Refuerzo del verano 3º ESO

7/31/2019 Refuerzo del verano 3 ESO

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COLEGIO LA PURSIMA - REPASO DEL VERANO 3 ESO - JAN

PRIMER TRIMESTRE

UNIDAD 1: OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS.

Tipo: Operaciones con potencias

1.-Efecta las siguientes operaciones con potencias ajustando a la solucin que te doy.558335232 5.3.2)5.3.2).(5.2.3)( =a33333 )840()6.5.4.7)( =b

2054 3)3)( =c5.2)5.3.2(:)5.3.2)( 223 =d

22232 14)5.2(:)5.2.7)( =e23.17.3)23.3(:)23.17.3)( 232 = f

2.-Opera y ordena el resultado usando las propiedades de las potencias.

a) ( )( )3

22 4 2 2 3b ca ba c a bc =

b)( ) ( )

( )

32 2

22 3 2

5 .2

10

ab c

a b c=

Sol.- a) 22 11 22a b c ; b)2c

b

Tipo: Jerarqua operacional con nmeros enteros.

1.-Resuelve paso a paso respetando la jerarqua de operaciones.8854)73.(53) 22 =++a

4692))53(23.(43) 3202 =++b337)5)32()33(3(32) 3222 =++c

132)2)3)4)5)67(6(5(4(3(2) 2203 =++d

Tipo: Reglas de divisibilidad.

1.-Averigua cules de estos nmeros son divisibles entre 11.468479 ,1748,5038 ,50479,17446.Sol.- S, No, S, S, S.

2.-Averigua cules de estos nmeros son divisibles entre 7.6895; 441, 172872, 2783.Sol.- S, S, S, No.

3.-Averigua cules de estos nmeros son divisibles entre 6.4314, 3949,1554, 6252.Sol.- S, No, S, S.

4.-Averigua cules de estos nmeros son divisibles entre 15.375,840,645,1080,720,960.Sol. - S, S, S, S, S, S.

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Tipo: Problemas de mcd y mcm.

1.- Calcula el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo de 1437448, 21384 y 130680descomponindolos en factores primos.Sol.-El mcm es 13046320 y el mcd es 1188

2 .-Dos ruedas de un rodamiento tienen 48 y 80 dientes respectivamente. Cuntas vueltas tendr que dar la mayor para que vuelvan a coincidir los dos dientes iniciales?.Sol.- 3 vueltas.

3 .- Para un trabajo que se encarg a un carpintero se necesitaban tablas de 20,24,30,60 y 150 cm delargo. Con ese fin adquiri tablas que se podan cortar en trozos iguales de cualesquiera de esas medidas.Qu longitud mnima deban tener esas tablas?.Sol.- 6 metros.

4 .- Dos asteroides orbitan alrededor del sol con rbitas de perodo respectivo 100 y 75 aos. Si seaproximaron juntos en 1999, cundo volvern a juntarse?.Sol.- En el 2299.

Tipo: Jerarqua de operaciones y valores absolutos.

1.-Opera siguiendo la jerarqua operacional.

a) 5232

105.32

10533

27

0 =

b) 1545.4

126365

210.3

1070

7

=

+

c) 472

41311

1213.21032

2 =

+

d) ( ) =+

4)3)(2)(1(

2323.232

2102.310

32

7222 -11

e)

2 37 1002 2 2 210 121 9 1202 .7 5 . 2 . .5 61 2.5 51 243

2 11 3 120 + + + =

Tipo: Algoritmo de Euclides.

1.-Calcula el MCD y el MCM por el Algoritmo de Euclides.a)18 y 24, b) 320 y 450, c) 720 y 368, d) 300 y 2450Sol.- a) 6 y 72, b) 10 y 14400, c) 16 y 16560, d) 50 y 14700

2.-Calcula[ ] ( )440,660 440,660 y mediante el Algoritmo de Euclides:Sol.- 220,1320

3.-Calcula (360, 770) mediante el Algoritmo de Euclides:

Sol.-3850

Tipo: Otros sistemas de numeracin.

1.-Expresa en base 2 los siguientes nmeros.1)a 2, b)14, c)54, d) 37.

Sol.- a) 1100(2, b) 11102), c) 1101102), d) 100101(2

2


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2.-Expresa en base 10 los siguientes nmeros.a) 31(4, b) 110101(2, c) 56(7, d) 12321(5Sol.- a) 13, b) 53, c)41, d) 961

3.-Efecta las siguientes operaciones.a)11010(2+110(2. 1001(2-10011(2 = 2(111101a) 21(3+11(3.122(3 = 3(2201 b) (32(5+41(8 ) . (10001(2+21) = 1900

UNIDAD 2: FRACCIONES

Tipo: Comparacin de fracciones.

1.-Ordena de mayor a menor cada par de fracciones :1411

76;

106

128;

3229

87

y y y

29 7 8 6 6 11. ; ;32 8 12 10 7 14Sol > > >

Tipo: Notacin cientfica.

1.-Expresa en notacin cientfica los siguientes nmeros:a)123456789; b)9876543210 ; c)0,000034567; d)0.0000147;e)3124000000;

23 100.12,13);10.001.0) g f 95598 10.124.3);10.47.1),10.4,3);10.87654321,9);10.23,1). ed cbaSol

56 10.312,1);10.1) g f

2.-Expresa en forma decimal los siguientes nmeros:4323 10.21,55);10.42);10.22,1);10.12,35) d cba Sol.- a)0.03512;b)0.0122;c)42000;d)552100

Tipo: Bloque de productos de fracciones.

1.-Opera y simplifica los siguientes bloques de productos con exponentes negativos.

a)125 49 128 625 27 441. . . .1331 64 625 120 125 26620

=

b)

3 2 4 31 1 1 1 81;3 2 3 3 4

=

( )

2 3 44

1

2 3 12

7 121 32 2 6250 125) 55 49 120 297 1331 1210

3 27 11 625 22 81) 1252 4 120 81 55 275

c

d

= =

2 3 2 23 3 49 1 1 25 3 16807) . . . . . .2 7 27 2 8 6 5 432

e =

2 3 2 23 3 49 1 1 25 3 27) ;5 7 27 2 8 6 5 50 f

=

3


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Tipo: Expresin decimal de un nmero racional.

1.-Halla la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales:

a)12,3;b)0,4;c)7,607;d)1,23;e)0,21;f)0,9762;g)1,25;h)0.526;i)0,003;j)3,5;k)3,3;l)2,85964;m)32,57

)

451466);

1980056621)

310);

27);

3001);

500263);

45);

45004393);

10021);

100123);

9907531);

52);

10123).

ml

k jih g f ed cbaSol

2.-Realiza la siguiente operacin y clasifica su expresin decimal.

0,3 1,01 3,23 23100,12 1

1,09

Exacta

+ = +

UNIDAD 3: NMEROS IRRACIONALES: RADICALES Y LOGARITMOS.

Tipo: Definicin de la raz n-sima.

1.-Escribe como potencias los siguientes radicales:

x

xb f abe x xd xc

aa

b xa3

32),),),),11),2)

34 233 25

+

Sol.- ( ) ( )41

221

32

51

21

),),),1

1),2) abe xd xca

ab xa

+

2.-Expresa en modo de radical todo aquello que aparezca en forma de potencia:

( ) 43

21

21

51

132

52

25

32

4);43

23);)2)(;5);2);3) z y x f ed c xba

+

Sol: y

z x f ed c xba

4 3

5

3 25 2

53 2 4);

413213

);)2();51);)2();3)

+

Tipo: Introducir en el radicando.

1.- Introduce el coeficiente del radical dentro del radicando:

y xy

xyh

axa

g f e xy y xd x

xcaabaa2

23);

22);

32

23);

227

31););1);32);7) 43

Sol: 24373

29);2);

23);

61);););12);49)

xyh

a x

g f e y xd xcabaa

2.- Introduce el coeficiente del radical dentro del radicando y simplifica:

y x

y x y xc

ba

ba

ba

baba

+

+

+

+

+ ))(;);81

4

2

11) 3

5


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Sol: 223 ););61) y xc

baba

ba +

Tipo: Simplificar radicales.

1.-Saca fuera del radical y simplifica:12 251454 53333 3423 64),64),32),54),27),16),),12),8),8) ba ji y xh g xy f e y xd caba

Sol.-12 2252333 64),22),24),23),33),22),,32),22),2) baab f i xy xh g xy y f e x xycaaba

2.-Extrae mentalmente del radicando todos los factores posibles:

45

63

234233

6

345

8

10

8132);27

3);2);83);8);5)

y x

f xy xy

e y x y xd acn

z y xb

y x

a

Sol: 42

324325 3

2 232);3);2);26);2);5)

y x

y x

f xy xye y y xd aac xz n xy

b y y

xa

Tipo: Sumas y restas de radicales.

1.-Opera y simplifica:

12816335),185327),75274812),122732) 2 ++++++ d cbaaaaSol.-

352812),319),36),3) ++d cbaa


332

2

5416);6505324183547);51255)3)(

;23822);122732);1838323)++++

+++ f eaad

acaaaba

Sol.- 3 2);212622);5)22)(;2)12)(;3);26) + f ead acaba

Tipo: Propiedades del producto de radicales.

1.-Multiplica y divide los radicales usando las propiedades. Simplifica el radical si es necesario.

ab y x

ab xy

f xyab

xyab

ed cbababa2

332

2 :3),2

:2),5.01.0),0004.0:003.0),

5018),2.)

Sol.-

xy f bed cbbaba

3),2),51),

215),

53),2) 3

Tipo: Radicales de radicales.


33 5 9222 ),),),),) abaabae x xd x xcaaabaaSol.-

12 71046 196 74 11 ),),),),) baae x xd xcabaa

3.-Escribe las siguientes expresiones bajo un solo radical y simplifica los resultados:

6


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8/30


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Tipo: Calculadora cientfica.

1.-Aproxima a las milsimas y usa convenientemente las memorias Min y Mr.

( )2 32

2 3

454 4

6

21 ln 23 2 ln5 23) ; )

52 6 log33 75

a b

+ = =

+ Soluciones: a) -0,009; b) 0,001

Tipo 2: Errores.

1.- Un amigo tuyo dice medir 2 metros de altura cuando su estatura real es de 183m. Asimismo afirmaque la anchura de la catedral de Jan es de 35 metros, cuando su anchura real es de 33 metros. Quaproximacin es ms correcta?. Puede considerarse alguna como buena aproximacin?

Solucin: Respectivamente las aproximaciones tienen un error de 9,29% y 6,061%, por lo que laaproximacin de la catedral es ms correcto. No obstante ninguna es buena aproximacin bajo la cota deerror estndar.

Tipo : Progresiones Aritmticas.

1.- De una progresin aritmtica se conoce que el vigsimo trmino es 110 y que la diferencia es 6.Calcula:

a) El primer trmino. b) El lugar que ocupa el nmero 308c) El trmino general y a partir de l el trmino 400d) La suma de los 100 primeros trminose) La suma desde el trmino 25 hasta el 800

Soluciones: a) -4; b) 53; c) 6n-10; 2390; d)9300; e) 1912840

7.-De una progresin aritmtica se conoce que el trmino dcimo es 71 y que el trmino de lugar noventaes 631. Calcula el primer trmino y la diferencia.

Soluciones: Primer trmino 8 y diferencia 7

8.-Halla la suma de una progresin aritmtica de 12 trminos, sabiendo que3 1024; 66a a= =

Solucin: 540

9.-Pedro coleccion sellos durante 20 aos comprando cada ao 100 sellos ms que el ao anterior. Si el primer ao compr 500 sellos, contesta:a) Cuntos sellos compr el quinto ao? b) De cuntos sellos consta su coleccin?

Solucin: a) 900; b) 2400

10.-Halla la suma de los 12 primeros mltiplos de 5.

Solucin: 390

Tipo : Progresiones Geomtricas.

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1.-En una progresin geomtrica tenemos que1 61/ 4 8a a= =a) Calcula la razn. b) Calcula los trminos 3, 4, 5 y el trmino general.c) Calcula la suma de los 20 primeros trminos.

Solucin: ) 2; )1, 2, 4; )262144a r b c=2.-Qu lugar ocupa el nmero 1875 en una progresin geomtrica de primer trmino 3 y razn 5 (hazlo amano)? Y el nmero 1171875 (hazlo con calculadora)?

Solucin: ) 3; ) 9a n b n= =

SEGUNDO TRIMESTRE

Tipo : Inters Compuesto.1.- En cunto se convierte un capital de 6000 euros al 10% anual en dos aos de inters simple? Ycompuesto?

Solucin: Bajo inters simple se convierten en 7200 euros, bajo inters compuesto se convierten en 7260euros.

2.- Una persona deja en el banco 10000 euros al 7% durante 6 aos. En cunto se transforma estacantidad si el inters es compuesto?

Solucin: Se transforman en 15007,3035 euros

UNIDAD 5: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS.

Tipo: Simplificacin de fracciones algebraicas

1.-Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

( ) ayaxmymx

i xy

y xaxyh

mnm

g y xmymx

f ab

baae

z nmnm

d ayaxmymx

cbabxax

b xya

a xa

++

++

);63

4921)

2135););

81216);

63);););

124)

32

23

2

3

2

323

34

4

2

2

Sol:am

i y x

xayh

nm g m f

baba

e z n

md

am

c xbay x

a );9

73);3

5););2

34);2

);););3

) 522

2

32

2

2.-Simplifica las siguientes fracciones algebraicas sacando previamente factor comn:

a)3 2 3 4 2

3 4 3 5 2 3

1500 300 30 3350 1250 7 25

a b a b ba b a b b b

=

a)2 3 2

3 2 2 3 2

150 30 530 150 5

a b a b aba b a b ab b

=

Tipo: Valor numrico de una expresin algebraica.

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3.-Halla el valor numrico de las siguientes fracciones algebraicas para los valores que se indican en cadacaso:

.32,

31,

22);2,1,) ==

+==

+

y x y x y x

bbababa

a

Sol: 0);31) ba

Tipo: Operaciones aritmticas bsicas con polinomios.

PRODUCTOS

5.-Efecta las siguientes operaciones con polinomios:( (( ) ( )( ) ( )( ) ( )=+

=+=+

=+

4234

353

22

223

35.232)342.264)

32.453)53.2632)

x x x x xe

x x x xc

x x x xb

x x x xa

Sol:

x x x x x x xd x x x x x xc

x x x xb x x x x xa

1519103622);61820244288);1213261110);1030212896)

44567834568

2342345

++++++++

DIVISIONES

2.-Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.( ) ( ) ( ) ( ) x x x x xb x x x x xa 3:33);352:5148) 2362345 +

Sol:

3231)(;782693)();2132)(;734)() 23423 =++++=+=+= x x R x x x x xC b x x R x x x xC a

Tipo: Jerarqua operacional.

3.- (Importante) Usa la jerarqua operacional para hallar el polinomio resultante de las siguientesoperaciones:

] ( )

( ) ( )

2 2 2

2

1 3 1)(3 2).(4 3) [3 ( 1).( 3) 1 ; ) 2 3 1 . .( 3)2 2 2

3 3 1 3 3 1) . ; ) 3 . 2 24 4 2 2 2 2

a x x x x x b x x x x x x

c x x x d x x x x x x

+ + = + + + = + + = + + =

235

21);

1621

21);

23);8111212): 322323 ++++ x xd x xc x x xb x x xaSol

Tipo : Frmulas Elementales.

1.-Efecta las siguientes operaciones usando las frmulas elementales.

( ) ( ) ( )

+

++ 1

223

32

23);432223)

223222 x x x xb x x x x xa

3665

47);46512). 2234 ++ xb x x x xaSol

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Tipo: Binomio de Newton.

1.-Calcula las siguientes potencias de polinomios por la frmula del Binomio de Newton:

a) ( )4 4 3 21 4 6 4 1 x x x x x+ = + + + + b) ( )3 3 22 6 12 8 x x x x = + c) ( )4 4 3 22 8 24 32 16 x x x x x+ = + + + +

d)3

3 21 3 12 8 62 2 8

x x x x = +

Tipo: Divisin y Factorizacin de Polinomios.

1.-Calcula el C(x) y el R(x) de las siguientes divisiones por la Regla de Ruffinni:

a) ( )7 6 35 3 2 1: 2 x x x x x+ + + = b) ( )3 2 1: 2 x x x + + =c) ( )6 35 2 1: 3 x x x x + =

Sol.-a) 6 5 4 3 2( ) 211; ( ) 3 6 12 27 54 106 R x C x x x x x x x= = + + + b)

2( ) 3; ( ) 2 2 R x C x x x= = +; c) 5 4 3 2( ) 599; ( ) 3 9 22 66 200 R x C x x x x x x= = + + + + +

Tipo: Factorizacin polinomial usando la Regla de Ruffinni.

1.-Factoriza los polinomios siguientes usando la regla de Ruffinni:a) ( ) ( ) ( )3 22 2 1 1 2 x x x x x x+ = + + b) ( ) ( ) ( ) ( )4 25 4 1 1 2 2 x x x x x x + = + +c) ( ) ( )( )4 2 23 4 1 1 4 x x x x x+ = + +

2.- Factoriza usando la Regla de Ruffinni: (en ocasiones puedes combinar mtodos como sacar factor comn, regla de Ruffinni y frmulas elementales).

3 2 3 2 3 2 4 3 2) 6 11 6; ) 1; ) 4 4; ) 7 6;a x x x b x x x c x x x d x x x x + + + + +979899100 600600600600) x x x xe +

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )11600)

;3211);221);11);321).297

2

++++++

x x xe

x x x xd x x xc x xb x x xaSol

UNIDAD 6: ECUACIONES Y SISTEMAS.

Tipo: Ecuaciones de primer grado.

12


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1.-Resuelve las siguientes ecuaciones.

( )

( )( )

2 2 1 1 2 433 2 2 3

5 52 5 3 1 3 13 2 3 3

2 42 1 42 12 3 3 2

3 2 3

3 1 14 2 223 4 2 3

x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x

+ + = + + +

+ = + + +=

+ = 4 35 56 38. ; ; ;

3 7 11 3Sol

2.-La suma de tres nmeros naturales consecutivos es 213. Quines son?Sol.- El 70,71 y 72

3.- Un vehculo sale de A con direccin a B y lleva una velocidad constante de 80 Km/h. En el mismoinstante, otro vehculo sale de B hacia A con una veloicdad de 60 Km/h. A qu distancia de A se cruzanlos dos vehculos, si A y B estn separadas de 50 Km?.Sol.- Aproximadamente a 28 kilmetros y medio del punto A.

4.- Un grifo tarda 3 horas en llenar un depsito y otro grifo tarda 4 horas. El depsito tiene un desageque lo vaca en 6 horas, estando los grifos cerrados. Cunto tiempo tardarn los dos grifos juntos enllenar el estanque si el desage est abierto?.Sol.- En 2 horas y 24 minutos.

5.- Carmen ha comprado una edicin facsmil de las Cantigas de Alfonso X. Le han hecho un 15% dedescuento y ha pagado 150 euros. Cunto costaba la obra?.Sol.- El precio es de aproximadamente 176 4

Tipo: Ecuaciones de Segundo Grado. 1.-Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado.

2

2

2

2

) 3 3 1)9 3

)5 02 5) 1

1

a x x x

b x

c x x x

e x x

= +=

= =

Sol.-3 3 1

) 1, 1; ) , ; ) 0, ; ) 2, 23 3 5

a x x b x x c x x d x x= = = = = = = =

2.-Resuelve las siguientes ecuaciones.

13


14/30


( ) ( )

( )

( )

2 22

2

2 39 1)5 4 2 5

1) 4 02

2) 13

x x xa

b x x

xc

+ + = +

+ = + =

Tipo: Ecuaciones de grado elevado y otras. 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado elevado descomponiendo por Ruffinni el polinomio o bien usando frmulas elementales.

3 2

3 2

3 2

4 3 2

) 11 31 21) 3 3) 9 9) 5 7 41 30

a x x x

b x x x

c x x x

d x x x x

+ = = ++ +

Sol.-) 1, 3, 7; ) 1, 1, 3; ) 1, 3, 3; ) 1, 2, 3, 5a x x x b x x x c x x x d x x x x= = = = = = = = = = = = =

2.-Resuelve las siguientes ecuaciones:) 3 2 4 0; ) 7 3 7; ) 5 10 8; ) 1 1a x b x x c x x d x x = = + + = =

Sol.- ) 6, ) 3; ) 18, 3; ) 2, 1a x b x c x x d x x= = = = = =

Tipo: Sistemas 2x2

1- Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas con fracciones.

+=+=+

+=++

=+

=

++=

65

42

4)(3

221272

1)

314

4)22(3

61

)(61

)(31

)

621

41

423

8)1(3

23

18

25

)

y x y y x

x y x x y

c

y x x y

y y x y x

b

x y

y x

a

Sol.-a)x=5,y=-4;b)x=39,y=-20;c) 1,1920 == y x

2.- Un nmero excede en tres unidades al duplo de otro. La diferencia entre cinco veces el menor y elduplo del mayor es igual a cuatro. Calcula ambos nmeros.Sol.- Los nmeros son 23 y 10

3.- La suma de dos nmeros es 50. Calcula dichos nmeros si siete veces el menor es igual al duplo delmayor disminuido en uno.

14


15/30


Sol.-Los nmeros son 39 y 11

4.-Dos personas han hecho una apuesta de 20 euros. Si gana la primera, tendr, despus de cobrar los 20euros, el triple del dinero que la segunda. En el caso contrario, las dos tendrn igual. Cuntos euros tenacada una antes de hacer la apuesta?.

Sol.- Tenan 100 y 60 euros

5.- Calcula la medida de los lados de un rectngulo tal que si se aumenta la base en cinco metros y sedisminuye la altura en cinco metros, el rea no vara, pero si se aumenta la base en cinco metros y sedisminuye la altura en cuatro metros, el rea aumenta en cuatro metros cuadrados.

Sol.- Como sale x=-1 equivale a decir que el problema no tiene solucin.

6.-Si mezclamos un tipo de caf de 576 ptas el kilo con otro de 744 ptas el kilo conseguimos 24 kilos decaf que se vende a 646 pesetas el kilo. Qu cantidad de cada clase de caf se ha mezclado?.

Sol.- Se mezclan 14 kilos del primero con 10 kilos del segundo.

7.-Disponemos de dos clases de billetes. Cinco billetes de la primera clase y veinte de la segunda suman300 euros; cuntos billetes de la primera y cuatro de la segunda suman 120 euros. Cul es el valor de un billete de cada clase?.

Sol.- Los billetes son de 20 y 10 euros.

UNIDAD 7: INECUACIONES Y SISTEMAS

Tipo : Inecuaciones de primer, segundo grado y sistemas con una incgnita.

1.-Halla el intervalo de solucin de las siguientes inecuaciones.

( ) ( ) ( )

3 1 3) 12 3 43 2) 3

2 35 1 1) 3 4 2 36 2 34 2 2) 6

5 2

x x xa

x xb

c x x x

x xd

+

+

Soluciones:

[ ) ( ]27 11) , ; ) 31, ; ) , ) , 5817 4a b c d

a)

2.-Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

2

2

2

2

) 5 6 0) 6 8 0)2 16 24 0) 3 4 0

a x x

b x x

c x x

d x x

+ > + < +

+ >

Soluciones:

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( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )) ,2 3, ; ) 2,4 ; ) 2,6 ; ) , 4 1,a b c d U U

3.-Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incgnita:

2

2

3 7) 1 0

2 3 3 5)

7 1 13 4

7 6 0)3 2 7

7 6 0)2 5 7

x

a x

x xb

x x

x xc

x

x xd

x

+ < < ++ + + + > + +

Soluciones:

[ ) ( ] { }5) 1,4 ; ) 8,4 ; ) ,6 ; ) 13a b c d

Tipo: Problemas de ecuaciones diversas y sistemas no lineales.

1.- La velocidad en la cada libre no depende de la masa de un cuerpo, sino de la gravedad. Toma stacomo 210 / g m s= . Si h es la altura, la velocidad de cada de un cuerpo viene dada por 2v gh= .

Un motorista sin casco impacta con una farola a 60 Km/h. Suponiendo que una planta de unedificio tiene 2,5 metros, averigua desde qu planta un suicida (como el motorista por no llevar casco)debera lanzarse para impactar con el suelo a igual velocidad. Nota (para pasar de Km/h a metros por segundo divide entre 3,6)

Solucin: Desde ms de un quinto.

2.-En un movimiento acelerado, la relacin entre distancia recorrida, aceleracin y tiempo es 212

s at = .Calcula el tiempo empleado por un objeto en caer desde una altura de 100 metros. (Toma

210 /a g m s= = ).

Solucin: 4,4721 segundos.

3.-La frmula que permite calcular el nmero de diagonales de un polgono convexo n n lados viene dada

por ( )3

2n n

N = donden = nmero de lados.Calcula cuantos lados tiene un polgono de 35 diagonales.

Solucin: 10 lados.

4.-Encuentra dos nmeros cuya suma sea 78 y su producto 1296.

Solucin: 24 y 54.

5.- Calcula las dimensiones de un rectngulo del que conocemos que su permetro es 34 metros y su rea60 metros cuadrados.

Solucin: 12 x 5 (metros)

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17/30


6.-Encuentra dos nmeros positivos cuya diferencia sea 7 y la suma de sus cuadrados 3809.

Solucin: 47 y 54.

7.-Calcula las dimensiones de un rectngulo cuya diagonal mide 13 m, y su rea, 60 metros cuadrados.

Solucin: 12 x 5 (metros) 8.-Una empresa de alquiler de coches cobra por da y por kilmetro recorridos. Un cliente pag 160 euros por 3 das y 400 km, y otro pag 175 euros por 5 das y 300 km. Averigua cunto cobran por da y por kilmetro.

Solucin: 20 euros al da; 0,25 euros por kilmetro.

Tipo: Problemas de inecuaciones.

1.- Si las calificaciones de un alumno en los controles de Matemticas de un trimestre han sido de 3 y 5,qu nota mnima deber obtener en el global para sacar de nota media al menos notable? El porcentajede peso es 20% en controles y 60% en global.

Solucin: Como mnimo un 9

2.-En un examen de 40 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada fallo.Cuntas preguntas hay que contestar bien para obtener como mnimo 40 puntos, si es obligatorioresponder a todas?

Solucin: [ ]24,40

3.- Dos compaas de telfonona mvil,Vodamena y Movisfone,ofrecen respectivamente una oferta para captar clientes.Vodamena ofrece por la adquisicin de una terminal, cobrar al mes 10 euros decuota fija ms 5 cntimos cada minuto de conversacin.Movisfoneofrece el mismo terminal pero

cobrando una cuota mensual de 20 euros al mes ms 3 cntimos llamada.a) Calcula el nmero minutos al mes que debes hablar para que te interese la compaaMovisfone. b) Cunto te costar al mes ese nmero mnimo de llamadas?

Soluciones:a) 501 minutos.b) 35,05 euros.

4.-Un grupo de amigos han reunido 50 euros para ir a la discoteca. Si la entrada cuesta 6 euros, les sobradinero, pero si cuesta 7 euros, les falta. Cuntos amigos son?

Solucin: 8 amigos.

UNIDAD 8: GEOMETRA DEL PLANO Y DEL ESPACIO.

Tipo: Teorema de Thales y Teorema de Pitgoras.

1.-Calcula los valores de x e y

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Soluciones: x = 6,8571 cm; y = 16,5 cm

2.- Se quiere construir una escalera en forma de A con una altura de 1,80 metros de modo que laseparacin de los pies sea de 80 cm. A su vez quiere ponerse un travesao a 40 cm de los pies de lamisma.

a) Calcula la longitud de las piezas laterales. b) Calcula la longitud del travesao.

Soluciones: Piezas laterales = 1,8440 m ; Travesao = 0,6222 m

3.-Calcula la apotema de una pirmide cuadrada en la que el lado de la base mide 24 cm, y la altura de la pirmide, 16 cm.

Solucin: 20 cm.

4.-Calcula el permetro y el rea de un rombo cuyas diagonales son 6 cm y 3 cm.

Soluciones : 213,4164 ; 9 P cm A cm= =

Tipo: Polgonos planos.

1- Calcula el rea de un hexgono regular de 20 cm de lado.

Solucin: 21039,2305 A cm=

2- Calcula el rea de un trapecio issceles cuyos lados son 5,6,5,12 cm.

Solucin: 236 A cm= Tipo: Crculos, sectores circulares, coronas circulares y trapecios circulares.

1- Expresa en grados los siguientes ngulos en radianes:

4)3

3)7

a rad

b rad

18


19/30


20/30


21/30


3:

1 22 1:

1 2

:3 3

xr

y

x y s

t x y

= = +

+= =

Soluciones:

) (3,1); ( 1, 2)

) (2, 1); ( 1, 2)

) ( 1, 3); (0, 3)

a A v

b A v

c v A

r

r

Tipo: Traslaciones y Simetras.

1.-En una traslacin segn ( )5,4v , Cules sern las coordenadas del punto P sabiendo que Ptiene por coordenadas P(6,-7) ?

Solucin: P(1,-13)

2.-Una parbola tiene por ecuacin 2 9 y x= a) Trasldala 1 unidad hacia abajo. b) Dibjalas y comprueba resultados.

Solucin:2( ) 10t f x x=

3.-Dada la funcin 2( ) 2 1 f x x x= + .a) Trasldala 2 unidades hacia arriba. b) Sobre el resultado, haz una simetra con respecto al eje Y.c) Sobre este resultado, trasldala 3 unidades hacia la izquierda.

Solucin:

2( ) 2 11 16t s f x x x+ = + +

Tipo: Trigonometra bsica.

1.- .Calcula los valores de:

) 210

) cos( 135 )

) 240

)cot 120

a sen

b

c tg

d g

= =

==

Soluciones :1 2 3

) ; ) ; ) 3; )2 2 3

a b c d

21


22/30


2.-Halla sin calculadora: cos 135 ; tg 330; cotg 315; cosec 150; sec 120

Soluciones:

2 3; ; 1;2; 22 3

3.-Halla sin calculadora: tg 1560 ; cosec 3555; sen (30); sec (-3285)

:13; 2; ; 22

Soluciones

Tipo: Problemas de Geometra Mtrica y Trigonometra.

1.-Dados los vectores ( )(3,4); 1,1a b , calcula:a) Sus mdulos.

b) Smalos.c) a bd)3be) .a bf) ngulo que forman.

Soluciones:

( )( )

( )

) 13; 2

) 2,5) 4,3

) 3,3)1)78 41 24.24

a a b

b

c

d

e

f

= =

uuuuur

uuuuur

uuuuuuur

2.-Averigua el valor de k para que los vectores( ) ( )4,1 ,3u y v k sean ortogonales.

Solucin:3

4k =

22


23/30


3.-Resuelve las siguientes cuestiones sobre ngulo que forman dos rectas.

: 2 0)

: 1 0

: 3 0) : 1 0

: 3 1) 3

: 53

: 3 1)

: 3 3

r x ya

s y

r x yb s x

r y xc x

s y

r y xd

s y x

= =

+ + = =

= +

=

= +

=

45;45;30;60Soluciones

29.- Te encuentras por una carretera cuando te dispones a bajar una pendiente por ella. Ves una seal de peligro 9%, que significa que por cada 100 metros que recorras con tu coche habr descendido 9 metros.Calcula el ngulo que forma la carretera con respecto a la horizontal. Si recorres por ella 1200 metros,qu distancia sobre la horizontal has recorrido?

Solucin:5948,99 =

UNIDAD 10: FUNCIONES Y GRFICAS.

Tipo : Representacin grfica.

1.-Representa grficamente las siguientes parbolas.

2

2

2

2

) ( ) 5 3

) ( ) 4 2

) ( ) 4 1

) ( ) 1

a f x x x

b f x x x

c f x x x

d f x x x

= += + = = +

23


24/30


2.-Representa grficamente los siguientes sistemas. Resulvelos usando el mtodo de Gauss y compruebaque las coordenadas del punto de corte de ambas rectas coincide con las soluciones del sistema.

3 8 2)

2 3

2 8)5

2 0)

2 82 2

)5

x ya

x y

y xb

x y

x yc

y x

x y yd

x

=+ =

+ = =+ =

=+ = +=

Soluciones:) 2, 1; ) 2, 3; ) 2, 4; ) 5, 3a x y b x y c x y d x y= = = = = = = =

Tipo: Dominios.

1.-Calcula el dominio de las siguientes funciones.

( )

2

2

2

4

3 2

) ( ) 31) ( )

1) ( ) 2

) ( ) 9

) ( ) 1) ( ) ln 7) ( ) log( 2)

3 1) ( )29 100

) ( )3 3

a f x x

b f x x

c f x x

d f x x

e f x x

f f x x

g f x x x

xh f x

x x x

i f x x x x

=

=

= = = += += +

= +

= +Soluciones :

( ) ( ) { }[ ) ( ] [ ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) { } ( ) { }

) , ; ) , 1 ; ) 2, ; ) , 3 3, ; ) , ; ) 7,) , 2 1, ; ) , 5, 2,2,5 ; ) , 1,1,3

a b c d e f

g h i

+ + + + +

U

U

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Tipo: Funciones por ramas.

1.- Representa grficamente las siguientes funciones por ramas. Para que te salgan bien, recuerda que esconveniente darle a la tabla de valores los valores frontera,

2

2

1, 0) ( )

1, 03, 2

) ( )2 1, 2

1, 1) ( ) 2 2, 1 1

1, 14, 0) ( )

1 3 , 0

x xa f x

x x

x xb f x

x x

x x

c f x x x

x x

x xd f x

x x

>= + + = + >

< = <

Tipo: Estudio visual.

1.- Estudia las caractersticas visuales de las siguientes grficas y calcula las imgenes de los valoresfrontera:

Soluciones: (En la otra hoja)

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( )( ]( ) { }

( ) { }( ]( )

( )( )( )

( ) { }( )

( ( )) ,

Re ( ( )) ,1

( ( )) , 0

( ( )) , 0)

( ) ,1

( ) 0,

(0,1)

(0) 1

( ( )) ,

Re ( ( )) ,

( ( )) ,)

( ( )) , 2

( ) ,

Dom f x

c f x

Cont f x

Derv f xa

f x en

f x en

MaxAbs P

f

Dom f x

c f x

Cont f xb

Derv f x

f x en

= +

=

= +

= +

=

=

= +

= +

= +

= + +

( ) { }[ )( ) { }( ) { }

( )( ) ( )

( )[ )

(2) 5

( ( )) , 1

Re ( ( )) 2,

( ( )) , 1

( ( )) , 1,1

) ( ) 0,( ) , 1 1,0

(0, 2)

( 1)

(1) 0

( ( )) ,

Re ( ( )) 4,

( (

)

f

Dom f x

c f x

Cont f x

Derv f x

c f x en f x en

MinAbs P

f

f

Dom f x

c f x

Cont f

d

=

= +

=

= +

= +

= =

=

= +

=

U

( ) { }( ) { }( )( ]

)) , 0

( ( )) , 0

( ) 0,

( ) , 0

(0, 4)

(0) 4

x

Derv f x

f x en

f x en

MinAbs P

f

= +

= +

=

=

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Tipo : Tasa de Variacin Media y problemas.

1.- El crecimiento de un hongo viene dado por la funcin 2( ) 2 f x x x= + y el de una bacteria vienedado por ( ) 50 10 g x x= + . Quin tiene mayor tasa de crecimiento entre las primera y tercera semanasde observacin?

Soluciones: En el hongo la TVM es de 50 y en la bacteria su TVM es de 6, por tanto el hongo.

2.-Una empresa de venta de ordenadores ofrece a sus vendedores dos opciones de contrato: Un sueldo fijo de 1300 euros mensuales Un sueldo fijo de 500 euros mensuales, ms una comisin de 40 euros por cada ordenador

vendido.

a) Encuentra la expresin algebraica para cada opcin. b) Si vendes 18 ordenadores un mes, qu opcin les interesa a los vendedores?c) Un vendedor ha cobrado este mes 1380 euros. Cuntos ordenadores ha vendido?d) Representa grficamente las dos situaciones en los mismos ejes de coordenadas. A partir de qu

nmero de ordenadores vendidos le interesa a un vendedor la segundo opcin?

Soluciones:a) ( ) 1300; ( ) 500 40 f x g x x= = + con x = semanasb) (18) 1220 g = euros, por tanto interesa ms la primera opcin.c) 22 ordenadores.d) A partir de 20 ordenadores vendidos.

3.- Un hotel dispone de un ascensor que vara su posicin respecto de la planta baja segn la siguientetabla:

Tiempo (s) 0 1 2 3Posicin (m) -30 -25 -20 -15

a) Si la posicin mxima que puede conseguir es de 80 metros, cuntos segundos tardar enrealizar el trayecto desde la planta baja?

b) Representa grficamente los valores de la tabla.c) Halla la expresin de la funcin correspondiente.

Soluciones:

a) 22 segundos.c) ( ) 5 30 f x x= , siendo x = tiempo en segundos

4.- Un jardinero quiere hacer unos parterres en forma de tringulos issceles de manera que todos tenganun permetro de 5 metros. Elabora una tabla de valores con algunas posibilidades para establecer cuantotiene que medir el lado desigual en funcin de lo que midan los dos lados iguales. Representagrficamente los valores y halla la expresin de la funcin correspondiente.

Solucin:

( ) 5 2 f x x= siendo x = longitud del lado del tringulo de igual longitud

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EL SIGUIENTE TEMA NO LLEGAMOS A DARLO, PERO S ESRECOMENDABLE QUE LO HAGIS, SOBRE TODO SI ESTIS APUNTADOSA ACADEMIAS, ETC.

UNIDAD 11: ESTADSTICA Y PROBABILIDAD.

Tipo : Tablas estadsticas.

1.-Se ha realizado una encuesta acerca del nmero de coches que tienen las familias de un barrio de Jan.Los resultados han sido:

3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 3, 0, 1, 3, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2,1, 1, 1, 3, 2, 1.

a) Construye una tabla estadsticas en donde aparezca la frecuencia porcentual. b) Cul es la moda? Qu porcentaje se alcanza en sta?c) A qu valor corresponde el menor porcentaje?d) Qu significa que 6 no est en el rango de esta distribucin?e) Calcula el valor mediano.

Soluciones: b) Mo = 1, al 48,98%; c) X = 0 (0 coches); e) Un coche.

Tipo: Clculos estadsticos.

1.- En el mundial de Frmula 1, las puntuaciones de Alonso y Hamilton obtenidas en las carrerasdisputadas hasta ahora en esta temporada han sido:

Alonso: 25, 12, 0, 12, 18, 8, 4, 15, 4, 0, 25, 18, 0, 25, 25, 12 Hamilton: 15, 8, 8, 18, 0, 10, 25, 25, 18, 18, 12, 0, 25, 0, 0, 8

a) Qu piloto tiene ms media de puntos por carrera? b) Son regulares?c) Qu piloto es ms regular? (Para comparar usa el coeficiente de variacin que te defin en el

ejercicio 4. El de menor coeficiente de variacin, es ms regular que el otro).d) Sabiendo que ambos pilotos han ocupado las tres primeras plazas en alguna carrera, cmo se

puntan stas?

Soluciones: a) Alonso con 12,6875 puntos por carrera. b) No, ninguno. c) Alonso porque su Cv = 0,7174.d) 25 puntos, 18 puntos y 15 puntos.

2.- Un dentista observa el nmero de caries en cada uno de los 100 nios de 1 ciclo de la ESO, pero por problemas de impresora, se han perdido algunos datos. Se sabe.

Con 0 caries hay 25 niosCon 1 caries hay 20 niosCon 2 caries se desconoce.Con 3 caries hay 15 nios.Con 4 caries se desconoce.

Con 0 caries hay el 25%Con 1 caries hay el 20%Con 2 caries se desconoce el porcentaje.Con 3 caries hay el 15%Con 4 caries hay el 5%

a) Completa la tabla de frecuentas y frecuencias porcentuales. b) Calcula la media de caries por alumno.c) Calcula la moda e interprtala.

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d) Calcula la mediana e interprtala.e) Calcula el rango e interprtalo.f) Calcula la desviacin tpica e interprtala.

Soluciones: b) 1,55 x = ; c) Mo = 2; d) Me = 2; e) Rango 0 a 4; f) 1,1608n =

Tipo: Representaciones grficas.

1.-Haz una representacin grfica de la siguiente distribucin:

X = peso en kilos de 100 alumnos de un colegio

60 - 63 63 66 66 - 69 69 - 72 72 755 18 42 27 8

a) Construye el histograma de frecuencias b) Construye la poligonal de frecuentas.c) Haz tabla estadstica y aade la frecuencia porcentual.

d) Representa mediante un diagrama de sectores la anterior tabla.Tipo: Sucesos de probabilidad y concepto de probabilidad.

1.- Construye el espacio de sucesos (o espacio muestral) de los siguientes experimentos aleatorios ycuenta el nmero total de posibilidades (tamao del espacio muestral).

a) Lanzar una moneda y un dado. b) Extraer una bola de una urna con 5 bolas negras, 6 blancas y 2 azules.c) Lanzar dos dados.

Soluciones: 12, 13, 36

Tipo : Ley de Laplace y diagramas de rbol.1.-Se lanza un dado de 6 caras. Calcula la probabilidad de:a) Obtener nmero primo. b) Obtener nmero impar.c) No obtener un 5d) Obtener un 1 un 6.e) Obtener un 8.

Soluciones: 50%, 50%, 83,33%, 33,33%, 0%

2.-En una baraja de cuarenta cartas, se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de:a) Obtener As. b) Obtener figura.c) No obtener corazones.d) Obtener corazones si antes han salido un trbol y dos corazones.e) No obtener figura si antes han salido 3 figuras.

Soluciones: 10%, 30%, 75%, 21,62%, 75,68% 3.-Un concurso televisivo consiste en elegir una urna con regalos. Sabes que:

Urna 1: hay cinco bicicletas, siete PsP, tres enciclopedias.Urna 2: hay tres bicicletas, catorce PsP, diez enciclopedias.Urna 3: hay quince bicicletas, veinte PsP, nueve enciclopedias.

Por qu urna apostaras para obtener con mayor probabilidad una PsP?. Y para obtener una bicicleta?Y una enciclopedia?

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Soluciones: Urna 2 por haber un 51,85%; Urna 3 por haber un 34,04%; Urna 2 por haber un 37,04%

4.-Calcula la probabilidad de:

a) Sacar rey si la carta escogida ha sido figura.

b) Sacar figura si la carta escogida ha sido rey.Solucin: 33,33%; 100%

5.- En Jan se sabe que en el mes de noviembre, si hoy hace sol, la probabilidad de que maana haga soles de 5/6, pero si hoy est nublado, la probabilidad de que maana lo siga estando es de 3/5. Si hoy es jueves y est nublado, cul es la probabilidad de que el domingo sea un da nublado? Construye undiagrama de rbol para averiguarlo.

Solucin: 35,16%

Tipo : Probabilidad condicionada.

1.- En una baraja espaola se extraen 3 cartas con y sin reemplazo. Calcula en cada caso la probabilidadde:

a) Obtener un As en la primera carta, y figura en la segunda y tercera carta. b) Obtener un as y dos figuras.c) Obtener tres asesd) No obtener ningn As.

Soluciones: Con reemplazo: 0,9%; 0,9%; 0,1%; 72,90%. Sin reemplazo: 0,89%; 0,89%; 0,04%; 72,27%

2.-En 3 de la ESO hay 29 chicas y 22 hombres. De entre las chicas, 10 llevan gafas y de entre los chicos12 las usan. Calcula la probabilidad de:

a) Escogido un alumno que lleve gafas sea un chico. b) No use gafas si es chica.

Soluciones: 54,55%; 65,52%

3.- En una bolsa hay 40 bolas huecas y dentro de cada una hay un papel en el que pone Premio o NoPremio. La distribucin de las bolas est en la siguiente tabla:

Rojas Verdes Azules TotalesPremio 15 4 1 20No Premio 5 4 11 20Totales 20 8 12 40

a) Calcula las probabilidades de: Obtener premio, No obtener premio; Obtener premio si antes hasalido roja; Si ha salido premio, sacar roja.

b) Hemos sacado una bola verde. Qu probabilidad hay de que haya premio en su interior? Y sila bola es azul?

c) Se ha sacado una bola y dentro pone Premio. Cul es la probabilidad de que sea verde?

Soluciones: a) 50%; 50%; 75%; 75%; b) 50%; 8,33%; c) 5%

Refuerzo del verano 3º ESO

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