Recta

ING. GERARDO SARMIENTO DIAZ DE LEON GEOMETRIA ANALITICA de 1 20

R E C T A

CONTENIDO

1. Ecuacin de la Recta 2. Pendiente y ngulo de la Recta 3. Ecuacin de la Recta que pasa por dos Puntos 4. Ecuacin de la recta dados puntopendiente (se

conoce un punto y se conoce la pendiente 5. Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto 6. Grado de Inclinacin 7. Ecuacin Simtrica de la Recta 8. Actividad de Cierre

Ecuacin de la recta

La idea de lnea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometra (como son tambin el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una nica direccin. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La lnea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma lnea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresin algebraica (una funcin) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresin algebraica (funcin) que determine a una recta dada se denomina Ecuacin de la Recta. Para comprender este proceder es como si la misma lnea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en trminos matemtiicos (como una ecuacin). Es en este contexto que la Geometra analtica nos ensea que una recta es la representacin grfica de una expresin algebraica (funcin) o ecuacin lineal de primer grado. Esta ecuacin de la recta vara su formulacin de acuerdo con los datos que se conozcan de la lnea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuacin de la recta. 1. Ecuacin general de la recta Esta es una de las formas de representar la ecuacin de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometra Euclidiana, para determinar una lnea recta slo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

hora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepcin, quedan incluidas en la ecuacin Ax + By + C = 0

Que tambin puede escribirse como ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuacin general de la lnea recta, como lo afirma el siguiente: Teorema La ecuacin general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los nmeros reales ( ); y en que A y B no son simultneamente nulos, representa una lnea recta.

2. Ecuacin principal de la recta Esta es otra de las formas de representar la ecuacin de la recta. Pero antes de entrar en la ecuacin principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical). (x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (3, 5) tiene por abscisa 3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuacin. Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuacin y = x 5, ya que al reemplazar queda


2 = 7 5 lo que resulta verdadero. Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuacin de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) tambin se conoce, que se obtiene con la frmula y = mx + n

Que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de interseccin en la ordenada (n), y es conocida como ecuacin principal de la recta (conocida tambin como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuacin de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuacin de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepcin (tambin llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y)

Respecto a esto, en el grfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinacin (en relacin a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posicin, el nmero que seala el punto donde la recta interceptar al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuacin de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la frmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuacin de la recta de la forma y y1 = m(x x1) y b = m(x 0) y b = mx y = mx + b Esta es una segunda forma de la ecuacin principal de la recta (se la llama tambin forma explcita de la ecuacin) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuacin principal). Tambin se

puede utilizar esta ecuacin para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuacin dada. Ejemplo: La ecuacin y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posicin 7, lo cual indica que interceptar al eje y en el punto (0, 7). Conocida la frmula de la ecuacin principal (simplificada o explcita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuacin de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa informacin se puede conseguir una ecuacin de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Ntese que la ecuacin y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y). Ejemplo 1: Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos la informacin que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuacin y = 3x + 10. La ecuacin que se pide es y = 3x + 10. Ntese que esta forma principal (simplificada o explcita) tambin podemos expresarla como una ecuacin general: y 3x 10 = 0, la cual amplificamos por 1, quedando como y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar 3x y + 10 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = 5. Tenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos a informacin: m = 5 y sustituimos en la ecuacin: y = 5x + b ING. GERARDO SARMIENTO DIAZ DE LEON GEOMETRIA ANALITICA de 3 20

Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solucin de la ecuacin que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuacin que estamos buscando: 2 = 5 (1) + b Despejamos la variable b en: 2 = 5 (1) + b 2 = 5 + b 2 + 5 = b b = 7 Sustituimos el valor de b en la ecuacin que buscamos: y = 5x + 7 La ecuacin en su forma principal (simplificada o explcita) es y = 5x + 7. La cual tambin podemos expresar en su forma general: y = 5x + 7 y + 5x 7 = 0 la cual ordenamos y queda 5x + y 7 = 0

PENDIENTE Y NGULO DE LA RECTA

Antes de referirnos a la orientacin de una pendiente de la recta (si es positiva o negativa) hagamos una recapitulacin: Veamos un ejemplo. Si tenemos

y = 3x 4 esto es igual a,

3x y 4 = 0 (ecuacin de la recta)

Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero Cmo se obtiene la pendiente si solo tenemos la frmula? Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta:

Indirecta: Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuacin de la recta: 3x y 4 = 0 si (x = 1) 3(1) y 4 = 0 3 y 4 = 0 y 1 = 0 y + 1 = 0 y = 1 P1 (1, 1) = (x1, y1)

3x y 4 = 0 si (x = 2) 3(2) y 4 = 0 6 y 4 = 0 y + 2 = 0 y = 2 P2 (2, 2) = (x2, y2)

Ahora sustituimos en la frmula de la pendiente:


(esta es la pendiente)

Directa: Basndonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente:

3x y 4 = 0 Ax By C = 0

A = cantidad de x B = cantidad de y C = Nmero cualquiera

Ahora solo sustituimos en la frmula de la pendiente

(esta es la pendiente)

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = 3 y es paralela a otra, entonces esa otra tambin tiene pendiente m = 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 1/5. Adems: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen. Determinar la pendiente Aprendido lo anterior es muy fcil hallar la ecuacin de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos. Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), slo tenemos que sustituir estos valores en la ecuacin principal y nos quedara: 3 = 2 1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto, la ecuacin de esa recta ser: y = 2x + 1.


Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), slo tenemos que sustituir estos valores en la ecuacin principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incgnitas: 3 = m 1 + n, 5 = m 2 + n.

Ahora, observemos el grfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la frmula

Entonces, a partir de esta frmula de la pendiente se puede tambin obtener la ecuacin de la recta, con la frmula: y y1 = m(x x1) Esta forma de obtener la ecuacin de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: y y1 = m(x x1)

Ejemplo Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (2, 4) y que tiene una pendiente de 1/3 Al sustituir los datos en la ecuacin, resulta lo siguiente: y y1 = m(x x1) y (4) = 1/3(x 2) 3(y + 4) = 1(x 2) 3y + 12 = x + 2 3y +12 + x 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0

Volviendo a la ecuacin general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posicin (n) quedan determinados por:


Ejemplo: Cul es la pendiente y el coeficiente de posicin de la recta 4x 6y + 3 = 0?

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuacin. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), tambin perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y Luego, la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

que tambin se puede expresar como

Ejemplo 1: Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)


y 2 = x 1 y x + 1 = 0

Ejemplo 2: Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(3, 2) Sabemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores: 2 3 = y 33 4 x 4 5 = y 37 x 4 y 3 = x 4 (5 /7) y 3 = 5 x + 20 7 7 (y 3) = 5 x + 20 7y +21 + 5x 20 = 0 5x 7y + 1 = 0 Que se corresponde con una ecuacin de la forma general Ax + By + C = 0 Donde A = 5 B = 7 C = 1

Ecuacin de la recta dados puntopendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente

Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos est determinada por


pero

Luego, si reemplazamos en la ecuacin anterior obtenemos

despejando, llegamos a: y y1 = m(x x1)

Ejemplo: Determina la ecuacin general de la recta de pendiente 4 y que pasa por el punto (5, 3) y y1 = m(x x1) y (3) = 4(x 5) y + 4 = 4x + 20 Luego la ecuacin pedida es 4x + y 16 = 0.

Ejercicios para obtener la ecuacin general de la recta dados un punto y la pendiente Recuerde que la frmula inicial es y y1 = m(x x1)

1. m = 1; punto (2, 3) y 3 = 1(x + 2) y 3 = x 2 x + y 1 = 0

2. m = 2; punto (3/2, 1) y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3 2x + y 2 = 0 2x y + 2 = 0

3. m = 0; punto (3, 0) y 0 = 0(x + 3) y = 0

4. m= 4; punto (2/3, 2) y + 2 = 4(x 2/3) y + 2 = 4x + 8/3 y +2 4x 8/3 = 0 y 2/3 4x = 0 4x y + 2/3 = 0

5. m = 2/5; punto (1,4) y 4 = 1(x 1) y 4 = x 1


y 4 x + 1 = 0 y 3 x = 0 x y + 3 = 0

6. m = 3/4; punto (2,5, 3) y + 3 = (x 2,5) y + 3 = 3/4x 15/8 y + 3 3/4x +15/8 = 0 y + 39/8 3/4x = 0 3/4x y 39/8 = 0

7. m = ind; punto (0,5) y 5 = (x 5) y 5 x + 5 = 0 y x = 0 x y = 0

8. m = 0; punto (4, 1/2) y = (x + 4) y x 4 = 0 y 9/2 x = 0 x y + 9/2 = 0

Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. Por ejemplo, la ecuacin y = -3x + 5 est expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5).

Nota: Una ecuacin de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.0

Ejemplo 1 a) Escribir una ecuacin con una \text{pendiente} = 4 y un intercepto y = -3. Solucin Nos han dado m=4 y b=-3. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y=mx+b. y = 4x -3

b) Escribir una ecuacin con una \text{pendiente} = -2 y un intercepto y = 7. Solucin Nos han dado m=-2 y b=7. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y=mx+b. y = -2x +7

c) Escribir una ecuacin con una \text{pendiente} = \frac{2}{3} y un intercepto y = \frac{4}{5}.


Solucin Nos han dado m=\frac{2}{3} y b=\frac{4}{5}. Introducir estos valores dentro de la forma y=mx+b. y = \frac {2}{3}x + \frac {4}{5} Puedes tambin escribir una ecuacin en la forma pendiente intercepto si te han dado la grfica de la lnea.

La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). Cul es la ecuacin de la recta de la forma pendiente-intercepto?

Ejemplo 2 Escribe la ecuacin de cada lnea en la forma pendiente intercepto.

El intercepto y = -4 y la pendiente -5/2 Introducir estos valores en la forma pendiente intercepto y = mx + b. Solucin

b) El intercepto y = 2 y la \text{pendiente} =\frac{3}{1}. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y = mx + b. Solucin y = 3x + 2

Ejercicio: Escribe la ecuacin de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 3 y el intercepto en y en (0, 5).

Halla la ecuacin de la recta dado: 1) m = -3, punto (8, 0) 2) m = -2, punto (4, 2)


52 x 4

Grado de inclinacin

Dada una recta, grficamente su pendiente nos da su grado de inclinacin Pendiente positiva

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresin analtica m > 0 Pendiente negativa

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresin analtica m < 0 Pendiente nula o cero


Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresin analtica m = 0 Visualmente, tambin podemos definir si la pendiente es positiva o negativa: Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ngulo.

Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ngulo.


Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretacin geomtrica de la pendiente de una recta:

ACTIVIDADES

1.- Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y 7 = 0

2.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (2, 2)

3.- Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso. 1) (-3,4) y (6, -2) 2) (-3, -4) y (3, 2) 3) (-4, 2) y ( 3, 2) 4) (2, 4) y (2, -3)


ECUACIN SIMETRICA DE LA RECTA

La ecuacin de una recta en su forma simtrica es aquella que est dada en trminos de las distancias de los puntos de interseccin de la recta al origen del sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura.

Cabe recordar que en una coordenada (x, y), x recibe el nombre de abscisa, y recibe el nombre de ordenada.

De acuerdo a la figura la ordenada al origen es b (distancia entre el origen y el punto de interseccin de la recta con el eje y).

La abscisa al origen es a (distancia entre el origen y el punto de interseccin de la recta con el eje x).

Ejemplos: 1.- Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuacin. ecuacin

2.- Hallar la ecuacin cannica de la recta que pasa por P(2, 1) y tiene por vector director v = (3, 4). Hallamos la ecuacin en forma continua:

3.- Hallar la ecuacin simtrica de la recta cuya abscisa al origen es -3 y la ordenada al origen es 4. Cabe recordar que la abscisa al origen es el punto de interseccin de la recta con el eje x y la ordenada al origen es el punto de interseccin de la recta con el eje y. Entonces a= -3 y b= 4 Sustituyendo en la ecuacin de la forma simtrica tendramos que:


4.- Hallar la ecuacin simtrica de la recta cuya ecuacin general es: 2x -3y+12=0 Para obtener la ecuacin simtrica, lo que debemos hacer es que el trmino independiente sea igual a 1. 2x -3y = -12 Dividimos entre -12 toda la ecuacin.


ACTIVIDADES DE CIERRE

1.- Obtn la Ecuacin de una recta que tiene una inclinacin de 150 y pasa por los puntos (4, -1) y exprsala en forma general

2.- Obtn la ecuacin de cada una de las rectas de acuerdo a las condiciones dadas exprsalas en forma general. a) (2, 5) y (7, 1) b) (-5, -4) y (0. 3) c) (6, 0) y (0, 3) d) (-7, -4) y (1, -6) e) (-2.3, -5.4) y m=1

3.- Expresa las siguientes ecuaciones en forma general

a) y=4x-3 b) y+3=-2(x - 1)

4.- Hallar y graficar las ecuaciones de las rectas (en su forma general) determinadas por los lados de un tringulo cuyos vrtices son los puntos A(-3, -2) B(2, 5) y C(4, -1)

Como nos piden las ecuaciones en su forma general, se deben obtener con el siguiente orden. Ax +By +C = 0

5.- Obtener la ecuacin de la recta en su forma general que pasa por los puntos A(-5,-3) y B(2, 4) 6.- Hallar la ecuacin ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-2, 5) y tiene una pendiente de m =3 / 2

7.- Hallar la ecuacin ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-5, 4) y tiene una pendiente de m =2.


8.- Escribir una ecuacin con una 2/3 y un intercepto y = 4/5

9.- d) El intercepto y = -2 y la 1/2. Introducir estos valores dentro de la forma pendiente intercepto y = mx + b

10.- Escribe la ecuacin de la lnea en la forma pendiente intercepto. a) La pendiente de la lnea es 4 y la lnea contiene el punto (-1, 5). b) La pendiente de la lnea es 2/3 y la lnea contiene el punto (2, -2). c) La pendiente de la lnea es 3 y la lnea contiene el punto (3, -5).

11.- Escribir las ecuaciones de cada lnea en la forma pendiente intercepto. a) La lnea contiene los puntos (3, 2) y (-2, 4). b) La lnea contiene los puntos (-4, 1) y (-2, 3).

EXTRA PARA GANAR PUNTOS PERDIDOS


Encontrar la ecuacin de la lnea en la forma pendiente intercepto. La lnea tiene una pendiente de 7 y un intercepto en y de -2. La lnea tiene una pendiente de -5 y un intercepto en y de 6. La lnea tiene una pendiente de -1/4 y contiene al punto (4, -1). La lnea tiene una pendiente de 2/3 y contiene al punto 1/2,1. La lnea tiene una pendiente de -1 y contiene al punto 4/5,0 La lnea contiene los puntos (2, 6) y (5, 0). La lnea contiene los puntos (5, -2) y (8, 4). La lnea contiene los puntos (3, 5) y (-3, 0). La lnea contiene los puntos (10, 15) y (12, 20).

Escribir la ecuacin de cada lnea en la forma pendiente intercepto.


FUENTES

http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/Recta_Ecuacion_de.html

http://www.ck12.org/book/CK-12-Algebra-I-Edicin-Espaola/section/5.1/


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