Redes Dos Puertas

Anlisis de redes IIRedes de dos Puertos

R. [email protected]

Universidad de Chile 2007

Anlisis de redes II p. 1/??

ANALISIS DE REDES II

Parte 2:

Anlisis de redes de dos puertas


IntroduccinHasta este momento el estudio de las redes elctricasse ha centrado en cuircuitos con una pareja determinales.

El estudio de los teoremas de redes vistos en eltema anterior nos ayudarn a simplificar su anlisissobre la base que hablamos siempre de una parejade terminales

En algunos sistemas elctricos resulta convenientecentrarse en dos parejas de terminales distintos.

Estas parejas de terminales representan los puntosa travs de los cuales se introducen o extraenseales en el sistema, llamaremos puertos.


IntroduccinEn este tema centraremos nuestro estudio. En redesque tengan un puerto de entrada y uno de salida.La cual esta sujeta a las siguientes restricciones

No puede haber energa almacenada en el circuitoTampoco puede haber dentro del circuito fuentesindependientes pero si dependientela corriente que entra a travs de un puerto debe serigual a la corriente que sale del mismo, es decir,i1 = i

1 e i2 = i

2

No esta permitido realizar conexiones entre lospuertos, es decir, entre las terminales

Estas restricciones simplemente limitan el rango de losproblemas de circuitos a los que son aplicables lasfrmulas relativas a los cuadripolos.


Redes de dos puertos

El principio de estudio de las redes de dos puertos se basaen el hecho de que SOLO nos interesa conocer lasvariables en las terminales y no las corrientes ni tensionesinternas del circuito.Una aplicacin que se encuentra frecuentemente en laprctica es el uso de un dispositivo que sirva para transmitiruna seal de informacin. Por ejemplo en: Transistores,Transformadores, Inductancias acopladas, Amplificadores,Filtros, Lneas de transmisin.



El principio de estudio de las redes de dos puertos se basaen el hecho de que SOLO nos interesa conocer lasvariables en las terminales y no las corrientes ni tensionesinternas del circuito.Una aplicacin que se encuentra frecuentemente en laprctica es el uso de un dispositivo que sirva para transmitiruna seal de informacin. Por ejemplo en: Transistores,Transformadores, Inductancias acopladas, Amplificadores,Filtros, Lneas de transmisin.Dicho dispositivo adems de transmitir la seal, algunasveces, la debe amplificar, filtrar o modificar de algunaforma, otras veces tambin se utiliza para proporcionar unacoplamiento entre la seal de entrada y la carga.



Al considerar un circuito como una red de dos puertos, loque nos intersa es relacionar la corriente y la tensin enuno de los puertos con la corriente y tensin en el otro.La configuracin general de una red de 2 puertos muestraen la Fig 1, en el que por conveniencia el subndice 1 seasigna a las variables del puerto de entrada y el subndice2 a las variables del puerto de salida. Figura 1:a)Configuracin genreal de una red de dos puertas, b)Condicin de las corrientes



Como la configuracin general del bipuerto tiene cuatroterminales, es tericamente posible definir una variablepara cada una de las corrientes en cada terminal.Para eliminar esta posibilidad, cada puerto de la red debesatisfacer la siguiente la condicin: la corriente que entra auna de las terminales de un puerto es, para todo tiempo,igual a la corriente que sale por la otra terminal del mismopuerto; tal como muestra la Fig. 1.(b).



Es decir, una vez que se definen dos de las variablespodremos encontrar las dos incognitas restantes.Puesto que ahora tenemos cuatro variables, I1, I2, V1 y V2 ,en lugar de las dos que se requieren para describir una redde un puerto, ahora se necesitan dos ecuaciones pararelacionarlas. Esas ecuaciones tienen la siguiente formageneral.

U1(s) = k11(s)W1(s) + k12(s)W2(s)

U2(s) = K21(s)W1(s) + k22(s)W2(s) (1)

donde U1(s), U2(s),W1(s),W2(s) pueder ser cualquiera delas variables I1(s), I2(s), V1(s), V2(s). Los kij(s) sedenominan parmetros de red y son funciones de red quelas relacionan.



Hay seis formas distintas en las que se pueden combinarlas cuatro variables.Los posibles valores que pueden tomar U1(s), U2(s) y W1(s)y W2(s) se muestran en la siguiente tabla.



Importante: Cada conjunto tiene propiedadesespecficas diferentes otro y adecuado para aplicarlo aciertas configuraciones de redes.De estos seis conjuntos podemos considerar tresparejas de relaciones mutuamente inversas

El caso num.1 proporciona las tensiones de entraday de salida en funcin de las corrientes de entrada yde salidaEl caso num.2 nos da la relacin inversa, es decir,las corrientes de entrada y de salida en funcin delas tensiones de entrada y salida.Los cuatros casos restantes representan relacionesinversas


Matriz de Impedancia de c.a.

Consederaremos el primer caso de la Tabla 1, dondesustituyendo las variables en la 1 tenemos

V1(s) = z11(s)I1(s) + z12(s)I2(s)

V2(s) = z21(s)I1(s) + z22(s)I2(s) (2)

expresando la ecuacin matricial tenemos: V = ZI, dondeZ se denomina matriz de parmetros z y sus elementoszij(s) parmetros z.



Para una red dada, los parmetros z pueden determinarseaplicando un conjunto de entradas de prueba a la red.Para ver esto, considere la primera ecuacin de (2); si elpuerto de salida de la red est en circuito abierto, entoncesI2(s) = 0, quedando la ecuacin

V1(s) = z11(s)I1(s)|I2(s)=0

recordando que las funciones de red se definen como(transformada de la salida)/(transformada de la entrada),tenemos que

z11 =V1(s)

I1(s)|I2(s)=0 Impedancia de entrada con salida en c.a



Llevando a cabo un procedimiento similar para para z21(s)tenemos

z21 =V2(s)

I1(s)|I2(s)=0 Impedancia de transferencia directa con salida en c.a

Los otros dos parmetros zij , restantes, puedenencontrarse aplicando una corriente en el otro puerto:



z22 =V2(s)

I2(s)|I1(s)=0-Impedancia de salida con entrada en c.a

z12 =V1(s)

I2(s)|I1(s)=0-Impedancia de transferencia inversa con entrada en

es decir [V1(s)

V2(s)

]=

[z11 z12

z21 z22

]

Z

[I1(s)

I2(s)

]

donde Z es la matriz de Impedancia de circuito abierto.



Su circuito equivalente es



Al sumar y restar z12 en la expresin de V2 podemos verque

V2 = z12I1 + z22I2 + (z21 z12)I1

Lo que nos da opcin a un segundo circuito equivalente-denominado circuito en T; con una sola fuentedependiente



ObservacionesLa condicin de circuito abierto implica que I2(s) = 0por lo que del sistema (3) tenemos que

V2(s)

V1(s)=

z21(s)

z11(s)



ObservacionesOtro problema podra ser, determinar la impedancia deentrada V1(s)

I1(s)cuando el puerto de salida est en corto

circuito.Si el puerto de salida se encuentra en corto circuitoentonces V2(s) = 0; del sistema (3) tenemosz21I1 + z22I2 = 0

Despejando I2 y sustituyendola en la primera ecuacinde (3) obtenemos

V1(s)

I1(s)= z11(s)

z12(s)z21(s)

z22(s)



Ejemplo: Calcule los parmetros z para el siguiente circuitoComo el circuito es puramente resistivo su equivalente enel dominio de s tambien es puramente resistivo.



Con el puerto 2 abierto,es decir I2 = 0 la resistencia que seve en p1 es la rsistencia de 20 en paraleo con lasresisrencias de 15 y 5. Por lo tanto

z11 =V1I1|I2=0 =

20(20)

40= 10

Cuando I2 = 0 V2 es

V2 =V1

15 + 5= 0.75V1



por lo quez21 =

V2I1|I2=0 =

0.75V1V1/10

= 7.5

Ahora, cuando I1 = 0 la resistencia que se ve al mirar haciael puerto 2es la resistencia de 15en paraleo con lacombinacin de resistencia de 20 y 5. Por lo tanto

z22 =V2I2|I1=0 =

15(25)

40= 9.375

Cuando el puerto 1 est abierto, I1 es cero y la tensin V1es

V1 =V2

5 + 20(20) = 0.8V2



Con el puerto 1 abierto, la corriente que entra por el puerto2 es

I2 =V2

9.375

Por lo tanto

z12 =V1I2|I1=0 =

0.8V2V2/9.375

= 7.5

Por lo consiguiente las impedancias a circuito abiertotienen los siguiente valores

z11 = 10 z12 = 7.5

z21 = 7.5 z22 = 9.375


Matriz de Impedancia de c.c.

Considerando el segundo caso de la Tabla 1, donde losparmetros del bipuerto son funciones de red condimensiones de admitancia, yij(s), que especifican a lascorrientes de los puertos como funciones de los voltajesV1(s) y V2(s), o sea

I(s) = Y (s)V (s) =

[y11 y12

y21 y22

]

Y

[V1(s)

V2(s)

]

donde Y es la matriz de admitancia de corto circuito.



Dos de los cuatro parmetros, y11(s) y y21(s), puedenencontrarse aplicando una fuente de voltaje en el puerto 1y poniendo en corto circuito el puerto 2; midiendo lascorrientes resultantes en cada puerto. Los otros dosparmetros se encuentran en forma similar, aplicando unvoltaje de entrada en el puerto 2 y poniendo en cortocircuito el puerto 1.



su circuito equivalente viene dado por:



o bien con una sola fuente dependiente,mediante el circuito equivalente.Obtenido al sumar y restar y12V1 en la ecuacin de I2, esdecir, I2 = y12V1 + y22V2 + (y21 y12)V1


Relacin entre Z e YSe ha mostrado que V (s) = Z(s)I(s), premultiplicando laecuacin anterior por la matriz de parmetros Y(s) tenemos

Y (s)V (s) = Y (s)Z(s)I(s)

considerando que I(s) = Y (s)V (s) se concluye que

Y (s) = Z1(s)oZ(s) = Y 1(s)

de tal forma:

Z(s) = Y 1(s) =1

Y (s)

[y22 y12

y21 y11

]dondeY (s) = det[Y (s)]


Relacin entre Z e Yde tal forma

z11 =y22

Y (s)z12 =

y12Y (s)

z21 = y21

Y (s)z11 =

y11Y (s)

Por lo mencionado anteriormente tenemos que

Y (s) = Z1(s)

donde

y11 =z22

Z(s)y12 =

z12Z(s)

y21 = z21

Z(s)y22 =

z11Z(s)


Cuadripolo con terminacin

La siguiente figura muestra un modelo de cuadriopolo conuna terminacin tpica.

Zg representa la impedancia interna de la fuenteVg es la tensin interna de la fuenteZL es la impedancia de carga



El anlisis de este circuito requiere expresar las corrientesy tensiones en las terminales en funcin de los parmetrosdel cuadripolo de Vg, ZL y ZgSon seis caractersticas del cuadripolo con terminacin quedefinen el comportamiento es sus terminales

La impedancia de entrada Zin = V1I1 o la admitanciaYin =

I1V1

La corriente de salida I2La tensin y la impedancia de Thevenin con respecto alpuerto 2la ganancia de corriente I2I1La ganancia de tensin V2V1



La solucin de este problema lo resolveremos con losparmetros z.Utilizando las ecuaciones de los parmetros z, las cuatroecuaciones que describen el circuito dado son:

V1 = z11I1 + z12I2 (3)V2 = z21I1 + z22I2 (4)V1 = Vg I1Zg restricciones por las terminaciones (5)V2 = I2ZL restricciones por las terminaciones (6)


Cuadripolo con terminacinPara hallar la impedancia que se ve hacia el p1, es decir,Zin =

V1I1

, tenemos lo siguiente:En la segunda ecuacin del sistema anterior sustituimos V2por I2ZL y despejamos I2

I2 =z21I1ZL + z22

(7)

Por ltimo sustituimos esta ecuacin en la primeraecuacin del sistema (3) y depejamos Zin, t.q

Zin = z11 z12z21

z22 + ZL(8)


Redes de dos puertas Interconectadas

En algunas configuraciones de redes es posible simplificarel clculo de los parmetros, descomponiendo la red enestudio, en redes ms simples. Por ejemplo:

Conexin de dos bipuertos en serieConexin de dos bipuertos en paralelo



Para la red A con los voltajes y corrientes mostrados,podemos definir un conjunto de parmetros zAij(s) mediante

V A(s) =

[V A1 (s)

V A2 (s)

]=

[zA11 z

A12

zA21 zA22

] [IA1 (s)

IA2 (s)

]



y para B se define el conjunto de parmetros zBij (s) como

V B(s) =

[V B1 (s)

V B2 (s)

]=

[zB11 z

B12

zB21 zB22

] [IB1 (s)

IB2 (s)

]

De la Figura anterior, al aplicar las leyes de Kirchhoff, setiene:

V (s) = V A(s) + V B(s)

I(s) = IA(s) + IB(s)

t.q. V (s) = [ZA(s) + ZB(s)]I(S) = Z(s)I(s)



Concluyendo, para un bipuerto formado por dos bipuertosconectados en serie;. sus parmetros z puedenencontrarse sumando los parmetros z correspondientesde las redes que lo componen.Cabe hacer notar, que para una red recproca loselementos z(s)12 y z(s)21 son iguales y por consiguiente lamatriz de parmetros z es simtrica.



Considrese el circuito de dos puertos mostrado en lasiguiente figura.

Este tipo de configuracin es llamado conexin paralelo dedos bipuertos.



Para el bipuerto A y B, la matriz de parmetros de cortocircuito esta dada respectivamente como

IA(s) =

[IA1 (s)

IA2 (s)

]=

[yA11 y

A12

yA21 yA22

] [V A1 (s)

V A2 (s)

]= yAV A(s)

IB(s) =

[IB1 (s)

IB2 (s)

]=

[yB11 y

B12

yB21 yB22

][V B1 (s)

V B2 (s)

]= yBV B(s)

De la Figura anterior, al aplicar las leyes de Kirchhoff, setiene:

I(s) = IA(s) + IB(s)

V1(s) = Va1 (s) = V

b2 (s) V2(s) = V

a2 (s) = V

b2 (s)



tal queI(s) = [yA(s) + yB(s)]V (s) = y(s)V (s)

As, los parmetros yij de todo el bipuerto, puedencalcularse sumando los parmetros yij correspondientes decada uno de los bipuertos individuales que lo componen.



Ejemplo:Determine la funcin de transferencia del circuitode la Fig.

Para determinar la relacin que se desea, el circuito sepuede considerar que est constituido por dos bipuertosconectados en paralelo.



Teniendo en cuenta las propiedades del amplificadosoperacional ideal, esto es, considerando la ganancia delamplificador infinita, el potencial del nodo b es nulo, V b = 0;y dado que la impedancia de entrada del amplificadortambin se considera infinita, la corriente en la entradainversora es nula, I = 0, lo que implica que

I = IR1 + IZ3 + IR2 = 0

o tambienV1 VbR1

+Va VbZ3

+V2 VbR2

= I = 0



Como consecuencia de que V b = 0 e I = 0, el nodo b esreferido como tierra virtual. Considerando lo anterior elcircuito de la Fig. anterior, puede redibujarse como



Ntese la simulitud del circuito con el circuito con laconfiguracin en paralelo de dos puertos.De acuerdo a la ecuacin I(s) = IA(s) + IB(s) podemosescribir para el circuito las ecuaciones siguientes

I1(s) = Ia1 (s) + I

b1(s)

I2(s) = Ia2 (s) + I

b2(s) (9)

donde[Ia1 (s)

Ia2 (s)

]=

[ya11(s) y

a12(s)

ya21(s) ya22(s)

][V1(s)

V2(s)

]=

[za11(s) z

a12(s)

za21(s) za22(s)

]1 [

V1(s)

V2(s)

](10)



y para el bipuerto B

Ib1(s) =V1(s)

R1= IR1 (11)

Ib1(s) =V2(s)

R2= IR2 (12)

sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en (9) tenemoslo siguiente

I1(s) = ya11(s)V1(s) + y

a12(s)V2(s) +

V1(s)

R1

I2(s) = ya21(s)V1(s) + y

a22(s)V2(s) +

V2(s)

R2



Considerando que I = IR1 + IZ3 + IR2 = 0 y teniendo encuenta que IZ3 = Ia1 + Ia2

Ib1 + Ia1 + I

a2 + I

b2 = I1(s) + I2(s) = 0

por lo queV2(s)

V1(s)=

ya11(s) + ya21(s) +

1R1

ya12(s) + ya22(s) +

1R2

ecuacin que en funcin de Z1(s), Z2(s) y Z3(s) estadefinida como

V2(s)

V1(s)=

Z2Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3

+ 1R1Z1

Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3+ 1R2


Parmetros Hbridos1. A continuacin se presentan dos conjuntos de

parmetros que difieren en cuanto a la naturaleza delos vistos en las dos secciones anteriores. Sedenominan parmetros g y parmetros h ycolectivamente parmetros hbridos

2. Este nombre resulta apropiado debido a que loselementos individuales de cada conjunto tienendimensiones diferentes.

3. Eligiendo ahora como variables dependientes la tensinde salida V2 y la corriente de entrada I1, las ecuacionesdel cuadripolo pueden expresarse de la forma

I1 = f1(V1, I2)

V2 = f2(V1, I2)


Parmetros HbridosLa variacin de V1 e I2 supondran una variacin de V2 e I1:

dI1 =I1V1

dV1 +I1I2

dI2

dV2 =V2V1

dV1 +V2I2

dI2

En la regin quasi-lineal de las curvas de tensin/corrientey en margenes limitados (recordemos pequeasamplitudes), las derivadas parciales pueden considerarseconstantes. En esa region de trabajo, los valoresdiferenciales son proporcionales a los mximos, pudiendoescribirse como


Parmetros Hbridos[I1(s)

V2(s)

]=

[g11 g12

g21 g22

] [V1(s)

I2(s)

](13)

Dos de los cuatro parmetros se encuentran aplicando unafuente de voltaje como entrada en el puerto 1 y poniendoen circuito abierto el puerto 2. Los otros dos se encuentranaplicando una fuente de corriente como entrada en elpuerto 2 y poniendo en corto circuito el puerto 1.


Parmetros HbridosA partir de los parmetros g es posible encontrar cualquierotro conjunto de parmetros, si tal representacin existeComo ejemplo de lo anterior, se determinar la relacinque existe entre los parmetros g y los parmetros y. De lasegunda ecuacin de I(s) = Y (s)V (s) tenemos queI2(s) = y21(s)V1(s) + y22(s)V2(s).Despejando V 2 (s) y comparando con la segundaecuacin de 13 se tiene que

g21 = y21(s)

y22(s)

g22 =1

y22(s)


Parmetros HbridosRealizando el mismro pcedimiento pero ahora para laprimera ecuacin de I(s) = Y (s)V (s) e igualando despuscon la primera ecuacin de 13 tenemos

g11 = y11(s)y22(s) y12(s)y21(s)

y22(s)

g12 = y12(s)

y22(s)


Parmetros HbridosDe las ecuaciones anteriorres[

g11 g12

g21 g22

]=

1

y22(s)

[detY (s)/y22(s) y12(s)

y21(s) 1

]

donde detY (s) = y11(s)y22(s) y12(s)y21(s)Es importante notar que para un bipuerto dado, si losparmetros y existen, los parmetros g tambin existirn siy slo si y22(s) 6= 0.


Parmetros HbridosLos parmetros h de un bipuerto son las funciones de redhij(s) que especifican el voltaje del puerto 1 y la corrientedel puerto 2 como funciones de las otras variables. Lasrelaciones son [

V1(s)

I2(s)

]=

[h11 h12

h21 h22

] [I1(s)

V2(s)

](14)

Dos de los cuatro parmetros se encuentran aplicando unafuente de corriente de entrada en el puerto 1, poniendo encorto circuito el puerto 2.


Parmetros HbridosLos otros dos parmetros se encuentran aplicando unafuente de voltaje de prueba en el puerto 2 y poniendo encircuito abierto el puerto 1.En la figura se muestran lascondiciones anteriores.


Parmetros Hbridosdonde

hi=h11=Impedancia de entrada con salida en cc.hr=h12=Ganancia inversa de tensin, con entrada en cahf=h21=Ganancia directa de corriente con salida en ccho=h22=Admitancia de salida con entrada en c.a.


Parmetros HbridosAplicando el teorema de Thevenin al puerto de entrada y elde Norton al puerto de salida, se obtiene el modelo hbridocuyo circuito equivalente es


Parmetros HbridosDe la misma forma que para los parmetros z e y existeuna relacin entre la matriz de parmetros g y y la matrizde parmetros H de la forma H(s) = G(s)1oG(s) = H(s)1Usualmente la matriz hbrida H es la ms usada.


Tarea

Hallar los parmetros hbridos [h] de la red mostrada en lasiguiente figura cuando = 2rad/seg


ANALISIS DE REDES IIIntroduccinIntroduccinRedes de dos puertosRedes de dos puertos

Redes de dos puertosRedes de dos puertosRedes de dos puertosRedes de dos puertosRedes de dos puertosMatriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.a.Matriz de Impedancia de c.c.Matriz de Impedancia de c.c.Matriz de Impedancia de c.c.Matriz de Impedancia de c.c.Relacin entre Z e YRelacin entre Z e YCuadripolo con terminacinCuadripolo con terminacinCuadripolo con terminacinCuadripolo con terminacinRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasRedes de dos puertas InterconectadasParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosParmetros HbridosTarea

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