Ejercicio resuelto - Transferencia de calor en régimen transitorio
Régimen Transitorio
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jportilla© 2012jportilla© 2012
Teoría de CircuitosGrado en Ingeniería en Organización
industrialGrado en Ingeniería en Tecnología naval
Curso 2012-2013
Tema 6 – Régimen transitorioJ PORTILL
A
jportilla© 2012
Objetivos: Después de completar este tema debes ser capaz de :
• Saber que es el orden de un circuito lineal y de que factores depende.
• Comprender la importancia de la constante de tiempo en los circuitos lineales de primer orden y aprender a calcularla.
• Diferenciar en un circuito de primer orden las respuestas a entrada 0 y estado 0.
• Conocer la respuesta completa de un circuito de primer orden.
• Indicar casos reales de circuitos de primer orden, carga y descarga de un condensador y energización y desenergización de la bobina.
• Diferenciar entre respuesta natural y forzada de un circuito.
J PORTILL
A
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Régimen Transitorio
• Cuando se produce un cambio en las magnitudes de un circuito, tensión o intensidad, decimos que el circuito está en régimen transitorio.
• Al cambiar las condiciones de un elemento de un circuito se pierde el régimen permanente, y tras sucederse los cambios de tensión / intensidad se vuelve de nuevo al equilibrio en otro régimen permanente.
• Al intervalo entre los dos regimenes permanentes se le denomina régimen transitorio.
J PORTILL
A
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Régimen transitorio y régimen permanente (RT y RP)
Tiempo (µs)
20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10
Intensidad condensador
Tensión condensador
J PORTILL
A
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RT y RP Condensador
R. Transitorio R. Permanente
vc
J PORTILL
A
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Consideraciones sobre la constante de tiempo
• La constante de tiempo de un circuito τ es el tiempo requerido para que la respuesta crezca al 63.2% del valor final.
• Despues de 5τ se considera que el circuito esta en régimen permanente.
63.2%
86.5%95.0%
98.2% 99.3%
1τ 2τ 3τ 4τ 5τ
Valor final
crecimiento de la
respuesta
Valor inicial J PORTILL
A
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Consideraciones sobre la constante de tiempo II
• La constante de tiempo de un circuito τ es el tiempo requerido para que la respuesta decrezca al 36,8% del valor inicial.
• Despues de 5τ se considera que el circuito esta en régimen permanente.
36.8%
13.5%
0.07%1.8%5.0%
1τ 2τ 3τ 4τ 5τ
Valor inicial
Valor final
Decaimiento de la
respuesta
J PORTILL
A
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Consideraciones sobre la constante de tiempo III
• Cuanto menor sea la constante de tiempo mas rápida será la respuesta del circuito
J PORTILL
A
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Determinación de la constante de tiempo
• Para un circuito RC τ = Requiv.C• Para un circuito RL τ = L / Requiv
• Requiv es la resistencia equivalente “vista” por el condensador o la bobina, calculada anulando fuentes y colocando los interruptores en su posición final
J PORTILL
A
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Circuitos de primer orden
• Los cambios en las magnitudes que se dan durante el régimen transitorio se pueden representar mediante una ecuación diferencial.
• Cuando en el circuito solo existen elementos almacenadores de una sola naturaleza, la ecuación será de primer orden, y decimos que el circuito es de primer orden.
• τ = constante de tiempo
( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ
+ =
J PORTILL
A
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Circuito RC
• Ecuación diferencial de primer orden por tener dos variables.
( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ
+ =.R Cτ =
( ) ( )( ) ( ) ( )R Cv t dv ti t i t i t CR dt
= + = + ⇒
1 ( ) 1( ) ( ).
dv ti t v tC dt R C
⇒ = +
' ( ) 1( ) ( ).
dv tg t v tdt R C
= +J PORTILL
A
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Circuito RL ( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ
+ =LR
τ =
( ) 1( ) ( ) ( ) ( )R Lv ti t i t i t v t dtR L
= + = + ⇒∫
( ) ( ) ( )di t dv t RR v tdt dt L
⇒ = +
( ) 1 ( ) 1 ( )di t dv t v tdt R dt L
⇒ = + ⇒
' ( )( ) ( )dv t Rg t v tdt L
= +
• Ecuación diferencial de primer orden por tener dos variables.
J PORTILL
A
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Solución de las ecuaciones• La respuesta obtenida al resolver la ecuación diferencial
tiene 2 componentes:• Solución de la homogénea (fh(t))• Solución particular (fp(t))
( ) ( ) ( )h pf t f t f t⇒ = +
01 ( )( ) 1 . ( ) 0 ( ) .
t t
hdf t f t f t k e
dtτ
τ− −
+ = → =
( ) ( )pf t f t∞=
( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ
+ =
Respuesta en régimen transitorio
Respuesta en el nuevo régimen permanente
J PORTILL
A
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Para obtener el valor de la constante k, emplearemos las condiciones iniciales:
• Habitualmente se expresa:
01 ( )
( ) ( ) ( ) . ( )t t
hf t f t f t k e f tτ− −
∞= + = +
1.0
0 0. ( ) ( )k e f t k f tτ−
∞ ∞= + = +
0 0es decir k ( ) ( )f t f t∞= − ⇒
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) . ( )t t
f t f t f t e f tτ− −
∞ ∞⇒ = − +
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
0 0 0 0( ) ( ) ( )h pt t f t f t f t= → = + =
J PORTILL
A
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• Para obtener la respuesta transitoria del circuitos de primer orden:1. Se calcula el valor inicial: f(t0).2. Se obtiene la respuesta en régimen permanente final: f∞(t).3. Se determina la respuesta en régimen permanente en el instante inicial: f∞(t0)
4. Se define la constante de tiempo: τ.
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
J PORTILL
A
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Para determinar los valores iniciales de la tensión y la intensidad se tendrá en cuenta las características propias de la bobina y el condensador• El condensador no permite cambios bruscos de
tensión:
• La bobina no permite cambios bruscos de intensidad:0 0( ) ( )C Cv t v t+ −=
0 0( ) ( )L Li t i t+ −=
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero I
• REGIMEN ESTACIONARIO: El condensador está cargado, en sus bornes tiene una tensión de valor v0=E V
0t∀ <
• REGIMEN TRANSITORIO: El condensador comienza a descargarse sobre la resistencia.
• Se establece una circulación de intensidad y una tensión en R igual a la tensión en C.
0t∀ ≥J P
ORTILLA
jportilla© 2012
Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero II
• En el circuito del régimen transitorio se puede sustituir el condensador cargado por una fuente de tensión con el valor de la tensión del condensador en el instante t=0, en serie con un condensador descargado para obtener la ecuación que define el régimen transitorio
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero III
• Intensidad en el condensador:• La ecuación que define el circuito en régimen
transitorio se obtiene del circuito para
( ) 10 ( )di tR i tdt C
= −
1 ( )0 ( ) di ti tRC dt
= +
0t∀ ≥
Que también podemos expresar:
J PORTILL
A
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Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero IV
• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la intensidad
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
( )1 .( 0)
( ) ( ) (0) (0) .t
RCi t i t i i e− −
∞ ∞= − −
1
( ) 0 0 .t
RCEi t eR
− = − −
1
( )t
RCEi t eR
−=
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero V
1
( )t
RCEi t eR
−=
• Esta ecuación es exponencial decreciente
i(t)
E/R
J PORTILL
A
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Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero VI• La tensión en el condensador:
La ecuación que define el circuito en régimen transitorio donde aparece como variable la tensión es la siguiente, obtenida a partir del circuito en régimen transitorio:
( )( ) v ti tR
=
( )( ) dv ti t Cdt
= −
( ) ( )v t dv tCR dt
= −J PORTILL
A
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Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero VII
• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la tensión
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
( )1 .( 0)
( ) ( ) (0) (0) .t
RCv t v t v v e− −
∞ ∞= − −
1
( ) .t
RCv t E e−
=( )1
( ) 0 0 .t
RCv t E e−
= − −
J PORTILL
A
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Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero VIII
• Esta ecuación es exponencial decreciente
1
( ) .t
RCv t E e−
=v(t)
E
J PORTILL
A
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• Según el 2º lema de kirchoff
– obtenemos
0iR v+ =• Suponemos que para t = 0, VC = V
• Consideremos este circuito para analizar la descarga del condensador
Descarga del condensador
0iR v+ =
d 0dvCR vt
+ =
J PORTILL
A
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• Resolviendo obtenemos
donde I = V/R
La variación de la carga en el condensador esta dada por:
q(t) = Q e-t/τ
Siendo la constante de tiempo: τ = RC.
e et t- -
CRi I I Τ= − = −
.e .et t- -
CRv V V Τ= =
J PORTILL
A
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero I
• REGIMEN ESTACIONARIO: La bobina está cargada, la intensidad que circula por ella en el instante t=0 vale: I0=E/R. La tensión es nula en bornes de la bobina.
0t∀ <
• REGIMEN TRANSITORIO: La bobina comienza a descargarse sobre la resistencia.
• Aparece tensión en bornes de la bobina.
0t∀ ≥J P
ORTILLA
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero II
• En el circuito del régimen transitorio se puede sustituir la bobina cargada por una fuente de intensidad con el valor de la intensidad de la bobina en el instante t=0, en paralelo con una bobina descargada a fin de obtener la ecuación que define el régimen transitorio.
J PORTILL
A
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero III
• Tensión en extremos de la bobina:• La ecuación que define el circuito en régimen transitorio
se obtiene del circuito para 0t∀ ≥
Que también podemos expresar:
00
( ) 1( ) ( ).tv ti t i v t dt
R L= − = + ∫
1 ( ) 10 ( )dv t v tR dt L
− = +
( )0 ( )R dv tv tL dt
= +
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero IV
• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la intensidad
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
( ).( 0)
( ) ( ) (0) (0) .R tLv t v t v v e
− −
∞ ∞= − −
( )0( ) 0 0 . .RtLv t R I e
−= − −
0( ) . .RtLv t R I e
−=
J PORTILL
A
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero V
• Esta ecuación es exponencial decreciente
v(t)
R.I00( ) . .
RtLv t R I e
−=
J PORTILL
A
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero VI
• La intensidad por la bobina:La ecuación que define el circuito el régimen transitorio se obtiene del circuito para: 0t∀ ≥
( )( ) di tv t Ldt
=
( ) ( )v t Ri t= −( )( ) di tRi t L
dt− =
J PORTILL
A
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero VII
• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la intensidad
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
( ).( 0)
( ) ( ) (0) (0) .R tLi t i t i i e
− −
∞ ∞= − −
( )0( ) 0 0 .RtLi t I e
−= − − 0( ) .
RtLi t I e
−=
J PORTILL
A
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Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.
Respuesta de un circuito a entrada cero VIII
• Esta ecuación es exponencial decreciente
i(t)
I0
0( ) .RtLi t I e
−=
J PORTILL
A
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• Según el 2º lema de kirchoff
– obtenemos
0iR v+ =• Suponemos que para t = 0, v = 0
• Consideremos este circuito para analizar la desenergización de la bobina
Desenergización de la bobina
0iR v+ =
d 0d
R v vL t
+ =
J PORTILL
A
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Resolviendo obtenemos:
e eRt t- -Lv V V Τ= − = −
Donde I = V/R.e .eRt t- -Li I I Τ= =
.e .eRt t- -Lv V V Τ= − = −
J PORTILL
A
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.e .eRt t- -Li I I Τ= =.e .e
Rt t- -Lv V V Τ= − = −J P
ORTILLA
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Todas las funciones que se han obtenido en las descargas del condensador y de la bobina tanto para tensiones como para intensidades son funciones exponenciales decrecientes.
• Para valores mayores de 5τ se supone alcanzado régimen permanente pues el valor que toma la función es insignificante
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta del condensador a estado inicial cero, excitado por fuente I
• El estado inicial cero significa que el condensador no tiene energía almacenada en el instante inicial.
(0) 0v =
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )h pv t dv ti t C v t v t v tR dt
= + → = +
J PORTILL
A
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Respuesta del condensador a estado inicial cero, excitado por fuente II
• Respuesta:• Homogénea
• Solución particular: vp(t) la solución permanente dependerá de la naturaleza de la fuente de alimentación.
( ) ( ) 1 ( )0 ( )v t dv t dv tC v tR dt RC dt
= + = +
1
1( ) .t
RChv t k e=
J PORTILL
A
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Respuesta de la bobina a estado inicial cero, excitado por fuente I
• El estado inicial cero significa que la bobina no tiene energía almacenada en el instante inicial
(0) 0i =
( )( ) . ( ) ( ) ( ) ( )h pdi tv t R i t L i t i t i tdt
= + → = +
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta de la bobina a estado inicial cero, excitado por fuente II
• Respuesta:• Homogénea
• Solución particular: ip(t) la solución permanente dependerá de la naturaleza de la fuente de alimentación.
( ) ( )0 . ( ) ( )di t L di tR i t L i tdt R dt
= + = +
1( ) .RtL
hi t k e=
J PORTILL
A
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Respuesta para fuentes de corriente continua y
condiciones iniciales nulasJ P
ORTILLA
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Respuesta del condensador a estado inicial cero I
• En régimen permanente y C.C. el condensador es un interruptor abierto, así:
1
1( ) .t
RChv t k e
−=
( ) en función del régimen permanentepv t ≡
v ( ) .p t R I=
1
1( ) . .t
RCv t k e R I−
= +
( ) ( ) ( )h pv t v t v t= +
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta del condensador a estado inicial cero II
• Sabemos que v(0)=0, lo utilizamos para determinar k1
el condensador no permite cambios bruscos de tensión
1 0
1(0) 0 . .RCv k e R I−
= = +
1 .k R I=
1
( ) . 1t
RCv t RI e−
= −
v(t)
RI
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta del condensador a estado inicial cero III
• A partir de la expresión de la tensión se pueden obtener las intensidades
1( )( ) . 1t
RCR
v ti t I eR
= = −
1( )( ) .t
RCC
dv ti t C I edt
= =
( ) ( )R Ci t i t I+ =
J PORTILL
A
jportilla© 2012
sustituyendo
ddvi Ct
=Entonces en el condensador:
En el circuito de la figura aplicamos el 2º lema de Kirchoff
Carga del condensador
εViR v V+ =
d.dvC R v Vt
+ =
J PORTILL
A
jportilla© 2012
d.dvC R v Vt
+ =
• Como i = C.dv /dt obtenemos (suponiendo VC = 0 en t = 0)
Si VC = 0 en t = 0, su solución es del tipo:
• Es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes
donde I = V/ R..e .et t- -
C Ri I I Τ= =
.(1 e ) .(1 e )t t- -
CRv V V Τ= − = −
J PORTILL
A
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• Por tanto la representación de la tensión e intensidad es exponencial
.(1 e ) .(1 e )t t- -
CRv V V Τ= − = − ..e .et- -
C Ri I I= =J PORTILL
A
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Variación de la carga eléctrica en el proceso
Suponemos que en t = 0, el condensador esta descargado, y cerramos el interruptor. La variación de la carga en el condensador a lo largo del tiempo t es: q = qmax(1 – e -t/τ)
La constante de tiempo es τ = RC, y qmax es el máximo valor de la carga que puede adquirir el condensador qmax=C e
La intensidad esta dada por la expresión:
I = (V/R)e-t/τ
J PORTILL
A
jportilla© 2012
• En este caso la tensión e intensidad tienen la forma de exponenciales decrecientes
.e .et t- -
CRv e e Τ= =
I=e/Re
e
e et t- -
CRi I I Τ= − = −
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta de la bobina a estado inicial cero I
• En régimen permanente y C.C. la bobina es un interruptor cerrado, así:
1( ) .RtL
hi t k e=
( ) ( ) ( )h pi t i t i t= +
( ) en función del régimen permanentepi t ≡
( )pVi tR
=
1( ) .RtL Vv t k e
R= +
vR(t)
vL(t)
v(t)
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta de la bobina a estado inicial cero II
• Sabemos que v(0)=0, lo utilizamos para determinar k1
el condensador no permite cambios bruscos de tensión
1
( ) . 1t
RCv t RI e−
= −
i(t)
V/R
0
1(0) 0 .RL Vi k e
R= = +
1VkR
= −
( ) . 1RtLVi t e
R−
= −
J PORTILL
A
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Respuesta de la bobina a estado inicial cero III
• A partir de la expresión de la intensidad se pueden obtener las tensiones
( ) ( )R Lv t v t V+ =
( ) . ( ) . 1RtL
Rv t R i t V e
= = −
( )( ) .RtL
Ldi tv t L V edt
−= =
v(t)
V
vR(t)
vL(t)
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Energización de la bobina
sustituyendo
iR v V+ =
Entonces en la bobina:
En el circuito de la figura aplicamos el 2º lema de Kirchoff
1 ddvi
L t=
dd
R v v VL t
+ =
J PORTILL
A
jportilla© 2012
(1 e ) (1 e )Rt t- -Li I I Τ= − = −
dd
R v v VL t
+ =
• Como i = R/L .dv / dt obtenemos (suponiendo IL = 0 en t =0)
Si IL = 0 en t = 0, su solución es del tipo:
• Es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes
donde I = V / R
.e .eRt t- -Lv V V Τ= =
J PORTILL
A
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• Teniendo la tensión e intensidad forma exponencial
.e .eRt t- -Lv V V Τ= = (1 e ) (1 e )
Rt t- -Li I I Τ= − = −J P
ORTILLA
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Todas las funciones que se han obtenido en la carga del condensador y de la bobina tanto para tensiones como para intensidades son funciones exponenciales crecientes.
• Para valores mayores de 5τ se supone alcanzado régimen permanente pues el valor que toma la función es insignificante
J PORTILL
A
jportilla© 2012
• A partir de la ecuación de la solución se puede simplemente lograr las respuestas a los circuitos tratados.
• Trabajando para ello con la tensión en el caso de circuito RC ya que el valor de la tensión no experimenta cambios bruscos en el condensador y trabajando con la intensidad en circuitos RL donde la bobina no experimenta cambios bruscos de intensidad.
• De esta forma serán conocidos vc(0) e iL(0) respectivamente.
( ) 01.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
f t f t f t f t e τ− −
∞ ∞= − −
J PORTILL
A
jportilla© 2012
0con 0( )(0)
(0) 0
C
C
C
tv t RIv RIv
∞
∞
===
=
1
( ) .t
RCCv t RI RI e
−= −
( ) 01 .( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
RCC C C Cv t v t v t v t e
− −
∞ ∞= − −
J PORTILL
A
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Respuesta para fuentes de corriente alterna y
condiciones iniciales nulasJ P
ORTILLA
jportilla© 2012
Respuesta del condensador a estado inicial cero I
• Es preferible trabajar con la tensión por no permitir el condensador saltos bruscos de tensión, así sabemos que: 0 0( ) ( )C Cv t v t+ −=
( ) 01 .( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t
RCC C C Cv t v t v t v t e
− −
∞ ∞= − −
0con 0t = 0( 0) 0Cv t = = RCτ =
J PORTILL
A
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Respuesta del condensador a estado inicial cero II
• En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto:
0º º1 ºE EI I A
ZR jC
ϕϕ
ω
∠= = = ∠
∠ −−
90º º 90º
1 1. ºCV IC C ϕ
ϕω ω∠− ∠ −
= ∠ =
( )1( ) 2 cos 90ºCv t tC
ω ϕω∞ = + −
( )1(0) 2 cos 90ºCvC
ϕω∞ = −
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta del condensador a estado inicial cero III
• Respuesta: función coseno (homogéna) + función exponencial decreciente (particular).
( )
( )11
1 2 co(
2 cos 90
s º)
º .
90
tR
C
CeC
v tC
t
ϕω
ω ϕω
−
+ −= −
−J P
ORTILLA
jportilla© 2012
Respuesta de la bobina a estado inicial cero I
• Es preferible trabajar con la intensidad por no permitir la bobina saltos bruscos de intensidad, así sabemos que: 0 0( ) ( )L Li t i t+ −=
0con 0t =
( ) 0.( )
0 0( ) ( ) ( ) ( ) .R t tL
L L L Li t i t i t i t e−
∞ ∞= − −
0( 0) 0Li t = =
LR
τ =
LR
τ =
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta de la bobina a estado inicial cero II
• En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto:
( )( ) 2 cosLi t I tω ϕ∞ = −
0º ºº
V VI I AR j L Z
ϕω ϕ
∠= = = ∠ −
+ ∠
( )(0) 2 cosLi I ϕ∞ = −
J PORTILL
A
jportilla© 2012
Respuesta de la bobina a estado inicial cero III
• Respuesta: función coseno (homogéna) + función exponencial decreciente (particular).
( )
( )( )2 co( s)
2 cos .R
L
tL
I t
I
i
e
t ω ϕ
ϕ−
− −
−
=
−J P
ORTILLA