C.E.C.O N° 4 (Algoritmos y lenguajes)

Recursividad

Integrantes:Buslaiman, EmeliCortés, CristianDiaz, María RosaOliva, CristianPáez, María Vanesa

DefiniciónEs un concepto fundamental en matemáticas y en computación.

El proceso de resolver un problema reduciéndolo a uno o mas sub problemas.

Un proceso es recursivo si forma parte de si mismo.

Tipos de Recursividad

Recursividad Directa.

Recursividad Indirecta.

Algoritmo Recursivo

Es un algoritmo que expresa la solución de un problema en términos de una llamada a si

mismo.

Reglas para realizar un Algoritmo

1) Caso Base.2) Progreso.3) Credibilidad.4) Interés compuesto.

Ventajas e Inconvenientes

La principal ventaja es la simplicidad de compresión y su gran potencia.

El principal inconveniente es la ineficiencia tanto en tiempo como en memoria.

ImplementaciónLa recursividad es un método poderoso usado en inteligencia artificial.

Las fórmulas recursivas pueden aplicarse a situaciones Matemáticas, etc.

Existen ciertas estructuras cuya definición es recursiva.

Recursión Vs Iteración

Tanto la iteración como la recursión se basan en estructuras de control

La iteración utiliza una estructura repetitiva.

La recursión una estructura de selección.

Asignación de memoriaLa memoria de un ordenador a la hora de ejecutar un programa queda dividida en dos partes:

La zona donde se almacena el código del programa

La zona donde se guardan los datos: pila (utilizada para llamadas recursivas).

Programa principal llama a una rutina “M”.

Se crea en la pila de un registro de activación o entorno “E”.

Almacena constantes, variables locales y parámetros formales.

Estos registros se van apilando conforme se llaman sucesivamente desde una función a otras.

Cuando finaliza la ejecución, se va liberando el espacio.

Ejemplos de Recursividad

EL FACTORIAL !PARA

RECORDAR

Se llama n factorial o

factorial de n al producto de todos los

naturales desde 1 hasta n.

3!= 1 * 2 * 33!=6

//Solución no

estructurada

int factorial (int n) {

if (n==0)

//Caso base

return 1;

else

//Caso General

return n*factorial(n-

1);

}

4!=4* 3!

3!= 3*2!

2!= 2 *1!

1!= 1 *0!

0!= 1

Ejemplo:

4!=4* 3!

3!= 3*2!

2!= 2 *1!

1!= 1 *1

4!=4* 3!

3!= 3*2!

2!= 2

4!=4* 3!

3!= 6 4!=24

2 3 4

BÚSQUEDA DICOTOMICA

2 3 4 5 6 7 81 9

Valor a

buscar

3

1

3 4

Int desde,hasta,medio,elemento,posicion; // desde y // hasta indican los límites del array que se está mirando.

int array[N]; // Dar valor a elemento. 

for(desde=0,hasta=N-1;desde<=hasta;){

if(desde==hasta) // si el array sólo tiene un elemento: {

if(array[desde]==elemento) // si es la solución:

posicion=desde; // darle el valor.

else // si no es el valor:

posicion=-1; // no está en el array.

break; // Salir del bucle. }

medio=(desde+hasta)/2; // Divide el array en dos.

if(array[medio]==elemento) // Si coincide con el central: {

posicion=medio; // ese es la solución

break; // y sale del bucle. }

else if(array[medio]>elemento) // si es menor:

hasta=medio-1; // elige el array izquierda.

else // y si es mayor:

desde=medio+1; // elige el array de la derecha. }

EL PRODUCTO

int producto (int a, int b){if (b==0) return (0);else return (a+ producto (a, b-1));}

Producto(3,2)= 3 + producto(3,1)

Producto (3,2)= 3 + 3Producto(3,2)=6

Producto(3,1)= 3 + producto(3,0) = 3 + 0

Recursividad en ListasLa estructura de listas es recursiva cuando (el “resto” de una lista es a su vez una lista), la mayoría de los programas sobre listas serán recursivos de forma natural.Ejemplo: Supongamos que tenemos la lista de las personas que asistirán a un a reunión y queremos averiguar si una determinada persona irá a ella.

En Prolog seria: miembro(X, L)" que significa X es miembro de la lista L.1. miembro(X, [X|Y]).2. miembro(X, [Y|Z]) :- miembro(X,Z).

Una posible pregunta al programa es: ? miembro(pedro, [maría, pedro, juan, ana]).

? miembro(pedro, [maria, pedro, juan, ana]).

2. {X1®pedro, Y1®maria, Z1® [pedro,juan,ana]}

? miembro(pedro, [pedro, juan, ana]).

1. {X2®pedro, Y2® [juan,ana]}ı EXITO (la contestación es si)

Un árbol (tree) es un tipo de dato abstracto (T.D.A.) que consta de un conjunto finito T de nodos y una relación R (paternidad) entre los nodos tal que: Hay un nodo, especialmente designado, llamado la raíz del árbol T.

A

D E F G

CB

A

D E F G

CB

Definición de Árbol

En Prolog seria:es_padre(B,D):- es_hijo(D,B).

es_nieto(D,A):- es_padre(B,D), es_padre(A,B).

A

D E F G

CB

A

D E F G

CB

Códigos de Árbol

Un grafo (en inglés graph) es un T.D.A. que representa un conjunto finito N de nodos, llamados vértices, relacionados entre sí por un conjunto R de arcos.

AB

DC

E

Grafo con 5 vértices y 6 arcos.

Vértices del Grafo

N ={ A, B, C, D, E }

Arcos del Grafo

R={(A, A), (A, B), (A, D), (A, C), (D, C), (C, E)}

Grafos

A B C D E

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 1 0 00

1

2

3

4

AB

DC

E

Vértices

Matriz de Adyacencia

Representación Matricial de Grafos

Sucesión de FibonacciEn matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

0,1,1,2,3,5,8,13………..A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".

Número de MesExplicación de la genealogía Parejas de conejos totales

Fin del mes 0 0 conejos vivos. 0 parejas en total.

Comienzo del mes 1Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.

Fin del mes 1La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.

1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.

1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3

La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.

2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4

Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.

3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.

5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6

A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.

8+5=13 parejas en total.

... ... ...

Fin del mes 12 ... ...

22

Ejemplo: Serie de FibonacciValores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8... Cada término de la serie suma los 2 anteriores. Fórmula recursivafib(n) = fib (n - 1) + fib (n - 2)

Caso base: Fib (0)=0; Fib (1)=1 Caso recursivo: Fib (i) = Fib (i -1) + Fib(i -2)

public static int fib(int n){if (n <= 1) return n; //condición base

else return fib(n-1)+fib(n-2); //condición recursiva}

La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la izquierda) es un número

especial que vale aproximadamente 1,618

Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y

otras áreas.

Razón de oro

Aplicaciones de Fibonacci

La idea

la parte larga dividida entre la corta

es igual que

el total dividido entre la parte larga

Si divides una línea en dos partes de manera que:entonces tienes la razón de oro.

Aplicaciones de Fibonacci

Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A B   B / A

2 3   1.5

3 5   1.666666666...

5 8   1.6

8 13   1.625

... ...   ...

144

233   1.61805

5556...

233

377   1.61802

5751...

... ...   ...

FractalesUn fractal es un objeto o cantidad que muestra auto-semejanza en todas las escalas y cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.

¿Por qué se llaman fractales?

El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín “fractus”, que significa quebrado o fracturado.

Aplicaciones

Fenómenos Naturales.Lingüística.Psicología.Aplicaciones electrónicas.

Teoría matemática encargada de realizar sistemas con comportamiento impredecibles y aparentemente aleatorios.

Teoría del Caos

Curva de Koch

Iniciador

Generador i=1

i=2

i=3

Se construye dividiendo un segmento en partes iguales.

Curva de Koch

Avanzar el primer tercio.Girar 60° a la izquierda.Avanzar otro tercio.Girar 60° a la derecha.Girar 60° a la derecha.Avanzar otro tercio.Girar 60° a la izquierda.Avanzar el último tercio.

Triangulo de Sierpinski

A

CB

Se construye dividiendo el triángulo en 3 triángulos más pequeños.

Triangulo de Sierpinski

Sierpinski = 0

Sierpinski = 1

Sierpinski = 2

Curva Hilbert

Se construye dividiendo un cuadrado en partes iguales uniendo sus centros.

Imágenes Fractales

Fin...