3.5.1 Introduccin.Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. Considere una relacin R definida en H de la siguiente manera:Si x e y pertenecen a H, se dice que "x est en relacin con y s y slo s x es compatriota de y".Con la anterior definicin queda establecida la relacin:

R = {(x, y) / x, yH"x es compatriota de y"}.

Esta relacin es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. Es simtrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". Es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".Sea un elemento fijo de H. se denota porel conjunto formado por los compatriotas de a, es decir:= {xH / x R a}.

a est formado por la poblacin del pas del cual es nativo a. Por ejemplo, si a es colombiano,= {xH / x es colombiano}.Al individuo se le llama un "representante del conjunto a". Cualquier colombiano puede ser un representante. Eligiendo los diferentes representantes se obtiene la divisin de la humanidad en pases.

Si se toma otro elemento fijo bH y se forma el conjunto := {xH / x R b},pueden ocurrir dos casos:

- Que a R b. En tal caso=.

- Que ab, y entoncesyson conjuntos disjuntos, es decir, pases diferentes.

Siguiendo este proceso se obtienen tantos conjuntos como pases existen. Se puede verificar que cada conjunto es no vaco y que no existe interseccin entre cada dos de ellos, adems que la unin de todos ellos es el conjunto H.

Una relacin que produce sobre el conjunto en el cual se define una clasificacin con las caractersticas anteriores, se llamarelacin de equivalencia.

3.5.2 Definicin.Sea A un conjunto no vaco y R una relacin en A. R es unarelacin de equivalenciaen A, si R es reflexiva, simtrica y transitiva en A.

Ejemplo 1.Aes una relacin de equivalencia en A (A0).

Ejemplo 2.La relacin de paralelismo definida entre la rectas del plano euclideo, es una relacin de equivalencia, pero no lo es la relacin de perpendicularidad.Ejemplo 3.Sean a y b enteros y n un nmero fijo positivo. EnZ(conjunto de los enteros) se define una relacin de la siguiente manera:

Se dice que a es congruente con b mdulo n y se escribe, ab (mod n) s y slo s n(ab), es decir,ab = kn con kZ.

En tal caso, el par (a,b) pertenece a la relacin. Esta relacin se llamacongruencia mdulo n.Rn= {(x, y) / xy mod n, x, yZ}.

Rnes reflexiva, puesto que xx mod n. xx = 0 = 0n0Z.Rnes simtrica. si xy mod n, xy = kn con kZ. Luego, yx =kn,kZ. Es decir, yx mod n.Rnes transitiva enZ. Sean xy mod nyz mod n, entonces:xy = k1nyz = k2n, k1y k2Z.xyyz = (k1k2)n.xz = (k1k2)n, (k1k2)Z.sea k = k1k2, luego xz = kn y en consecuenciaxz mod n.

3.5.3 Clases de equivalencia.

Definicin.Sea A un conjunto no vaco, R una relacin de equivalencia en A y x un elemento fijo en A. Al conjunto de todos los elementos de A relacionados con x, se le denominaclase de equivalencia de x con respecto a Ry se le denota: x.En consecuencia,

= {yA / y R x}.yyAy R x.yyAyx.El elemento fijo x se llamarepresentante de clase.3.5.4 Teorema.Sea R una relacin de equivalencia en un conjunto no vaco A. Entonces, 0 para cualquier xA. Si x, yA, entonces== 0. Sean:1,2, ... ,nlas clases de equivalencia de A. Entonces,12...n= A.

Demostracin: Como A0, existe un xA y puesto que x R x, entonces:x

Sean x,yA, x R yxy.

Si x R y entonces=. En efecto, sea a,a R x, y como x R y, a R y,luego a. Por tanto,. (1).Sea ay, a R y, como x R y,y R x,luego a R x, y por tanto a. En consecuencia. (2).

De (1) y (2),=.Si xy, entonces= 0. En efecto, si0, existe un a tal que: aa, luego a R xa R y.Por simetra, x R aa R y, entonces por transitividad x R y. Absurdo! Luego.= 0.

Definicin.Sea R es una relacin de equivalencia en A. El conjunto formado por todas las clases de equivalencia respecto a R, se llamaconjunto cocientede A por R, y se denota AR. En consecuencia,AR = {/ xA}.