Recuperación de objetos de fase con microscopía ... · la vibraci on de cada punto, se dice que...

Recuperación de objetos de fase con microscopía holográfica digital y

algoritmos iterativos

presentada por

María Luisa Cruz López

Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de Doctor en Ciencias en la especialidad de Óptica en el

Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica.

Octubre 2009

Tonanzintla, Puebla

Supervisada por:

Dr. Víctor Manuel Arrizón Peña Dra. Albertina Castro Ibarra

© INAOE 2009 Todos los derechos reservados.

El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias impresas o electrónicas de esta tesis en su

totalidad o en partes.

Dedicatoria

A mis padres, Sr. Wilfrido Cruz† y Ma. Olivia López, por su amor y cuidados.

A la memoria de mis abuelos Sr. Zeferino López† y Sra. Juventina Martínez†, por su ejemplo y cariño.

A todas las personas que hoy ya no están aquí, pero cuyo amor y cariño siempre me acompaña.

A mis amigos y amigas, por brindarme su comprensión y apoyo en los momentos que más los necesite.

Hay dos formas de propagar la luz; ser la llama de la vela o el espejo que la refleja.

Edith Wharton.

La época de llegar, y de marcharse, de cantar, o dejar de cantar, eso no lo sabemos

Alexander Pope.

Agradecimientos

Agradezco a mis asesores, el Dr. Víctor Manuel Arrizón Peña y la Dra.

Albertina Castro Ibarra, por su tiempo, paciencia, confianza, explicaciones y apoyo

en general brindados durante el desarrollo de este trabajo.

A los revisores, Dr. Luis Raúl Berriel Valdos, Dr. Julio Cesar Ramírez San

Juan, Dr. Julián David Sánchez de la Llave, Dr. Gonzalo Urcid Serrano y al Dr.

Cruz Meneses Fabián, por sus comentarios y observaciones que contribuyeron a

mejorar el resultado final de este trabajo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por su apoyo

económico brindado a través de la beca para estudios de Doctorado Núm.

166213.

Al proyecto de investigación CB-05-1-49232, del CONACyt, por el apoyo

económico brindado para la realización de parte del proceso experimental de este

trabajo.

Al grupo de Ciencias de la Imagen y a el laboratorio de Micro-electrónica,

del INAOE, por su apoyo prestado mediante el uso de sus laboratorios y

colaboración de su personal para la realización de este trabajo. En especial al Sr.

Gustavo Rámirez por su apoyo técnico.

Al Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica, por su apoyo para

llevar a buen fin los estudios de Doctorado. En especial a los doctores, personal

administrativo y personal en general que con su trabajo y dedicación hacen

posible el buen funcionamiento de esta institución.

Resumen

En este trabajo se presentan tres métodos para recuperar la información de

amplitud y fase de objetos microscópicos. Los tres métodos entran dentro del área

de holografía digital, ya que están basados en el análisis de hologramas

digitalizados. El análisis se realiza por métodos computacionales y el holograma

es grabado por medio de una CCD.

El primer método propuesto utiliza un holograma fuera de eje y un soporte

para el objeto. Este método incluye el uso de un algoritmo iterativo, el cual se

encarga de eliminar parte del ruido remanente en el campo del objeto recuperado.

El segundo método propuesto utiliza un solo holograma en línea tipo Gabor

y un algoritmo iterativo para recuperar el campo complejo del objeto. En este caso

se propone un método para calcular una primera aproximación de la fase del

objeto usando la información del soporte utilizado. Esta aproximación contiene

algo de ruido que es eliminado aplicando el mismo algoritmo iterativo que en el

caso anterior.

En el tercer método propuesto se utiliza una rejilla de amplitud, desplegada

en una LCD, para generar un corrimiento de fase uniforme y exacto. Este

corrimiento de fase es utilizado para generar diferentes hologramas a partir de los

cuales se puede recuperar el campo complejo del objeto analizado. En este caso

se propone utilizar un corrimiento de fase y grabar solo dos hologramas.

Se presentan simulaciones de los tres casos y resultados experimentales

para el primero y tercer método. Tanto simulaciones como experimentos

demuestran la factibilidad de los métodos propuesto.

Indice general

Introduccion 1

1. Marco teorico 7

1.1. Holografıa, conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Grabacion de hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Reconstruccion de hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Tipos de hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Hologramas de amplitud y de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Hologramas en lınea y fuera de eje . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3. Hologramas imagen, Fresnel y Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1. Hologramas de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2. Propagacion de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3. Ancho de banda de una senal discreta . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Reconstruccion digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1. Reconstruccion por propagacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. TF de alta resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

i

ii INDICE GENERAL

1.4.3. Eliminacion del orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Algoritmos iterativos (AI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.1. Algoritmos Gerchberg-Saxton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.2. Calculo de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6. Envolvimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1. Origen de la fase envuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2. Fase envuelta en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.3. Algoritmos independientes y dependientes del camino . . . . . . 32

1.7. Pantallas de cristal lıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.1. Cristales lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.2. Pantallas de cristal lıquido nematicas . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Microscopıa holografica digital (MHD) 39

2.1. Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3. Recuperacion del campo complejo del objeto . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1. Corrimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2. Interferometrıa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.3. Reconstruccion directa de hologramas fuera de eje . . . . . . . . 43

2.4. Retro-propagacion del campo complejo del objeto . . . . . . . . . . . . 43

2.5. Problemas de ruido y aberraciones en MHD . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.1. Eliminacion del orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

INDICE GENERAL iii

2.5.2. Eliminacion de aberraciones del objetivo de microscopio . . . . . 44

2.6. Tecnicas de mejora en MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.1. Pupilas sinteticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.2. MHD de inmersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.3. Uso de diferentes longitudes de onda . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.4. Luz parcialmente coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7. Aplicaciones de la MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Objetos con ancho de banda grande 53

3.1. Hologramas fuera de eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1. Anchos de banda en hologramas OA . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2. Metodo de Fourier y sus limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Uso de algoritmos iterativos en MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1. Uso de un soporte en algoritmos iterativos . . . . . . . . . . . . 57

3.3. Metodo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.1. Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.2. Restricciones del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1. Ancho de banda de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2. Parametros de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.3. Metodo de Fourier, ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.4. Objetos con ancho de banda mayor . . . . . . . . . . . . . . . . 63

iv INDICE GENERAL

3.4.5. Objetos con ancho de banda mayor y elementos delgados . . . . 65

3.4.6. Obj. con ancho de banda grande y submuestreo . . . . . . . . . 69

3.5. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Recuperacion de objetos de fase usando ILH 79

4.1. Hologramas en lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.1. Algoritmos iterativos y hologramas en lınea . . . . . . . . . . . 80


4.2.1. Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2. Restricciones del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.1. Simulacion numerica del metodo propuesto . . . . . . . . . . . . 84

4.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5. Corrimiento de fase en 2 pasos con LCD 91

5.1. Corrimiento de fase generado por una LCD . . . . . . . . . . . . . . . . 92


5.2.1. Corrimiento de fase usando una rejilla de amplitud . . . . . . . 93

5.2.2. Proceso para la recuperacion del objeto . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Simulaciones numericas para el metodo propuesto . . . . . . . . . . . . 97

5.3.1. Parametros de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.2. Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6. Resultados experimentales 103

INDICE GENERAL v

6.1. Datos generales de los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2. Experimentos con H fuera de eje y AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2.1. Experimento usando una pupila hecha en hoja metalica . . . . . 106

6.2.2. Experimento usando una imagen como pupila . . . . . . . . . . 113

6.3. Experimentos con corrimiento de fase en 2 pasos . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.1. Arreglo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.2. Experimento usando una placa fotografica blanqueada . . . . . 120

6.3.3. Experimento usando un arreglo de microlentes . . . . . . . . . . 123

7. Conclusiones 127

7.1. Hologramas fuera de eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2. Holograma en lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.3. Corrimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.5. Trabajo a Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Appendices 132

A. English summary 133

vi INDICE GENERAL

Introduccion

Para estudiar algunos fenomenos de la luz como la difraccion e interfe-rencia se utiliza el modelo ondas electromagneticas. Dentro de este modelo dos de losprincipales descriptores de un haz de luz son la amplitud y la fase. La amplitud estarelacionada con la energıa contenida en el haz. La fase nos indica el estado de vibracionde un punto respecto a otros puntos en el mismo frente de onda o a otros planos delhaz.

Cuando la luz interactua con un objeto la amplitud y la fase se venafectados. Ası, al estudiar la amplitud y fase de un haz en un plano dado, podemosobtener informacion de los objetos con los que ha interactuado dicho haz en su camino,siempre que se conozca la forma original del frente de onda. Cuando un objeto absorbeparte de la energıa del haz de luz, la amplitud del haz se modifica y se dice que elobjeto es de amplitud. En cambio cuando la energıa del haz se conserva, pero la fasede diversos puntos del frente de onda se modifica introduciendo distintos retrasos enla vibracion de cada punto, se dice que el objeto es de fase. Al cambiar la fase de unfrente de onda podemos convertir un haz divergente en uno convergente o viceversa. Elcambio de la fase puede ser similar en todo el frente de onda o variar de forma distintapara cada punto. Esto depende de las caracterısticas intrınsecas del objeto. La mayorıade objetos afectan a la amplitud y a la fase al mismo tiempo. Sin embargo, si una delas caracterısticas se afecta sustancialmente mas que la otra es cuando se considera alobjeto mayormente de amplitud o de fase . Algunos ejemplos de objetos de fase sonel agua, lentes de vidrio y diversos organismos biologicos. A los objetos de fase se lesdenominan coloquialmente objetos transparentes.

Entre las tecnicas desarrolladas para estudiar objetos de fase encontramos:el contraste de fase, la holografıa digital, la microscopıa confocal, el microscopio decampo obscuro, la coloracion de muestras, la tomografıa de difraccion optica [WS95],holografıa de escaneo optico [SM02] etc.. El principal problema al estudiar objetos defase es que los medios de registro comunes como: el ojo; las camaras; las pelıculas fo-tograficas; etc., solo son capaces de registrar cambios en la intensidad del frente deonda, perdiendo la informacion de fase. Por ello se debe convertir la informacion de fasea informacion de intensidad para registrarla. Las tecnicas, para el estudio de objetos defase, pueden ser invasivas o no invasivas. Se consideran invasivas cuando es necesario

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introducir algun colorante u otra substancia al objeto para convertir la informacion defase en informacion de amplitud y pueda ser registrada por un detector convencional.Por otro lado las tecnicas no invasivas no modifican el objeto de ninguna forma. Enestas tecnicas, normalmente el frente de onda se modifica despues de pasar por el ob-jeto para convertir la informacion de fase en amplitud. Las tecnicas no invasivas sonaltamente deseables ya que permiten el estudio de muestras biologicas vivas o el estudiode deformaciones de objetos en tiempo real.

Dentro de las tecnicas no invasivas encontramos las tecnicas basadas enel uso de hologramas. Un holograma codifica la informacion de amplitud y fase de unfrente de onda en un patron de intensidad. El holograma se graba por algun medio deregistro y se analiza para recuperar el campo complejo del objeto. Estas tecnicas tienenla ventaja de requerir solo una luz coherente, en este caso el laser, y ningun otro filtro odispositivo especial para convertir la informacion de fase en intensidad. Cuando el holo-grama es digitalizado se considera que se trabaja dentro del area de holografıa digital.Esta area incluye tanto el proceso de generacion de hologramas digitales, por medio deuna computadora, como el proceso de analisis de hologramas obtenidos experimental-mente por medio de un proceso de digitalizacion. Este trabajo esta desarrollado dentrodel campo de analisis de hologramas experimentales digitalizados. Como los objetosanalizados son del orden de micrometros, los metodos presentados en este trabajo sonconsiderados parte de la microscopıa holografica digital.

En este trabajo se presentan tres metodos diferentes para la recuperacionde la fase de objetos complejos utilizando hologramas con diferentes caracterısticas.Cada metodo tiene diferentes ventajas por lo que su uso depende del objeto y de lascondiciones experimentales existentes.

En los metodos propuestos, se utiliza como medio de registro una CCD,por lo que se puede considerar que estamos dentro del campo de la holografıa digital.Sin embargo los analisis y tecnicas propuestas se pueden aplicar si el medio de registroes diferente, siempre y cuando los datos grabados sean los correspondientes a la inten-sidad de los hologramas generados. En cualquier caso, el analisis de la informacion delholograma se realizara aplicando un proceso computacional a los datos digitalizados delholograma.

El primer metodo propuesto esta enfocado a recuperar objetos con anchode banda grande empleando un holograma fuera de eje. El metodo permite recuperarobjetos de ancho de banda mayor, incluso, al ancho de banda de la CCD usada. Paraeste metodo se requiere grabar un holograma fuera de eje y las intensidades de los hacesobjeto y referencia, propagados libremente, en el plano del holograma. El segundo meto-do utiliza solo un patron de intensidad para recuperar la informacion de objetos de fase.Utiliza un holograma generado por un solo haz de iluminacion y el objeto debe estarlimitado por un soporte o pupila. El tercer metodo es una implementacion del corri-miento de fase en dos pasos usando una pantalla de cristal lıquido. Su implementaciones sumamente estable evitando problemas de ruido y aumentando la calidad del objeto

2

recuperado.

En el capıtulo uno se presenta la teorıa basica para el desarrollo de losmetodos mencionados. Se presenta un breve repaso de los tipos de hologramas y suspropiedades, en donde se remarcan las diferencias existentes entre los diferentes tiposde hologramas. Se enfatizan las diferencias entre los hologramas en eje, fuera de eje; loshologramas de Fresnel y de Fourier; y por ultimo entre los hologramas de amplitud yfase. Esto con el fin de aclarar la aplicacion de los tres metodos propuestos de acuerdoal tipo de holograma utilizado. Tambien se presenta la teorıa basica de los algoritmositerativos tipo Gerchberg-Saxton, la tecnica del corrimiento de fase, del desdoblamientode fase, ası como una breve explicacion del funcionamiento de las pantallas de cristallıquido en el modo de amplitud. Estas herramientas seran usadas en los tres metodospropuestos en los siguientes capıtulos.

En el capıtulo dos se presenta una revision de los conceptos en que sebasa la microscopıa holografica digital, ası como un breve compendio de su evolucionen los ultimos anos. Los problemas mas comunes que se encuentran en esta area y lasdiversas propuestas que se han hecho para solucionarlos. Esto con el fin de establecerel estado general en que se encuentran las investigaciones en esta area, ya que los tresmetodos propuestos son aplicados dentro de ella.

En el capıtulo tres se presenta un metodo para recuperar objetos de fasede ancho de banda grande utilizando hologramas de Fresnel fuera de eje. En este ca-so el objeto esta lımitado por un soporte cuya forma es utilizada como dato en unalgoritmo iterativo tipo Gerchberg-Saxton para recuperar la informacion del objeto yeliminar ruido generado por el propio holograma, en especial el ruido de submuestreo.Se presentan los resultados de las simulaciones de este metodo.

En el capıtulo cuatro se presenta un metodo para recuperar la fase deobjetos microscopicos usando un solo holograma en lınea y algoritmos iterativos. Suventaja reside en la propuesta de una aproximacion de la fase del objeto, obtenida porel uso de series de Taylor y considerando al objeto delimitado por un soporte. Estaaproximacion reduce el numero de iteraciones del algoritmo y evita estancamientos. Sepresentan los resultados de las simulaciones de este metodo.

En el capıtulo cinco se presenta un metodo para recuperar objetos defase usando un corrimiento de fase de dos pasos, generado por el desplazamiento de unarejilla de amplitud. Para este metodo se requiere la informacion de dos hologramas yde las intensidades de los haces objeto y referencia, propagados libremente, en el planode los hologramas. El corrimiento de fase generado es uniforme y controlado, lo cualpermite usar un solo corrimiento de fase para recuperar el campo complejo del objetosin ambiguedades. En este caso el resultado es independiente del angulo que se formeentre los haces objeto y referencia. Esto permite procesar objetos de ancho de bandagrande.

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En el capıtulo seis se presentan los resultados experimentales inicialesobtenidos al aplicar los metodos presentados en los capıtulos tres y cinco. Para el meto-do del capıtulo tres se presentan dos casos, uno donde se utiliza una pupila hecha enuna hoja metalica y otro donde se utiliza la imagen reducida de un diafragma comopupila. En ambos casos se utiliza como objeto un arreglo formado por microlentes desoporte cuadrado. El ancho de banda de estas microlentes es grande en relacion al an-cho de banda de la CCD usada. Para el metodo de corrimiento de fase, propuesto enel capıtulo cinco, la rejilla es desplegada en una LCD y su desplazamiento se realizaelectronicamente. Esto reduce la introduccion de ruido mecanico al sistema y generaun corrimiento uniforme y controlado. En este caso se presentan los resultados experi-mentales para dos tipos diferentes de objetos de fase, el arreglo de microlentes y unaplaca fotografica blanqueada que contiene patrones de franjas de diferentes tamanos.

En el capıtulo siete se presentan las conclusiones del trabajo. Primeroen forma particular para cada metodo y luego en forma general para el trabajo totaldesarrollado.

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Bibliografıa

[SM02] Jim Swoger, Manuel Martınez-Corral, Jan Huisken, Ernst H. K. Stelzer, Op-tical scanning holography as a technique for high-resolution three-dimensionalbiological microscopy, J. Opt. Soc. Am. 19, 1910-1918, (2002).

[WS95] T. C. Wedberg and J. J. Stamnes, Experimental examination of the quanti-tative imaging properties of optical diffraction tomography,J. Opt. Soc. Am.A 12, 493- (1995).

5

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Marco teorico

1.1. Holografıa, conceptos generales

El termino holograma fue acunado por Denis Gabor en 1948 [Gue90]. Lapalabra procede del griego holos que significa completo [Hec00] y grafo que significaescritura [Gue90]. Es decir, holograma significa el grabado completo de algo. Gaborutilizo este termino para denominar el registro del patron de interferencia entre doshaces en un microscopio electronico.

Un patron de interferencia codifica la informacion de fase y amplitudde los frentes de onda analizados en un solo patron de intensidad. Este patron puedeser grabado en un medio de registro convencional. La mayorıa de medios de registro,placas fotograficas, sensores electricos y el ojo humano, solo son capaces de registrarvariaciones en la intensidad de la luz. Por ello la informacion de fase de un frente deonda no se puede registrar directamente con estos medios.

En la holografıa solo uno de los haces contiene la informacion que nosinteresa guardar y despues recuperar en forma completa, es decir amplitud y fase.Este haz se denomina haz objeto. Mientras que el otro haz solo se utiliza para podercrear el patron de interferencia, por lo que suele tener una distribucion uniforme tantoen amplitud como en fase. Y se le denomina haz de referencia u onda portadora. Encontraste en el estudio de la interferometrıa la complejidad de los dos haces puedeser parecida, ya que lo que se busca es el estudio de la diferencia de fase entre losfrentes de onda y no la recuperacion total de uno de los frentes de onda complejos.Tambien existe una diferencia en la geometrıa de los experimentos de interferenciaque se usan en holografıa y los utilizados en la interferometrıa [Gue90]. Sin embargola lınea entre estas dos ramas de la optica es sumamente delgada y permite utilizarmetodos desarrollados para una rama en la otra y viceversa.Puesto que los hologramasson patrones de interferencia siguen las mismas restricciones impuestas a la interferencia

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8 CAPITULO 1. MARCO TEORICO

de dos haces, que son [Hec00]:

Solo pueden interferir haces con la misma polarizacion.

Solo interfieren haces con igual frecuencia.

Los dos haces deben ser mutuamente coherentes entre si, aunque en algunos casosse usa luz parcialmente coherente.

La fuente de luz por excelencia para asegurar estas tres condiciones es el laser. Con eldesarrollo del laser en 1960 la holografıa tomo un nuevo impulso [Gue90] y fue posibleaplicarla a diversas areas, entre ellas la holografıa digital.

1.1.1. Grabacion de hologramas

Al proceso de generar un patron de interferencia y grabarlo en un mediode registro, se le denomina grabacion del holograma. El holograma puede requerir deun proceso adicional de revelado cuando el medio de registro es una placa holografica.En el caso de la holografıa digital se utiliza un sensor de carga acoplada, Charge CoupleDevice (CCD), como medio de registro, de esta manera la informacion digitalizada delholograma pasa directamente a la computadora. Tambien se puede generar un hologra-ma por computadora usando simulaciones matematicas para los frentes de onda. Unavez obtenida la matriz con la informacion del patron de interferencia este puede serimpreso para crear un holograma fısico o bien ser desplegado en un medio electronicocomo una pantalla de cristal lıquido, Liquid Crystal Display (LCD).

1.1.2. Reconstruccion de hologramas

Para recuperar la informacion del haz objeto codificado en un hologramaeste es sometido al proceso de reconstruccion. Experimentalmente, esto se realiza ilu-minando el holograma revelado con un frente de onda de similares caracterısticas queel haz de referencia utilizado en la etapa de grabacion. La unica diferencia es que el hazde iluminacion debe propagarse en sentido contrario respecto a la placa del holograma,es decir debe ser el conjugado del haz de referencia para poder formar una imagen realdel objeto. La reconstruccion tambien se puede realizar por simulacion computacional,en este caso el holograma debe ser digitalizado e introducido a la computadora comouna matriz de datos a la cual se le aplicaran los modelos matematicos de propagacionde luz. Este metodo de reconstruccion es el utilizado por la holografıdigital. Puesto quelos meetodos propuestos en este trabajo estan comprendidos en el area de holografıadigital, este es el metodo de recontruccion de hologramas que se utiliza en este trabajo.

1.2. TIPOS DE HOLOGRAMAS 9

1.2. Tipos de hologramas

Existen diversas clasificaciones de los hologramas. Se pueden clasificar deacuerdo a: el material de grabacion; el angulo entre los haces objeto y referencia; laubicacion del objeto respecto al plano del holograma y el tipo de onda de referencia. Eneste trabajo se utilizan hologramas de amplitud en lınea y fuera de eje, ambos de tipoFresnel por ello es importante definir las caracterısticas de cada tipo de hologramas ausar. Primero se presenta la clasificacion de hologramas de amplitud y de fase. Despuesse presentan las caracterıticas de los holograms en lınea y fuera de eje, ası como suspropiedades en la etapa de reconstruccion. Por ultimo se presenta la diferencia entrehologramas de Fresnel, Fourier y de imagen

1.2.1. Hologramas de amplitud y de fase

Un holograma de amplitud esta compuesto de franjas claras y obscuras.Este tipo de holograma afecta principalmente a la amplitud del haz de reconstrucionobstruyendo parte del mismo de acuerdo al pratron de franjas generado en la etapa degrabacion. Este tipo de hologramas en la etapa de reconstruccion generan tres frentesde onda diferentes que corresponden a: el orden cero, una imagen real y una imagenvirtual del objeto. Dependiendo del angulo entre el haz objeto y el haz de referencia, enla etapa de grabacion, los frentes de onda generados tendran un angulo de inclinacionrespecto al eje del sistema.

En contra poscion los hologramas de fase introducen un corrimiento defase en diversos puntos del haz de reconstruccion y modifican muy poco su amplitud. Elcorrimiento de fase que cada punto introduce esta relacionado con el patron de franjascreado en el proceso de grabado. Los hologramas de fase se pueden crear al blanquearun holograma de amplitud, y el corrimiento de fase dependera del grosor del material encada punto del holograma. Otra forma de crear hologramas de fase es utilizar pantallasde cristal lıquido donde cada pixel puede variar el corrimiento de fase introducido en elhaz de iluminacion.

1.2.2. Hologramas en lınea y fuera de eje

Dependiendo del angulo existente entre los haces objeto y referencia loshologramas pueden clasificarse en: hologramas en lınea; fuera de eje; de efecto Bragg yLippmman-Bragg o de refleccion [CB+71]. En este trabajo se utilizan solo hologramasen lınea y fuera de eje, los cuales se explican a detalle en los siguientes parrafos. Paralos otros dos tipos de hologramas solo mencionaremos que en el caso de los hologramasde efecto Bragg el espacio entre franjas es menor que el espesor del medio de registro y


Figura 1.1: Tipos de hologramas dependiendo del angulo entre el haz objeto, luz difrac-tada y reflejada por el punto objeto s, y el haz de referencia, onda plana viajando dearriba a abajo, [CB+71].

actuan como una rejilla de difraccion de volumen en la etapa de reconstruccion, ,posicion3 en Fig. 1.1. Mientras que en el caso de los hologramas Lippmman-Bragg o de refleccionlas franjas se forman dentro del medio de registro y actuan como un filtro reflectivoresonante, posicion 4 en Fig. 1.1. Estos hologramas se pueden reconstruir usando luzblanca ya que solo reflejan la misma longitud de onda con la que fueron construidos.En cambio en los hologramas en lınea, posicion 1 en Fig. 1.1, y fuera de eje ,posicion2 en Fig. 1.1, las franjas se forman en la superficie del medio de registro. Por lo queeste tipo de hologramas se pueden grabar sobre pelıculas delgadas y representarse pormedio de matrices de dos dimensiones.

Hologramas en lınea

Estos hologramas se producen cuando el angulo entre el haz objeto y elhaz de referencia es cero. Es decir cuando el haz objeto y el haz de referencia estanen lınea. Se denominan hologramas en lınea tipo Gabor cuando solo parte del hazde iluminacion es modificado para formar el haz objeto y la parte del haz que no esdifractada por el objeto sirve como haz de referencia. El nombre se debe a que este esel tipo de hologramas que utilizo Gabor para sus experimentos. [Har86]. En este tipode hologramas se puede utilizar una fuente de iluminacion con baja coherencia.

En este tipo de hologramas al estar ambos haces en lınea disminuye lafrecuencia de las franjas de interferencia. Esto se debe a que el perıodo de dichas franjas


depende del angulo entre los haces objeto y referencia.

Figura 1.2: Reconstruccion de hologramas en linea [Har86].

En la reconstruccion de hologramas de amplitud en lınea los tres frentesde onda o terminos generados por el holograma se propagan sobre el mismo eje, verFig. 1.2. Por lo que es dıficil separar la informacion que corresponde a cada termino.Esto ocasiona que los objetos reconstruidos incluyan mucho ruido y posean una calidaddeficiente.

Hologramas fuera de eje

Este tipo de hologramas se produce cuando el angulo entre el haz objetoy el haz de referencia es mayor que cero y menor que 90 grados. Fueron propuesto porLeith y Upatnieks en 1962 [Gue90]. Las franjas se forman en la superficie del medio deregistro, por lo que actuan como una rejilla plana de difraccion. El espacio entre franjases mucho mayor que el espesor del medio de registro.

En la reconstruccion de hologramas de amplitud fuera de eje cada unode los frentes de onda o terminos generados se propagara siguiendo diferentes vectoresde direccion. Estos vectores estan en un mismo plano pero forman un angulo entre sidirectamente relacionado con el angulo formado entre el haz objeto y el haz de referenciaen la etapa de grabacion, ver Fig. 1.3. Si dicho angulo es lo suficientemente grande, yel objeto satisface algunas restricciones, los tres terminos apareceran completamenteseparados en el plano de reconstruccion del objeto. Lo anterior permite recuperar elhaz objeto libre de ruido.


Figura 1.3: Reconstruccion de hologramas fuera de eje [Cau79].

1.2.3. Hologramas imagen, Fresnel y Fourier

Cuando se graba un holograma el haz objeto es generado por un haz deiluminacion que se refleja o se transmite en un objeto. Cada punto del objeto actuacomo una fuente puntual con un vector de direccion propio. Al propagarse el frente deonda del haz objeto ira cambiando su estructura, dependiendo de la distancia recorridadesde el objeto hasta el plano de estudio o deteccion. De acuerdo a la distancia a lacual se coloque el medio de registro se formaran distintos tipos de hologramas. Cadauno de ellos tienen distintos requerimientos de coherencia, muestreo y condiciones dereconstruccion. Se puede establecer tres principales tipos:

Hologramas imagen En ellos una imagen real, compuesta por rayos convergentes, es formada en el mismo plano que el medio de registro,ver esquema en Fig.1.4a. En este caso a cada punto del holograma solo llega la luz difractada de unapequena seccion de la imagen del objeto y no de toda la imagen del objeto. Parasu reconstruccion los requerimientos de coherencia son mınimos y se puede llegara usar luz blanca para objetos mayormente planos [Har02] .

Hologramas de Fresnel En este caso entre el objeto y el plano de registro existeuna distancia que cumple con la condicion de Fresnel para la propagacion deun haz, ver esquema en Fig. 1.4b. En este caso la extension del campo aumen-ta conforme aumenta la distancia entre el objeto y el holograma. La extensiondel campo difractado depende del ancho angular del objeto y de la distancia depropagacion del haz. El ancho angular del objeto es el tamano angular del conode luz difractado por el objeto. La longitud de onda de la luz utilizada y el ancho


(a) (b)

(c)

Figura 1.4: Tipos de holograma (a) holograma imagen (b) holograma de Fresnel (c)holograma de Fourier.

angular de un objeto determinan el ancho de banda del objeto. Para la grabaciony reconstruccion de este tipo de hologramas es necesario utilizar una fuente deiluminacion de alta coherencia.

Es necesario mencionar que todos los hologramas generados, analizados y graba-dos en este trabajo son hologramas de Fresnel. Donde el haz objeto se propagalibremente desde el plano objeto hasta el plano del holograma.

Hologramas de Fourier En este caso la distancia entre el objeto y el plano de registroes lo suficientemente grande para considerar que el campo propagado del objetocorresponde a la transformada de Fourier del objeto. En lugar de una distanciamuy grande se puede usar una lente para generar la transformada de Fourier delhaz objeto, ver esquema en Fig. 1.4c. Para este caso, en la etapa de reconstrucciones necesario aplicar una transformada de Fourier inversa al holograma. Para estetipo de hologramas se requiere un rango dinamico alto en el medio de registro parapoder grabar correctamente toda la informacion de la transformada de Fourier delobjeto. Esto se debe a que la mayor parte de la energıa del espectro de Fourierde un objeto se concentra en la parte central del mismo, saturando rapidamenteel medio de registro.

Tanto los hologramas imagen como los de Fourier se consideran validos enun solo plano, el de imagen o en el infinito, respectivamente. Mientras que los hologramasde Fresnel pueden generarse y reconstruirse en un rango de distancias que dependen delas dimensiones del objeto y del medio de registro del holograma.


1.3. Modelos matematicos

1.3.1. Hologramas de amplitud

El desarrollo matematico que se presenta a continuacion es valido solopara hologramas de amplitud.

Un frente de onda complejo se puede representar como:

f(x, y) =| f(x, y) | ei φ(x,y)) (1.1)

donde | f | es la amplitud de la onda y φ es su fase. Para generar un holograma senecesitan dos frentes de onda, el del haz objeto y el del haz de referencia que se puedendefinir como:

o(x, y) =| o(x, y) | ei φo(x,y) (1.2)

r(x, y) =| r(x, y) | ei φr(x,y) (1.3)

El patron de interferencia esta dado como la intensidad de la suma de lasondas objeto y de referencia:

I(x, y) =| o(x, y) + r(x, y) |2 (1.4)

I(x, y) =| o(x, y) |2 + | r(x, y) |2 +

2 | o(x, y) || r(x, y) | cos(φo(x, y)− φr(x, y))(1.5)

los dos primeros terminos a la derecha de la igualdad representan el orden cero. Lainformacion de estos dos terminos corresponde al fondo del holograma tambien conocidocomo orden cero ya que y la luz que es difractada por ellos viaja siguiendo el mismo ejede propagacion del haz de iluminacion. El tercer termino a la derecha de la igualdades el que codifica la diferencia de fase entre los dos haces y la amplitud de los mismos.Aplicando la identidad de Euler este termino se puede representar como:

2 | o(x, y) | | r(x, y) | cos(φo(x, y)− φr(x, y))

=| o(x, y) || r(x, y) |[ei (φo(x,y)−φr(x,y)) + e−i (φo(x,y)−φr(x,y))

]=| o(x, y) | ei φo(x,y) | r(x, y) | e−i φr(x,y)

+ | o(x, y) | e−i φo(x,y) | r(x, y) | ei φr(x,y)

= o(x, y)r(x, y)∗ + o(x, y)∗r(x, y)

(1.6)

donde ∗ simboliza la operacion de conjugacion compleja. Es decir el termino del cosenodel holograma codifica los campos complejos del objeto y referencia. En esta expresion sehace evidente que al multiplicar el holograma por un haz igual al de referencia se puederecuperar completamente el campo complejo del objeto modulado por el cuadrado de laamplitud de la onda de referencia. Si la amplitud de la onda de referencia es constanteesta modulacion no afecta al objeto recuperado. En otro caso puede deformar el campodel objeto.

1.3. MODELOS MATEMATICOS 15

1.3.2. Propagacion de campos

El analisis y modelo matematico de la propagacion de campos utilizala transformada de Fourier como herramienta basica. Por ello primero se presenta sudefinicion.

Transformada de Fourier

La tansformada de Fourier se define [God96] como:

F{f}

=

∫ ∞∫−∞

f(x, y)e−i 2π(ux+vy)dxdy = F (u, v) (1.7)

y su inversa como:

F−1{F}

=

∫ ∞∫−∞

F (u, v)ei 2π(xu+yv)dudv = f(x, y) (1.8)

donde (x,y) es el sistema de coordenadas espaciales de la funcion f que representamatematicamente al objeto. Mientras (u,v) son las frecuencias espaciales en el plano deFourier de la funcion F, que es la transformada de Fourier de f 1

Toda funcion, que cumpla ciertos requisitos, puede aproximarse con unasumatoria de funciones senoidales de diferentes frecuencias [Hsu98] . La transformadade Fourier se puede considerar como el conjunto de coeficientes para cada una de estasfunciones con diferentes frecuencias. Por eso se dice que la transformada de Fourier nosda la informacion de la funcion en el dominio de las frecuencias. Las frecuencias bajas,que se encuentran en la parte central del espectro, nos dan informacon sobre las partesde la senal que cambian poco en intervalos grandes de espacio. En una imagen puedenreferirse a un fondo que sea casi constante. Mientras que las frecuencias altas, que seencuentran en las orillas del espectro, nos dan la informacion sobre las partes de lasenal que cambian mucho en intervalos pequenos de espacio. En una imagen pueden serlos bordes de los objetos o estructuras con cambios grandes de intensidad entre puntosadyacentes.

Propagacion de un frente de onda

Un frente de onda va cambiando, en fase y amplitud, conforme se propagapor el espacio. Para modelar este fenomeno existen diversas teorıas, cuya aplicacion

1 En el desarrollo de este trabajo se utilizaran las letras minusculas para las funciones objeto uoriginales y las mayusculas para sus transformadas, ya sea de Fourier o de Fresnel.


depende de las condiciones de propagacion que se establezcan para el frente de onda.En el estudio de hologramas se pueden utilizar modelos de la teorıa escalar sin perderexactitud en el resultado final, ya que se considera que las dimensiones de los objetosestudiados y las franjas generadas son mucho mayores que la longitud de onda del hazusado.

Uno de los modelos mas generales es el que utiliza el principio de Huygens-Fresnel donde el campo difractado en coordenadas rectangulares esta dado por [God96]:

U∞(ξ η) =z

i λ

∫ ∞∫−∞

u1(x, y)e−i kr01

r201

dxdy (1.9)

donde u1(x, y) es el campo original y U∞(ξ η) es el campo propagado a la distancia z.La variable r01 es la distancia entre un punto arbitrario y el origen y esta definida como:

r01 =√z2 + (ξ − x)2 + (η − y)2, (1.10)

este modelo se puede ocupar para cualquier distancia de propagacion, pero su aplicacionpor medio de la integral requiere de muchas operaciones matematicas. Sin embargo sise considera restricciones en la distancia de propagacion y en el tamano del objeto esposible utilizar las aproximaciones de Fresnel o Fraunhofer para propagar el haz segunsea el caso.

Integral de Fresnel

Para el caso de campo cercano donde la distancia de propagacion cumplecon:

z3 � π

4λ

[(ξ − x)2 + (η − y)2

]2max

(1.11)

se puede utilizar la aproximacion de Fresnel que se define como:

U∞(ξ η) =e−i kz

i λze−i

k2z

(ξ2+η2)

∫ ∞∫−∞

{u1(x, y)e−i

k2z

(x2+y2)}e−i

2πλz

(ξx+ηy)dxdy, (1.12)

donde la integral corresponde a la transformada de Fourier de la funcion encerradaentre llaves evaluada en las frecuencias espaciales:

u =ξ

λzv =

η

λz. (1.13)

Definiendo la funcion:um(x, y) ≡ u1(x, y)e−i

k2z

(x2+y2), (1.14)

la Eq.( 1.12) se puede expresar, en modo compacto, como:

U∞(uλz, vλz) =e−i kz

i λze−i πλz(u

2+v2)Um( ξλz,η

λz

), (1.15)


donde :

Um( ξλz,η

λz

)= F

{um(x, y)

}∣∣∣u= ξ

λz,v= η

λz

. (1.16)

Entonces, para calcular el campo propagado en Fresnel, de un frente de onda, es nece-sario calcular la transformada de Fourier del producto del campo original por un terminocuadratico de fase. Para reducir el numero de operaciones requeridas,para este calculo,se puede utilizar el algoritmo de la transformada rapida de Fourier (FFT por sus siglasen ingles) [GW96]. El cual reduce drasticamente la cantidad de operaciones requeridas.

Analizando la Ec. ( 1.16) se hace evidente que el campo propagado estadado en el sistema de coordenadas ( ξ

λz, ηλz

). Las cuales tienen una dependencia de z. Estoimplica que para cada plano de propagacion del campo, a una distancia z cambiante,el sistema de coordenadas del campo calculado varıa.

En este trabajo se define al operador Frz como la propagacion de uncampo a la distancia z, utilizando la aproximacion de Fresnel.

Funcion de transferencia

Otra forma de calcular el campo propagado de un frente de onda es utilizarla funcion de transferencia del sistema. La funcion de transferencia de un sistema linealinvariante esta dada por la transformada de Fourier de la respuesta al impulso delsistema [God96]. Entonces el campo propagado de un frente de onda se puede calcularcomo:

u2(x, y) = ui(x, y)⊗ h(x, y) (1.17)

donde h(x, y) es la respuesta al impulso del sistema y ⊗ simboliza la funcion de convolu-cion. Entonces la transformada de Fourier del campo propagado, U2(u, v), se relacionacon la transformada de Fourier del frente de onda original mediante la expresion:

U2(u, v) = Ui(u, v)H(u, v) (1.18)

donde Ui(u, v) es la trasformada de Fourier del campo original, H(u, v) es la funcion detransferencia del sistema y (u, v) son las frecuencias espaciales en el dominio de Fourier.Entonces el campo propagado se puede calcular usando la expresion:

u2(x, y) = F−1{Ui(u, v)H(u, v)

}(1.19)

En este caso el campo propagado tiene el mismo sistema de coordenadas (x, y) que elcampo original. Al utilizar el conjunto de transformada de Fourier y transformada inver-sa de Fourier las coordenadas resultantes no dependen de la distancia z de propagacion,por lo que, a diferencia del metodo de la integral de Fresnel, el sistema de coordenadasno varıa al cambiar la distancia de propagacion del campo.


Espectro angular En el modelo del espectro angular cada frecuencia del espectrodel campo se considera una onda plana que se va propagando con un vector de direcciondado. En este caso la funcion de transferencia para la propagacion de un campo en elespacio libre esta dada por:

H(u, v) = ei2πzλ

√1−(λu)2−(λv)2 , (1.20)

Donde z es la distancia de propagacion del campo. Sustituyendo esta ecuacion en laEc. ( 1.19) se obtiene el campo propagado a la distancia z. Al utilizar este metodo elcampo propagado tiene el mismo sistema de coordenadas que el campo original.

Propagacion de Fresnel por convolucion Tambien se puede utilizar el metodo deconvolucion de la Ec. ( 1.19) para la aproximacion de Fresnel. En este caso la funcionde transferencia cambia y ahora esta dada por:

HFr(u, v) = eikzeiπλz(u2−v2). (1.21)

En este caso, por utilizarse el par de transformada de Fourier y transformada inversade Fourier el campo obtenido conserva el mismo sistema de coordenadas que el campooriginal y no depende de la distancia de propagacion.

Funciones discretas y muestreo de senales

Las funciones expresadas en forma analitica son funciones continuas, yaque las variables pueden ser reemplazadas por cualquier valor real o complejo. Sinembargo para la realizacion de simulaciones y analisis de datos es necesario tener unnumero finito de elementos. Es decir se debe trabajar con funciones discretas donde losdatos han sido muestreados cada determinado intervalo. El intervalo de muestreo deuna senal determina la exactitud con que la senal discreta reproduce la senal continua.

En el analisis de Fourier el muestreo de las senales originales determina lasexactitud de su transformada de Fourier. Debido a que el campo propagado se calculautilizando la transformada de Fourier, las caracterısticas del campo propagado estarandirectamente relacionadas al buen muestreo de la senal original.

Muestreo de hologramas

El perıodo de las franjas de un patron de interferencia esta relacionadocon el angulo entre los haces en el plano de interferencia por medio de:

d =λ

sen(θ), (1.22)


Figura 1.5: Perıodo de franjas entre dos ondas con un angulo θ entre ellas [Hec00].

donde θ es el angulo entre los haces que interfieren, ver Fig. 1.5. Cada perıodo de franjanecesita ser muestreado por un mınimo de dos puntos, uno para la parte obscura y otrapara la parte clara.

1.3.3. Ancho de banda de una senal discreta

El ancho de banda de la transformada de Fourier de una funcion discretase define como:

∆u =1

δx(1.23)

donde δx es la resolucion o intervalo de muestreo en la funcion original. Por tantoentre mas pequeno sea el muestreo de una funcion mayor sera el ancho de banda desu correspondiente transformada de Fourier. Dicho de otra manera a mayor resolucion(muestreo mas pequeno) es posible detectar cambios mas rapidos en la funcion. Es decircomponentes de mas alta frecuencia.

La frecuencia uc = ∆u/2 es llamada frecuencia de corte y representa lamaxima frecuencia que aparece en el espectro de Fourier. Si la transformada de Fourierde una funcion es cero para frecuencias mayores a uc, se dice que la funcion es debanda limitada. Esto debido a que solo tiene componentes de frecuencia en la banda de


Figura 1.6: Definicion geometrica del ancho de banda angular de la grabacion de unholograma [Gue90].

[−uc, uc].

El ancho de banda lo podemos ver como un cono que encierra el campodifractado por el objeto. Dicho cono subtiende un angulo que depende de la longitudde onda del frente de iluminacion. Ası el angulo maximo, en que difracta un objeto deancho de banda limitado, lo podemos calcular como:

θ ≈ ucλ (1.24)

para angulos pequenos. Para angulos mayores se sustituye θ por la funcion sen (θ).

En la Fig. 1.6 se puede ver el diagrama del ancho de banda angular entreel holograma y el objeto en el proceso de grabacion. Donde θo representa el maximoancho de banda angular de los objetos que el holograma puede detectar. Y θH representael maximo ancho de banda angular que el holograma puede capturar, depende de latamano total del holograma. Esto es considerando una configuracion en lınea es decirel haz de referencia incide en forma perpendicular al holograma.

Transformada de Fourier de un holograma de amplitud

Aplicando la transformada de Fourier, Ec. ( 1.7), a la definicion del holo-grama, Ec. ( 1.5), y sustituyendo el tercer termino de acuerdo a la Ec. ( 1.6) tenemos:

F{I}

= F{| o |2

}+ F

{| r |2

}+ F

{or∗}

+ F{o∗r}, (1.25)

suponiendo que la onda de referencia es una onda plana inclinada dada por:

r(x, y) = Arei 2π(uox), (1.26)


donde Ar denota una amplitud constante, k = 2π/λ representa el numero de onda yuo, la frecuencia espacial ligada al angulo de inclinacion θ de la onda, esta definido por:

uo =sen(θ)

λ. (1.27)

En este caso se considera que la onda solo esta inclinada con respecto al eje x. Latransformada de Fourier de la onda de referencia se expresa como:

F{Are

i 2π(uox)}

= Arδ(u− uo) (1.28)

(a) (b)

Figura 1.7: Espectro de la transformada de Fourier de (a) objeto (b) holograma deamplitud.

Utilizando el teorema de convolucion de la transformada de Fourier [God96]que establece que:

F{f(x, y)× g(x, y)

}= F (u, v)⊗G(u, v), (1.29)

se pueden calcular los dos ultimos terminos de la Ec. ( 1.25). Se obtiene que la trans-formada de Fourier de un holograma de amplitud esta dada por:

F{I}

= F{| o |2

}+ F

{| r |2

}+O(u− uo, v) +O∗(−u− uo,−v). (1.30)

En esta expresion lo dos primeros terminos a la derecha de la igualdad componen elorden cero del espectro del holograma, espectro central de la Fig. 1.7b. Este espectroincluye la autocorrelacion del objeto y si se considera que la onda de referencia esuna onda plana el espectro del orden cero tiene un ancho aproximado de 2∆uobj. Porotra parte los dos ultimos terminos corresponden al espectro del objeto y su conjugadodesplazados del origen. Espectros laterales en la Fig. 1.7b. Estos espectros son replicasdel espectro del objeto, Fig. 1.7a, desplazados del origen una distancia uo. Dondeuo es la frecuencia espacial de la onda de referencia. Por ser replicas del espectro delobjeto ambos espectros tienen un ancho igual a ∆uobj. Si uo < 3∆uobj/2 los espectrosapareceran parcialmente superpuestos. En el caso de los hologramas en lınea uo = 0y los tres espectros ocupan el mismo lugar en el espacio de frecuencias. Por tanto suinformacion aparece totalmente mezclada.


Teorema de muestreo

Al disminuir el intervalo de muestreo se aumenta el numero de puntosque representa a una funcion discreta en un intervalo dado. Esto aumenta la similitudde la funcion muestreada con la funcion continua original, pero tambien aumenta lacantidad de recursos computacionales para su procesamiento. El teorema de muestreonos permite determinar el intervalo maximo de muestreo que asegura que al utilizar latransformada de Fourier de la funcion podremos recuperar la funcion original correcta-mente. El teorema de muestreo dice:

Si una funcion continua f(x) es de banda limitada, i.e., su espectro contienevalores no nulos solo en una banda limitada de frecuencias, y si f(x)esmuestreada por lo menos dos veces en cualquier incremento δxo igual degrande que el perıodo espacial del componente de frecuencia espacial masgrande en f(x), entonces f(x)puede ser reconstruida usando los valoresmuestreados [CB+71]

La componente de frecuencia espacial mas grande en f(x) corresponde a uc = ∆u/2 ysu perıodo espacial es δxo = 1/uc = 2/∆u. El perıodo de muestreo debe ser δxmin =δxo/2 = 2/(2∆u) = 1/∆u. Lo que coincide con la Ec. ( 1.23).

Problema de submuestreo

La transformada de Fourier de una funcion discreta es periodica, conperıodo ∆u = 1

δx, donde δx es la resolucion de muestreo. Si el teorema de muestreo no

se cumple, al calcular la transformada de Fourier de la funcion discreta las componentesde las frecuencias mayores a uc aparecen como reflejadas dentro del espectro calculadotomando como eje una lınea trazada sobre uc. Esto afectara la informacion de las fre-cuencias menores a uc. Este efecto se conoce como ”aliasing [Bra03].Y se dice entoncesque la funcion esta submuestreada.

1.4. Reconstruccion digital de hologramas

Cuando un holograma de amplitud es digitalizado y convertido en unamatriz de datos es posible simular la reconstruccon del holograma utilizando los mode-los de propagacion mencionados en la seccion 1.3.2. Como se menciono en la seccion1.1.2 para reconstruir un holograma fısico se necesita iluminarlo con un frente de onda.Sin embargo en el caso de simulaciones matematicas se puede suponer que la onda dereferencia es plana y con amplitud igual a 1 por lo que basta con retro-propagar la

1.4. RECONSTRUCCION DIGITAL 23

informacion del holograma directamente al plano objeto para lograr su reconstruccion.En caso que la onda de referencia no sea de este tipo el objeto reconstruido estara mo-dulado por la onda de referencia tanto en fase como en amplitud. Para eliminar estamodulacion se debe multiplicar el holograma por un modelo matematico de la onda dereferencia antes de retro-propagarlo.

1.4.1. Reconstruccion por propagacion

En el caso de hologramas de Fresnel, Sec. 1.2.3,el objeto recuperado, enla etapa de reconstruccion del holograma, aparecera a la misma distancia z a que fuecolocado el objeto original, respecto al plano del holograma, en la etapa de grabacion.De acuerdo a la ecuaciones ( 1.5) y ( 1.6), un holograma de amplitud se puede escribircomo:

I =| o |2 + | r |2 +or∗ + o∗r. (1.31)

En el caso de un holograma de amplitud tipo Fresnel grabado con una configuracionfuera de eje, tenemos que al propagar el holograma a una distancia z o −z, se obtienentres haces distintos viajando con diferentes inclinaciones. Uno de estos haces es el ordencero, que es la luz difractada sobre el eje original de propagacion del haz. Este hazcorresponde a los dos primeros terminos del lado derecho de la ecuacion ( 1.31). Losotros dos haces corresponden a los dos siguientes terminos. Estos haces formaran laimagen virtual y la imagen real del objeto, respectivamente. El conjugado del objetorepresenta una onda convergente por ello forma una imagen real del objeto. Es decir unaimagen localizable. Si se propaga el holograma a una distancia z0 aparecera enfocada la

Figura 1.8: Reconstrucion de un holograma de Fresnel fuera de eje.


imagen real y desenfocada la imagen virtual. Mientras si se propaga el holograma a unadistancia −z0 sera la imagen virtual quien aparezca enfocada y por tanto desenfocadala imagen real, ver Fig. 1.8.

Propagacion discreta de Fresnel

Partiendo de la definicion de propagacion de Fresnel se obtiene una ex-presion para la propagacion discreta de Fresnel. La cual queda expresada como:

G(m,n) =e−i kz

i λze−i πλz

δx22 (m2+n2)×

M−1∑q=0

N−1∑l=0

{f(q, l)e−i

πλzδx2(q2+l2)

}e−i 2π( qm

M+ lnN

). (1.32)

donde, δx es el tamano de pixel en el campo objeto, (m,n) son los ındices de la matrizresultante, (q, l) son los ındices de la matriz de datos originales. Las matrices son deN ×M elementos. La distancia de progagacion es z y la longitud de onda usada es λ.Por ultimo δx2 es el tamano de pixel en el campo de propagacion y esta relacionadocon δx, tamano del pixel en los datos originales, por:

δx2 =λz

Nδx(1.33)

Como se menciono en la Sec. 1.3.2 el sistema de coordenadas del campo propagadocambia con la distancia de progacion. En el caso discreto esto se ve reflejado en elintervalo de muestreo de la matriz resultante,δx2.

Metodo del espectro angular discreto

La funcion de transferencia discreta para el metodo del espectro angular,Sec. 1.3.2 esta dada por:

H(m,n) = ei2πzλ

√1− λ2

δx2

[(mM

)2−( nN

)2], (1.34)

donde, δx es el tamano de pixel en el campo objeto, (m,n) son los ındices de la matriz.La distancia de progagacion es z y la longitud de onda usada es λ. Esta matriz dependede las frecuencias espaciales de la transformada de Fourier del objeto (u, v) las cualesse definen en este caso como:

u =m

Mδxv =

n

Nδx. (1.35)

y solo dependen del tamano de la matriz y su intervalo de muestreo. El campo propagadose calcula por medio de :

Ga(m,n) = F−1{O2(m,n)H(m,n)

}(1.36)

1.4. RECONSTRUCCION DIGITAL 25

donde O2(m,n) es la transformada discreta del campo original. En este caso el intervalode muestreo del campo propagado se conserva.

1.4.2. Calculo de la transformada de Fourier con alta resolu-cion

De la Sec. 1.4.1 se observa que la resolucion del campo propagado, enforma discreta, esta delimitada por el modelo de propagacion empleado. Cuando seutiliza el metodo de la integral de Fresnel la resolucion es directamente proporcional a ladistancia de propagacion. Es decir a mayor distancia, mayor sera el tamano del intervalode muestreo, Ec. ( 1.33). Por otro lado cuando se utiliza el metodo del espectro angularla resolucion de muestreo es igual a la resolucion del campo original. La resolucion delos datos originales, en holografıa digital, esta dada por el tamno del pixel de la CCDusada para grabar los datos. Esta limitiacion de la resolucion esta ligada al calculo dela trasformada de Fourier discreta utilizada en los diferentes modelos de propagacion.

En este trabajo, para tener un mejor control de la resolucion en los datos,se utilizo un algoritmo para calcular la transformada de Fourier discreta con alta re-solucion. Con este algoritmo es posible calcular campos con un intervalo de muestreomas pequeno.

El algoritmo esta basado en la propiedad de corrimiento de la transfor-mada de Fourier. La cual establece que:

F[f(x)ei2πu1x

]= F (u− u1) (1.37)

donde F (u) = F [f(x)]. Es decir, si se multiplica la funcion original por un factor defase lineal su transformada de fourier estara desplazada u1 frecuencias espaciales en eldominio de Fourier. Para el caso discreto, el intervalo de muestreo en el dominio deFourier esta dado por δu = 1/∆x. Donde ∆x es el tamano total de la matriz original,es decir ∆x = N × δx. En este caso N es el numero de puntos de la matrix en unadireccion y δx es el tamano de pixel. Si el desplazamiento u1 se elige como fracciones delintervalo de muestreo δu se pueden calcular los valores de la transformada de Fouriercorrespondiente a coordenadas entre los puntos iniciales de muestreo. Al intercalar losvalores de varias transformadas de Fourier con distintos corrimientos se puede formaruna transformada de Fourier de alta resolucion. El algoritmo utilizado calcula diversastransformadas de Fourier aplicando diferentes factores de fase e intercala sus valorespara formar la transformada de Fourier de alta resolucion. Los factores de fase se eli-gen para introducir corrimientos que realicen un barrido, en la direccion x y y, entrelos puntos de muestreo original. La resolucion final de la transformada dependera delnumero de puntos calculados entre los puntos de muestreo original. Este algoritmo sepuede aplicar tanto al metodo de la integral de Fresnel como al metodo del espectroangular.


1.4.3. Eliminacion del orden cero

Para la recuperacion del frente de onda del objeto solo nos interesa eltermino de la imagen real o el de la imagen virtual del objeto de la ecuacion ( 1.31).Por lo que el orden cero se considera ruido y es deseable eliminarlo por algun medio.Existen diversos metodos para eliminar este termino: restar el promedio, restar lasamplitudes del haz objeto y referencia, aplicar un filtraje a la transformada de Fourierdel holograma o hacer una aproximacion considerando que el objeto varia lentamente.

Restando el promedio del holograma

El orden cero es la suma de las auto-convoluciones del haz objeto y el hazde referencia por lo que tiende a ser una funcion suave que varıa muy lentamente, en lamayorıa de los casos. Utilizando esta caracterıstica es posible eliminar gran parte delorden cero restando el promedio del holograma al holograma original [SJ05]. Definimosel holograma digital como:

I(k δx, l δy) (1.38)

donde δx, δy son los intervalos de muestreo de la funcion en la direccion horizontal y ver-tical respectivamente. Ademas se considera que la matriz resultante tiene N renglonesy M columnas. Por lo que k = 0, ...,M − 1 y l = 0, ..., N − 1. Entonces el hologramamodificado con el orden cero suprimido puede ser calculado por:

I ′(k δx, l δy) = I(k δx, l δy)− Im (1.39)

donde:

Im =1

NM

M−1∑k=0

N−1∑l=0

I(k δx, l δy). (1.40)

Restando intensidades del haz objeto y referencia

Otra forma de eliminar el orden cero es restar las intensidades del hazobjeto y referencia al holograma original. En este caso estas intensidades se puedengrabar experimentalmente.

I ′ = I− | o |2 − | r |2 I ′ = 2(or∗ + o∗r) (1.41)

Filtrando la transformada de Fourier del holograma

Al aplicar la transformada de Fourier a un holograma de Fresnel fuerade eje obtenemos tres espectros separados, como en la Fig. 1.7b. De acuerdo con la

1.5. ALGORITMOS ITERATIVOS (AI) 27

Sec. 1.3.3 si la frecuencia de la onda de referencia cumple:

uo ≥3∆uobj

2(1.42)

es posible aplicar un filtro espacial a la trasformada para eliminar el orden cero sinafectar la informacion del espectro del objeto [CMD00]. El filtro se realiza multiplicandola transformada de Fourier del holograma por una mascara binaria donde se ha definidouna ventana en el centro con valores de cero y el resto de la matriz tiene un valorigual a uno. El tamano de la ventana dependera de la extension del orden cero quees aproximadamente de 2∆uobj . Al resultado se le aplica la Transformada inversa deFourier. Al propagar este holograma modificado solo se reconstruyen los terminos de laimagen real y virtual del objeto modificados por la fase del haz de referencia, pero sinel ruido del orden cero.

I ′(x, y) = F−1{F{I(x, y)

}∗ P (u, v)

}(1.43)

donde P (u, v) define el filtro utilizado en las frecuencias espaciales (u, v) del dominiode Fourier.

1.5. Algoritmos iterativos (AI)

En dos de los metodos propuestos en este trabajo se utilizan algoritmositerativos para la eliminacion del ruido dentro del objeto recuperado y mejorar la calidaddel mismo. El algoritmo iterativo usado en este trabajo es un algoritmo tipo Gerchberg-Saxton, basado en uso de la transformada de Fourier. Debido a que el algoritmo solose utiliza para eliminar ruido de fondo y mejorar la calidad del objeto recuperado, esposible utilizar una de sus versiones mas simples con buenos resultados. En esta seccionse hace un breve resumen de los principios de funcionamiento y variantes de los algorit-mos iterativos tipo Gerchberg-Saxton. Ademas se presenta a detalle el funcionamientodel algoritmo iterativo tipo Gerchberg-Saxton de reduccion de error que es el algoritmoaplicado en dos de los metodos propuestos, Cap. 3 y 4.

1.5.1. Algoritmos Gerchberg-Saxton

Los algoritmos iterativos consisten en un ciclo de operaciones que modifi-can gradualmente una funcion inicial, de modo tal que la funcion resultante sea solucional problema inicial. Los algoritmos tipo Gerchberg-Saxton (GS), utilizan como base larelacion matematica recıproca que existe entre un frente de onda y su plano de difrac-cion [GS98], la cual esta dada por la Transformada de Fourier (TF) y su inversa (TIF).Es decir el patron de difraccion de un frente de onda se puede calcular mediante la


transformada de Fourier de dicho frente, y viceversa, el frente de onda se puede recupe-rar al aplicar la transformada de Fourier inversa al patron de difraccion. Para aplicareste metodo se necesita conocer parte de la informacion del frente de onda en estos dosplanos, objeto y difraccion. Esta informacion actuara como restricciones para el campoen cada plano. La informacion conocida puede ser la amplitud o la fase del frente deonda en cada plano.

Variantes de algoritmos iterativos tipo GS

Existen diversas variantes de los algoritmos tipo GS, como es el de reduc-cion de error, el de entrada-salida y el hıbrido de entrada-salida. En ellos varia la formaen que se corrige el campo en cada plano, como se explica a continuacion:

(a) (b)

Figura 1.9: Diagramas de los algoritmos (a)Reduccion de error (b) Entrada Salida.

Reduccion de error. En ambos planos, objeto y holograma, se obliga al campo re-sultante, de la transformada de Fourier o TIF, a cumplir con las restriccionesimpuestas en cada plano, Fig. 1.9a. [Fie78].

Entrada-salida. Solo en el plano del holograma se obliga al campo resultante, de latransformada de Fourier, a cumplir la restriccion dada. En el campo objeto lanueva entrada se forma combinando puntos con valores exactamente iguales a laentrada anterior y puntos con valores de la entrada anterior modificados con partede los valores del campo resultante de la TIF, Fig. 1.9 (b). [Fie78].

Hibrido de entrada-salida. Al igual que en el caso anterior, en el plano del holo-grama se obliga al campo resultante, de la transformada de Fourier, a cumplir larestriccion dada. Sin embargo ahora en el plano del objeto la nueva entrada seforma combinando puntos con valores del campo calculado por la TIF y puntoscon valores de la entrada anterior modificados con parte de los valores del campocalculado por la TIF. [Fie82].

1.5. ALGORITMOS ITERATIVOS (AI) 29

Existen otras versiones de estos algoritmos, en donde se hacen combinaciones de lasvariantes presentadas [TT+02]. Sin embargo se puede considerar que estas son las masbasicas.

Algoritmo de reduccion de error

El algoritmo de reducion de error sigue el esquema presentado en la Fig.1.9a. En este caso el campo en el plano objeto esta definido por |fo(x, y)|exp[iφ(x, y)],donde la amplitud |fo(x, y)| se conoce ya sea por datos experimentales o por conocimien-to a priori del objeto.Mientras que la fase del campo en este plano, φ(x, y), se desconoce.El campo en el plano de difraccion esta dado por |Fo(u, v)|exp[iψ(u, v)], donde la am-plitud |Fo(u, v)| se obtiene por metodos experimentales. Mientras que la fase ψ(u, v) seconsidera desconocida.

Para aplicar el algoritmo se necesita definir una funcion inicial para elcampo complejo en el plano del objeto. Esta funcion inicial esta formada por la amplitudconocida |fo(x, y)| y una fase inicial propuesta φo(x, y). Esta fase puede ser aleatoria uobtenida por algun modelo matematico. Esta funcion inicial representa el objeto inicialdel algoritmo iterativo. La funcion inicial en el plano objeto queda definida como:

go(x, y) = |fo(x, y)|exp[iφo(x, y)]

Para el algoritmo se utiliza la siguiente notacion: g(x, y) y g′(x, y) representan el cam-po complejo en el plano de objeto, mientras G(u, v) y G′(u, v) representan el campocomplejo en el plano de difraccion. La funcion G(u, v) es la transformada de Fourierde g(x, y) y la funcion g′(x, y) es la transformada de Fourier inversa de G′(u, v). Parainicializar el algoritmo se establece:

g(x, y) = go(x, y)

El algoritmo se compone de los siguientes pasos [SKD97] :

1. Se calcula la transformada de Fourier de la funcion g(x, y) para obtener G(u, v)en el plano de difraccion

G(u, v) = |G(u, v)|expi ψ(u, v) = F{g(x, y)

}2. Se aplica la restriccion del plano de Fourier sustituyendo la amplitud del campo

obtenido |G(u, v)| por la amplitud conocida del campo en el plano de difraccion|Fo(u, v)| y se conserva la fase obtenida. Es decir se define a G′(u, v) como:

G′(u, v) = |Fo(u, v)|expi ψ(u, v) (1.44)


3. Se calcula la transformada de Fourier inversa de la funcion G′(u, v) para obtenerg′(x, y) en el plano objeto

g′(x, y) = |g′(x, y)|expi φ(x, y) = F−1{G′(u, v)

}4. Se aplica la restriccion del plano objeto sustituyendo la amplitud del campo

obtenido |g′(x, y)| por la amplitud conocida del campo en el plano del objeto|fo(x, y)| y se conserva la fase φ(x, y). Es decir se define a g(x, y) como:

g(x, y) = |fo(x, y)|expiφ(x, y) (1.45)

5. El ciclo se repite desde el paso 1.

Estos pasos son repetidos hasta que el error o diferencia entre las amplitudes |G(u, v)|y |Fo(x, y)| deje de disminuir. El error tambien se puede calcular entre las amplitudes|g′(x, y)| y |fo(x, y)| en el plano objeto. La eleccion del plano donde se calcula el errordepende de cada caso.

Aunque en la version original la relacion entre los planos objeto y difrac-cion esta dada por la Transformada de Fourier del frente de onda, es posible utilizarotros modelos de difraccion o propagacion para implementar este algoritmo. Uno deellos es la propagacion de Fresnel. Una de las ventajas de usar este modelo es que elcampo difractado en la region de Fresnel tiende a ser mas balanceado en su distribu-cion de intensidades. Lo cual hace mas facil la deteccion correcta de la intensidad en lamayorıa de puntos del campo difractado.

1.5.2. Calculo de error

Para determinar cuando se deben de detener las iteraciones del algoritmose utiliza el error rms, ya sea en el plano objeto o en el plano de difraccion. El error enel plano objeto en la kesima iteracion esta dado por:

errorp obj =

∫ ∫ [|fo|2 − |gk|2

]2dxdy∫ ∫

||fo|2|2dxdy, (1.46)

y el error en el plano de difraccion esta dado por:

errorp dif =

∫ ∫ [|Fo|2 − |Gk|2

]2dxdy∫ ∫

||Fo|2|2dudv. (1.47)

Dependiendo del problema el error se mide en uno u otro plano. Cuandoel error calculado deja de disminuir significativamente, se dice que el algoritmo se ha

1.6. ENVOLVIMIENTO DE FASE 31

estancado. El estancamiento se puede deber a que se encontro un mınimo global olocal. En el primer caso se considera que es la solucion optima del problema, en elsegundo caso,se considera que la solucion que puede no ser lo suficientemente buena.Esto depende de la cantidad de error que aun se tenga. Para evitar este problema sepuede implementar algun mecanismo que saque al proceso del mınimo local y permitaseguir buscando el mınimo global o un mınimo local mejor.

1.6. Envolvimiento de fase

1.6.1. Origen de la fase envuelta

Normalmente en las simulaciones computacionales los numeros complejosson representados utilizando su forma cartesiana que esta dada por:

z = Re(z) + i Im(z) (1.48)

Entonces para representar un campo complejo utilizando la Ec. ( 1.1), que esta encoordenadas polares, se emplean las siguientes equivalencias:

|f(x, y)| =√

[Re(z)]2 + [Im(z)]2 φ(x, y) = arctanIm(z)

Re(z), (1.49)

donde la fase φ es dependiente de la funcion arcotangente y esta limitada al intervalo devalores [−π/2, π/2]. Al tomar en cuenta los signos de Re(z) y Im(z), se puede extenderel intervalo de (−π, π]. Es decir, la funcion solo tendra valores en un rango de 2π.Todas aquellas fase que sean mayores a dicho valor seran reducidas a su diferencia conmultiplos enteros de 2π. A estos valores se les llama valores envueltos de fase, o eningles wrapped phase values. Ya que los valores absolutos de fase son envueltos dentrodel intervalo de (−π, π] [GP98].

La fase original o absoluta se puede definir como:

ϕ(x) = φ(x) + 2πk(x), (1.50)

donde φ representa la fase envuelta y k(x) es una funcion que arroja valores enteros yque permite mantener a φ en el rango de (−π, π]. La funcion k(x) se puede ver comouna funcion de contadores que nos indica cuantas veces debemos sumar 2π a cada valorde la fase envuelta φ para poder recuperar la fase original ϕ.

1.6.2. Fase envuelta en dos dimensiones

Para una funcion unidimensional el envolvimiento y desenvolvimiento dela fase es relativamente sencillo. Para desdoblar una fase basta con analizar cada dato


respecto a su anterior, si existe una diferencia menor a −π se incrementa en uno el valorde la funcion k(x) para todos los puntos subsecuentes. Mientras si la diferencia es mayora π se disminuye en uno el valor de la funcion k(x) para todos los puntos subsecuentes.En otro caso no se modifican los valores de k(x). Sin embargo problemas en el muestreode las funciones o una gran cantidad de ruido en la senal pueden ocasionar que la fasedesdoblada sea incorrecta. Ya que la diferencia entre los puntos puede verse afectadapor estos problemas y no representar los saltos de fase debidamente. Como se puedeapreciar los saltos de fase modifican los valores de k(x) a partir del punto donde seencuentran, es decir, los cambios se propagan hacia adelante en la funcion.

Cuando se trabaja con funciones de dos dimensiones el problema se vuelvemas complicado, ya que cada punto tiene 8 puntos vecinos y con cada uno de ellostendra una diferencia de fase distinta. El problema radica en que si el valor absoluto deuna de estas diferencias es mayor a π indica un salto de fase que se debe de propagaral resto de la funcion. Entonces surge el dilema de la direccion de propagacion de estesalto de fase. Al desdoblar una funcion bidimensional primero en forma horizontal yluego en forma vertical se puede obtener un resultado diferente al que se obtiene si sedesdobla primero en forma vertical y luego horizontal. A estos puntos se les conocecomo inconsistencias en la fase [GP98] o residuos.

Residuos en la fase

Los residuos dentro del desdoblamiento de fase difieren de los residuos enfunciones complejas. Se dice que si la integral de lınea cerrada alrededor de un punto esigual a cero, el desdoblamiento de fase en ese punto es independiente de la trayectoriacon que se realice. Para definir un residuo se utiliza el teorema de residuo para eldesdoblamiento de fase en dos dimensiones el cual esta dado por:∮

∇ϕ(r) · dr = 2φ× (suma de las cargas de residuos de fase encerrados) (1.51)

donde normalmente la carga de residuos es ±1. Si las cargas de los residuos estanbalanceadas la integral de lınea alrededor de la zona sera cero. Entonces es posibledesdoblar la fase en forma consistente si las cargas de los residuos son balanceadasconectandolas para formar ramas de corte, y el desdoblamiento se realiza siguiendocualquier trayectoria que no atraviese dichas ramas de corte [GP98].

1.6.3. Algoritmos independientes y dependientes del camino

Para solucionar el problema de desdoblamiento de fase en dos dimen-siones se han desarrollado diversos metodos. Uno es utilizar algoritmos que se basan enintegracion de datos y no dependen de una ruta para desdoblar la fase. Otro es utilizar

1.6. ENVOLVIMIENTO DE FASE 33

la informacion de residuos y ramas de corte para delimitar zonas y desdoblar la fasesiguiendo determinadas trayectorias que aseguren un desdoblamiento consistente.

En este trabajo utilizamos el algoritmo dependiente del camino propuestopor Flynn [GP98]. Para poder utilizar este algoritmo es necesario definir un mapa decalidad de la imagen. Un mapa de calidad es el resultado de aplicar una serie de filtrosa la informacion de fase para determinar que puntos contienen informacion confiabley que puntos pueden tener mucho ruido o puntos de residuo. Si el mapa de calidadutilizado no es calculado correctamente de acuerdo al tipo de datos del problema, elresultado puede ser afectado en gran medida. Ya que puntos residuales pueden serconsiderados buenos e introducir falsa informacion, o bien zonas con un buen muestreose pueden considerar con informacion erronea y aumentar el tiempo de procesamientodel algoritmo. En este caso para determinar el mapa de calidad se utilizo la varianzaderivativa de la fase que es definida por:

Zm,n =

√∑(∆x

i,j + ∆xm,n)2 +

√∑(∆y

i,j + ∆ym,n)2

k2(1.52)

donde,(i, j) son los ındices para recorrer un ventana de k × k centrada en (m,n). ∆xi,j

y ∆yi,j son las derivadas parciales de la fase en las direcciones x y y respectivamente.

Los terminos ∆xm,n y ∆y

m,n son los promedios de las derivadas parciales de la fase paracada ventana de k × k elementos. El tamano de las ventanas puede ser 3 × 3, porejemplo. El mapa se calcula usando un umbral. Existen otras formas de calcular losmapas de calidad como son la correlacion de datos, la pseudocorrelacion y el maximogradiente de fase. Sin embargo para objetos con residuos distribuidos en forma circularla varianza derivativa muestra una correcta deteccion de residuos para formar las ramasde corte. En este trabajo uno de los objetos analizados es un arreglo de micro-lentes,por lo que los residuos pueden encontrarse distribuidos en forma circular. Por tantoeste es el metodo adecuado para detectar los residuos en los datos recuperados de losexperimentos realizados.

Algoritmo de Flynn

La idea principal de este algoritmo es detectar lıneas de discontinuidadesunidas en zonas cerradas, y agregar multiplos de 2π a los pixeles encerados en cadazona cerrada, si esto elimina mas discontinuidades que las que aumenta. Este procesose repite iterativamente hasta que no se encuentran mas zonas cerradas. La solucion seconsidera como una solucion de mınima discontinuidad. [Para una explicacion a detalledel algoritmo ver pag. 153 en [GP98]].


1.7. Pantallas de cristal lıquido

1.7.1. Cristales lıquidos

El cristal lıquido es un estado de la materia entre el solido cristalino yel lıquido amorfo. En el las moleculas tienen una distribucion ordenada, sin embargono estan totalmente fijas. Ademas las moleculas se pueden considerar como esferasalargadas que tienen un eje director. Utilizando un campo electrico es posible modificarsu ordenamiento. Este es el principio que utilizan las pantallas de cristal lıquido paravariar la orientacion de las moleculas en una celda. Las moleculas de cristal lıquidopresentan una birrefringencia, es decir su ındice de refraccion es diferente para los ejesprincipal y secundario de las moleculas [ST91].

Las moleculas de cristal lıquido pueden alinearse principalmente en tresformas diferentes: smectica, nematica y cholesterica. En la primera todas las moleculasestan alineadas en planos definidos y siguiendo la misma orientacion, en la segunda lasmoleculas tienen la misma orientacion pero no forman planos, y en la tercera formanplanos donde todas las moleculas en un plano tienen la misma orientacion pero diferentea la orientacion de las moleculas en otro plano.

Figura 1.10: Pantalla de cristal liquido nematico, configuracion para modo de amplitud.

1.7.2. Pantallas de cristal lıquido nematicas

La pantallas de cristal lıquido nematico consisten en celdas de cristallıquido,controladas por electrodos transparentes. Donde las caras internas del vidrio queforman la celda han sido tratadas para fijar la alineacion de las moleculas. Las moleculasson alineadas de modo que el vector director sufra un cambio de 90 grados entre el plano

1.8. COMENTARIOS 35

de entrada y el plano de salida de la celda, formando una placa retardadora de fase. Alaplicar un voltaje a la celda las moleculas se inclinan en la direccion de propagacioncon lo que el poder de rotacion del campo en la celda disminuye. Si se anaden dospolarizadores correctamente alineados a los ejes de entrada y salida, Fig. 1.10, la celdapuede funcionar como una modulador de intensidad dependiendo del voltaje que se leaplique [YG99]. En este trabajo esta es la configuracion usada de la pantalla de cristallıquido (LCD liquid crystal display) para desplegar una rejilla de amplitud en el tercermetodo propuesto, Cap. 5 y 6.

1.8. Comentarios

En este capıtulo se presento la teorıa basica para entender los metodospropuestos en este trabajo. Se realizo un repaso de los diferentes tipo de hologramasque existen, con el fin de identificar correctamente el tipo de hologramas que se utilizanen el desarrollo del trabajo. Esto con el fin de definir claramente sus propiedades,ventajas y limitaciones de cada uno de ellos. En este caso los hologramas utilizadosson de dos tipos: hologramas de Fresnel en lınea y hologramas de Fresnel fuera dede eje. Se presento la teorıa matematica necesaria para calcular la propagacion de loscampos de luz y se abordo el problema de muestreo y ancho de banda inherente enlas funciones muestreadas. La primera es la herramienta basica para procesar los datosen este trabajo. El segundo incluye una serie de conceptos que son recurrentementeutilizados en el analisis de los metodos propuestos. Tambien se presento la forma generaldel algoritmo iterativo de reduccion de error tipo GS. En este metodo es necesario tenerparte de la informacion de un frente de onda en dos planos, un plano objeto o planooriginal y un plano de difraccion. Esta informacion parcial funciona como restriccionesdurante el proceso iterativo y permite recuperar la informacion compleja del campo enambos planos, amplitud y fase. En la version original la relacion entre los dos planosse establece por medio de la Transformada de Fourier del campo, sin embargo se puedeusar en su lugar la formulacion de la propagacion de Fresnel. Por ultimo se da una breveexplicacion del problema de desdoblamiento de fase ası como del algoritmo de Flynn,utilizado como una herramienta, en este trabajo. Este algoritmo se usara para podervisualizar correctamente la fase recuperada con los metodos propuestos. Se presento unabreve explicacion del funcionamiento de las pantallas de cristal lıquido. Los principiosy el modo de configuracion en amplitud que sera usado en el tercer metodo propuestoen este trabajo.

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Capıtulo 2

Microscopıa holografica digital(MHD)

2.1. Principios

Una de las desventajas de los microscopios tradicionales es que a mayoraumento en la amplificacion del objeto, menor es la profundidad de campo del frente deonda. Es decir, solo aparecen enfocados los objetos que estan en planos muy cercanosentre si. Esto implica que para estudiar objetos con un volumen de varias decenas demicras es necesario enfocar manualmente diversos planos de la muestra e ir tomandoimagenes de cada plano. Otra de las desventajas es que para objetos de fase es necesarioagregar algun colorante a la muestra para poder visualizarla. La microscopıa holograficadigital (DHM (Digital Holographic Microscopy) por su siglas en ingles) es una tecnicaque elimina estos dos problemas. Ya que permite recuperar la informacion de variosplanos de la muestra a partir del analisis de los datos tomados en un solo plano. Ytambien permite analizar objetos de fase sin la necesidad de alterar la muestra.

2.2. Descripcion

La idea principal de la MHD es grabar uno o varios hologramas de Fresneldel objeto utilizando un medio electronico, Fig. 2.1. En la mayorıa de casos se utilizauna CCD. A partir del holograma se puede recuperar el campo complejo del objetoen el plano del holograma. Este campo puede ser retropropagado a diversas distanciasutilizando algun modelo de propagacion de campos. Las distancias se eligen para poderobtener la imagen enfocada del objeto complejo en diferentes planos, Fig. 2.2. Conesto ya no es necesario realizar el enfocamiento manual del sistema. Tanto el analisis

39

40 CAPITULO 2. MICROSCOPIA HOLOGRAFICA DIGITAL (MHD)

Figura 2.1: Grabacion de holograma de Fresnel de una muestra microscopica.

del holograma como la retropropagacion del campo objeto se realiza de forma computa-cional. Con ello es posible aplicar tecnicas para la eliminacion del ruido que serıa muycomplejo implementarlas de forma experimental. Uno de los puntos mas importanteses que el holograma se forma con el campo propagado del objeto, y no con una imagenenfocada del mismo. Esto con el fin de poder utilizar la retro propagacion del campo yreconstruir diversos planos del objeto. En el caso de muestras microscopicas el campodifractado aumenta rapidamente de tamano por lo que se puede muestrear de mejorforma en un plano alejado de la muestra que en su plano original.

Se pueden utilizar diferentes configuraciones interferometricas para gene-rar los hologramas, como los interferometros de Mach-Zehnder y de Michelson [Hec00].

2.3. Recuperacion del campo complejo del objeto

Para la recuperacion digital del campo complejo del objeto en el planodel holograma pueden ocuparse distintas tecnicas como: el corrimiento de fase, la inter-ferometrıa de Fourier y la reconstruccion directa del holograma.

2.3.1. Corrimiento de fase

El corrimiento de fase fue una de las primeras tecnicas utilizadas pararecuperar el campo objeto de un patron de interferencia. Esta tecnica consiste en grabar

2.3. RECUPERACION DEL CAMPO COMPLEJO DEL OBJETO 41

Figura 2.2: Reconstruccion de diversos planos de un objeto usando un campo complejo.

varios interferogramas en los cuales se ha introducido un corrimiento de fase en una delas dos ondas, normalmente la onda de referencia. Dicho corrimiento puede ser especıfico[YZ97, ZY98, JT00, YK01, DM+02] o al azar [GYC07, GZ+02]. Al sumar, restar ydividir los interferogramas grabados, se puede despejar la funcion de fase del objeto sinambiguedad alguna. Uno de los metodos mas usado es el de 4 pasos, con corrimientosde fase de 0, π/2, π y 3π/2, otro comunmente usado es el de 3 pasos. Tambien se hanutilizado 2 interferogramas con un solo corrimiento de fase [GD04]. A continuacionse presenta el metodo de 4 pasos como ejemplo del funcionamiento matematico de latecnica.

Corrimiento de fase de 4 pasos

Se graban cuatro interferogramas introduciendo corrimiento de fase de 0,π2,π y 3π

2. En este caso se considera el corrimiento en la onda de referencia. De acuerdo

con la ecuacion de interferencia, Ec. ( 1.31), el patron de interferencia para cada casose define como:

I1(x, y) =| o |2 + | r |2 +2 | o || r | cos(φo − φr)

I2(x, y) =| o |2 + | r |2 +2 | o || r | cos(φo − φr +π

2)

I3(x, y) =| o |2 + | r |2 +2 | o || r | cos(φo − φr + π)

I4(x, y) =| o |2 + | r |2 +2 | o || r | cos(φo − φr +3π

2)

(2.1)


definiendo ∆ϕ = (φo − φr) se puede obtener el valor ∆ϕ usando solo las intensidadesde los interferogramas de la siguiente forma:

∆ϕ = arcotan[I4 − I1

I1 − I3

]. (2.2)

Algunas de las desventajas de esta tecnica es que requiere una alta estabi-lidad en el arreglo experimental y una alta precision en la generacion de los corrimientosde fase para evitar errores en la recuperacion del objeto. Para tener un mejor controldel corrimiento de fase se ha usado moduladores de fase programables [PD+04] queintroducen una fase al campo que pasa por ellos, pero presentan el inconveniente de lapixelizacion.

2.3.2. Interferometrıa de Fourier

Un metodo empleado para eliminar el ruido, del orden cero y la imagenconjugada, en la reconstruccion del holograma es la interferometrıa de Fourier (IF), ometodo de la transformada Fourier (MTF) [Kre86]. En donde se calcula el espectro deFourier del holograma y a este se le aplica un filtro espacial para eliminar los terminosno deseables. Al resultado del filtraje se le aplica la inversa de la transformada deFourier. El holograma resultante solo contiene la informacion deseada sin ruido, delorden cero y/o imagen conjugada, que introduzca deformaciones en la reconstruccion.El holograma es retro-propagado al plano del objeto. Donde se debe eliminar la fase dela onda de referencia. Sin embargo si el espectro del objeto es muy grande la informacionde los espectros de los tres terminos del holograma, Ec. ( 1.30), se pueden mezclar yhacer deficiente el filtraje del objeto. Tambien la inclinacion de la onda de referenciadebe ser controlada ya que determina la separcion de los espectros del objeto y suconjugado.

La IF o MTF ha sido aplicado en holografıa digital [CM+00] para re-cuperar en forma facil y rapida al objeto, aunque se sacrifique parte de la calidad delresultado. Esta tecnica se ha aplicado al seguimiento de flujo de partıculas [DC+06].Tambien se ha utilizado en conjunto con una funcion de fase extraida del mismo holo-grama o de un holograma de referencia para compensar la fase introducida por el MO[CK+06]. Ademas se ha propuesto utilizar la transformada de Fourier y metodos deprocesamiento digital de imagenes para recuperar alguna caracterıstica del objeto (fil-tros pasa bajas y pasa altas) [PP+08].

En la microscopıa holografica digital el tamano del pixel de la CCD,usadacomo medio de registro, limita el ancho de banda del holograma capturado. Esto limitael ancho de banda de los objetos que se pueden recuperar correctamente con esta tecnica.Si el objeto tiene un ancho de banda grande es necesario incrementar la frecuencia dela onda de referencia para poder separar correctamente los espectros en el dominio de

2.4. RETRO-PROPAGACION DEL CAMPO COMPLEJO DEL OBJETO 43

Fourier. Al aumentar la frecuencia de la onda de referencia se aumenta la frecuenciade las franjas del holograma generado. Si la frecuencia de las franjas es muy alta, estasno pueden ser detectadas por la CCD en forma correcta y son submuestreadas. Estogenerara ruido de submuestreo en la reconstruccion del objeto.

2.3.3. Reconstruccion directa de hologramas fuera de eje

Un metodo alternativo es la reconstruccion directa del holograma. Eneste caso es necesario tener un conocimiento a priori de la onda de referencia usada.En algunos trabajos [CMD00, CB+99] se ha propuesto el uso de una onda sinteticaque modela la onda de referencia. En estos casos la onda depende de varios parametroscomo son su curvatura e inclinacion. Cuando se utiliza un objetivo de microscopio(MO) para aumentar el tamano de la imagen, tambien se debe usar una mascara defase para compensar la fase introducida por el MO. Esta mascara puede ser calculada dedatos experimentales o bien ajustarse mediante diversos parametros [FD+03, CC+06,CM+06]. En [MT+06] se analiza el impacto de la posicion e inclinacion de la mascarade fase en la calidad del objeto reconstruido. Usando este metodo el ruido generado porla imagen conjugada y el orden cero pueden afectar la calidad de la imagen recuperada.Para evitar esto el tamano del campo y el ancho de banda del objeto son restringidos.

2.4. Retro-propagacion del campo complejo del ob-

jeto

Una vez recuperado el campo complejo del objeto en el plano del hologra-ma se realiza su retro-propagacion a diversos planos. Dependiendo de las caracterısticasde la muestra y la distancia entre el objeto y el holograma se utilizaran diferentes mo-delos de propagacion de campos, ver seccion 1.3.2.

Uno de los modelos mas empleados es el de propagacion de Fresnel, yaque solo requiere de una transformada de Fourier y permite utilizar distancias accesiblesentre el objeto y el holograma. Sin embargo modelos como el de Kirchoff-Fresnel [PT02],Rayleigh-Sommerfield [FG+05, ZPO06], Kirchhof-Helmhotz [XJ+02, XJ+03], que re-quieren el calculo de tres transformada de Fourier, han sido utilizados en el caso deobjetos con ancho de banda grande. Tambien se han propuesto usar una variante sim-plificada de Kirchoff-Fresnel [TO99]. Otro modelo empleado es el del espectro angularque no impone restricciones en la distancia de reconstruccion [MY+05] pero requiere dedos transformada de Fourier y conserva la resolucion del campo original. La transforma-da fraccional de Fresnel tambien ha sido utilizada para la reconstruccion de hologramasen lınea de objetos dentro de vasos capilares [VC+08]. Por ultimo, tambien se hanutilizado transformaciones basadas en wavelets para calcular la propagacion del campo


recuperado a diferentes distancias [MA+04].

2.5. Problemas de ruido y aberraciones en MHD

Todo sistema interferometrico tiene asociados una serie de ruidos y abe-rraciones inherentes a los componentes fısicos que se utilizan en ellos. Bajo ciertascondiciones es posible minimizar estos ruidos y aberraciones a un grado tolerable quenos permitan obtener una calidad adecuada en la recuperacion del objeto estudiado.En MDH la reconstruccion se realiza en forma digital lo que evita la introduccion denuevos ruidos y aberraciones. Pero la discretizacion de datos puede introducir otrosruidos si no se realiza de forma adecuada.

2.5.1. Eliminacion del orden cero

En los hologramas de amplitud el orden cero es considerado ruido, verseccion 1.4.3. Por tanto es muy deseable eliminar dicho termino en la reconstrucciondel holograma. Se han propuesto diversas formas de eliminar el orden cero. Takaki yOhzu [TP00] proposieron restar las intensidades del campo objeto y referencia delholograma, con esto se anula completamente el orden cero pero se requiere la medicionde las dos intensidades por separado. Otro metodo es restar el promedio del holograma,ası se consigue disminuir en gran medida el orden cero [SJ79]. Por ultimo [GY+07]han propuesto otra forma de disminuir el orden cero usando solo la intensidad del hazde referencia.

2.5.2. Eliminacion de aberraciones del objetivo de microscopio

Para evitar las aberraciones introducidas por los objetivos de microscopio(OM), existen dos tendencias. Una es utilizar dos OM, uno en el haz objeto y otro en elhaz de referencia, para que sus fases se compensen [DC+06]. Con ello se puede alcanzaraltas resoluciones en el objeto al utilizar OM de alta magnificacion, 20X [CP+06], 40X[PD+04] y 60x [MR+05]. La segunda tendencia es evitar su uso completamente, es decirutilizar arreglos sin lentes entre el objeto y la CCD [PT02, XJ+03, RPP04, MA+04,GXK06]. Esto simplifica los arreglos pero requiere que entre la CCD y el objeto ladistancia sea muy pequena para poder capturar todo el campo difractado del objeto.Esto implica que entre la CCD y el objeto no deben existir limitantes fısicas como sonlas estructuras de soporte de las componentes opticas.

2.6. TECNICAS DE MEJORA EN MHD 45

2.6. Tecnicas de mejora en MHD

Para aumentar la resolucion de los objetos que se pueden analizar, ası co-mo la calidad de las imagenes generadas, se han desarrollado diversas tecnicas. Entreellas encontramos las pupilas sinteticas, MHD de inmersion y uso de luz parcialmentecoherente.

2.6.1. Pupilas sinteticas

Para poder incrementar la resolucion en el objeto reconstruido se hapropuesto formar un holograma mas grande uniendo varios hologramas pequenos. Au-mentando ası la pupila del campo y con ello la resolucion del objeto al reconstruirusando propagacion de Fresnel [MJ08].

2.6.2. MHD de inmersion

Para aumentar el ancho de banda de los objetos que se pueden analizarse ha propuesto utilizar la inmersion del objeto en un lıquido de alto ındice de refrac-cion [GXK06]. Esto reduce la rapida dispersion del campo objeto difractado y permitecapturar la mayor cantidad del campo. Aumentando con ello la resolucion en el objetoreconstruido. La reconstruccion debe hacerse tomando en cuenta el ındice de refracciondel medio utilizado.

2.6.3. Uso de diferentes longitudes de onda

Para mejorar la resolucion axial, y no solo la lateral, en el objeto, se hapropuesto utilizar diferentes longitudes de onda [YK05B, Kim00, KYK06, YK05]. Eneste caso una serie de hologramas, cada uno generado con una longitud de onda distinta,son grabados y analizados. Al comparar los objetos reconstruidos con cada longuitud deonda es posible determinar con exactitud la informacion del objeto que pertenece a cadaplano reconstruido. Analizando hologramas con diferentes longitudes de onda tambienes posible desdoblar la fase del objeto [NF+05] eliminando algunas ambiguedades.


2.6.4. Uso de luz parcialmente coherente y luz con longitudde coherencia corta

Otro problema que se presenta en la reconstruccion del objeto es el rui-do ocasionado por el speckle. Para eliminar dicho ruido se ha propuesto el uso de luzparcialmente coherente [DN+04, DC+06]. Al eliminar el speckle las estructuras maspequenas del objeto se vuelven claras y aumenta la calidad de reconstruccion del obje-to. Tambien se puede usar luz con longitud de coherencia corta para escanear diversosplanos de un objeto por medio de Holografıa Digital [MPO05]. Otra alternativa es la su-perposicion de varios hologramas en donde se ha variado la coherencia del laser [MR+08]para disminuir el contraste del ruido ocasionado por el speckle.

2.7. Aplicaciones de la MHD

Al ser una tecnica no invasiva y permitir la recuperarcion del campoobjeto en diversos planos, la MHD puede ser aplicada a diversas tareas, desde el estudiode organismos vivos hasta el seguimiento de flujo de partıculas.

Una de las aplicaciones de la MHD es la reconstruccion de imagenescon gran profundidad de foco [FG+05] y el seguimiento de desplazamientos del obje-to [FC+03]. Para el primer caso se reconstruyen diversos planos del objeto y se filtraunicamente la parte enfocada del objeto en cada plano. Los planos de enfocamiento sedeterminan visualmente o computacionalmente [DS+06]. Otra aplicacion de la MHDes el reconocimiento de objetos [JT00, DM+02, KJ04, JM+05, JYD06], en este casoel ruido generado por el conjugado de la imagen no afecta el resultado y es posibletrabajar sin tener que eliminarlo. En el caso de analisis de organismos biologicos esposible determinar su ındice de refraccion y su grosor [RM+05, CM+06B] al analizarla fase recuperada. Tambien es posible aplicar la MHD en tomografıa de organismosvivos [CP+06].

2.8. Comentarios

En este capıtulo se ha dado una explicacion general de los principios dela microscopıa holografica digital o MHD. Ademas se presento un resumen compactode los diversos metodos aplicados en esta area de investigacion. Esto con el fin dar unmarco general del campo de investigacion donde son aplicados los metodos propuestosen este trabajo.

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52 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 3

Recuperacion de objetos de anchode banda grande, utilizandoalgoritmos iterativos y un soporte

Introduccion

Uno de los problemas actuales de la holografıa digital es la limitada re-solucion de los medios digitales de registro existentes. En las CCD el tamano del pixelpuede variar de 3 a 15 micras dependiendo de la calidad de la camara. Esta caracterısticalimita el ancho de banda del objeto que se puede estudiar. Ademas para poder aislaradecuadamente el objeto, en hologramas fuera de eje, ya sea por filtraje espacial o en elplano de reconstruccion es necesario limitar aun mas la frecuencia de las franjas que sepueden grabar en la CCD, limitando el ancho de banda de los objetos a analizar. Comouna posible solucion a este problema en este trabajo proponemos utilizar los algoritmositerativos para eliminar tanto el ruido generado por la imagen conjugada [CCA08],como para reducir el ruido generado por submuestreo. Esto ultimo en el caso de objetosde ancho de banda grande analizados usando una CCD convencional. En este capıtuloprimero se presentan las limitaciones del ancho de banda del objeto cuando se utilizahologramas fuera de eje. Posteriormente se presenta las restricciones de la interferometıade Fourier que fueron la motivacion para el metodo propuesto. Despues se hace un breveresumen del uso de los algoritmo iterativos (IA por su siglas en ingles) en la recuperacionde objetos y el uso de un soporte como restriccion en dichos algoritmos. En seguidase presenta a detalle el metodo propuesto ası como sus restricciones. Por ultimo sepresentan varios casos de simulaciones con diferentes tipos de objetos para evidenciarlas propiedades del metodo.

53

54 CAPITULO 3. OBJETOS CON ANCHO DE BANDA GRANDE

3.1. Hologramas fuera de eje

3.1.1. Analisis de ancho de banda en hologramas fuera de eje

Figura 3.1: Relacion de angulos para hologramas fuera de eje.

Primero analizaremos detenidamente las limitaciones del ancho de bandaen la configuracion fuera de eje. Cuando se graba un holograma fuera de eje el anguloentre los haces objeto y referencia dependen del angulo de inclinacion del haz de re-ferencia y del ancho de banda del objeto, Fig. 3.1. El ancho de banda de un objetodepende de su ancho angular y la longitud de onda de la luz de iluminacion. En el casode objetos microscopicos el ancho angular tiende a ser muy grande, α1 en la Fig. 3.1,esto implica un ancho de banda grande del objeto. En el punto P1 de la fig. 3.1 elangulo entre los haces objeto y referencia toma su maximo valor y esta dado por:

αmax = α1 + θ (3.1)

donde α1 depende del ancho de banda del objeto y θ es el angulo de inclinacion de laonda de referencia.Para poder asegurar que todas las franjas generadas en el patron deinterferencia se pueden muestrear adecuadamente por la CCD, es necesario asegurarque las franjas tengan un perıodo mınimo de 2δxCCD, donde δxCCD es el tamano delpixel de la CCD. Aplicando esta restriccion y la Ec. ( 1.22) tenemos:

2δxCCD ≤λ

sen(αmax)sen(αmax) ≤

λ

2δxCCD. (3.2)

El angulo α1 esta relacionado con la frecuencia de corte del ancho de banda del objetoy se puede aproximar como:

α1

λ≈ ∆uobj

2(3.3)

3.1. HOLOGRAMAS FUERA DE EJE 55

por lo que utilizando las Ecs. ( 1.27),( 1.23), ( 3.1), y ( 3.3) obtenemos que:

∆uobj2

+ uo ≤∆uCCD

2(3.4)

Esta relacion limita el maximo ancho de banda del objeto para que las franjas delholograma fuera de eje queden bien muestreadas. En el caso de hologramas en lınea uoes igual a cero por lo que el maximo ancho de banda permitido para el objeto es:

∆uobj = ∆uCCD. (3.5)

En el caso de que ∆uobj no cumpla con la Ec. ( 3.4) se formaran franjas en el planodel holograma que no podran ser bien muestreadas por la CCD. Es decir algunos delos datos grabados no tendran la informacion correcta en todo el campo. Por ello en lareconstruccion del objeto aparecera un ruido debido al submuestreo que deformara lasenal del objeto, ver Sec. 1.3.3.

3.1.2. Metodo de Fourier y sus limitaciones

El filtraje en el plano de Fourier del holograma es un metodo sencillo yrapido que nos permite aislar facilmente la informacion del objeto de los otros terminosdel holograma. Sin embargo existen restricciones para su uso adecuado.

En la seccion 1.3.3 se vio que el ancho de banda de la transformada deFourier de un holograma depende del intervalo de muestreo del mismo. Para poderaplicar el filtraje en la transformada de Fourier de un holograma se necesita que losespectros del objeto y la imagen conjugada esten debidamente separados. Si los espec-tros se mezclan en algun lugar del espacio de frecuencias se introducira cierta cantidadde ruido en el resultado final, afectando la calidad del objeto recuperado. Como se vioen la seccion 1.4.3 el ruido del orden cero se puede eliminar, por lo que en adelanteconsideraremos solo las restricciones impuestas por el espectro de la imagen conjugadadel objeto.

La primera limitacion es que los espectros esten lo suficientemente sepa-rados para poder aplicar el filtro. Puesto que la frecuencia espacial de la portadora uo,ver Sec. 1.3.3, es la responsable de esta separacion se debe cumplir que:

u0 ≥∆uobj

2o u0 ≥

∆uobj

2√

2(3.6)

la primera relacion es valida si los espectros solo estan desplazados sobre uno de losejes. La segunda expresion es menos restrictiva y es valida cuando los espectros estandesplazados vertical y horizontalmente en la misma proporcion, Fig. 3.2

La segunda limitacion es que los espectros del objeto y su conjugadodesplazados no contengan valores mayores a la frecuencia de corte uc del espectro del


Figura 3.2: Elementos de la transformada de Fourier de un holograma fuera de eje, sinorden cero.

holograma. La frecuencia de corte uc de un espectro esta definida como uc = ∆u/2,donde ∆u es el ancho de banda del espectro, en este caso el espectro del holograma. Estalimitacion implica que la frecuencia de corte del espectro del objeto,uc obj = ∆uobj/2, mas la frecuencia de la portadora,uo, no deben rebasar la frecuencia de corte delholograma, uc, esto es:

u0 +∆uobj

2≤ uc o u0 +

∆uobj2≤ ∆u

2(3.7)

esta expresion es valida para todos los casos, independientemente si los espectros estandesplazados sobre uno o en ambos ejes.

Debido a la propiedad de periodicidad de la transformada de Fourier dis-creta, si esta condicion no se cumple la informacion de los espectros de los perıodos ad-jacentes se mezclara con la informacion del objeto introduciendo ruido de submuestreo[Bra03].

Se puede observar que la Ec. ( 3.7) es un equivalente a la Ec. ( 3.4). Loque indica que todos los componentes del espectro de un holograma bien muestreadoapareceran dentro del espectro calculado por la transformada de Fourier discreta. Sinembargo para aplicar el metodo de interferometıa de Fourier es necesario que se cumplanlas dos condiciones establecidas, Ec. ( 3.6) y ( 3.7). Reduciendo uo se puede satisfacerla Ec. ( 3.7), para objetos de ancho de banda mayores conservando un holograma bienmuestreado. Pero los espectros del objeto y su conjugado apareceran mezclados en elcentro del espacio de frecuencias evitando la aplicacion adecuada de un filtraje espacial.

3.2. USO DE ALGORITMOS ITERATIVOS EN MHD 57

3.2. Uso de algoritmos iterativos para recuperacion

de campos complejos en MHD

Como se menciono anteriormente los algoritmos iterativos sirven pararecuperar parte de la informacion de un campo complejo. Existen diversos trabajos endonde se utiliza la intensidad del campo propagado a dos o mas planos [ZZ+05, DF+07]para realizar dicha recuperacion. En estos casos se utiliza la informacion de la amplituddel campo en cada plano, la cual se extrae de la intensidad grabada del campo en dichoplano. La fase inicial, normalmente, se considera aleatoria [BF05]. Esto origina que senecesiten cientos de iteraciones para recuperar el objeto correctamente.

3.2.1. Uso de un soporte en algoritmos iterativos

La definicion de un soporte en el plano del objeto es una tecnica utilizadapara disminuir los datos necesarios para recuperar dicho objeto. Sin embargo, si elobjeto inicial tiene una fase aleatoria y el soporte es simetrico el algoritmo se puedeestancar [FW86, Fie87, TT+02]. Esto se atribuye a la propiedad de simetrıa de latransformada de Fourier discreta. Para evitar esto se ha propuesto el uso de soportessin caras paralelas, obteniendose buenos resultados con soportes triangulares [CF+89]que aseguran la convergencia del algoritmo. Sin embargo no es necesario conocer a priorila forma del soporte, ya que este se puede ir determinando conforme avanza el numerode iteraciones del algoritmo [WW+04]. Se han reportado trabajos que reconstruyen elsoporte del objeto tomando en cuenta que la transformada de Fourier del campo objetoesta relacionada a la autocorrelacion del soporte [FCH82]. Ademas del soporte se hapropuesto utilizar informacion adicional, como una segunda imagen de baja resolucion,para poder recuperar la fase del objeto con precision [FK90]. Una opcion mas es usarvarios hologramas donde el soporte se ha desplazado iluminando diferentes partes delobjeto para obtener mas informacion del mismo, esto en conjunto con un algoritmo deoptimizacion no lineal [GF08B]. Sin embargo en este caso se siguen requiriendo cientosde iteraciones para encontrar la solucion correcta.

Otra opcion es utilizar algoritmos basados en diferentes modelos, loscuales pueden ser iterativos [CCG99, BF05, SD+07, WW+04, SF90, ZT+07, NNM07]o no. Un ejemplo de estos ultimos son los algoritmos recursivos y no recursivos basadosen modelos de difraccion y convolucion [HH07, PPP07, GF07, GF08, MD94]. Tam-bien se ha propuesto utilizar una sola intensidad, donde el objeto es modulado por unamascara de amplitud binaria aleatoria [TPO08], para poder recuperar el objeto.


3.3. Metodo propuesto

Como se observo en la seccion 3.1.1 el uso de hologramas fuera de ejeimplica una mayor restriccion del ancho de banda de los objetos que se pueden estudiarcon MHD, ver Ec. ( 3.4). Sin embargo esta cofiguracion nos permite separar facilmentela imagen real de la imagen virtual del objeto. Por lo que es deseable tener un metodoque conserve esta cualidad pero no imponga restricciones tan fuertes al ancho de bandadel objeto.

Como una alternativa se propone usar el plano de propagacion de Fresnelen vez del plano de Fourier para poder filtrar el objeto. De la Fig. 1.8, al propagar unholograma fuera de eje a una distancia −z0 se obtiene la imagen enfocada del objeto yla imagen desenfocada de la senal conjugada. Si el objeto es delimitado por un soporteo pupila el area del objeto enfocado es facil de establecer. Una vez filtrado el objetose regresa al plano del holograma y se le aplica un algoritmo iterativo para eliminar elruido que le quede a la senal recuperada. Para el algoritmo iterativo se utiliza la versionde reduccion de error tipo GS, ver seccion 1.5.1. En este caso las restricciones seranla amplitud del objeto propagado en el plano del holograma y la forma de la pupila enel plano del objeto. El objeto inicial utilizado en el algoritmo es el objeto recuperadopor el filtraje. El cual es una muy buena aproximacion del objeto real. Esto asegurauna rapida convergencia del algoritmo y evita problemas de estancamiento como losmencionados en la seccion 3.2.1.

3.3.1. Descripcion del metodo

Se captura un holograma fuera de eje del objeto, donde el campo propa-gado del objeto interfiere con una onda plana inclinada sobre dos dos ejes,(x,y), con elmismo angulo. Para las simulaciones el campo del objeto es propagado libremente delplano objeto hasta el plano del holograma, o CCD, el cual esta a una distancia de 1 a2 cm de la muestra. En este caso se requiere grabar un holograma, H, la intensidad delhaz objeto, Oo, y la intensidad del haz de referencia, Ro, por separado en el plano delholograma. Utilizando las definiciones de onda objeto, Ec. ( 1.2), onda de referencia,Ec.( 1.3), y patron de interferencia, Ec. ( 1.4), los datos capturados se definen como:

H = I(x, y)

Oo = |o|2

Ro = |r|2.(3.8)

Utilizando la Ec. ( 1.41) se puede eliminar el orden cero del holograma.En este caso es conveniente eliminar tambien la informacion de la amplitud del haz dereferencia del holograma resultante. Es decir se define un holograma modificado, que

3.3. METODO PROPUESTO 59

tiene una modulacion real, de la siguiente forma:

Hr(x, y) =H −Oo −Ro√

Ro

, (3.9)

Sustituyendo la Ec. ( 1.5) y las definiciones de las Ecs. ( 3.8) en esta ecuacion se obtiene:

Hr(x, y) =| o |[ei (φo−φr) + e−i (φo−φr)

]=| o | ei φoe−i φr+ | o | e−i φoei φr

= o e−i φr + o∗ei φr

(3.10)

donde se puede observar que el holograma modificado solo contiene la informacion delcampo objeto complejo y su conjugado multiplicados por la fase del haz de referencia.Este holograma modificado se retro-propaga a una distancia −z0 que es igual a ladistancia definida entre el objeto y el holograma. Para esto se utiliza la transformadadiscreta de Fresnel, Ec. ( 1.32).

En el plano del objeto se selecciona el campo encerrado en la imagen de lapupila enfocada, el resto del campo se elimina. El resultado es el objeto inicial utilizadopara el algoritmo iterativo.

Para aplicar el algoritmo iterativo se define:

|Fo(u, v)| =√Oo

|fo(x, y)| = pup(x, y)× ofil,(3.11)

donde:

pup(x, y) =

{1 si (x, y) ∈ Dp

0 otro caso, (3.12)

Dp es el area de la imagen de la pupila enfocada y ofil es el campo complejo filtradode la retro-propagacion del holograma modificado, en la primera iteracion, o el campoobjeto retro-propagado, en las demas iteraciones.

En este metodo en lugar de utilizar la transformada de Fourier se utiliza lapropagacion de Fresnel discreta, con distancias z0 y −z0 para la propagacion y la retro-propagacion respectivamente. El error en el plano del holograma es calculado usandola Ec. ( 1.47) y cuando este tiende casi a cero se detiene el proceso.

3.3.2. Restricciones del metodo

Para poder filtrar correctamente la informacion de la pupila enfocadaes necesario esta se localice fuera del centro del campo. Esto para evitar la mayor


cantidad de ruido de la imagen conjugada. Entonces el angulo de la onda de referenciadebe cumplir con:

θ ≥ ∆xpup2z

o bien uo ≥∆xpupλ2z

. (3.13)

donde ∆xpup es el tamano de la pupila. Esta restriccion depende del tamano de lapupila y no del ancho de banda del objeto analizado como la Ec. ( 3.6). Sin embargoesta condicion no asegura que la informacion de la senal conjugada no afecte al objetofiltrado. Por ello es necesario limpiar el objeto recuperado, esta tarea es realizada conel algoritmo iterativo.

Debido a que el objeto inicial es muy proximo al objeto real, el error tiendea disminuir drasticamente en las primeras iteraciones. Sin embargo, dependiendo de lascaracterısticas del objeto, el ruido introducido por la imagen conjugada desenfocadapuede alterar en mayor o menor grado la informacion del objeto influyendo en la can-tidad de iteraciones del algoritmo necesarias para eliminarlo.

3.4. Simulaciones

Para las simulaciones se definieron objetos de fase en forma de lentecillasplano convexas. La pupila se definio por medio de una funcion circulo. Dentro de lapupila se colocaron diferentes numeros de lentecillas con diametros y rangos de fasediferentes para poder variar el ancho banda del objeto.

3.4.1. Ancho de banda de una lente

Figura 3.3: Ancho angular de una lente.

Como se vio en la seccion 1.3.3 el cono de luz difractado por un objetonos da su ancho angular el cual esta directamente relacionado con el ancho de bandadel objeto. Entonces para una lente podemos establecer su ancho de banda en base al

3.4. SIMULACIONES 61

angulo con el cual diverge la luz al pasar por ella. De la Fig. 3.3 el angulo θl correspondeal rayo mas desviado por la lente, el cual se puede calcular como:

θl2

= arctanD

2f, (3.14)

donde D es el diametro de la lente y f es su distancia focal. Entonces el ancho de bandade la lente se puede definir, en el lımite paraxial, como:

∆ulen =θlλ

=2

λarctan

D

2f, (3.15)

Esta ecuacion sera usada para calcular un aproximado de los anchos de banda de losobjetos utilizados en la simulaciones.

3.4.2. Parametros de las simulaciones

Cuadro 3.1: Parametros generales de simulacion

Parametro Valorlaser longitud de onda 0.632µm

CCDtamano del pixel 5µmnumero de pixeles 1024x1024ancho de banda 0.2µm−1

Frecuencia de laonda de referencia

∆uCCD/4 0.04µm−1 = 1.45∆uCCD/6 0.03µm−1 = 1.08

propagacion distancia 20mmpupila diametro 350µm

Para las simulaciones se utilizaron condiciones cercanas a las posiblescondiciones experimentales. Los parametros generales usados en las simulaciones deeste capıtulo se muestran en la tabla 3.1

3.4.3. Metodo de Fourier, ejemplo

Cuadro 3.2: Parametros de las lentecillas usadas en el ejemplo del metodo de Fourier

lentecillas

diametro 80µmrango de fase 2πdistancia focal 1264µmancho de banda 0.1µm−1

Como referente se presenta un caso en donde es posible aplicar el metodode Fourier para filtrar la informacion del objeto. Se utilizo como objeto un conjunto de5 lentecillas cuyos datos aparecen en la Tabla 3.2.


(a) Amplitud (b) Fase (c) Amplitud

(d) Holograma modificado (e) Amplitud (f) Espectro filtrado

(g) Fase recuperada

Figura 3.4: Metodo de Fourier (a,b)campo inicial en el plano objeto, (c,d)campopropagado en el plano de la CCD, (e,f)espectro de Fourier del holograma modifica-do, (g)campo recuperado en el plano objeto.

En las Fig. 3.4a y 3.4b se muestran, respectivamente, la amplitud y fasedel objeto utilizado. El objeto se ilumina con una onda plana unitaria para producir elcampo objeto que se propaga a una distancia z = 20mm, donde se coloca el plano deregistro del holograma. En este plano se hace interferir el campo objeto Oo, amplitudmostrada en la Fig. 3.4c, con la onda de referencia Ro, que es una onda plana inclinadaexp[i 2πuo(x + y)], con uo = 0.04µm−1. Se calcula la intensidad de la suma de estasdos ondas para formar el patron de intensidad equivalente al holograma, H. A esteholograma se le aplica la Ec. ( 3.9) para obtener el holograma modificado libre delruido del orden cero y de la modulacion de la amplitud de la onda de referencia. Elholograma modificado se muestra en la Fig. 3.4d.

Al calcular el espectro del holograma modificado, amplitud mostrada dela Fig. 3.4e, se puede observar que contiene solo los espectros del objeto y de la senal


conjugada desplazados uo = 0.04µm−1 del centro en sentidos opuestos, tanto en direc-cion vertical como horizontal. Se elimina el espectro de la senal conjugada multiplicandoel espectro total del holograma por una mascara binaria que tenga valores de ceros en elarea del espectro que queremos eliminar y uno en el resto de la mascara. El resultado semuestra en la Fig. 3.4f, donde solo aparece el espectro del objeto desplazado del centro.

Al calcular la transformada inversa del espectro filtrado se obtiene elcampo del objeto propagado en el plano de la CCD. Sin embargo este campo estaafectado por la fase conjugada de la onda de referencia, por lo que se debe multiplicarpor la fase de la onda de referencia para eliminar dicha modulacion. El campo resultantees propagado al plano del objeto. En la Fig. 3.4g se muestra la fase del campo recuperadopropagado. Donde se puede observar que se recupera el objeto original sin ningunproblema. La amplitud del campo recuperado es igual a la amplitud mostrada en laFig. 3.4a.

3.4.4. Objetos con ancho de banda mayor

En esta seccion se presenta un ejemplo donde los objetos tienen un anchode banda mayor, y la frecuencia espacial de la portadora, uo, ha sido reducida para quelos hologramas generados sean bien muestreados en el plano de la CCD. Es decir queel ejemplo cumple con la restriccion de la Ec. ( 3.4), generandose un holograma bienmuestreado, pero no con la Ec. ( 3.6), por lo que los espectros del objeto y su conjugadono aparecen bien separados. En este caso la aplicacion del metodo propuesto ayuda afiltrar toda la informacion del objeto y elimina gran parte del ruido generado por laimagen conjugada de la pupila.

Cuadro 3.3: Parametros de las lentecillas usadas en el ejemplo con objetos de ancho debanda mayor

lentecillas

diametro 80µmrango de fase 2.7πdistancia focal 936µmancho de banda 0.13µm−1

El objeto ahora esta compuesto de lentecillas cuyos parametros se mues-tran en la Tabla 3.3 y cuya fase aparece en la Fig. 3.5a. El objeto es iluminado poruna onda plana para producir el campo objeto que se propaga al plano de la CCD, elcual esta localizado a una distancia de 20mm. La amplitud calculada del campo objetoen este plano se muestra en la Fig. 3.5b.

En este plano el campo objeto, Oo, interfiere con la onda de refrencia Ro

que es una onda plana inclinada exp[i 2πuo(x + y)], con frecuencia uo = 0.03µm−1. Secalcula la intensidad de la suma de las ondas para obtener el holograma, H, del objeto.A este holograma se le aplica la Ec. ( 3.9) para obtener el holograma modificado libre


(a) Fase (b) Amplitud (c) Holograma modificado

(d) Amplitud (e) Amplitud (f) Campo filtrado

(g) Fase

Figura 3.5: Simulacion con objetos de ancho de banda mayor, (a)campo en el planoobjeto, (b)campo propagado en el plano de la CCD, (c)holograma en el plano de la CCD,(d)espectro del holograma modificado, (e-f)holograma modificado retro-propagado alplano objeto, (g)objeto recuperado.

del ruido del orden cero y de la modulacion de la amplitud de la onda de referencia. Elholograma modificado aparece en la Fig. 3.5c.

Al analizar el espectro de este holograma, Fig. 3.5d, se puede observarque los espectros del objeto y de la imagen conjugada estan superpuestos parcialmente.Esta condicion limita la aplicacion correcta del metodo de Fourier. Como solucion al-ternativa se aplica el metodo propuesto. El holograma modificado es retro-propagadodirectamente al plano objeto para obtener la imagen enfocada de la pupila que encierraal objeto. La amplitud del campo retro-propagado se muestra en la Fig. 3.5e. En esteplano se puede filtrar toda la informacion del objeto, la cual se encuentra dentro dela imagen de la pupila enfocada, seleccionando solo el area de dicha pupila enfocada.


Mientras que la informacion del objeto conjugado aparece extendida en todo el campo,lo que disminuye su impacto en el area de la pupila enfocada.

El campo resultante del filtraje solo contiene la informacion del objeto,modulada por la fase conjugada de la onda de referencia y algo de ruido de la senalconjugada. En la Fig. 3.5f se muestra la amplitud del campo filtrado, en donde sepuede observar pequenas irregularidades en el area de la pupila. El campo filtrado sepropaga al plano de la CCD, donde se multiplica por la fase de la onda de referenciapara eliminar la modulacin de esta y ası recuperar solo el campo complejo del objeto.

El campo resultante corresponde al campo complejo del objeto propagado,en el plano de la CCD. Para recuperar la informacion del objeto original este campodebe retro-propagarse al plano objeto, Fig. 3.5g. En este caso el ruido remanente delconjugado del objeto parece no afectar la informacion del objeto recuperado. Pero estose debe a que el espesor de fase de las lentes es muy grande respecto al ruido queintroduce el objeto conjugado. Para evidenciar este hecho se presenta a continuacionun ejemplo donde se incluyen tanto objetos gruesos como delgados en fase.

3.4.5. Objetos con ancho de banda mayor y elementos delga-dos

En este caso se presentan objetos con ancho de banda grande, con lasmismas caracterısticas del ejemplo de la seccion anterior. Salvo que para este ejemplotambien se incluyen objetos de fase delgada con el fin de poder observar el impacto quetiene el ruido de la senal conjugada en el objeto recuperado.

Cuadro 3.4: Parametros de las lentecillas usadas en el ejemplo con objetos de ancho debanda mayor y elementos delgados

lentecillasgruesas


lentecillasdelgadas

diametro 80µmrango de fase 0.25π

El objeto ahora esta compuesto de lentecillas con dos rangos de fase di-ferentes, los datos aparecen en la Tabla 3.4 y la fase se muestra en la Fig. 3.6a.

El objeto es iluminado por una onda plana para generar el campo objeto,el cual se propaga al plano de la CCD a una distancia de 20mm, campo Oo,. En esteplano se hace interferir con la onda de referencia, Ro, que es una onda plana inclinadaexp[i 2πuo(x + y)] de frecuencia espacial uo = 0.03µm−1. Se calcula la intensidad de


(a) Fase (b) Holograma modificado (c) Amplitud del espectro

(d) Amplitud (e) Amplitud (f) Fase

(g) Fase (h) Fase

Figura 3.6: Simulacion con objetos de ancho de banda mayor y elementos delgados,(a)campo en el plano objeto, (b) holograma en el plano de la CCD, (c)espectro delholograma real calculado, (d)holograma real retro-propagado al plano de la pupila,(e)area de la pupila enfocada, (f,g)campo recuperado en el plano del objeto, (h)detallede una de las lentes delgadas,(i)objeto recuperado despues del algoritmo iterativo.

la suma de las dos ondas para obtener el holograma, H, del objeto. A este hologramase le aplica la Ec. ( 3.9) para obtener el holograma modificado libre del ruido delorden cero y de la modulacion de la amplitud de la onda de referencia. El hologramamodificado se muestra en la Fig. 3.6b. Al analizar el espectro del holograma modificado,Fig. 3.6c, se puede observar que los espectros del objeto y del objeto conjugado estansuperpuestos parcialmente. Esta condicion limita la aplicacion correcta del metodo deFourier. Como opcion se aplica el metodo propuesto, donde el holograma modificadoes retro-propagado al plano del objeto para obtener la imagen enfocada de la pupila.La amplitud del campo retro-propagado se muestra en la Fig 3.6d, donde se observala imagen de la pupila enfocada y el campo extendido de la senal conjugada. En este


plano se aplica un filtraje espacial a la imagen enfocada de la pupila.

El campo resultante del filtraje solo contiene la informacion del objeto,modulado por la fase conjugada de la onda de referencia y algo de ruido de la senalconjugada. En la Fig. 3.6e se puede ver a detalle la imagen enfocada de la pupila, cuyaamplitud no es uniforme totalmente debido al ruido que contiene. El campo filtrado sepropaga al plano de la CCD, donde se multiplica por la fase de la onda de referenciapara obtener unicamente el campo complejo del objeto. El campo resultante es el campocomplejo del objeto propagado libremente, en el plano de la CCD. Para recuperar elobjeto original es necesario retro-propagar este campo al plano objeto. En este caso laslentes gruesas parecen recuperarse correctamente, Fig 3.6f, sin embargo en las lentesde fase delgada se puede observar que el ruido generado por el objeto conjugado afectasustancialmente la forma de las lentecillas de fase delgada. En la Fig. 3.6g se muestraa detalle una de las lentecillas delgadas para observar claramente las deformacionesprovocadas por el ruido remanente.

(a) Error en amplitud (b) Error en fase

Figura 3.7: Disminucion de error durante el algoritmo iterativo, simulacion de obje-tos de ancho de banda grande y elementos delgados, (a) error en amplitud, plano delholograma, (b)error en fase en la zona de la lentecilla delgada, plano objeto .

Para eliminar este ruido se aplica el algoritmo iterativo propuesto en laseccion 1.5.1 con las condiciones establecidas en la seccion 3.3.1. Es decir, la restriccionen el plano de difraccion, o plano del holograma, es la raız cuadrada de la intensidad delcampo objeto propagado libremente al plano del holograma. Mientras que la restriccionen el plano objeto es la forma de la pupila utilizada para delimitar el objeto. Estasrestricciones se establecen de acuerdo a la Ec. ( 3.11). En este caso el objeto inicial es elcampo resultante del filtraje del holograma retro-propagado. En la Fig. 3.8 se presentala fase de una de las lentecillas delgadas en cada una de las iteraciones del algoritmo. Sepuede observar como el ruido va disminuyendo con cada iteracion y la lentecilla recobrasu forma circular y simetrıa correctamente.

El error en el plano del holograma se calcula usando la Ec. ( 1.47) y el


(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(i) (j) (k) (l)

(m) (n) (n) (o)Figura 3.8: Evolucion de la fase delgada en las iteraciones del algoritmo iterativo.

error en el plano del objeto se calcula con la Ec. ( 1.46). Las graficas correspondientes semuestran en las Fig. 3.7a y 3.7b, respectivamente. En este caso el error en la fase delobjeto se puede calcular ya que se conoce de antemano el objeto original, por tratarsede una simulacion. Se observa que el error disminuye rapidamente, en ambas graficas,en las primeras ocho iteraciones y despues empieza a disminuir lentamente, pero siguedisminuyendo. Al comparar ambas graficas se puede ver que se comportan de formasimilar aunque tengan valores en rangos diferentes. Es decir, al disminuir el error enamplitud, en el plano del holograma, el error en la fase, en el plano objeto, tambiendisminuye. Este comportamiento coincide con el comportamiento esperado al aplicar elalgoritmo iterativo.

Depues de 16 iteraciones las lentecillas de fase delgada recuperan su formaoriginal. La fase del objeto recuperado se muestra en la Fig. 3.6h, donde el ruido en


forma de franjas suaves ha desaparecido. A pesar de que la pupila es circular el algoritmoconverge rapidamente y no sufre estancamientos. El objeto es recuperado correctamenteal eliminarse el ruido del objeto conjugado.

3.4.6. Objetos con ancho de banda grande y problemas de sub-muestreo

En los dos ejemplos anteriores se usaron objetos con un ancho de bandamenor a (∆uccd − 2uo) lo que permite tener hologramas bien muestreados en todos suspuntos. En esta seccion se presenta un ejemplo con objetos con ancho de banda masgrande, que en conjunto con la frecuencia de la onda de referencia, uo, ya no cumplencon la condicion de buen muestreo, ocasionando submuestreo en algunos puntos delholograma. Es decir, la Ec. ( 3.4) ya no se cumple. En este caso la aplicacion del metodopropuesto ayuda a eliminar no solo el ruido de la imagen conjugada, sino tambien elruido generado por el submuestreo del holograma.

Cuadro 3.5: Parametros de las lentecillas usadas en el ejemplo con submuestreo en elholograma

lentecillasgruesas


lentecillasdelgadas

diametro 40µmrango de fase 0.15π

El objeto ahora esta compuesto de lentecillas de dos rangos de fase di-ferentes, cuyos datos se muestran en la Tabla 3.5. La fase del objeto se muestra enFig. 3.9a. El objeto se ilumina usando una onda plana para generar el campo obje-to, que se propaga al plano de la CCD ubicado a una distancia de 20mm, campo Oo,donde se hace interferir con la onda de referencia Ro, que es una onda plana inclinadaexp[i 2πuo(x + y)] con una frecuencia uo = 0.05µm−1. Este valor de uo equivale a 1.8grados para el angulo de inclinacion de la onda de referencia, respecto a la normal delplano de la CCD. Se calcula la intensidad de la suma de estas dos ondas para obtenerel holograma H del objeto.

Sustituyendo los valores del ancho de banda del objeto y de la frecuenciade la onda de refencia en las Ec.( 3.4 y 3.6) se obtiene que el objeto de este ejemplo yano cumple ninguna de las dos condiciones impuestas por el metodo de interferometrıade Fourier.

Al holograma H obtenido se le aplica la Ec. ( 3.9) para obtener el holo-grama modificado libre del ruido del orden cero y de la modulacion de la amplitud de


(a) Fase (b) Holograma (c) Amplitud

(d) Fase (e) Fase (f) Fase

Figura 3.9: Simulacion de objetos de ancho de banda grande con problemas de sub-muestreo, (a)campo inicial, (b) holograma real, (c)retro propagacion del hologramareal, (d-e) campo recuperado por filtraje, (e) detalle de la lentecilla delgada, (f)campodespues del algoritmo.

(a) Error en amplitud (b) Error en fase

Figura 3.10: Disminucion de error durante el algoritmo iterativo, simulacion para el casode submuestreo en el holograma, (a) error en amplitud, plano del holograma, (b)erroren fase en la zona de la lentecilla delgada, plano objeto .

la onda de referencia, Fig. 3.9b. Este holograma modificado se propaga directamenteal plano del objeto, donde se obtiene un campo con la imagen enfocada de la pupila yel conjugado desenfocado, Fig 3.9c. Observese el patron simetrico del ruido en todo elcampo debido al submuestreo del holograma. En este plano se aplica un filtraje espa-


cial a la pupila enfocada. El campo resultante solo contiene la informacion del objeto,modulado por la fase conjugada de la onda de referencia y ruido tanto de la imagenconjugada como del submuestreo del holograma. Se realiza una primera reconstrucciondel objeto eliminando la fase de la onda de referencia del campo filtrado en el planode la CCD y propagandolo al plano del objeto. En las Fig. 3.9d y 3.9e se muestraesta primera reconstrucion del objeto. Las lentes gruesas parecen recuperarse correc-tamente, Fig. 3.9d, sin embargo en las lentes de fase delgada se puede observar que elruido existente afecta sustancialmente la forma del objeto, Fig. 3.9e.

La propagacion de los campos se hace por medio de la transformada dis-creta de Fourier, la cual es periodica. Cuando se aplica la transformada de Fourier auna funcion submuestreada, en este caso el holograma modificado, las replicas de latransformada, de perıodo ∆u = 1/δccd, se translapan presentando efectos de interfe-rencia, como el que se observa en la Fig. 3.9e. Este ruido es conocido como ruido dealiasign, Sec. 1.3.3. En este caso la estructura moteada del ruido en las lentes delgadasnos indican que el holograma es submuestreado al momento de grabarse.

Para eliminar este ruido, del campo filtrado, se aplica el algoritmo iterati-vo propuesto en la seccion 1.5.1 con las condiciones establecidas en la seccion 3.3.1. Esdecir, la restriccion en el plano de difraccion, o plano del holograma, es la raız cuadra-da de la intensidad del campo objeto propagado libremente al plano del holograma.Mientras que la restriccion en el plano objeto es la forma de la pupila utilizada paradelimitar el objeto. Estas restricciones se establecen de acuerdo a la Ec. ( 3.11). En estecaso el objeto inicial es el campo resultante del filtraje del holograma retro-propagado,que aun incluye la fase de la onda de referencia.

El error en el plano del holograma se calcula usando la Ec. ( 1.47) y elerror en el plano del objeto se calcula con la Ec. ( 1.46). Las graficas correspondientesse muestran en las Fig. 3.7a y 3.7b, respectivamente. Al igual que en el caso anterior elerror en la fase del objeto se puede calcular por tratarse de una simulacion y se conoce elobjeto original. Estas graficas presentan el mismo comportamiento que las graficas delejemplo anterior, es decir, al disminuir el error en amplitud, en el plano del holograma,disminuye el error en fase, en el plano objeto.

En la Fig. 3.11 se presenta la fase de una de las lentecillas delgadasen las iteraciones impares del algoritmo iterativo,(1,3,5,...). En dicha figura se puedeobservar como el ruido del moteado disminuye rapidamente en las primeras iteracionesy la lentecilla recobra su forma circular y simetrıa en las siguiente iteraciones. Despuesde 15 iteraciones el error disminuye en pequenas cantidades y se considera que se hallegado a una buena solucion. El campo obtenido, despues del algoritmo iterativo, seregresa al plano de la CCD donde se multiplica por la fase de la onda de referencia paraeliminar su modulacion en el campo recuperado. El campo resultante se propaga ahoraa diferentes planos para recupera la informacion del objeto.

En la Fig. 3.9f se puede ver la fase del objeto recuperada despues del


(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)Figura 3.11: Evolucion de la fase delgada en las iteraciones impares del algoritmo ite-rativo.

algoritmo iterativo. Las lentes delgadas recobran su forma original y el ruido, ya sea desubmuestreo o de la senal conjugada, es eliminado.

El algoritmo iterativo se puede aplicar al objeto filtrado con o sin la fasede la onda de referencia. Lo que varıa de un caso a otro es la ubicacion de la imagende la pupila enfocada en el plano del objeto. Cuando el campo objeto esta moduladopor la fase de la onda de referencia la pupila aparecera desplazada del centro del campopropagado. Mientras que cuando el campo objeto ya no incluye la modulacion de lafase de la onda de referencia, la imagen enfocada de la pupila, en el plano objeto,aparecera en el centro del campo. En ambos casos la intensidad del campo objeto,propagado en el plano del holograma, se conserva, y por ende en el algoritmo iterativose puede usar la misma restriccion, en el plano del holograma, para los dos casos.

3.5. Comentarios

En este capıtulo se presento un metodo que combina hologramas fuera deeje con algoritmos iterativos para mejorar la calidad del objeto recuperado, sobre todocuando se analizan objetos de ancho de banda grande. El metodo consiste en grabar unholograma de Fresnel fuera de eje del objeto a estudiar. El objeto debe estar delimitadopor una pupila. Tambien se graban las intensidades del haz objeto y referencia en elplano de la CCD. Primero se elimina el orden cero del holograma grabado utilizando lasintensidades grabadas de los campos por separado. Alternativamente se puede utilizarla resta del promedio del mismo holograma para disminuir el orden cero. El hologramamodificado es retro-propagado al plano del objeto. En este plano se aplica un filtraje a

3.5. COMENTARIOS 73

la imagen enfocada de la pupila. El campo resultante se utiliza como objeto inicial enun algoritmo iterativo tipo GS de reduccion de error. Para el algoritmo se utilizan comorestricciones la forma de la pupila, en el plano objeto, y la amplitud del haz objeto, enel plano de la CCD, obtenida experimentalmente. Primero se presento la teorıa basicadel metodo ası como sus limitaciones y ventajas. Despues se presento la simulacion delmetodo para recuperacion de objetos con diferentes anchos de banda. Se mostro comoel metodo es capaz no solo de eliminar el ruido de la imagen conjugada del holograma,si no tambien de eliminar el ruido generado por el submuestreo del holograma cuandose analizan objetos de ancho de banda muy grande.

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78 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 4

Recuperacion de objetos de faseusando un holograma en lınea

Introduccion

Los holograma en lınea tienen la ventaja de requerir una menor frecuen-cia de muestreo, para objetos de ancho de banda mayor, que los hologramas fuera de eje,Sec. 3.1.1. Esto puede resultar muy util cuando los hologramas son capturados con unaCCD que tiene un ancho de banda limitado. Ademas los arreglos opticos para grabarhologramas en lınea son generalmente mas simples y tienen pocos elementos. Esto dis-minuye varias fuentes de ruido en el sistema como son las aberraciones de elementosopticos, divisores de luz por ejemplo, y el ruido mecanico generado por vibraciones encada montura. Sin embargo, el hecho de que en la reconstruccion de los hologramas deamplitud en lınea los tres terminos, orden cero, objeto y objeto conjugado, aparezcanmezclados los pone en desventaja contra los hologramas fuera de eje. En este capıtulose presenta un metodo que utiliza los algoritmos iterativos para limpiar el objeto re-cuperado de un holograma en lınea tipo Gabor. En este tipo de hologramas una partedel frente de onda del haz de iluminacion forma el haz objeto y otra parte forma el hazde referencia. El objeto inicial, para el algoritmo, es obtenido por medio de un procesomatematico tomando en cuenta que el objeto es de fase y debe estar encerrado en unsoporte o pupila. Este proceso matematico genera un objeto muy cercano al originallo cual permite utilizar un algoritmo iterativo tipo Gerchberg-Saxton de reduccion deerror (Sec. 1.5) sin problemas de estancamiento y aplicar pocas iteraciones para obtenerel resultado correcto.

79

80 CAPITULO 4. RECUPERACION DE OBJETOS DE FASE USANDO ILH

4.1. Hologramas en lınea

Los hologramas en lınea tipo Gabor (Fig. 1.1) tienen la ventaja de sersimples en su implementacion y pueden proporcionar suficientes datos para recuperarparte de la informacion del objeto necesaria para analizar alguna caracterıstica delmismo [XJ+02, XJ+03, RPP04, MA+04], o bien para recuperar el objeto complejocon algo de ruido [GJ+06].

Se han propuesto diversos metodos para recuperar objetos a partir dehologramas en lınea utilizando dos o mas hologramas. Estos metodos se basan en ope-raciones sobre las intensidades capturadas en diferentes planos, sin usar algoritmositerativos [ZP+04, ZZ03, MM+94, DF+07]. En algunos casos las distancias entre losplanos deben ser conocidas o bien cumplir exactamente con alguna condicion estable-cida.

4.1.1. Algoritmos iterativos y hologramas en lınea

Dentro de la holografıa digital los algoritmos iterativos se han aplicadotanto para crear hologramas sinteticos, como para recuperar informacion compleja deun objeto. Esto ultimo se aplica cuando solo se tiene parte de la informacion del campoen dos planos [Fie80, Fie82] . Esta informacion puede ser las intensidades del campopropagado libremente o un holograma en lınea. En el caso de hologramas en lınea losalgoritmos iterativos se han aplicado primordialmente en la eliminacion del ruido en elobjeto reconstruido.

Usando un solo holograma en lınea y algun conocimiento a priori delobjeto es posible aplicar los algoritmos iterativos para la eliminacion del ruido en elobjeto recuperado, grabando un solo holograma. Para lograr esto algunos autores pro-ponen considerar el objeto como real y no negativo [Fie82, KPJ93, LS87]. En el casode objetos complejos se propone una fase inicial aleatoria [TT+02], sin embargo estoprovoca que se necesiten algunos cientos y a veces miles de iteraciones para llegar alresultado correcto.


En este trabajo se propone un metodo que calcula una fase inicial, muyproxima a la del objeto analizado, usando solo la informacion del soporte y el hologramamismo. Luego un algoritmo iterativo se encarga de optimizar la solucion para encontrarel objeto correcto. Para este metodo se considera que el objeto es microscopico y estaencerrado en un soporte. El objeto no debe ocupar toda el area del soporte, ya que la luz


que no sea difractada por el objeto formara el haz de referencia y para obtener franjas debuena calidad en el holograma es necesario que los dos haces, objeto y referencia, tenganintensidades similares. El soporte debe ser lo suficientemente grande para asegurar queeste haz de referencia cubra todo el campo difractado por el objeto. El ancho de bandadel objeto se considera grande, por ser un objeto microscopico, por lo que su campo seabre rapidamente, mientras que el haz de referencia solo se difracta en las orillas delsoporte, por lo que se puede considerar que tiene un ancho de banda menor y el campose abre mas lentamente, (Sec. 1.3.3).

Utilizando series de Taylor es posible redefinir los haces objeto y referenciaa partir del campo difractado por el objeto encerrado en el soporte. Utilizando estamatematica se puede despejar, del holograma grabado, una aproximacion de la faseen el plano objeto. Con esta aproximacion se obtiene un objeto inicial que se utilizaen un algoritmo iterativo. El cual tiene como restricciones la forma del soporte en elplano objeto y la amplitud del campo en el plano de la CCD (plano del holograma). Seconsidera que el holograma es tambien el campo difractado por el objeto encerrado enel soporte. Es decir no se necesita grabar ninguna otra intensidad para poder aplicarel metodo propuesto. El calculo de la primera aproximacion del objeto asegura unarapida convergencia del algoritmo y evita problemas de estancamiento por la simetrıadel soporte. En este metodo solo se requiere grabar un holograma y que el soporte delobjeto cumpla las restricciones mencionadas. Para asegurarse que el haz objeto no seextienda mas que el haz de referencia es mejor utilizar distancias pequenas entre lamuestra y la CCD.

4.2.1. Descripcion del metodo

El objeto encerrado por el soporte se define como:

oo(x, y) = Aoei φ(x,y)s(x, y), (4.1)

en donde Ao es la amplitud del objeto, que en este caso se considera constante parasimplificar el analisis, φ(x, y) es la funcion de fase del objeto y s(x, y) es la funcion querepresenta al soporte y esta definida como:

s(x, y) =

{1 si (x, y) ∈ As0 otro caso

, (4.2)

donde As es el area del soporte. Usando la expansion en series de Taylor para una funcionexponencial, la funcion de fase del objeto se puede escribir de la siguiente forma:

ei φ(x,y) = 1 + Pφ(x, y) (4.3)

donde Pφ es un polinomio en la funcion φ(x, y) y se define como:

Pφ(x, y) = 1 + i φ(x, y)− φ(x, y)

2+i (φ(x, y))3

6... (4.4)


Sustituyendo la Ec. ( 4.3) en la Ec. ( 4.1) y considerando Ao = 1 el campo objeto sepuede escribir como:

oo(x, y) =[s(x, y) + s(x, y)Pφ(x, y)

]. (4.5)

De esta forma el campo objeto queda expresado como la suma de un campo objetomodificado, s(x, y)Pφ(x, y) , y una onda de referencia conocida, s(x, y). Usando estaexpresion, ahora se puede considerar al campo objeto como dos ondas separadas cuyainterferencia forma el holograma en lınea. Se define por separado la propagacion deestas dos ondas, en el plano del holograma, como las funciones complejas:

Ψs(x, y) = |Ψs(x, y)|ei ψs Ψp(x, y) = |Ψp(x, y)|ei ψp (4.6)

donde, Ψs representa el campo propagado del puro soporte, s(x, y), al plano del hologra-ma. Mientras Ψp representa el campo propagado del objeto modificado, s(x, y)Pφ(x, y),al plano del holograma. La propagacion de los campos al plano del holograma se puedecalcular usando la propagacion discreta de Fresnel, Sec. 1.4.1. Estas dos ondas inter-fieren en el plano de registro para formar el holograma en lınea que ahora se puededefinir como:

Ip = |Ψs|2 + |Ψp|2 + 2|Ψs||Ψp|cos(ϕs − ϕp) (4.7)

Este holograma se obtiene experimentalmente, ademas se considera que se conoce elsoporte utilizado, s(x, y). Por tanto, se puede calcular la funcion Ψs, que actua comoonda de referencia en el plano del holograma. Entonces, reconstruyendo el hologra-ma grabado es posible recuperar a Ψp, y por ende recuperar el campo objeto originaloo(x, y). Para recuperar a Ψp, lo mejor posible, es necesario reconstruir el holograma Ipeliminando la mayor cantidad de ruido. Para eliminar el orden cero se puede utilizar unode los metodos presentados en la Sec. 1.4.3. En este caso se elige el metodo de restaral holograma original el valor de su promedio, prom(Ip), y se asume que la mayorıa dela informacion del orden cero es eliminada. Entonces se obtiene:

I ′p = Ip − prom(Ip) ≈ |Ψs||Ψp|[ei ϕse−i ϕp + e−i ϕsei ϕp

](4.8)

donde los campos complejos de Ψp y Ψs aparecen mezclados. Para aislar la informacionde Ψp se puede eliminar a |Ψs| y ϕs del segundo termino, dentro de los corchetes, enla Ec. ( 4.8). Esto se logra dividiendo dicha ecuacion entre la amplitud |Ψs| y multi-plicandola por la fase eϕs . Como resultado se obtiene un holograma modificado dadopor:

I ′′p =I ′p e

i ϕs

|Ψs|= |Ψp|e2i ϕse−i ϕp + |Ψp|ei ϕp (4.9)

donde se observa que el segundo termino a la derecha de la igualdad es la funcion Ψp

libre de ruido. El otro termino, en la igualdad, es el conjugado de Ψp multiplicado pordos veces la fase del campo del soporte. Los dos terminos tiene fase de signo contrario,lo implica que al propagarse el holograma modificado, a una distancia dada, un terminotiende a converger mientras que el otro tiende a divergir. Esta caracterıstica es utiliza-da para separar la informacion de estos dos terminos. Se retro-propaga el holograma


modificado al plano del objeto donde se obtiene:

o′ = Frz−1{|Ψp|e2i ϕse−i ϕp

}+ Frz−1

{|Ψp|ei ϕp

}= Frz−1

{|Ψ′p|e−i ϕpe2i ϕs

}+ s(x, y)Pφ(x, y),

(4.10)

que es el campo reconstruido en el plano del objeto. En esta ecuacion Frz−1 repre-senta la propagacion del campo a la distancia −z usando la propagacion de Fresnel,Sec. 1.3.2. El primer termino de la ecuacion aparecera muy desenfocado y el segundotermino aparecera enfocado. Esto se debe a que, el primer termino, representa el campodifractado de un objeto cuya imagen enfocada esta a una distancia de 2zo. Se filtra elarea de la imagen de la pupila o soporte enfocado, con lo que se elimina mucha de lainformacion del termino desenfocado, el resultado puede aproximarse como:

o′′ ≈ s(x, y)Pφ(x, y) + n(x, y) (4.11)

donde n(x, y) representa el ruido remanente del termino desenfocado que queda encera-do en el area del soporte enfocado. Sustituyendo esta expresion en la Ec. ( 4.5) podemosproponer una primera apoximacion del objeto como:

o1 = s(x, y) + o′′

= s(x, y) + s(x, y)Pφ(x, y) + n(x, y)(4.12)

Este campo incluye un termino de ruido, que no aparece en el objeto original, el cualpuede ser eliminado aplicando un algoritmo iterativo. Esta aproximacion se puede usarcomo objeto inicial en el algoritmo iterativo aplicado en el primer metodo propuesto eneste trabajo. Es decir, se aplica el algoritmo iterativo de reduccion de error propuestoen la Sec. 1.5.1 con las condiciones establecidas en la seccion 3.3.1.

Como alternativa, tambien se puede utilizar la aproximacion extraıda delobjeto modificado, o′′, para calcular una aproximacion de la funcion Ψp y, regresando alprimer paso del metodo, eliminar el ruido del orden cero del holograma Ip de forma masexacta usando la Ec. ( 1.41) en lugar de la resta del promedio. Repitiendo los procesosde retro-propagacion del holograma modificado y filtraje del soporte se puede obteneruna mejor aproximacion de o′′ y por tanto de o1. Una mejor aproximacion del objetopuede reducir las iteraciones necesarias del algoritmo iterativo para recuperar el objetocorrecto.

4.2.2. Restricciones del metodo

Para que la aproximacion del objeto calculada por este metodo sea valida,el campo propagado por el soporte debe de cubrir totalmente el campo difractado porel objeto de fase. Una parte de la luz que ilumina el soporte no debe ser afectada porel objeto para que el haz de referencia tenga la suficiente intensidad. De esta forma lasfranjas generadas en el holograma tendran un buen contraste.



Parametro Valorlaser He-Ne longitud de onda 0.632µm

CCDtamano del pixel 4.6µmnumero de pixeles 1024x1024ancho de banda 0.21µm−1

plano objeto resolucion 2µmpropagacion distancia 15mmpupila diametro 800µm

4.3. Simulaciones

Para las simulaciones se definio un objeto de fase compuesto por variaslentecillas. En este caso nos interesa recuperar la informacion de la fase del objeto apartir de una sola imagen y el ancho de banda no es tan relevante. Las lentecillas sondel orden de decenas de micras y su ancho de banda es considerable. La pupila queencierra al objeto de fase se definio por medio de una funcion cırculo. Los parametrosusados en la simulacion se muestran en la tabla 4.1. El objeto esta compuesto denueve lentecillas, las cuales tienen diversos diametros y rangos de fase. Algunas delas lentecillas se encuentran sobrepuestas para comprobar que el algoritmo converge alobjeto original no importando su forma.

4.3.1. Simulacion numerica del metodo propuesto

La funcion pupila utilizada en la simulacion se muestra en la Fig. 4.1ay la fase del objeto en la Fig. 4.1b. En la Fig. 4.1c se presenta un acercamiento a lalentecilla delgada ubicada en el centro del objeto de fase. Comparando las dimensionesde ambas figuras se puede ver que la pupila tiene un area aproximadamente tres vecesmayor al tamano del objeto de fase. Con estas dimensiones se satisface la condicion deque el campo difractado por la pupila cubra el campo difractado por el objeto de fase,en el plano del holograma.

El objeto se propaga a una distancia z = 15mm utilizando la progacion deFresnel. En este caso el holograma es el cuadrado de la amplitud del campo propagado.En las Fig. 4.1d y 4.1e se presentan la amplitud y fase del campo propagado en elplano de la CCD, ası como la intensidad u holograma que es el dato que se registra,Fig. 4.1f.

Como se menciono anteriormente, en este metodo se asume que se conocela forma y dimensiones del soporte que encierra al objeto. Segun la Ec. ( 4.5) el campodifractado por la pupila sin el objeto forma la onda de referencia. Entonces, para conocer


(a) Amplitud (b) Fase (c) Fase

(d) Amplitud (e) Fase (f) Holograma

(g) Amplitud (h) Fase (i) Amplitud

(j) Fase (k) Amplitud (l) Fase

Figura 4.1: Simulacion del metodo usando hologramas en lınea, (a-b)campo inicial,(b)acercamiento a la zona central de la pupila, (c)lentecilla delgada del centro, (d-e)campo propagado al plano de la CCD, (f-g)campo propagado del soporte solo, (h-i)campo calculado en el plano de la CCD, (j-k)campo calculado en el plano del objeto.


(a) Fase (b) Acercamiento (c) Fase

(d) Amplitud (e) Fase (f) Amplitud

(g) Fase (h) Fase (i) Lentecilla dlegada

Figura 4.2: Recuperacion del objeto usando hologramas en lınea, (a-c)campo inicialcalculado, (c)lentecilla delgada del centro, (d-e)campo calculado en el plano de la CCD,(f-g)campo en el plano de la CCD despues del algoritmo iterativo, (h-i)campo recupe-rado.

el haz de referencia en el plano de la CCD, se utiliza la funcion que define al soporteen el plano objeto y se propaga al plano de la CCD. La amplitud y fase del camporesultante se muestra en las Fig. 4.1g y 4.1h. Estos datos son utilizados para calcularla aproximacion del objeto de fase aplicando el metodo propuesto.

La amplitud del campo del objeto original propagado al plano del holo-grama, Fig. 4.1d, se parece mucho a la amplitud del campo del soporte propagado almismo plano, Fig. 4.1g, excepto en el centro. Mientras que la fase del campo del objetooriginal propagado al plano del holograma, Fig. 4.1e, presenta una estructura complejaen la parte central del campo que no aparece en la fase del campo del soporte propagado


al mismo plano, Fig. 4.1h. Esto se debe a que la parte central del campo objeto originalpropagado al plano del holograma es altamente afectada por la informacion de fase delobjeto analizado.

Al holograma generado se la aplica la Ec. ( 4.8) para eliminar el ruidodel orden cero. Utilizando los datos obtenidos del campo propagado del soporte, sinel objeto, se puede aplicar la Ec. ( 4.9) para poder recuperar el campo complejo co-rrespondiente a Ψp. En las Fig. 4.1i y 4.1j se muestran la amplitud y fase del camporesultante de la Ec. ( 4.9).

Este campo se retro-propaga al plano del objeto, donde se obtiene o′ quees el campo descrito por la Ec. ( 4.10). En las Fig. 4.1k y 4.1l se muestran la amplitudy fase del campo resultante de la retro-propagacion. Tanto en la imagen de la amplituddel campo, Fig. 4.1k, como en la imagen de la fase del campo, Fig. 4.1l, se puede veruna gran semejanza a la fase del objeto original, Fig. 4.1b. Sin embargo la amplituddel objeto original es constante y la amplitud del campo obtenido tiene una modulacionmuy parecida a la fase del objeto. Mientras que la fase del campo obtenido incluye ruidocon saltos de fase muy grandes. Pero se debe recordar que este campo corresponde alobjeto modificado s(x, y)Pφ(x, y) y no al objeto original utilizado.

Usando la informacion del objeto modificado se puede obtener una apro-ximacion del objeto original al aplicar la Ec. ( 4.12). La fase del resultado obtenido semuestra en las Fig. 4.2a, 4.2b, 4.2c. Se observa que esta fase es muy parecida al objetooriginal, Fig. 4.1b, aunque con algo de ruido en el fondo. En este caso las lentecillasde fase delgadas son las que muestran mayores deformaciones como se observa en laFig. 4.2c, acercamiento a la lentecilla delgada del centro del objeto. Sin embargo sepuede considerar que el objeto calculado es una buena aproximacion del objeto original.Esta fase se utiliza como objeto inicial en el algoritmo iterativo, el cual se encarga deeliminar el ruido de fondo.

Al propagar el objeto recuperado al plano de la CCD, amplitud y fasemostradas en las Fig. 4.2d y 4.2e, se obtiene un campo mas semejante al campopropagado del objeto original, Fig. 4.1d y 4.1e, que al campo propagado del soportesolo, Fig. 4.1g y 4.1h . Sin embargo al comparar la amplitud obtenida, Fig. 4.2d, deeste campo inicial, contra la amplitud obtenida del holograma registrado originalmente,Fig. 4.1d, se pueden observar notables diferencias que se deben al ruido existente enel objeto recuperado. Para eliminar dichas diferencias se aplica el mismo algoritmoiterativo que se aplico en el primer metodo propuesto en este trabajo. Es decir se aplicael algoritmo iterativo de reduccion de error propuesto en la Sec. 1.5.1.

En este caso la restriccion en el plano de difraccion es la amplitud extraıdadel holograma registrado, en el plano de la CCD. Mientras que la restriccion en el planoobjeto sigue siendo la forma de la pupila como se establecio en la Sec. 3.3.1.

Despues de 30 ciclos con el algoritmo iterativo se recupera, en el plano de


la CCD, un campo complejo, amplitud y fase mostradas en la Fig. 4.2f y 4.2g, muyparecido al campo propagado por el objeto original, Fig. 4.1d y 4.1e.

Al retro-propagar este campo al plano objeto se obtiene el objeto recupe-rado. En la Fig. 4.2h se muestra la fase del objeto recuperado, la cual es casi identica ala fase del objeto original, Fig. 4.1b. Solo en el centro de las lentecillas se puede llegara apreciar alguna diferencia con el objeto original. La fase de las lentecillas delgadas,que estaban altamente afectadas por el ruido, Fig. 4.2c, se recupera con buena calidadcomo se muestra en la Fig. 4.2i. Debido a que las diferencias entre el objeto recuperadoy el objeto original son mınimas se considera que se tiene una recuperacion satisfactoria.

4.4. Comentarios

En este capıtulo se presento un metodo para la recuperacion de objetos defase usando un solo holograma en lınea y considerando que el objeto esta limitado porun soporte o pupila. El metodo utiliza una serie de Taylor para redefinir las componentesdentro del holograma y lograr despejar una primera aproximacion del objeto de fase.Esta aproximacion es utilizada como el objeto inicial en un algoritmo iterativo, el cualse encarga de recuperar la informacion perdida y eliminar el ruido remanente en elobjeto recuperado. El algoritmo iterativo utiliza como restricciones la amplitud delcampo propagado en el plano del holograma, es decir la raız cuadrada del holograma,y la forma del soporte utilizado, en el plano del objeto. Las simulaciones muestranque el metodo es factible y permite recuperar el objeto original en pocas iteracionessin presentarse estancamientos en el algoritmo, a pesar de utilizar un soporte circular,Sec. 3.2.1. Esto se debe a que el objeto con el que se inicia el algoritmo iterativo es unabuena aproximacion del objeto original. En este metodo la combinacion de una primeraaproximacion del objeto y un algoritmo iterativo simple permiten una rapida y eficazrecuperacion de objetos de fase usando un solo holograma en lınea.

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Capıtulo 5

Recuperacion de objetos complejoscon corrimiento de fase de 2 pasosgenerado por una LCD

Introduccion

El corrimiento de fase es una tecnica comunmente usada en la recu-peracion de objetos complejos a partir de las intensidades de varios hologramas ointerferogramas del mismo objeto, Sec. 2.3.1. Pero uno de sus inconvenientes, en laparte experimental, es que requiere de un sistema con alta estabilidad mecanica parapoder obtener buenos resultados. Otro inconveniente es la generacion exacta del corri-miento de fase necesario para producir cada holograma. Los sistemas que usan espejosmontados en piezoelectricos, placas retardadoras de fase, fijas o electronicas, y rejillasestaticas de amplitud, necesitan de un proceso de caracterizacion para asegurar la gen-eracion correcta y uniforme del corrimiento de fase en todo el campo. En este capıtulose presenta un metodo que utiliza un corrimiento de fase de dos pasos para recuperarobjetos complejos. El campo complejo es recuperado sin ambiguedades utilizando solodos hologramas y las intensidades del campo objeto y referencia, grabadas por sepa-rado en el plano de los hologramas. El campo complejo del objeto es recuperado pormedio de operaciones simples sobre los datos de los hologramas grabados. El metodo esindependiente de la configuracion usada para generar el holograma, es decir, funcionapara hologramas en lınea o fuera de eje.

Sin embargo el metodo depende de que el corrimiento de fase sea exactoy uniforme. Por ello, en complemento, se propone generar el corrimiento de fase pormedio del desplazamiento de una rejilla de amplitud. En la forma experimental, larejilla es desplegada en una LCD y su desplazamiento se realiza electronicamente. Estemetodo propuesto asegura una exacta y uniforme generacion del corrimiento de fase. El

91

92 CAPITULO 5. CORRIMIENTO DE FASE EN 2 PASOS CON LCD

desplazamiento electronico evita los movimientos fısicos de los componentes opticos delsistema y le da gran estabilidad al mismo. Los resultados experimentales del metodose muestran en el capıtulo 6, por lo que en este capıtulo solo se plantea la teorıa delmetodo y se presentan simulaciones para ejemplificar su funcionamiento.

5.1. Corrimiento de fase generado por una LCD

Entre las tecnicas mas usadas para generar el corrimiento de fase estan losespejos unidos a un transductor piezoelectrico [YZ97, ZY98, DM+02] y la combinacionde placas retardadoras de λ/4 y λ/2 [JT00, GZ+02]. En ambos casos se requiere unmovimiento fısico de uno de los componentes del arreglo experimental para generar elcorrimiento de fase. Este movimiento introduce ruido vibratorio en el sistema lo cualpuede afectar la estabilidad del mismo produciendo ruido en los hologramas grabados.Tambien se han usado moduladores espaciales de luz electronicos para generar el co-rrimiento de fase. Sin embargo, en este caso el corrimiento de fase es desplegado puntopor punto en el modulador [PD+04, TKO99], por lo que es necesario contar con unabuena caracterizacion del mismo para asegurar el corrimiento de fase correcto en to-do el campo. Esta forma de introducir el corrimiento de fase presenta el problema depixelizacion que puede afectar la estructura del campo.

Normalmente se utilizan 3 o 4 corrimientos de fase para evitar ambiguedadesen la fase recuperada. Estas ambiguedades se presentan cuando la fase es extraıda di-rectamente de una funcion de simetrıa par como el coseno. Sin embargo, es posibleutilizar solo dos hologramas con un solo corrimiento de fase [GD04, KJ04] para recu-perar el objeto correctamente. En este caso, es necesario asegurar que el corrimientode fase es exacto y uniforme, ya que la informacion recuperada depende crıticamentede cada punto de los hologramas grabados. El corrimiento generado en los ordenes dedifraccion al desplazar una rejilla de amplitud desplegada electronicamente tiene estasdos caracteristicas, es exacto y uniforme. El corrimiento de fase generado es uniformepara cada orden de difraccion de la rejilla. Al utilizar un solo orden de difraccion y ex-tenderlo, para que sirva como haz de referencia o de iluminacion del objeto, se asegurala uniformidad del corrimiento de fase en todo el campo. La exactitud del corrimientode fase, generado de esta forma, depende de la exactitud del corrimiento de la rejilla.Alutilizar una LCD para el despliegue de la rejilla y realizar el corrimiento electronica-mente se asegura esta exactitud, siempre y cuando el corrimiento de la rejilla se de enun numero entero de pixeles de la LCD. Por lo anterior se propone utilizar este metodopara generar un corrimiento de fase de π/2 exacto y uniforme que nos permita recuperarun objeto complejo con alta calidad usando solo dos hologramas.



Se propone generar el corrimiento de fase utilizando el desplazamientode una rejilla de amplitud [Mal00, AS04] desplegada electronicamente. Los ordenesdifractados por la rejilla, a excepcion del orden cero, tienen una fase asociada. Esta faseesta relacionada con la posicion del perıodo fundamental de la rejilla respecto al ejecentral del campo. Si la rejilla es desplazada una fraccion de su perıodo fundamentalentonces la fase asociada a los ordenes de difraccion cambiara. El metodo consiste enfiltrar el orden +1 o −1 difractado por la rejilla y utilizarlo como haz de iluminacionpara el objeto en un interferometro. Mientras que el haz de referencia puede ser elorden cero o un haz separado del haz principal antes de pasar por la rejilla. Al ordencero se le asocia una fase cero, es decir el haz conserva la fase que tenıa inicialmente.Por tanto se puede usar indistintamente cualquiera de las dos propuestas. Al recorrerla rejilla 1/4 de su perıodo fundamental se introduce un corrimiento de fase de π/2en el orden filtrado, +1 o −1, de esta forma se genera el corrimiento de fase. En estecaso se propone desplegar la rejilla en una LCD configurada en su modo de amplitud,Sec. 1.7.2. El corrimiento de la rejilla se realiza electronicamente, con lo que se evitavibraciones mecanicas dentro del sistema. Debido a que todos los pixeles de la LCDtienen el mismo tamano se tiene un control exacto del perıodo de la rejilla y de sucorrimiento. Por tanto el corrimiento de fase introducido es exacto si el desplazamientode la rejilla se realiza en un numero entero de pixeles. Usando la informacion de los doshologramas y las amplitudes del haz objeto y del referencia, todos ellos grabados porseparado en el plano del holograma, es posible obtener el campo complejo del objetoen el plano de registro.En el caso de hologramas de Fresnel, el campo recuperado en elplano de registro es retro-propagado al plano objeto para recuperar el campo complejodel objeto.

5.2.1. Corrimiento de fase usando una rejilla de amplitud

Figura 5.1: Rejilla de amplitud inicial.

Como se menciono, el corrimiento de fase se genera por medio del des-


plazamiento de una rejilla de amplitud. Los ordenes de difraccion de la rejilla tienenuna fase asociada, la cual varıa si la rejilla es desplazada una fracion de su perıodofundamental. Para poder analizar la fase asociada con cada orden de difraccion de larejilla es necesario realizar el analis de Fourier de la rejilla. A continuacion se presentadicho analisis para una dimension, ya que la rejilla solo tiene modulacion en la direccionhorizontal y se considera constante en la direcion vertical.

La funcion de transmitancia de una rejilla de amplitud en una dimensionse puede escribir como:

t(x) = to(x)⊗ comb(xd

)(5.1)

donde to es la celda basica de la rejilla y la funcion comb(xd

)es de tren de impulsos con

perıodo d definido como:

comb(xd

)=

∞∑n=−∞

δ(x− nd) (5.2)

La funcion de transmitancia se puede expresar usando las series de Fourier como:

t(x) =∑

Cnei 2π n

dx (5.3)

y su transformada de Fourier esta dada por [Hsu79]:

T (u) = 2π∞∑

n=−∞

Cnδ(u−n

d), (5.4)

que es una funcion de pulsos separados en intervalos de 1/d, modulados por los coefi-cientes Cn. Cada pulso representa un orden de difraccion de la rejilla. Entonces pararealizar el analisis de la transformada de Fourier de la rejilla basta con analizar loscoeficientes Cn que afectaran a cada orden de forma diferente. Los coeficientes Cn sedefinen como:

Cn =1

dto(nd

)(5.5)

donde to = F{to}. La celda basica de la rejilla to(x) de la Fig. 5.1 se define como:

to(x) = rect[x− d

4d2

](5.6)

donde d es el perıodo de la rejilla, ver Fig. 5.1

Considerando que F[rect(x

a)]

= a sinc(au) y usando la propiedad de

desplazamiento en el espacio de la transformada de Fourier, F[f(x−xo)

]= F(u)e−i uxo

[Hsu79], se calcula la transformada de Fourier de la celda basica de la rejilla, utilizandola Ec. ( 5.6). Se obtiene que:

to(u) =d

2sinc

(d2u)e−i πu

du . (5.7)


Sustituyendo to(u) en la Ec. ( 5.5), los coeficientes Cn quedan definidos como:

Cn =1

2sinc

(n2

)e−i π

n2 (5.8)

Evaluando para los ordenes de difraccion 0 y ±1 tenemos:

C0 =1

2e−i

02 C−1 =

1

2sinc

(− 1

2

)e−i

12 C1 =

1

2sinc

(1

2

)ei

12 (5.9)

C0 =1

2C−1 =

1

πe−i

π2 C1 =

1

πei

π2 (5.10)

Donde se puede observar que los ordenes ±1 tienen un corrimiento de fase de π/2 res-pecto al orden 0. Si la rejilla es recorrida una cantidad ∆x, Fig. 5.2, se produce un

Figura 5.2: Rejilla de amplitud desplazada ∆x.

corrimiento en la fase en los ordenes de difraccion de la rejilla. La funcion de transmi-tancia para un corrimiento ∆x esta dada por:

t(x−∆x) =∑

Cnei 2π n

d(x−∆x)

=∑

Cne−i 2π n

d∆xei 2π

ndx

(5.11)

donde aparece un termino de fase constante que depende del valor del corrimiento dela rejilla. Ahora el valor de la fase de cada orden de difraccion de la transformada deFourier de la rejilla esta dado por Cne

−i 2π∆xn/d. Para introducir un corrimiento de π/2en el orden +1 se debe cumplir −2π∆x/d = π/2 con lo que se obtiene ∆x = −d/4. Estosignifica que para generar un corrimiento de fase de π/2 en los ordenes de difraccion±1 es necesario desplazar la rejilla 1/4 de su perıodo d.

5.2.2. Recuperacion del objeto usando corrimiento de fase endos pasos

En la seccion anterior se analizo la forma de generar un corrimiento defase de π/2 en los ordenes de difraccion +1 y −1 de una rejilla de amplitud. Utilizando


este corrimiento de fase se graban dos hologramas de Fresnel del objeto. Considerandoque O = |O| exp [i φo] y R = |R| exp [i φr] representan los frente de onda de los hacesobjeto y referencia, respectivamente, propagados libremente al plano de registro delholograma, los hologramas grabados se pueden escribir como:

I1(x, y) =| O |2 + | R |2 +2 | O || R | cos(φo − φr)

I2(x, y) =| O |2 + | R |2 +2 | O || R | cos(φo − φr +π

2).

(5.12)

Donde I1 representa el holograma sin corrimiento de fase y I2 representa el hologra-ma con corrimiento de fase π/2. Para recuperar el campo complejo del objeto O esnecesario eliminar el orden cero de estos hologramas. La eliminacion el orden cero selogra al aplicar el segundo metodo descrito en la Sec. 1.4.3, el cual implica la resta delas intensidades de los campos objeto y referencia. Para esto se asume que se conocenlas intensidades de los haces objeto, | O |2, y referencia, | R |2, en el plano de regis-tro del holograma y se aplica la Ec. ( 1.41). Por otra parte, utilizando la identidadtrigonometrica cos(A+B) = cos(A)cos(B)− sen(A)sen(B) y considerando A = φo−φry B = π/2, el termino coseno de I2 se puede reescribir como sen(φo − φr). El resultadode estas operaciones en los hologramas I1 e I2 da como resultado:

I ′1(x, y) = 2 | O || R | cos(φo − φr)I ′2(x, y) = 2 | O || R | sen(φo − φr).

(5.13)

Dividiendo estos resultados entre la amplitud de la onda de referencia | R |, que esconocida, y el factor 2 se obtienen los hologramas modificados:

I ′′1 =I ′1(x, y)

2 | R |I ′′2 =

I ′2(x, y)

2 | R |(5.14)

= | O | cos(φo − φr) = | O | sen(φo − φr), (5.15)

los cuales solo incluyen informacion del campo complejo del objeto y la fase de laonda de referencia. Estos hologramas modificados se pueden ver como la parte real eimaginaria de un campo complejo. Dicho campo complejo se puede expresar como:

O′ = I ′′1 (x, y) + i I ′′2 (x, y)

=| O | cos(φo − φr) + i | O | sen(φo − φr)=| O | ei (φo−φr).

(5.16)

Este campo complejo esta en el plano del holograma e incluye la informacion del campocomplejo del objeto y del conjugado de la fase de la onda de referencia. Multiplicandoeste campo por la fase de la onda de referencia se recupera el campo complejo del objetopropagado, en el plano de registro del holograma, esto es:

O′′ = O′ · ei φr

=| O | ei (φo−φr) · ei φr

=| O | ei φo .(5.17)

5.3. SIMULACIONES NUMERICAS PARA EL METODO PROPUESTO 97


Parametro Valorlaser He-Ne longitud de onda 0.632µm

CCDtamano del pixel 5µmnumero de pixeles 1024x1024ancho de banda 0.2µm−1

Frecuencia de la ondade referencia

∆uCCD/20 0.01µm−1 = 0.36

propagacion distancia 17mmpupila diametro 500µm

lentecillas gruesas

diametro 100µmrango de fase 7πdistancia focal µmancho de banda µm−1

lentecillas delgadasdiametro 100µmrango de fase 0.25π

Recordemos que O = |O|exp[iφo] es el campo objeto propagado libremente en el planode registro del holograma. Para recuperar el objeto original es necesario retro-propagareste campo al plano del objeto. La retro-propagacion del campo se realiza usando lapropagacion discreta de Fresnel a una distancia de −z.

5.3. Simulaciones numericas para el metodo pro-

puesto

Para las simulaciones se utilizo un objeto formado por micro lentecillasy una pupila que delimita el objeto. La pupila controla la cantidad de luz que formael haz objeto para obtener un mejor contraste de franjas en el holograma. Esta pupilase definio utilizando una funcion cırculo. En el area de la pupila esta contenidas laslentecillas que forman el objeto y que tienen rangos de fase diferentes.

5.3.1. Parametros de simulacion

Como el metodo funciona tanto para hologramas en lınea como fuera deeje, se opto por usar una onda de referencia con muy poca inclinacion, es decir conuna frecuencia espacial uo baja. Esta baja frecuencia de la onda de referencia permiteobtener franjas anchas en el holograma permitiendo apreciar el corrimiento de faseintroducido al observar el corrimiento de las franjas de interferencia. Los parametrosusados en la simulacion se muestran en la tabla 5.1.


5.3.2. Simulacion

(a) Amplitud (b) Fase (c) Amplitud

(d) Fase (e) Original (f) Con corrimiento π2

(g) Sin corrimiento (h) Con corrimiento (i) Amplitud


Figura 5.3: Simulacion usando el metodo de corrimiento de fase, (a-b)campo original, (c-d)campo propagado al plano de la CCD, (e-f)hologramas calculados, (g-h)hologramasmodificados, (i-j) campo recuperado en el plano de la CCD, (k)espectro del camporecuperado, (l)campo sin modulacion de la onda de referencia.

5.3. SIMULACIONES NUMERICAS PARA EL METODO PROPUESTO 99

Figura 5.4: Fase del objeto recuperado.

El objeto utilizado para la simulacion se presenta en las Fig. 5.3a y 5.3b,amplitud y fase. En este caso se utilizaron objetos con ancho de banda grande, lentecillascon grosor de fase de 7π radianes, para probar la capacidad de recuperacion del metodo.Tambien se incluyeron lentecillas con fase delgada, 0.25π radianes, para observar elefecto del ruido en la recuperacion del objeto.

El objeto se propaga a una distancia z = 17mm, utilizando la propagacionde Fresnel. El campo propagado del objeto cubre buena parte del campo calculado en elplano de la CCD, Fig. 5.3c y 5.3d. Esto se debe al alto ancho de banda de los objetosusados. El haz objeto se hace interferir con la onda de referencia Ro, que es una ondaplana inclinada exp[i 2πuo(x+ y)], con uo = 0.01µm−1.

La tecnica de corrimiento de fase no requiere que la onda de referenciasea inclinada. Pero, como se menciono antes, en este caso se opto por definirla ası paraver el corrimiento de las franjas en los hologramas generados, Fig. 5.3e y 5.3f. Elprimer holograma se genera con los haces originales. El segundo holograma se generadespues de haber introducido el corrimiento de fase de π/2 en el haz objeto. En elcaso experimental esto sucede despues de haber cambiado la rejilla desplegada en laLCD. Se puede observar que existe un corrimiento en las franjas del segundo holograma,Fig. 5.3f, respecto a las franjas del primer holograma, Fig. 5.3e.

Utilizando las ecuaciones (1.41) y (5.15) se elimina el orden cero de amboshologramas y se obtiene su version modificada, los cuales se muestran en la Fig. 5.3gy 5.3h. Estos hologramas son utilizados para calcular el campo objeto en el plano dela CCD. Al aplicar la Eq. (5.16) se obtiene el campo del objeto recuperado en el planode la CCD, en las Fig. 5.3i y 5.3j se presenta la amplitud y fase este campo. Laamplitud de este campo es igual a la amplitud del campo propagado del objeto originalen el plano de la CCD, Fig. 5.3c. Sin embargo la fase del campo todavıa esta moduladapor la fase de la onda de referencia, como lo demuestran las franjas inclinadas que seobservan en la fase desplegada en la Fig. 5.3j.


Para eliminar esta fase se calcula el espectro de Fourier del campo recupe-rado, cuya amplitud se muestra en la Fig. 5.3k. En el cual el espectro del objeto aparecefuera del punto central del espectro, marcado con una cruz blanca. El desplazamien-to del centro del espectro del objeto es igual a la frecuencia de la onda de referencia.Usando estos datos se puede recuperar la fase de la onda de referencia. Al aplicar laEc. ( 5.17) se recupera la fase original del objeto en el plano de la CCD, la cual semuestra en la Fig. 5.3l y es muy similar a la fase del objeto original en en mismo plano,Fig. 5.3d.

Se retro-propaga el campo calculado al plano del objeto y se recupera elobjeto original. La fase del objeto recuperado se muestra en la Fig. 5.4. Se observa quelos objetos de ancho de banda grande son recuperados satisfactoriamente. Mientras quelos objetos de fase delgada no presentan nigun ruido. Esto indica que el metodo es capazde recuperar todo tipo de objetos cuya informacion pueda ser registrada correctamenteen la CCD.

5.4. Comentarios

En este capıtulo se presento un metodo para la recuperacion de objetoscomplejos usando un corrimiento de fase de 2 pasos. El corrimiento de fase es generadopor medio del desplazamiento de una rejilla de amplitud. Si el corrimieto de fase genera-do se asume exacto y uniforme se puede recuperar objetos complejos utilizando un solocorrimiento de fase. Las simulaciones muestran que el metodo funciona para objetos dediferentes anchos de banda. Ademas permite utilizar una configuracion en lınea o fuerade eje sin que afecte el resultado. El metodo es capaz de recuperar el objeto complejode manera rapida y sin ruido.

Para obtener un corrimiento de fase exacto y uniforme, en la parte ex-perimental, se propone utilizar el desplazamiento electronico de una rejilla de amplituddesplegada en una LCD. Los resultados experimentales de aplicar este metodo se pre-sentan en el capıtulo seis.

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101

102 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 6

Resultados experimentales

Introduccion

En este capıtulo se presentan los resultados experimentales obtenidos alaplicar los metodos propuestos en los capıtulos tres y cinco. Los objetos utilizadosfueron: un arreglo de microlentes y un patron de franjas en una placa fotografica blan-queada. Las micro-lentes tienen un diametro aproximadamente de 120 µm. Segun elfabricante la distancia focal de cada lente es de 2.4mm. Por otro lado la placa fo-tografica contiene un patron de franjas de diferentes tamanos, tanto de largo como deancho. Las franjas mas pequenas son de 10µm × 50µm. Ambos objetos son de faseprincipalmente, pero no totalmente, ya que presentan una ligera absorcion de luz. Paralos experimentos correspondientes al metodo propuesto en el capıtulo tres se utilizo elarreglo de micro-lentes, ya que tiene un ancho de banda grande y nos permite poner aprueba las cualidades del metodo. Para este caso se usaron diferentes pupilas, una fısicarealizada en una hoja metalica y la imagen de una pupila formada por un diafragma.Para los experimentos correspondientes al metodo de corrimiento de fase en dos pasos,propuesto en el capıtulo cinco, se usaron ambos objetos, el arreglo de lentes y la placafotografica. Ya que el metodo no tiene restricciones respecto al objeto.

6.1. Datos generales de los experimentos

Para todos los experimentos se utilizo un laser He-Ne con λ = 0.632µm.Se utilizo una camara de la serie FireWire (IEEE1394), modelo DC310, de Thorlabs.Las caracterısticas de la camara son las siguientes: sensor de 1024 x 768 pixels; tamanodel pixel 4.7µm× 4.7µm. La camara es controlada por el sotfware para adquisicion deimagenes ThorSight. Las distancias entre la muestra y la CCD oscilaron entre 1500µm y

103

104 CAPITULO 6. RESULTADOS EXPERIMENTALES

23000µm. Por lo que la resolucion de los campos recuperados, en el plano de la muestra,esta entre 2µm y 3µm por pixel, si se utiliza la integral de Fresnel para la propagacionde los campos, Sec. 1.4.1.

Figura 6.1: Grafica de caracterizacion de la CCD

Para evitar los problemas de ruido, la camara se opero en modo manualcon los siguientes valores: velocidad de Shutter de 50ms, valor de exposicion de 512 EVy se redujo la ganancia a 325dB. Donde la ganancia es la cantidad de amplificacion apli-cada a cada pixel. Con estos parametros la camara es menos sensible al ruido ambientaly tiene una respuesta a la intensidad del haz mayormente lineal.

La caracterizacion de la camara se realizo tomando 25 imagenes de unfrente de onda plano mientras se incrementaba la intensidad del haz. La intensidadfue monitoreada con un fotodetector. Se analizo una area uniforme de la imagen paraobtener el nivel de gris promedio, al graficar el nivel de gris registrado por la CCDcontra la intesidad del haz incidente se obtiene la grafica de la Fig. 6.1.

En dicha grafica se puede observar que la relacion entre estos valores escasi lineal. Solo en los valores cercanos al punto de saturacion se observa una ligeracurva en la grafica. Puesto que los valores que no se comportan linealmente son muypocos se opto por utilizar los valores obtenidos directamente de la CCD sin realizarcorreccion alguna.

6.2. EXPERIMENTOS CON H FUERA DE EJE Y AI 105

6.2. Resultados experimentales usando un hologra-

ma fuera de eje y algoritmos iterativos

Como se explico en el capıtulo tres, este metodo es propuesto para recu-perar objetos de ancho de banda grande usando hologramas fuera de eje. El metodoconsiste en grabar un holograma de la muestra y las intensidades de los haces objetoy referencia, por separado, en el plano de la CCD. El objeto debe estar delimitadopor un soporte o pupila. Utilizando estas tres intensidades se calcula un hologramamodificado, que elimina el ruido del orden cero, Ec. ( 3.9). Este holograma contienela informacion del campo complejo del objeto y su conjugado, en el plano de la CCD.El holograma modificado es retro-propagado al plano del objeto usando la propagacionde Fresnel. En el campo retro-propagado la imagen de la pupila aparece enfocada yla imagen conjugada aparece desenfocada. Ambos terminos aparecen desplazados ensentidos opuestos, respecto al centro del campo, por efecto de la fase de la onda dereferencia que los modula. Sin embargo, si el ancho de banda del objeto es cercano alancho de banda de la CCD usada, la imagen conjugada desenfocada, en el campo retro-propagado, se expande en una area de tamano mucho mayor que el area ocupada por laimagen de la pupila enfocada. Del campo obtenido en la retro-propagacion se filtra laimagen enfocada de la pupila para recuperar el campo complejo del objeto. Este cam-po esta contaminado por ruido de la imagen conjugada desenfocada de la pupila, perocontiene toda la informacion del objeto complejo que se quiere recuperar. El resultadose propaga al plano de la CCD donde se puede eliminar la fase de la onda de referenciaque todavıa modula la informacion del objeto. La onda de referencia se puede calculara partir del desplazamiento del espectro del objeto respecto al centro del espectro deFourier del campo recuperado. Una vez eliminada esta fase el campo se retro-propagaal plano del objeto para recuperar la informacion del objeto original.

Sin embargo el objeto recuperado todavıa contiene el ruido de la imagenconjugada. Para eliminar dicho ruido, el objeto recuperado se utiliza como objeto inicialen un algoritmo iterativo de reduccion de error tipo GS. El algoritmo tiene como res-tricciones la forma de la pupila, en el plano objeto, y la amplitud del objeto propagadolibremente, en el plano del holograma. Se considera que la forma de pupila se conocea priori y que la amplitud del objeto propagado se obtiene experimentalmente calcu-lando la raız cuadrada de la intensidad del campo objeto en el plano del holograma. Elalgoritmo iterativo es el encargado de eliminar el ruido remanente en el objeto recupe-rado. En las simulaciones, el algoritmo es capaz de limpiar completamente el objeto yrecuperar su fase original de forma rapida y eficiente. A continuacion se muestran losresultados experimentales al implementar este metodo en el laboratorio. En el primerejemplo se uso una pupila elaborada en una hoja metalica y en el segundo ejemplo seutilizo como pupila la imagen reducida de un diafragma.


6.2.1. Experimento usando una pupila hecha en hoja metalica

Figura 6.2: Arreglo optico para grabar hologramas fuera de eje usando una pupila.

Para la generacion del holograma fuera de eje se utilizo un interferometrode division de amplitud tipo Mach-Zehnder. El esquema del arreglo utilizado se muestraen la Fig. 6.2. En este caso los divisores de luz usados son no polarizados, por lo quela polarizacion es igual en ambos brazos del interferometro. El segundo divisor de haztiene un ancho aproximado de 1 cm. Esto permite utilizar distancias pequenas entre laCCD y la muestra. A su vez la CCD empleada tiene una cubierta que permite acercarlos elementos opticos a 4 mm del detector fısico. Esto permite que la muestra puedaser acercada hasta 14 mm del detector. Al mismo tiempo el divisor de haz permiteintroducir el haz de referencia a diferentes angulos.

Para este ejemplo se utilizo el arreglo de micro-lentes como objeto, el cualse coloca lo mas cerca posible al divisor de haz. En este caso la pupila esta montada enuna hoja de papel, la cual se coloca cerca del arreglo de micro-lentes. Primero se grabael holograma. Despues se obstruye el brazo superior del interferometro para grabar laintensidad del haz objeto. Por ultimo se cambia la obstruccion al brazo inferior paragrabar la intensidad del haz de referencia. El holograma grabado se muestra en la Fig.6.3a, y las intensidades grabadas de los haces objeto y referencia se muestran en laFig. 6.3b y 6.3c, respectivamente. Cabe destacar que en este caso se opto por fijarlas intensidades del haz objeto y el haz de referencia de tal modo que al grabarse elholograma este tenga valores cercanos al punto de saturacion de la CCD, nivel de grisigual 255. Las intensidades de los haces objeto y referencia no se modifican cuando segraban sus intensidades por separado.

Utilizando las tres intensidades grabadas es posible calcular el hologramamodificado definido por la Ec. ( 3.9). En la imagen 6.3d se puede observar el holo-


(a) Holograma (b) Haz objeto (c) Haz de Referencia

(d) Holograma (e) Amplitud (f) Amplitud

(g) Amplitud (h) Amplitud (i) Amplitud

(j) Amplitud (k) Fase

Figura 6.3: Experimentos con holograma fuera de eje e IA, (a-c)datos grabados con laCCD, (d)holograma modificado, (e)campo en el plano de la pupila, (f) pupila enfocadafiltrada, (g)redefinicion de la pupila, (h)campo recuperado por filtraje (plano de la CCD),(i) campo recuperado despues del algoritmo iterativo (plano de la CCD), (j-k)camporecuperado despues del algoritmo iterativo en el plano de la pupila.


grama real obtenido. Este holograma real presenta valores positivos y negativos comose esperaba y es casi simetrico, lo cual nos indica que se tiene una buena cantidadde informacion de las lıneas de interferencia del holograma original. Este hologramaes retro-propagado al plano objeto, la amplitud de campo obtenido se muestra en laFig. 6.3e. Donde se puede observar claramente la imagen de la pupila enfocada, mien-tras que el fondo esta totalmente cubierto por la informacion de la imagen conjugadadesenfocada.

En la imagen de la Fig. 6.3e solo se muestra el area de la pupila y algodel ruido de fondo que tambien afecta al area de la pupila. En esta imagen se puedendistinguir los lıimites enfocados de la pupila. Cabe aclarar que el resto del campopresenta un ruido similar al que se observa en el fondo de la imagen.

En este caso la pupila no presenta una intensidad uniforme, lo cual se debea que la pupila, fısicamente, esta en un plano diferente al de la base de las micro-lentes.El frente de luz que llega al plano de la pupila ya sufre el efecto de enfocamiento de cadauna de las micro-lentes, de ahı su estructura periodica. Esta composicion de la pupilahace difıcil definir sus bordes claramente, por ello se opto por usar una ventana cuadradacomo primera aproximacion de la pupila, la amplitud del campo filtrado usando estadefinicion de pupila se muestra en la Fig. 6.3f. Toda la informacion del campo queno pertenezca a dicha ventana se elimina. La pupila se redefine dentro del algoritmoiterativo.

Si se propaga el campo filtrado al plano de la CCD, La amplitud delcampo obtenido se muestra en la Fig. 6.3h, esta amplitud se diferencia de la amplituddel campo objeto que se obtiene de la raız cuadrada de la intensidad del objeto obtenidade forma experimental, Fig. 6.3b.

Para eliminar este ruido se aplica el algoritmo iterativo propuesto en laseccion 1.5.1 con las condiciones establecidas en la seccion 3.3.1. Es decir, la restriccionen el plano de difraccion, o plano del holograma, es la raız cuadrada de la intensidaddel campo objeto capturada en el plano del holograma. Mientras que la restriccion enel plano objeto es la forma de la pupila. La cual se redefine en la primera iteracionutilizando tecnicas de procesamiento digital de imagenes. Despues del primer ciclo delalgoritmo iterativo el ruido fuera de la pupila es suavizado y se puede redefinir la pupilade forma mas acertada. La amplitud del campo filtrado, usando esta redefinicion de lapupila, se muestra en la Fig. 6.3g. Esta pupila es la que se utiliza en el resto de los ciclosdel algoritmo. En forma detallada, para definir la pupila, se aplica una funcion umbrala la amplitud del campo retro-propagado y despues se emplea una funcion morfologicapara eliminar posibles huecos en la pupila obtenida (funcion “imclose“en Matlab). Laformulacion matematica de estas restricciones se establecen en la Ec. ( 3.11).

El error en el plano del holograma se calcula usando la Ec. ( 1.47). Elcomportamiento de este error se presenta en la Fig. 6.4. Donde se puede observar queel error disminuye rapidamente en las primeras seis iteraciones y despues empieza a


Figura 6.4: Disminucion de error durante el algoritmo iterativo, en el plano del holo-grama, usando una pupila fısica.

disminuir lentamente, pero sigue disminuyendo. Despues de 21 ciclos del algoritmo elerror varıa muy poco y se decide detener el algoritmo.

El campo resultante, en el plano de la CCD, despues del algoritmo itera-tivo se muestra en la Fig. 6.3i. La amplitud resultante es mas parecida a la amplitudobtenida de los datos experimentales.

Sin embargo el campo recuperado todavıa esta modulado por la fase dela onda de referencia, esto se puede observar al analizar su espectro de Fourier, cuyaamplitud se muestra en la Fig. 6.5a, donde el centro del espectro del objeto estadesplazado del centro del espacio de frecuencias. En la Fig. 6.5a el centro del espectrodel objeto esta senalado por una flecha, mientras que el centro del espacio de frecuenciasesta marcado por una cruz. Para eliminar la fase de la referencia es necesario multiplicarel campo por una fase lineal que varie de acuerdo a las frecuencias espaciales uo y vo,que son el desplazamiento del espectro del objeto en la direccion horizontal y vertical,respectivamente. Estas frecuencias se calculan a partir del numero de pixeles que hayentre el punto marcado por la flecha y el centro de la cruz.

Una vez eliminada la fase de la referencia se retro-propaga el campo objetorecuperado al plano de la pupila, Figs. 6.3j y 6.3k. En la imagen de la Fig. 6.3j se puedever que el ruido fuera de la pupila ha desaparecido y solo se conserva la informacioncontenida dentro del area dentro de la pupila. Sin embargo, en este caso, el plano de lapupila no coincide con el plano de la base del arreglo de micro-lentes. Esta condicionse hace evidente en la fase reconstruida, Fig. 6.3k. Donde los bordes de cada lenteno se definen y no todas las lentes parecen tener un soporte similar. En este caso, deantemano, se sabe que cada lente tiene un soporte cuadrado.

Para encontrar el plano de la base de las lentes se aumenta la distanciade retro-propagacion en 750µm. Al retro-propagar a esta nueva distancia se obtiene el


(a) Amplitud (b) Amplitud (c) Fase


(g) (h) (i)

Figura 6.5: Objeto recuperado usando algoritmos iterativos, (a) espectro del campo re-cuperado en el plano de la CCD, (b-c)campo recuperado despues del algoritmo iterativoen el plano objeto, (d-i) fase desenvuelta del objeto recuperado, (d-f) campo recuperadopor filtraje , (g-i) campo recuperado despues del algoritmo iterativo,(e) y (h)lentes enorilla superior derecha de (d) y (g) respectivamente,(f) y (i) acercamiento a una lente.

objeto reconstruido en la distancia correcta, Fig. 6.5. En la Fig. 6.5b se puede obser-var que ahora los bordes de cada lente se define claramente en forma de cuadrados.En contraste los bordes de la pupila se hacen difusos, esto se debe, como ya se men-ciono anteriormente, a que fısicamente los planos de la pupila y la base de las lentesestan separados.

La fase recuperada tiene un rango mayor a 2π radianes por lo que seencuentra envuelta, Fig. 6.5c. Aplicando el algoritmo de Flynn se desenvolvio estafase para poder analizarla en forma correcta. En las Fig. 6.5d- 6.5i se muestra la fase


desenvuelta: tanto para el campo recuperado solo con el filtraje en el plano de la pupila6.5d - 6.5f, como para el campo recuperado despues del algoritmo iterativo 6.5g-6.5i. En la grafica de contornos de la fase se puede observar una mayor simetrıa delos contornos en la Fig. 6.5h respecto a la Fig. 6.5e. Esta mejora en la simetrıa de loscontornos se nota mejor en las Fig. 6.5f y 6.5i que corresponden a una sola de lasmicro-lentes recuperadas. La mejora de la simetrıa se debe a que el algoritmo iterativoha eliminado cierta cantidad de ruido en el objeto recuperado. Debido al alto rangode fase que tienen las lentes el cambio no es tan evidente en las imagenes del objetocompleto.

Usando una imagen compuesta para la amplitud del objeto

(a) Amplitud (b) Fase (c) Fase desenvuelta

(d) Fase desenvuelta (e) Fase (f) Fase

Figura 6.6: Experimentos usando una imagen compuesta, (a) imagen compuesta,(b)campo recuperado en el plano del objeto, (c-d)campo recuperado despues del al-goritmo iterativo, (d)lentes de la esquina superior derecha de (c), (e-f)lente recuperada,(e) antes del algoritmo iterativo, (f)despues del algoritmo iterativo.

El rango dinamico de la CCD es de 256 niveles de grises. Esto ocasionaque se pierda informacion del campo difractado por el objeto en el plano de la CCDal digitalizar la imagen. Como una posible solucion a ello se puede utilizar una imagencompuesta con los valores de pixeles no saturados de varias imagenes del mismo patronde difraccion, en las que se ha variado el tiempo de exposicion de la CCD. Esto implicaque cada imagen tendra un rango de deteccion diferente. Es decir, si el tiempo deexposicion se alarga, la CCD podra detectar la informacion de pixeles donde llega


menos cantidad de luz, pero al mismo tiempo los pixeles donde llega mas cantidadde luz se saturaran, perdiendo la informacion del campo en esos puntos. La idea esjuntar la informacion de los pixeles no saturados de cada imagen y crear una nuevaimagen donde este presente la informacion tanto de pixeles donde el campo tiene pocaintensidad, como de pixeles donde el campo es muy intenso. La combinacion de lasimagenes se hace analizando los pixeles que no estan saturados. En la Fig. 6.6a se

Figura 6.7: Disminucion de error durante el algoritmo iterativo, en el plano del holo-grama, usando una imagen compuesta.

presenta la imagen resultante de este proceso. En este caso se tomaron 16 imagenesvariando la velocidad de exposicion de la CCD. Luego se junto la informacion de todasla imagenes en una sola. En la amplitud desplegada se puede ver que existen masvariaciones de tonos, por lo que hay mas informacion registrada del campo difractado.

Al igual que en el caso anterior se aplica el algoritmo iterativo. Pero eneste caso se utiliza la imagen compuesta como restriccion en el plano del holograma. Elerror en el plano del holograma, durante el algoritmo iterativo, se calcula usando la Ec.( 1.47). El comportamiento de este error se presenta en la Fig. 6.7. Donde se puedeobservar que el error disminuye mas rapidamente y a valores mas bajos que en el casoanterior, grafica de la Fig. 6.4. Despues de 21 ciclos del algoritmo el error varıa muypoco y se decide detener el algoritmo.

En la Fig. 6.6b aparece el resultado de la fase recuperada utilizando laamplitud de la Fig. 6.6a, como restriccion en el algoritmo iterativo. Esta fase estaenvuelta, se le aplica el algoritmo de Flynn para desenvolverla y se obtiene la fasemostrada en las Fig. 6.6c - 6.6f.

La mejora en la simetrıa de los contornos de las fases de las lentes se notamejor entre las Fig. 6.6e y 6.6f que corresponden a la fase de una sola de las micro-lentes recuperadas. La Fig. 6.6e corresponde a la fase recuperada antes de aplicar elalgoritmo iterativo, mientras que la Fig. 6.6f corresponde a la fase recuperada despuesdel algoritmo iterativo. Se puede observar que la fase recuperada difiere muy poco de


la fase recuperada del caso anterior 6.5h. Sin embargo al utilizar la imagen compuestael algoritmo iterativo reduce el error mas rapidamente y se alcanzan valores mas bajosde error, como se observo en la grafica de la Fig. 6.7.

6.2.2. Experimento usando una imagen como pupila

Figura 6.8: Arreglo optico modificado para grabar hologramas fuera de eje con el objetodelimitado por la imagen de una pupila.

Para este experimento en lugar de usar una pupila fısica se utilizo laimagen reducida de un diafragma. Esto permite colocar la pupila en cualquier planoademas de poder variar su tamano de acuerdo a las caracterısticas del objeto. El arregloexperimental se modifico de acuerdo a la Fig. 6.8. Usando este arreglo experimental laimagen de la pupila se puede generar en el plano del objeto. Las lentes L2 y L3 formanun sistema reductor de imagen que permite generar una imagen de la pupila con faseplana. En el experimento L2 tiene una distancia focal de 15 cm y L3 de 5 cm. Por lo quela imagen producida es de un tercio del tamano de la pupila formada por el diafragma.Para este experimento las lentes fueron colocadas de tal manera que la imagen de lapupila se formo en el plano de las bases de las micro-lentes.

En este caso las intensidades de los haces se modifican entre la toma delholograma y la toma de las intensidades de los haces objeto y referencia. Esto con elfin de aprovechar de una mejor forma el rango dinamico de la CCD. Las intensidadesde los haces objeto y referencia se ajustan para que el holograma capturado en laCCD este cerca del punto de saturacion. Entonces se graba el holograma. Despuesse obstruye el brazo superior del interferometro para poder grabar la intensidad delhaz objeto en el plano de la CCD. En este caso la intensidad del laser se ajusta para


(a) Holograma (b) Haz objeto (c) Haz de referencia

(d) Holograma (e) Amplitud (f) Amplitud

(g) Amplitud (h) Amplitud (i) Amplitud

(j) Amplitud (k) Fase

Figura 6.9: Experimento usando una imagen como pupila, (a-c)datos grabados con laCCD, (d)holograma real, (e)retro-propagacion del holograma real, (f)campo filtrado,(g)redefinicion de la pupila, (plano de la CCD), (h)campo despues del filtraje, (i)campodespues del algoritmo iterativo, (j-k)campo recuperado, plano de la pupila.


que el patron de difraccion del objeto este cerca del punto de saturacion de la camara.Conservando esta intensidad se cambia la obstruccion al brazo inferior del interferometropara grabar la intensidad del haz de referencia. Antes de procesar la imagenes se haceuna compensacion en el holograma, de tal manera que el total de energıa guardada enel holograma sea igual a la suma de las energıas totales guardadas en los patrones dedifraccion del haz objeto y de la referencia. En la Fig. 6.9a se presenta la intensidaddel holograma ya compensada, de ahı el valor maximo mayor a 255. Al observar condetenimiento el holograma se puede ver que existen franjas bien definidas del ladoizquierdo del holograma, mientras que del lado derecho la forma de las franjas se pierdepero se observan puntos de alta y baja intensidad alternados, como un tablero deajedrez. Esto se debe a que la frecuencias de las franjas aumenta en el lado izquierdodel holograma y la CCD ya no es capaz de registrarlas correctamente, es decir hayun submuestreo de las franjas de interferencia. En las Fig. 6.9b y 6.9c se muestran lasamplitudes de los haces objeto y referencia. Es decir la raız cuadrada de las intensidadesgrabadas.

Utilizando la informacion grabada por la CCD se puede calcular el holo-grama modificado. Se aplica la Ec. ( 3.9) para eliminar el ruido del orden cero. En laFig. 6.9d se presenta el resultado de esta operacion y se puede observar que el hologra-ma real no es muy simetrico, sin embargo si contiene una gran cantidad de franjas. Alretro-propagar este holograma al plano de la pupila, se obtiene la amplitud mostradaen la Fig. 6.9e. Donde se puede observar que la pupila tiene una intensidad muchomas uniforme en toda su area que en el caso de la Sec. 6.2.1. La forma tipo poligonalde la pupila se debe a que se uso un diafragma de iris comercial para formar la pupilaen el experimento. En este caso los bordes de la pupila son claramente definidos. Estose debe a que la imagen de la pupila se encuentra en la base de las lentes, donde elfrente de onda es plano y los efectos de focalizacion de las lentes todavıa no se notan. Elruido de la imagen conjugada de la pupila sigue apareciendo disperso en todo el fondodel campo recuperado. Incluso se pueden observar patrones en el campo desenfocadoque corresponden en parte al patron de difraccion del objeto y en parte a las replicasoriginadas por el submuestreo del holograma.

A pesar de que ahora los bordes de la pupila son claramente definidos enel campo retro-propagado, se eligio, para el filtraje, una ventana cuadrada con el fin deevitar problemas de ruido y conservar la metodologıa de las operaciones. La amplituddel campo filtrado usando esta pupila se muestra en la Fig 6.9f. Despues de la primeraiteracion el ruido de fondo disminuye su intensidad y se redefine la pupila con mayorexactitud, la amplitud del campo filtrado con la redefinicion de la pupila se muestraen la Fig. 6.9g. Al igual que en los casos anteriores se utiliza una funcion umbral paraseleccionar el area con mayor intensidad y despues se emplea una funcion morfologicapara eliminar los posible huecos existentes en la pupila.

El campo resultante del primer filtraje se propaga al plano de la CCD,la amplitud del campo propagado se muestra en la Fig. 6.9h. En este caso se puedeobservar no solo diferencias con la amplitud del campo objeto que se obtuvo de forma


experimental, Fig. 6.9b, sino tambien se observan diferencias en la distribucion delpatron de difraccion. En la parte izquierda de la imagen de la Fig. 6.9h se puedeobservar una ligera modificacion del patron de difraccion, el cual puede tener su origenen el ruido que se conserva al hacer el filtraje de la pupila.

El objeto filtrado es utilizado como objeto inicial en un algoritmo itera-tivo. Al igual que en el caso anterior, el algoritmo utilizado es el algoritmo iterativopropuesto en la seccion 1.5.1 con las condiciones establecidas en la seccion 3.3.1.

Figura 6.10: Disminucion de error durante el algoritmo iterativo, en el plano del holo-grama, usando una imagen como pupila.

El error en el plano del holograma, durante el algoritmo iterativo, secalcula usando la Ec. ( 1.47). El comportamiento de este error se presenta en la Fig.6.10. Donde se puede observar que el error disminuye a valores menores que cuandose uso la pupila de hoja metalica, Fig. 6.4. La mayor reduccion del error ocurre enlos primeros 8 ciclos del algoritmo, despues de 21 ciclos el error es casi constante y sedecide detener el algoritmo.

La amplitud del campo resultante se muestra en la Fig. 6.9i. El patronde difraccion ahora es mas parecido a la amplitud del campo objeto que se obtuvo deforma experimental, Fig. 6.9b. La modificacion del patron que aparecıa a la izquierdade la imagen ha sido eliminada.

Al retro-propagar el campo resultante al plano de la pupila se obtiene elobjeto reconstruido, Fig. 6.9j y 6.9k, modulado por la fase de la onda de referencia.Esto es evidente en la fase del objeto recuperado,Fig. 6.9k. Donde las fases de las lentesaparecen descentradas de su soporte. En este caso el plano de la pupila coincide con elplano de las bases de las micro-lentes. Por ello la pupila recuperada tiene una amplitudcasi constante donde solo se distinguen los bordes de las lentes, Fig. 6.9j. Por otro ladoen la fase del objeto se puede observar que las lentes tienen un soporte bien definidode forma cuadrada. La forma del soporte se puede distinguir a pesar de que la fase delas lentes esta modulada por la fase de la onda de referencia. Para eliminar esta fase


se aplica el mismo procedimiento que en los metodos anteriores usando el espectro deFourier del campo recuperado para determinar las frecuencias uo y vo de la onda dereferencia, Sec. 6.2.1 en pg. 109.

(a) Fase (b) Fase (c) Fase


(g) Fase (h) Fase

Figura 6.11: Objeto recuperado, plano de la pupila, (a-c)despues del filtraje, (d-f)despues del algoritmo iterativo, (g-h)acercamiento a una lente, (g)antes del algorit-mo,(h) despues del algoritmo.

En la Fig. 6.11a y 6.11d, respectivamente, se muestran la fase recuperadadel proceso de filtraje de la imagen enfocada de la pupila y la fase recuperada despues deaplicar el algoritmo iterativo al objeto filtrado. La fase obtenida tiene un rango mayor a2π por lo que se encuentra envuelta. Aplicando el algoritmo de Flynn se desenvolvio estafase para poder analizarla correctamente. En la Fig. 6.11 se muestra la fase desenvuelta,tanto para el campo recuperado con el proceso de filtraje, Fig. 6.11b y 6.11c , comopara el campo recuperado al aplicar el algoritmo iterativo, Fig. 6.11e y 6.11f. En las


graficas de contorno se puede ver que las lıneas de los contornos de las lentes despues deaplicar el algoritmo iterativo se han vuelto mas simetricas y con menos ruido, la formacircular de la fase de cada lente se hace mas evidente, Fig. 6.11f.

La mejora en la simetrıa de los contornos de las fases de las lentes senota mejor entre las Fig. 6.11g y 6.11h que corresponden a la fase de una sola delas micro-lentes recuperadas. La Fig. 6.11g corresponde al objeto recuperado antes deaplicar el algoritmo iterativo. En este caso el objeto presenta menos ruido que los casosanteriores, pero sigue habiendo deformaciones en la forma de los contornos de la fasede la lente. Mientras que la Fig. 6.11h corresponde a la fase recuperada despues delalgoritmo iterativo, que ahora es mucho mas simetrica que en casos anteriores. Al igualque en los experimentos anteriores, la mejora de la simetrıa de los contornos de las fasesde las lentes indica que gran parte del ruido ha sido eliminado. El rango total de fase decada lente es de 23 radianes. El ruido ocasionado por el conjugado es menor a 1 radian,por lo que no es facil distinguir su eliminacion en el resultado. Sin embargo si afecta lacalidad de la fase recuperada.

6.3. Resultados experimentales usando corrimiento

de fase en 2 pasos

En esta seccion se presentan los resultados experimentales al aplicar elmetodo propuesto de corrimiento de fase en 2 pasos. En este metodo el corrimiento defase es generado al desplazar electronicamente una rejilla de amplitud desplegada en unaLCD. Como se menciono en el capıtulo cinco, el metodo propuesto consiste en grabardos hologramas de la misma muestra. Donde al segundo holograma se le introduce uncorrimiento de fase de π/2. Tambien se graban, por separado, las intensidades del hazobjeto, libremente propagado, y del haz de referencia ambos en el plano de la CCD.Estas intensidades se utilizaran para eliminar el ruido del orden cero de los hologramasregistrados. El corrimiento de fase permite recuperar la infomacion del objeto complejousando solamente dos hologramas reales modificados, calculados usando las intensidadesgrabadas. La ventaja del metodo reside en generar el corrimiento de fase por mediodel desplazamiento electronico de una rejilla de amplitud desplegada en una LCD. Elcorrimiento de fase generado es uniforme y exacto, lo que permite recuperar el objetocon gran eficiencia usando un solo corrimiento de fase.

6.3.1. Arreglo propuesto

En este caso, para la generacion del holograma se volvio a utilizar uninterferometro de division de amplitud tipo Mach-Zehnder, con algunas modificaciones.El esquema del arreglo utilizado se muestra en la Fig. 6.12. Se siguen utilizando divisores

6.3. EXPERIMENTOS CON CORRIMIENTO DE FASE EN 2 PASOS 119

Figura 6.12: Arreglo optico usado para crear el corrimiento de fase.

de luz no polarizados. El segundo divisor de haz tiene un ancho aproximado de 1cm.Esto permite utilizar distancias pequenas entre la CCD y la muestra. A su vez laCCD empleada tiene una cubierta que permite acercar los elementos opticos a 4 mmdel detector fısico. Entonces la muestra puede ser acercada hasta 14 mm del detector.Al mismo tiempo el haz de referencia se puede introducir con diferentes angulos pormedio del divisor de haz. En este caso el haz es colimado de diferente forma para elhaz objeto y para el haz de referencia. El corrimiento de fase se introduce en la ondaobjeto por comodidad experimental. El haz objeto es colimado de forma tal que sudiametro final no se extienda demasiado y cubra solamente un area un poco mayoral area del objeto que es de 1 mm, es decir, tiene un diametro aproximado de 5 mm.Mientras que el haz de referencia se colima para que su diametro sea mucho mayor queel campo capturado por la CCD, en este caso el diametro sera de aproximadamente4 cm. De esta forma se asegura una fase plana en el area del holograma. Se puedenincluir filtros neutros en diferentes partes del arreglo para realizar la compensacion delas intensidades de los haces objeto y referencia. Para el funcionamiento de la LCDen modo de amplitud es necesario tener dos polarizadores cruzados con un angulo de45 grados respecto a eje director de la pantalla. Esto modifica la polarizacion del hazobjeto, por lo que es necesario utilizar un polarizador extra en el haz de referencia,para igualar las polarizaciones de los dos haces en el plano del holograma y obtenerfranjas de mejor contraste. El corrimiento de la rejilla de amplitud se realiza al cambiarla imagen desplegada en la LCD. Para ello se generaron dos rejillas de amplitud con losmismos niveles de grises. Las rejillas tienen un periodo de cuatro pixels, dos pixels parauna franja obscura y dos para una franja brillante. Las rejillas tienen el mismo numerode pixeles que la LCD empleada. En la segunda rejilla se introduce un corrimiento deun pixel para generar el corrimiento de fase de π/2. La configuracion del monitor usadose iguala a la resolucion de la LCD que es de 640 x 768 pıxeles y se despliega la rejillaen la pantalla completa. Esto asegura que a cada pixel de la LCD corresponda un pixel


de la imagen. Ası el corrimiento de fase es generado al intercambiar las imagenes de lasrejillas en la LCD.

6.3.2. Experimento usando una placa fotografica blanqueada

El metodo propuesto funciona tanto para hologramas fuera de eje comopara hologramas en lınea. Sin embargo, cuando nosotros usamos como objeto la placafotografica blanqueada las intensidades del holograma generado cambian drasticamenteal introducir el corrimiento de fase, si se utiliza la configuracion en lınea. Esto es debidoa que la luz que no es difractada por el objeto de fase, en este caso el patron de franjas,forma una sola franja brillante en el holograma. Al introducir el corrimiento de fasede π/2 esta franja se desplaza un 1/4 de su perıodo, con lo que un cuarto del campose ve cubierto por una franja obscura. Entonces, las franjas producidas por el campodifractado del objeto, en la zona obscura, ya no se pueden detectar debido al bajo rangodinamico de la CCD. Por esta razon se decidio utilizar una configuracion ligeramentefuera de eje. Se introdujo un pequeno angulo en la onda de referencia para crear unascuantas franjas en el area de la CCD. En este caso las franjas son lo suficientementegrandes para apreciar su corrimiento al introducir el desfase en la onda objeto.

Se grabaron dos hologramas en el plano de la CCD, cuyas intensidades semuestran en las Fig. 6.13a y 6.13b. El segundo holograma se graba despues de habergenerado el corrimiento de fase de π/2. En nuestro caso, despues de haber cambiado larejilla desplegada en la LCD. Se puede observar que existe un corrimiento de las franjasen el segundo holograma, 6.13b, respecto al primer holograma. Despues de grabar loshologramas se capturan las intensidades de los haces objeto y referencia en el plano dela CCD, Fig. 6.13c y 6.13d. Estas intensidades se utilizaron para eliminar el orden cerode los hologramas capturados. El corrimiento de fase introducido en el haz objeto noocasiona cambios en la intensidad del haz, por lo que se puede usar la misma intensidaddel haz objeto para modificar ambos hologramas. El haz de referencia no sufre ninguncambio.

Se calculan los hologramas modificados de los hologramas capturados,igual que en los casos anteriores, es decir, se aplica la Ec. ( 3.9). Los hologramas modi-ficados ya no contienen el ruido del orden cero ni la amplitud de la onda de referencia.El resultado solo conserva la amplitud del objeto y la codificacion de la diferencia defases entre el haz objeto y el haz de referencia. Los hologramas modificados resultantes,mostrados en las Fig. 6.13e y 6.13f, corresponden a los campos de la Ec. ( 5.15). Loscuales son la parte real e imaginaria del campo objeto propagado al plano de la CCDde acuerdo con la Ec. ( 5.16).

La amplitud de este campo complejo, mostrada en la Fig. 6.13g, tiene ungran parecido con la amplitud que se obtiene de la intensidad del campo objeto grabadopor la CCD. Sin embargo la fase de este campo complejo todavıa esta modulada por


(a) Sin corrimiento (b) Con corrimiento π2 (c) Haz objeto

(d) Haz de referencia (e) Sin corrimiento (f) Con corrimiento π2



Figura 6.13: Experimento usando corrimiento de fase y placa fotografica, (a-b)hologramas grabados, plano de la CCD , (c-d)campos grabados en el plano de laCCD, (e-f)hologramas modificados, (g-h)campo recuperado en el plano de la CCD, (i)espectro de Fourier del campo recuperado en el plano de la CCD, (j)campo recuperadosin la fase de la onda de referencia, (k-l) objeto recuperado.


(a) Fase (b) Fase

Figura 6.14: Objeto recuperado, placa fotografica, (a) vista 2D, (b) vista 3D.

una fase lineal que corresponde a la fase de la onda de referencia como se observa en laFig. 6.13h.

Para eliminar la fase de la referencia se utiliza el metodo aplicado en loscasos anteriores. Se calcula el espectro de Fourier del campo recuperado, la amplitudde la parte central del espectro se muestra en la Fig. 6.13i. Donde el espectro delobjeto aparece fuera del punto central del espacio de frecuencias, marcado por una cruzblanca en la imagen. El desplazamiento del espectro del objeto, en x y y, es igual alas frecuencias de la onda de referencia. Se calcula estas frecuencias y se multiplica elcampo recuperado por una onda plana inclinada modulada de acuerdo a las frecuenciascalculadas. Al eliminar la fase de la onda de referencia se recupera la fase original delobjeto en el plano de la CCD, Fig. 6.13j.

Para recuperar el objeto es necesario retro-propagar el campo obtenidoal plano del objeto. En este caso se puede observar que la distancia a la cual la fasedel objeto aparece bien definida, Fig. 6.13l, ocasiona que los bordes de la pupila, en laamplitud, aparezcan ligeramente desenfocados, Fig. 6.13k. Esto se debe a que el planode la pupila se encuentra ligeramente desplazado del plano del objeto.

La fase del objeto reconstruido aparece envuelta, Fig. 6.13l, ya que susvalores superan los 2π radianes. Para recuperar el objeto original es necesario desen-volver la fase. En este caso se utilizo el algoritmo de Flyn para realizar dicha tarea.

En la Fig. 6.14a se observa la fase desenvuelta del objeto recuperado.El espesor de las franjas es de aproximadamente 2π radianes. En este caso el metododetecta imperfecciones de fase de la placa de vidrio donde esta depositada la pelıculafotografica.

En la Fig. 6.14b se muestra una vista en tres dimensiones de las franjasde menor tamano del objeto recuperado.


6.3.3. Experimento usando un arreglo de microlentes

Para el caso de las micro-lentes se procede de forma similar a la seccionanterior. En este caso el campo objeto difractado tiene una estructura compleja en elplano de la CCD, esto ocasiona que, aunque se use una configuracion en lınea parael holograma, el patron de franjas de interferencia, formado en la CCD, tenga unaalta frecuencia. Esto evita que la descompensacion de intensidades cuando se introduceel corrimiento de fase, como sucedıa en el caso anterior. Sin embargo en este caso seutilizo la misma configuracion en el arreglo por un lado, por comodidad tecnica y porotro, para poder observar mejor los efectos del submuestreo en el holograma. Es decirse utilizo una onda de referencia ligeramente inclinada.

Primero se grabaron dos hologramas en el plano de la CCD, los cuales semuestran en las Fig. 6.15a y 6.15b. El segundo holograma se graba despues de habergenerado el corrimiento de fase de π/2. En el caso de este experimento despues de habercambiado la rejilla desplegada en la LCD. En este caso el corrimiento de franjas no sepuede apreciar claramente, ya que las franjas son de alta frecuencia, y solo se nota uncambio en la estructura general del holograma.

Despues de grabar los hologramas se capturan las intensidades de loshaces objeto y referencia en el plano de la CCD, Fig. 6.15c y 6.15d. Estas intensidadesse usaron para eliminar el orden cero de los hologramas capturados. Como en el casoanterior, el corrimiento de fase introducido en el haz objeto no ocasiona cambios en laintensidad del haz, por lo que se puede usar la misma intensidad, del haz objeto, paramodificar los dos hologramas grabados.

Al aplicar la Ec. ( 3.9) se elimina el orden cero y la amplitud del hazde referencia de los hologramas originales. Los hologramas modificados resultantes,mostrados en la Fig. 6.15ey 6.15f, corresponden a los campos expresados en la Ec.( 5.15). Los cuales, de acuerdo con la Ec. ( 5.16), son la parte real e imaginaria delcampo objeto propagado al plano de la CCD.

Para recuperar el campo complejo del objeto en el plano de la CCD seaplica la Eq. 5.16. La amplitud de este campo complejo, mostrada en la Fig. 6.15g,tiene un gran parecido con la amplitud que se obtiene de la intensidad del campo objetograbado por la CCD, Fig. 6.15c. Sin embargo la fase del campo esta modulada porla fase de la onda de referencia, Fig. 6.15h. En este caso la modulacion de la onda dereferencia no es tan evidente en la fase por su distribucion compleja. Sin embargo alanalizar el espectro del campo resultante se puede observar el corrimiento del espectrodel objeto en el espacio de frecuencias.

Para eliminar la fase de la referencia se utiliza el metodo aplicado en loscasos anteriores. Es decir, primero se calcula el espectro de Fourier del campo recu-perado, la amplitud de la parte central de dicho espectro se muestra en la Fig. 6.15i.


(a) Sin corrimiento (b) Con corrimiento π2 (c) Haz Objeto

(d) Haz de Referencia (e) Sin corrimiento (f) Con corrimiento π2


(j) Fase

Figura 6.15: Experimento usando corrimiento de fase y un arreglo de microlentes, (a-b)hologramas grabados, plano de la CCD, (c-d)campos grabados en el plano de laCCD, (e-f)hologramas modificados, (g-h,j)campo recuperado en el plano de la CCD, (i)espectro de Fourier del campo recuperado en el plano de la CCD, (j)campo recuperadosin la fase de la onda de referencia.


(a) Amplitud (b) Fase

(c) Fase (d) Fase

Figura 6.16: Objeto recuperado arreglo de microlentes,(a-b) campo recuperado, (c-d)fase desenvuelta, (c)vista 2D, (d)vista 3D.

Donde el espectro del objeto aparece fuera del punto central del espacio de frecuencias.El centro del espectro del objeto esta marcado con una flecha y el centro del espacio defrecuencias esta marcado con una cruz. El desplazamiento del espectro del objeto, enx y y, es igual a las frecuencias de la onda de referencia. Se calcula estas frecuencias yse multiplica el campo recuperado por una onda plana inclinada modulada de acuerdoa las frecuencias calculadas. Al eliminar la fase de la onda de referencia se recupera lafase original del objeto en el plano de la CCD, la cual se muestra en la Fig. 6.15j.

Al retro-propagar este campo al plano objeto se recupera el objeto ana-lizado. La distancia de propagacion se escoge para que la fase de cada lente aparezcaclaramente definida. En este plano la pupila del objeto aparece con bordes difusos perocon una intensidad casi constante, Fig. 6.16a. Esto se debe a que la pupila se encuentraen un plano diferente al plano del objeto. El plano de reconstruccion corresponde alplano de la base de las lentes. En este caso se utilizo el modelo de espectro angular paracalcular la propagacion del campo al plano objeto y recuperar el campo complejo delobjeto analizado. Con el fin de obtener una mejor resolucion en el objeto reconstruidose aplico el algoritmo de alta resolucion para la transformada de Fourier, Sec. 1.4.2. Eneste caso se calcularon nueve puntos para cada pixel, por lo que la resolucion del campoobjeto recuperado es de 0.52µm.


En el campo recuperado la fase aparece envuelta, Fig. 6.16b, ya que susvalores superan los 2π radianes. Para recuperar el objeto original es necesario desen-volver la fase obtenida. Como en los casos anteriores, se aplico el algoritmo de Flynnpara realizar el desenvolvimiento de la fase de las lentes, el resultado se muestra en laFig. 6.16c.

En la fase recuperada se puede observar que varias lentes estan danadas,este dano se puede ver tanto en la fase como en la amplitud del objeto recuperado, Figs.6.16a y 6.16b. El dano es real y se debe a un accidente con pegamento transparentesobre el arreglo de micro-lentes.

En la fase desenvuelta se puede observar que las lentes tiene espesormaximo de fase aproximado de 25 radianes. Lo cual equivale a un aproximado 8π rad.El valor mas alto corresponde a puntos donde aparentemente existe una inconsistenciade datos, esto ocurre en las zonas danadas de las lentes.

En la Fig. 6.16d se muestra una vista en tres dimensiones de la faserecuperada, para apreciar la forma real de las lentes recuperadas.

Tomando el valor mas alto de alguna de las lentes que no presentan de-formidades se puede calcular la distancia focal de las lentes. En este caso el valor de faseobtenido en el eje horizontal es de 15 radianes. El diametro de las lentes es de 120µm,con lo que se obtiene un valor aproximado de distancia focal de 2000µm. Este valor escercano a la distancia focal dada por el fabricante. Cabe aclarar que las lentes no sonde alta calidad.

Capıtulo 7

Conclusiones

Introduccion

En este capıtulo se presentan las conclusiones obtenidas durante el de-sarrollo de este trabajo. Primero se presenta un resumen general de la motivacion deltrabajo, la propuesta realizada para su desarrollo y las caracterısticas generales de losmetodos propuestos. En la siguiente seccion se exponen las conclusiones obtenidas delas simulaciones y experimentos realizados para cada uno de los metodos propuestos.Despues se enlistan las conclusiones generales del trabajo y por ultimo se presenta eltrabajo a futuro que es posible desarrollar para la optimizacion de cada uno de losmetodos propuestos.

Uno de los problemas de la microscopıa optica es el estudio de objetosde fase. Los objetos de fase no se pueden analizar utilizando medios de registro deintensidades, como el ojo o camaras comunes. Esto se debe a que un objeto de faseno modifica la intensidad del haz que lo ilumina si no solo su fase y los medios deregistro comunes solo detectan cambios en la intensidad del haz. Una de las formas deestudiar estos objetos es introducir un colorante a la muestra, pero esto puede cambiarlas propiedades del objeto. Por ello es preferible utilizar tecnicas que no requieran lamodificacion de la muestra. Una de las tecnicas no invasivas que permiten el estudiode objetos de fase es la holografıa digital. En este caso se graba un holograma dela muestra, el cual es digitalizado y procesado computacionalmente para recuperar elcampo complejo del objeto.

En este trabajo se presentaron tres metodos diferentes para recuperar lainformacion de amplitud y fase de objetos microscopicos utilizando holografıa digital.Los tres metodos estan basados en el analisis de hologramas digitales. Los hologramascodifican la amplitud y la fase del objeto analizado dentro de un patron de intensidades.El cual puede ser detectado por un medio de registro comun. El analisis de los holo-

127

128 CAPITULO 7. CONCLUSIONES

gramas se hace de forma global y no local. Esto elimina las restricciones impuestas a laforma de las franjas del patron de interferencia que existen en metodos basados en elanalisis local de franjas. Sin embargo el holograma no solo contiene la informacion delcampo complejo del objeto, si no que incluye otros terminos, los cuales pueden generarruido en el objeto recuperado. Uno de los objetivos de la holografıa digital es reduciral maximo este ruido en el objeto recuperado.

Los hologramas son capturados, experimentalmente, por medio de unaCCD y los datos digitalizados son procesados computacionalmente para recuperar la in-formacion del objeto. La manipulacion computacional de los hologramas permite aplicardiferentes modelos matematicos para mejorar la calidad del objeto recuperado. El obje-tivo de los tres metodos propuestos, en este trabajo, es recuperar informacion de objetosmicroscopicos cuyo campo es propagado libremente desde el objeto a la CCD. Esta ca-racterıstica evita la introduccion de ruido debido a aberraciones de lentes u objetivosde microscopio.

El primer metodo propuesto esta orientado a recuperar objetos de anchode banda grande usando un holograma fuera de eje, en conjunto con un algoritmoiterativo tipo Gerchberg-Saxton. El segundo metodo propone recuperar la informacionde objetos de fase, libre de ruido, usando un solo holograma en lınea, tambien encombinacion con un algoritmo iterativo. Por ultimo, el tercer metodo propuesto utilizala generacion de un corrimiento de fase exacto y uniforme para poder recuperar lainformacion del objeto complejo de forma rapida y eficiente.

7.1. Recuperacion de objetos con ancho de banda

grande usando hologramas fuera de eje

En los hologramas fuera de eje existe un angulo entre los haces objetoy referencia, el cual es menor a 90 grados. Al momento de reconstruir este tipo dehologramas los terminos que componen al holograma se separan en el espacio. Debidoa esto el ruido en el objeto complejo reconstruido puede disminuir notablemente o sernulo. Sin embargo el angulo entre los haces objeto y referencia aumenta la frecuencia enlas franjas del patron de interferencia, que forma el holograma. Los medios de registrotienen una resolucion finita, por lo que al aumentar la frecuencia de las franjas disminu-ye el ancho de banda del objeto que se puede codificar correctamente en el holograma,sin ocasionar problemas de submuestreo en la grabacion de las franjas. En la holografıadigital el tamano del pixel de la CCD usada impone un lımite mas restrictivo a la fre-cuencia de las franjas que se pueden grabar correctamente. El metodo propuesto en estetrabajo ofrece una alternativa para recuperar objetos de ancho de banda relativamentegrande al usar holograma fuera de eje en holografıa digital.

El metodo consiste en grabar un holograma fuera de eje de la muestra

7.2. HOLOGRAMA EN LINEA 129

ası como las intensidades del haz objeto y de referencia, propagados libremente en elplano de la CCD. El objeto debe estar delimitado por un soporte o pupila. Usandoestos datos se elimina la informacion del orden cero del holograma y la modulacionde la amplitud de la onda de referencia. El holograma modificado es retro-propagadoal plano objeto. En este plano aparece la imagen enfocada de la pupila, que contienetoda la informacion del objeto, y su imagen conjugada desenfocada. Ambos terminosaparecen separados en el espacio. Dependiendo del ancho de banda del objeto, el ruidogenerado por el conjugado de la pupila afectara la informacion dentro de la imagenenfocada de la pupila. Al filtrar la imagen enfocada de la pupila se recupera el objetocon algo de ruido. El campo recuperado es utilizado como objeto inicial en un algoritmoiterativo tipo GS. El algoritmo utiliza como restricciones la forma del soporte o pupila,en el plano del objeto, y la amplitud del haz objeto propagado libremente, en el planodel holograma.

En los resultados de las simulaciones realizadas, se demostro que el meto-do propuesto funciona para recuperar objetos de ancho de banda igual al ancho de bandade la CCD usada. Se encontro que el algoritmo iterativo es capaz de eliminar tanto elruido generado por el conjugado del objeto como el ruido generado por submuestreo enel holograma.

En los experimentos presentados se comprobo que el metodo funcionapara objetos de ancho de banda grande. Se utilizaron lentecillas con un rango de faseentre 4 y 8 π radianes. En este caso se demostro que el algoritmo logra eliminar unabuena cantidad de ruido del objeto recuperado. Tambien se encontro que el uso deuna imagen de la pupila en vez de la pupila fısica puede ayudar a tener un mejorfuncionamiento del metodo. La ventaja de usar una imagen para la pupila recide en queel plano de dicha imagen puede colocarse en el plano que mejor convenga al experimento,incluso dentro de la misma muestra.

7.2. Recuperacion de objetos usando hologramas en

lınea

Los hologramas en lınea tipo Gabor son mas faciles de generar y requierenmenos componentes opticos. Sin embargo su principal problema es que los tres terminos,que componen al holograma, se superponen al momento de la reconstruccion. Esto haceque el objeto recuperado posea una gran cantidad de ruido del termino conjugado y suinformacion puede ser deformada.

El segundo metodo propuesto es utilizado para recuperar objetos de faselibres de ruido usando un solo holograma en lınea. El metodo se basa en proponer unaprimera aproximacion del objeto a partir del analisis de un solo holograma en lınea,grabado. Esta aproximacion es muy cercana al objeto original. Para poder aplicar el


metodo el objeto debe de estar delimitado por un soporte o pupila. El ruido remanenteen el objeto es eliminado usando un algoritmo iterativo tipo GS.

En las simulaciones presentadas se demuestra que la aproximacion pro-puesta por el metodo es muy cercana al objeto original. Esta primera aproximacion solopresenta deformaciones de ruido en un rango de fase muy pequeno. Este ruido afectaprincipalmente a las fases delgadas presentes en el objeto. Sin embargo el algoritmoiterativo es capaz de eliminar dicho ruido y recuperar el objeto original. En este meto-do solo se necesita la grabacion de una sola intensidad, en este caso el holograma enlınea, para la recuperacion del objeto con buena calidad, y un conocimiento a priori delsoporte o pupila utilizado. Sin embargo es posible recuperar datos del soporte a partirdel holograma grabado.

7.3. Recuperacion de objetos usando corrimiento

de fase en un paso

El corrimiento de fase es una de las tecnicas usadas para recuperar objetoscomplejos de forma exacta a partir de las intensidades de varios interferogramas. Laamplitud y fase del objeto son calculadas de forma exacta y recuperadas sin ruido delorden cero o del objeto conjugado, presentes en los hologramas. Sin embargo los metodosmas usados requieren de 3 o 4 corrimientos de fase distintos para asegurar una buenarecuperacion. La generacion del corrimiento de fase por medio de placas retardadoras,fijas o electronicas, espejos montados en piezo-electricos o por rejillas fijas, requierende un proceso de caracterizacion para asegurar la correcta generacion del corrimientode fase.

En el tercer metodo, de este trabajo, se propone la recuperacion de objetosde fase utilizando un solo corrimiento de fase, generado por el desplazamiento electronicode una rejilla de amplitud desplegada en una LCD. El corrimiento de fase es generadoen uno de los ordenes de difraccion de la rejilla. Este orden se filtra y es utilizado comohaz de iluminacion para el objeto. Al realizar el desplazamiento de la rejilla de formaelectronica se asegura la generacion exacta del corrimiento de fase.

En las simulaciones presentadas se probo que es posible recuperar el ob-jeto complejo usando un solo corrimiento de fase. En este caso solo se necesita la infor-macion de dos hologramas y las intensidades de las haces objeto y referencia.

En los resultados experimentales se demostro que el metodo propuestopermite recuperar el objeto rapida y eficientemente. El corrimiento de fase generadoes exacto y uniforme, lo que permite la recuperacion correcta del objeto. El desplaza-miento electronico de la rejilla no introduce vibraciones mecanicas al sistema. El objetorecuperado no contiene ruido del orden cero o del objeto conjugado, presentes en los

7.4. CONCLUSIONES GENERALES 131

hologramas. El metodo se puede aplicar a hologramas en eje o fuera de eje. El objetoconjugado del holograma no afecta la informacion del objeto recuperado. Este metodopermite utilizar todo el ancho de banda de la CCD usada.

7.4. Conclusiones generales

En este trabajo se presentaron tres metodos distintos que permiten larecuperacion de objetos de fase usando hologramas digitales grabados por una CCD.

El primer metodo permite la recuperacion de objetos de ancho de bandaigual al ancho de banda de la CCD usada ,en hologramas fuera de eje. El metodo es capazde eliminar el ruido de submuestreo que puede generar un haz de referencia inclinado,en el holograma, incluso si el ancho de banda del objeto es igual el ancho de banda dela CCD. La aportacion principal de este metodo es la combinacion de herramientas,pupila, filtraje espacial y algoritmos iterativos, que nos permiten recuperar objetos deancho de banda grande con poco ruido.

El segundo metodo permite la recuperacion de objetos complejos libresde ruido usando un solo holograma en lınea tipo Gabor. El metodo genera una primeraaproximacion del objeto con poco ruido que es limpiada por un algoritmo iterativo. Laaportacion principal de este metodo es forma de calcular la primera aproximacion delobjeto. Esta aproximacion contiene pocas deformaciones y permite aplicar algoritmositerativos sin problemas de estancamiento.

El tercer metodo permite la recuperacion rapida y eficiente de objetoscomplejos usando solo dos hologramas con un corrimiento de fase generado electronica-mente. El metodo es independiente del angulo entre los haces objeto y referencia. Estopermite utilizar todo el ancho de banda de la CCD. Es decir se pueden recuperar ob-jetos de ancho de banda grande o pequeno. La aportacion principal de este metodoes la forma de implementar la generacion del corrimiento de fase, de forma exacta yuniforme, lo que permite utilizar un solo corrimiento de fase para la recuperacion delobjeto complejo.

Se presentaron simulaciones de los tres metodos que demuestran su co-rrecto funcionamiento.

Del primer y tercer metodo se presentaron resultados experimentales ini-ciales que demuestran su aplicacion y buen funcionamiento.


7.5. Trabajo a Futuro

Para el primer metodo se propone la realizacion experimental de un casodonde existan objetos de ancho de banda grande y pequeno al mismo tiempo. Esto conel fin de resaltar la eliminacion de ruido, por el algoritmo iterativo, en todo el objetorecuperado.

Para el segundo metodo se propone su realizacion experimental con unobjeto que cumpla todas las caracterısticas impuestas por el metodo. Una de las res-tricciones es que el campo difractado por la pupila cubra el campo difractado por elobjeto de fase, en el plano de registro.

Para el tercer metodo se propone su implementacion en un sistema quepermita la captura de los datos de forma automatica, para poder utilizarlo en tiempocasi real. Para el analisis del objeto solo se requieren 3 intensidades, cuya grabacion sepuede controlar por medios electronicos sin introducir vibraciones mecanicas al sistema,por tanto puede ser posible grabar varios conjuntos de datos en un segundo. Estodependera de la respuesta electronica, tanto de la LCD como de la CCD.

En los tres metodos tambien se puede introducir un objetivo de mi-croscopio de baja amplificacion para aumentar la resolucion final del objeto recupe-rado. Si se utiliza un objetivo de alta amplificacion se reduce la profundidad de campopermitida para la reconstruccion del objeto. Sin embargo, esta tarea requiere de variosajustes en los metodos propuestos, como es la compensacion de la fase del objetivo delmicroscopio, por lo que es necesario un analisis profundo antes de implementar estamodificacion a los metodos propuestos.

Apendice A

English summary

In the study of some phenomena such as the diffraction and the inter-ference of the light we used the electromagnetic wave model. In this model two keydescriptors of a light beam are the amplitude and the phase. The amplitude is relatedto the energy contained in the beam. The phase indicates the state of vibration of apoint compared to other points in the same wavefront or in others beam planes.

When a light beam interacts with an object the amplitude and the phaseof the beam are affected. Thus, studying the amplitude and the phase of the beam in oneplane, we can obtain information of the objects from which this beam has interacted inits path, if we known the original form of the beam wave front. When an object absorbssome energy of the light beam, the beam amplitude is modified and the object is calledan amplitude object. However, when the beam energy is preserved, but the phase ofthe wavefront points is modified by the introduction of different delays in the vibrationof each point, it is said that the object is a phase object. By changing the wavefrontphase we can convert a divergent beam in one convergent beam or vice versa. The phasechange can be equal in the whole wavefront or it can be different for each point. Thesechanges depend of the object intrinsic characteristics. The most of the objects affectthe amplitude and phase of the beam at the same time. However, if a feature is affectedsubstantially more than the other is when we consider the object mostly of amplitude ormostly of phase. Examples of phase objects are water, glass lenses and many biologicalorganisms. A phase objects are also known as transparent objects .

Some of the techniques developed to study phase objects are: the phase-contrast digital holography, the confocal microscopy, dark field microscopy, stainingsamples, the optical diffraction tomography, the optical scanning holography etc.. Themain problem to study phase objects is that the common recording media as the eyecameras, photographic film, etc.., are intensity detector, that is to say, they are onlycapable of recording changes in the wavefront intensity, losing the phase information.So the phase information must to be encoded into intensity information in order to be

133

134 APENDICE A. ENGLISH SUMMARY

able of recover it. The techniques used in the study of phase objects can be invasive ornoninvasive. The technique is considered invasive when it is necessary to introduce somedye or other substances in the sample to convert the phase information into amplitudeinformation and it can be recorded by a conventional detector. On the other hand thenoninvasive techniques do not modify the object in any way. In these techniques, thewavefront is usually modified after it goes through the sample in order to convert thephase information in amplitude information. Noninvasive techniques are highly desirablesince they enable the study of living biological samples and the study of deformationsin mechanical objects in real time.

Inside the group of noninvasive techniques are the techniques based on theanalysis of holograms. A hologram encodes the amplitude and the phase information ofa wavefront in an intensity pattern. The hologram is recorded and analyzed to retrievethe object complex field.

These techniques have the advantage of requiring only a coherent light,that could be obtained from a laser, instead of a filter or any other special deviceto convert the phase information into intensity. When the hologram is digitized weare working in the branch of digital holography. This field of investigation includesthe process of generation of digital holograms by means of a computer, as well as theprocessing of holograms obtained experimentally through a digitalization process. Thiswork is developed into the field of analysis of experimental holograms digitalized. Asthe analyzed object sizes are in the order of micrometers, the methods presented in thiswork can be considered inside of the digital holographic microscopy.

In this work we present three different methods to retrieve the phaseof complex objects using holograms with different characteristics. Each method hasdifferent advantages and its use depends on the sample and the experimental conditions.

In the proposed methods the register medium is a CCD, so we considerthat this work fall into the digital holography branch. However, the analysis and theproposed methods can be applied if the recording medium is different, as long as therecorded data correspond to the intensity of generated holograms. In all the cases,the analysis of the hologram is performed applying a computacional process to thedigitalized hologram data.

The three methods are based on the analysis of digitalized holograms. Ahologram encodes the amplitude and the phase of the analyzed object in an intensitypattern .The hologram analysis is global and not local. This eliminates restrictions in thefringes shape of interference patterns that exist in methods based on local finge analysis.However, the hologram not only includes the object complex field , it also includesother terms, which can generate noise in the retrieved object. One objective of digitalholography is to minimize this noise in the retrieved object. The holograms are captured,experimentally, using a CCD, and the digitized data are processed computationally toretrieve the complex information of the object. The use of the computer allows the

135

application of different mathematical models to the holograms to improve the qualityof the retrieved object. The aim of the three methods proposed in this work is toretrieve the complex field of microscopic objects whose field is propagated directly fromthe object to the CCD. This feature prevents the introduction of noise due to lens ormicroscope objectives aberrations.

The first proposed method is aimed at recovering objects with large band-width using an off-axis hologram. This method allows to retrieve objects with a largebandwidth, even as large as the bandwidth of the used CCD. This method requires therecording of an off-axis hologram and the object and reference beams intensities. Thelast two belong to the free propagated fields in the hologram plane. The second methoduses only a pattern of intensity to retrieve the object phase information. This methoduse a hologram generated by a single light beam and the object must be limited by asupport or pupil. The third method is an implementation of the phase shift techniquebut with only two steps, the phase shift is generated using a LCD. The implementa-tion of the phase shift is very stable avoiding noise problems and increasing the objectquality.

Retrieve of large bandwidth object using off axis

holograms

In the off-axis hologram exists an angle between the reference and theobject beams, this angle is less than 90 degrees. In the reconstruction of this kindof holograms the three hologram terms, the zero order, real and virtual image, areseparated in space. If this separation is enough the noise in the reconstructed complexobject can decrease substantially or be null. However, the angle between the referenceand object beams increases the fringe frequency in the interference pattern. This reducesobject bandwidth that can be properly encoded in the hologram without undersamplingproblems in the fringe recording. In digital holography, the pixel size, of the used CCD, imposes a strong limit to the fringe frequency that can be recorded correctly. Themethod proposed in this work offers an alternative to retrieve objects of relatively largebandwidth using an off-axis hologram in digital holographic microscopy.

The proposed method uses an off-axis hologram of the sample and alsotwo recorded intensities of the object and reference beams, propagated freely in the CCDplane. The object must be bounded by a support or pupil. The intensities of the referenceand object beams are used to eliminated of the hologram the zero-order informationand the modulation of the reference wave amplitude. The modified hologram is back-propagated to the object plane. That is, it is propagated to -z distance. In the objectplane appears the focused pupil image, which contains the whole object information,and its unfocused conjugate counterpart. Both terms are separated in the space duethe frequency of the reference wave. Depending on the object bandwidth , the noise


generated by the conjugated pupil affects the information within the focused pupilimage. By filtering the focused pupil image we can recover the complex object fieldwith some noise. The recovered field is used as the initial field in an GS iterativealgorithm. This algorithm uses as constrains the pupil shape, in the object plane, andthe object beam amplitude, propagated freely, at the hologram plane. The noise in theobject is eliminate by this algorithm. The initial field si very close to the real objectfield so the algorithm converges very quick.

In the results of carried out simulations, we shown that the proposedmethod works for retrieving objects with a bandwidth equal to the used CCD band-width. We found that the iterative algorithm is capable for eliminating, both, the noisegenerated by the conjugate object and the noise generated by the hologram undersam-pling.

In the experimental results we found that the method works for objectsof large bandwidth. We used a microlens array with a phase range about 10 pi radians.In this case the algorithm eliminate a good quantity of noise in the retrieved object.We also found that the use of an pupil image rather than the physical pupil improvethe method efficiency. Other advantage of using a pupil image is that the plane of theimage can be placed in the best plane for the experiment, even inside of the sample.

Retrieval of phase object using a in-line hologram

The Gabor inline holograms are easy to generate and require few opticalcomponents. However its main problem is that, in the hologram reconstruction, thethree holograms terms, zero order, real and virtual images, are overlaped at the sameaxis. Then the retrieved object is mixed with the information of the conjugate term,This generate a lot of noise in the retrieval field and the object information is distorted.

The second proposed method retrieve phase objects without noise fromonline holograms. The method propose a first approximation of the object phase fromthe analysis of a single recorded online hologram. The analysis propose that the inlinehologram is the result of a reference wave generated only by the pupil and a modifiedobject that can be represented by a mathematical series. The phase approximationis very close to the original object phase. To apply the method, the object must bebounded by a support or pupil. The noise remaining in the object is removed using aniterative algorithm.

From the simulations results we found that the calculated approximationis very close to the original object phase. This first approximation only has noise distor-tions in a very small phase range. Even this noise is in the whole field, it affects mainlythin phases in the object. However, the iterative algorithm is capable of eliminating the

137

noise and recover the original object. For this method we only require the recording ofa single intensity, the online hologram, to recover the object with good quality, but itis necessary we have a priori knowledge of the used pupil. The shape of the pupil alsocan be retrieved from the recorded intensity but that implies another process.

Retrieval of object phase using a phase shifting in

one step

The phase shifting is a technique used to recover complex objects accu-rately from the intensities pattern of several interferograms. The object amplitude andphase are recovered with high quality, without noise from the zero order or the conjugateobject present in the hologram. However, the method usually requires 3 or 4 hologramswith different phase shift to get a good retrieved object. The generation of the phaseshift through, retarded plates, fixed or electronic, mirrors mounted in piezo-electric orfixed grating, require a characterization process to generate the correct phase shift.

In the third proposed method we recover a phase object using a singlephase shift generated by the electronic displacement of a amplitude grating displayedon a LCD. The phase shift is generated in one of the grating diffraction order (+1or -1 order). This order is filtered and used as object illumination beam. The gratingelectronic displacement generate an exact phase shifting required by the phase shiftingmethod.

In the simulations of this method we demonstrate that it is possible torecover the complex amplitude of the object using only two hologram with a single phaseshifting. In this case we only required to record two holograms and the intensities ofthe object and reference beams.

In the experimental results we found that the proposed method retrievecomplex amplitude of the object quickly and efficiently. The phase shifting generated isaccurate and consistent, allowing the successful recovery of the object. The electronicgrating displacement does not introduce mechanical vibrations in the system. The re-trieved object does not contain the zero-order or the conjugate object noise originallypresent in the holograms. This method can be applied to online or off-axis holograms.The conjugated object in the hologram does not affect the information of the retrievedobject. This method allows us use the whole CCD bandwidth.


Conclussion

In this work we presented three different methods that allow the recoveryof phase objects using digital holograms recorded using a CCD.

The first method recover objects with bandwidth equal to the bandwidthof the used CCD using an off-axis hologram. The method remove undersampling noisegenerated in the hologram by the slope of the reference beam, even when the objectbandwidth is equal to CCD bandwidth.

The second method recover complex objects free of noise using only oneonline Gabor hologram. In this method a first object approximation is calculated withlittle noise, this approximation is cleaned by an iterative algorithm.

The third method recover complex objects rapidly and efficiently usingonly two holograms with a electronically generated phase shift. The method is indepen-dent of the angle between the object and reference beams. This method use the wholeCCD bandwidth. That is the method recover objects with large or small bandwidth.

In this work we presented numerical simulations as well as experimentalresults of the proposed methods, these results demonstrated the correct feasibility ofthe three methods.

Thesis description

Chapter one presents the basic theory for development of the proposedmethods for phase retrieval. We present a brief review of holograms types and theirproperties. The differences between different types of holograms are also presented here.We remark the differences between on-axis and off-axis holograms, between Fresneland Fourier hologram , and finally between amplitude and phase holograms. This isto clarify the appropriate use of the three proposed methods in accordance with thekind of hologram used. This chapter also presents the basic theory of the Gerchberg-Saxton iterative algorithms, the technique of phase shift, the phase unwrapping anda brief explanation of how liquid crystal displays works in the amplitude mode. Thatknowledge will be used in the explanation of the three proposed methods in the nextchapters.

Chapter two presents a review of the basic concepts of the digital holo-graphic microscopy and a brief summary of the recent investigations in this field. Wealso present the most common problems in this area and the proposals that have beenmade to solve them. This in order to establish a general idea of the research evolutionin this area, since the three proposed methods are applied within it.

139

Third chapter presents a method to retrieve phase objects with largebandwidth using an off-axis Fresnel hologram. In this case the object is limited by asupport whose shape is used as data in an Gerchberg-Saxton iterative algorithm toretrieve the object information and to eliminate noise generated by the hologram itself,especially the undersampling noise. Numerical simulations of the proposed method areincluded.

Chapter Four introduce a method to retrieve the microscopic object phaseusing an online hologram and iterative algorithms. The advantage of this method lies ina proposed approximation of the object phase, obtained by the use of Taylor series andassuming that the object is delimited by a support. This approach reduces the numberof algorithm iterations and avoids the algorithm stagnation. The simulations results ofthis method are presented.

Fifth chapter presents a method to retrieve phase objects using a phaseshift of two steps generated by the displacement of an amplitude grating. In this methodwe require to record the information from two holograms and the intensities of the objectand reference beams, propagated freely in the hologram plane. The generation of thephase shift is uniform and controlled, which allows us to use a single phase shift forrecover the complex field of the object without ambiguities. In this case the result isindependent of the angle between the object and reference beams. This allows to processobjects with large bandwidth.

Chapter six presents the preliminary experiment results obtained by apply-ing the methods presented in chapters three and five. In the case of Chapter threemethod we presents two cases, the first where we use a pupil elaborated in a metalsheet and the second in which we use as pupil a reduced diaphragm image. In bothcases we used as sample an array of microlens with a square support. The microlensbandwidth is large relative to the used CCD bandwidth. In the case of the phase shiftmethod, proposed in chapter five, the amplitude grating is displayed on a LCD andits displacement is performance electronically. This method reduces the introduction ofmechanical noise to the system and generates a uniform and controlled phase shift. Inthis case we present the experimental results for two different phase objects, the mi-crolens array and a bleached fringe patterns in a photographic plate containing differentfringe widths.

Seventh chapter presents the conclusion derived from this work.

Indice de figuras

1.1. Tipos de hologramas, angulo entre los haces . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Reconstruccion de hologramas en linea [Har86]. . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Reconstruccion de hologramas fuera de eje [Cau79]. . . . . . . . . . . . 12

1.4. Tipos de holograma, distancia de grabacion . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Perıodo de franjas entre dos ondas con un angulo θ entre ellas [Hec00]. 19

1.6. Ancho de banda angular de un holograma . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7. Espectro de la transformada de Fourier de un holograma . . . . . . . . 21

1.8. Reconstrucion de un holograma de Fresnel fuera de eje. . . . . . . . . . 23

1.9. Diagramas de los algoritmos (a)Reduccion de error (b) Entrada Salida. 28

1.10. Pantalla de cristal liquido nematico, configuracion para modo de amplitud. 34

2.1. Grabacion de holograma de Fresnel de una muestra microscopica. . . . 40

2.2. Reconstruccion de diversos planos de un objeto . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Relacion de angulos para hologramas fuera de eje. . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Transformada de Fourier de un holograma fuera de eje sin orden cero . 56

3.3. Ancho angular de una lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4. Simulacion del metodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

141

142 INDICE DE FIGURAS

3.5. Simulacion con objetos de ancho de banda mayor . . . . . . . . . . . . 64

3.6. Simulacion de objetos de ancho de banda mayor con elementos delgados 66

3.7. Error, simulacion objetos ancho de banda grande . . . . . . . . . . . . 67

3.8. Evolucion de la fase delgada en las iteraciones del algoritmo iterativo. . 68

3.9. Simulacion, objetos de ancho de banda grande y submuestreo . . . . . . 70

3.10. Error, simulacion hologramas con submuestreo . . . . . . . . . . . . . . 70

3.11. Lentecilla de fase delgada, algoritmo iterativo . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1. Simulacion del metodo usando hologramas en lınea . . . . . . . . . . . 85

4.2. Recuperacion del objeto usando hologramas en lınea . . . . . . . . . . . 86

5.1. Rejilla de amplitud inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2. Rejilla de amplitud desplazada ∆x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Simulacion usando el metodo de corrimiento de fase . . . . . . . . . . . 98

5.4. Fase del objeto recuperado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1. Grafica de caracterizacion de la CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2. Arreglo optico, primer metodo con pupila metalica . . . . . . . . . . . 106

6.3. Experimentos usando un holograma fuera de eje y algoritmos iterativos 107

6.4. Disminucion de error, pupila fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5. Objeto recuperado usando algoritmos iterativos . . . . . . . . . . . . . 110

6.6. Experimentos usando una imagen compuesta para la amplitud del objeto 111

6.7. Disminucion de error, imagen compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.8. Arreglo optico, primer metodo usando imagen de pupila . . . . . . . . . 113

6.9. Experimento usando una imagen como pupila . . . . . . . . . . . . . . 114

INDICE DE FIGURAS 143

6.10. Disminucion de error, imagen de pupila . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.11. Objeto recuperado usando una imagen como pupila . . . . . . . . . . . 117

6.12. Arreglo optico, corrimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.13. Experimento usando corrimiento de fase y una placa fotografica blanqueada121

6.14. Objeto recuperado, placa fotografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.15. Experimento usando corrimiento de fase y un arreglo de microlentes . . 124

6.16. Objeto recuperado, arreglo de microlentes . . . . . . . . . . . . . . . . 125

144 INDICE DE FIGURAS

Indice de cuadros

3.1. Parametros generales de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2. Parametros de lentecillas, metodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3. Parametros de lentecillas, objetos con ancho de banda mayor . . . . . . 63

3.4. Parametros de lentecillas, con objetos delgados . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5. Parametros de lentecillas, con submuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . 69



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Recuperación de objetos de fase con microscopía ... · la vibraci on de cada punto, se dice que...

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