Redes malladas

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1 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL

Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología

TEMA 4

Redes Malladas

HIDRAULICA APLICADACódigo 325

3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL

Curso 2005/06

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Formulación del sistema global de ecuaciones

En un modelo cualquiera, las variables que queremos determinar para que la red esté totalmente definida serán:

• Caudales internos que circulan por una línea del nodo i al j: qij

• Caudales externos aplicados a cada nudo i: Qi

• Altura piezométrica de cada nudo i: Hi

• Presión en cada nudo i: pi

• Pérdidas de carga en cada línea del nodo i al j: hij

Existen dos ecuaciones básicas que podemos utilizar en todo momento. Por un lado la ecuación de continuidad aplicada a cada nudo:

iint

jij Qq =∑

=1i = 1..N Tantas ecuaciones como nudos tenga la red ,N nudos.

( N ecuaciones )Número de líneas conectadas al nudo i

j índice de las líneas conectas al nudo i

Caudal trasegado a través de la línea que une el nudo j con el i

Caudal consumido o aportado en el nudo i

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También podemos añadir una ecuación de conservación global aplicada a toda la red:

01

=∑=

N

iiQ ( 1 Ecuación )

Criterio de signos

qij: + cuando el caudal va de i a j

- cuando el caudal va de j a i

Qi: + cuando entra a la red

- cuando sale de la red

Ejemplo:

33

13 Qq

nt

jj =∑

=3353231 Qqqq =++ )50()2.71()6.18()8.139( −=++++−Nudo 3:

01

=∑=

N

iiQ 0654321 =+++++ QQQQQQ

0)100()50()50()50()50()300( =−+−+−+−+−++

Global:

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Disponemos de N+1 ecuaciones, pero de ellas, sólo N son independientes, ya que la ecuación global la podemos extraer de la suma de todas las ecuaciones de conservación aplicadas a cada uno de los nudos de la red.

También podemos disponer de ecuaciones que nos liguen el caudal circulante por un elemento de la red y la diferencia de altura piezométrica en sus extremos:

1.. −=−=

nijijijjiij qqRHHh ( Usualmente n = 2 en la mayoría de

elementos de la red, pero no en todos )

¿ que significa esta ecuación tan rara? Es una forma compacta de expresar muchas cosas. Por ejemplo, en una tubería, la perdida la podemos expresar como:

252 .

..

..8ij

ij

ijijij q

Dg

Lfh

π=

1252 ........

..

..8 −==== ijijijijijijijijijijij

ij

ijijij qqRqqRqqRqq

Dg

Lfh

π

Así tengo en cuenta el signo

En una red mallada, en la malla se tiene que cumplir que la suma de todas las pérdidas , con su signo han de ser cero.¿ Con su signo ? Es una forma de indicar si la altura piezométrica sube ( + , Hi>Hj) o baja ( - , Hi<Hj). Una forma fácil de saber esto es mirando el signo del caudal, si va de i a j es por que Hi es mayor que Hj, por tanto, si qij es +, hij también lo será. Pero si expresamos q2, el signo desaparece. Pues lo que haremos es multiplicar ‘una’ q por el módulo de las restantes, que da lo mismo, pero que el producto mantiene el signo de la q. De forma genérica, la pérdida en un elemento la podemos expresar siempre como una resistencia R multiplicada por q elevado a un exponente n genérico.

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Podré disponer de L ecuaciones resistentes, tantas como las L líneas de la malla.

Vale la pena comentar uno casos un tanto especiales.

• Líneas ficticias: Como veremos después, existen casos en los que vale la pena definir una línea ficticia entre dos puntos de la red de altura piezométrica conocida. Por tanto, en ese caso la ecuación se reduce a :

.CteHHh jiij =−=

•Bombas: En este caso tenemos un elemento que nos proporciona energía, lo que aumenta la altura piezométrica a la salida de la bomba. Es decir hay un aumento de altura en el sentido de avance del caudal, por tanto, la ‘pérdida’ que caracteriza ese elemento debe ser negativa según nuestro criterio:

).( 2,0, ijijijbombaijjiij QAHhHHh −−=−=−=

• Válvulas: En el próximo tema las trataremos con más detalle.

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Además puedo plantear M ecuaciones de malla. Esta resulta de aplicar la ecuación de conservación de la energía al circuito cerrado que constituye la malla. Se trata de una suma algebraica de las pérdidas que ha de sumar cero en un circuito cerrado. Siguiendo el criterio anterior, asociamos el signo de las pérdidas con el signo del caudal:

Aquí el criterio de signo es que si el caudal coincide con el sentido de giro de la malla, asignado de forma arbitraria por nosotros, el sentido es +, si no -.

eadecdbcab hhhhh +=++

0=−−++ eadecdbcab hhhhh

( )( )

0,

=∑ ±∈ lBji

ijh Donde Bl representa el conjunto de líneas pertenecientes a la malla l.

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EN la elección de las mallas se ha de ser cuidadoso. Se ha de elegir mallas que sean independientes, para así disponer de M ecuaciones linealmente independientes. Por ejemplo:

Malla I: 1-2-4

Malla II: 2-3-4

Malla III: 1-2-3-4

Podemos definir tres mallas, pero sólo dos son independientes.

¿ Y como se yo cuantas mallas independientes tengo ? Muy fácil, en una red con L líneas y N nudos, el número de mallas linealmente independientes viene dado por:

M=L-N+1

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Las líneas ficticias se añaden entre nudos de altura conocida. Son líneas a través de las cuales no circula ningún caudal. Las mallas en las que forman parte de una línea ficticia se la denomina Malla Ficticia. Habrá tantas líneas ficticias como nudos de altura conocida menos una.

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En resumen, el número de variables del problema serán:

L Caudales de línea qij

L Pérdidas de carga hij

N Alturas piezométricas Hi

N Caudales de Nudo Qi

Tenemos N-1 ecuaciones de conservación de la masa independientes aplicadas a los nudos. Y tenemos M ecuaciones de malla:

M + (N-1) = ( L – N + 1 ) + ( N – 1 ) = L Ecuaciones

Pero además, tenemos L ecuaciones de línea o resistentes aplicadas a las L líneas. Por tanto, en total tenemos 2L ecuaciones para las 2L incógnitas. Nos falta 2N. N son datos y las restantes N son las incógnitas que debemos resolver.

Para definir correctamente el problema y obtener una única solución es necesario disponer de la altura piezométrica de al menos un nudo.

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Cálculo de redes malladas

a.- Formulación por líneas. Ecuaciones en Q

Np: Número de Nudo de altura conocida

Nq: Número de Nudo de caudal conocido

Lr: Número de Líneas Reales

Lf: Número de Líneas Ficticias ( Lf=Np-1 )

Mr: Número de mallas reales

Mf: Número de mallas ficticias

N = Np + Nq

L = Lf + Lr

M = Mf + Mr

Disponemos de:

N-1 ecuaciones independientes de las ecuaciones de continuidad en los nudos: iint

jij Qq =∑

=1

M ecuaciones de malla, donde se sustituye la hij por su expresión de comportamiento del elemento.

( )( )

0)(,

=∑ ±∈ lBji

ijij qh

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En el caso de que el sistema esté formado por elementos resistentes:

iint

jij Qq =∑

=1N-1 Ecuaciones

( )( )

0,

1=∑ ±

∈

−

lBji

nijijij qqR M Ecuaciones

M + (N-1) = ( L – N + 1 ) + ( N – 1 ) = L Ecuaciones

Las únicas incógnitas son los L caudales de línea, y como tenemos L ecuaciones, el sistema estátotalmente determinado. Será necesario disponer de al menos una altura conocida para que la solución sea única. Cuando aparezca más de un nudo de altura conocida, se define una línea ficticia y por tanto una nueva malla ficticia independiente, lo que produce una nueva ecuación, lo que nos perimte seguir teniendo el problema determinado.

El sistema se llama de ecuaciones en q porque estas son las incógnitas únicas y aparecen de forma explícita en las ecuaciones. Una vez determinados los q de cada línea, aplicando Bernoulli entre cada nudo podemos determinar las alturas piezométricas.

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Ejemplo:

Ecuaciones de Malla

Cotas de todos los nudos son datos, asícomo las alturas piezométricas de los depósitos

Ec. Continuidad en los nudos

Mallas ficticias

Tenemos 13 ecuaciones, y 13 incógnitas: 10 caudales de líneas Qi, y tres caudales de consumo, C1,C2 y C3

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b.- Formulación por nudos. Ecuaciones en H

Se trata de utilizar las N ecuaciones de continuidad en los N nudos, pero replanteadas en términos de alturas piezométricas en vez de en términos de caudales, así conseguimos un sistema de N ecuaciones con N incógnitas, las Hi de cada nudo.

¿ Que ventajas obtengo de este sistema frente al anterior ? En primer lugar, el número de ecuaciones a resolver es menor. En una red mallada se cumple que L>N, en segundo lugar, no es necesario plantear mallas, ni conocer de forma detallada la topología de la red, sólo es necesario conocer las líneas conectadas a cada punto. Como desventaja, a parte de ser un sistema que no será línea como el anterior, la convergencia en términos generales suele ser más lenta que en el caso anterior.

¿ Cómo se consigue el paso de las ecuaciones de continuidad de la formulación den q a la formulación en H?

( )jiijijijij HHqhqq −== )()( ijijjiij qhHHh =−=

ijiiAj

ij QHHq =−∑∈

)( iijjiiAj

ij QRHHq =∑∈

),,(

Ai conjunto de nudos j conectados directamente al nudo i

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Por ejemplo, si el el elemento de la red se rige por la ecuación:

nijijij QRh .=

Podemos expresar

nji

nij

jin

ijn

ij

ijij

HHR

HH

hR

hQ 111111 .. −−

−

−==

jiij

jiij HHR

HHQ

−

−=

.SI se trata de tuberías, n = 2, y por tanto:

( ) 2,0

. jiij

jiijijij

HHA

HHHHHQ

−

−−−=).( 2

,0 ijijijijji qAHhHH −−==−SI se trata de bombas:

Una vez resuelto el sistema, mediante las ecuaciones características de cada línea es posible determinar el caudal circulante por cada línea.

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Ejemplo:

iijjiiAj

ij QRHHq =∑∈

),,(

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c.- Formulación por mallas. Ecuaciones en ∆Q

La formulación por mallas está basada en redefinir las incógnitas del problema de análisis hasta reducirlas a M incógnitas, los caudales correctores de malla ∆Q.

El primer paso será siempre es suponer una hipótesis de caudales, es decir, asignar a cada línea un caudal de forma arbitraria, pero de forma que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nodo. Bien, aunque cumplan el principio de continuidad en los nudos, ya sería casualidad que también cumpliera la condición de conservación de la energía en la malla, es decir, que las perdidas en el circuito cerrado fuesen cero. Así que se deberá corregir esos caudales iniciales. Estas correcciones deben respetar el balance de masa en cada nudo, lo que se consigue sumado o restando la misma cantidad corregida, ∆Q, en cada línea en función del sentido del caudal.

Así pues, los valores correctores , ∆Qr, tendrán un único valor en cada malla, de forma wue se cumplirá en cada malla que:

( ) ( ) 0*),(

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑ ∆±+∑ ±∈∈

ijn

ijMrrijr

ijijkBji

ij QqR

Conjunto de líneas de la malla k

Signo en función del sentido de giro

Caudal inicial en la línea de la malla

K = 1,..,M

Conjunto de mallas que de las cuales forma parte la línea ij

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Disponemos de M ecuaciones no lineales con M incógnitas, ∆Qr . Hay que tener en cuenta que las líneas que no formen parte de ninguna malla, se calcularán a posteriori como si de una red ramificada se tratase.

COMPARATIVA ENTRE MÉTODOS

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Métodos de Cálculo de redes malladas: El método de Hardy-Cross

El método desarrollado por Hardy-Cross es uno de los más extendido y utilizado. Se trata de un método que resuelve las ecuaciones de forma secuencial, y no todas a la vez, por lo que puede ser resuelto a mano o mediante ordenadores o calculadoras de pequeñas prestaciones. Hoy por hoy no es un método usual en los programas de cálculo ya que es poco versátil y su convergencia no es siempre segura y es lenta, pero aún así, sigue estando muy extendido como método de cálculo.

EL método se basa en las ecuaciones de malla:

( ) ( ) 0*),(

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑ ∆±+∑ ±∈∈

n

ijMrrijr

ijijkBji

ij QqR M ecuaciones

Desarrollando el binomio

[ ] ......!2

)1(.. 22,

1,,, +∆

−+∆±=∆+ −−

jn

jojn

jon

jon

jjo QqnnQqnqQq0≈

( ) ( ) ( ) 0..),(

1**),(

=∑∆+∑ ±∈

−

∈ kBji

nijijr

nijij

kBjiij qRQnqR

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( ) ( ) ( ) 0..),(

1**),(

=∑∆+∑ ±∈

−

∈ kBji

nijijr

nijij

kBjiij qRQnqR

Despejando

( ) ( )( )∑

∑ ±

−=∆

∈

−∈

kBji

nijij

nijij

kBjiij

rqRn

qRQ

),(

1*

*),(

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