Repaso de cálculo -...
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GRM. Física I. Semestre 2013-1 1 Repaso de cálculo Referencias: - Ohanian, H. C. y Markert, J. T., Fisica para Ingeneiría y ciencias, Volumen 1, 3era. Edicion, Mc. Graw Hill, 2009 - Serway, R. A. y Jewett, J. W., Physics, e-book, 2005 a) D E R I V A D A S Ejemplo: si la posición de una partícula es alguna función del tiempo, por ejemplo x = x(t) , entonces la velocidad instantánea de la partícula es la derivada de x con respecto a t : = …pero ¿cómo se define la derivada? = lim Δ→0 Δ Δ De manera general, si f = f(u) es alguna función de la variable u, la derivada de f con respecto a u se define como = lim Δ→0 Δ Δ
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GRM. Física I. Semestre 2013-1
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Repaso de cálculo
Referencias: - Ohanian, H. C. y Markert, J. T., Fisica para Ingeneiría y ciencias, Volumen 1, 3era. Edicion, Mc. Graw Hill, 2009
- Serway, R. A. y Jewett, J. W., Physics, e-book, 2005
a) D E R I V A D A S Ejemplo: si la posición de una partícula es alguna función del tiempo, por ejemplo
x = x(t) , entonces la velocidad instantánea de la partícula es la derivada de x con
respecto a t :
𝑣 =𝑑𝑥
𝑑𝑡
…pero ¿cómo se define la derivada?
𝑑𝑥
𝑑𝑡= limΔ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
De manera general, si f = f(u) es alguna función
de la variable u, la derivada de f con respecto a
u se define como 𝑑𝑓
𝑑𝑢= limΔ𝑢→0
Δ𝑓
Δ𝑢
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Repaso de cálculo
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Repaso de cálculo REGLAS IMPORTANTES DE DIFERENCIACIÓN
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Repaso de cálculo REGLAS IMPORTANTES DE DIFERENCIACIÓN
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Repaso de cálculo b) I N T E G R A L E S Ejemplo: si ahora la velocidad instantánea se conoce como una función
del tiempo ¿ es posible determinar la posición?
Para el caso especial del movimiento con aceleración constante, la
velocidad en función del tiempo tiene la forma
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
la posición x a partir de la ec. anterior es
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 1
2𝑎𝑡2
Para el caso general de una velocidad que
es una función arbitraria del tiempo t:
𝑣 = 𝑣 𝑡
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Repaso de cálculo
𝑥 𝑡 − 𝑥0 = lim ∆𝑡→0 𝑁→∞
𝑣 𝑡𝑖 ∆𝑡𝑁−1𝑖=0
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Repaso de cálculo en notación de cálculo, el miembro derecho de la ec. anterior se escribe
𝑥 𝑡 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑡
𝑡0
y se denomina integral de la función v(t).
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Repaso de cálculo Interpretación geométrica de la integral : ÁREA BAJO LA CURVA
𝑥 𝑡 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑡
𝑡0
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Repaso de cálculo En general, si f(u) es una función de u, entonces la integral de esta
función sobre un intervalo desde u = a hasta u = b, se define como
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 𝑏
𝑎= lim ∆𝑢→0 𝑁→∞
𝑓 𝑢𝑖 ∆𝑢𝑁−1𝑖=0
Para la evaluación explicita de integrales , se aprovecha la relación
entre integrales y antiderivadas.
Una antiderivada de una función f(u) es simplemente una función
F(u) tal que dF/du = f (u).
¡ LA INTEGRACIÓN ES LA INVERSA DE LA DIFERENCIACIÓN !
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de
cualquier función f(u) puede expresarse en términos de antiderivadas:
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏
𝑎
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Repaso de cálculo
Algunas integrales
útiles
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Repaso de cálculo Reglas de integración
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Repaso de cálculo Reglas de integración
Debido a mi falta de destreza en la clase de este jueves, cuando pretendí
explicar un ejemplo de esta regla de integración, les incluyo alumnos su forma
correcta,
𝑓 𝑢 = 𝑢3 𝑦 𝑢 = 𝑣2 por lo que v = 𝑢
𝑓 𝑢 𝑑𝑢𝑏
𝑎= 𝑢3
𝑏
𝑎 𝑑𝑢 = (𝑣2
𝑏
𝑎)
3 2𝑣 𝑑𝑣 = 2 𝑣7
𝑏
𝑎 dv
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Ejercicios de cálculo
Para resolver en casa . No se entrega
Dadas las siguientes funciones, encuentres sus derivadas
con respecto a la variable x, y diga que reglas de diferenciación
usó para resolverlas.
Integre y evalúe entre los límites.
