Refracción y reflexión de la luz

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Refracción y reflexión de la luz

Refracción de la luz. Introducción

La refracción es el cambio de dirección que sufre la luz cuando atraviesa la frontera entre dos materiales. Provoca en ocasiones visiones extrañas, como la discontinuidad de un popote cuando parcialmente se introduce en agua. La refracción se debe a que la luz cambia de rapidez al pasar de un material a otro. Cada material permite a la luz cierta velocidad por ejemplo, en el aire la luz viaja aproximadamente a c ( s

Km000,300 ), en el agua a c75.0 , y en el cristal a c66.0 . Para determinar la rapidez de la luz que cada medio le permite se puede utilizar la siguiente expresión: Donde, c es la rapidez de la luz en el vacío ( s

Km000,300 ). n es un número mayor que 1, el cual representa el índice de refracción del material. Su valor depende de la longitud de onda de la luz que se utilice. La Tabla 6.1 muestra valores de (n ) medidos para distintos materiales, basados en una longitud de onda ( )589 nm=λ . Tabla 2.1 Puede apreciarse que de todos los materiales mostrados en la tabla anterior, la luz viaja más rápido en el aire y es mucho más lenta dentro de un diamante. 2.1 Ley de la refracción La Figura 2.1 muestra cómo los rayos luminosos sufren cambios en sus trayectorias cuando atraviesan la frontera entre dos materiales diferentes. Las desviaciones se producen porque la luz cambia de rapidez. En el 1medio las luz posee una velocidad 1V y en el 2medio viaja a una rapidez 2V .

ncV MEDIOELEN =

Diamante ......................... 2.419 Fluorita ............................ 1.434 Cuarzo fundido ................ 1.458 Vidrio Crown .................... 1.52 Vidrio Flint ....................... 1.66 Hielo ................................ 1.309 Poliestireno ..................... 1.49 Cloruro de sodio ............. 1.544 Circón ............................. 1.923

Medio Índice de refracción (n ) Medio Índice de refracción (n )

Benceno 1.501 Disulfuro de carbono 1.628 Tetracloruro de carbono 1.461 Alcohol etílico 1.361 Glicerina 1.473 Agua 1.333 Aire 1.000293 Dióxido de carbono 1.00045


Para determinar las velocidades de la luz en cada medio se emplea el )( nrefraccióndeíndice , el cual varía según la longitud de onda de la luz utilizada, es

decir, si los rayos luminosos de la Figura 2.1 fueran de diferente longitud de onda ( )λ , si unos rayos fueran de color rojo y otros de color azul, las desviaciones serían distintas, porque cada rayo alcanzaría diferente velocidad dentro del mismo medio. De hecho, este comportamiento de la luz le permitió a Newton descomponer un haz de luz blanca en un arco Iris.

Figura 2.1 Las reglas que describen cómo es que la luz se refracta fueron descubiertas de manera separada por tres pensadores del siglo XVII, ellos fueron: Christian Huygens, Pierre de Fermat y Snell. 2.2 Ley de Snell A continuación se mostrará el proceso seguido por Snell para la obtención de la ley de la refracción de la luz. Para el análisis se empleará la figura 2.2, que muestra los detalles de las refracciones de dos rayos luminosos paralelos. El comportamiento es el siguiente:

1medio 11 ,Vn Frontera 2medio 22 , Vn

mediocadaderefraccióndeíndicesnn ⇒21 ,

mediocadaenluzladevelocidadVV ⇒21 ,


El 1#rayo entra en contacto con la frontera antes que el 2#rayo , a partir de ese instante y después de un tiempo t , el 1#rayo se desplaza dentro del 2medio una distancia que

equivale a ( tV2 ). Al mismo tiempo el 2#rayo recorre otra distancia que equivale a ( tV1).

Lo suficiente para llegar a la frontera.

Figura 2.2 Si se observa, se tienen dos triángulos rectángulos, que comparten la misma hipotenusa H , entonces si aplicamos la función seno a ambas figuras se tendrán las siguientes ecuaciones:

HtV

Sen 11 =θ

H

tVSen 2

2 =θ

Despejando la distancia H e igualando se tiene,

__ Otra relación que se puede construir se obtiene de la frecuencia de la luz, como ésta permanece constante se puede escribir lo siguiente:

11 λvV = 22 λvV = de donde

Si se utiliza el índice de refracción (n ), se puede también hacer la siguiente relación:

1medio 90

o

tV1 1θ 1θ

1θ H 2θ 2medio tV2

2θ 90

o 2θ

2

1

2

1

λλ=

VV

2

1

2

1

VV

SenSen =

θθ

1#rayo

2#rayo

frontera

normal


11 n

cV =

22 n

cV = por lo que è

La ley de la refracción en su forma general es por tanto:

2

1

2

1

VV

SenSen =

θθ

1

2

2

1

nn

==λλ

2.3 Principio de Fermat

Aplicando el principio de Fermat se pueden demostrar las leyes de la reflexión y de la refracción:

Fermat asigna a la luz un comportamiento reflexivo -como el de los seres humanos- que le permite trazar un camino entre dos puntos siempre que lo va a emprender.

¡Y realmente la luz se comporta así!

Este principio afirma lo siguiente:

El camino que, entre todos los posibles, sigue un rayo de luz para ir de un punto a otro, es aquel en que la luz emplea un tiempo mínimo.

Y si cumple este principio debe incidir y rebotar con los ángulos que se expresan en la ley de la reflexión y refracción (ley de Snell).

Por lo tanto el principio de Fermat y las Leyes de la reflexión son la explicación del mismo hecho desde dos puntos de vista diferentes.

Explicación matemática del Principio de Fermat.

El medio superior aire (equivale en el ejemplo anterior a la zona de tierra donde corremos más rápido) tiene de índice de fracción n1 y el otro medio (agua) n2 . La velocidad de la luz es c y la velocidad en cada medio v1 y v2.

1

2

2

1

nn

VV =


n1= c/ v1 ; n2= c/ v2.

L1 es la distancia recorrida en el medio 1 y L2 la recorrida en el medio 2.El tiempo que tarda la luz en recorrer el camino total AB es t.

Cuando el rayo va por el camino en que se encuentra el punto P el camino recorrido será mínimo y sucede lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras sabemos que las distancias L1 y L2 valen

;

La derivada del tiempo respecto a la distancia debe ser cero para el mínimo de la función tiempo frente a distancia. De todos los caminos posibles, el elegido por la luz, tanto en la reflexión como en la refracción, es aquel en el que emplea un tiempo mínimo.

Es un problema del mínimo de una función: Su derivada primera será cero


Sustituimos L por su valor respecto a x :

Derivando se obtiene:

pero x /L1 es justamente el seno del ángulo.

Procediendo de manera análoga para la distancia L2, tenemos


Esta es la fórmula de Snell que algunos también atribuyen a Descartes.

Esto demuestra que la luz, cuando va de un lugar a otro, e incluso cuando cambia de medio, siempre va por el camino donde emplea menos tiempo, incidiendo y saliendo con los ángulos dados por la ley de Snell.

Recuerda que: Camino óptico de un punto A a otro B, es el camino que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo que tarda en ir de A hasta B.

C=n1d1+n2d2=c(t1+t2)

(d1 y d2 son las distancias recorridas en cada medio)

2.4 Principio de Huygens

Alrededor de 1860 el físico danés Huygens propuso un mecanismo simple para trazar la

propagación de ondas. Su construcción es aplicable a onda mecánicas en un medio

material.

Un frente de onda es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados

por el movimiento ondulatorio en el mismo instante. La perturbación en todos esos puntos

tiene la misma fase. Podemos trazar una serie de líneas perpendiculares a los sucesivos

frentes de onda. Estas líneas se denominan rayos y corresponden a las líneas de

propagación de la onda. La relación entre rayos y frente de ondas es similar a la de líneas

de fuerza y superficies equipotenciales. El tiempo que separa puntos correspondientes de

dos superficies de onda es el mismo para todos los pares de puntos correspondientes

(teorema de Malus).


Huygens visualizó un método para pasar de un frente de onda a otro. Cuando el

movimiento ondulatorio alcanza los puntos que componen un frente de onda, cada partícula

del frente se convierte en una fuente secundaria de ondas, que emite ondas secundarias

(indicadas por semicircunferencias) que alcanzan la próxima capa de partículas del medio.

Entonces estas partículas se ponen en movimiento, formando el subsiguiente frente de onda

con la envolvente de estas semicircunferencias. El proceso se repite, resultando la

propagación de la onda a través del medio. Esta representación de la propagación es muy

razonable cuando la onda resulta de las vibraciones mecánicas de las partículas del medio,

es decir una onda elástica pero no tendría significado físico en las ondas electromagnéticas

donde no hay partículas que vibren.

Reflexión, refracción y Principio de Huygens

A partir del principio de Huygens puede demostrarse la ley de la refracción. Supongamos

que un frente de onda avanza hacia la superficie refractante I1I2 que separa dos medios en

los cuales las velocidades de la luz son v y v´. Si consideramos I1 como emisor, en el

tiempo ∆t en que la perturbación llega de A a I2, la perturbación originada en I1 habrá

alcanzado la esfera de radio r´= v´∆t. En el mismo tiempo la perturbación correspondiente


llega a todos los puntos de la envolvente BI2, y tomando los rayos normales a los frentes de

onda, de la figura se deduce que:

⇒ n1 sen αi = n2 sen αr

Lo cual está de acuerdo no solo a la experiencia no sólo en cuanto a direcciones de

propagación sino también en que en el medio de mayor índice de refracción la velocidad es

menor contrariamente a lo que suponían Descartes y Newton.

La teoría ondulatoria no pudo progresar en aquella época debido a la gran autoridad

de Newton que la combatía arguyendo que dicha teoría no podía explicar la propagación

rectilínea.


2.5 Reflexión interna total Una aplicación interesante de la refracción de la luz se puede apreciar en el siguiente ejemplo. Suponga que se tiene un cubo sólido dentro de un 2medio que es agua ( 2n 33.1= ). En la Figura 6.3 se muestra el objeto y las posibles trayectorias que un rayo de luz reflejado en el cubo puede tomar. A medida que el rayo luminoso llega a la frontera cada vez más a la derecha, el ángulo 2θ toma valores mayores y eso provoca también que el ángulo 1θ se incremente. Suponiendo que el 1medio fuera el aire ( 1n 1= ) la ley de la refracción diría lo siguiente.

2211 θθ sennsenn =

21

21 θθ sen

nn

sen =

como 1

2

nn

es mayor que 1 entonces 21 θθ sensen > lo que significa que 21 θθ > .

Pero 1θ cuando mucho puede tomar el valor de 090 , por lo que 2θ puede tomar como máximo el siguiente valor:

osennn

sen 902

12 =θ

2

1

nn

=

al ángulo 2θ se le llama en este caso )( Ccríticoángulo θ .

1medio

1n

FRONTERA 1θ 090= α α

2medio

2n

2θ 2θ2θ

Figura 2.3 Reflexión interna total

1θ1θ


La aplicación de este comportamiento de la luz se aprecia en las fibras ópticas, las cuales atrapan señales luminosas para ser transportadas de una región del mundo a otra en segundos, ya que viajan a una rapidez de s

km000,300 .

2

1

n

nsen C =θ

En la Figura 2.4 se observa lo que podría ser el comportamiento de la luz dentro de una fibra óptica. La reflexión interna se da porque los ángulos de incidencia α son mayores que el ángulo crítico del material.

α

α

Figura 6.4

Si el ángulo 2θ toma valores mayores a Cθ (en el ejemplo sería α) entonces el rayo no atraviesa la frontera sino que se refleja internamente, tal como se muestra en la figura 6.3.


Problema resuelto 2.1 Una persona observa un objeto que se encuentra en el fondo de una alberca. Según él, la profundidad del objeto es de m8.1 . Sabiendo que su visual aproximadamente forma

030 con la superficie del agua, determine la profundidad real a la que se encuentra el cuerpo.

a b

Solución Primero hay que observar que se tienen dos triángulos rectángulos el abc y el cde , los cuales poseen un cateto de igual magnitud, es decir el lado ab y el lado cd los cuales miden la distancia x . Del triángulo abc se puede escribir la siguiente ecuación:

Hx=αtan

Por tanto para conocer H hay que calcular primero α y x . Observando el triángulo cde se puede escribir lo siguiente:

30o m8.1

H objeto

imagen

c d

eα1.8 m

300

x

H


xm

Tan o 8.1)30( = de donde se despeja mx 117.3=

En cambio, el ángulo α se determina aplicando la ley de la refracción.

2211 αα SennSenn = ( ) ( ) αSenSen o 33.1601 = o628.40=α La profundidad H se puede calcular por tanto de la siguiente forma:

Hx

Tan =α

Hm

Tan o 117.3)628.40( =

mH 633.3=

Ejercicio resuelto 2.2 La longitud de onda de la luz roja de un láser de helio neón, en el aire es de nm8.632 . a) ¿ Cuál es su frecuencia ? b) ¿Cuál es su longitud de onda dentro de un vidrio de índice de refracción 1.5 ? . c) ¿ Cuál es su rapidez dentro del vidrio ?.

Solución a) La frecuencia del láser vVONDA λ= ( ) vms

m 98 108.632103 −×=×

Hzv 141074.4 ×= b) La longitud de onda de la luz láser dentro del cristal vVONDA λ=

vnC λ=


( )( )Hzsm

148

1074.45.1

103×=

×λ

nmm 9.42110219.4 7 =×= −λ c) Rapidez de la luz dentro del vidrio

5.1

103 8sm

ONDA nC

V×

==

CV sm

ONDA 32

102 8 =×=

Ejercicio resuelto 2.3 Un rayo incide sobre el prisma que se muestra en la figura. Si éste llega con un ángulo de incidencia de 020 respecto a la normal, ¿ Cuántos grados se desvía al atravesar el cristal ( 55.1=n ) ? 55.1=n Solución Se determinará la desviación total calculando por separado las dos desviaciones que sufre el rayo luminoso.

020=θ

025

020=θ α 1D

090

025

β

β−090

γ

2D

a

b


Ø Primera desviación ( )1D En el punto ( a ) ocurre la primera desviación. De ahí se obtiene la ecuación,

oD 201 =+ α Si se quiere D1 hay que calcular primero α . Éste se obtiene con la ley de la refracción.

2211 θθ SennSenn = ( ) ( ) αSenSen o 55.1201 = o747.12=α

oD 201 =+ α Al sustituir α en esta ecuación se obtiene D1

ooD 20747.121 =+

oD 253.71 = Ø Segunda desviación ( )2D

La segunda desviación ocurre en el punto ( b ) . Ésta se calcula restando el ángulo β al ángulo γ . Cálculo del ángulo β

( ) ( ) ooo 180902590 =−+++ βα ( ) ( ) ooooo 1809025747.1290 =−+++ β

o747.37=β Cálculo del ángulo γ

2211 θθ SennSenn = ( ) ( ) oSenSen 747.3755.11 ==γ

o6.71=γ

βγ −=2D sustituyendo los valores de los ángulos γ y β . D2 = 71.6 0 – 37.747 0


oD 853.332 = La desviación total ( )TD es:

12 DDDT −=

ooTD 253.7853.33 −=

o

TD 6.26= Ejercicio resuelto 2.4 En el cristal anterior determine el ángulo θ máximo ( MAXθ ) con el cual puede incidir el rayo luminoso de tal forma que vuelva a salir por el otro extremo del prisma. Solución El valor máximo que γ puede alcanzar es de 090 para ello, β debe tener un valor que se conoce cómo ángulo crítico ( )Cθ . Si por alguna circunstancia β llegase a ser mayor que

Cθ el rayo se reflejaría internamente en el cristal. Por lo tanto la condición límite para que

el rayo luminoso atraviese el cristal se da cuando γ es 090 . Analizando la segunda refracción ( punto b ) puede escribirse lo siguiente:

2211 θθ SennSenn = ( ) βγ SenSen 55.11 = ( ) βSenSen o 55.1901 =

o177.40=β Se calcula α desde la siguiente ecuación. ( ) ( ) ooo 180902590 =−+++ βα

ooooo 180177.40902590 =−+++ α è o177.15=α Analizando la primera refracción ( punto a).

2211 θθ SennSenn =


( ) ( ) θα SenSen 155.1 =

( ) θSenSen o 1)177.15(55.1 =

o94.23=θ Este es el valor máximo que puede tener θ Tarea Título: Física. Tomo II Tema: Refracción de la luz Autor: Serway Raymond Páginas: 1018-1022 Preguntas: 6, 7, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 24 Problemas: 9, 11, 17, 21, 25, 29, 31, 37, 39, 45, 49, 53 Bibliografía

Serway Raymond (1994). Física . Editorial McGraw-Hill. México. Tomo II.

10171003. −Pags . Segunda edición. Sears Francis, et al. (1996). riaUniversitaFísica . Editorial Addison Wesley Longman. México. Tomo II. 10841055. −Pags . Novena edición. Halliday David y Resnick Robert (1991). Física . Editorial Continental. México. Tomo II . 417399. −Pags . Décimo primera reimpresión.

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