OCTAVO AÑO:

Convertir a números mixtos fracciones

Las fracciones constan de dos números. El número superior llamado numerador. El número inferior llamado denominador.

numerador

denominador.

Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es igual o más grande que su denominador. Una fracción propia es una fracción con el numerador más pequeño que

el denominador.

Un número mixto consta de un entero seguido de una fracción propia.

Ejemplo: La fracción impropia 8/5 se puede cambiar al número mixto 1 3/5 dividiendo el numerador (8) por el denominador (5). Esto da un cociente de 1 y un resto de 3. El resto se coloca sobre el divisor (5).

Transformar números mixtos en fracciones impropias

Las fracciones constan de dos números. El número superior llamado numerador. El número inferior llamado denominador.

numerador denominador.

Una fracción impropia es una fracción que tiene un numerador más grande o igual a su

denominador. Una fracción propia es una fracción con el numerador más pequeño que el denominador.

Un número mixto consta de un entero seguido de una fracción propia.

Ejemplo: El número mixto 3 3/5, se puede cambiar a una fracción impropia convirtiendo

la porción entera a una fracción con el mismo denominador que tiene la porción fraccionaria y luego sumando las dos fracciones. En este caso la porción entera (3) se

convierte a 15/5. La suma de las dos fracciones es 15/5 + 3/5 = 18/5.

La conversión entera es: 3 3/5 = 15/5 + 3/5 = 18/5.

NOVENO AÑO:

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los

valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al

efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo

de una raya de fracción.

2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que

se presenten de izquierda a derecha.

3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.

Ejemplo

Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1

2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24

Ejemplo

Evaluar , cuando b=8 y x=2

Ejemplo

Evaluar cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.

Ejemplo

Resuelve para x=3.

Ejemplo

Resuelve para x=2 y=3.

Ejemplo

Evaluar cuando w = -4.2 z = 3.6

DECIMO AÑO:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Descripción

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se

pueden escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas

ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

Solución

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un

solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que

la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos

es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.

La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde

n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable está despejada.

Procedimiento para encontrar la solución

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos

miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.

Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número,

se multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n

y se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece

inalterado y la igualdad se mantiene.

Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al

segundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =)

porque contiene a la variable.

El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la

variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros

El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.

El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros

Se reducen términos semejantes

2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x

3x = 18

El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la

variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

(3x)/3 = (18)/3

x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para

comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.

2(6) + 3 = 21 - (6) 12 + 3 = 15

15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.

Un poco más sobre el procedimiento

En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo que

está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Es

válido considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y pasarlo al otro miembro con la operación inversa, pero es necesario

comprender por qué se hace, para evitar errores. En el siguiente ejemplo se

illustra lo comentado aquí.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.

El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. El

término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primer

miembro, esto se hace sumando 4 a ambos miembros.

3x - 4 + 4 = x + 2 + 4

Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda:

3x = x + 2 + 4

Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4

del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro.

En ese caso podemos decir que "el término que estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la

ecuación queda:

3x = x + 6

El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundo

miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.

3x - x = x + 6 - x

Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

PRIMERO BGU:

Graficando tipos de funciones

Objetivos de aprendizaje

Graficar funciones lineales.

Graficar funciones cuadráticas.

Graficar funciones radicales.

Introducción

Cuando la entrada (variable independiente) y la salida (variable dependiente) son números reales, una función puede representarse en una gráfica de coordenadas. La entrada se grafíca en el eje x y la salida se grafíca en el eje y.

Funciones lineales

Un primer paso para graficar una función es hacer una tabla de valores. Esta es particularmente útil cuando no conoces la forma general de la función. Probablemente ya sabes que una función lineal será una línea recta, pero hagamos la tabla primero para ver cómo puede ayudarnos.

Cuando hacemos la tabla, es buena idea incluir valores negativos, valores positivos y cero para asegurarnos de que realmente tienes una función lineal.

Ejemplo

Problema Hacer una tabla de valores para f(x) = 3x + 2.

x f(x)

Traza una tabla de dos columnas. Marca las columnas con x y f(x).

x f(x) −2 −1 0 1

Escoge varios valores de x y anótalos en filas separadas en la columna x.

3

Consejo: Siempre es buena idea incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es posible.

x f(x)

−2 −4 −1 −1 0 2 1 5 3 11

Evalúa la función para cada valor de x y escribe el resultado en la columna f(x) junto al valor de x correspondiente.

Cuando x = 0, f(0) = 3(0) + 2 = 2,

f(1) = 3(1) + 2 = 5

f(−1) = 3(−1) + 2 = −3 + 2 = −1,

etc.

Posible Respuesta

x f(x) −2 −4 −1 −1 0 2 1 5 3 11

(Observa que tu tabla de valores podría ser distinta a la de alguien más, pudiste haber escogido otros números para x.)

Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para ayudarte a dibujar la forma y la posición de la función. Importante: La gráfica de la función mostrará todos los valores posibles de x y sus valores correspondientes de y. Es por eso que es la gráfica de una recta y no sólo los puntos que están en la tabla.

Ejemplo

Problema Graficar f(x) = 3x + 2.

x f(x) −2 −4 −1 −1 0 2 1 5 3 11

Empieza con la tabla de valores, como la del ejemplo anterior.

Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en el

plano de coordenadas.

Grafíca los puntos.

Respuesta

Como los puntos están sobre una recta, traza la recta que pasa por los puntos.

Intentemos otro.

Ejemplo

Problema Graficar f(x) = −x + 1.

f(−2) = − (−2) + 1 = 2 + 1 = 3

f(−1) = − (−1) + 1 = 1 + 1 = 2

f(0) = − (0) + 1 = 0 + 1 = 1

f(1) = − (1) + 1 = −1 + 1 = 0

f(2) = − (2) + 1 = −2 + 1 = −1

x f(x) −2 3 −1 2 0 1 1 0 2 −1

Comienza con la tabla de valores. Puedes escoger distintos valores de x, pero de nuevo, es útil incluir al 0, algunos valores positivos y algunos valores negativos.

Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en el plano de coordenadas.

Grafica los puntos.

Respuesta

Como los puntos están sobre una recta, traza la recta que pasa por los puntos.

Estas gráficas son representaciones de una función lineal. Recuerda que una función es una correspondencia entre dos variables, como x y y.

Graficar f(x) = 2x – 1. ¿Cuál de las siguientes gráficas es correcta?

A) B)

C) D)

SEGUNDO BGU:

MAXIMO COMUN DIVISOR DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y mayor grado que está

contenida exactamente en cada uno de 2 o más expresiones algebraicas.

Procedimiento.

1) Se halla el M.C.D. de los coeficientes (es aquel que está contenido en cada uno de los coeficientes de las expresiones).

2) Se escriben las letras comunes con su menor grado (que estén contenidas en cada una

de las letras de las expresiones)

3) Las letras que no aparecen en todas las expresiones no son comunes; no se incluyen como parte del M.C.D.

4) Luego se escribe el coeficiente encontrado, seguido de las letras comunes.

5) El resultado anterior será el M.C.D.

______________________________________________________________________

__

Ejemplos:

Hallar elM.C.D. de 10a^2b y 20a^3

1) El M.C.D. de 10 y 20 es 10; porque 10 está contenido exactamente en 10 y en 20.

2) Letras comunes con su menor exponente de a^2 y a^3 es a^2; porque a^2 está contenida en a^2 y en a^3

3) La letra “b” no se pone como parte del M.C.D. porque no es común .

4) –> el M.C.D. de 10a^2b y 20a^3 es 10a^2 , que es la Solución.

______________________________________

Hallar el M.C.D. de 36a^2b^4 , 48a^3b^3c y 60a^4b^3m

1) El M.C.D. 36, 38 y 60 es 12 (porque 12 está contenido exactamente en los tres coeficientes.

2) Las letras comunes con su menor exponente de a^2, b^3

3) Las letras “c” y “m” no son comunes para las 3 expresiones; no se toman en cuenta.

4) –> el M.C.D. de 36a^2b^4 , 48a^3b^3c y 60a^4b^3m es 12a^2b^3 , que es la

Solución.

Nota: para encontrar el M.C.D de 36, 48 y 60 , puedes utilizar la siguiente tabla:

36 | 48 | 60 | 2 .

18 | 24 | 30 | 2

. 9 | 12 | 15 | 3 . –> los primos relativos encontrados (2)(2)(3) se multiplican y

el resultado será = 12

- 3 | 4 | 5 |

Toma nota que la búsqueda de otros primos relativos ya no se continúa con los residuos 3, 4 y 5 de la tabla, porque estos no tienen un número primo común que los divida.

______________________________________________________________

Ejercicio 111.

1) Hallar el M.C.D. de a^2x y ax^2

El M.C.D. de los coeficientes es 1.

La letra común de a^2 , y a es a.

La letra común de x, y x^2 es x.

–> el MC.D. de a^2x y ax^2 es 1ax = ax Solución.

______________________________________________________________

2) Hallar el M.C.D. de ab^2c , a^2bc

El M.C.D. de los coeficientes es 1.

La letra común de a, a^2 es a

La letra común de b^2, b es b

La letra común de c, c es c

–> El M.C.D. de ab^2c , y a^2bc es = abc solución.

_______________________________________________________________

TERCERO BGU:

Logaritmos: definición, propiedades y ejercicios

resueltos

Logaritmos definición y ejemplos

Propiedades de los logaritmos

Ejercicios resueltos

PRIMERO BGU: FISICA

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO.

Un movimiento es variado si varía la velocidad o la dirección. El más importante es el

movimiento en que varía la velocidad.

· Pueden ser uniformemente variados o variados sin uniformidad.

Se llama aceleración, la variación que experimenta la velocidad en la unidad de tiempo. Puede

ser positiva, si aumenta y negativa o retardo, si disminuye.

· En el movimiento uniformemente variado, la aceleración permanece constante. Se rige por

unas leyes determinadas.

· Como ejemplo de movimiento uniformemente acelerado tenemos el de la caída libre de los

cuerpos, estudiado por Galileo y Newton.

· Los movimientos variados se representan por gráficas de manera semejante al movimiento

uniforme.

· El movimiento de rotación es un ejemplo de movimiento uniformemente variado en

dirección. Corresponde a un cuerpo que gira alrededor de un eje, y tiene sus leyes propias.

Introducción

Se llama movimiento variado si cambia la velocidad o la dirección. Este ultimo apartado es

indiferente. También pude ser Uniformemente variado si la velocidad cambia de forma

constante y con la misma intensidad o Variado sin uniformidad si no se cumple lo anterior.

Aceleración

Es la variación que experimenta la velocidad en un movimiento variado. Puede ser positiva si la

velocidad aumenta o negativa (retardo) si la velocidad disminuye.

Movimiento Uniformemente Acelerado

Supongamos que un móvil (un tren) parte del reposo con

Movimiento variado.

. Pasado un tiempo

Movimiento variado.

habrá adquirido una velocidad

Movimiento variado.

que será igual a velocidad anterior más aceleración:

Movimiento variado.

Pasado un tiempo t2, la velocidad V2 que será igual a la velocidad anterior + aceleración:

Movimiento variado.

Pero como

Movimiento variado.

y tenemos que

Movimiento variado.

lo que resumido viene a ser

Movimiento variado.

Y así sería para un V3, etcétera. Por tanto podemos establecer la siguiente fórmula general de

la velocidad en un móvil en movimiento uniformemente acelerado.

Al cabo de un tiempo t, la velocidadVt será igual a la velocidad inicial Vo más t veces la

aceleración:

Movimiento variado.

(1)

Para deducir la aceleración diremos que es la diferencia de velocidad en la unidad de tiempo:

Movimiento variado.

, despejamos los denominadores

Movimiento variado.

(2)

Para calcular el espacio recorrido recordemos la fórmula del movimiento uniforme:

Movimiento variado.

(3)

Tenemos que el espacio es el producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento

variado, como la velocidad varía, hemos de tomar la media artimética de las dos velocidades

que responde a esta fórmula:

Movimiento variado.

y si sustituimos este valor por la velocidad de la fórmula (3) tendremos:

Movimiento variado.

(4)

Y despejando v en la fórmula (2):

Movimiento variado.

, que sustituimos en la fórmula (4) nos dará

Movimiento variado.

; fórmula final que nos da el espacio recorrido por un móvil en movimiento uniformemente

acelerado cuando parte del reposo:

Movimiento variado.

y cuando parte de una velocidad distinta de 0 tendremos

Movimiento variado.