de 0,82 kg¿Cual es la probabilidad de que el peso de un nino, al nacer, sea superior a 4 kg?

Desarrollo:

Sea X: Peso de los ninos espanoles al momento de nacer. X ∼ N(3, 25; 0, 822). Se pidecalcular:

P (X ≥ 4) (Probabilidad de que el peso de un nino al nacer, sea superior a 4 kg.)

Para utilizar la tabla debemos “normalizar” , es decir:

P (X ≥ 4) = P

X − µσ︸︷︷︸Z

≥ 4− µσ

= P

(Z ≥ 4− 3, 25

0, 82

)= P (Z ≥ 0, 9146)

= Φ (0, 9146)

buscando en la tabla se tiene:

∴ Φ (0, 9146) = P (Z ≥ 0, 9146) = 0, 18 (Aprox)

2. El diametro de cierto eje se distribuye N(2, 79; 0, 012) medidos en centımetros. Si lasmedidas del diametro se encuentran dentro del rango 2, 77± 0, 03 cm. entonces se diceque estan en buen estado.

a) Si se producen 1000 ejes, ¿Cuantos se esperan defectuosos?

b) ¿Que probabilidad hay de que a lo mas 2 mediciones de ejes se desvıen en mas de0,02 cm. con respecto a la media en una muestra de tamano 10?

Desarrollo:

MAT042 HSR 61


a) X: Diametro del eje. X ∼ N(2, 79; 0, 012). Notar que si:

2, 77− 0, 03 < X < 2, 77 + 0, 03

el eje estara correcto. Por lo que la probabilidad de defecto viene dada por:

P (X ≤ 2, 74) + P (X ≥ 2, 80) = P(X − 2, 79

0, 01≤ 2, 74− 2, 79

0, 01

)= +P

(X − 2, 79

0, 01≥ 2, 80− 2, 79

0, 01

)=

:0

P (Z ≤ −5) + P (Z ≥ 1)

= P (Z ≥ 1)

= Φ (1)

= 0, 1587

luego, 1000 · 0, 1587 = 158, 7.

∴ 159 ejes defectuosos

b) X: diametro de los ejes. X ∼ N(2, 79; 0, 012). Nueva especificacion:

2, 79− 0, 02 < X < 2, 79 + 0, 02

por lo que debemos calcular:

P(A) = P (X ≤ 2, 77) + P (X ≥ 2, 81) = P(X − 2, 79

0, 01≤ 2, 77− 2, 79

0, 01

)= +P

(X − 2, 79

0, 01≥ 2, 81− 2, 79

0, 01

)= P (Z ≤ −2) + P (Z ≥ 2)

= 2P (Z ≤ 2)

= 2Φ(2)

= 0, 456

∴ P(A) = 4, 56 %

MAT042 HSR 62


Sea Y : Cantidad de ejes desviados. Y ∼ Bin(n, p) con n = 10 y p = 0, 0456

P(Y ≤ 3) =2∑y=0

(10y

)0, 0456y (1− 0, 0456)10−y

= 0, 991

∴ P(Y ≤ 2) = 99, 1 %

3. Se sabe que una fabrica produce cierto tipo de ampolletas cuya vida util se distribuyenormal. Se sabe que el 6,68 % de las veces duran mas de 9200 horas y un 97,72 % delas veces duran mas de 6400 horas.

a) Encuentre los parametros de la distribucion.

b) Determinar la probabilidad de que la vida util de la ampolleta sea mayor a 9600horas.

Desarrollo:

a) Se sabe que:

P(X > 9200) = 0, 0668P(X > 6400) = 0, 9772

MAT042 HSR 63


por lo que tenemos.

=P(X > 9200) = 0,0668P(X > 6400) = 0,9772

=P(Z >

9200− µσ

)= 0,0668

P(Z >

6400− µσ

)= 0,9772

=Φ

(9200− µ

σ

)= 0,0668

Φ

(6400− µ

σ

)= 0,9772

=

(9200− µ

σ

)= Φ−1(0, 0668)(

6400− µσ

)= Φ−1(0, 9772)

=

= Notar que Φ−1(0, 0668) = 1, 5 y Φ−1(0, 9772) = −2

=

=

(9200− µ

σ

)= 1,5(

6400− µσ

)= -2

Resolviendo el sistema se tiene que:

µ = 8000 y σ = 800

∴ X ∼ N(8000, 8002)

b) Sea: Y : vida util de la ampolleta. Y ∼ N(8000, 8002)

P(Y > 9600) = P(Z >

9600− 8000

800

)= P(Z > 2)

= Φ(2)

= 0, 0228

∴ P(X > 9600) = 2, 28 %

MAT042 HSR 64


7.2. Extras (Demostracion VAD)

1. Demuestre que si X es una variable aleatoria con distribucion geometrica, entonces secumple que

P (X > n+ k | X > n) = P (X > k)

Interprete esta propiedad.

Desarrollo:

P (X > n+ k | X > n) =P (X > n+ k,X > n)

P (X > n)

=P (X > n+ k)

P (X > n)

=

∞∑x=n+k+1

p (1− p)x−1

∞∑x=n+1

p (1− p)x−1

Aparte:∞∑x=k

ax = ak + ak+1 + ak+2 + . . . (1)

a∞∑x=k

ax = ak+1 + ak+2 + ak+3 . . . (2)

Restando (1) y (2) tenemos:∞∑x=k

ax(1− a) = ak , o bien

∞∑x=k

ax =ak

1− a

volviendo a lo nuestro tenemos:

=(1− p)n+k+1

(1− p)n+1

= (1− p)k

= P (X > k)

∴ P (X > n+ k | X > n) = P (X > k)

Lo que se interpreta como que el numero de ensayos Bernoulli que ya se han realizadobuscando el primer exito no influyen en que se realicen k ensayos mas.

MAT042 HSR 65


8. Ayudantıa 8

8.1. Cambio de Variable

1. Si X se distribuye N(0, 1) determinar la funcion densidad de Y = 3X + 4

Desarrollo:

Sea:

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (3X + 4 ≤ y)

= P(X ≤ y − 4

3

)= FX

(y − 4

3

)derivando se tiene que:

dFY (y)

dy= F ′X

(y − 4

3

)· 1

3

= fX

(y − 4

3

)· 1

3

=1√2π3

e−12( y−4

3 )2

IR(y)

∴ fY (y) =1√2π3

e−12( y−4

3 )2

IR(y)

es decir, Y ∼ N(4, 32)

2. Sea X una variable aleatoria continua con funcion densidad uniforme U [1, 2]. Se definela variable Y = 20X2, encontrar E(Y ) y V(Y )

Desarrollo:

MAT042 HSR 66


• Sea:

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P(20X2 ≤ y

)= P

(X2 ≤ y

20

)= P

(| X |≤

√y

20

)= P

(−√

y

20≤ X ≤

√y

20

)

= P(X ≤

√y

20

)−

:X ∼ U [1, 2] (positivo)

P(X ≤ −

√y

20

)= P

(X ≤

√y

20

)= FX

(√y

20

)derivando tenemos:

dFY (y)

dy= F ′X

(√y

20

)· 1

2√

y20

· 1

20

=

*1

fX

(√y

20

)·√

5

20√yI[20,80](y)

∴ fY (y) =

√5

20√yI[20,80](y)

• E(Y ) =

∫ ∞−∞y

√5

20√yI[20,80](y) dy

∫ ∞−∞y

√5

20√yI[20,80](y) dy =

∫ 80

20

y

√5

20√ydy

=

√5

20

∫ 80

20

√y dy

=

√5

20

(2

3y

32

)∣∣∣∣∣y=80

y=20

=2√

5

60

(803/2 − 203/2

)=

140

3

MAT042 HSR 67


∴ E(Y ) =140

3

• V(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 Sea:

E(Y 2) =

∫ ∞−∞y2

√5

20√yI[20,80](y) dy

=

∫ 80

20

y2

√5

20√ydy

=

√5

20

∫ 80

20

y3/2 dy

=

√5

20

(2

5y5/2

)∣∣∣∣∣y=80

y=20

=2√

5

100

(805/2 − 205/2

)= 2480

∴ E(Y 2) = 2480

Por lo que la varianza sera:

V(Y ) = 2480−(

140

3

)2

∴ V(Y ) = 299, 11

3. Sea X ∼ θe−θxIR+0

(x). Se define T = Iβ(x)

T = Iβ(x) : β = X ∈ R : X ≥ k con k > 0

Encontrar E(T )

Desarrollo:

Sea:

E(T ) = E (Iβ(x)) =

∫ ∞−∞Iβ(x)θe−θxIR+

0(x) dx

=

∫ ∞k

θe−θx dx

= −e−θx∣∣x=∞x=k

= −(

:0e−θ·∞ − e−θ·k

)= e−θk

MAT042 HSR 68


∴ E(T ) =1

eθ·k

4. Una partıcula de masa m tiene velocidad aleatoria que se distribuye de forma normal,con velocidad media 0 y desviacion estandar σ. Encuentre la funcion densidad de laenergıa cinetica,

E =1

2mV 2

Desarrollo:

Sea:

FE(e) = P(E ≤ e)

= P(

1

2mV 2 ≤ e

)= P

(V 2 ≤ 2

e

m

)= P

(| V |≤

√2e

m

)= P

(−√

2e

m≤ V ≤

√2e

m

)= P

(V ≤

√2e

m

)+ P

(V ≤ −

√2e

m

)∴ FE(e) = FV

(√2e

m

)− FV

(−√

2e

m

)Derivando se tenemos que:

dFE(e)

de= F ′V

(√2e

m

)· 1

2

√2e

m

· 2

m− F ′V

(−√

2e

m

)·

−1

2

√2e

m

· 2

m

= fV

(√2e

m

)· 1√

2em+ fV

(−√

2e

m

)· 1√

2em

=1√2πσ

e−(√

2em

)21σ2 · 1√

2em+

1√2πσ

e−(−√

2em

)21σ2 · 1√

2em

=1√2πσ

e−2emσ2 · 1√

2em+

1√2πσ

e−2emσ2 · 1√

2em

=1√emπσ

e−2emσ2

MAT042 HSR 69


∴ fE(e) =1√emπσ

e−2emσ2 I]0,∞[(e)

5. Sea X una variable aleatoria continua con funcion densidad fX(x) y sea W =1

Xdemuestre que:

fW (w) =1

w2fX

(1

w

)con w ∈ R− 0

Desarrollo:

Sea:

FW (w) = P (W ≤ w)

= P(

1

X≤ w

)= P

(1

w≤ X

)= 1− P

(X ≤ 1

w

)∴ FW (w) = 1− FX

(1

w

)por lo que derivando tenemos:

dFW (w)

dw= −F ′W

(1

w

)·(− 1

w2

)= fX

(1

w

)1

w2

∴ fW (w) =1

w2fX

(1

w

)IR−0(w)

MAT042 HSR 70


8.2. Funcion Generadora de Momentos

1. Encontrar la funcion generadora de momentos de las distribuciones:

a) Poisson

b) Uniforme

c) Exponencial

Desarrollo:

a)

E(ext)

=n∑x=0

extλxe−λ

x!

= e−λn∑x=0

(etλ)x

x!

= e−λeetλ

∴ ϕX(t) = eλ(et−1)

b)

E(ext)

=

∫ b

a

ext1

b− adx

=1

b− a

(ext

t

)∣∣∣∣x=b

x=a

=1

(b− a)t

(ebt − eat

)

∴ ϕX(t) =

(ebt − eat

)(b− a)t

t 6= 0

MAT042 HSR 71


c)

E(ext) =

∫ ∞0

extλe−λx dx

= λ

∫ ∞0

ex(t−λ) dx (notar que converge solo si t < λ)

= λ

∫ ∞0

e−x(λ−t) dx

= λ

(e−x(λ−t)

−(λ− t)

)∣∣∣∣x=∞

x=0

=−λλ− t

(

:0e−∞(λ−t) −

:1e−0(λ−t)

)=

λ

λ− t

∴ ϕX(t) =λ

λ− tt < λ

2. Sea X una V.A. con funcion generadora de momentos ϕX(t), entonces si Y = aX + b,demostrar que ϕY (t) = ebtϕX(at)

Desarrollo:

Sea:

ϕY (t) = E(eY t)

= E(e(aX+b)t)

= E(eaXt · ebt)= E(ebt)E(eaXt)

= ebtE(eXat)

∴ ϕY (t) = ebtϕX(at)

3. Sea X una variable aleatoria, con funcion generadora de momentos:

ϕX(t) =1

2e−t +

1

2

Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes distribuidas de igual forma queX, encontrar E

(X)

y V(X)

Desarrollo:

MAT042 HSR 72


• Sea: X =n∑i=1

Xi

n

ϕX = E(eXt)

= E(e(∑ni=1

Xin )t)

= E

(n∏i=1

eXint

)

=n∏i=1

E(eXi

tn

)(por independencia de las variables)

=n∏i=1

(1

2e−

tn +

1

2

)∴ ϕX =

(1

2e−

tn +

1

2

)n

• E(X)

= ϕ′X

(t)∣∣t=0

, por lo que calcularemos:

ϕ′X

(t)∣∣t=0

= n

(1

2e−

tn +

1

2

)n−1(1

2e−

tn

(− 1

n

))∣∣∣∣∣t=0

= n

(1

2>

1e−

0n +

1

2

)n−1(1

2>

1e−

0n

(− 1

n

))= −1

2

∴ E(X)

= −1

2

• V(X)

= E(X

2)−[E(X)]2

E(X

2)

= ϕ′′X

(t)∣∣t=0

MAT042 HSR 73


ϕ′′X

(t)∣∣t=0

= n(n− 1)

(1

2e−

tn +

1

2

)n−2(1

2e−

tn

(− 1

n

))2∣∣∣∣∣t=0

= + n

(1

2e−

tn +

1

2

)n−1(1

2e−

tn

(1

n2

))∣∣∣∣∣t=0

= evaluando en t = 0 se tiene

= n(n− 1)

(1

4n2

)+ n

(1

2n2

)=

n2 − n+ 2n

4n2

=n+ 1

4n

Luego la varianza es:

V(X)

=n+ 1

4n−(−1

2

)2

=1

4+

1

4n− 1

4

∴ V(X)

=1

4n

MAT042 HSR 74


4. Determinar la funcion generadora de momentos de

T =n∑i=1

λXi

n

Si X1, X2, . . . , Xn son iid con distribucion exponencial.

Desarrollo:

E(eTt)

= E(e∑ni=1(

λXin )t)

= E

(n∏i=1

e(λXin )t

)

=n∏i=1

E(eXi

λtn


=n∏i=1

(λ

λ− λtn

)

=n∏i=1

(n

n− t

)=

(n

n− t

)n

∴ ϕT (t) =

(n

n− t

)n

5. Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes y distribuidas N(µ, σ2), de-mostrar que

Y =n∑i=1

Xi

n

tiene distribucion N(µ, σ

2

n

).

Desarrollo:

MAT042 HSR 75


ϕY (t) = E(eY t)

= E(e(∑ni=1

Xin )t)

= E

(n∏i=1

eXitn

)

=n∏i=1

E(eXi

tn


=n∏i=1

(eµ

tn

+σ2

2 ( tn)2)

=

(e

(µt+ t2

2σ2

n

) 1

n)n

= e

(µt+ t2

2σ2

n

)

∴ Y ∼ N

(µ,σ2

n

)

MAT042 HSR 76


9. Ayudantıa 9


1. Si Y sigue una distribucion uniforme en [0, 5], ¿Cual es la probabilidad de que ambasraıces de la ecuacion

4x2 + 4xY + Y = 0

sean reales?

Desarrollo:

La funcion densidad asociada a Y es

fY (y) =1

5I[0,5](y)

O mas rigurosamente

fY (y) =

1

5, 0 ≤ y ≤ 5

0 , en otro caso

Dado que Y es una funcion medible, definida en cierto espacio de probabiliadd Ω y convalores en R, se tiene que dado ω ∈ Ω la ecuacion queda de la forma:

4x2 + 4xY (ω) + Y (ω) = 0

La cual tiene ambas raıces reales si y solo si:

b2 − 4ac ≥ 0

Es decir:

[4Y (ω)]2 − 4 · 4Y (ω) ≥ 0

16Y (ω) [Y (ω)− 1] ≥ 0

Y (ω) [Y (ω)− 1] ≥ 0

De lo anterior definimos en Ω el suceso:

A =ω ∈ Ω : la ecuacion 4x2 + 4xY (ω) + Y (ω) = 0 tiene ambas raıces reales

es decir:

A = ω ∈ Ω : Y (ω) [Y (ω)− 1] ≥ 0= ω ∈ Ω : Y (ω) ≥ 0 ∧ Y (ω) ≥ 1 ∪ ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ 0 ∧ Y (ω) ≤ 1

MAT042 HSR 77


Notar que:

P(A) = P (ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ 0 ∧ Y (ω) ≤ 1)= P (ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ 0)

=

∫ 0

−∞fY (y) dy

= 0

(Ya que Y ∼ U [0, 5])

Por otro lado tenemos:

P(A) = P (ω ∈ Ω : Y (ω) ≥ 0 ∧ Y (ω) ≥ 1)= P (ω ∈ Ω : Y (ω) ≥ 1)

=

∫ ∞1

fY (y) dy

=

∫ ∞1

1

5I[0,5](y) dy

=

∫ 5

1

1

5dy

=4

5

∴ P(A) = 80 %

2. Con el objetivo de establecer un plan de produccion, una empresa ha estimado quela demanda aleatoria de sus potenciales clientes se comportara semanalmente, con lasiguiente funcion densidad:

fX(x) =

k (4x− 2x2) , 0 ≤ x ≤ 2

0 , en otro caso

donde x viene expresada en millones de unidades.

a) Calcular la constante k.

b) ¿Que cantidad C debera tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana,para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidad de 0,5?

Desarrollo:

MAT042 HSR 78


a)

k

∫ 2

0

(4x− 2x2

)dx = 1

k

(2x2 − 2

3x3

∣∣∣∣20

)= 1

k

(2(2)2 − 2

3(2)3

)= 1

k

(8

3

)= 1

∴ k =3

8

b) se pide: P (X ≤ C) ≥ 0, 5.

3

8

∫ C

0

(4x− 2x2

)dx ≥ 1

2(2x2 − 2

3x3

)∣∣∣∣C0

≥ 4

3

2C2 − 2

3C3 ≥ 4

36C2 − 2C3 − 4 ≥ 0

2C2 − C3 − 2 ≥ 0

⇐⇒ (C − 1)(C2 − 2C − 2

)≤ 0

de lo anterior se obtiene de forma directa que C = 1, por lo que ahora debemosresolver la ecuacion de segundo grado:

2±√

4 + 8

2=

2± 2√

3

2

= 1±√

3

notar que 1 −√

3 < 0 y 1 +√

3 > 2, por lo que ambos valores no sirven para lopedido, ya que 0 ≤ C ≤ 2.

∴ C = 1

MAT042 HSR 79


3. La confianza de un fusible electrico corresponde a la probabilidad de que un fusible,escogido al azar de una linea de produccion, funcione adecuadamente bajo condicionesde diseno. Calcule la probabilidad de obtener 27 o mas fusibles defectuosos en unamuestra de 1000 fusibles, sabiendo que la probabilidad de que un fusible elegido al azarno sea defectuoso es de 0, 98.

Desarrollo:

i) X: fusible defectuoso.

ii) X ∼ Bin (n, p), con n = 1000 y p = 1− 0, 98 = 0, 02

Se pide calcular P (X ≥ 27). Dado que n es muy grande, podemos hacer una aproxi-macion a la distribucion normal.Dicho esto, obtenemos:

µ = n · p = 1000 · 0, 02 = 20

y

σ =√n · p · (1− p) =

√1000 · 0, 02 · 0, 98 = 4, 427

P (X ≥ 27) = P(Z ≥ 27− 20

4, 427

)= P (Z ≥ 1, 58)

= 0, 0571 (por tabla)

∴ P (X ≥ 27) = 5, 71 %

4. Sea X ∼ N(µ, σ2), si µ = 0 y σ2 = 1, demuestre que Y = X2 se distribuye Γ (α, λ).Ademas identifique los parametros α y λ

Desarrollo:

sea:

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P(X2 ≤ y

)= P (| X |≤ √y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= P (X ≤ √y)− P (X ≤ −√y)

= FX (√y)− FX (−√y)

MAT042 HSR 80


derivando tenemos

dFY (y)

dy= F ′X (

√y)− F ′X (−√y)

= fX (√y)

1

2√y− fX (−√y)

(− 1

2√y

)= fX (

√y)

1

2√y

+ fX (−√y)1

2√y

=1√2πe−

12(√y)

2 1

2√y

+1√2πe−

12(−√y)

2 1

2√y

=1

2√

2πye−

y2 +

1

2√

2πye−

y2

=1√

2π√ye−

y2 IR+(y)

∴ fY (y) =1√

2π√ye−

y2 IR+(y)

funcion Gamma es de la forma:

fX (x) =λα

Γ (α)xα−1e−λx si x > 0 y λ, α > 0

por lo que escribiremos la funcion densidad de Y de dicha forma.

fY (y) =

(12

) 12

√πy

12−1e−

12yIR+(y)

∴ fY (y) =

(12

) 12

√πy

12−1e−

12yIR+(y)

con: α =1

2, λ =

1

2y Γ(α) =

√π

MAT042 HSR 81


NOTA:

Γ (α) =

∫ ∞0

tα−1e−t dt α =1

2

=

∫ ∞0

t12−1e−t dt

=

∫ ∞0

t−12 e−t dt

= haciendo: u2 = t −→ 2u du = dt

= 2

∫ ∞0

e−u2

du︸︷︷︸Aparte

Aparte, sea: ∫ ∞0

e−u2

du = I =⇒(∫ ∞

0

e−u2

du

)2

= I2

Resolvamos I2: (∫ ∞0

e−u2

du

)2

=

(∫ ∞0

e−u2

du

)·(∫ ∞

0

e−u2

du

)=

(∫ ∞0

e−u2

du

)·(∫ ∞

0

e−z2

dz

)=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−u2

e−z2

du dz

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−u2−z2 du dz

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−(u2+z2) du dz


u = r cos θ z = r sin θ con 0 ≤ θ ≤ π

2y 0 ≤ r ≤ ∞

y calculando:

J

(z, y

r, θ

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂z

∂r

∂z

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣= r cos2 θ −

(−r sin2 θ

)= r

(sin2 θ + cos2 θ

)= r

MAT042 HSR 82


por lo que: ∫ ∞0

∫ ∞0

e−(u2+z2) du dz =

∫ π2

0

∫ ∞0

e−[(r cos θ)2+(r sin θ)2]r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−[r2(cos2 θ+sin2 θ)]r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−r2

r dr dθ

=

∫ π2

0

−e−r2

2

∣∣∣∣∣r=∞

r=0

dθ

= −1

2

∫ π2

0

(*0

e−∞2 −*

1e−02

)dθ

= −1

2

∫ π2

0

(−1) dθ

=1

2

∫ π2

0

dθ

=1

2θ

∣∣∣∣π20

=π

4

∴ I2 =π

4=⇒ I =

√π

2, es decir:∫ ∞0

e−u2

du =

√π

2=⇒ Γ

(1

2

)= 2

(√π

2

)

∴ Γ

(1

2

)=√π

5. Sea X ∼ N(µ, σ2), si Y = aX+b, donde a, b ∈ R, demuestre que Y ∼ N (aµ+ b, a2σ2)

Desarrollo:

Sea FY (y) = P (Y ≤ y), sabiendo esto desarrollamos:

P (Y ≤ y) = P (aX + b ≤ y)

= P(X ≤ y − b

a

)= FX

(y − ba

)MAT042 HSR 83


derivando se tiene:

dFY (y)

dy= F ′X

(y − ba

)= fX

(y − ba

)1

a

Reemplazando en la funcion densidad de X tenemos:

=1√2πσ

e−12( (y−b)−aµ

aσ )2 1

aIR(y)

=1√

2πaσe−

12( y−(aµ+b)

aσ )2

IR(x)

∴ Y ∼ N(aµ+ b, a2σ2)

6. Un circuito transfiere corriente desde A a B mediante los nodos 1, 2, 3 y 4. Estos nodosse encuentran actualmente operativos y desde que el sistema comienza a funcionar lostiempos de vida util de cada nodo se comportan de manera independiente segun ladistribucion determinada por la siguiente funcion densidad:

f(t) =

β

α

(t

α

)β−1

exp

−(t

α

)β, si t ≥ 0 , α > 0 y β > 0

0 , en otro caso

a) Determine la funcion de distribucion de probabilidad acumulada y la funcion dedensidad del Tiempo de funcionamiento del sistema segun el siguiente circuito.

MAT042 HSR 84


Desarrollo:

Para el circuito propuesto el tiempo T de funcionamiento del sistema esta deter-minado por:

T = max T1, T2, T3, T4donde Ti (∀i = 1, 2, 3, 4) son variables aleatorias independientes e identicamentedistribuidas con funcion de densidad

f(t) =

β

α

(t

α

)β−1

exp

−(t

α

)β, si t ≥ 0 , α > 0 y β > 0

0 , en otro caso

Luego, su funcion de distribucion de probabilidad acumulada esta dada por:

F (t) =

1− exp

−(t

α

)β, si t ≥ 0

0 , t < 0

para > 0 y β > 0

Se pide la funcion de distribucion de probabilidad acumulada de T , la cual seobtiene como sigue:

FT (t) = P (T ≤ t)

= P (max Ti ≤ t) (∀i ∈ 1, 2, 3, 4)= P (T1 ≤ t, T2 ≤ t, T3 ≤ t, T4 ≤ t)

=4∏i=1

P (Ti ≤ t) (por independencia de los Ti)

=4∏i=1

FTi(t)

= [FT (t)]4

=

[1− exp

−(t

α

)β]4

∴ FT (t) =

[1− exp

−(t

α

)β]4

MAT042 HSR 85


A partir de este resultado, podemos obtener su fucion densidad, derivando:

fT (t) =d

dtFT (t)

= 4FT (t)3fT (t)

= 4

(1− exp

−(t

α

)β)3β

α

(t

α

)β−1

exp

−(t

α

)β

para t ≥ 0, α > 0, β > 0

∴ fT (t) = 4

(1− exp

−(t

α

)β)3β

α

(t

α

)β−1

exp

−(t

α

)β

b) Determine la funcion de distribucion de probabilidad acumulada y la funcion dedensidad del Tiempo de funcionamiento del sistema segun el siguiente circuito.

Desarrollo:

El tiempo T de funcionamiento del sistema esta dado por:

T = mın max T1,mın T2, T3 , T4

Se pide la funcion de distribucion de probabilidad acumulada de T , la cual se

MAT042 HSR 86


obtiene:

FT (t) = P (T ≤ t)

= P (mın max T1,mın T2, T3 , T4)= 1− P (mın max T1,mın T2, T3 , T4 > t)

= 1− P (max T1,mın T2, T3 , T4 > t)

= 1− P (max T1,mın T2, T3 > t)P (T4 > t)

= 1− [1− P (max T1,mın T2, T3 ≤ t)]P (T4 > t)

= 1− [1− P (T1 ≤ t,mın T2, T3 ≤ t)]P (T4 > t)

= 1− [1− P (T1 ≤ t)P (mın T2, T3 ≤ t)]P (T4 > t)

= 1− [1− P (T1 ≤ t) [1− P (mın T2, T3 > t)]]P (T4 > t)

= 1− [1− P (T1 ≤ t) [1− P (T2 > t, T3 > t)]]P (T4 > t)

= 1− [1− P (T1 ≤ t) [1− P (T2 > t)P (T3 > t)]]P (T4 > t)

= 1− [1− F (t) [1− (1− F (t))(1− F (t))]] (1− F (t))

= 1−[1− F (t)

[1− (1− F (t))2

]](1− F (t))

= 1−[1− F (t)(1− 1 + 2F (t)− F (t)2)

](1− F (t))

= 1−[1− 2F (t)2 + F (t)3

](1− F (t))

= 1− (1− F (t)− 2F (t)2 + 2F (t)3 + F (t)3 − F (t)4)

= F (t) + 2F (t)2 − 3F (t)3 + F (t)4

∴ FT (t) = F (t) + 2F (t)2 − 3F (t)3 + F (t)4

con

F (t) = 1− exp

−(t

α

)βderivando FT (t) se obtiene la funcion densidad del sistema:

fT (t) = f(t) + 4F (t)f(t)− 9F (t)2f(t) + 4F (t)3f(t)

∴ fT (t) =(1 + 4F (t)− 9F (t)2 + 4F (t)3

)f(t)

con t ≥ 0, α > 0, β > 0 y

F (t) = 1− exp

−(t

α

)βy

f(t) =β

α

(t

α

)β−1

exp

−(t

α

)β

MAT042 HSR 87


7. Considere una variable aleatoria Z con funcion densidad dada por:

fZ(z) =

cαβ

zβ+1, z ≥ α , β > 1 , α > 0

0 , en otro caso

a) Calcule el valor de c.

b) Calcule E(Z).

c) Sea X = ln(Z), calcule fX(x)

Desarrollo:

a) De acuerdo a la definicion de funcion densidad, tenemos:∫ ∞−∞fZ(z) dz = 1

=⇒∫ ∞α

cαβ

zβ+1= 1

=⇒ cαβ(− 1

βzβ

)∣∣∣∣∞α

= 1

=⇒ cαβ

βαβ

= 1

∴ c = β

b) Por definicion:

E(Z) =

∫ ∞−∞zfZ(z) dz

=

∫ β

α

zβαβ

zβ+1dz

=

∫ ∞α

βαβ

zβdz

= αββ

(− 1

(β − 1) zβ−1

)∣∣∣∣∞α

= 0− αββ(− 1

(β − 1)αβ−1

)=

αβ

β − 1

∴ E(Z) =αβ

β − 1

MAT042 HSR 88


c) Ocuparemos la definicion de cambio de variable:

FX(x) = P (X ≤ x)

= P (lnZ ≤ x)

= P (Z ≤ ex)

= FZ(ex)

derivando tenemos que:

d

dxFX(x) = F ′Z(ex)

= fZ(ex)ex

=βαβ

ex(β+1)ex

= βαβe−βx

∴ fX(x) = βαβe−βx I[ln(α),∞[(x)

MAT042 HSR 89


10. Ayudantıa 10

10.1. Vectores aleatorios Discretos

1. En un experimento se necesitan dos Scanners. De los cinco disponibles, dos tienendesperfectos electronicos, otro tiene un defecto de memoria y dos se hallan en buenascondiciones de operacion. Si se seleccionan dos unidades al azar, determinar:

a) La funcion de cuantıa conjunta de las variables aleatorias X e Y , en donde:

• X: Numero de unidades con defectos electronicos.

• Y : Numero de unidades con defecto de memoria.

b) Determine la probabilidad de que entre las dos unidades seleccionadas, se produz-can 0 o 1 defectos en total.

c) Determine la esperanza y la varianza condicional de X dado Y = 0.

d) ¿Son X e Y variables aleatorias independientes? ¡Justifique!.

Desarrollo:

a) Sea:

• X: Numero de unidades con defectos electronicos; x = 0, 1, 2.

• Y : Numero de unidades con un defecto en la memoria; y = 0, 1.

Se pide calcular:

∴ fXY (x, y) =

(2x

)(1y

)(2

2− x− y

)(

52

) ; x+ y ≤ 2

Y 0 1X

01

10

2

10

3

10

14

10

2

10

3

5

21

100

1

5

3

5

2

51

MAT042 HSR 90


b) Se pide calcular: fXY (0, 0) + fXY (1, 0) + fXY (0, 1) =1

10+

4

10+

2

10=

7

10

∴ P(0, 1 o 2 defectos) =7

10

c)

E (X | Y = 0) =2∑

x=0

xfX|Y=0(x, y)

=2∑

x=0

xfXY (x,0)

fY (0)

= 0 ·11035

+ 1 ·41035

+ 2 ·11035

= 0 +2

3+

1

3

∴ E (X | Y = 0) = 1

E(X2 | Y = 0

)=

2∑x=0

x2fX|Y=0(x, y)

=2∑

x=0

x2fXY (x,0)

fY (0)

= 02 ·11035

+ 12 ·41035

+ 22 ·11035

= 0 +2

3+

2

3

=4

3

finalmente la varianza sera:

V(X | Y = 0) = E(X2 | Y = 0

)− [E (X | Y = 0)]2

=4

3− (1)2

∴ V (X | Y = 0) =1

3

MAT042 HSR 91


d) Las variables no son independientes, pues:

fXY (0, 0) 6= fX(0)fY (0)

1

106= 3

10· 3

5

10.2. Vectores Aleatorios Continuos

1. Sea fXY (x, y) = kxy IR(x, y), donde:

R =

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ 2x ≤ y , y ≤ 3x ≤ 6

a) Encontrar la constante k, para que sea funcion densidad conjunta.

b) Determinar las funciones mariginales de X e Y .

c) Calcule E(X) y E(Y ).

d) Calcule V (X | Y = 1).

e) Calcule P(

1

2< x+ y < 1

).

f ) Calcule cov(X, Y ). ¿Que se puede concluir de ella?

Desarrollo:

Para tener una mejor vision de los lımites de integracion, primero, graficamos R.

MAT042 HSR 92


a) Para encontrar k, se debe cumplir que

∫∫R

fXY (x, y) dR = 1

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞kxy IR(x, y) dy dx = 1∫ 2

0

∫ 3x

2x

kxy dy dx = 1

k

∫ 2

0

(xy2

2

)∣∣∣∣3x2x

dx = 1

k

∫ 2

0

x

2

(9x2 − 4x2

)dx = 1

k

∫ 2

0

5

2x3 dx = 1

k

(5

8x4

)∣∣∣∣20

= 1

k

(5 · 16

8

)= 1

10k = 1

∴ k =1

10

b) Funcion densidad marginal de X:∫Rec(y)

fXY (x, y) dy =

∫ 3x

2x

1

10xy dy

=1

10xy2

2

∣∣∣∣y=3x

y=2x

=1

20x(9x2 − 4x2

)=

1

4x3

∴ fX(x) =1

4x3 I[0,2](x)

MAT042 HSR 93


Funcion densidad marginal de Y :∫Rec(x)

fXY (x, y) dx =

∫ y2

y3

1

10xy dx+

∫ 2

y3

1

10xy dx

=1

20yx2

∣∣∣∣x= y2

x= y3

+1

20yx2

∣∣∣∣x=2

x= y3

=1

20y

(y2

4− y2

9

)+

1

20y

(4− y2

9

)=

1

20y

(9y2 − 4y2

36

)+

1

20y

(36− y2

9

)=

1

144y3 +

1

180y(36− y2

)∴ fY (y) =

1

144y3 I[0,4](y) +

1

180y(36− y2

)I]4,6](y)

c) E(X) =

∫Rec(x)

xfX(x) dx, donde fX(x) es la funcion densidad marginal de X.

∫Rec(x)

xfX(x) dx =

∫ 2

0

x1

4x3 dx

=1

4

∫ 2

0

x4 dx

=1

4

(x5

5

)∣∣∣∣20

=1

20(2)5

∴ E(X) = 1, 6

E(Y ) =

∫Rec(y)

yfY (y) dy, donde fY (y) es la funcion densidad marginal de Y .

∫Rec(y)

yfY (y) dy =

∫ 4

0

y1

144y3 dy +

∫ 6

4

y1

180y(36− y2

)dy

=1

144

∫ 4

0

y4 dy +1

180

∫ 6

4

(36y2 − y4

)dy

=1

144

(y5

5

)∣∣∣∣40

+1

180

(12y3 − y5

5

)∣∣∣∣64

=1024

720+

[(12(6)3 − 65

5

)−(

12(4)3 − 45

5

)]= 1, 422 + 2, 631

MAT042 HSR 94


∴ E(Y ) = 4, 05

d) Se pide V (X | Y = 1), por lo que primero calcularemos fX|Y=1(x).

fX|Y=1 =fXY (x, y = 1)

fY (y = 1)

=

1

10x · (1)

1

144· (1)3 +

1

180· (1)

(36− (1)2

)=

x

10

(5 + 4 · 35

720

)=

x

10

(145

720

)=

x1450

720

=72

145x

∴ fX|Y=1(x) =72

145x I[0,2](x)

Ahora calculamos E(X | Y = 1) y E(X2 | Y = 1)

E(X | Y = 1) =

∫ 2

0

x72

145x dx

=72

145

(x3

3

)∣∣∣∣20

=576

435

E(X | Y = 1) = 1, 324

E(X2 | Y = 1) =

∫ 2

0

x2 72

145x dx

=72

145

(x4

4

)∣∣∣∣20

=1152

580

E(X2 | Y = 1) = 1, 986

MAT042 HSR 95


Finalmente tenemos que V(X | Y = 1) es:

V(X | Y = 1) = E(X2 | Y = 1)− (E(X | Y = 1))2

= 1, 986− (1, 324)2

= 1, 986− 1, 753

∴ V(X | Y = 1) = 0, 233

e) Se pide calcular P(

1

2− y < x < 1− y

), para calcular los lımites de integracion,

es mas facil graficar la region de la probabilidad pedida, es decir:

Debemos calcular los puntos de interseccion, de acuerdo al grafico:

3x =1

2− x =⇒ x =

1

8

2x =1

2− x =⇒ x =

1

6

3x = 1− x =⇒ x =1

4

MAT042 HSR 96


2x = 1− x =⇒ x =1

3

Luego:

P(

1

2− y < x < 1− y

)=

∫ 16

18

∫ 3x

12−x

xy

10dy dx+

∫ 14

16

∫ 3x

2x

xy

10dy dx+

∫ 13

14

∫ 1−x

2x

xy

10dy dx

= 0, 000402

∴ P(

1

2− y < x < 1− y

)= 0, 0402 %

f ) Se define cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), por lo que solo debemos calcularE(XY ).

E(XY ) =

∫ 2

0

∫ 3x

2x

xy1

10xy dy dx

=1

10

∫ 2

0

∫ 3x

2x

x2y2 dy dx

=1

10

∫ 2

0

x2

(y3

3

)∣∣∣∣3x2x

dx

=1

10

∫ 2

0

x2

3

(27x3 − 8x3

)dx

=19

30

∫ 2

0

x5 dx

=19

30

(x6

6

)∣∣∣∣20

=19

180· 64

E(XY ) = 6, 756

Finalmente la cov(X, Y ) esta dada por:

cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )

= 6, 756− 1, 6 · 4, 05

= 6, 756− 6, 48

∴ cov(X, Y ) = 0, 276

Por lo que se puede decir que las variables son dependientes (cov(X, Y ) 6= 0) yexiste un relacion directamente proporcional entre ellas (cov(X, Y ) > 0).

MAT042 HSR 97


10.3. Extras, Vectores

Un vector aleatorio se define como

X : Ω −→ R2

ω −→ (X(ω), Y (ω))

los sucesos seran de la forma (X, Y ) ∈ A con A ⊂ R2.

• Distribucion conjunta

a) Caso Discreto: X e Y dos variables aleatorias discretas, se define la funcion deprobabilidad conjunta de X e Y como

F (X, Y ) : R2 −→ [0, 1](X, Y ) −→ F (X, Y )

debe cumplir que:

i) F (X, Y ) ≥ 0 ∀ (x ∈ Rec(x))× (y ∈ Rec(y))

ii)∑

x∈Rec(x)

∑y∈Rec(y)

F (X, Y ) = 1

b) Caso Continuo: X e Y variables aleatorias continuas, si existe una funcion fXYno negativa e integrable tal que:

P ((X, Y ) ∈ A) =

∫∫A

fXY (x, y) dA

∀A ⊂ R2.

Dicha funcion se llama funcion densidad conjunta de X e Y , y cumple que.

i) fXY ≥ 0 ∀ (x ∈ Rec(x))× (y ∈ Rec(y))

ii)

∫ ∫︸︷︷︸

(x,y)∈Rec(x,y)

fXY (x, y) dA = 1

para este caso se tiene que:

fXY (x, y) =∂2FXY∂x∂y

MAT042 HSR 98


c) Distribuciones marginales:

i) de X:∑

y∈Rec(y)

F (X, Y ) o

∫︸︷︷︸

y∈Rec(y)

fXY (x, y) dy

ii) de Y :∑

x∈Rec(x)

F (X, Y ) o

∫︸︷︷︸

x∈Rec(x)

fXY (x, y) dx

Diremos que X e Y son independientes ssi:

fXY (x, y) = fX(x)fY (y)

d) Funciones condicionales:

i) de X dado Y

fX|Y =fXY (x, y)

fY (y)

fX|Y=a =fXY (x, a)

fY (a)

ii) de Y dado X

fY |X =fXY (x, y)

fX(x)

fY |X=a =fXY (a, y)

fX(a)

e) Esperanza condicional:

i) E (X/Y = a) =

∫ ∞−∞xfXY (x, a)

fY (a)dx

ii) E (Y/X = a) =

∫ ∞−∞yfXY (a, y)

fX(a)dy

f ) Varianza condicional:

i) V (X/Y = a) = E (X2/Y = a)− (E (X/Y = a))2

E(X2/Y = a

)=

∫ ∞−∞x2fXY (x, a)

fY (a)dx

ii) V (Y/X = a) = E (Y 2/X = a)− (E (Y/X = a))2

E(Y 2/X = a

)=

∫ ∞−∞y2fXY (a, y)

fX(a)dy

MAT042 HSR 99


g) Algunas propiedades:

i) E(X, Y ) = (E(X),E(Y ))

ii) E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )

iii) V(aX + bY ) = a2V(X) + b2V(Y ) ; ssi X e Y son independientes.

iv) V(aX+bY ) = a2V(X)+b2V(Y )−2ab cov(X, Y ) ; ssi X e Y son dependientes.y

cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )

v) E(X) =

∫ ∞−∞xf−→

X(x) dx

vi) E(Y ) =

∫ ∞−∞yf−→

X(y) dy

vii) E(XY ) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞xyf−→

X(x, y) dx dy

MAT042 HSR 100


11. Ayudantıa 11

11.1. Vectores Aleatorios Continuos

1. La variable aleatoria bidimensional (X, Y ) tiene funcion densidad conjunta:

fXY (x, y) = kx2 (8− y) 0 ≤ x ≤ 2 , x < y < 2x

se pide:

a) Funciones de densidad marginales de X e Y .

b) Funciones de densidad condicionales de X e Y .

Desarrollo:

a) Funcion densidad marginal de X:

fX (x) =

∫ 2x

x

kx2 (8− y) dy

= −kx2 (8− y)2

2

∣∣∣∣∣y=2x

y=x

= −k2x2[(8− 2x)2 − (8− x)2]

= −k2x2(64− 32x+ x2 −

(64− 16x+ x2

))= −k

2x2(64− 32x+x

2 −64 + 16x−x2)

= −k2x2 (−16x)

= 8kx3

∴ fX (x) = 8kx3 I[0,2] (x)

Funcion densidad marginal de Y :

fY (y) =

[∫ y

y2

kx2 (8− y) dx

]I[0,2] (y) +

[∫ 2

y2

kx2 (8− y)

]I[2,4] (y)

=

[k (8− y)

x3

3

∣∣∣∣x=y

x= y2

]I[0,2] (y) +

[k (8− y)

x3

3

∣∣∣∣x=2

x= y2

]I[2,4] (y)

=

[k

3(8− y)

(y3 − y3

8

)]I[0,2] (y) +

[k

3(8− y)

(8− y3

8

)]I[2,4] (y)

=7k

24(8− y) y3 I[0,2] (y) +

k

24(8− y)

(64− y3

)I[2,4] (y)

∴ fY (y) =7k

24(8− y) y3 I[0,2] (y) +

k

24(8− y)

(64− y3

)I[2,4] (y)

MAT042 HSR 101


b) Fucion densidad condicional de X:

fX|Y=y (x) =fXY (x, y)

fY (y)

=kx2 (8− y)

7k24

(8− y) y3 I[0,2] (y) + k24

(8− y) (64− y3) I[2,4] (y)

∴ fX|Y=y (x) =kx2 (8− y) I[0,2] (x)

7k24

(8− y) y3 I[0,2] (y) + k24

(8− y) (64− y3) I[2,4] (y)

Fucion densidad condicional de Y :

fY |X=x (y) =fXY (x, y)

fX (x)

=kx2 (8− y)

8kx3

=(8− y)

8x

∴ fY |X=x (y) =(8− y) I[0,4] (y)

8x I[0,2] (x)

2. La funcion de densidad de la variable aleatoria (X, Y, Z) es:

fXY Z (x, y, z) = k (xy + xz + yz) I[0,1]3 (x, y, z)

a) Calcular k.

b) Hallar las funciones de densidad marginales de X, Y y Z.

c) ¿Son variables aleatorias independendintes?

Desarrollo:

MAT042 HSR 102


a) ∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

k (xy + xz + yz) dx dy dz = 1

k

∫ 1

0

∫ 1

0

(x2

2y +

x2

2z + xyz

)∣∣∣∣x=1

x=0

dy dz = 1

k

∫ 1

0

∫ 1

0

(1

2y +

1

2z + yz

)dy dz = 1

k

∫ 1

0

(y2

4+

1

2yz +

y2

2z

)∣∣∣∣y=1

y=0

dz = 1

k

∫ 1

0

(1

4+

1

2z +

1

2z

)dz = 1

k

(1

4z +

z2

2

)∣∣∣∣10

= 1

k

(3

4

)= 1

∴ k =4

3

b) Densidad marginal de X:

fX (x) =4

3

∫ 1

0

∫ 1

0

(xy + xz + yz) dy dz

=4

3

∫ 1

0

(xy2

2+ xyz +

y2

2z

)∣∣∣∣y=1

y=0

dz

=4

3

∫ 1

0

(x2

+ xz +z

2

)dz

=4

3

(x

2z + x

z2

2+z2

4

)∣∣∣∣z=1

z=0

=4

3

(x

2+x

2+

1

4

)=

4

3

(4x+ 1

4

)

∴ fX (x) =4x+ 1

3I[0,1] (x)

MAT042 HSR 103


Densidad marginal de Y :

fY (y) =4

3

∫ 1

0

∫ 1

0

(xy + xz + yz) dx dz

=4

3

∫ 1

0

(x2

2y +

x2

2z + xyz

)∣∣∣∣x=1

x=0

dz

=4

3

∫ 1

0

(y2

+z

2+ yz

)dz

=4

3

(y

2z +

z2

4+ y

z2

2

)∣∣∣∣z=1

z=0

=4

3

(4y + 1

4

)

∴ fY (y) =4y + 1

3I[0,1] (y)

Densidad marginal de Z:

fZ (z) =4

3

∫ 1

0

∫ 1

0

(xy + xz + yz) dx dy

=4

3

∫ 1

0

(x2

2y +

x2

2z + xyz

)∣∣∣∣x=1

x=0

dy

=4

3

∫ 1

0

(y2

+z

2+ yz

)dy

=4

3

(y2

4+z

2y +

y2

2z

)∣∣∣∣y=1

y=0

=4

3

(1

4+z

2+z

2

)=

4

3

(4z + 1

4

)

∴ fZ (z) =4z + 1

3I[0,1] (z)

c) Las variables NO son independientes, pues:

4

3(xy + xz + yz) 6= 4x+ 1

3· 4y + 1

3· 4z + 1

3

MAT042 HSR 104


11.2. Cambio de variable

1. Sea−→X = (X, Y ) un vector aleatorio con funcion densidad conjunta:

f−→X

(x, y) =1

2πe−

12(x2+y2) IR2 (x, y)

determine:

a) fZ (z) si Z =X + Y

2

b) fZ (z) si Z = X2 + Y 2

Desarrollo:

a) Sea el vector−→Z = (Z,W ), con Z =

X + Y

2y definamos W = X. Por lo que

tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Z =X + Y

2W = X

Es claro que X = W y reemplazando esto en la primera se tiene que Y = 2Z−W ,es decir x (z, w) = w e y (z, w) = 2z − w, por otro lado es evidente que z ∈ R yw ∈ R. Luego, debemos calcular J (z, w)

x (z, w) = w

y (z, w) = 2z − w

J

(x, y

z, w

)=

∣∣∣∣ 0 12 −1

∣∣∣∣ = −2

Recordar que el cambio de variables se realiza de acuerdo a la siguiente formula:

fUV (u, v) = fXY (x (u, v) , y (u, v)) · |det (J (u, v)|

Por lo que la funcion densidad conjunta de−→Z viene dada por:

fZW (z, w) =1

2πe−

12(w2+(2z−w)2) |−2| IR2 (z, w)

=1

πe−

12(w2+4z2−4zw+w2) IR2 (z, w)

=1

πe−

12(2w2+4z2−4zw) IR2 (z, w)

∴ fZW (z, w) =1

πe−(w2+2z2−2zw) IR2 (z, w)

MAT042 HSR 105


Como se pide la funcion densidad de Z, debemos calcular su funcion densidadmarginal:

fZ (z) =1

π

∫ ∞−∞e−(w2+2z2−2zw) dw

=1

π

∫ ∞−∞e−(z2−2zw+w2+z2) dw

=1

π

∫ ∞−∞e−(w2−2wz+z2)−z2 dw

=1

πe−z

2

∫ −∞∞

e−(w−z)2 dw

= Seau√2

= (w − z) −→ du√2

= dw

=1

πe−z

2

∫ −∞∞

1√2e−

u2

2 du

=1√πe−z

2

∫ −∞∞

1√2πe−

u2

2 du︸︷︷︸N (0, 1)

∴ fZ (z) =1√πe−z

2

IR2 (z)

b) Al igual que el punto anterior, definamos el vector−→Z = (Z,W ), con Z = X2 +Y 2

y W = X. Por lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Z = X2 + Y 2

W = X

Nuevamente, es claro que X = W , y al reemplazar en la primera Y = ±√Z −W 2,

es decir x (z, w) = w e y (z, w) = ±√z − w2, ademas debemos encontrar el recor-

rido de Z y W . De la relacion X = W , w ∈ R y por otra parte se debe cumplir quez−w2 ≥ 0 de donde se obtiene que −

√z ≤ w ≤

√z, por lo que al intersectar am-

bos recorridos tenemos que −√z ≤ w ≤

√z. Ademas de la relacion Z = X2 + Y 2

se tiene que z ∈ R+0 . Finalmente, debemos calcular J (z, w)

x (z, w) = w

y (z, w) =√z − w2

J

(x, y

z, w

)=

∣∣∣∣∣∣0 11

2√z − w2

−w√z − w2

∣∣∣∣∣∣ = − 1

2√z − w2

y

x (z, w) = w

y (z, w) = −√z − w2

J

(x, y

z, w

)=

∣∣∣∣∣∣0 1−1

2√z − w2

w√z − w2

∣∣∣∣∣∣ =1

2√z − w2

MAT042 HSR 106


Al multiplicar la funcion densidad conjunta con el |det (J (z, w))| queda√z − w2

en el denominador por lo que z ∈ ]−√z,√z[. Luego la funcion desidad conjunta

del vector−→Z es:

fZW (z, w) =1

2πe− 1

2

(w2+(

√z−w2)

2) ∣∣∣∣− 1

2√z − w2

∣∣∣∣ IR×]−√z,√z[ (z, w)

= +1

2πe− 1

2

(w2+(−

√z−w2)

2) ∣∣∣∣ 1

2√z − w2

∣∣∣∣ IR×]−√z,√z[ (z, w)

=1

4πe−

12(w2+z−w2) 1√

z − w2IR×]−

√z,√z[ (z, w)

= +1

4πe−

12(w2+z−w2) 1√

z − w2IR×]−

√z,√z[ (z, w)

=1

2πe−

12(w2+z−w2) 1√

z − w2IR×]−

√z,√z[ (z, w)

∴ fZW (z, w) =1

2πe−

z2

1√z − w2

IR×]−√z,√z[ (z, w)

Ahora debemos calcular la funcion densidad marginal de Z:

fZ (z) =

∫ √z−√z

1

2πe−

z2

1√z − w2

dw

=1

2πe−

z2

∫ √z−√z

1√z − w2

dw

=1

2πe−

z2

[arcsin

(w√z

)]∣∣∣∣√z

−√z

=1

2πe−

z2 [arcsin (1)− arcsin (−1)]

=1

2πe−

z2

[π2−(−π

2

)]=

1

2πe−

z2 [π]

=1

2e−

z2

∴ fZ (z) =1

2e−

z2 IR+

0(z)

Es decir la funcion densidad marginal de Z es exponencial de parametro λ =1

2.

MAT042 HSR 107


12. Ayudantıa 12

12.1. Estimacion Puntual

12.1.1. Metodo de los Momentos

1. Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria independiente, proveniente de la funciondensidad:

fX (x, θ) = (1 + θ)xθ I[0,1] (x)

obtener el estimador de θ por el metodo de los momentos.

Desarrollo:

Para encontrar el estimador, debemos igualar el primer momento poblacional con elprimer momento muestral, es decir:

E (x) =n∑i=1

xin

Por lo que calcularemos:

E (x) =

∫ 1

0

x (1 + θ)xθ dx

= (1 + θ)

∫ 1

0

x(1+θ) dx

= (1 + θ)

[x(2+θ)

2 + θ

]∣∣∣∣10

=1 + θ

2 + θ

Sean∑i=1

xin

= Xn,

1 + θ

2 + θ= Xn

1 + θ = 2Xn + θXn

θ − θXn = 2Xn − 1

θ(1−Xn

)= 2Xn − 1

θ =2Xn − 1

1−Xn

∴ θ =

2n∑i=1

xin− 1

1−n∑i=1

xin

MAT042 HSR 108


Es el estimador de θ encontrado por el metodo de los momentos.

2. Sean X1, X2, . . . , Xn iid, proveniente de:

fX (x, ψ) =

e−x+ψ , x > ψ

0 , en otro caso

obtener el estimador de ψ por el metodo de los momentos.

Desarrollo:

Debemos igualar:

E (x) =n∑i=1

xin

y

E (x) =

∫ ∞ψ

xe−x+ψ dx

= −xe−x+ψ∣∣∞ψ

+

∫ ∞ψ

e−x+ψ dx︸︷︷︸1

= −ψ + 1

Sean∑i=1

xin

= Xn igualando tenemos:

−ψ + 1 = Xn

ψ = 1−Xn

∴ ψ = 1−n∑i=1

xin

Es el estimador por el metodo de los momentos para ψ.

MAT042 HSR 109


12.1.2. Maxima Verosimilitud

1. Sean X1, X2, . . . , Xn iid, proveniente de:

fX (x, φ) =

φ

(1

x

)φ+1

, x > 1, φ > 1

0 , en otro caso

obtener el estimador maximo verosımil de φ.

Desarrollo:

Primero, definimos la funcion de verosimilitud

fXi (x1, x2, . . . , xn) =n∏i=1

φ

(1

xi

)φ+1

I]1,∞[ (xi)

Luego, aplicamos logaritmo natural y obtenemos la funcion Log-Verosımil

ln fXi (x1, x2, . . . , xn) = lnn∏i=1

φ

(1

xi

)φ+1

I]1,∞[ (xi)

=n∑i=1

[lnφ

(1

xi

)φ+1

I]1,∞[ (xi)

]

=n∑i=1

[lnφ+ ln

(1

xi

)φ+1

+ ln I]1,∞[ (xi)

]

=n∑i=1

lnφ− (φ+ 1)n∑i=1

lnxi +n∑i=1

ln I]1,∞[ (xi)

= n lnφ− (φ+ 1)n∑i=1

lnxi +n∑i=1

ln I]1,∞[ (xi)

Luego derivamos con respecto al parametro e igualamos a cero,

∂L

∂φ=n

φ−

n∑i=1

lnxi = 0 =⇒ φ =n

n∑i=1

lnxi

Finalmente calculamos la segunda derivada, para ver que tipo de estremo se tiene enel punto encontrado anteriormente,

∂2L

∂φ2= − n

φ2

∣∣∣∣φ=φ

=⇒ − n

φ2< 0 ∀n ∈ N, φ ∈ R

MAT042 HSR 110


∴ φ =n

n∑i=1

lnxi

Es el estimador de Maxima Verosimilitud para φ.

2. Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblacion X con funcion densidaddada por:

fX (x, ψ) =

3ψx2e−ψx3

si x > 0, ψ > 0

0 si x ≤ 0

a) Obtener el EMV de ψ.

b) ¿Es insesgado el estimador de ψ?

c) ¿Es Consistente en Error Cuadratico Medio?

d) Calcule la cota de Cramer-Rao para ψ.

Desarrollo:

a) Funcion de verosimilitud

fXi (x1, x2, . . . , xn) =n∏i=1

3ψx2i e−ψx3

i IR+ (xi)

Funcion Log-Verosımil

ln fXi (x1, x2, . . . , xn) = lnn∏i=1

3ψx2i e−ψx3

i IR+ (xi)

=n∑i=1

ln 3ψx2i e−ψx3

i IR+ (xi)

=n∑i=1

[ln 3 + lnψ + 2 lnxi − ψx3

i + ln IR+ (xi)]

=n∑i=1

ln 3 +n∑i=1

lnψ + 2n∑i=1

lnxi − ψn∑i=1

x3i +

n∑i=1

ln IR+ (xi)

= n ln 3 + n lnψ + 2n∑i=1

lnxi − ψn∑i=1

x3i +

n∑i=1

ln IR+ (xi)

MAT042 HSR 111


Derivamos e igualamos a cero

∂L

∂ψ=n

ψ−

n∑i=1

x3i = 0 =⇒ ψ =

nn∑i=1

x3i

Calculamos la segunda derivada y vemos su signo

∂2L

∂ψ2= − n

ψ2

∣∣∣∣ψ=ψ

=⇒ − n

ψ2< 0 ∀n ∈ N, ψ ∈ R

Con lo anterior tenemos que

∴ ψ =n

n∑i=1

x3i

Es el estimador de Maxima Verosimilitud para ψ.

b) Por demostrar que E(ψ)

= ψ

E(ψ)

= E(

n∑ni=1 x

3i

)=

nn∑i=1

E(x3i

)Aparte

E(x3)

=

∫ ∞0

x33ψx2e−ψx3

dx

= −x3e−ψx3∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

3x2e−ψx3

dx

=1

ψ

∫ ∞0

3ψx2e−ψx3

dx︸︷︷︸1

=1

ψ

Reemplazando,

nn∑i=1

E(x3i

) =nn∑i=1

1

ψ

=nn

ψ= ψ

MAT042 HSR 112


∴ E(ψ)

= ψ

Por lo que el estimador es insesgado.

c) Como el estimador es insesgado, para que sea Consistente en Error CuadraticoMedio, debe cumplir que:

lımn→∞

V(ψ)

= 0

Por lo que calcularemos su varianza.

V(ψ)

= V(

n∑ni=1 x

3i

)=

n2

n∑i=1

V(x3i

)=

n2

n∑i=1

(E(x6i

)−[E(x3i

)]2)Aparte,

E(x6)

=

∫ ∞0

x63ψx2e−ψx3

dx

= −x6e−ψx3∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

6x5e−ψx3

dx

=2

ψ

∫ ∞0

x33ψx2e−ψx3

dx︸︷︷︸E(x3)

=2

ψ· 1

ψ

=2

ψ2

Reemplazando,

n2

n∑i=1

(E(x6i

)−[E(x3i

)]2) =n2

n∑i=1

(2

ψ2−[

1

ψ

]2)

=n2

n∑i=1

1

ψ2

=n2

nψ2

MAT042 HSR 113


V(ψ)

= nψ2

finalmente se tiene,lımn→∞

nψ2 =∞ 6= 0

Es decir, es estimador NO es Consistente en Error Cuadratico Medio.

d) La cota de Cramer-Rao esta dada por:

V (ψ) ≥ 1

−E(−∂

2L

∂ψ2

)luego calculamos:

e

(∂2L

∂ψ2

)= E

(− n

ψ2

)=⇒ E

(∂2L

∂ψ2

)= − n

ψ2

Reemplazando tenemos,

V (ψ) ≥ 1

−(− n

ψ2

)

∴ V (ψ) ≥ ψ2

n

Es la cota de Cramer-Rao para ψ.

MAT042 HSR 114


13. Ayudantıa 13

13.1. Intervalos de Confianza

1. El consumo de gasolina de cierto tipo de vehıculos se distribuye aproximadamente nor-mal. Si una muestra aleatoria de 64 vehıculos tiene un consumo promedio de 16 [millas/galon]con una desviacion estandar de 6 [millas/galon].

a) Encuentre un intervalo de confianza del 92 % para el consumo medio de gasolinade todos los vehıculos de este tipo.

b) Con un 95 % de confianza. ¿Cual es el error si el consumo medio es tomado en16 [millas/galon]?

c) Determine un intervalo de confianza del 94 % para la varianza.

d) ¿De que tamano debe ser la muestra si queremos tener un 95 % de seguridad quela media no difiera en mas de 0, 5 [millas/galon] de la media verdadera?

Desarrollo:

a) Sea X : Consumo de gasolina por vehıculo ∼ N (µ, σ2), con Xn = 16 y Sn = 6.

Intervalo de confianza para µ con σ2 desconocido.

ICµ =

[Xn ± tn−1;1−α

2

S√n

]t : distribucion t− student

Calculo de 1− α

2:

(1− α) % = 92 % =⇒ α = 1−0, 92 =⇒ α = 0, 08 =⇒ α

2= 0, 04 =⇒ 1− α

2= 0, 96

Ademas S =Sn√n√

n− 1, reemplazando tenemos:

ICµ =

[Xn ± t64−1;0,96

Sn√n

√n√n− 1

]=

[16± t63;0,96

6√63

]=

[16± 1, 77

6√63

]

∴ ICµ =[14, 66; 17, 33

]

MAT042 HSR 115


b) El error viene dado por tn−1;1−α2

S√n

.

1− α = 0, 95 =⇒ α = 0, 05 =⇒ 1− α

2= 0, 975

.

tn−1;1−α2

S√n

= t63;0,975Sn√n− 1

= 1, 9986√63

∴ Error = 1, 51

c) Intervalo de confianza del 94 % para σ2 con µ desconocido.

1− α = 0, 94 =⇒ α = 0, 06 =⇒ 1− α

2= 0, 97

ICσ2 =

[(n− 1)S2

χ2n−1;1−α

2

;(n− 1)S2

χ2n−1;α

2

]χ2: distribucion Ji-cuadrado

=

(n− 1)

S2nn

(n− 1)

χ2n−1;1−α

2

;

(n− 1)S2nn

(n− 1)

χ2n−1;α

2

=

[S2n · n

χ2n−1;1−α

2

;S2n · n

χ2n−1;α

2

]

=

[36 · 64

χ263;0,97

;36 · 64

χ263;0,03

]=

[2304

85, 74;

2304

43, 64

]

∴ ICσ2 =[26, 87; 52, 79

]

MAT042 HSR 116


d) Error= tn−1;1−α2

S√n

= t63;1−0,975Sn√n− 1

, como este debe ser a lo mas 0, 5, tenemos:

0, 5 ≥ t63;1−0,975Sn√n− 1

0, 5 ≥ 1, 998 · 6√n− 1

0, 5 ≥ 11, 988 · 1√n− 1

√n− 1 ≥ 11, 998

0, 5√n− 1 ≥ 23, 976

n− 1 ≥ (23, 976)2

n ≥ (23, 976)2 + 1

n ≥ 575, 8

∴ n ≥ 576

2. De experiencias pasadas se sabe que la desviacion estandar de las estaturas de ninosde 5to basico es de 5[cm].

a) Se seleccionan 36 ninos, observandose una media de 130[cm], construya un inter-valo de confianza del 95 % para la estatura media de la poblacion.

b) ¿Cual es el tamano de la muestra para que el intervalo de confianza

[130− 0, 95; 130 + 0, 95]

tenga un 95 % de confianza?

Desarrollo:

a) Sea X : estatura de ninos de 5to basico, Xn = 130 y σ = 5

Intervalo de confianza para µ con σ2 conocido.

(1− α) % = 95 % =⇒ α = 0, 05 =⇒ 1− α

2= 0, 975

ICµ =

[Xn ± Z1−α

2

σ√n

]=

[130± Z0,975

5√36

]=

[130± 1, 96 · 5

6

]∴ ICµ = [128, 36; 131, 63]

MAT042 HSR 117


b) Error= Z1−α2

σ√n

0, 95 = Z1−α2

σ√n

0, 95 = 1, 96 · 5√n

√n = 5 · 1, 96

0, 95

n =

(5 · 1, 96

0, 95

)2

∴ n = 107

3. Una encuesta de 100 votantes para conocer las opiniones respecto a dos candidatos,muestra que 55 apoyan a A y 45 a B. Calcular un intervalo de confianza para laproporcion de votos de cada candidato, considerando un nivel de confianza del 95 %.

Desarrollo:

Sea Xi : votantes que apoyan al candidato i, con i = A,B. Ademas

XA ∼ Bin (100; 0, 55) XB ∼ Bin (100; 0, 45)

Intervalo de confianza para una proporcion:

ICp =

[p± Z1−α

2

√p (1− p)√

n

]

Intervalo para A,

ICpA =

[pA ± Z0,975

√pA (1− pA)√

n

]

=

[0, 55± 1, 96 ·

√0, 55 · 0, 45√

100

]=

[0, 55± 1, 96 · 0, 497

10

]∴ ICpA = [0, 452; 0, 647]

MAT042 HSR 118


Intervalo para B,

ICpB =

[pB ± Z0,975

√pB (1− pB)√

n

]

=

[0, 45± 1, 96 ·

√0, 45 · 0, 55√

100

]=

[0, 45± 1, 96 · 0, 497

10

]∴ ICpA = [0, 352; 0, 547]

4. Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a. de una distribucion con funcion densidad probabilısticadada por

fX (x, ψ) =x

ψe−

x2

2ψ IR+ (x)

determine un intervalo de confianza del 95 % para ψ y evalue dicho intervalo si se sabe

que100∑i=1

x2i = 2586, 51. Considere el estimador de ψ igual a

ψ =n∑i=1

x2i

2n

y considere∂2L

∂ψ2= − n

ψ2

Desarrollo:

Intervalo de confianza para un estimador Maximo Verosımil:

ICψMV=

[ψMV ± Z1−α

2

1√nI1 (ψ)

]con

I1 (ψ) = −E(∂2L

∂ψ2

)= −

(− n

ψ2

)=⇒ I1 (ψ) =

n

ψ2

MAT042 HSR 119


y 1− α

2= 0, 975, luego

ICψMV=

[ψMV ± Z1−α

2

1√nI1 (ψ)

]

=

ψMV ± Z0,9751√n nψ2

=

[ψMV ± 1, 96 ·

√ψ2

n2

]

=

[ψMV ± 1, 96 · ψ

n

]por lo tanto el intervalo de confianza esta dado por:

ICψMV=

[ψMV ± 1, 96 · ψMV

n

]

Ahora, debemos evaluar,

ICψMV=

[ψMV ± 1, 96 · ψMV

n

]

=

[n∑i=1

x2i

2n± 1, 96 · 1

n

n∑i=1

x2i

2n

]

=

[1

2n

n∑i=1

x2i ± 1, 96 · 1

2n2

n∑i=1

x2i

]

=

[1

200· 2586, 51± 1, 96 · 1

20000· 2586, 51

]= [12, 933± 0, 253]

∴ ICψMV= [12, 68; 13, 19]

MAT042 HSR 120


13.2. Test de Hipotesis

1. Se extraen los siguientes datos, distribuidos N(µ, 2) : 1, 82; 3, 21; 4, 32; 1, 31; 2, 35; 1, 92.¿Se puede decir que la media es 2,33 con la muestra que tenemos, con α = 0, 05?

Desarrollo:

i) Primero calculamos la media:

X =6∑i=1

xin

=1, 82 + 3, 21 + 4, 32 + 1, 31 + 2, 35 + 1, 92

6= 2, 49

ii) Como se pide realizar test de hipotesis para la media, debemos identificar si ladesviacion que no entrega el enunciado es porblacional a muestral. Para este casose tiene que es la poblacional, por ende el estadıstico de prueba a utilizar es el“para µ con σ2 conocido”, lo cual se obtiene por formulario y es:

Z0 =X − µ0

σ√n

y su valor es:

Z0 =2, 49− 2, 33

2√6

=⇒ Z0 = 0, 277

iii) Planteamiento de nuestra hipotesis nula y alternativa:

H0 : µ = µ0

HA : µ 6= µ0

en donde se cumple que:

Hipotesis Nula Hipotesis Alternativa Rechace H0 sı

H0 : µ = µ0 HA : µ 6= µ0 Z0 ≥ Z1−α2

o Z0 ≤ −Z1−α2

iv) Ahora debemos calcular Z1−α2,

Z1−α2

= Z0,975 = 1, 96

v) Luego,Z0 ≥ Z1−α

2o Z0 ≤ −Z1−α

2

0, 277 1, 96 o 0, 277 −1, 96

MAT042 HSR 121


vi) Finalmente, como no se cumple la condicion de rechazo para H0, decimos que nohay evidencia suficiente para rechazar esta.

2. Un operador de la bolsa aconseja a un cliente respecto a una inversion de compra ydestaca la poca variabilidad de dicha cotizacion de acuerdo a los estipulado en el, estaaccion representarıa una variacion en la cotizacion diaria de σ2 = 0, 2. Se seleccionauna muestra de 15 dıas donde se registra la cotizacion diaria. El calculo de la varianzaen la muestra es S2 = 0, 4. ¿Con α = 0, 05 se puede decidir si la varianza es menor quela historica?

Desarrollo:

Dado que no se conoce la media poblacional, ocupamos el pivote y las regiones derechace para σ2 con µ desconocido.

Q0 =(n− 1)S2

σ20

Antes de continuar, debemos hacer el cambio:

S2 =S2n · nn− 1

Por lo que el estadıstico de prueba queda:

Q0 =n · S2

n

σ20

Las hipotesis a contrastar son:

H0 : σ2 < σ20

HA : σ2 ≥ σ20

Por lo que debemos considerar las regiones de rechazo para:

Hipotesis Nula Hipotesis Alternativa Rechace H0 sı

H0 : σ2 = σ20 HA : σ2 6= σ2

0 Q0 ≥ χ2n−1;1−α

2o Q0 ≤ χ2

n−1;α2

H0 : σ2 = σ20 HA : σ2 < σ2

0 Q0 ≤ χ2n−1;α

Ahora calculamos los valores de Q0, χ2n−1;1−α

2, χ2

n−1;α2

y χ2n−1;α.

MAT042 HSR 122


Q0 =n · S2

n

σ20

= 30

χ2n−1;1−α

2= χ2

14;0,975 = 5,63

χ2n−1;α

2= χ2

14;0,025 = 26,1

χ2n−1;α = χ2

14;0,05 = 23,7

Luego,Q0 ≥ χ2

n−1;1−α2

o Q0 ≤ χ2n−1;α

2

30 ≥ 5, 63 o 30 26, 1

Por lo que se rechaza H0 : σ2 = σ20. Ahora,

Q0 ≤ χ2n−1;α

30 23, 7

Por lo tanto se rechaza H0 : σ2 = σ20.

Con lo anterior se tiene evidencia sufiente para decir que no se rechaza la hipotesis deque la varianza es menor a la varianza historica.

MAT042 HSR 123


14. Ayudantıa 14


1. Dada la variable aleatoria (X1, X2, X3, X4) con funcion densidad

fXi (x1, x2, x3, x4) = 16x1x2x3x4 I[0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1] (x1, x2, x3, x4)

Calcular:

a) P (X1 < 1/2, X4 > 1/3).

Desarrollo:

P (X1 < 1/2, X4 > 1/3) =

∫ 12

0

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

13

16x1x2x3x4 dx4 dx3 dx2 dx1

= 16

∫ 12

0

∫ 1

0

∫ 2

0

x1x2x3x2

4

2

∣∣∣∣x4=1

x4= 13

dx3 dx2 dx1

= 8

∫ 12

0

∫ 1

0

∫ 2

0

x1x2x3

(1− 1

9

)dx3 dx2 dx1

=64

9

∫ 12

0

∫ 1

0

∫ 2

0

x1x2x3 dx3 dx2 dx1

=64

9

∫ 12

0

∫ 1

0

x1x2x2

3

2

∣∣∣∣x3=1

x3=0

dx2 dx1

=32

9

∫ 12

0

∫ 1

0

x1x2 dx2 dx1

=32

9

∫ 12

0

x1x2

2

2

∣∣∣∣x2=1

x2=0

dx1

=16

9

∫ 12

0

x1 dx1

=16

9

[x2

1

2

]∣∣∣∣x1= 12

x1=0

=8

9

(1

4

)

∴ P (X1 < 1/2, X4 > 1/3) =2

9

Otra forma es calcular la densidad marginal de (X1, X4) y luego calcular lo pedido.

MAT042 HSR 124


Es decir:

f (x1, x4) =

∫ 1

0

∫ 1

0

16x1x2x3x4 dx3 dx2

= 8

∫ 1

0

16x1x2x4 dx2

= 4x1x4

∴ f (x1, x4) = 4x1x4I[0,1]×[0,1] (x1, x4)

Luego la probabilidad pedida es:

P (X1 < 1/2, X4 > 1/3) =

∫ 12

0

∫ 1

13

4x1x4 dx4 dx1

= 4

∫ 12

0

x1x2

4

2

∣∣∣∣x4=1

x4= 13

dx1

= 2

∫ 12

0

x1

(1− 1

9

)dx1

=16

9

∫ 12

0

x1 dx1

=16

9

[x2

1

2

]∣∣∣∣ 120

=8

9

(1

4

)

∴ P (X1 < 1/2, X4 > 1/3) =2

9

b) La densidad marginal de X1.

Desarrollo:

fX1 (x1) =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0

16x1x2x3x4 dx4 dx3 dx2

= 8

∫ 1

0

∫ 1

0

x1x2x3 dx3 dx2

= 4

∫ 1

0

x1x2 dx2

= 2x1

∴ fX1 (x1) = 2x1 I[0,1] (x1)

MAT042 HSR 125


c) La densidad marginal de (X2, X3, X4).

Desarrollo:

f (x2, x3, x4) =

∫ 1

0

16x1x2x3x4 dx1

= 8x2x3x4

∴ f (x2, x3, x4) = 8x2x3x4 I[0,1]×[0,1]×[0,1] (x2, x3, x4)

2. Sea (X, Y ) un vector con funcion densidad conjunta:

f (x, y) =

kxye−(x+y) si x > 0 , y > 0

0 en otro caso

se pide:

a) Calcular la constante k.

Desarrollo: ∫ ∞0

∫ ∞0

kxye−(x+y) dx dy = 1

k

∫ ∞0

∫ ∞0

xe−xye−y dx dy = 1

k

∫ ∞0

ye−y

− x

ex

∣∣∣∞0︸︷︷︸

0

+

∫ ∞0

e−x dx︸︷︷︸1

dy = 1

k

∫ ∞0

ye−y dy = 1

k

− y

ey

∣∣∣∞0︸︷︷︸

0

+

∫ ∞0

e−y dy︸︷︷︸1

= 1

∴ k = 1

b) Hallar las funciones marginales de X e Y .

Desarrollo:

MAT042 HSR 126


Funcion densidad marginal de X:

fX (x) =

∫ ∞0

xye−(x+y) dy

= xe−x∫ ∞

0

ye−y dy︸︷︷︸1

∴ fX (x) = xe−x IR+0

(x)

Funcion densidad marginal de Y :

Por simetrıa∴ fY (y) = ye−y IR+

0(y)

c) ¿Son independientes X e Y ?

Desarrollo:

Las variables SON independientes, pues:

xye−(x+y) IR+0 ,R

+0 (x, y) = xe−x IR+

0(x) ye−y IR+

0(y)

3. Una variable aleatoria discreta (X, Y ) tiene la siguiente funcion de cuantıa:

P (X = i, Y = j) = k (i+ j) i = 1, 2, . . . , n , j = 1, 2, . . . , q

Calcular:

a) La constante k.

MAT042 HSR 127


Desarrollo:

n∑i=1

q∑j=1

k (i+ j) = 1

k

n∑i=1

q∑j=1

(i+ j) = 1

k

n∑i=1

[q∑j=1

(i+ j)

]= 1

kn∑i=1

[q∑j=1

i+

q∑j=1

j

]= 1

kn∑i=1

[qi+

q (q + 1)

2

]= 1

k

[n∑i=1

qi+n∑i=1

q (q + 1)

2

]= 1

k

[q

n∑i=1

i+ nq (q + 1)

2

]= 1

k

[qn (n+ 1)

2+ n

q (q + 1)

2

]= 1

k

[nq (n+ 1) + nq (q + 1)

2

]= 1

k

[nq (n+ q + 2)

2

]= 1

∴ k =2

nq (n+ q + 2)

b) Las funciones de cuantıa marginales.

Desarrollo:

MAT042 HSR 128


Funcion de cuantıa marginal de X = i:

P (X = i) = k

q∑j=1

(i+ j)

= k

(q∑j=1

i+

q∑j=1

j

)

= k

(qi+

q (q + 1)

2

)=

k

2

(2qi+ q2 + q

)=

(2qi+ q2 + q)

nq (n+ q + 2)

= q (2i+ q + 1)

nq (n+ q + 2)

∴ P (X = i) =(2i+ q + 1)

n (n+ q + 2)i = 1, 2, . . . , n

Funcion de cuantıa marginal de Y = j:

P (Y = j) = kn∑i=1

(i+ j)

= k

(n∑i=1

i+n∑i=1

j

)

= k

(n (n+ 1)

2+ nj

)=

k

2

(n2 + n+ 2nj

)=

(n2 + n+ 2nj)

nq (n+ q + 2)

=n (n+ 1 + 2j)

nq (n+ q + 2)

∴ P (Y = j) =(2j + n+ 1)

q (n+ q + 2)j = 1, 2, . . . , q

c) Las esperanzas marginales.

Desarrollo:

MAT042 HSR 129


Esperanza marginal de X = i:

E (X = i) =n∑i=1

i

((2i+ q + 1)

n (n+ q + 2)

)

=1

n (n+ q + 2)

[n∑i=1

(2i2 + qi+ i

)]

=1

n (n+ q + 2)

[2

n∑i=1

i2 + q

n∑i=1

i+n∑i=1

i

]

=1

n (n+ q + 2)

[2

(n (n+ 1) (2n+ 1)

6

)+ q

(n (n+ 1)

2

)+n (n+ 1)

2

]=

1

n (n+ q + 2)

[2n (n+ 1) (2n+ 1) + 3qn (n+ 1) + 3n (n+ 1)

6

]=

n (n+ 1)

n (n+ q + 2)(2 (2n+ 1) + 3q + 3)

=(n+ 1) (2 (2n+ 1) + 3q + 3)

(n+ q + 2)

∴ E (X = i) =(n+ 1) (3q + 4n+ 5)

(n+ q + 2)

Esperanza marginal de Y = j:

E (Y = j) =

q∑j=1

j

((2j + n+ 1)

q (n+ q + 2)

)

=1

q (n+ q + 2)

[q∑j=1

(2j2 + nj + j

)]

=1

q (n+ q + 2)

[2

q∑j=1

j2 + n

q∑j=1

j +

q∑j=1

j

]

=1

q (n+ q + 2)

[2

(q (q + 1) (2q + 1)

6

)+ n

(q (q + 1)

2

)+q (q + 1)

2

]=

1

q (n+ q + 2)

[2q (q + 1) (2q + 1) + 3nq (q + 1) + 3q (q + 1)

6

]= q (q + 1)

q (n+ q + 2)(2 (2q + 1) + 3n+ 3)

=(q + 1) (2 (2q + 1) + 3n+ 3)

(n+ q + 2)

∴ E (Y = j) =(q + 1) (3n+ 4q + 5)

(n+ q + 2)

MAT042 HSR 130


4. Sean X e Y dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente segun la siguientefuncion densidad:

fXY (x, y) =

2

π, | x |≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x2 + y2 ≤ 1

0 , en otro caso

a) Determine la distribuciones condicionales de X | Y = y e Y | X = x.

b) Verifique que E(Y ) = E(E[Y | X]) cuando X es aleatorio. Notar que E(Y | X) =g(X).

Desarrollo:

a) La funcion densidad de X | Y = y y Y | X = x por definicion son:

fX|Y=y(x) =fXY (x, y)

fY (y)y fY |X=x(x) =

fXY (x, y)

fX(x)

donde

fX(x) =

∫ √1−x2

0

2

πdy

=2

πy

∣∣∣∣√

1−x2

0

fX(x) =

2

π

√1− x2 , −1 ≤ x ≤ 1

0 , en otro caso

fY (y) =

∫ √1−y2

−√

1−y2

2

πdx

=2

πy

∣∣∣∣√

1−y2

−√

1−y2

=2

π

(√1− y2 +

√1− y2

)

fY (y) =

4

π

√1− y2 , 0 ≤ y ≤ 1

0 , en otro caso

MAT042 HSR 131


Reemplazando tenemos:

fX|Y=y =2/π

4π

√1− y2

∴ fX|Y=y(x) =

1

2√

1− y2, −

√1− y2 ≤ x ≤

√1− y2, y ∈ (0, 1)

0 , en otro caso

fY |X=x =2/π

2π

√1− x2

∴ fY |X=x(y) =

1√

1− x2, 0 ≤ y ≤

√1− x2, x ∈ (−1, 1)

0 , en otro caso

b) Por defincion se tiene:

E(Y ) =

∫ 1

0

y4

π

√1− y2 dy

=4

π

(−1

3(1− y2)3/2

)∣∣∣∣10

∴ E(Y ) =4

3π

Por otra parte:

E(Y | X = x) =

∫ √1−x2

0

y1√

1− x2dy

=1√

1− x2

y2

2

∣∣∣∣√

1−x2

0

=

√1− x2

2

MAT042 HSR 132


Luego, E(Y | X) = g(X) =

√1− x2

2es una variable aleatoria con valor esperado

E(g(X)) =

∫ 1

−1

√1− x2

2

2

π

√1− x2 dx

=1

π

∫ 1

−1

(1− x2

)dx

=1

π

(x− x3

3

)∣∣∣∣1−1

=4

3π

∴ E(E[Y | X]) =4

3π

Por lo tanto verifica que

E(Y ) = E(E[Y | X])

5. En ocasiones la f.d.p. de Pareto se utiliza como un modelo, sobre todo en reclamacionesde seguros, donde pueden haber muchas peticiones de pago pequenas y unas pocaspeticiones de pago enormes. Una de las formas que adopta la f.d.p. de Pareto es:

fY (y, θ) =1

θ(1 + y)−1− 1

θ IR+ (y) con θ > 0

Suponga una m.a.(n) de esta distribucion. Determine un estimador de maxima verosimil-itud para θ. ¿Es eficiente? ¿Es insesgado?

Desarrollo:

Primero, definimos la funcion de verosimilitud,

fYi (yi, θ) =n∏i=1

1

θ(1 + yi)

−1− 1θ IR+ (yi)

Luego funcion Log-Verosımil,

ln fYi (yi, θ) = lnn∏i=1

1

θ(1 + yi)

−1− 1θ IR+ (yi)

=n∑i=1

[− ln θ −

(1 +

1

θ

)ln (1 + yi) + ln IR+ (yi)

]= −

n∑i=1

ln θ −n∑i=1

ln (1 + yi)−1

θ

n∑i=1

ln (1 + yi) +n∑i=1

ln IR+ (yi)

= −n ln θ −n∑i=1

ln (1 + yi)−1

θ

n∑i=1

ln (1 + yi) +n∑i=1

ln IR+ (yi)

MAT042 HSR 133


Luego derivamos con respecto al parametro e igualamos a cero,

∂L

∂θ= −n

θ+

1

θ2

n∑i=1

ln (1 + yi) = 0 =⇒ θ =n∑i=1

ln (1 + yi)

n

Ahora, calculamos su segunda derivada y evaluamos,

∂2L

∂θ2=

(n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

ln (1 + yi)

)∣∣∣∣∣θ=θ

=n

θ2− 2n

θ3

n∑i=1

ln (1 + yi)

n

=n

θ2− 2n

θ3θ

=n

θ2− 2n

θ2

∂2L

∂θ2

∣∣∣∣θ=θ

= − nθ2< 0 ∀n ∈ N , θ ∈ R

por lo que el estimador de Maxima verosimilitud para θ es:

θ =n∑i=1

ln (1 + yi)

n

Para analizar si es eficiente, debemos calcular su varianza y compararla con la cota deCramer-Rao,

V(θ)

= V

(n∑i=1

ln (1 + yi)

n

)

=1

n2

n∑i=1

V (ln (1 + yi))

=1

n2

n∑i=1

(E(ln2 (1 + yi)

)− [E (ln (1 + yi))]

2)

MAT042 HSR 134


Aparte,

E (ln (1 + y)) =

∫ ∞0

ln (1 + y)1

θ(1 + y)−1− 1

θ dy

= − ln (1 + y) (1 + y)−1θ

∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

(1 + y)−1θ

1

(1 + y)dy

=

∫ ∞0

(1 + y)−1− 1θ dy

=(1 + y)−

1θ

−1θ

∣∣∣∣∣∞

0

= −θ

>

01

(1 +∞)1θ

−>

11

(1 + 0)1θ

= θ

y

E(ln2 (1 + y)

)=

∫ ∞0

ln2 (1 + y)1

θ(1 + y)−1− 1

θ dy

= − ln2 (1 + y) (1 + y)−1θ

∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

(1 + y)−1θ

2 ln (1 + y)

(1 + y)dy

=

∫ ∞0

(1 + y)−1− 1θ 2 ln (1 + y) dy

= 2θ

∫ ∞0

ln (1 + y)1

θ(1 + y)−1− 1

θ dy︸︷︷︸E(ln(1+y))

= 2θ · θ= 2θ2

reemplazando se tiene,

1

n2

n∑i=1

(E(ln2 (1 + yi)

)− [E (ln (1 + yi))]

2) =1

n2

n∑i=1

(2θ2 − (θ)2)

=1

n2

n∑i=1

θ2

=1

n2nθ

2

=θ2

n

∴ V(θ)

=θ2

n

MAT042 HSR 135


Por otro lado la cota de Cramer-Rao es,

V (θ) ≥ 1

−E(∂2L

∂θ2

)ahora calculamos,

E(∂2L

∂θ2

)= E

(n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

ln (1 + yi)

)

= E( nθ2

)− E

(2

θ3

n∑i=1

ln (1 + yi)

)

=n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

E (ln (1 + yi))

=n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

θ

=n

θ2− 2

θ3nθ

=n

θ2− 2n

θ2

= − nθ2

luego,

V (θ) ≥ 1

−E(∂2L

∂θ2

)≥ 1

−(− nθ2

)≥ 1

n

θ2

∴ V(θ)≥ θ2

n

es la cota de Cramer-Rao para θ y como la varianza es igual a ella, el estimador eseficiente.

MAT042 HSR 136


Para analizar insesgamiento, debemos demostrar que E(θ)

= θ

E(θ)

= E

(n∑i=1

ln (1 + yi)

n

)

=1

n

n∑i=1

E (ln (1 + yi))

=1

n

n∑i=1

θ

=1

nnθ

= θ

∴ E(θ)

= θ

por lo que el estimador es insesgado.

MAT042 HSR 137


15. Controles

15.1. Control 1

Problema 1

1. Demuestre que:

a) La media x es el valor que minimiza la varianza:

s2 =1

n

n∑i=1

(xi − x)2

b) La varianza s2 satisface:

s2 =1

n

n∑i=1

x2i − x2

Desarrollo:

a) Sea la funcion:

f(a) =1

n

n∑i=1

(xi − a)2

Si minimizamos esta funcion para a

f(a)

a=

1

n

n∑i=1

2(xi − a) · (−1) = 0∑(xi)−

∑a = 0∑xi = n · a

x = a

Por lo tanto, la varianza se minimiza con a = x

MAT042 HSR 138


b) Desarrollamos el cuadrado

1

n

∑(xi − x)2 =

1

n

∑(x2

i − 2xix+ x2)

=1

n

∑x2i −

1

n2x∑

xi +1

n

∑x2)

=1

n

∑x2i − 2x

1

n

∑xi +

1

nn · x2)

=1

n

∑x2i − 2x x+ x2)

=1

n

∑x2i − 2x2 + x2)

=1

n

∑x2i − x2

∴ s2 =1

n

n∑i=1

x2i − x2

MAT042 HSR 139


Problema 2

1. Se desarrollo un experiemento para estudiar las propiedades de fragilidad del hidrogeno conbase en mediciones de presion electrolıtica de hidrogeno. Se controlo la densidad de corrientede carga catodica y se vario en cuatro niveles. Se observo la presion efectiva del hidrogenocomo la respuesta. Sean

X: densidad de corriente de carga (mA/cm2),Y: presion efectiva de hidrogeno (atm).

Los datos son los siguientes:

Corrida X Y1 1.65 86.12 1.65 92.13 1.65 64.74 1.65 74.75 1.65 223.66 4.48 202.17 4.48 132.98 4.48 413.59 12.2 231.510 12.2 466.711 12.2 365.312 12.2 493.713 33.1 382.314 33.1 447.215 33.1 563.8

a) Calcule media, mediana, varianza y desviacion estandar de Y. ¿Que puede decir de ladistribucion de esta variable?

b) Calcule la correlacion entre X e Y. ¿Cual es el R2 del modelo Y = a+ bX?

c) ¿Existe alguna transformacion de las variables que aumente el valor de la correlacionantes caculada?

d) Determine cual es el mejor modelo de regresion lineal utlizando el valor del coeficientede determinacion.

Desarrollo:

MAT042 HSR 140


a) Los valores pedidos sonx = 282.7

Me = 231.5

s2 = 29937.5

s = 173.02

Lo que nos indica que la variable tiene una alta dispersion respecto de la media.

b) Corr(X, Y ) = 0.84 lo que nos indica que el valor de R2 del modelo Y = a+ bX es

R2 ≈ 0.70

c) Si transformamos x′ = log(x) obtenemos que Corr(X ′, Y ) = 0.93 y el R2 del modelo

Y = a′ + b′X ′ es 0, 85.

d) El mejor modelo es el que tiene mayor R2, por lo tanto el mejor modelo es

Y = a′ + b′log(X)

MAT042 HSR 141


15.2. Control 2

Problema 1

Sea la funcion

f(x) = ke−

x2

√xI]0,∞[(x)

a) Calcular la constante k para que sea funcion densidad.

b) Encontrar la f.g.m. de f .

c) Encontrar c tal que P (0 < X < µ− cσ) = 0, 8. Siendo X con funcion densidad f .

Desarrollo:

a) Debe cumplir que

∫ ∞0

fX(x) dx = 1

∫ ∞0

ke−

x2

√xdx = 1

k =1∫ ∞

0

e−x2

√xdx

Resolvenremos aparte la intengral:∫ ∞0

e−x2

√xdx = 2

∫ ∞0

e−z2

2 dz︸︷︷︸Aparte

(haciendo: z2 = x −→ 2z dz = dx)


e−z2

2 dz = I =⇒(∫ ∞

0

e−z2

2 dz

)2

= I2

Resolvamos I2: (∫ ∞0

e−z2

2 dz

)2

=

(∫ ∞0

e−z2

2 dz

)·(∫ ∞

0

e−z2

2 dz

)=

(∫ ∞0

e−z2

2 dz

)·(∫ ∞

0

e−y2

2 dy

)=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−z2

2 e−y2

2 dz dy

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−z2

2− y

2

2 dz dy

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−12(z2+y2) dz dy

MAT042 HSR 142



z = r cos θ y = r sin θ con 0 ≤ θ ≤ π

2y 0 ≤ r <∞

y calculando:

J

(z, y

r, θ

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂z

∂r

∂z

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣= r cos2 θ −

(−r sin2 θ

)= r

(sin2 θ + cos2 θ

)= r

por lo que: ∫ ∞0

∫ ∞0

e−12(z2+y2) dz dy =

∫ π2

0

∫ ∞0

e−12 [(r cos θ)2+(r sin θ)2]r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−12 [r2(cos2 θ+sin2 θ)]r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−r2

2 r dr dθ

=

∫ π2

0

−e−r2

2

∣∣∣∣∣r=∞

r=0

dθ

= −∫ π

2

0

*0e−∞2

2 −>

1

e−02

2

dθ

= −∫ π

2

0

(−1) dθ

=

∫ π2

0

dθ

= θ|π20

=π

2

∴ I2 =π

2=⇒ I =

√π

2

luego se tiene:

k =1

2

√π

2

MAT042 HSR 143


∴ k =1√2π

b) La funcion generadora de momentos viene dada por:

ϕX(t) = E(eXt)

=

∫ ∞0

ext1√2πx

e−x2 dx

luego, desarrollamos:∫ ∞0

ext1√2πx

e−x2 dx =

1√2π

∫ ∞0

1√xex(t−

12) dx

=1√2π

∫ ∞0

1√xe−x(

12−t) dx (la integral solo converge si t < 1

2)

= haciendo u2 = x −→ 2u du = dx

=2√2π

∫ ∞0

e−u2( 1

2−t) du︸︷︷︸

Aparte


e−u2( 1

2−t) du = I =⇒

(∫ ∞0

e−u2( 1

2−t) du

)2

= I2

Resolvamos I2:(∫ ∞0

e−u2( 1

2−t) du

)2

=

(∫ ∞0

e−u2( 1

2−t) du

)·(∫ ∞

0

e−u2( 1

2−t) du

)=

(∫ ∞0

e−u2( 1

2−t) du

)·(∫ ∞

0

e−z2( 1

2−t) dz

)=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−u2( 1

2−t)e−z

2( 12−t) du dz

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−u2( 1

2−t)−z2( 1

2−t) du dz

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−(u2+z2)( 12−t) du dz


u = r cos θ z = r sin θ con 0 ≤ θ ≤ π

2y 0 ≤ r <∞

MAT042 HSR 144


y calculando:

J

(z, y

r, θ

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂z

∂r

∂z

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣= r cos2 θ −

(−r sin2 θ

)= r

(sin2 θ + cos2 θ

)= r

por lo que:∫ ∞0

∫ ∞0

e−(u2+z2)( 12−t) du dz =

∫ π2

0

∫ ∞0

e−[(r cos θ)2+(r sin θ)2]( 12−t)r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−[r2(cos2 θ+sin2 θ)]( 12−t)r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−r2( 1

2−t)r dr dθ

=

∫ π2

0

−e−r2(12−t)

2(

12− t) ∣∣∣∣∣

r=∞

r=0

dθ

= − 1

2(

12− t) ∫ π

2

0

(

:0

e−∞2( 1

2−t) −

:1e−02( 1

2−t)

)dθ

= − 1

2(

12− t) ∫ π

2

0

(−1) dθ

=1

2(

12− t) ∫ π

2

0

dθ

=1

2(

12− t)θ∣∣∣∣∣

π2

0

=π

2 (1− 2t)

∴ I2 =π

2 (1− 2t)=⇒ I =

√π

2 (1− 2t), es decir:

2√2π

∫ ∞0

e−u2( 1

2−t) du =

2√2π

√π

2 (1− 2t)

MAT042 HSR 145


por lo que se tiene:

=√

2

√π

√π

√

2√

1− 2t

=

√1

1− 2t

∴ ϕX(t) =

√1

1− 2t

con t <1

2

c)

P (0 < X < µ− cσ) = 0, 8

P (0 < X < −c) = 0, 4 X ∼ N(0, 1)

P (X < −c)− P (X < 0) = 0, 4

P (X > c)− P (X > 0) = 0, 4

Φ(c)− Φ(0) = 0, 4

Φ(c)− 1

2= 0, 4

Φ(c) = 0, 9

Φ−1 (Φ(c)) = Φ−1 (0, 9)

c = Φ−1 (0, 9)

∴ c = −1, 285( Aproximadamente)

MAT042 HSR 146


Problema 2

Sea X una variable aleatoria con funcion densidad:

f(x) =3x2

θe−

x3

θ I[0,∞[(x) ; θ > 0

a) Se define Y =X2

θ, encontrar la funcion densidad de Y .

Desarrollo:

a)

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P(X2

θ≤ y

)= P

(X2 ≤ θy

)= P

(| X |≤

√θy)

= P(−√θy ≤ X ≤

√θy)

= P(X ≤

√θy)−

:

X ∈ [0,∞[

P(X ≤ −

√θy)

= FX

(√θy)

derivando tenemos:

d

dyFY (y) = F ′X

(√θy)

= fX(√θy)

θ

2√θy

= 3

(√θy)2

θe−

(√θy)3

θθ

2√θy

=3

2

√θye−

√θy3/2

∴ fY (y) =3

2

√θye−

√θy3/2 I[0,∞[(y)

MAT042 HSR 147


15.3. Control 3

Problema 1

Dada la variable aleatoria bidimensional continua (X, Y ), con funcion densidad de probabilidadconjunta

f (x, y) = k (cos (x) + cos (y)) I[0,π2 ]×[0,π2 ] (x, y)

determine:

a) k.

Desarrollo: ∫ π2

0

∫ π2

0

k (cos (x) + cos (y)) dx dy = 1

k

∫ π2

0

(sen (x) + cos (y)x)|x=π2

x=0 dy = 1

k

∫ π2

0

(1 + cos (y)

π

2

)dy = 1

k(y +

π

2sen (y)

)∣∣∣π20

= 1

k(π

2+π

2

)= 1

kπ = 1

∴ k =1

π

b) Funciones de densidad marginales.

Desarrollo:

Densidad marginal de X:

fX (x) =

∫ π2

0

1

π(cos (x) + cos (y)) dy

=1

π(y cos (x) + sen (y))

∣∣∣∣y=π2

y=0

=1

π

(π2

cos (x) + 1)

∴ fX (x) =1

π

(π2

cos (x) + 1)I[0,π2 ] (x)

MAT042 HSR 148


Por simetrıa

∴ fY (y) =1

π

(π2

cos (y) + 1)I[0,π2 ] (y)

c) ¿Son independientes X e Y ?

Desarrollo:

Las variables NO son independientes, pues:

1

π(cos (x) + cos (y)) 6= 1

π

(π2

cos (x) + 1)· 1

π

(π2

cos (y) + 1)

d) Calcule E (X) y E (Y ).

Desarrollo:

E (X) esta dada por:

E (X) =

∫ π2

0

x1

π

(π2

cos (x) + 1)dx

=1

π

∫ π2

0

(π2x cos (x) + x

)dx

=1

2

∫ π2

0

x cos (x) dx+1

π

∫ π2

0

x dx

=1

2

[x sen (x)|

π20 −

∫ π2

0

sen (x) dx

]+

(x2

2

)∣∣∣∣π20

=1

2

[π2

+ cos (x)|π20

]+π2

8

=1

2

[π2− 1]

+π2

8

∴ E (X) =π2 + 2π − 4

8

Por simetrıa

∴ E (Y ) =π2 + 2π − 4

8

MAT042 HSR 149


e) Calcule fX|Y=y (x) y fY |X=x (y)

Desarrollo:

fX|Y=y (x) esta dada por:

fX|Y=y (x) =f (x, y)

fY (y)

=1π

(cos (x) + cos (y))1π

(π2

cos (y) + 1)

∴ fX|Y=y (x) =cos (x) + cos (y)π2

cos (y) + 1I[0,π2 ] (x)

fY |X=x (y) esta dada por:

fY |X=x (y) =f (x, y)

fX (x)

=1π

(cos (x) + cos (y))1π

(π2

cos (x) + 1)

∴ fY |X=x (y) =cos (x) + cos (y)π2

cos (x) + 1I[0,π2 ] (y)

MAT042 HSR 150


16. Certamenes

16.1. Certamen 1

Problema 1

1. Un banco revisa su polıtica de tarjetas de credito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas.En el pasado, el 5 % de los clientes con tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado depagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda. Ademas, el banco ha comprobado quela probabilidad de que un cliente normal se atrase en un pago es de 0,2. Naturalmente, laprobabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es 1.

a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

b) Elegido un cliente al azar, ¿que probabilidad hay de que el cliente se atrase en un pagomensual?

c) Si un cliente se atrasa en un pago mensual, calcular la probabilidad de que el clientese convierta en moroso.

d) Al banco le gustarıa cancelar la lınea de credito de un cliente si la probabilidad de queeste acabe convirtiendose en moroso es mayor de 0,25. De acuerdo con los resultadosanteriores, ¿debe cancelar una lınea si un cliente se atrasa en un pago? ¿Por que?

Desarrollo:

a) Sean los eventos:

M : Clientes Morosos.M: Clientes no Morosos.A: Clientes atrasado en un pago.

P (M) = 0, 05 , P(M)

= 0, 95 , P (A |M) = 1 , P(A |M

)= 0, 2

b) Se pide,

P (A) = P (A |M) · P (M) + P(A |M

)· P(M)

= 1 · 0, 05 + 0, 2 · 0, 95 = 0, 24

MAT042 HSR 151


c)

P (M | A) =P (A |M) · P (M)

P (A)=

1 · 0, 05

0, 24= 0, 2083

d) Para cancelar la lınea de credito se debe cumplir que P (M | A) > 0, 25, dado que setiene que: 0, 2083 > 0, 25, entonces no exıste posibilidad de cerrarla.

MAT042 HSR 152


Problema 2

a) Los directivos de la agencia de viajes de Barcelona Cabarna S.A. quieren plantear unaestrategia de expansion hacia el resto de comarcas, por lo que se plantea si fusionarsecon la empresa Sol S.A., compran la empresa de la competencia o bien ampliar susinstalaciones. La decision se tomara en funcion de la evolucion futura de las ventas. Eldepartamento comercial preve que las ventas pueden ser altas, medias o bajas, con unaprobabilidad del 25 %, 45 % y 30 % respectivamente. Por otra parte, las ganancias deacuerdo con la estrategia seleccionada con las siguientes:

ALTERNATIVAS VENTAS ALTAS VENTAS MEDIAS VENTAS BAJAS25 % 45 % 30 %

FUSION 350000 140000 60000COMPRAR 300000 180000 50000

AMPLIACION 275000 160000 80000

Determinar las ganancias esperadas y decidir por cual alternativa optar.

Desarrollo:

F = 350000 · 0, 25 + 140000 · 0, 45 + 60000 · 0, 3 = 168500C = 300000 · 0, 25 + 180000 · 0, 45 + 50000 · 0, 3 = 171000A = 275000 · 0, 25 + 160000 · 0, 45 + 80000 · 0, 3 = 164750

Por lo tanto la alternativa es comprar.

b) Sean A, B y C tres eventos tales que A ∩ C = ∅, demostrar que:

P ((A ∪ C) | B) = P (A | B) + P (C | B)

Desarrollo:

P ((A ∪ C) | B) =P ((A ∪ C) ∩B)

P (B)

=P ((A ∩B )∪ (C ∩B))

P (B)

=P (A ∩B)

P (B)+P (C ∩B)

P (B)

= P (A | B) + P (C | B)

MAT042 HSR 153


Como A ∩ C = ∅ entonces A ∩B y C ∩B son incompatibles

c) El crecimiento de una colonia de abejas esta determinado por la siguiente ecuacion:

y =230

1 + α · e−β·t

Donde y representa el numero de abejas y t el tiempo medido en meses. Se obtuvieronlos siguientes datos.

t 1 13 23 33 53 63y 5,746 157,496 227,412 229,935 235,000 235,000

Determine una estimacion de α y β.

Desarrollo:

y =230

1 + α · e−β·tdepejando en terminos de y

α · e−β·t =230− y

yaplicando logaritmo natural para linealizar

ln (α)− β · t = ln

(230− y

y

)que es una representacion lineal

Realizando el cambio de variable pertinente:

1 5, 746 3, 66413 157, 496 0, 77623 227, 412 4, 47633 229, 935 8, 17153 235, 000 −3, 85063 235, 000 −3, 850

Se obtiene:

MAT042 HSR 154


Estadısticas de pruebaCoeficiente de correlacion multiple 0, 602143Coeficiente de determinacion R2 0, 362576

R2 ajustado 0, 203221Error tıpico 3, 563255

Observaciones 6

CoeficientesIntercepcion 0, 238998Variable X1 −0, 101574

β = −0, 101574,ln (α) = 0, 238998,α = 1, 269976

Por lo que el modelo a ajustar es:

y =230

1 + 1, 269976 · e−0,101574·t

MAT042 HSR 155


Problema 3

2. Un estudio para determinar la factibilidad de un nuevo proyecto inmobiliario considera elanalisis de 2440 propiedades distribuidas en los 8 barrios cercanos a la futura instalacion delproyecto, registrandose las siguientes variables:

- Valor de la tasacion del terreno.

- Valor de la tasacion de las mejoras.

- Valor de la tasacion total

- Precio de venta

Para el desarrollo de esta pregunta utilice el documento Anexo.

a) Analice las medidas de resumen de la variable precios de venta.

b) ¿Cual de los graficos que le siguen corresponde al grafico de esta variable? Justifique.

c) De acuerdo a la informacion entre precio de venta y tasacion de las mejoras, y preciode venta y tasacion del terreno, ¿en cual de estos dos casos le parece que se justificaun ajuste lineal?

d) Segun lo obtenido en (c) determine los valores de a y b en el modelo ajustado.

e) ¿Cual es el valor de R2 para el modelo escogido? Interprete esta cantidad.

Desarrollo:

a) La media (x = 74738) esta por sobre la mediana (Me=64000), lo que quiere decirque existen algunos precios de venta muy altos, lo indica que la variablidad sea alta(s=49260).

El valor del coeficiente de asimetrıa mayor a 1 (a3=2.11) nos indica que la grafica deesta funcion tiene asimetrıa hacia la derecha y, por el valor de la curtosis (a4=7.64) quehay una alta concentracion de precios relativamente bajos.

El 50 % central de los datos se concentra entre P25 = 44525 y P75 = 89900 lo quecorrobora ls presencia de una cantidad de precios de venta muy altos.

MAT042 HSR 156


b) Dada la informacion anterior, solo son opciones los graficos 1 y 4, ya que son los quepresentan una mayor concentracion de datos hacia la izquierda.

Observando las frecuencias del grafico 1, en el valor 25000 hay alrededor de 2200 datos,por lo que dificilmente la mediana podrıa ser 64000, mientras que en el grafico 4, hayalrededor de 1900 precios de venta menores a 100000.

Ademas, el grafico 1 esta en el rango 0-80000, mientras que el grafico 4, en el 0-450000y, en la parte (a), vimos que el percentil 75 correspondıa a 89900, lo que quiere decirque hay un 25 % de precios de venta mayores a ese valor, lo que no es posible que ocurraen el grafico 1.

Por lo tanto, el grafico que representa a la variable precio de venta es el grafico 4.

c) En el caso de precio de venta y tasacion de las mejores, observamos que hay dos gruposde datos: un grupo que asemeja una recta y otro mas bien disperso por sobre el anterior,lo que se confirma con el valor de la correlacion de 0.447, considerada como baja.

En el caso de precio de venta y tasacion del terreno, la relacion lineal es mucho masclara , existiendo datos alejados del patron comun, pero muchos menos que en casoanterior. Ademas, la correlacion es 0.793, lo que justifica un ajuste lineal.

d) Observando la tabla de coeficientes obtenemos que

Precio = 15162.62 + 3.49 · Tasacion del terreno

e) El valor del coeficiente de determinacion para este modelo es R2 = 0.629, lo que nosindica que el precio del terreno explica en un 63 % la variabilidad del precio de venta.

MAT042 HSR 157


16.2. Certamen 2

Problema 1

Cierta aleacion se forma con la mezcla fundida de dos metales. La aleacion que resulta contienecierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendoque X tiene la siguiente funcion de densidad de probabilidad:

f(x) = k · x · (100− x)I[0,100](x)

a) Determinar el valor de k.

Desarrollo: ∫ 100

0

k · x · (100− x) dx = 1

k

∫ 100

0

(100x− x2

)dx = 1

k

(50x2 − x3

3

)∣∣∣∣100

0

= 1

k

(500000− 1000000

3

)= 1

k

(1500000− 1000000

3

)= 1

k

(500000

3

)= 1

∴ k =3

500000

b) Si el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion, es una funcion del porcentaje deplomo X y es dada por:

G(X) =100

X + 1

i) Encontrar la funcion densidad de G(x)

Desarrollo:

MAT042 HSR 158


Sea G(X) = Y

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P(

100

X + 1≤ y

)= P

(100

y≤ X + 1

)= P

(100

y− 1 ≤ X

)= 1− P

(X ≤ 100

y− 1

)= 1− FX

(100

y− 1

)= 1− FX

(100− y

y

)Derivando tenemos:

dFY (y)

dy= −fX

(100− y

y

)(−100

y2

)=

3

500000· 100

y2· 100− y

y·(

100− 100− yy

)

∴ FY (y) =3

5000

[(100− y) (101y − 100)

y4

]I[ 100

101,100] (y)

ii) ¿Cual sera el beneficio esperado?

Desarrollo:

MAT042 HSR 159


Se debe calcular (Y )

(Y ) =

∫ 100

100101

y · 3

5000

[(100− y) (101y − 100)

y4

]dy

=3

5000

∫ 100

100101

[(100− y) (101y − 100)

y3

]dy

=3

5000

∫ 100

100101

[10200y − 10000− 101y2

y3

]dy

=3

5000

∫ 100

100101

[10200

y2− 10000

y3− 101

y

]dy

=3

5000

[−10200

y+

5000

y2− 101 ln (y)

]∣∣∣∣100

100101

=3

5000

[(−10200

100+

5000

1002− 101 ln (100)

)−

(−10200

100101

+5000(100101

)2 − 101 ln

(100

101

))]=

3

5000[−566, 622− (−5250, 995)]

=3

5000(4684, 372)

∴ (Y ) = 2, 811

MAT042 HSR 160


Problema 2

a) Sea X una v.a. con funcion densidad U [0, 1]. Se define la v.a. Y = −2 ln(X). Determinar suf.g.m.

Desarrollo:

Sea ϕY (t) =(eY t)

E(eY t)

= E(e−2 ln(X)t

)= E

(eln(X−2t)

)= E

(X−2t

)=

∫ 1

0

x−2t dx

=

[x−2t+1

−2t+ 1

]∣∣∣∣10

(Notar que solo converge si − 2t+ 1 > 0 =⇒ t <

1

2

)=

1

1− 2t

∴ ϕY (t) =1

1− 2tCon t <

1

2

b) Si T1, T2, . . . , T8 son los tiempos entre solicitudes de trabajo que llegan a una cada una de8 impresoras, y todas ellas siguen una distribucion exponencial con tasa media de llegada2.5 minutos. Calcule la probabilidad de que 5 de ellas no reciban solicitudes por al menos 1minuto.

Desarrollo:

Sea Ti ∼ exp(

12.5

)∀i = 1, 2, . . . , 8

Sea Y : Cantidad de impresoras que no reciben solicitudes. Y en minutos.

Y ∼ Bin (n, p) con n = 8 y p =

∫ ∞1

2

5e−

25x dx

∫ ∞1

2

5e−

25x dx =

[−e−

25x]∣∣∣∞

1

= −

[*0

e−25·∞ − e−

25·1

]= e−

25

MAT042 HSR 161


∴ p = 0, 67

Por lo que finalmente debemos calcular:

P (Y = 5) =

(85

)0, 675 (1− 0, 67)8−5

= 0, 27

Por lo tanto la probabilidad de que 5 de ellas no reciban solicitudes en al menos 1 minuto es

del 27 % .

c) Supongamos que una partıcula es lanzada desde el origen del plano xy en lınea recta queforma un angulo con el eje x. Sea Y la segunda coordenada del punto cuando la partıculachoca con la recta x = 1. Mostrar que si el angulo se distribuye uniformemente en el intervalo[−π

2, π

2] entonces:

f(y) =[π(1 + y2)

]−1, −∞ < y <∞

Desarrollo:

Sea Θ ∼ U[−π

2, π

2

], cuya funcion distribucion esta dada por:

FΘ (θ) =θ

π− π

2< θ <

π

2

se tiene la relacion Y = tan (Θ), con la que calcularemos la funcion densidad de Y .

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (tan (Θ) ≤ y)

= P (Θ ≤ arctan (y))

= FΘ (arctan (y))

=arctan (y)

π

Derivando tenemos que:

dFY (y)

dy=

1

π

(1

1 + y2

)los limites de y se obtienen de la relacion Y = tan (Θ), de la cual se tiene que:

si Θ = −π2−→ arctan (y) = −π

2=⇒ y → −∞

si Θ =π

2−→ arctan (y) =

π

2=⇒ y →∞

∴ f(y) =[π(1 + y2

)]−1, −∞ < y <∞

MAT042 HSR 162


Problema 3

Sea la funcionf(x) = k · e−|x|, −∞ < x <∞

a) Determinar la constante k para que f sea funcion densidad.

Desarrollo:

1 =

∫ ∞−∞

ke−|x|x = 2

∫ ∞0

ke−xx

∴ k =1

2

b) Si X tiene funcion densidad f , determinar su funcion generadora de momentos.

Desarrollo:

ϕX(t) =

∫ ∞−∞

ext1

2e−|x|x

=1

2

∫ 0

−∞extexx+

1

2

∫ ∞0

exte−xx

=1

1− t2

∴ ϕX(t) =1

1− t2t 6= ±1

c) Si X tiene funcion densidad f , e Y = 25X2, encontrar E(Y ) y V(Y )

Desarrollo:

Utilizando lo obtenido en (b),

E(X) = ϕ′X(0) =2t

(1− t2)2

∣∣∣∣t=0

= 0

E(X2) = ϕ′′X(0) =2 + 6t2

(1− t2)3

∣∣∣∣t=0

= 2

E(X3) = ϕ′′′X(0) =24t− 24t3

(1− t2)4

∣∣∣∣t=0

= 0

E(X4) = ϕ(4)X (0) = 24

MAT042 HSR 163


Ademas,

E(Y ) = E(25X2) = 25E(X2) = 25 · 2 = 50

E(Y 2) = E(625X4) = 625E(X4) = 625 · 24 = 15000

Por lo tanto, V (X) = 15000− 2500 = 12500.

MAT042 HSR 164


16.3. Certamen 3

Problema 1

Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias independientes con funcion densidad

f(x) = (θ + 1)xθI]0,1[(x), θ > −1.

a) Determine un estimador de maxima verosimilitud para µ = 1θ+1

.

Desarrollo:

Sea θ = 1µ− 1, por lo que la funcion queda:

f(x, µ) =1

µx

1µ−1I]0,1[(x), µ > 0

Luego, el estimador viene dado por:

f (x1, x2, . . . , xn, µ) =n∏i=1

1

µ(xi)

1µ−1 I]0,1[(xi)

ln f (xi, µ) = lnn∏i=1

1

µ(xi)

1µ−1 I]0,1[(xi)

=n∑i=1

[− lnµ+

(1

µ− 1

)lnxi + ln I]0,1[(xi)

]= −

n∑i=1

lnµ+1

µ

n∑i=1

lnxi −n∑i=1

lnxi +n∑i=1

ln I]0,1[(xi)

= −n lnµ+1

µ

n∑i=1

lnxi −n∑i=1

lnxi +n∑i=1

ln I]0,1[(xi)

Luego,∂L

∂µ= −n

µ− 1

µ2

n∑i=1

lnxi =⇒ µ = −n∑i=1

lnxin

MAT042 HSR 165


Ahora,

∂2L

∂µ2=

(n

µ2+

2

µ3

n∑i=1

lnxi

)∣∣∣∣∣µ=µ

=n

µ2+

2

µ3

n∑i=1

lnxi

=n

µ2+−2n

µ3

(−

n∑i=1

lnxin

)=

n

µ2− 2n

µ3µ

=n

µ2− 2n

µ2

= − n

µ2

Finalmente,∂2L

∂µ2

∣∣∣∣µ=µ

= − n

µ2< 0 ∀n ∈ N , µ ∈ R

∴ µ = −n∑i=1

lnxin

Es el estimador de MV para µ.

MAT042 HSR 166


b) Demostrar que µ es insesgado

Desarrollo:

Por demostrar que E (µ) = µ, por lo que desarrollamos:

E (µ) = E

(−

n∑i=1

lnxin

)

= − 1

n

n∑i=1

E (lnxi)

= − 1

n

n∑i=1

(∫ 1

0

ln(xi)1

µx

1µ−1

i dxi

)= (sea u = lnxi −→ du =

1

xidxi y dv = 1

µx

1µ−1

i dxi −→ v = x1µ

i )

= − 1

n

n∑i=1

(x

1µ

i lnxi

∣∣∣∣10

−∫ 1

0

1

xix

1µ

i dxi

)= notar que lım

xi→0x

1µ

i lnxi = 0 y lımxi→1

x1µ

i lnxi = 0

= − 1

n

n∑i=1

(−∫ 1

0

1

xix

1µ

i dxi

)= − 1

n

n∑i=1

(−µ∫ 1

0

1

µx

1µ−1

i dxi

)= − 1

n

n∑i=1

(−µ)

= − 1

n(−nµ)

= µ

Por lo tanto, el estimador es insesgado, ya que se cumple que E (µ) = µ.

c) Determinar la cota de Cramer-Rao de µ y verificar la eficiencia del estimador µ

Desarrollo:

La cota viene dada por:

V (µ) ≥ 1

−E(∂2L

∂µ2

)

MAT042 HSR 167


Aparte,

−E(∂2L

∂µ2

)= −E

(n

µ2+

2

µ3

n∑i=1

lnxi

)

= − n

µ2− 2

µ3

n∑i=1

E (lnxi)

= − n

µ2− 2

µ3

n∑i=1

(−µ)

= − n

µ2− 2

µ3(−nµ)

= − n

µ2+

2n

µ2

=n

µ2

∴ V (µ) ≥ µ2

n

Ahora, calculamos la varianza del estimador,

V (µ) = V

(−

n∑i=1

lnxin

)

=1

n2

n∑i=1

V (lnxi)

=1

n2

n∑i=1

[E(ln2 xi

)− (E (lnxi))

2]=

1

n2

n∑i=1

[E(ln2 xi

)− (−µ)2]

MAT042 HSR 168


Aparte,

E(ln2 x

)=

∫ 1

0

(ln2 xi)1

µx

1µ−1 dx

= (sea u = ln2 x −→ du =2 lnx

xdx y dv = 1

µx

1µ−1 dx −→ v = x

1µ )

= x1µ ln2 x

∣∣∣10−∫ 1

0

2 lnx

xx

1µ dx

= notar que lımx→0

x1µ ln2 x = 0 y lım

x→1x

1µ ln2 x = 0

= −∫ 1

0

2 lnx

xx

1µ dx

= −2µ

∫ 1

0

lnx1

µx

1µ−1 dx

= −2µ (−µ)

= 2µ2

Reemplazando,

1

n2

n∑i=1

[E(ln2 xi

)− (−µ)2] =

1

n2

n∑i=1

[2µ2 − (−µ)2]

=1

n2

n∑i=1

[2µ2 − µ2

]=

1

n2

n∑i=1

µ2

=1

n2nµ2

=µ2

n

∴ V (µ) =µ2

n

y como la varianza del estimador es igual a la cota de Cramer-Rao, el estimador es eficiente.

MAT042 HSR 169


Problema 2

1. Suponga que X e Y son variables aleatorias con funcion de cuantıa p(x, y), demuestre que

E(X) = E(E(X | Y = y))

Desarrollo:

E(E(X | Y = y)) =∑y

E (X | Y = y)P (Y = y)

=∑y

[∑x

xP (X = x | Y = y)

]P (Y = y)

=∑y

∑x

xP (X = x | Y = y)P (Y = y)

=∑y

∑x

xP (Y = y | X = x)P (X = x)

=∑x

xP (X = x)

(∑y

P (Y = y | X = x)

)=

∑x

xP (X = x)

= E (X)

∴ E(E(X | Y = y)) = E (X)

2. Hay 20 personas donde 12 son hombres, 8 son mujeres. Se sacan 6 personas al azar. Si X,numero de mujeres, e Y , numero de hombres

i) Determinar la funcion de cuantıa conjunta de (X,Y)

Desarrollo:

la funcion de cuantıa esta dada por:

fXY (x, y) =

(8x

)(12y

)(

206

) x ∈ 0, 1, . . . , 8 e y ∈ 0, 1, . . . , 12

MAT042 HSR 170


a) Determinar P (X | Y = 3)

Desarrollo:

P (X | Y = 3) =P (X, Y = 3)

P (Y = 3)

=

8x

12y

20

6

25

255

(12y

)

=

(8x

)25

255

(206

)=

1

28

(8x

)

∴ P (X | Y = 3) =1

28

(8x

)

MAT042 HSR 171


b) Determinar marginales.

Desarrollo:

Marginal de X:

fX (x) =12∑y=1

(8x

)(12y

)(

206

)

=

(8x

)(

206

) 12∑y=0

(12y

)

=

(8x

)(

206

) 12∑y=0

(12y

)1y112−y

︸︷︷︸Teorema del Binomio

=

(8x

)(

206

)212

= 212

(8x

)14! · 6!

20!

∴ fX (x) =29

255

(8x

)con x ∈ 0, 1, . . . , 8

MAT042 HSR 172


Marginal de Y :

fY (y) =8∑

x=0

(8x

)(12y

)(

206

)

=

(12y

)(

206

) 8∑x=0

(8x

)

=

(12y

)(

206

) 8∑x=0

(8x

)1x18−x

︸︷︷︸Teorema del Binomio

=

(12y

)(

206

)28

= 28

(12y

)14! · 6!

20!

∴ fY (y) =25

255

(12y

)con y ∈ 0, 1, . . . , 12

c) ¿Son X e Y independientes?

Desarrollo:

Las variables no son independientes, pues:(8x

)(12y

)(

206

) 6= 29

255

(8x

)25

255

(12y

)

MAT042 HSR 173


Problema 3

Un estudio realizado a nivel mundial recolecto informacion demografica y economica de 109 paıses.Se resgistraron variables como tasas de natalidad, mortalidad y mortalidad infantil, productointerno bruto, region economica, esperanza de vida masculina y femenina, % anual de aumentopoblacional, ingesta diaria de calorıas, entre otras.

a) El estudio revela una fuerte relacion entre la mortalidad infantil (calculada como el numero demuertes por cada mil nacidos vivos) y el porcentaje de personas alfabetizadas. Esta relaciones analizada a traves del ajuste de un modelo lineal, para el cual verificaremos se cumplanalgunos supuestos. Sean e1, e2, . . . , en los residuos del modelo.

i) Determine si se cumple que E(e) = 0.

ii) ¿Es posible afirmar que e ∼ N(0, σ2)?

Para cada caso, identifique claramente las hipotesis, estadıstico de prueba, regla de rechazoy conclusion.

Desarrollo:

i) Realizamos una prueba de hipotesis para la media con varianza desconocida, siendo alshipotesis

H0: E(µ) = 0H1: E(µ) 6= 0

y rechazamos esta hipotesis si |t0| > tn−1,1−α/2.

Calculamos t0 con los valores de tabla

t0 =x− µs/√n

=−0.005− 0

16.65/√

107= −0.0031

y tn−1,1−α/2 = 1.98. Entonces como t0 ≯ tn−1,1−α/2, no podemos rechazar H0 y en estecaso, decimos que los residuos tienen media 0.

MAT042 HSR 174


ii) Las hipotesis son

H0 : e ∼ N(0, σ2)H1 : e N(0, σ2)

Y rechazamos H0 si valor− p < α. En este caso, el valor-p es 0.432, mucho mayor queα = 5 %, por lo que no rechazamos la hipotesis nula y, en este caso, decimos que losresiduos tienen distribucion normal con media 0 y varianza σ2.

b) Se pide determinar si existe relacion entre la ingesta diaria de calorıas y la esperanza devida masculina. La tabla (b) muestra la distribucion conjunta de estas variables, ¿es posibledeterminar con un nivel de significancia del 5 % que estas variables estan asociadas? Planteehipotesis, regla de rechazo y conclusion.

Desarrollo:

Primero que todo hay que enunciar la hipotesis nula y alternativa para este problema. Estasson:

H0: Las variables no estan relacionadasH1: Las variables estan relacionadas

La regla de rechazo para H0 es si valor − p < αPor la tabla de datos se obtiene que el valor − p es igual a 0.0001 < 0.05

Entonces, se rechaza H0.Por lo tanto, las variables estan relacionadas con una significancia del 5 %.

c) Historicamente se ha planteado que las regiones mas ricas (OCDE, Europa Oriental) debentener una esperanza de vida mayor. Sin embargo, los analistas plantean que este indicadores significativamente menor en Europa Oriental. ¿Es posible respaldar esta hipotesis conα = 5 %?

Desarrollo:

Se busca comprobar que:

MAT042 HSR 175


H0 : µO ≤ µEH0 : µO > µE O: OCDE ; E: Europa Oriental

Como no se conoce la relacion que existe entre las varianzas de E y O es necesario primeroque todo, hacer un test de hipotesis que compare las varianzas.

Por lo tanto, la hipotesis nula y alternativa para las varianzas son:

H0 :σ2

1

σ22

= 1

H1 :σ2

1

σ22

6= 1

Se rechaza H0 si F0 > Fn1−1,n2−1,1−α/2 o F0 < Fn1−1,n2−1,α/2

Fn1−1,n2−1,1−α/2 = 2.947Fn1−1,n2−1,α/2 = 0.379

Se tiene que F0 =S2

1

S22

= 1.063

Como F0 = 1.063 ≯ 2.947 y 1.063 ≮ 0.379, entonces no se rechaza H0.Por lo tanto se asume que las varianzas son iguales y se procede a realizar el test de hipotesispara la esperanza de vida en la OCDE y Europa Oriental que se planteo inicialmente.

H0 : µO ≤ µEH0 : µO > µE

Se rechaza H0 si:T0 > tn1+n2−2,1−α

T0 =80.1− 76

Sp

√q21

+ 114

S2p =

20 · 1.1792 + 13 · 1.1092

33=⇒ Sp = 1.15

∴ T0 =80.1− 76

1.15√

q21

+ 114

=⇒ T0 = 10.48

tn1+n2−2,1−α = 1.69

MAT042 HSR 176


Como 10.48 ≯ 1.69, por lo tanto, se rechaza H0 y podemos concluir que la esperanza de vidafemenina es menor en Europa Oriental, con una significancia del 5 %.

MAT042 HSR 177

Recopilacion_MAT042

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