Repaso de Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoDecanato de Administración y ContaduríaDepartamento de Técnicas Cuantitativas.

16/04/2008 1Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

Investigación de Operaciones.Preliminares.

Ecuaciones Lineales.

Una ecuación lineal es aquella ecuación que contiene todas sus variables elevadas a la potencia 1. Ejemplos de estas son las siguientes:

3 5 1;1 0;

2 5 4;2 6 3

xyx yx y z

+ =− =− =

− + − =16/04/2008 2Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

Clase # 1. Ecuaciones Lineales.La forma general de una ecuación lineal es:

Con una variable

Con dos variables

Con más de una variable

16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 3

1 1 0a x b+ =

1 1 2 2 0a x a x b+ + =

10

n

i ii

a x b=

+ =∑

Clase # 1. Ecuaciones Lineales.Gráfica de las ecuaciones Lineales

Las ecuaciones lineales de una variable tienen como gráfica una recta horizontal o vertical. Las que tienen dos variables tienen como gráfica una recta inclinada. Y las ecuaciones lineales con más de una variable tienen como gráficas planos (3 variables) o hiperplanos.


Clase # 1. Ecuaciones Lineales.Variable Variable


1x 2x

Clase # 1. Ecuaciones Lineales.Dos variables

Pendiente positiva

Dos variables

Pendiente negativa16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 6

Clase # 1. Ecuaciones Lineales.Para obtener la gráfica de una ecuación lineal con una variable basta con despejar la variable y determinar el punto de corte con el eje, luego proceder a graficar una recta horizontal (caso eje y) o vertical (caso eje x)

Para obtener la gráfica de una ecuación lineal con dos variables, procedemos obteniendo el punto de corte con el eje x haciendo a y = 0, luego el punto de corte con el eje y haciendo x= 0. Trazamos después la recta que los une.


Clase # 1. Ecuaciones Lineales.La gráfica de una ecuación lineal con más de una variable, corresponde a dibujos como los de un plano (caso de tres variables) o el de un hiperplano (más de tres variables, no graficable).


Inecuaciones Lineales.

Una inecuación de tipo lineal es la que tiene todas sus variables con grado 1. El símbolo de desigualdad puede ser < , > , ≥ , ≤ . Ejemplo de estas son:


3 1 2;2 3 0;4 5 1 2;

2 5

xyx y

x y z

− ≤+ >− + <− + ≥

Inecuaciones Lineales.La forma general de un desigualdad o inecuación lineal es:

Con una variable

Con dos variables

Con más de dos variables


1 1 0a x b+ >

1 1 2 2 0a x a x b+ + ≤

10

n

i ii

a x b=

+ ≥∑

Inecuaciones Lineales.A diferencia de las ecuaciones lineales, las gráficas de las inecuaciones son regiones determinadas por la gráfica de la ecuación implícita. Por ejemplo, la región correspondiente a la desigualdad

está determinada por la gráfica de la ecuación


1 23 2 3x x+ <

1 23 2 3x x+ =

Inecuaciones Lineales.Inecuación tipo Inecuación tipo


1x a< 1x a>

Inecuaciones Lineales.Inecuaciones tipo Inecuaciones tipo


2x b< 2x b>

Inecuaciones Lineales.Inecuación tipo


1 1 2 2 0a x a x b+ + >

Inecuaciones Lineales.Para graficar estas regiones seguimos estos pasos:

1. Graficamos la recta2. Despejamos la segunda variable3. Revisamos el sentido de la desigualdad, si es >,

graficamos la región por encima de la recta, si es <, graficamos la región por debajo de la recta.


Clase # 1. Final.En la próxima clase estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales y los de inecuaciones lineales.

Gracias por su atención.

Jorge E. Hernández H.


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