Interval

L’interval semiobert per la dreta [a, b) és el conjunt de tots els nombres reals més grans o iguals que a i més petits que b.

[a, b) = {x R| a ≤ x < b}

Sector circular i angle central

Un sector circular és la porció de cercle comprès entre dos radis, i queda determinat per l’angle que formen aquests radis. Aquest angle s’anomena central.

Estudi estadístic i variable estadística

Es fa un estudi estadístic quan es vol obtenir informació sobre algun tema relacionat amb un grup d’elements similars. La informació s’obté a partir d’una pregunta anomenada variable estadística.

Paràmetres estadístics

Són valors que sintetitzen la informació continguda en una variable estadística. Alguns d’aquests són la mitjana, la mediana, la moda, la desviació típica, etcètera.

Recordes què és…?

MAT4A_U11(Val).indd 194 17/5/08 10:05:23

11TÍTULAR (PUEDE SER DE DOS LÍNEAS)

Texto de introducción (ajustar la mancha de color al texto). Un libro de recetas de cocina indica que, para la elaboración de una tarta de manzana para 4 personas se necesitan los siguientes ingredientes: 200 g de masa, 6 manzanas reineta, 150 g de azúcar, 3 cu-charadas de mermelada de albaricoque y 200 g de crema pastelera. Si lo que se desea es hacer una tarta para 8 personas, es lógico suponer que la cantidad necesaria de cada uno de los ingredientes es el doble de la indi-cada para una tarta de 4 personas. Pero si se quiere que la tarta sea de cinco, seis o siete raciones, ¿cuál sería la cantidad necesaria de cada ingrediente?

En esta Unidad, vas a ver cómo puedes cal-cular la cantidad de cada uno de los ingre-dientes para hacer una tarta con las raciones que desees a partir de la receta dada.

(Objetivos o contenidos)Los objetivos de esta Unidad son:

Que aprendas a determinar la constante de proporcionalidad.

00. La Tierra A. Los movimientos de la Tierra

11ESTADÍSTICA

L’estadística, o «ciència de l’Estat», es va emprar a l’origen per a la descripció de dades. És lògic que els estats vulguin estudiar distintes característiques de les poblacions i els seus recursos.

El primer objectiu de l’estadística és esbrinar procediments per a representar i sintetitzar la informació proporcionada per certes dades. La branca denominada estadística descriptiva s’encarrega d’aquest objectiu.

Posteriorment, l’estadística va abordar un objectiu molt més ambiciós: fer prediccions fiables sobre la població a partir d’una mostra extreta. D’això s’encarrega l’anomenada estadística inferencial.

El desenvolupament de les tècniques d’anàlisi de mostres permet relacionar variables físiques i socials, fins i tot abans d’esbrinar el principi que n’explica la relació.

Els objectius d’aquesta Unitat són:

• Dominar els conceptes elementals de l’estadística descriptiva.

• Aplicar les tècniques i els càlculs estadístics a un conjunt de dades.

MAT4A_U11(Val).indd 195 17/5/08 10:05:28

196

11Suposa, a manera d’exemple, que volem calcular el temps que pot sobreviure una espècie vegetal determinada sense ser regada. No sembla raonable deixar sense aigua totes les plantes d’aquesta espècie, però sí que es pot seleccio-nar-ne un grup i sotmetre-les a aquesta prova. Doncs bé, el conjunt de totes les plantes d’aquesta espècie es denomina població, i el grup de plantes que se sotmet a la prova es denomina mostra. De l’estudi de la mostra es pretén obtenir conclusions referides al total de la població.

1 NOCIONS D’ESTADÍSTICA

Població és un conjunt d’elements que, per un motiu o un altre, estem interessats a estudiar.

Individu és cadascun dels elements de la població.

Mostra és una part de la població.

L’estadística és la ciència que, mitjançant l’ús de models matemàtics, orga-nitza dades associades a una certa població i permet obtenir conclusions a partir de mostres.

En una població determinada es poden estudiar distints aspectes. Així, en l’exemple que obre aquesta secció, l’aspecte que estudiem és «temps de vida d’una planta sense ser regada».

Els distints aspectes o trets d’una població s’anomenen caràcters estadís-tics, o simplement caràcters.

Un caràcter és qualitatiu si pren valors no numèrics. Per exemple, el «lloc de naixement» és un caràcter qualitatiu, perquè els valors que pren, Madrid, Segòvia, Badajoz… no són numèrics. Els valors que pren un caràcter qualitatiu reben el nom particular de modalitats.

Un caràcter és quantitatiu si pren valors numèrics. Així, «l’edat d’una per-sona» que pren valors com 5 anys, 6 anys, 30 anys…, és un caràcter quanti-tatiu.

El conjunt de valors que pren un caràcter estadístic es denomina variable estadística, o, si no hi ha confusió, variable.

Una variable quantitativa és discreta si els valors que pren són aïllats. Per exemple, «el nombre de germans» o «el nombre de pàgines d’un llibre». Si la variable pot prendre tots els valors d’un interval, es denomina contínua.Són variables contínues «la talla», «el pes» o «el temps que tarda un corredor a concloure una marató».

Posa dos exemples de variable discreta, i in-dica els valors aïllats que poden prendre.

Pensa en dos exemples de variable contínua, i indica els valors que poden prendre.

Posa dos exemples de caràcter estadístic qualitatiu i dos de caràcter estadístic quantitatiu.

A uns alumnes se’ls pregunta per l’esport que practiquen. És un caràcter quantitatiu?

Exercicis

1

2

3

4

Altres aspectes associats a distintes poblacions són, per exemple, «el nombre d’hores que s’entrenen uns esportistes» o «la professió dels integrants d’un club d’escacs».

Reflexiona

En la pràctica, els termes caràcter i variable s’empren com si fossin equivalents. Així, parlem de variables qualitatives i quantitatives.

Tingues en compte

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/iniciacion_estadististica_fjgarcia/01VariablesEstadisticas.htmEn aquesta pàgina de F. J. García apareixen distints tipus de variables que cal identificar i es pot comprovar la resposta.

WEB

MAT4A_U11(Val).indd 196 17/5/08 10:05:32

197

2 TAULES DE FREQÜÈNCIESEl primer problema de l’estadística és l’ordenació i la tabulació de les dades obtingudes en certes observacions per a extreure conclusions sobre les carac-terístiques d’una població. Les taules de freqüència d’una variable estadística permeten ordenar les dades estadístiques i proporcionar-ne una lectura clara. Distingirem dos tipus de taules.

VARIABLES DISCRETESASuposem una variable discreta que pren els valors x1, x2, ..., xi, ... Associats a aquestes dades, definim:

— Freqüència absoluta del valor xi: és el nombre de vegades que es repeteix el valor xi. Es representa com a fi.

— Grandària de la població: és N = f1 + f2 + ... + fn =

n

i = 1

fi .

— Freqüència relativa hi del valor xi: és el quocient entre la freqüència

absoluta i la grandària de la població o de la mostra, això és, hi = fi

N.

— Percentatge del valor xi és el tant per cent d’aparició del valor xi. Es repre-senta com a pi, i es calcula amb l’expressió pi = 100 · hi.

Amb tot això es construeix la denominada taula de freqüències.

El conjunt de dades obtingudes en un estudi estadístic s’anomena distribució de dades.

Definició

El símbol , que no és més que la lletra grega sigma, en matemàtiques s’anomena sumatori i serveix per a escriure de manera abreujada sumes. Així, l’expressió x1 + x2 + ... + xn se

s’abreuja com a n

i = 1

fi .

Definició

En l’Exemple 1, la dada 0 apareix 2 vegades, per la qual cosa la seva freqüència és f1 = 2. Igualment amb la resta de dades.

Tingues en compte

A un grup de 20 socis d’una biblioteca se’ls ha preguntat sobre el nombre de llibres que han llegit el mes passat. Les respostes són les següents:

4, 2, 1, 0, 3, 1, 4, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 4, 1, 2.

La grandària de la població és N = 20, i la taula de freqüències resta així:

xi fi hi pi

0 2 2/20 = 0,1 10%1 6 6/20 = 0,3 30%2 6 6/20 = 0,3 30%3 2 2/20 = 0,1 10%4 4 4/20 = 0,2 20%

Total N = 20 1 100%

Exemple 1

Copia en el quadern i com-pleta la taula de freqüències de les edats dels membres d’un club d’escacs:

Construeix la taula de freqüències de les dis-tribucions següents de dades i assenyala situacio-ns reals a què es puguin associar:

a) 4, 3, 2, 2, 0, 1, 4, 1, 1, 3, 0, 0, 0, 4, 5.

b) 18, 23, 22, 19, 23, 23, 24, 21, 23, 19, 18, 23, 23, 24, 23, 22, 23, 21.

Exercicis

5 6 xi fi hi pi

9 0,1510 911 40 %

Total 20

MAT4A_U11(Val).indd 197 17/5/08 10:05:34

198

11 VARIABLES CONTÍNUESBSi la variable és contínua, o el nombre de valors diferents de la variable és molt elevat, convé elaborar una taula de freqüències i agrupar les dades en intervals o classes.

El punt mitjà de cada classe es denomina marca de classe i es designa com a xi.

Un cop distribuïdes les dades en intervals i calculades les marques de classe, la manera de procedir és anàloga a la de les variables discretes, amb la subs-titució de la totalitat de l’interval per la marca de classe.

Els intervals solen ser de la mateixa grandària, encara que no sempre és així.

Tingues en compte

A manera d’exemple, la marca de classe de [10,15) és:

10+15

2 = 12,5

Tingues en compte

Copia i completa en el teu quadern la taula de freqüències següent:

Classes Marca

x1f1 h1 pi

[0, 10) 10 0,20[10, 15) 30 %[15, 20) 5[20, 25)[25, 30) 2 4 %Total N = 50

El nombre de persones que van anar a un servei mèdic al llarg de l’últim mes és:

24 26 30 29 31

23 35 43 27 35

28 32 27 21 32

41 22 28 40 38

22 25 41 24 43

22 26 34 29 40

Agrupa les dades anteriors en intervals d’amplitud 5 i elabora la taula de freqüències d’aquesta dis-tribució.

Exercicis

7 8

Una fàbrica elabora varetes de ferro de diferents longituds. La longitud, en mil·límetres, de 30 d’aquestes és la següent:

15 12 11 14 24 17 10 6 10 23

10 15 17 18 19 16 12 23 12 19

24 18 12 13 24 8 21 15 11 14

Es tracta d’una distribució de variable contínua. La dada més petita és 6 mm i la més gran és 24 mm, per la qual cosa podem formar aquestes quatre classes: [5, 10), [10, 15), [15, 20) i [20, 25). Efectuant el recompte de les dades i agrupant-les en aquestes classes, s’elabora la taula de freqüències:

Classes Marca de classe x1

fi hi pi

[5, 10) 7,5 2 2/30 6,66 %[10, 15) 12,5 12 12/30 40 %[15, 20) 17,5 10 10/30 33,33 %[20, 25) 22,5 6 6/30 20 %Total N = 30 1 100 %

Exemple 2

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Recuento_y_agrupacion_datos/organizacion_datos.htmPàgina de J. A. González que permet veure la construcció pas a pas d’una taula de freqüències, amb el càlcul posteriorde la mitjana.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/iniciacion_estadististica_fjgarcia/02TablasDeFrecuencias.htmAquesta pàgina de F. J. García permet construir taules de freqüència de variable discreta controlant la grandària dels intervals.

WEB

MAT4A_U11(Val).indd 198 17/5/08 10:05:36

199

3 PARÀMETRES ESTADÍSTICSEls paràmetres estadístics són un petit nombre de valors que resumeix la informació d’una variable estadística. Es divideixen en paràmetres de cen-tralització (les dades s’agrupen entorn d’aquests) i paràmetres de dispersió(informen sobre la intensitat amb què s’agrupen les dades entorn dels valors centrals).

MITJANA, VARIÀNCIA I DESVIACIÓ TÍPICAAConsidera una variable estadística X, de grandària N, amb la taula de freqüèn-cies del marge. Els valors x1, x2, xi, ... xn són els valors de la variable, si aquesta és discreta, o les marques de classe, si és contínua.

La mitjana aritmètica de X és:

–x = f1x1 + f2x2 + … + fnxn

f1 + f2 + … + fn

=

n

i = 1

fi xi

n

i = 1

fi

=

n

i = 1

fi xi

N

La mitjana aritmètica (o per simplicitat, la mitjana) és un valor entorn del qual es concentra la distribució, i es mesura en les mateixes unitats que les dades.

La variància de X és Var = 2 =

n

i = 1

fi (xi – –x)2

N =

n

i = 1

fi xi2

N – –x 2 ≥ 0

La desviació típica de X és = Var ≥ 0.

Paràmetres de centralització: Mitjana, moda, mediana, quartils, percentils…

Paràmetres de dispersió: Variància, desviació típica i coeficient de variació.

Vocabulari

xi fi

x1 f1x2 f2· ·· ·xn fn

Total N

xi fi fi xi

0 2 01 5 52 5 103 1 34 2 8

Total N = 15 26

xi fi fi xi fi xi2

0 2 0 01 5 5 52 5 10 203 1 3 94 2 8 32

Total N = 15 26 66

La variància es mesura en unitats quadrades, mentre que la desviació típica ho fa en les mateixes unitats que les dades.

A partir de la distribució de l’exemple 3, multiplicant la columna xi

per la columna fixi obtenim fi xi2, la qual cosa ens permet calcular:

Var =

n

i = 1

fixi2

N – –x 2 =

6615

– 2615

2

1,3955...

= Var = 1,3955... = 1,1813...

Exemple 4

En la distribució del marge s’ha afegit una columna amb els valors dels productes fixi, la qual cosa facilita el càlcul de la

mitjana. Com N = 15 i n

i = 1

fixi = 26, la mitjana és –x = 2615

1,73...

Exemple 3

En la pestanya Activitats/Unitat 11, trobaràs l’activitat Relació 2 unitat 11, per acalcular la mitjana.

CD

MAT4A_U11(Val).indd 199 17/5/08 10:05:38

200

11 COEFICIENT DE VARIACIÓBLa desviació típica representa una mesura de la dispersió de les dades res-pecte a la mitjana. Ara bé, com a mitjana i desviació típica tenen unitats, el fet que la desviació sigui «gran» o «petita» és poc rellevant si es desconeix com de «gran» o «petita» és la mitjana. En particular, la desviació típica per si sola no permet comparar graus de dispersió de dues distribucions de dades. Per a resoldre aquest problema, es defineix el coeficient de variació (o de dispersió).

El coeficient de variació CV d’una variable X és el quocient entre la des-

viació típica i la mitjana. És a dir, CV = –x .

El coeficient de variació és una magnitud sense unitats i representa una mesura relativa de la dispersió.

Tingues en compte

Esbrina la mitjana, la desviació típica i el coefi-cient de variació d’aquestes distribucions:

a) 27, 22, 29, 30, 21, 22, 27, 18, 23, 26, 33, 35, 20,26, 29.

b) 26, 21, 27, 31, 19, 24, 26, 19, 20, 24, 31, 32, 18,23, 30.

Quina de les dues distribucions té un grau més alt de dispersió?

Calcula la mitjana, la variància, la desviació típica i el coeficient de variació de les distribucions associades als exercicis 7 i 8.

Estudia la variable estadística contínua «talla en centímetres», aplicada a dos grups di-ferents de la teva classe, i calcula’n la mitjana, la variància, la desviació típica i el coeficient de variació. Decideix en quin dels dos grups és més gran la dispersió en la talla.

Exercicis

9 11

10

Dos venedors d’enciclopèdies efectuen, durant l’última setmana, les vendes següents:

Venedor A 4, 3, 8, 0, 4, 6, 8

Venedor B 4, 6, 4, 2, 1, 6, 6

Per a decidir quin dels dos és més regular en les ven-des es calculen els coeficients de variació respectius. La mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de A són:

–xA = 337

, A = 205

7 –

337

2

2,66

CVA = A

–xA

2,664,714

0,56 = 56%

La mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de B són:

–xB = 297

, B = 145

7 –

297

2

1,88

CVB = B

–xB

1,884,14

0,45 = 45%

Com que el coeficient de variació CVB és més petit que CVA, es pot concloure que el venedor B és més regular que el venedor A en la venda d’enciclopèdies.

Exemple 5

Vendesxi

Venedor Afi fi xi fi xi

2

0 1 0 03 1 3 94 2 8 326 1 6 368 2 16 128

Total N = 7 33 205

Vendes xi

Venedor Bfi fi xi fi xi

2

1 1 1 12 1 2 44 2 8 326 3 18 108

Total N = 7 29 145

MAT4A_U11(Val).indd 200 17/5/08 10:05:40

201

Fn = N

MEDIANA I MODACEstudiem en aquesta secció la mediana i la moda. Per a definir i calcular la mediana és necessari el concepte de freqüència absoluta acumulada.

En una taula de freqüències, la freqüència acumulada associada a xy, re-presentada com a Fi, és la suma Fi = f1 + f2 + … + fi. El valor de Fi és la suma de les freqüències absolutes de x1, x2, … i xi.

Esbrina la mitjana, la mediana i la desviació típica de la distribució: 3, 5, 2, 4, 6, 6, 4, 3, 5, 7, 4.

Calcula la mediana de les distribucions de l’exercici 11.

Exercicis

12 13

Tingues en compte

Per definir la mediana, és imprescindible que les dades de la distribució apareguin ordenades. Fet això, la mediana deixa el 50 % de la població al davant, i al darrere l’altre 50 %.

Reflexiona

xi fi Fi

0 9 91 7 9 + 7 = 162 4 16 + 4 = 203 1 20 + 1 = 214 1 21 + 1 = 22

Considerem la taula de freqüències següent a la qual s’afegeix la columna de freqüències absolutes acumulades:

xi fi Fi

0 3 31 2 3 + 2 = 52 3 5 + 3 = 83 1 8 + 1 = 94 1 9 + 1 = 10

Exemple 6

La distribució (ordenada) 1, 3, 5, 7, 10 té 5 dades. La mediana és la dada que ocupa la posició tercera. Això és, Me = 5.

La distribució 9, 10, 12, 15, 15, 16, 19, 24, 30, 45 consta de 10 dades. Les dades centrals, en les posicions cinquena i sisena, són 15 i 16. Per tant, la mediana és:

Me = 15 + 16

2 = 15,5

Exemple 7

En la taula de freqüències del marge, el nombre de dades és N = 22, que és un nombre parell. Com que la meitat de la grandària

de la població és N2

= 11, les posicions centrals són l’11a i la 12a, i

com que les dues estan associades al valor xi = 1, la mediana és:

Me = 1 + 1

2 = 1

Exemple 8

Podem abordar ja la definició de mediana d’una distribució de dades.

Suposem que el nombre de dades és petit. Després d’ordenar les dades en ordre creixent, la mediana Me és la dada que ocupa la posició central. En el cas en què el nombre de dades sigui parell, la mediana Me és la mitjana dels dos valors centrals.

MAT4A_U11(Val).indd 201 17/5/08 10:05:42

202

11 Suposem ara que les dades s’agrupen en intervals. Denominem classe me-diana el primer interval la freqüència absoluta acumulada del qual és més gran o igual que la meitat de la grandària de la població. Designem Fi aquesta freqüència absoluta acumulada, i xy la marca de la classe mediana. Hi ha dues possibilitats:

— Si Fi > N2

, aleshores la mediana és Me = xi.

— Si Fi = N2

, aleshores la mediana és Me = xi + xi + 1

2.

Un altre paràmetre que es pot calcular és la moda. A la vista de la taula de l’exemple anterior, s’observa que la classe amb més freqüència absoluta és [40, 60). Aquesta classe es denomina classe modal. La marca de la classe mo-dal es denomina moda. Així doncs, la moda d’aquesta distribució d’alçàries és M0 = 50 cm.

Si la distribució de dades no necessita agrupació per intervals (variables dis-cretes amb pocs valors), la moda M0 és el valor (o valors) de la variable amb més freqüència absoluta.

Esbrina la mediana i la moda de les distribu-cions A i B associades a l’exemple 5.

Inventa una distribució de dades amb media-na 2 i moda 3.

Esbrina la mediana i la moda de les distribu-cions dels exercicis 7 i 8.

Calcula la mitjana, la mediana i la moda de la distribució: 3, 7, 5, 4, 3, 3, 6, 8, 10, 9.

Exercicis

14 16

15 17

D’aquesta mateixa manera, es pot calcular la mediana d’una distribució de variable discreta amb les dades presentades en una taula de freqüències.

Tingues en compte

Alçària xi fi Fi

[0, 20) 10 12 12[20, 40) 30 16 28[40, 60) 50 20 48[60, 80) 70 4 52

xi fi Fi

0 3 31 2 52 3 83 1 94 1 10

N = 10

La taula del marge proporciona l’alçària, en centímetres, de les plantes d’un hivernacle.

La meitat de la població és N2

= 26, per això la classe mediana

és [20, 40), amb Fi = 28 > N2

.

La mediana és la marca de classe de [20, 40), això és, Me = 30 cm.

Exemple 9

Considerem la distribució: 0, 1, 3, 0, 2, 1, 0, 2, 4, 2. En elaborar la taula de freqüències, situada al marge, s’observa que els valors 0 i 2 tenen freqüència 3, que és la més gran de totes. Per tant, la distribució té dues modes: M0 = 0 i M0 = 2.

Respecte a la mediana, tenint en compte que N2

= 5 coincideix

amb la freqüència absoluta acumulada F2 de x2 = 1, se segueix que:

Me =x2 + x3

2=

1 + 22

= 1,5

Exemple 10

MAT4A_U11(Val).indd 202 17/5/08 10:05:43

203

QUARTILS I CENTILSDAnteriorment s’ha comentat que, després d’ordenar les dades, la mediana divideix aquestes en dues parts iguals i deixa a l’esquerra la meitat de les dades. Si en comptes de dividir la distribució en dues parts iguals, ho fem en quatre parts iguals, els tres punts de separació associats es denominen quartils i es representen com a Q1, Q2 i Q3.

— El primer quartil, Q1, deixa a la seva esquerra la quarta part de la distribució, és a dir, el 25 %.

— El segon quartil, Q2, deixa a la seva esquerra la meitat de la distribució i, per tant, coincideix amb la mediana, és a dir, Q2 = Me.

— El tercer quartil, Q3, deixa a la seva esquerra tres quartes parts de la distri-bució, és a dir, el 75 %.

De la mateixa manera, si volem dividir una distribució en 100 parts iguals, apareixen 99 punts de separació denominats percentils o centils. El percentil d’ordre k, representat com a pk, deixa a la seva esquerra k centèsimes parts de la distribució.

Es verifica: p25 = Q1, p50 = Q2 = Me i p75 = Q3.

En el cas de les distribucions amb dades agrupades en intervals, els quar-tils es calculen de manera totalment anàloga a com es fa amb la mediana.

Per exemple, per a calcular Q1 es busca el primer interval la freqüència abso-luta acumulada del qual supera la quarta part de les dades. Esbrinat aquest, s’identifica Q1 amb la marca de classe. Anàlogament, es repeteix el mateix procés per a Q3.

Esbrina els percentils p65 i p93 per a la distribu-ció de l’exemple 11.

Esbrina els quartils Q1 i Q3 per a les distribu-cions dels exercicis 7 i 8.

Exercicis

18 19

En realitat, els quartils i els percentils calculats així són només aproximats. El càlcul exacte és una mica més complex.

Tingues en compte

Classe fi Fi

1 1 12 2 33 5 84 10 185 4 226 6 287 3 31

Total 31

Considerem la distribució definida per la taula del marge. Cal-cularem Q1, Q2, Q3 i P7,

La quarta part de les dades és 314

= 7,75.

El primer valor la freqüència absoluta acumulada del qual su-pera la quarta part de les dades és 3. Per tant Q1 = 3.

La meitat de les dades és 15,5, d’on es desprèn que la mediana és Me = Q2 = 4.

A l’últim, les tres quartes parts de les dades són 3 · 314

= 23,25,

per la qual cosa es té Q3 = 6.

Vegem ara com es pot calcular, a manera de mostra, el percentil p7. Set centèsimes parts de les dades són 7 % de 31 = 2,17. El primer valor la freqüència absoluta acumulada del qual supera 2,17 és 2. Per tant, p7 = 2.

Exemple 11

http://www.aulademate.com/contentid-255.htmlPàgina interactiva, en introduir els valors de la variable i les seves freqüències, el programa construeix una taula i calcula els paràmetres estadístics.

WEB

MAT4A_U11(Val).indd 203 17/5/08 10:05:44

204

11Els gràfics són maneres senzilles de representar les freqüències absolutes i relatives d’una distribució de dades associades a un cert estudi estadís-tic. Segons sigui la variable que estudiarem, s’empra l’un o l’altre tipus de gràfics.

4 GRÀFICS ESTADÍSTICS

DIAGRAMA DE BARRESAEls diagrames de barres s’empren, generalment, per a variables quantitati-ves amb pocs valors diferents. En uns eixos de coordenades, assenyalem els valors de la variable en l’eix d’abscisses. Després d’això, sobre cada valor de la variable s’aixeca una barra l’altura de la qual sigui la freqüència (absoluta o relativa, segons pertoqui) corresponent.

Hem preguntat a 36 parelles el nombre de vegades que surten a dinar o a sopar fora mensualment. Les dades apareixen reco-llides en la taula:

Nre. de vegades que surten 1 2 3 4 5 6

Nre. de parelles 3 9 2 8 10 4

El diagrama de barres associat a aquesta distribució és el del marge.

Exemple 12

POLÍGON DE FREQÜÈNCIESBIgual que els diagrames de barres, els polígons de freqüències s’associen a variables de pocs valors. En uns eixos de coordenades es representa un punt per cada valor de la variable. L’abscissa de cada punt representa el valor de la variable, mentre que l’ordenada representa la freqüència. Unint aquests punts mitjançant segments rectilinis s’obté el denominat polígon de fre-qüències.

És bastant habitual la representació conjunta del diagrama de barres i el po-lígon de freqüències.

El gràfic del marge és el polígon de freqüències de la distribu-ció de l’exemple 12.

Exemple 13

Construeix en el teu quadern el diagrama de barres i el polígon de freqüències de la distribució següent:

Valor 1 2 3 4 5

Freqüència 2 5 9 0 7

La distribució següent correspon al nombre de germans que té cada alumne d’una classe. Cons-trueix en el quadern el diagrama de barres i el po-lígon de freqüències associats.

Germans 0 1 2 3 4

Freqüència 6 9 7 4 1

Exercicis

20 21

Valor1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11Freqüència

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11Freqüència

Valor

MAT4A_U11(Val).indd 204 17/5/08 10:05:46

205

A un valor xi de freqüència relativa correspon un sector circular amb angle central de i = 360 · hi graus sexagesimals.

Tingues en compte DIAGRAMA DE SECTORSCEl diagrama de sectors s’empra habitualment amb variables associades a caràcters qualitatius, encara que també n’és possible l’ús amb caràcters quan-titatius. En aquest gràfic, es descompon un cercle en tants sectors circulars com valors prengui la variable. L’angle central de cada sector és proporcional a la freqüència del valor corresponent. En aquest tipus de gràfics se sol indicar el percentatge associat a cada sector.

Els 500 empleats d’una oficina van a la feina en distints mitjans de transport.

Transport fi hi pi Graus i = 360 · hi

Cotxe 200 0,40 40 % 144ºMetro 150 0,30 30 % 108ºAutobús 30 0,06 6 % 21,6ºBicicleta 20 0,04 4 % 14,4ºA peu 100 0,20 20 % 72º

Total 500 1 100 % 360º

Exemple 14

Cotxe

Metro

Autobús

Bicicleta

A peu

40 %

30 %

6 %

4 %

20 %

HISTOGRAMADL’histograma s’empra amb variables quantitatives de dades agrupades en intervals. Tenint en compte que són de la mateixa longitud, sobre cadascun d’aquests s’aixeca un rectangle l’altura del qual és la freqüència de l’interval corresponent.

Pere ha fet un recompte del nombre de persones que viuen en cadascun dels carrers d’un barri del seu poble. Els resultats apareixen agrupats en la taula, i l’histograma és:

Exemple 15

Persones fi

[50, 55) 3[55, 60) 2[60, 65) 5[65, 70) 4Total 14 50 55 60 65 70

0

1

2

3

4

5

6Freqüència

Nombre de persones per carrer

Construeix l’histograma associat a la distribució següent:

5, 8, 13, 23, 4, 16, 7, 24, 21, 1, 0, 4, 15, 11, 9, 2, 4, 11, 22, 21, 7, 6, 2, 1, 0, 4, 9, 14, 12, 22, 25, 0

Dibuixa un diagrama de sectors que represen-ti les preferències literàries de 100 lectors:

Gènere Policíac Aventures Terror

Freqüència 50 20 30

22 23

Exercicis

MAT4A_U11(Val).indd 205 17/5/08 10:05:49

206

EXERCICIS RESOLTS 11Un jardiner revisa els rosers del seu hivernacle, n’anota les alçàries

i representa les dades obtingudes en aquest histograma. Esbrina la mitjana, la desviació típica, la mediana i la moda de la distribució d’alçàries.

1

Alçària xi fi fi xi fi xi2 Fi

[20, 40) 30 10 300 9 000 10

[40, 60) 50 8 400 20 000 18

[60, 80) 70 12 840 58 800 30

[80, 100) 90 5 450 40 500 35

[100, 120) 110 7 770 84 700 42

Total N = 42 2 760 213 000

La classe modal és [60, 80), amb freqüència fi = 12. Per tant, la moda, que és la marca de classe de [60, 80), és M0 = 70 cm.

Respecte a la mediana, observa que la meitat de la població és N2

= 21. La

primera classe que supera N2

= 21 és també [60, 80), per això Me = 70 cm.

A l’últim, la mitjana és –x

n

i = 1

fi xi

N =

2 760

42 = 65,71 cm, i la variància és:

2

n

i = 1

fi xi2

N – –x2 =

213 000

42 –

2 760

42

2

753,623 cm2 , per la qual cosa es té que

la desviació típica és:

= 2 753,623 27,452 cm.

20 40 60 80 100 1200

Freqüència absoluta

Alçària dels rosers en cm

123456789

101112

2 7 8 10 9

17 13 5 14 16

12 20 14 9 10

19 4 6 16 1518 12 17 22 022 0 24 13 7

Venda de rentadores Les dades del marge corresponen a la venda de rentadores d’un establiment cada dia de l’últim mes.

a) Calcula el nombre mitjà de rentadores venudes en aquest període.

b) Esbrina’n la moda.

c) Esbrina’n la mediana, així com el primer i el tercer quartils.

2

Per a calcular els paràmetres estadístics demanats, és necessari elaborar la taula de freqüències ampliada amb les columnes adequades.

MAT4A_U11(Val).indd 206 17/5/08 10:05:51

207

Rentadores venudes per dia

xi fi fi xi Fi

[0, 5) 2,5 4 10 4[5, 10) 7,5 7 52,5 11[10, 15) 12,5 8 100 19[15, 20) 17,5 7 122,5 26[20, 25) 22,5 4 90 30Total 375

a) Com que les dades varien entre 0 i 24, per elaborar la taula de freqüències sembla raonable distribuir-les a les classes [0, 5), [5, 10), [10, 15), [15, 20) i [20, 25). A la vista de la taula de freqüències, la venda mitjana de rentadores és:

–x =

n

i = 1

fi xi

N =

375

30 = 12,5

b) La classe modal és [10, 15), amb freqüència 8. Per tant, la moda és M0 = 12,5.

c) El nombre de dades és 30, i la meitat és 15. La classe mediana és [10, 15), ja que la seva freqüència absoluta acumulada excedeix per primera vegada la meitat de les dades. Prenem com a aproximació de la mediana la marca d’aquesta classe, Me = 12,5.

La quarta part de les dades és 7,5. La classe que conté el primer quartil és [5, 10), ja que la freqüència absoluta acumulada excedeix per primera vegada la quarta part de les dades. Per tant el primer quartil és la marca de [5, 10), és a dir, Q1 = 7,5. Anàlogament s’esbrina Q3 = 17,5.

En una projecció cinematogràfica assisteixen 50 nens, 75 joves, 60 adults i 40 ancians. Representa aquestes dades en un diagrama de sectors.

Primer de tot s’elabora la taula de freqüències, incloent-hi els graus:

Categoria fi pi Graus

Nens 50 22 % 79,2ºJoves 75 33 % 118,8ºAdults 60 27 % 97,2ºAncians 40 18 % 64,8º

Total 225 100 % 360º

Ancians

18 %Nens

22 %

Adults

27 % Joves

33 %

Per a calcular els graus es pot fer servir una regla de tres.

100 % 360º 22 %

Així, al 22 % s’associa l’angle = 7 920

100 = 79,2º, i procedim de la mateixa

manera amb la resta.

3

MAT4A_U11(Val).indd 207 17/5/08 10:05:52

208

EXERCICIS PROPOSATS 11Nocions d’estadística

Als empleats d’una oficina se’ls pregunta pels aspectes següents:

• Estat civil.

• Nombre de llibres que llegeixen per mes.

• Preferències cinematogràfiques.

• Color dels cabells.

• Anys d’antiguitat a l’empresa.

• Distància entre l’oficina i el seu habitatge.

a) Indica si els caràcters anteriors són qualitatius o quan-titatius.

b) Assenyala modalitats possibles dels caràcters quali-tatius.

c) Assenyala valors possibles de la variable estadística en el cas dels caràcters quantitatius.

Determina, per a cadascun dels estudis estadís-tics següents, l’individu, la població, la variable estadís-tica, i si aquesta és contínua o discreta:

a) Quants alumnes aproven matemàtiques a classe?

b) Quants llibres llegeix cadascun dels habitants del barri en què vius?

c) Quina és la despesa mensual en comestibles de ca-dascun dels veïns d’un bloc de pisos?

Dissenya un estudi estadístic relatiu a l’ús de mitjans de transport. Descriu una variable estadística relacionada amb aquest estudi i la població estudiada.

Inventa una variable estadística discreta i una variable estadística contínua i assenyala els valors pos-sibles que poden prendre.

Assenyala un caràcter que pugui adoptar una forma qualitativa i quantitativa.

Taules estadístiques

Construeix la taula de freqüències per a la dis-tribució de dades següent:

0 0 0 1 1 2 3 2 1 4 0

El nombre de fills dels empleats d’una oficina és el següent:

0 2 1 1 2 3 2 1 4 0

2 0 3 1 4 2 1 1 2 1

Elabora la taula de freqüències d’aquesta distribució de dades.

Les qualificacions de matemàtiques dels 20 alumnes d’una classe són:

0 2 4 5 5

1 7 5 2 8

7 5 1 1 3

8 4 4 3 0

Construeix en el teu quadern la taula de freqüències d’aquesta distribució de dades.

La taula següent correspon al nombre de cigar-rets que un grup de fumadors (que intenten deixar de fumar) consumeix per dia:

Nre. de cigarrets xi fi hi pi

2 13 5 0,24 24 %56 16 %7 2

8 o més 4 0,16Total N = 25

Copia en el teu quadern, completa aquesta taula i respon a les qüestions:

a) Quants fumen més de 5 cigarrets?

b) Quin percentatge de fumadors fuma menys de 6 ci-garrets?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

MAT4A_U11(Val).indd 208 17/5/08 10:05:57

209

Copia en el quadern i calcula les marques de classe associades a aquesta taula:

Classe Marca de classe

[0, 5)[5, 13)[13, 19)[19, 30)

Al final d’una setmana, una sabateria fa balanç de les vendes. La taula següent reflecteix les vendes se-gons el preu:

Classe Marca de classe

[40, 50) 60[50, 60) 40[60, 70) 65[70, 80) 82[80, 90) 120[90, 100) 95[100, 500) 54

Elabora la taula de freqüències, sense oblidar les mar-ques de classe.

En l’estudi d’una variable contínua X s’ha obtin-gut la taula de freqüències següent que, per desgràcia, està incompleta. Series capaç de completar-la en el teu quadern?

En el reconeixement mèdic a què se sotmet els professors d’un petit col·legi, se n’han mesurat les alçades. Aquests són els resultats obtinguts (en cen-tímetres):

150 152 153 170 172 168

174 171 172 167 163 155

169 175 178 180 174 181

Agrupa les dades en intervals i construeix la taula de freqüències, que ha d’incloure marques de classe, fre-qüències absolutes i relatives, i percentatges.

Classes Marca xi fi hi pi

[0, 10) 0,20

[10, ) 12,5 30 %

[15, 20)

Total N = 50

Classes Marca xi fi hi pi

[0, 10) 0,20

[10, ) 12,5 30 %

[15, 20)

Total N = 50

L’empleat d’un videoclub selecciona una mostra dels seus clients i anota el nombre de pel·lícules que cadascun d’ells ha tret durant l’últim trimestre. Les dades que ha obtingut són:

12 14 11 20 24 19

16 21 17 25 29 28

23 24 29 21 20 13

15 15 24 23 26 24

Agrupa les dades de cinc en cinc i construeix la taula de freqüències.

Paràmetres estadístics

Calcula la mitjana i la desviació típica de les dis-tribucions següents:

a) 7, 3, 4, 5, 6, 9, 0, 3, 4, 2, 1

b) 2, 1, 8, 6, 5, 3, 3, 2, 10, 3, 7

Decideix quina de les dues distribucions té un grau més alt de dispersió.

Calcula la mediana, els quartils i la moda de les distribucions de l’exercici anterior.

Calcula la mitjana, la desviació típica, el coefi-cient de variació i els quartils de les distribucions dels exercicis 6, 7 i 8.

Escriu en el teu quadern una distribució la mi-tjana de la qual sigui 5.

Escriu en el quadern una distribució de media-na 4.

Escriu en el teu quadern una distribució de mi-tjana 0 i mediana 3.

Calcula els paràmetres estadístics de la distri-bució següent:

xi 1 2 3 4 5 6 7

fi 10 5 6 9 4 7 2

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

MAT4A_U11(Val).indd 209 17/5/08 10:05:59

210

EXERCICIS PROPOSATS 11Calcula la mitjana, la desviació típica, el coefi-

cient de variació, la mediana, els quartils i la moda de les distribucions dels exercicis 13 i 14.

El nombre de faltes d’ortografia comeses per un grup d’alumnes en una redacció apareix reflectit en la taula:

Nre. de faltes 0 1 2 3 4 5

Nre. d’alumnes 3 7 8 7 9 6

a) Esbrina’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació.

b) Esbrina’n la mediana i la moda.

c) Esbrina’n els quartils.

Donada la distribució 2, 4, 5, 8, 2, 1, 0, calcula’n la mitjana. A continuació, suma un valor constant a totes les dades de la distribució anterior i calcula la mitjana d’aquestes noves dades. Què hi observes?

Sigui –x la mitjana d’una distribució de dades. Prova que si a cadascuna de les dades d’aquesta dis-tribució sumem una constant k, la mitjana de la nova distribució és –x + k.

Esbrina els quartils i els percentils p10 i p30 per a la distribució de l’exercici 11.

Copia en el quadern i completa la taula sabent que –x = 1,75.

xi 0 1 2 3 4

fi 2 3 1 2

Calcula la mitjana, la mediana i la moda de la distribució de l’exercici 11.

Esbrina la mitjana, la desviació típica, la media-na i la moda de la distribució següent:

Intervals [0 ,2) [2, 4) [4, 6)

Freqüència 10 5 6

22

23

24

25

26

27

28

29

El temps, en minuts, que un grup de socis d’una biblioteca dedica cada dia a llegir és:

30 45 11 90 123 67

52 56 60 69 29 89

23 145 96 100 126 34

a) Agrupa i construeix la taula de freqüències.

b) Esbrina’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació.

c) Esbrina’n la mediana i la moda.

d) Esbrina’n el primer i tercer quartils.

e) Quin és el percentil d’una persona que dedica 60 mi-nuts a llegir?

f) Calcula un percentil que no coincideixi amb cap dels quartils.

Jules

Verne

El pes mitjà dels corredors de fons d’un club d’atletisme és 55 kg, i la seva desviació típica és 2,5 kg. D’altra banda, el pes mitjà de les corredores és 49 kg i la desviació típica és 2,1 kg. Compara la dispersió dels pesos dels dos grups.

30

31

MAT4A_U11(Val).indd 210 17/5/08 10:06:04

211

Gràfics estadístics

En una població de 30 famílies s’ha estudiat el nombre de mòbils de cadascuna. Les dades recopilades són les següents:

2 3 0 4 1

5 1 2 2 3

3 4 6 3 2

3 2 1 2 5

2 2 0 1 3

6 2 1 2 6

a) Construeix en el quadern la taula de freqüències d’aquesta distribució.

b) Traça’n el diagrama de barres.

c) Elabora’n el polígon de freqüències.

d) Calcula’n la mitjana i la desviació típica.

e) Esbrina’n la mediana i la moda.

f) Calcula’n els quartils Q1 i Q3.

Hem preguntat a un grup de persones quant de temps dediquen setmanalment a la pràctica d’algun tipus d’exercici físic. Aquests són els resultats obtin-guts:

Nre. d’hores Nre. de persones

[0, 1) 6

[1, 2) 13

[2, 3) 20

[3, 4) 18

[4, 5) 120

[5, 8) 9

a) Construeix en el quadern la taula de freqüències cor-responent.

b) Dibuixa l’histograma associat.

c) Esbrina’n la mitjana i la desviació típica.

d) Esbrina’n la mediana i la moda.

e) Quin percentatge dedica menys de dues hores a l’exercici físic?

Construeix en el teu quadern l’histograma as-sociat a les dades dels exercicis 29 i 30.

33

34

35 Una clínica mèdica que ofereix consultes de dis-tintes especialitats, anota el nombre de persones que van a cadascuna un matí concret.

Especialitat Nre. de persones

Medicina general 30

Pneumologia 15

Neurologia 14

Ginecologia 18

Medicina interna 7

Radiologia 20

a) Confecciona un diagrama de sectors per a aquesta distribució.

b) Quin tant per cent de persones van a Medicina ge-neral o a Radiologia?

Representa en el quadern les distribucions dels exercicis 13 i 14.

Analitza l’histograma següent:

10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Freqüència

a) Elabora la taula de freqüències associada a aquest histograma.

b) Calcula’n la mitjana i la desviació típica. Quin n’és el coeficient de variació?

c) Esbrina’n els quartils Q1 i Q3.

37

36

32

MAT4A_U11(Val).indd 211 17/5/08 10:06:06

212

PER A REPASSAR EN GRUP11

Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes següents de la Unitat i posa un exemple de cadascun.

CONCEPTE DEFINICIÓ

Població Conjunt d’individus sotmesos a estudi.

Mostra És una part de la població.

Caràcter estadístic Tret d’una població que ens interessa estudiar.

Variable estadística Conjunt de valors que pren un caràcter. Es divideixen enquantitatives i qualitatives.

Freqüència absoluta Nombre de vegades que es repeteix un valor determinat.

Marca de classe Valor central de cada interval de valors.

Mitjana aritmètica –x =

n

i = 1

fi xi

N

Variància Var = σ 2 =

n

i = 1

fi (xi – –x )2

N=

n

i = 1

fi xi2

N– –x 2

Desviació típica σ = Var ≥ 0

Coeficientde variació

És el quocient CV =σ–x .

ModaSi la variable és discreta, és el valor amb una freqüènciamés alta. Si la variable és contínua, és la marca de classe del’interval amb més freqüència.

Mediana La mediana és el valor que divideix les dades d’unadistribució en dues parts iguals.

Gràfics estadístics

Són maneres senzilles de representar les freqüències d’unavariable estadística. Alguns tipus de gràfics són els diagramesde barres, els polígons de freqüències, els diagrames desectors i els histogrames.

En la pestanya Activitats/Unitat 11, trobaràs l’activitat Relació 1 unitat 11, per a repassar els conceptes més importants de la unitat.

En la pestanya Mapa del CD/Unitat 11, trobaràs el Test d’autoavaluació.

En la pestanya Mapa del CD/Jocs matemàtics, trobaràs l’Animació d’estadística.

CD

CD

CD

MAT4A_U11(Val).indd 212 17/5/08 10:06:07

213

CURIOSITATS, JOCS I REPTESEl desconeixement de la teoria estadística condueix, moltes vegades, que amplis sectors de la població donin per bones conclusions que, encara que a simple vista semblen correctes, són errònies.

Un bon exemple el trobem en un fenomen denominat la paradoxa de Simpson,també conegut com a efecte Yule-Simpson. Aquest fenomen apareix ben sovint en estudis estadístics de la medicina, la sociologia, etc.

Un cas real, i molt conegut, que il·lustra la paradoxa de Simpson va tenir lloc quan una prestigiosa universitat nord-americana va ser demandada per discriminació contra les dones que hi sol·licitaven l’ingrés. Les xifres sobre admissió a la tardor del 1973 mostraven que el percentatge d’admissió era favorable als homes i, com que la diferència era notable, es va jutjar que no es devia a l’atzar.

REPTE MATEMÀTIC

Tracta de trobar una situació real que posi de manifest la paradoxa de Simp-son. Si ho necessites, demana ajuda al teu professor.

Homes Dones

Departaments Sol·licitants % admesos Sol·licitants % admesos

A 825 62 % 108 82 %

B 560 63 % 25 68 %

C 325 37 % 593 34 %

D 417 33 % 375 35 %

E 191 28 % 393 24 %

F 272 6 % 341 7 %

No obstant això, en examinar les sol·licituds distingint els diferents de-partaments, s’observava que cap discriminava significativament les do-nes i que, de fet, una gran part dels departaments afavorien, en tot cas, les dones.

Nre. de sol·licitants % admesos

Homes 8 442 44 %

Dones 4 321 35 %

L’explicació és que les dones tendien a presentar sol·licituds en departa-ments amb percentatges d’admissió baixos, mentre que la tendència dels homes era la contrària. En dividir les dades en especialitats, hem introduït unes variables (lurking variables, en la literatura científica) que, si són omeses, poden conduir-nos a una conclusió errònia.

La paradoxa de Simpson posa de manifest que hem de ser previnguts quan fem deduccions basant-nos en l’associació de dues variables. És imprescin-dible tenir en compte les lurking variables si es pretén establir relacions de causa i efecte.

Edward H. Simpson, Karl Pearson, Udny Yule, a més d’altres, van descriure aquest fenomen.

Sabies que...

MAT4A_U11(Val).indd 213 17/5/08 10:06:09