Rectas, distancias y lugares geometricos con Mathematica

Mariano Gonzalez Ulloamgonzal@pucp.edu.pe

Pontificia Universidad Catolica del Peru

Departamento de Ciencias

18 de agosto de 2013

Resumen

En esta presentacion se desarrolla procedimientos para construir e identificar lu-gares geometricos que involucran la distancia de un punto a una recta y la distanciaentre dos rectas. Especialmente se trata de identificar el lugar geometrico de los pun-tos que equidistan de dos rectas alabeadas, el cual resulta ser una superficie. Paraello se trabajara con una representacion vectorial de las rectas y se usara el softwareMathematica para obtener una parametrizacion de la superficie y a la vez construirlas graficas correspondientes.

1. Introduccion

Si bien es cierto que los lugares geometricos (LG) en el plano, generalmente, sonfaciles de visualizar, eso no ocurre cuando se trata de lugares geometricos en el espaciotridimensional. Por ello, discusiones como la que se presenta en esta publicacion sonde interes, ya que con la ayuda del software Mathematica es posible conjeturar lasposibles soluciones y luego visualizar los lugares geometricos bajo las condiciones delproblema planteado.

En esta presentacion se propone la construccion e identificacion del lugar geometri-co de los puntos que equidistan de dos rectas abaleadas. El procedimiento seguidoconsiste en identificar el punto, de cada una de las rectas, que proporciona la mınimadistancia entre un punto fijo y cada recta, luego se igualan estas dos distancias paraobtener la ecuacion cartesiana del LG que resulta ser una superficie. Luego, usandobases de Grobner de un ideal en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t], se obtiene unarepresentacion parametrica para dicha superficie

2. Nociones preliminares

2.1. Lugar geometrico

Definicion 2.1. Un lugar geometrico (LG) es el conjunto de puntos que satisfacencierta o ciertas propiedades.

1

Si el lugar geometrico es definido por la propiedad P, entonces:

Todo punto de LG satisface la propiedad P.

Todo punto que satisface la propiedad P pertenece al LG.

Por ejemplo, una esfera con centro en el punto O ∈ R3 y radio r > 0 es el lugargeometrico de todos los puntos P ∈ R3 cuya distancia al punto O es igual a r. Elpunto O es el centro de la esfera y r su radio. Tambien, dado un punto fijo P0 ∈ R3

y un vector fijo→v∈ R3, la recta que pasa por P0 y es paralela al vector

→v es el lugar

geometrico de todos los puntos P ∈ R3 tales que el vector P −P0 es paralelo al vector→v , es decir

P = P0 + t→v , t ∈ R

2.2. Distancia de un punto a una recta

Previamente describiremos la manera como hallar la distancia de un punto a una

recta. Para ello consideremos una recta L generada por una funcion vectorial→α (t) =

P0 + t→v , t ∈ R, donde P0 ∈ R3 es un punto fijo y

→v∈ R3 es el vector direccion de L,

y un punto P ∈ R3, la distancia de P a L esta dada por

d(P,L) =‖ →v ×(P − Po)‖‖ →v ‖

(1)

expresion que solamente vale en R3 debido a que depende del producto vectorial dedos vectores.

De manera equivalente, para hallar la distancia del punto P a la recta L bas-tara encontrar el pie de la recta perpendicular a L trazada por el punto P (punto Q,ver figura 1) y luego, simplemente, calcular la distancia entre los puntos P y Q. Elpunto Q se obtiene mediante

Q = P0 +

→v ·(P − P0)

‖v‖2→v (2)

En consecuencia, la distancia del punto P a la recta L esta dada por (figura 1)

d(P,L) = d(P,Q) (3)

La funcionDistaPuntoRecta[P , P0 , V ]

definida en el programa 1, permite obtener la distancia de un punto P a la recta quepasa por el punto Po y tiene la direccion del vector V .

DistaPuntoRecta@P_, Po_, V_D := FullSimplifyBNormBP - Po -

V . HP - PoL

Norm@VD2VFF

Programa 1

2

P

L

Q

Po

X

Y

Z

Figura 1: Distancia de un punto a una recta

Por ejemplo, para hallar la distancia del punto P = (1, 1, 1) a la recta L que pasa

por el punto P0 = (0, 0, 0) y tiene la direccion del vector→v= (1, 0, 0), ingrese la funcion

DistaPuntoRecta[{1, 1, 1}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}]

que al ejecutarla tendra

√2

Observacion 2.1. Los parametros en la funcion DistaPuntoRecta pueden ser vec-tores de dos o tres componentes. Esta es una caracterıstica de Mathematica, la defini-cion de una funcion no esta ligada, necesariamente, a la dimension del espacio quecontiene a su dominio.

En el programa 2, usando la expresion (3), se define la funcion

DistaPuntoRectaGraf[P , Po , V , a , b ]

para calcular la distancia de un punto a una recta en R3 y construir las graficascorrespondientes. Los parametros de esta funcion son: P el punto desde donde se cal-culara la distancia, Po el punto de paso de la recta, V el vector direccion de la recta;y a y b los extremos del intervalo donde toma valores la variable para construir la recta.

3

DistaPuntoRectaGraf@P_, Po_, V_, a_, b_D := ModuleB8to = a, t1 = b<,

Q = Po +

HP - PoL.V

Norm@VD2V; H* punto en la recta *L

DistanciaPL = Simplify@Norm@P - QDD;

GRecta = ParametricPlot3D@8Po + t V<, 8t, to, t1<, Axes ® True,

Boxed ® True, AxesLabel ® 8"X", "Y", "Z"<, PlotStyle ® 8Blue, Thick<D;

GPuntosPQ = Graphics3D@88Thick, Arrowheads@.03D, Arrow@880, 0, 0<, V<D<,

8PointSize ® Medium, Point@PD<, 8PointSize ® Medium, Point@QD<, 8PointSize ® Medium,

Point@PoD<, 8Thick, Red, Line@8P, Q<D<, 8Thick, Dashed, Line@8P, Po<D<<D;

Texto = Graphics3DB:TextB"v®

",V

2+ 80.4, 0.4, 0.4<F, Text@"P", P + 80.6, 0.6, 0.6<D, Text@"L",

Po - 2 V + 8.6, .6, .8<D, Text@"Q", Q + 80.6, .6, -.2<D, Text@"Po", Po + 80.6, .6, .2<D>F;

Print@"distanciaH", P, ",", Q, "L=", DistanciaPL, "=", N@DistanciaPLDD;

Show@GRecta, GPuntosPQ, TextoDF

Programa 2

Con la finalidad de verificar la buena definicion de la funcion DistaPuntoRectaGraf,considere el punto P0(−1; 2; 3), el vector direccion V = (2;−1;−1) y el punto P (6; 1; 5).Ingrese

DistaPuntoRectaGraf[{6,1,5},{-1,2,3},{2,-1,-1},-5,5]

al ejecutarla obtendra el resultado que se muestra en la figura 2:

v®

P

L

Q

Po

-5

0

5

X

-2

0

2

4

6

Y

0

2

4

6

Z

distanciaH86, 1, 5<,:10

3, -

1

6,

5

6>L=

155

6=5.08265

Figura 2: Distancia de P (6, 1, 5) a L :→α (t) = (−1, 2, 3) + t(2,−1,−1)

4

2.3. Distancia entre dos rectas

Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de cualquierpunto de una de ellas a la otra recta. De manera que se puede asumir que las rectasson no paralelas y tampoco se intersecan.

Definicion 2.2. Dos rectas en R3 que no son paralelas ni se intersecan se denominanrectas alabeadas.

Sean L1 y L2 rectas alabeadas generadas por las funciones→α (s) = P1+s

→u, s ∈ R

y→β (t) = P2 + t

→v , t ∈ R, respectivamente.

Los puntos P1, P1+→u, y P1+

→v no son colineales ya que los vectores

→u y

→v

son no paralelos, en consecuencia dichos puntos determinan el plano π1 que contiene

a la recta L1. De la misma manera, los puntos P2, P2+→u, y P2+

→v determinan el

plano π2 que contiene a la recta L2. Ademas los planos π1 y π2 son paralelos puesto

que tienen el mismo vector normal,→u × →

v . De aquı se concluye que existen dos unicosplanos paralelos, π1 y π2, que contienen a las rectas alabeadas L1 y L2, respectivamente(figura 3). El argumento desarrollado prueba la siguiente proposicion.

Figura 3: Planos que contienen a las rectas alabeadas

Proposicion 2.1. Dadas dos rectas alabeadas L1 y L2 existen dos unicos planosparalelos π1 y π2 que contienen a L1 y a L2, respectivamente.

Proposicion 2.2. La distancia entre dos rectas alabeadas L1 y L2 esta dada por

d(L1, L2) =|(P2 − P1)· →u × →

v ||| →u × →

v ||(4)

Prueba. La expresion 4 se obtiene observando que el volumen del paralelepıpedo P(figura 4) determinado por los vectores

→u ,

→v y P2 − P1 es

vol(P) = |(P2 − P1)· →u × →v | (5)

que tambien es igual al producto del area de su base, ‖ →u × →

v ‖, por su altura, h, esdecir que

vol(P) = h‖ →u × →

v ‖ (6)

5

Figura 4: Distancia entre dos rectas alabeadas L1 y L2

en consecuencia, de (5) y (6) resulta que

h =|(P2 − P1)· →u × →

v |‖ →u × →

v ‖= d(L1, L2).

La funcion

DistaRectaRecta[P1 , U , P2 , V ]

definida en el programa 3, devuelve la distancia entre dos rectas en R3.

DistaRectaRecta@P1_, U_, P2_, V_D := ModuleB8<, Paralelas = Solve@U - Λ V � 0, ΛD ¹ 8<;

IfBParalelas, FullSimplifyBNormBP2 - P1 -

V. HP2 - P1L

Norm@VD2VFF,

Abs@HP2 - P1L. Cross@U, VDDNorm@Cross@U, VDD

FF

Programa 3

Los parametros de esta funcion son P1, U (punto de paso y vector direccion de larecta L1) y P2, V (punto de paso y vector direccion de la recta L2).

Para verificar la buena definicion de la funcion DistaRectaRecta, considere L1 :(0, 0, 0) + t(1, 3, 4), t ∈ R y L2 : (1, 1, 1) + s(3, 4, 6), s ∈ R e ingrese

DistaRectaRecta[{0, 0, 0},{1, 3, 4},{1, 1, 1}, {3, 4, 6}]

luego de ejecutarla obtendra

3√65

que es la distancia entre las rectas L1 y L2.

6

3. Rectas, distancias y lugares geometricos

En esta seccion se describe un procedimiento para construir e identificar el lugargeometrico de los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto y deuna recta y tambien el LG de los puntos que equidistan de dos rectas.

3.1. LG de los puntos que equidistan de un punto y de unarecta

Consideremos una recta L :→α (t) = P0 + t

→v , t ∈ R y un punto fijo F . Sea P un

punto que equidista de L y F . La recta perpendicular a L que pasa por P interseca aL en el punto

Q = P0 +

→v ·(P − P0)

‖v‖2→v ,

luego, la ecuacion del LG de los puntos que equidistan de L y F esta dada por

d(P,Q) = d(P, F )

La funcion

LGDistaPuntoRecta[Paso , V ector , Foco , a , b ]

definida en el programa 4, permite obtener la ecuacion cartesiana del LG de los puntosque estan a la misma distancia de un punto fijo F y de una recta fija L.

Los parametros de esta funcion son: el punto de paso de la recta (Paso), el vectordireccion de la recta (Vector), el punto fijo (Foco) y los extremos del intervalo de lavariable para construir la recta (a y b, respectivamente).

7

LGDistaPuntoRectaPaso_, Vector_, Foco_, a_, b_ :

ModulePo Paso, V Vector, F Foco, t0 a, t1 b,

t_ : Po t V; Recta L

Clearx, y, z;

P x, y, z; Punto genérico del LG

punto de ortogonalidad en la recta L

QenL SimplifyPo P Po.V

NormV2V;

ecuacion cartesiana de la superficie

EcuacSuper ExpandNormP QenL2 NormP F2 . Abs Identity;

grafica de la recta

RectaL ParametricPlot3Dt, t, t0, t1,

PlotStyle Red, Thick, PlotRange All, AxesLabel "X", "Y", "Z";

Texto1 Graphics3DText"L", 2 0.5, 0.5, .5, Text"F", F 0.5, 0.5, .5;

GPuntoF Graphics3DRed, PointSize Medium, PointF;

GRectaL ShowRectaL, Texto1, GPuntoF, PlotRange All;

grafica del LG

GraficaLG ContourPlot3DEcuacSuper 0, x, 10, 20, y, 10, 20,

z, 10, 20, AxesLabel "X", "Y", "Z", Mesh 4, 4, PlotRange All;

presentacion

PrintCollectEcuacSuper, x, y, z, Simplify, "0";

ShowGRectaL, GPuntoF, GraficaLG

Programa 4

Para verificar la buena definicion de la funcion LGDistaPuntoRecta, ingrese la ex-presion

LGDistaPuntoRecta[{1,2,4},{-1,0,1},{1,0,1},-10,15]

la salida se puede ver en la figura 5

3.2. LG de los puntos que equidistan de dos rectas

Si las rectas son paralelas, el conjunto de puntos que equidistan de ambas rectases un plano que se denomina plano mediador. Si las rectas se intersecan, los puntosque equidistan de ambas rectas constituyen los planos bisectores de los angulos queforman dichas rectas. En consecuencia podemos suponer que las rectas son alabeadas.

Consideremos las rectas

L1 :→α (s) = P1 + s

→u, s ∈ R y L2 :

→β (t) = P2 + t

→v , t ∈ R, (7)

y P (x, y, z) un punto generico del conjunto de puntos que equidistan de L1 y L2. SeanQ1 ∈ L1 y Q2 ∈ L2 los puntos mas proximos a P . Por (2) dichos puntos son de laforma

Q1 = P1 +

→u ·(P − P1)

‖ →u ‖2

→u, Q2 = P2 +

→v ·(P − P2)

‖ →v ‖2

→v , (8)

8

Figura 5: LG de los puntos que equidistan de un punto y una recta

respectivamente. Luego la ecuacion cartesiana del LG de los puntos que equidistan deL1 y L2 esta dada por

d(P,Q1) = d(P,Q2) (9)

A partir de la ecuacion (9) podemos encontrar una representacion parametrica deesta superficie, teniendo como parametros las variables que se usan para describir lasrectas.

De (7) y (8) se tiene las ecuaciones

(P − P1).→u= s ‖ →

u ‖2 y (P − P2).→v= t ‖ →

v ‖2

que junto con la ecuacion (9) se obtiene el sistema de tres ecuaciones polinomiales enlas variables x, y, z, s y t (P − P1).

→u= s ‖ →

u ‖2

(P − P2).→v= t ‖ →

v ‖2(d(P,Q1))2 = (d(P,Q2))2

(10)

La solucion del sistema (10), para las variables x, y, z en terminos de s y t, x = x(s, t)y = y(s, t), s, t,∈ Rz = z(s, t)

(11)

constituye una representacion parametrica del LG.

9

El sistema (11) se obtiene construyendo la base de Grobner del ideal generado porlos polinomios

(P − P1).→u −s ‖ →

u ‖2, (P − P2).→v −t ‖ →

v ‖2, (d(P,Q1))2 − (d(P,Q2))2

en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t]. Para ello usamos la funcion de MathematicaGroebnerBasis.

Usaremos la ecuacion (9) para definir la funcion

LGDistaRectaRectaParametriza[Paso1 , V ector1 , Paso2 , V ector2 , a , b ]

(ver programa 5) con la finalidad de obtener la ecuacion cartesiana, una representacionparametrica y la grafica del LG. Los parametros de esta funcion son: el punto de pasoy el vector direccion de la recta L1 (Paso1, Vector1), el punto de paso y el vectordireccion de la recta L2 (Paso2, Vector2) y los extremos del intervalo de la variablepara construir la recta (a y b, respectivamente).

Para verificar la buena definicion de la funcion LGDistaRectaRectaParametriza

ingrese la expresion

LGDistaRectaRectaParametriza[{1,1,1},{0,1,0},{-1,0,-1},{1,0,-2},-10,10]

el resultado se puede observar en la figura 6

Figura 6: LG de los puntos que equidistan de dos rectas alabeadas

10

Siguiendo el proceso descrito, una representacion parametrica polinomial para lasuperficie de la figura 6 es

x = 16 (1 + 10s+ 5s2 − 2t− t2)

y = 1 + t, s, t ∈ R

z = 112 (−5− 20s+ 5s2 − 2t− t2)

LGDistaDosRectasParametrizaPaso1_, Vector1_, Paso2_, Vector2_ :

ModuleP1 Paso1, V1 Vector1, P2 Paso2, V2 Vector2,

Clearx, y, z;

P x, y, z; Punto genérico del LG

t_ : P1 t V1; Recta L1

t_ : P2 t V2; Recta L2

QenL1 SimplifyP1 P P1.V1

NormV12V1; QenL2 SimplifyP2

P P2.V2

NormV22V2;

definicion de los polinomios

f1 P P1. V1 s NormV12;

f2 P P2. V2 t NormV22;

f3 ExpandNormP QenL12 NormP QenL22 . Abs Identity;

Gb GroebnerBasisf1, f2, f3, x, y, z;

RepParamet FlattenSolveGb1 0, Gb2 0, Gb3 0, x, y, z;

GRectas1y2 ParametricPlot3Dt, t,

t, 10, 10, AspectRatio 1

1, PlotRange All, All, 10, 10,

PlotStyle Red, Thick, Blue, Thick, AxesLabel "X", "Y", "Z";

GraficaLG ContourPlot3Df3 0, x, 10, 10, y, 10, 10, z, 10, 10,

PlotRange All, Mesh 4, 4, AxesLabel "X", "Y", "Z";

Graficas ShowGraficaLG, GRectas1y2;

SlideView"Rectas: ", "t" t

"s" s,

"Ecuacion Cartesiana: ", f3 0, "Polinomios: ", f1, f2, f3,

"Groebner Basis", Gb, "Parametrizacion: ", FlattenRepParamet,

"Grafica de las rectas: ", GRectas1y2, "Grafica de la superficie: ",

GraficaLG, "Rectas y superficie: ", Graficas, AppearanceElements All

Programa 5

11

4. Ejercicio

Hacer las modificaciones apropiadas para obtener el LG de los puntos P (x, y, z) ∈R3 tales que

d(P,L1) =k1k2d(P,L2), k1, k2 ∈ Z+, k1 6= k2

Referencias

[1] Cox, David; Little, John; O’Shea, Donal, Using Algebraic Geometry, Springer,(2000)

[2] Gonzalez U., Mariano, Calculo Integral en varias variables, (2013)

[3] Pita, Claudio, Calculo vectorial, Prentice Hall, (1995)

[4] Stewart, James, Calculo Trascendentes tempranas, Thomson Learning, (2002)

[5] Wolfram Research Inc., Mathematica, v.8.0.4.0, (2011)

[6] http://macareo.pucp.edu.pe/mgonzal/publicaciones.htm

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