1R 2R

1L 2LACV

Ley de Faraday

El voltaje inducido en una bobina es proporcional a la razón con respecto al tiempo del cambio de flujo y el número de vueltas N en la bobina.

+

V1(t)

-

+

V2(t)

-

)(1 ti )(2 ti

1I2I

• • dt

d 11φ

dt

d 22φ

dt

d 12φ

dt

dNtV 111 )(

φ=

dt

dNtV 222 )(

φ=

dt

dN

dt

dNtV 12

111

11 )(φφ +=

del circuito anterior :

:11φ Flujo de la bobina 1 producido por la corriente 1

:12φ Flujo de la bobina 1 producido por la corriente 2

)(

)(

212212

111111

tiPN

tiPN

==

φφ

dt

diNN

dt

diPNtV 2

211

11211 )( +=

Auto inductancia L11

Inductancia Mutua L12

P es una constante que depende de la trayectoria magnética

dt

diL

dt

diLtV 2

121

111 )( +=

dt

diL

dt

diLtV 1

212

222 )( +=

⇒

⇒

Consideraciones:Consideraciones:

1.- El medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, entonces se puede considerar que: L12=L21=M.

2.- Por conveniencia: L11=L1

L22=L2

3.- Al fin de indicar la relación física de las bobinas y por consiguiente simplificar la convención de los signos para los términos mutuos, empleamos lo que comúnmente se conoce con el nombre de convención de puntos ó marcas.

Convención de MarcasConvención de Marcas1.- Se colocan marcas al lado de cada bobina de modo que si entran corrientes en ambas terminales con marcas ó salen de ambos terminales con marcas, los flujos producidos por esas corrientes se suman.

2.- Para colocar las marcas en un par de bobinas acopladas, arbitrariamente seleccionamos una terminal de cada bobina y colocamos una marca en dicho lugar.

3.- Usando la regla de la mano derecha determinamos la dirección del flujo producido por esa bobina cuando la corriente está entrando a dicho terminal.

4.- Examinamos la bobina 2 para determinar a que terminal deberá entrar la corriente para encontrar un flujo que se sumará al flujo producido por la primera bobina. Se coloca entonces una marca en dicho terminal.

5.- Cuando se escriben las ecuaciones `para los voltajes terminales, las marcas pueden utilizarse para definir el signo de los voltajes mutuamente inducidos.

Si ambas corrientes están entrando o saliendo por marca, el signo del voltaje mutuo M, será el mismo que el del voltaje inducido L. Si una corriente entra por marca y la otra corriente sale por marca, los términos del voltaje mutuo y el del voltaje inducido tendrán signos opuestos.

• •

)(1 ti )(2 ti

+

V1(t)

-

+

V2(t)

-

M

dt

diM

dt

diLtV 2111 )( +=

dt

diM

dt

diLtV 1222 )( +=

)(1 ti

+

V2(t)

-

+

V1(t)

-

)(2 ti

M• •

dt

diM

dt

diLtV 2111 )( −=

dt

diM

dt

diLtV 1222 )( +−=

Coeficiente de AcoplamientoCoeficiente de Acoplamiento

10 <<k

Ideal(transformadores)No hay enlace(acoplamiento)

21LLkM =

Los factores que afectan a la intensidad de acoplamiento magnético entre las bobinas son:

1,- El medio a través del cual se acoplan las bobinas.

2.- La distancia entre los ejes de las bobinas.

3.- Orientación que tengan entre sí los ejes de las bobinas.

•

•

+

V1(t)

-

-

V2(t)

+

)(1 ti )(2 ti

Ejemplo:Ejemplo:

H3

Dominio del tiempo

dt

di

dt

ditV 21

1 32)( +=H2 H5

dt

di

dt

ditV 12

2 35)( +=

+

V1

-

+

V2

-

1I 2I

Dominio de la frecuencia

MILJILJV

MILJILJV

11222

22111

ωω

ωω

+=

+=• •

)(MLJω

1V 2V

1R 2R

1L 2L

Dominio del tiempo

1 21 1 1 1

2 12 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

di diV t R i t L M

dt dtdi di

V t R i t L Mdt dt

= + +

= + +1I 2I

••

Dominio de la frecuencia

12222

21111

)()(

)()(

IMJILJRtV

IMJILJRtV

ωω

ωω

±+=

±+=

+

V0

-

Ω2

Ω2 2J−

6J4Jº3024∠

1I2I

• •Calcular V0

Malla 1

Ω2J

21 2)42(3024 IJJI −+=∠

Malla 2

)42(2º00 21 JIIJ ++−=∠

Ejemplo:Ejemplo:

∠∠

=

+−

−+º00

º3024

422

242

2

1

I

I

JJ

JJ

º44.368.2

º13.236

2

1

∠=

−∠=

I

I

⇒

[ ]RMSVV

V

IV

44.336.5

)44.368.2(2

2

0

0

20

∠=

∠=

=

EjercicioEjercicio

mHLLL 8321 ===

75.012 =• k 25.013 =k 5.023 =∆k

º0100;1000cos41.141)( ∠== gVttVg

Determinar ix(t)=?

1L•

Ω4 8J

º0100∠

1I

• ∆

8J

2L

Ω4

3L8J∆

2I

XI

Ω=∆Ω=Ω=•

4

2

6

23

13

12

kJM

JM

JM

Ω=ΘΩ=∗Ω=◊

6

5

3

24

34

14

JM

JM

JM

Malla 1

8J

122221221 3652)(36)8()164(º0100 IJIJIJIJIIJIJJIJI +−−+−++−+=∠

Malla 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 10 0º 8 (4 24) 6 4 6( ) 4 2 5( ) 5 6 3I J I J J I J I J I I J I J I J I I J I J I J I∠ = − + + + − + − − + + − + + −

• ◊

◊

◊

Θ

Θ

∗

∗

∗ Θ ◊1L 4L

4L

• ∆ Θ2L

∆ ∗ ∗ Θ ◊3L 4L

SUPONIENDO QUE TENEMOS EL SGTE CIRCUITO SUPONIENDO QUE TENEMOS EL SGTE CIRCUITO EQUIVALENTEEQUIVALENTE

EjercicioEjercicio

En el circuito de la figura, las bobinas 1 y 3, y las bobinas 2 y 3 están acopladas; se desprecia el acoplamiento entre las bobinas 1 y 2.

a)Dibuje el circuito (sin núcleo) en el dominio de la frecuencia, indicando las marcas de polaridad.

b)Calcule el voltaje de Thévenin entre los terminales a (+) y b(-) abiertos, y luego la corriente de cortocircuito (Iccab) con los terminales a y b cortocircuitados.

c)Determine la impedancia equivalente de Thévenin entre a y b.

d)Determine el valor de la carga RL para que exista máxima transferencia de potencia activa a la carga y el valor de la máxima potencia transferida.

EJEMPLO

3. Para el siguiente circuito:a) Valor de R para que se le transfierala

maxima potencia a dicha carga b) Valor de la máxima potencia

transferida

EjercicioEjercicio

I Norton = 13,190 ∠ - 56,659 [Arms]

Zth = ZN= 4,048 ∠ 69,463 [Ω]

RL =4,048 [Ω] R//

PMax = 260,69[W] R//

Con W = 2 rad/seg;Frecuencia = 60 Hz;Voltaje de fuente 100 Vrms a cero grados