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Danny Perich C.

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REPASO GENERAL PSU 2013

Estimados alumnos-as: Les he preparado este repaso como una última actividad para realizar antes de enfrentar la Prueba de Selección Universitaria P.S.U. Matemática.

En él se encuentran la mayoría de las contenidos incorporados en la prueba y para una mayor comprensión de sus aplicaciones, he agregado algunos ejercicios resueltos, optando especialmente por aquellos que han salido en los ensayos oficiales publicados por el DEMRE.

Espero que este material sirva como una última revisión antes de rendir la PSU, el que reforzará los conocimientos que has adquirido tras 4 años de estudio en la enseñanza media.

Éxito. Profesor Danny Perich C.

Números y Proporcionalidad

Números Naturales IN = {1, 2, 3, 4, ...} Números Cardinales IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Números Primos: Números naturales mayores que sólo tienen dos divisores, la unidad y el mismo número.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...} El 1 NO es primo ya que tiene sólo un divisor, el mismo 1. Números Compuestos: Números naturales que tienen más de dos divisores.

C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...}

Números enteros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Números racionales Q = {b

a/a y b Z, b 0}

Las equivalencias más utilizadas entre fracciones, decimales y porcentaje:

%, 50502

1 %,

3

13330

3

1

%, 252504

1 %, 2020

5

1

%,, 51212508

1 %, 1010

10

1 (Un décimo)

%, 757504

3 %101,0

100

1 (Un centésimo)

Números irracionales: No pueden ser escritos como fracción. Raíces inexactas,

*** Ejercicios PSU ***

1.

22

1

1

2

1

A) 6

1 B)

6

1 C)

2

3 D)

10

1 E) 0

El orden de resolución es muy importante para no equivocarse.

Resolvamos 6

1

6

43

3

2

2

1

2

3

1

2

1

2

41

1

2

1

La alternativa B es la correcta.

2.

2508

3

1

7508

3

1

,,

Transforma los decimales a fracción.

A) 3

15 B)

3

16 C)

3

16 D) 4 E)

3

8

La alternativa correcta es B. Porcentaje:

100

a%a

a% del b% de c= cba

100100

Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio de porcentaje y obtengan un resultado, vuelve a leer la pregunta para que no te equivoques al marcar, respondiendo por algo que no te estaban consultando. (Muy común en %) *** Ejercicios PSU *** 1. En un curso de 32 alumnos 8 de ellos faltaron a clases. ¿Qué porcentaje asistió? A) 75% B) 25% C) 24% D) 0,25% E) 0,75% Lo típico es que se plantee que

x

%100

8

32 obteniéndose para x = 25%, que obviamente está

en las alternativas, pero que no es lo que preguntan, ¡cuidado! La alternativa correcta es A ya que se pregunta por el porcentaje de asistencia. 2. En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?

A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54 18 son supervisores, por lo tanto los cajeros son 54. En total, 72 trabajadores que corresponden al 40%. Luego se calcula el 100% La alternativa correcta es C. Regularidades Se trata de obtener un patrón o regla de formación para resolver

una situación problemática. Ejemplo: ¿Cuántos triángulos se forman con 71 fósforos si se sigue con la secuencia de la figura?

A) 30 B) 34 C) 35 D) 36 E) 43 Debemos fijarnos que para formar el primer triángulo (T) se necesitan 3 fósforos. Para formar 2 triángulos, 5 fósforos y para tres triángulos, 7 fósforos. Se van obteniendo números impares, comenzando desde el 3, lo cual se puede representar como 2T + 1, o sea F = 2T + 1. Luego con 71 fósforos tenemos 71 = 2T + 1, de donde T=35. Alternativa correcta C. *** Ejercicios PSU *** 1. Las siguientes figuras están formadas por triángulos equiláteros congruentes ¿Cuántos triángulos se necesitan para construir la n-ésima figura?

A) 2n B) 3n C) n3 D) 2n2 E) n2 La alternativa

correcta es E. 2. La cantidad de cubos de acuerdo a los escalones que se

quieren obtener (n), está dada por la fórmula )nn( 2

2

1.

¿Cuántos cubos se necesitarán para que la escalera tenga 14 peldaños?

A) 210 B) 105 C) 14 D) 91 E) 182

Basta con reemplazar por 14 que es el número de escalones o peldaños. La alternativa correcta es B Interés simple T = C(1 + it), donde C es el capital inicial, t el periodo de tiempo e i la tasa de interés simple. T es el total de capital acumulado. Interés compuesto T = C·(1 + i)t donde C es el capital inicial, t el período de tiempo e i la tasa de interés compuesto. T el total de capital acumulado

Danny Perich C.


*** Ejercicio PSU *** 1. Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿cuál es el capital total después de dos años? A) $ 60.000 B) $ 60.500 C) $ 70.000 D) $ 90.000 E) $ 110.000 Aplicamos la fórmula que permite calcular el interés compuesto anual, sabiendo que 10%=0,1 o sea

210100050 ,.C

21100050 ,.C

21100050 ,.C

C= 60.500 La alternativa B es la correcta. 2. Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el interés simple anual.

A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75%

1.157,5 = 1.000 + 1.000·3·r. Se calcula el interés r en forma decimal y luego como porcentaje.. La alternativa correcta es B Proporcionalidad Directa: (Dividir)

kb

a

Su gráfica:

Proporcionalidad Inversa: (Multiplicar)

a · b = k

Su gráfica

Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. *** Ejercicios PSU *** 1. y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

A) 2

1 B)

4

1 C) 2 D) 4 E) 9

Como y es inversamente proporcional al cuadrado de x, entonces y·x2 = k reemplazando se obtiene 16·12 = k, de donde k = 16. Entonces si x = 8, resulta y·82 = 16, o sea 64y=16

donde 4

1

64

16y . Alternativa B.

2. Dos electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

La alternativa correcta es A. 3. Dada la siguiente tabla:

A B

10 3

15 x

20 1,5

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.


La alternativa correcta es D. LENGUAJE ALGEBRAICO Hay diversas palabras que tienen un significado matemático cuando forman parte de una situación problemática. Palabras como agregar, añadir, aumentar y otras, corresponde, a una adición (suma). Mientras que diferencia, disminuir, exceso y otras nos señalan que debemos restar. Las palabras, veces, factor, de, del, producto y otras; nos conducen a una multiplicación, mientras que razón, cociente y otras indican una división.

Otras palabras que conviene dominar para resolver problemas verbales son: doble, duplo, múltiplo de 2, número par, que pueden representarse por 2n. El cuidado principal debe estar en el orden en que se leen las expresiones, ya que debe hacerse comenzando por lo que afecta a toda la expresión. Ejemplo: 2x3: El doble del cubo de un número.

32 )x( : El cubo del doble de un número.

43

yx : La diferencia entre el triple de un número y la cuarta

parte de otro número.

4

3 yx: La cuarta parte de la diferencia entre el triple de un

número y otro número. También puede leerse: la cuarta parte del exceso del triple de un número sobre otro número cualquiera.

*** Ejercicios PSU *** 1. La expresión h3 – 3g significa A) la diferencia de los cubos de h y g B) la diferencia de los triples de h y g C) la diferencia entre el cubo de h y el triple de g D) el cubo de la diferencia entre h y el triple de g E) el triple de la diferencia entre el cubo de h y g La alternativa correcta es C. 2. El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe A) d + 2d 3d2 B) d + 2d (3d)2 C) (d + 2d) (3d)2

D) (d + 2d) 3d2 E) (d + 2) (3d)2

La alternativa correcta es C. Cuadrado del Binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma por Diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 *** Ejercicios PSU ***

1. 32322232 www

A) 22122 ww B) 22122 ww C) 5122 ww

D) 13122 ww E) 14122 ww

Danny Perich C.


Resolvemos el cuadrado de binomio y la suma por su diferencia, obteniéndose:

)w(ww 9424129 22 =

Se resuelve el paréntesis. ¡Cuidado con los signos!

1884129 22 www =

22122 ww Alternativa B.

2. Dada la siguiente figura: Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada.

II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y el de lado b.

III. a(a + b) > a2

+ b2

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III FACTORIZACIÓN Un polinomio cuyos términos tienen un factor común. mx - my + mz = m( x - y + z ) Ejemplos: 1) 2x – 2y + 2z = 2(x – y + z) 2) 12a + 18b – 36c = 6(2a + 3b – 6c) 3) ax – ay = a(x – y)

4) )a1(aaa 2353

5) )b53(ba4ba20ba12 22322

Un trinomio cuadrado perfecto.

a2 2ab + b2=(a b)2

Ejemplos: 1) 22 )1x(1x2x

2) 22 )3a(9a6a

Factorización de la diferencia de dos cuadrados a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Ejemplos: 1) )3x)(3x(9x2

2) )6a)(6a(36a2

Factorizar trinomio de la forma x2+mx+n. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: 1) )3x)(4x(12x7x2

2) )3x)(4x(12xx2

3) )4x)(3x(12x7x2

*** Ejercicios PSU *** 1. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de

la expresión algebraica 2062 2 xx ?

I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Generalmente los alumnos responden la alternativa A, ya que se

dan cuenta que todos los términos del trinomio son múltiplos de 2, pero no consideran que se puede factorizar y obtener que:

)x)(x()xx(xx 52210322062 22 . Por lo tanto la

alternativa correcta es E. FUNCIÓN AFIN Es de la forma y = mx + n. Donde m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

Si m > 0 la recta se “inclina” a la derecha. Si m < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda. Si m = 0, la recta es paralela al eje x. Si m = ∞, la recta es paralela al eje y. El valor n corresponde al punto (0, n) que es la intersección de la recta con el eje y.

Cuando n = 0, recibe el nombre de Función Lineal

Ejemplo: 1) y = -2x + 3 m = -2; n = 3

2) 5

1x3y

m= 5

3; n =

5

1

Forma General: ax + by + c = 0, donde la pendiente b

am y

el coeficiente de posición b

cn

Ejemplo: 1) 3x + 2y – 5 = 0

2

3m ;

2

5

2

)5(n

Pendiente dado dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2)

12

12

xx

yym

Ejemplo: ¿Qué pendiente tiene la recta que pasa por los puntos (5, 3) y (2, 4)?

3

1

3

1

52

34m

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 4) y (3, 5)?

2x

4y

23

45, entonces

2x

4y1 , x – 2 = y – 4

La ecuación es x – y + 2 = 0 Otra forma de resolver este ejercicio es reemplazando ambos puntos en la expresión y=mx+n, formándose un sistema de ecuaciones.

Ecuación de la recta dado punto-pendiente

y - y1 = m(x - x1)

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por (3, 5) y tiene pendiente -2. y – 5 = -2(x – 3) ; entonces y – 5 = -2x + 6 La ecuación es 2x + y – 11 = 0 Otra forma de resolver este ejercicio es reemplazando el punto y la pendiente en y=mx+n.

Danny Perich C.


Rectas Paralelas L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 ≠ n2 Ejemplo:

Rectas Coincidentes L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1=n2

Rectas Perpendiculares L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1

Ejemplo: y=-2x-4 con y=0,5x+1

*** Ejercicios PSU *** 1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y que es paralela con la recta x+5y–3=0, es: A) –x+y+5=0 B) x+5y+19=0 C) x+y+3=0 D) –5x+y+9=0 E) x+5y+21=0

Al despejar y de la recta dada se obtiene 5

3 xy , o sea la

pendiente es –1/5. Entonces la recta pedida también pendiente -1/5 por ser paralelas y como pasa por el punto (1,-4) queda

determinada por la fórmula punto pendiente, )x(y 15

14

que al resolver resulta x+5y+19=0. La alternativa B es correcta. 2. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean perpendiculares. A) K = 3/4 B) K = 1/2 C) K = -1/2 D) K = –4/3 E) K = -2 Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y = Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican las pendientes de cada recta igualando a -1, ya que deben ser perpendiculares, obteniéndose K·(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es la correcta. 3. Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta b

axy

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III

Como se tienen dos puntos de la recta, se puede determinar su pendiente, también su ecuación. La alternativa correcta es D. FUNCIÓN PARTE ENTERA (o Escalonada) Para todo número real x, se puede encontrar un número entero n, tal que cumple con las siguientes propiedades: El número x esté entre n y n+1

Si n x < n+1 [x] = n

En otras palabras, la parte entera de un número es el entero menor más cercano al número. A la función y(x) = [x], se la llama Función parte entera.

Ej: 37,3 ; 31,3 ;

¡cuidado con esto!: 37,2 ya que -2,7 está entre -3 y

-2, y el resultado debe ser el entero menor, o sea -3. Gráfica de la función parte entera

*** Ejercicios PSU *** 1. Del gráfico de la función f(x) = [x + 1] +1, se afirma:

I) Pasa por el origen (0,0). II) Tiene más de un punto en el eje x.

III) Intersecta al eje x en ),( 02

5

Es(son) falsa(s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

2. Un taxista tiene un cobro fijo de $150 y cobra, además, $300 por cada kilómetro recorrido. Encontrar la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x)

A) xy 300150 B) 300150 xy

C) 3001150xy D) 1300150 xy

E) 1300150 xy

La alternativa correcta es A FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Se define: x si x 0

y = -x si x < 0 esto es equivalente a escribir y = | x |

Ej: 777

55

Gráfica de la función valor absoluto


1. Dada la función x

xx)x(f

2

3 entonces f(-4)=

A) 6

11 B)

2

1 C)

2

1 D)

6

11 E) Otro valor

Danny Perich C.


2. ¿Cuál es la expresión que representa la función valor absoluto de la figura?

A) 1xy

B) 1xy

C) 1xy

D) 1xy

E) xy

La alternativa correcta es A. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

nmnm aa·a

nmnm aa:a

10a ; a≠0

n

n

aa

1, a≠0

considerar que

nn

a

b

b

a a≠0, b≠0

mnnm aa


1. 1

11

5

43

A) 35

12 B)

12

35 C)

5

7 D)

7

5 E)

12

5

12

35

5

112

7

5

112

34

5

14

1

3

1

5

431

11

La alternativa correcta es B. 2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es(son) correcta(s) cuando x = -3?

I. 64

14x II. 144 3x III. 644 1

x

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III La alternativa correcta es E.

3. Si x = -1, entonces el valor de 432 xxx es:

A) 3 B) 1 C) 0 D) 2 E) 27 La alternativa correcta es A.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Producto y división de raíces Del mismo índice:

nnn abba

nn

n

b

a

b

a

De distinto índice

mnmn baba

11

Raíz de una raíz

mnmn aa


1. 3 2

2

A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1

33

1

6

2

6

13

6

1

2

1

6

1

2

1

6322222

2

2

2

2

2

2

Alternativa B.

2. Si t3232 , entonces el valor de 22t es:

A) 222 B) 2 C) 32 D) 0 E) -2

Primero determinemos 2t , elevando ambos lados de la

ecuación. Lo principal es darse cuenta que el lado izquierdo es un binomio, por lo tanto:

22

3232 t

Se desarrolla el cuadrado del binomio:

2323232232 t

Se reducen los términos semejantes y multiplicamos las raíces:

23424 t

4 – 2 = t2 2 = t2

Nos preguntan por 22t , por lo tanto la respuesta es 2 – 2 =

0. Alternativa D.

3. 3 32727x =

A) 93 2727 x B) 93 33 x C)

33x

D) 39x

E) 33x

333 93 33 93 3333333 xxxx

La alternativa correcta es E.

4. 3443

22222222 es un número:

A) racional positivo B) racional negativo C) irracional positivo D) irracional negativo E) no real

3333222222222222 )()( =

33 42222242 ))(()()(

21616281628228228 )()(

La alternativa correcta es D. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Si ax2 + bx + c = 0, entonces

a2

ac4bbx

2

*** Ejercicios PSU *** Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x–1)=20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y –5 E) –4 y 5

Se efectúa el producto y se obtiene que x2 – x = 20, o sea x2 – x – 20 = 0.

Entonces 2

91

2

8011x de donde x1 = 5 y x2 = -

4. Alternativa E. Suma de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

a

bxx 21

Producto de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

a

cxx 21

y

1 x

Danny Perich C.


*** Ejercicio PSU *** Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, ¿cuál es el valor de c?

A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E) 3

5

Al ser x = 3 una solución, este valor puede ser reemplazado en la ecuación obteniéndose 32 + 5·3 + c = 0 de donde c = -9 – 15 = -24. Alternativa A. FUNCIÓN CUADRÁTICA

f(x) = ax2 + bx + c

Su gráfica corresponde a una PARÁBOLA. Concavidad El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0)

Vértice Para determinar el vértice es conveniente determinar primero

a

bx

2, posteriormente se reemplaza el valor obtenido en la

función para calcular el valor y. Eje de simetría de la parábola

Corresponde a la recta a

bx

2, paralela al eje y.

Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x. Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la derecha del eje x. Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la derecha del eje x. Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x. Intersección con los ejes La intersección con el eje y la da el coeficiente c y corresponde al punto (0, c). La intersección con el eje x está determinada por el valor del discriminante b2-4ac. Si b2-4ac>0, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. Si b2-4ac=0, la parábola intersecta en un punto al eje x. Si b2-4ac<0, la parábola no intersecta al eje x. Ejemplos:


1. Considere la parábola 212

1)x(y ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba. II) Su vértice se encuentra en (1, 0). III) Su eje de simetría es x = 1.


Resolvamos:

2

1

2

112

2

11

2

1 222 xx)xx()x(y

I. Se cumple ya que el coeficiente 2

1a es mayor que 0.

II. Se cumple. Basta con reemplazar x por 1 en la ecuación original y el resultado es 0.

III. Se cumple. El eje de simetría es 1

2

12

1

2a

b. La

alternativa es E.

2. Según la ecuación axxy 22 es correcto afirmar que:

I. Si a > 1, existen 2 intersecciones con el eje x II. Si a = 1, existe 1 intersección con el eje x III. Si a < 1, no hay intersección con el eje x

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

La alternativa correcta es B.

3. Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura? A) y=x2 B) y=x3 C) y=4x4 D) y=4x E) y=4x2 La alternativa correcta es E. TRIGONOMETRÍA En un triángulo rectángulo se cumple que: ( ángulo

agudo)

hipotenusa

opuestocatetosen

hipotenusa

adyacentecatetocos

adyacentecateto

opuestocatetotg

opuestocateto

adyacentecatetoctg

adyacentecateto

hipotenusasec

opuestocateto

hipotenusaeccos

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

1. cos

sec1

2. sen

eccos1

3. cos

sentg 4.

sen

cosctg

5. 122 cossen 6. 22 1 tgsec

7. 22 1 ctgeccos

VALORES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

0º 30º 45º 60º 90º

sen 0 2

1

2

2

2

3 1

cos 1 2

3

2

2

2

1 0

tg 0 3

3 1 3 ∞

*** Ejercicios PSU *** 1. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB=5 cm. y

tg = 2

3, entonces BC =

A) 3 cm B) 13

15 cm.

C) 13

10 cm D)

2

15 cm. E) 2 cm.

Como tg = 2

3 =

p

p

2

3, se plantea por

A

B

C

Danny Perich C.


Pitágoras que 2549 22 pp de donde 13

5p . Luego

13

15BC

La alternativa B es correcta. 2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm. y 12 cm., entonces el coseno del ángulo menor es:

A) 13

5 B)

13

12 C)

12

5 D)

5

12 E)

12

13

Como tenemos los catetos, podemos obtener la hipotenusa a través del teorema de Pitágoras.

222 125 x , de donde x = 13.

El coseno del ángulo menor (opuesto al lado menor) es 13

12.

Alternativa B. 3. Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 70º. Si la distancia del ratón al árbol es 12m., determinar la distancia entre el águila y el ratón.

A) ºtan70

12 B)

ºcos70

12 C)

ºsen70

12

D) 12

70ºsen E)

12

70ºtan

La alternativa correcta es B. 4. Dada la siguiente figura Es verdadero que:

I. 29

5sen

II. 29

2cos

III. 2

5tg

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III La alternativa correcta es E. LOGARITMOS Logaritmo de base a de un número n

naxnlog xa

Logaritmo del producto de dos números:

log(a b) = loga + logb

Logaritmo del cociente de dos números:

blogalogb

alog

Logaritmo de una potencia:

alognalog n

Logaritmo de una raíz.

alogn

alogn 1

Logaritmo de un número a, en base a.

1aloga

Cambio a base 10:

blog

xlogxlogb

Valores de algunos logaritmos:

log 1 = 0 log 10 = 1

log 100 = 2 log 1000 = 3

log 0,1 = -1 log 0,01 = -2

log 0,001 = -3

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en (0, 1). La gráfica no intersecta al eje de las abscisas. Si a>1, entonces la función es creciente. Si 0<a<1 la función es decreciente. FUNCIÓN LOGARITMICA

La gráfica intersecta al eje de las abscisas en (1, 0). La gráfica no intersecta al eje de las ordenadas. Si a>1, entonces la función es creciente. Si 0<a<1 la función es decreciente.


1. Si 21

1)

xlog( , entonces x vale

A) 100

99 B) –99 C)

100

99 D)

100

101 E)

20

19

Si 21

1)

xlog( , entonces 100

1

1log)

xlog(

Entonces 1001

1

xde donde 1=100 – 100x.

Por lo tanto 100x = 99 y x = 100

99

Alternativa C. 2. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12? A) log 6 · log 2 B) log 10 + log 2 C) 2log 6 D) log 2 · log 2 · log 3 E) log 6 + log 2

Debemos descomponer el 12 de manera conveniente para obtener la alternativa correcta y en este caso es 12 = 6 · 2.

Luego log 12 = log (6 · 2) = log 6 + log 2.

Alternativa correcta E.

INECUACIONES LINEALES

Desigualdades

En los números reales se cumple que dos números x e y son

x>y, x<y o x=y.

Las desigualdades corresponden a expresiones relacionadas por los signos <, >, ≤, ≥.

Una desigualdad no cambia al sumarle o restarle una cantidad a ambos lados de ella.

Tampoco cambia al multiplicarla o dividirla por un real positivo, pero CAMBIA al multiplicarla o dividirla por un número negativo.

Ejemplo: 3 < 5 y si multiplicamos la desigualdad por -1 se obtiene que -3 > -5. Intervalos Conjunto de números reales los cuales pueden ser cerrados, abiertos, semiabierto o infinitos.

Danny Perich C.


Cerrado: incluye a los valores extremos b,a , o sea bxa .

Abierto: No incluye los valores extremos b,a , o sea bxa

Semiabierto: No incluye uno de los extremos b,a

Infinito: Uno de los extremos tiende a un valor infinito. b,

Inecuaciones de Primer Grado

Es una desigualdad que contiene una o más incógnitas la cual se resuelve aplicando las propiedades de las desigualdades. Ejemplo:

4x – 1 > 7 4x > 8 x > 2

Solución: x pertenece al intervalo ,2

*** Ejercicio PSU ***

1. La solución de la inecuación 5

2

15

8

3

xx es el intervalo:

A) ,2

1 B) ,

2

1 C) ,

2

1

D) ,2

1 E)

2

1

2

1,

La alternativa correcta es A. 2. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) xx B) xx

1 C) x

x

1

D) x > 1 E) xx

Alternativa correcta C.

Cálculo de probabilidades

PosiblesCasos

FavorablesCasos)A(P

1)A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de que no ocurra el

suceso A. *** Ejercicio PSU *** Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra?

A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65 D) -0,45 E) -0,55

0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 = 0,55. Alternativa

B.

PROBABILIDAD TOTAL

Probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Si los eventos son excluyentes (A B = ), la probabilidad de

que se produzca A o B es:

)B(P)A(P)BA(P

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad que se den simultáneamente dos sucesos:

)A/B(P)A(P)BA(P

o sea la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B, una vez ocurrido A. Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, se dice que son eventos independientes. En este caso se da que:

)B(P)A(P)BA(P

*** Ejercicios PSU *** 1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.

A) 100

1 B)

5

1 C)

130

1 D)

130

23 E)

20

1

La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es 4/40 y luego de extraer otro rey, sin devolución, es 3/39, , por lo

tanto la probabilidad total es 130

1

13

1

10

1

39

3

40

4.

La alternativa C es correcta. 2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4

bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

A) 5

6 B)

25

8 C)

5

2 D)

5

3 E)

5

4

Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la siguiente

operación 5

3

5

4

2

1

5

2

2

1, donde el 1/2 corresponde a la

probabilidad de elegir una de las urnas, el 2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5 de sacar una bola blanca de la segunda urna. Alternativa correcta: D. 3. En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?

A) 50

11

50

18

50

20

50

12 B)

47

11

48

18

49

20

50

12

C) 50

11

50

18

50

20

50

12 D)

47

12

48

18

49

20

50

12

E) 47

11

48

18

49

20

50

12

Alternativa correcta E. 4. Se tienen 10 fichas con los números: 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46? A) 0,4 B) 0,41 C) 0,42 D) 0,5 E) Ninguno de los valores anteriores. Alternativa correcta A. 5. Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?

A) 6

1 B)

36

7 C)

36

4 D)

36

5 E)

36

21

Alternativa correcta D. 6. Una ruleta está dividida en 8 sectores iguales, numerados del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?

A) 8

7 B)

4

1 C)

2

1

D) 8

3 E)

8

5

Alternativa correcta B. Desafío:

Se lanza una moneda y si sale cara se ponen 7 bolas blancas en una urna y si sale sello se ponen 4 blancas. Se vuelve a lanzar la moneda y se ponen 5 o 2 bolas negras, según se saque cara o sello. Después se saca una bola de urna así compuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?

Danny Perich C.


Resp. 0,62

ESTADÍSTICA Principalmente las preguntas están relacionadas con la Media (Promedio), la Moda, la Mediana. Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8.

La Media (Promedio) es 5510

55

10

8177439673,

La Moda corresponde al valor que más se repite (con mayor frecuencia), en este caso, el 7. (Puede haber más de un valor que sea moda) Para obtener la Mediana se deben ordenar los datos en forma ascendente o descendente, o sea 1, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 9. La

mediana, valor que divide a los datos en dos partes iguales, está entre 6 y 7 por lo que es 6,5. Por si acaso: Desviación Estandar.

*** Ejercicios PSU *** 1. Las notas de pablo en Biología son 6,3; 3,8; 6,7 y 6,7. ¿Qué nota debe obtener Pablo en su quinta prueba para que su promedio final sea un 6,0? A) 7,0 B) 6,5 C) 6,3 D) 6,0 E) 5,9 En total son 5 las notas que se deben promediar, 4 de ellas conocidas, o sea

065

76768336,

x,,,,, de donde

23,5 + x = 30 x = 6,5. La alternativa correcta es B. 2. Dados los siguientes datos: a – 3d, a – 2d, a – d, a, a + d, a + 2d, a + 3d con d>0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es a + 3d. II) La media aritmética es a. III) La mediana es a.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III Son verdaderas II y III. En la II se suman todos los datos se divide por 7 y así se obtiene que la media es a. La mediana corresponde al valor a (los datos ya están ordenados) 3. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000 III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III


GEOMETRÍA

Triángulos congruentes: Un ABC es congruente con otro

DEF si sus lados respectivos (homólogos) son congruentes y

sus ángulos respectivos (homólogos) también los son.

En la figura vemos que AB DE; BC EF; AC DF; y CAB

FDE, CBA FED, BCA DFE, entonces el ABC DEF.

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes:

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.

ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y BC EF.

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente.

GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y HIG KLJ

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.

MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM RP

Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.

ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA DFB, siendo

AC y BD los lados de mayor medida. *** Ejercicios PSU ***

1. Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes,

entonces la medida de EF es: A) 9 B) 15 C) 17 D) 40 E) Falta información Alternativa correcta C.

A

C

17

B

40

80

15

F

D

E

60 80

Danny Perich C.


2. En la figura, el ABC DEF, entonces se verifica que:

A) AC DF B) BC DE C) AB FE D) AC FE E) AB FD

Alternativa correcta A.

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Traslación: Los pares indican si la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha (abscisa del par) y si la traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del par).

Rotaciones de un punto (x, y) respecto al origen (0, 0)

Al rotar: En 90º se transforma en (-y, x)

En 180º se transforma en (-x, -y)

En 270º se transforma en (y, -x)

En 360º vuelve a ser (x, y)

A la derecha (sentido horario), rotación negativa.

A la izquierda (sentido antihorario), rotación positiva.

Simetrías (o Reflexiones)

Axial: Simetría con respecto a un eje. La reflexión de un punto

A en torno a una recta L, es un punto A’ tal que L'AA y

'PAAP .

Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al eje x, obtenemos el punto A’(x, -y). Si reflejamos A(x, y) en torno al eje y, obtenemos el punto A’(-x, y).

Central: Simetría con respecto a un punto. La reflexión de un punto A en torno a un punto P, es un punto A’ tal que A, P y A’

son colineales y 'PAAP . Si reflejamos el punto A(x, y) en

torno al origen (0,0), se obtiene el punto A’(-x, -y)

Teselación: Para teselar el plano al unir las figuras y que no queden huecos entre ellas, debe cumplirse que la suma de los ángulos en la unión de los vértices debe ser 360º.

*** Ejercicios PSU *** 1. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,1) y C(3,1), según el vector de traslación (4,-1), el vértice homólogo de B es: A) (3,4) B) (2,1) C) (6,0) D) (4,-1) E) (7,0) Como el vector traslación es (4,-1) debemos trasladar los puntos dados 4 unidades a la derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el punto B quedará ubicado en (6,0). La alternativa correcta es C. 2. En la figura, las coordenadas del punto A son (-4, -1),

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, -1)

II) Al rotar el punto A en 90º en sentido horario, en torno al origen se obtiene el punto (-1, 4).

III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto (-2, 1)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

El I es verdadero, ya que para que sea simétrico con respecto al eje y, debe estar a igual distancia de éste, pero en sentido opuesto. El II es verdadero ya que al rotar se aplica (-y, x) y el III verdadero y sólo hay que contar los espacio para darse cuenta de ello.


3. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares permite(n) teselar (embaldosar) el Plano?

I) Pentágonos II) Triángulos Equiláteros III) Hexágonos

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III Por lo tanto, cumplen con esa condición los triángulos equiláteros (60º cada ángulo interior) y los hexágonos (120º cada ángulo interior). Los ángulos interiores del pentágono miden 108º, por lo que al unir tres de ellos, completan en los vértices 324º y no 360º. La alternativa correcta es D. 4. El triángulo ABC tiene coordenadas A(2, 3), B(-3,8) y C(3, 7). Si se aplica una traslación según el vector (5, -7), las nuevas coordenadas del triángulo serán:

I. A’(7,-4) II. B’(-8, 1) III. C’(8, 0)

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

C

A B

D

F E

Danny Perich C.


La alternativa correcta es C.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes: Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA) Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Este criterio es el que más se ocupa en la PSU. Segundo Criterio: Lado-Ángulo-Lado (LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman.

Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. *** Ejercicios PSU *** Los triángulos ABC y DEF son semejantes. AB = 6 cm., BC = 12 cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5 cm. Determinar AC + EF.

A) 7,2 cm. B) 12,5 cm. C) 19,5 cm. D) 19,7 cm. E) 24,5 cm.


Teorema de Thales

Algunas proporciones:

BD

PB

AC

PA;

PD

PB

PC

PA;

CD

PC

AB

PA (Esta es la razón principal)

*** Ejercicios PSU *** 1. En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR : RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:

A) 96 cm B) 72 cm C) 48 cm D) 36 cm E) 24 cm

Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm. Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.

Luego BC

AB

PS

AP reemplazando por los valores

correspondientes y despejando CB, se obtiene que su medida es 72 cm. Alternativa correcta B. 2. La figura muestra un rectángulo ABEF con BC=10, CF=5 y CD=4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCD?

A) 16 B) 22 C) 28 D) 32 E) 36

Alternativa correcta D.

Teoremas de la circunferencia

1. El ángulo del centro mide el

doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

<AOC = 2<ABC

2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.

3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene

medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

5. La intersección de un radio y la tangente a la circunferencia

forman un ángulo recto.

5. Si desde un punto se trazan dos tangentes a una circunferencia, los trazos formados son congruentes.

6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de

las medidas de los arcos

correspondientes.

2

CDABAEB

7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

2

BECDCAD

Proporcionalidad en la circunferencia Dos cuerdas PA PC = PB PD

Dos secantes

F

E D

C

A B

Danny Perich C.


PB PA = PD PC

Una secante y una tangente

PC2 = PB PA

*** Ejercicios PSU *** 1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si <ACB = 70°, entonces el <ABO =

A) 20° B) 35° C) 45° D) 55° E) 70° El ángulo ACB = 70º, además los ángulos CBO y CAO, son rectos, obteniéndose para el ángulo AOB = 110º. Como AO = OB, por ser radios, entonces el ángulo ABO = 35º. La alternativa B es la correcta. 2. Desde un punto distante 5 cm. del

centro de una circunferencia se ha trazado a ésta una tangente de 3 cm de longitud. Determinar la medida del diámetro de la circunferencia.

A) 2,5cm B) 4cm C) 5cm D) 8cm E) 10cm

Se aplica el teorema de la tangente y la secante o el teorema de Pitágoras, obteniéndose que el radio de la circunferencia es 4 cm. Luego el diámetro mide 8 cm. Alternativa D: correcta.

3. En la circunferencia de la figura AB // CD. ¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones es(son) verdadera(s) I.

II.

III. º180

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III Alternativa correcta D. 4. Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC. ¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?

A) 12 B) 2

2

C) 12 D) 13

E) 22

Alternativa correcta C. TEOREMAS DE EUCLIDES

BDADCD2

ADABAC2

BDABBC2

AB

BCACCD o sea

hipotenusa

catetocatetoaltura

*** Ejercicios PSU *** 1. En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm, entonces ¿cuánto mide CD?

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 26 cm

D) 6 cm E) 25 cm

Alternativa correcta A.

2. En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, CD BD;

CD = 4; BD = 3. El radio es:

A) 5 B) 3

25

C) 3

5 D)

9

25

E) 6

25


Perímetros, Áreas y Volumenes

Triángulo Cualquiera

p = a + b + c

2

h·c

2

altura·baseá

Triángulo Rectángulo

p = a + b + c

22

b·acateto·catetoá

Triángulo Equilátero

p = 3a 2

3ah

4

32aá

Cuadrado

p = 4a á = a2

2

dá

2

Rectángulo

p = 2a + 2b

á = lado · lado = a·b

Rombo

p = 4a á = base · altura = b · h

C

D B A

Danny Perich C.


2

f·e

2

diagonal·diagonalá

Romboide

p = 2a + 2b

á = a · h

Trapecio

p = a + b + c + d

2

h)·ca(

2

altura)·2base1base(á

á = Mediana · altura = M · h

Circunferencia y Círculo

p = 2 ·r á = ·r2

Sector Circular

360

222

rrABrp

360

2·rá

Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.

26aA

3aV

Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos. A = 2(ab+ac+bc) V = abc Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados

)(2 rHrA

HrV 2

Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos

lateralbase AAA

HBV3

1

Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno

lateralbase AAA

HrV 2

3

1

Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

24 RA

3

3

4RV

*** Ejercicios PSU *** 1. Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6 cm. Calcular el volumen, en cm3, que queda libre en el interior de una lata. a) 162 b) 126 c) 108

d) 54 e) Ninguno de los valores anteriores

El volumen del cilindro del enunciado queda determinado por

16218·3· 2 y el volumen de cada esfera por 363

3

4 3·

y como son 3 esferas, 108363 . Por lo tanto, el volumen

libre al interior de la lata es 162 - 108 = 54 cm3.

La alternativa D es la correcta. 2. Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de lado

2 . La altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del

prisma?

A) 9 B) 18 C) 29

D) 39 E) 69

Como la base es un hexágono regular, esta formado por 6 triángulos equiláteros. Por lo tanto su área es

334

312

4

326

4

36

22aA

Volumen del prisma A·h = 9333

La alternativa correcta es A. Geometría del espacio Aquí lo fundamental es ubicar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional. Es conveniente practicar para tener claridad en la posición de cada punto, utilizando para ello paralelepípedos.

*** Ejercicio PSU *** 1. El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente:

A) 22

1 y 23

B) y

C) 3 y 23

D) 32

1 y 23

E) 22

1 y 2

Los puntos A, B y C están a una distancia 1 del origen. Por

Pitágoras se obtiene que AB = BC = AC = 2 , por lo tanto el

perímetro del triángulo es 23 . Para determinar el área de este

triángulo, que es equilátero, lo hacemos aplicando la fórmula

32

12

Danny Perich C.


4

32aA donde el lado a = 2 . Por lo tanto,

2

3

4

322·

A .

La alternativa correcta es D. 2. Un plano queda determinado mediante:

I. Tres puntos cualesquiera II. Una recta y un punto no contenido en ella. III. Dos rectas paralelas no coincidentes.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

La alternativa correcta es D. 3. Un cubo tiene lado 2, como el de la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad del cubo?

A) (0, 1, 0)

B) (2, 2, 2) C) (1, 0, 1) D) (0, 0, 0) E) (1, 1, 1)


VECTORES

Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por OA. El punto O es el origen y el punto A es el extremo. Ejemplo Dados los puntos A(– 4, 1) y B(2, 5), calcula el vector AB AB = (2 – (– 4), 5 – 1) = (6, 4) Características de un vector

a) El módulo: es su longitud. Se representa por |OA| b) La dirección: es la dirección de la recta que lo contiene. c) El sentido: es el que va del origen al extremo. Un vector libre es un vector fijo v=OA, que representa a todos los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Relación entre puntos y vectores Dado un vector cuyo origen, O, es el origen de coordenadas, sus componentes coinciden con las coordenadas del extremo del vector, A, y viceversa. Ejemplo Dado el punto A(4, 3), halla el vector OA, represéntalo y halla sus componentes. El vector es v(4, 3), la componente horizontal es 4, y la vertical, 3 Cálculo del módulo y argumento de un vector El módulo de un vector es su longitud. Para calcularlo, se aplica el teorema de Pitágoras

El argumento de un vector es el ángulo que forma el semieje positivo X con el vector. Para calcularlo se aplica la definición de tangente:

Calcula el módulo y el argumento del vector v(– 3, – 4) Vector opuesto Analíticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; geométricamente, es el que tiene el mismo módulo y dirección y sentido contrario. El opuesto del vector v(– 5, 2) es –v(5, – 2)

Comprobación (– 5, 2) + (5, – 2) = (0, 0) = vector 0 Suma y resta de vectores Para sumar y restar vectores analíticamente, se suman o restan sus componentes. Dados los vectores u(6, 2) y v(3, 4), u + v = (6, 2) + (3, 4) = (9, 6) u – v = (6, 2) – (3, 4) = (3, – 2) Regla del paralelogramo Para sumar y restar vectores geométricamente, se forma un paralelogramo uniendo por el origen los vectores u y v. La diagonal que parte del origen de 8v es el vector suma u + v; y la diagonal que parte del extremo de v es el vector resta u – v

Producto de un número por un vector Para multiplicar un número por un vector analíticamente, se multiplica el número por las componentes del vector. Para multiplicar un número por un vector geométricamente, se lleva tantas veces el vector sobre sí mismo como indique el número Multiplica por 3 el vector v(1, 2) 3v = 3(1, 2) = (3, 6) Componentes de un vector definido por dos puntos El vector definido por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es el que se obtiene al restar el vector de posición del extremo menos el del origen.

AB = OB – OA Sus componentes son: AB = (x2 – x1, y2 – y1) Vector director Un vector director de una recta es un vector paralelo a la recta, es decir, tiene la misma dirección que la recta. Para hallar el vector director de una recta se toman dos puntos de la recta A(x1, y1) y B(x2, y2) y se calcula el vector v =AB = (x2 – x1, y2 – y1) Vector normal Un vector normal a un vector es un vector perpendicular a dicho vector. Dado el vector v(v1, v2), un vector normal es n(v2, – v1), es decir, las componentes se cambian de orden y una de ellas se cambia de signo.

Halla un vector normal al vector v(3, 4) Resp. vector normal: n(4, –3)

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