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REPASO INICIAL DE MATEMÁTICAS

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son los que sirven para contar: 1, 2, 3,…

Son infinitos y forman un conjunto que se denomina N.

Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta cuyo origen es el 0.

Se dice que un número es menor que otro cuando está colocado a la izquierda en la

recta numérica. El símbolo que nos indica menor que es <. Por el contrario, un número

es mayor que otro cuando está colocado a su derecha en la recta numérica. El símbolo

que nos indica mayor que es >.

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, y el resultado de esas

operaciones es, también un número natural. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la

resta y la división.

La multiplicación y la división se ejecutan antes que las sumas y restas. Por ello, si

queremos dar prioridad a la suma, tenemos que indicarlo mediante un paréntesis.

2

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo

tantas veces como indica el otro factor.

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, es el producto.

La división es la operación matemática inversa a la multiplicación, y consiste en

encontrar cuántas veces está contenido un número en otro.

Una división es exacta cuando el resto es 0. Una división es entera cuando el resto es

distinto de 0.

Se cumple siempre que dividendo = divisor x cociente + resto.

A. 1.- El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el

dividendo?

A.2.- El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321.

¿Cuál es el resto?

A.3.- En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por cada 90

habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que

plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

A.4.- En una división, el dividendo es 969, el cociente 74 y el resto 7. ¿Cuál es el

divisor?

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LA DIVISIBILIDAD

Un número es múltiplo de otro cuando al dividir el primero entre el segundo la división

es exacta. El segundo número sería divisor del primero.

- Todo número es múltiplo de sí mismo.

- Todo número es múltiplo de 1.

- El cero es múltiplo de cualquier número.

- Todo número tiene infinitos múltiplos.

- Todo número es divisor de sí mismo.

- El 1 es divisor de cualquier número.

- El cero no es divisor de ningún número.

- El conjunto de los divisores de un número es finito.

A.5.- Escribe:

a) Cinco múltiplos de 5

b) Cinco múltiplos de 8

A.6.- De los siguientes números, indica cuáles son múltiplos de 12:

72, 324, 482, 948, 1060.

A.7.- Calcula todos los múltiplos de 25 comprendidos entre 150 y 375.

A.8.- ¿Es 1024 divisible por 8? ¿Y por 15? ¿Y por 32?

A.9.- Encuentra un número que sea múltiplo de 2, 3, 5 y 12.

A.10.- Escribe todos los divisores de:

a) 12

b) 20

c) 35

d) 40

Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por uno. En caso contrario, se

dice que es compuesto.

4

Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra par.

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.

La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como producto de

números primos. Para hacerla, vamos dividiendo ese número entre los números primos,

comenzando por el 2, tantas veces como podamos.

A.11.- Señala los números primos y compuestos que hay en la lista siguiente: 7, 12, 13,

25, 31, 43.

A.12.- Entre los números 24, 30, 65, 72, 81, señala:

a) Los divisibles por 2

b) Los divisibles por 3

c) Los divisibles por 5

A.13.- Descompón en factores primos los números de cada apartado:

a) 28, 30, 56, 75, 96

b) 120, 200, 475, 540, 625

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes

a dichos números. Se representa como M.C.D.

Para calcularlo, se hace la descomposición factorial de cada número, eligiendo luego

los factores comunes elevados al menor exponente con que aparecen, multiplicándolos

entre sí.

A.14.- Calcula el M.C.D. de los siguientes números:

a) 25 y 75

b) 20 y 70

c) 21 y 49

d) 300, 45

A.15.- Halla:

a) M.C.D. (250, 60)

b) M.C.D. (140, 220)

5

c) M.C.D. (20, 10, 4)

d) M.C.D. (140, 700. 40)

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de sus múltiplos

comunes. Se representa como m.c.m.

Para calcularlo, se hace la descomposición factorial de cada número, eligiendo luego

los factores comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con que aparecen,

multiplicándolos entre sí.

A.16.- Calcula el m.c.m de los siguientes números:

a) 25 y 20

b) 210 y 120

c) 80 y 64

d) 135, 225

A.17.- Halla:

a) m.c.m. (200, 40)

b) m.c.m. (130, 10)

c) m.c.m. (2, 3, 5)

d) m.c.m. (15, 5, 20)

A.18.- Óscar y Sonia están montando en los karts de un parque de atracciones. Sonia

tarda 4 minutos en dar una vuelta a la pista y Óscar seis minutos. Si salen los dos juntos

de la meta, ¿cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en la meta?

A.19.- En una tienda disponen de 12 figuritas de cristal y 15 de metal. Desean hacer

paquetes para regalar a los clientes con el mismo número de figuras y con la mayor

cantidad posible. ¿Cuántos paquetes tienen que hacer y de cuántas figuritas?

6

LOS NÚMEROS ENTEROS

Hay situaciones que no se pueden expresar usando tan sólo números naturales, porque

al indicar una cantidad hay que indicar un sentido respecto de un origen. Para ello hay

que utilizar números negativos.

Los números negativos se diferencian de los positivos mediante un signo. Si un número

no lleva signo, es positivo.

El 0 no es ni positivo ni negativo.

Cuando se opera con números negativos, deben ir entre paréntesis.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z. Todos los números

naturales son enteros, pero no todos los enteros son naturales.

A.20.- Asigna un número, positivo o negativo, a cada una de las situaciones siguientes:

a) Estamos en el segundo sótano.

b) La temperatura del agua es de 7ºC.

c) Pedro le debe a Luis 3 euros.

d) He ahorrado 12 euros.

A.21.- Escribe matemáticamente lo que reflejan los siguientes enunciados y calcula el

resultado:

a) Tenía 120 euros y he pagado 20 euros.

b) Subí 4 plantas y luego he bajado 6 plantas.

c) Mi madre me dio 5 euros y gasté 6 euros.

d) Estábamos a 2ºC y ha bajado la temperatura 5ºC.

Los números enteros se representan gráficamente en una recta horizontal. Para ello,

marcamos un punto para el 0, dibujando hacia la derecha los números positivos y hacia

la izquierda los negativos.

El valor absoluto de un número es el número prescindiendo del signo. Para

representarlo, se escribe el número entre dos barras verticales.

A.22- Representa en una recta los números enteros -6, 6, 0, 3, -2.

A.23.- Calcula el valor absoluto de los números 4, 0, -6, -2, 8, -1.

7

A.24.- Ordena de menor a mayor:

5, 0, -2, -5, 4, 7, -7, -1.

A.25.- El valor absoluto de un número es 6, ¿qué número puede ser?

La suma de números enteros presenta dos casos:

Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos

y se pone el mismo signo que tenían los números.

Para sumar dos números enteros que tienen distinto signo, se restan los valores

absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

A.26.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 7 + 5

b) -3 + (-6)

c) -8 + 12

d) 9 + (-3)

En la resta de números enteros, se suma el primero con el opuesto del segundo.

Un signo + delante de un paréntesis deja a los números que hay dentro del paréntesis

con el mismo signo. Un signo – ante un paréntesis cambia el signo de los números que

hay dentro del mismo.

Para sumar varios números enteros, se suman por un lado los positivos y por otro los

negativos, sumando luego ambos resultados.

A.27.- Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) 7 -5

b) -8 – (-6)

c) 20 – (-8)

d) 7 – (-3)

A.28.- Quita los paréntesis y calcula:

a) 10 + (-5) + 5 – (-3)

b) 10 + (-8) – (-12) + 4

c) (-8) + 4 – (-5 + 3) – (-2 + 6)

8

d) (2 – 24) – (3 + 12) – (-4 – 3)

A.29.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 23 + 14 -7 + 8 – 12 – 1

b) 15 – 13 + 4 – 15 + 3

c) 30 – 14 – 42 + 25 + 5

d) 10 + 7 – 15 – 2 – 5 + 3 + 6

Al multiplicar o dividir dos números enteros, si tienen el mismo signo el resultado es

positivo, y si tienen distinto signo el resultado es negativo.

Cuando se tienen distintas operaciones combinadas, se debe seguir un orden:

a) Paréntesis.

b) Multiplicaciones y divisiones.

c) Sumas y restas.

d) Si las operaciones tienen la misma jerarquía, se empieza por la izquierda.

A.30.- Efectúa:

a) 6 · 5

b) -3 · (-7)

c) 8 · (-3)

d) (-9) · 12

A.31.- Calcula:

a) 18 : 9

b) -28 : (-2)

c) 15 : (-3)

d) -36 : 12

A.32.- Calcula:

a) 5 · (2 + 8)

b) -4 · (3 + 6)

c) 6 · (7-4)

d) -3 · (5 – 3)

9

A.33.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 2 · 6 – 10 + 5 + 15 : 5

b) -2 · 6 + 3 · 5 – 12 : 2

c) 3 · 7 – (5 – 8) : 3

d) 25 - [3 + (5 – 3)]

A.34.- Calcula:

a) 15 - [(8 – 5) + (9 + 2)]

b) 25 + 40 : 2 - [5 – (8 – 9)]

c) 2 · (5 + 3) - [4 – (12 – 8)]

d) 5 + (3 – 4) - [7 – (2 – 5)]

A.35.- Calcula mentalmente el valor de k:

a) k · (-8) = -32

b) (-12) · (k) = 48

c) (-63) : (k) = 9

d) (k) : (-4) = -16

A.36.- La temperatura más alta medida en un congelador ha sido de 4ºC bajo cero, y la

más baja, de 26ºC bajo cero. ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas?

A.37.- Un avión vuela a 8000 m de altura. Sube 1000 m para evitar una tormenta y

luego desciende hasta los 2600 m ¿Cuántos metros ha descendido el avión?

A.38.- En un almacén tuvieron 3400 euros de beneficio en el primer mes; en el segundo

mes perdieron 837 euros; en el tercer mes ganaron 2800 euros. ¿Tuvieron ganancias o

pérdidas durante el trimestre? ¿A cuánto ascendieron?

A.39.- ¿Cuántos años transcurren desde 234 a.C a 1967 d.C?

A.40.- Salí de mi piso y bajé tres plantas para buscar a mi amigo Juan; subimos 4 pisos

hasta casa de Inés que vive en el 9º. ¿En qué piso vivo?

A. 41.- Aristóteles nació en el año 384 a.C. y vivió 64 años. ¿En qué año murió?

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LAS FRACCIONES

Las fracciones se utilizan para repartir objetos en partes iguales. Una fracción es el

cociente de dos números enteros. El divisor tiene que ser distinto de 0.

El denominador es el número de partes iguales en que se divide la unidad.

El numerador es el número de partes que se toman.

Una fracción es también un número que opera a una cantidad. Para calcular la

fracción de una cantidad, se divide ese número entre el denominador y el resultado se

multiplica por el numerador.

Una fracción se denomina propia si el numerador es menor que el denominador.

Una fracción es igual a la unidad cuando el numerador y el denominador son iguales.

Una fracción es impropia si el numerador es mayor que el denominador. .

En cuanto al signo de las fracciones, si los dos términos que la forman tienen el mismo

signo, la fracción es positiva. Si los dos términos tienen distinto signo, la fracción es

negativa.

Para representar una fracción en una recta, se divide la unidad en tantas partes iguales

como indique el denominador, y se toman tantas partes como indique el numerador.

A.42.- Dibuja un cuadrado y representa en él ¾

A.43.- Representa 7/5 utilizando círculos.

A.44.- Calcula:

a) 2/3 de 18

b) 4/7 de 35

A.45.- Representa en la recta los siguientes números:

½, - ¾, 7/3

A.46.- Tenemos una docena de huevos y gastamos los ¾ para hacer una tortilla.

¿Cuántos huevos quedan?

Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad. Cuando dos fracciones

son equivalentes, sus productos cruzados son iguales.

11

Para amplificar una fracción, se multiplica el numerador y el denominador por el

mismo número. Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denominador

por el mismo número. Se llama fracción irreducible aquella que ya no se puede

simplificar.

Para calcular la fracción irreducible, se halla el MCD del numerador y del

denominador, y se dividen ambos términos por ese número.

Para reducir fracciones a común denominador, se pone como denominador común el

mcm de los denominadores. Cada numerador será el resultado de dividir el

denominador común por el denominador que tenía cada fracción, multiplicándolo por

el antiguo numerador.

Al comparar fracciones se pueden presentar tres casos:

a) Si tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

b) Si tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

c) Si tienen distinto numerador y denominador, se reducen a común denominador

y luego se comparan como en el primer apartado.

A.47.- Calcula mentalmente el número que falta para que las siguientes fracciones sean

equivalentes:

a) 8

6=

4

b) 15

6

5 =

A.48.- De las siguientes fracciones, di cuáles son equivalentes:

15

10,

5

4,

3

2,

10

8,

6

4

A.49.- Obtén dos fracciones equivalentes a ¾ por amplificación.

A.50.- Reduce a mínimo común denominador las fracciones 8

7,

6

5,

4

3

A.51.- Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: 3

4,

4

3,

3

2,

2

3

12

A.52.- Simplifica las fracciones siguientes hasta obtener la irreducible:

a) 8

6

b) 15

10

c) 18

12

d) 24

18

A.53.- Ana, María y Pedro compran un refresco cada uno; a los 10 minutos a Ana le

queda la mitad, a María los tres cuartos y a Pedro un tercio. Ordena a los tres de menor

a mayor según la cantidad que les queda.

Para sumar y restar fracciones, éstas han de tener previamente un denominador

común. La operación se reducirá entonces a sumar o restar los numeradores.

Para sumar o restar fracciones con números enteros, estos se consideran como

fracciones cuyo denominador es 1.

La fracción opuesta de una dada es la que se obtiene al cambialer el signo. La suma de

dos fracciones opuestas es 0.

A.54.- Calcula:

a) 1 + 2

1

b) 4

1

2

1 −

c) 3

7

3

4

3

2 ++

d) 3

8

6

1

2

5 −+

A.55.- Opera las siguientes fracciones: 16

17

18

5

12

11 +−

13

A.56.- Realiza las siguientes operaciones:

a) 3 + 4

5

b) 46

5 −

c) 10

73

5

16 +−

d) 3 + 12

7

8

5

6

5 +−

A.57.- En una botella vacía de un litro de agua echamos 2/3 y luego ¼. ¿Cuánto le falta

para llenarse?

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de

los numeradores, y por denominador el producto de los denominadores. Al final, se

debe simplificar siempre que se pueda.

El producto de un número entero por una fracción es otra fracción que tiene por

numerador el producto del entero por el numerador de la fracción, y por denominador

el mismo de la fracción.

Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda,

simplificando al final siempre que se pueda.

A.58.- Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) 7

5·

3

4

b) 7

6

5

4·

3

2

c) )12·(3

4 −

A.59.- Haz las siguientes divisiones:

a) 8

7:

5

2

b) - 4

3 :

6

5

14

A.60.- Realiza las siguientes operaciones:

a) 2

9:

8

7

6

5·

4

3 +

b) 2

5)

8

3

4

7·(

6

5 +−

c) (4 - 2

5:)

5

6·

4

3

d) (2

9)·7

5

6:

4

3 −

A.61.- Compramos 100 litros de refresco a 2 euros el litro, los envasamos en botes de

1/3 de litro y los vendemos a 1 euro. ¿Cuánto dinero ganaremos?

LOS NÚMEROS DECIMALES

El sistema de numeración decimal está formado por la unidad, sus múltiplos de 10 en

10 y sus divisores de 10 en 10. Para pasar de una unidad a otra de orden

inmediatamente inferior se multiplica por 10 y para pasar a otra de orden

inmediatamente superior se divide por 10.

Una décima es cada una de las partes que se obtienen al dividir una unidad en 10

partes iguales. Una centésima es cada una de las partes que se obtienen al dividir una

unidad en 100 partes iguales. Una milésima es cada una de las partes que se obtienen

al dividir una unidad en 1000 partes iguales.

Los números decimales están compuestos de una parte entera y otra parte decimal,

separadas por una coma.

Una fracción es decimal si el denominador es la unidad seguida de ceros, o una

equivalente. Las fracciones decimales dan origen a los números decimales exactos. Una

fracción es decimal si el denominador es un producto de factores de 2, de 5 o de ambos.

Para pasar de un número decimal exacto a fracción, se pone por numerador el número

sin la coma y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga

el número. Luego, siempre que se pueda, se simplifica.

Para representar en la recta los números decimales se representa la recta de los

números enteros y cada unidad se divide en 10 partes iguales, cada una de estas partes

es una décima, y así sucesivamente.

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Dados dos números decimales, es mayor el que tiene mayor parte entera. Si tienen la

misma parte entera, es mayor el que tenga mayor la primera cifra decimal, y así

sucesivamente.

A.62.- Completa:

a) Cinco unidades = ……. centésimas

b) 23 milésimas = …….. unidades

A.63.- Haz la descomposición decimal de los siguientes números:

2,45 23,5 7,874 84,45

A.64.- Convierte las siguientes fracciones decimales en números decimales:

3 / 4 27 / 5 33 / 2 83 / 20

A.65.- Ordena de menor a mayor:

2,5 -1,75 -0,5 0,35

A.66.- Convierte los siguientes números decimales exactos en fracción:

0,25 2,75 0,22 3,2

A.67.- Representa en una recta los siguientes números decimales:

0,5 -1,75 2,4 -3,25

A.68.- Escribe un número decimal que esté comprendido entre cada uno de los pares

siguientes:

a) Entre 2,3 y 2,6

b) Entre 7,5 y 7,6

c) Entre 5,228 y 5,246

d) Entre 8,34 y 8,35

Para sumar o restar números decimales, se colocan unos debajo de otros de forma que

coincidan las comas y las unidades del mismo orden. Se suman o restan como si fueran

números naturales y se coloca la coma en el resultado. Si en el minuendo hay menos

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cifras que en el sustraendo, se añaden ceros a la derecha o se resta de 10 sin poner los

ceros.

Para multiplicar números decimales, se colocan unos debajo de otros. Se multiplican

como si fueran números naturales. En el resultado, se separan desde la derecha con

una coma un número de cifras decimales igual a la suma de las que tienen los dos

factores. Si no hubiera bastantes cifras para separar los decimales, se ponen los ceros

que sean necesarios delante de las cifras significativas.

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros se escribe el mismo

número y se corre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la

unidad. Si no hubiese bastantes cifras, se colocan ceros a la derecha.

Para multiplicar un número decimal por una unidad decimal, se escribe el mismo

número y se traslada la coma hacia la izquierda tantos lugares como decimales tenga

la unidad decimal. Si no hubiese bastantes cifras, se colocan ceros a la izquierda.

A.69.- Suma los siguientes números decimales:

a) 45,23 + 7,842

b) 136,25 + 7,8 + 38,967

c) 45,3 + 802,762

d) 0,0034 + 7,23 + 99,1

A.70.- Resta los siguientes números decimales:

a) 83,27 – 67,15

b) 8,5 – 3,47

c) 823,7 – 97,234

d) 2,567 – 0,58

A.71.- Multiplica los siguientes números decimales:

a) 5,23 · 7,5

b) 23,9 · 8,4

c) 834,89 · 23,5

d) 0,00678 · 2,5

A.72.- Multiplica mentalmente los siguientes números:

a) 7,45 · 100

17

b) 456,783 · 10000

c) 0,056 · 10

d) 0,00876 · 1000

A.73.- Multiplica mentalmente los siguientes números:

a) 8,19 · 0,01

b) 234,56 · 0,001

c) 659,23 · 0,0001

d) 0,023 ·0,1

A.74.- Para hacer una paella utilizamos los siguientes ingredientes: 0,4 kg de arroz, 0,25

kg de calamares, 0,35 kg de chirlas y 0,27 kg de gambas. ¿Cuánto pesan los

ingredientes?

A.75.- Halla el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden 5,7 m y 6,8 m.

A.76.- Compramos 100 bolsas de patatas fritas que pesan cada una 0,25 kg. ¿Cuántos

kg pesarán entre todas?

Para realizar una división entera con decimales, se hace la división entera, se coloca

una coma en el cociente, se baja un 0 y se sigue haciendo la división.

Para dividir un número decimal entre un entero, se comienza a dividir como si fueran

números naturales. Al llegar a la coma del dividendo se coloca la coma en el cociente,

y se sigue haciendo la división.

Para dividir un número (entero o decimal) entre un número decimal, se quitan los

decimales del divisor, multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de

tantos ceros como decimales tenga el divisor, realizando luego la división resultante.

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se escribe el mismo

número y se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a

la unidad. Si no hubiese bastantes cifras, se colocan tantos ceros a la izquierda como

sean necesarios.

Para dividir un número decimal por una unidad decimal, se escribe el mismo número y

se traslada la coma hacia la derecha tantos lugares como decimales tenga la unidad

decimal. Si no hubiese bastantes cifras, se añaden ceros a la derecha.

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Cuando se tienen operaciones combinadas con números decimales, se debe seguir un

orden:

a) Paréntesis.

b) Multiplicaciones y divisiones.

c) Sumas y restas.

d) Si las operaciones tienen la misma jerarquía, se empieza por la izquierda.

A.77.- Haz las siguientes divisiones, obteniendo 2 decimales:

a) 31 : 8

b) 13 : 7

c) 345 : 11

d) 5 : 13

A.78.- Efectúa las siguientes divisiones obteniendo dos decimales:

a) 83,5 : 9

b) 634,83 : 23

c) 5,93 : 17

d) 587,4 : 47

A.79.- Efectúa las siguientes divisiones obteniendo dos decimales:

a) 847,23 : 6,5

b) 7,2 : 0,03

c) 0,485 : 3,25

d) 8,345 : 3,47

A.80.- Divide mentalmente los siguientes números:

a) 738,3 : 100

b) 76,34 : 10000

c) 0,044 : 10

d) 34,2 : 1000

A.81.- Divide mentalmente los siguientes números:

a) 7,23 : 0,01

b) 0,0056 : 0,001

19

c) 3,2 : 0,0001

d) 678,5 : 0,1

A.82.- Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) 4,5 + 2,5 · 7,8

b) 36,25 : 6,25 – 2,44

c) 3,2 (56,3 + 6,98)

d) (45,6 – 0,44) : 1,2

A.83.- Un almacenista compra 1200 litros de refresco y lo envasa en botellas de 1,5

litros. ¿Cuántas botellas llenará?

A.84.- Un coche con 35 litros de gasolina recorre 538 km. Si el litro de gasolina cuesta

0,92 €, ¿cuánto gasta cada km en gasolina?

A.85.- Para la fiesta de fin de curso, los 28 alumnos y alumnas de una clase compraron

30 litros de refresco a 1,2 € el litro, 12,5 kg de patatas fritas a 5,7 € el kg y en adornar

la clase gastaron 7,5 €. ¿Cuánto tuvo que gastar cada uno?

A.86.- Un ganadero compra una vaca por 2345 €. Cada día, por término medio, obtiene

21 litros de leche, que vende a 0,68 € el litro. La vaca consume cada día unos 8 kg de

pienso, que sale a 1,13 €/kg. Al cabo de 180 días la vende por 1930 €. ¿Qué beneficio

ha obtenido?

POTENCIAS Y RAIZ CUADRADA

Una potencia es un producto de factores iguales. Llamamos base a de una potencia al

factor que se multiplica y exponente n al número de veces que se multiplica.

an

Si el exponente es 2, se lee al cuadrado. Si es 3, al cubo; si es 4, a la cuarta, etc.

Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los

números naturales. Representan el área de un cuadrado que tuviese de lado a dicho

número natural.

20

Los cubos perfectos son los que se obtienen al elevar al cubo los números naturales.

Representan el volumen de un cubo cuya arista fuese dicho número natural.

Una potencia de base 10 es la unidad seguida de tantos ceros como indique el

exponente.

La notación científica de un número es la expresión de dicho número como producto de

un número decimal en el que la parte entera está formada por una sola cifra no nula y

una potencia entera de 10. Se usa para representar números muy grandes o muy

pequeños.

Si la base de una potencia es positiva, la potencia es positiva.

Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva. Si la base es

negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.

A.87.- Calcula mentalmente:

a) 32

b) (-3)2

c) 33

d) (-3)3

A.88.- Calcula mentalmente:

a) 05

b) 17

c) (-1)8

d) (-1)9

A.89.- Calcula mentalmente:

a) 102

b) 106

c) (-10)3

d) (-10)4

A.90.- Calcula:

a) 53

b) (-5)3

c) 54

21

d) (-5)4

A.91.- Escribe en forma de potencia:

a) 7·7·7·7·7

b) (-7)·(-7)

A.92.- Calcula:

a) 0,52

b) 2,33

A.93.- Escribe los cuadrados perfectos menores o iguales que 100 y que sean pares.

A.94.- Escribe los cubos perfectos menores o iguales que 200 y que sean pares.

A.95.- Escribe los siguientes números en notación científica:

a) 230000

b) 0,00057

A.96.- Pasa a notación decimal los siguientes números expresados en notación

científica:

a) 5,6 · 103

b) 7,95 · 10-3

A.97.- Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo lado mide 27 m. Calcula el precio

de venta sabiendo que el metro cuadrado vale a 30 €.

El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base

y como exponente la suma de los exponentes.

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base

y como exponente la diferencia de los exponentes.

La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y como exponente

el producto de los exponentes.

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al

mismo exponente.

22

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al

mismo exponente.

A.98.- Calcula mentalmente:

a) 70

b) (-6)1

c) 91

d) (-8)0

A.99.- Expresa el resultado en forma de una sola potencia:

a) 35·34

b) (34)2

c) 78:75

d) 65·64·62

A.100.- Aplica la potencia de un producto o de un cociente:

a) (2·5)3

b) (3·7·13)5

c) (7:3)4

d) (2:11)7

A.101.- Aplicando la potencia de un producto o de un cociente, escribe como una sola

potencia:

a) 83·73

b) 35·25·55

c) 54:34

d) 116:136

A.102.- Expresa el resultado en forma de una sola potencia:

a) x3·x4

b) (x2)3

c) x6 : x2

d) x2·x3·x5

23

A.103.- Calcula:

a) (2 + 3)2

b) (7 – 5)3

La raíz cuadrada de un número a es otro número b, tal que b elevado al cuadrado es

igual a a.

La raíz cuadrada puede ser exacta, si a es un cuadrado perfecto.

Cuando intervienen raíces y potencias, la jerarquía de las operaciones a realizar es la

siguiente:

a) Paréntesis

b) Potencias y raíces

c) Multiplicaciones y divisiones

d) Sumas y restas

e) Si las operaciones tienen la misma jerarquía, se empieza por la izquierda.

A.104.- Calcula mentalmente la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos:

a) 25

b) 49

c) 0

d) 1

A.105.- Calcula la raíz cuadrada entera por defecto de:

a) 53

b) 23

c) 17

d) 90

A.106.- Calcula la raíz cuadrada entera por exceso de:

a) 45

b) 87

c) 15

d) 60

24

A.107.- Utiliza la calculadora para hallar la raíz cuadrada de:

a) 361

b) 441

c) 7921

d) 710649

A.108.- Realiza las siguientes operaciones:

a) (26 + 72 – 82)· 81

b) 16:6449 +

PROPORCIONALIDAD

Una razón es la división entre dos cantidades comparables. Se representa b

a y se lee

“ a es a b”. El término a se llama antecedente, y el término b, consecuente.

Una proporción es una igualdad de dos razones. Se representa d

c

b

a = , y se lee “a es a

b como c es a d”. La constante de proporcionalidad es el cociente entre un antecedente

y un consecuente.

En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En una proporción, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los

consecuentes es igual a cualquiera de las razones.

Se llama cuarto proporcional a un término desconocido de una proporción, conocidos

los otros tres.

Una proporción se llama continua si tiene sus medios o sus extremos iguales. A los

términos iguales de una proporción continua se les llama medios proporcionales.

A.109.- Calcula mentalmente las razones entre las cantidades siguientes, e interpreta el

resultado:

a) 2 kg de nueces cuestan 7€.

b) Un tren recorre 360 km en 3 h.

c) 25 paquetes de folios cuestan 75€.

d) 5 kg de detergente se gastan en 40 lavados.

25

A.110.- Calcula mentalmente las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el

resultado:

a) Una varilla mide 120 cm, y otra, 140 cm.

b) Una casa tiene 100 m2, y otra, 125 m2.

c) José marcha a 4 km/h, y Diego, a 5 km/h.

d) Un paquete de galletas contiene 250 g, y otro, 1000 g.

A.111.- Calcula mentalmente y completa para que formen proporción:

a) 324

3 =

b) 27

21

9=

A.112.- Calcula el cuarto proporcional:

a) 3

8

9=x

b) x

3

8

2 =

c) 3515

6 x=

d) 25

2012 =x

A.113.- Calcula el medio proporcional:

a) 16

4 x

x=

b) 12

3 x

x=

Dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de las cantidades

correspondientes es constante. La constante de proporcionalidad directa es el valor que

se obtiene al dividir cualquier valor de la segunda magnitud entre el correspondiente

de la primera.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de las

correspondientes cantidades es constante. El valor de ese producto es la constante de

proporcionalidad inversa.

26

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.- Reducción a la unidad:

Se calcula la cantidad de una magnitud correspondiente a la unidad de la otra

magnitud.

Con el valor de la unidad, se calcula el valor deseado.

2.- Regla de tres directa:

Se colocan los datos y se determina si la proporcionalidad es directa.

Se forma la proporción y se calcula el cuarto proporcional.

3.- Regla de tres inversa:

Se colocan los datos y se determina si la proporcionalidad es inversa:

Se forma la proporción en la que la razón de las cantidades de la primera

magnitud aparece invertida.

A.114.- Si 6 cajas de ciruelas cuestan 9,72 €, ¿cuánto costarán 21 cajas iguales?

A.115.- Una cuadrilla de obreros canaliza 80 m de tubería en 4 días. ¿Cuántos días

tardará, trabajando al mismo ritmo, en canalizar 120 m?

A.116.- De una fuente manan 4150 litros de agua en 4 h. ¿Cuántos litros de agua

manarán en dos días?

A.117.- Si 14 obreros tardan 45 días en hacer una obra, ¿cuántos días necesitarán 30

obreros en hacer la misma obra trabajando al mismo ritmo?

A.118.- Cinco grifos llenan un depósito en 30 h. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el

mismo depósito 3 grifos iguales a los anteriores?

Un caso particular de los cálculos de proporcionalidad lo constituyen los porcentajes:

A.119.- Por el gasto de 90 € en una compra realizada en un supermercado, nos han

descontado el 5% de un bono. ¿Cuánto dinero han descontado?

27

A.120.- El 60% del alumnado de una clase ha aprobado el examen de Literatura. Si han

aprobado 15 estudiantes, ¿cuántos estudiantes hay en la clase?

A.121.- En un paquete de 250 g de mezcla de café, hay 60 g de café torrefacto. Calcula

el tanto por ciento que hay de café en la mezcla.

A.122.- Durante el transporte de 12500 kg de tomates se ha estropeado el 8%. ¿Cuántos

kg de tomates han quedado?

A.123.- Un comerciante paga el metro de tela a 8 €. Si quiere ganar el 20% del precio

de costo, ¿a qué precio debe vender el metro de tela?

A.124.- Alberto pagó el año pasado 350 € por un servicio de teléfono móvil. Si este año

ha pagado 378 €, ¿qué tanto por ciento ha aumentado en el gasto de teléfono?

POLINOMIOS

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y paréntesis,

relacionados mediante operaciones. Los elementos de una expresión algebraica son los

siguientes:

Términos: Cada uno de los sumandos.

Término independiente: El que sólo tiene parte numérica.

Variables o parte literal: Son cantidades desconocidas que suelen representarse por x,

y, z.

Coeficiente: La parte numérica que multiplica a las variables. Cuando no aparece, es

1.

Un monomio es una expresión algebraica cuyas únicas operaciones son el producto y

la potencia de exponente natural. Se llama grado de un monomio a la suma de los

exponentes de las variables que contiene. Monomios semejantes son los que tienen la

misma parte literal.

Un polinomio es una suma de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman es

un término del polinomio. El grado de un polinomio es el de su monomio de mayor

grado. Coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado.

28

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable

por un número y efectuar las operaciones.

A.125.- Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales:

a) Un número x aumentado en 5 unidades.

b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide su área?

c) Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros, respectivamente. ¿Cuánto

mide su perímetro?

A.126.- En la expresión algebraica 4xy - 5x + 6x - 3, halla los términos, el término

independiente, las variables y los coeficientes.

A.127.- Determina el coeficiente y el grado de los siguientes monomios:

a) -7x5

b) 4x3y2z

c) 5

d) -6x

A.128.- Halla cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 5x3, 7x, -7x2, -9x3,

8x2, x3, 9x

A.129.- Especifica los términos, el grado, los coeficientes, el coeficiente principal y el

término independiente del polinomio P(x) = 7x3 - 9x - 2

A.130.- Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x2 - 7x + 6 para los valores que se

indican:

a) x=0 b) x=1 c) x=5 d) x= -5

A.131.- Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se

indican:

a) P(x) = x3 + 3x - 1 para x=2

b) P(x) = x4 - 7x2 + 5 para x=-3

c) P(x) = 5x3 + 6x2 - 4x + 7 para x=1

La suma y resta de monomios presenta dos casos posibles:

29

• Si los monomios son semejantes, se suman o restan los coeficientes y se pone la

misma parte literal.

• Si los monomios no son semejantes, el resultado es un polinomio cuyos términos

son los monomios dados.

El opuesto de un monomio es el mismo monomio cambiado de signo.

El producto de dos o más monomios es otro monomio que tiene:

• Por coeficiente, el producto de los coeficientes.

• Por parte literal, la misma, con exponente la suma de los exponentes.

El cociente de dos monomios tiene:

• Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.

• Por parte literal, la misma, con exponente la diferencia de los exponentes. Para

que el resultado sea un monomio, el grado del numerador tiene que ser mayor o

igual que el grado del denominador.

• Para elevar un monomio a una potencia, se eleva el coeficiente a la potencia y

se multiplican los exponentes.

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cada término del

polinomio por el monomio.

Para extraer factores comunes de un polinomio, el monomio que se extrae tiene como

coeficiente el M.C.D. de los coeficientes, y como parte literal las variables comunes

elevadas al menor exponente coincidente.

A.132.- Realiza las siguientes operaciones de monomios:

a) 4x5 - x5 + 8x5

b) -9x3 · x3

c) (-3x)4

d) -7x3 : x3

A.133.- Realiza las siguientes operaciones de monomios:

a) (7x5)2

b) -9x3 + x3 + 5x3

c) -15x4 : (-3x)

d) -7x2 + 12x2 + 6x2 - x2

A.134.- Realiza las siguientes operaciones de monomios:

30

a) 12x5 : 3x2

b) 7x3 · (-7) · x5

c) (3x3)3

d) -7x2 · (-15x) · x2

A.135.- Realiza las siguientes operaciones de monomios:

a) 5x5 · (-3x)

b) (-2x3)5

c) 2x - 7x + x - 15x

d) 7x3 : 2x

A.136.- Multiplica los siguientes polinomios por monomios:

a) (x4 - 5x3 + 4x + 1) · 2x4

b) (x6 - 3x4 + 6x2 - 9) · 3x5

c) (x4 + 4x3 - 9x + 5) · (-4x)

d) (x4 - 7x3 + 2x - 12) · (-5x2)

A.137.- Elimina los paréntesis y reduce las siguientes expresiones:

a) 6x – (5x2-3+4x2) - 9x - 8

b) 5x2 - 6x - 2(3x + 8x2 - 9x - 4)

c) –(5x – 7 + 2x - 4x2 + 8) + 9x2

d) 9(3x2 - 5x + 7) - 5( 4x - 8x2 + 1)

A.138.- Extrae todos los factores que puedas como factor común:

a) 8x - 12y

b) 4x5 - 6x3

c) 3x4 + 15x2 - 6x

d) 4x2y + 6xy2 - 2xy

Para sumar polinomios:

• Se colocan ordenados unos debajo de otros, de modo que coincidan los

monomios semejantes.

• Se suman los coeficientes del mismo grado y se pone la misma parte literal.

31

Para restar polinomios, se suma al minuendo el opuesto (se obtiene cambiando de

signo todos los monomios) del sustraendo.

Para multiplicar polinomios:

• Se colocan ordenados uno debajo del otro, de modo que coincidan los

monomios semejantes.

• Empezando por la izquierda, se multiplica el primer monomio del segundo

polinomio por todos los monomios del primero. Los coeficientes se multiplican y

los exponentes se suman. Si falta el término de algún grado, se deja un hueco.

• Se continúa multiplicando los demás monomios.

• Se suman todos los polinomios obtenidos.

A.139.- Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 5x3 – 6x + 9

Q(x) = -7x4 + 5x3 + 6x – 12

Calcula P(x) + Q(x) y P(x) – Q(x)

A.140.- Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 3x5 – 7x4 + 9 x2 – 13

Q(x) = 5x4 – 9x2 + 7x – 1

Calcula P(x) + Q(x) y P(x) – Q(x)

A.141.- Dado el siguiente polinomio:

P(x) = -8x5 + 5x4 – 9x2 + 2

a) Halla su opuesto.

b) Suma P(x) con su opuesto. ¿Qué polinomio se obtiene?

A.142.- Multiplica los siguientes polinomios:

P(x) = x2 – 7x + 2

Q(x) = 3x + 1

Halla el grado del producto

A.143.- Multiplica los siguientes polinomios:

P(x) = x4 – 5x3 – 3x + 1

32

Q(x) = 2x2 – x + 7

Halla el grado del producto

A.144.- Multiplica los siguientes polinomios:

P(x) = x3 – 2x2 – 4

Q(x) = -3x2 + x – 5

Halla el grado del producto

A.145.- Multiplica los siguientes polinomios:

P(x) = x2 + x + 1

Q(x) = x – 1

Halla el grado del producto

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero

por el segundo, más el cuadrado del segundo:

(a + b)2 = a2+ 2ab + b2

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del

primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del

segundo:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

La descomposición factorial de un polinomio es su expresión como producto de

factores irreducibles. Cuando es sencilla, se puede hacer mentalmente, sacando factor

común o aplicando las igualdades notables que acabamos de estudiar.

Una fórmula es una expresión algebraica en la que se obtienen valores calculando el

valor numérico para valores de las variables.

Una ecuación es una expresión algebraica que sólo se verifica para algunos valores.

Una identidad es una expresión algebraica que se verifica para cualquier valor de las

variables.

A.146.- Calcula mentalmente:

a) (x + 1)0

b) (x – 1)1

33

c) (x + 1)2

d) (x - 1)2

e) (x + 1) (x – 1)

A.147.- Calcula mentalmente:

a) (x + 4)2

b) (x + 4) (x – 4)

c) (x – 5)2

d) (2x – 3)2

e) (2x + 3)(2x – 3)

A.148.- Halla mentalmente la descomposición factorial de:

a) x2 + 3x

b) x2 – 3x

c) x2 – 49

d) x2 + 4x + 4

e) x2 – 6x + 9

A.149.- Calcula:

a) (3x + 2

1)2

b) (3x - 2

1)2

c) (3x + 2

1)(3x -

2

1)

A.150.- Halla mentalmente la descomposición factorial de:

a) 3x4 + 6x2

b) 6x3 – 8x

c) x2 – 5

d) x2 – 2x + 1

e) x3 + 2x2 + x

34

ECUACIONES

Una ecuación de primer grado con una incógnita tiene como solución el valor de la

incógnita que satisface la ecuación. Decimos que dos ecuaciones son equivalentes si

tienen la misma solución.

A la hora de resolver una ecuación, hemos de tener en cuenta las siguientes reglas:

Sumar o restar la misma expresión en los dos

miembros de una ecuación la transforma en una

ecuación equivalente.

Si un término está sumando,

pasará al otro miembro

restando; y si está sumando,

pasa restando.

Multiplicar o dividir los dos miembros de una

ecuación por un número distinto de 0 la transforma

en una ecuación equivalente. Siempre que se pueda,

una ecuación se debe simplificar.

Si un número está multiplicando

a la incógnita, pasará al otro

miembro dividiendo; y si está

dividiendo, pasa multiplicando.

El procedimiento para resolver ecuaciones sigue una serie de pasos:

• Eliminar denominadores usando el mínimo común múltiplo de los mismos para

reducir todos los términos a un denominador común.

• Eliminar paréntesis teniendo en cuenta la propiedad distributiva y la regla de

los signos.

• Trasponer términos, para aislar los términos literales.

• Reducir términos semejantes.

• Despejar la incógnita.

A.151.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 2x + 3 = 9

2. 5 – 3x = 2

3. 3x + 1 = 1

4. 5 – x = 0

5. 1 – 6x + 3 = 2x – 12

6. 4 – 3x + 2 = 4 – 5x

7. 3 + 2(x – 1) = 4x – 5

8. 2x – 3(x + 2) = 2(x – 1) – 1

9. 3 (2x + 1) – (x + 2) = 2x – 3(x – 1)

35

10. x – (x + 3) – 2(x + 5) = 5 – 4(x + 3)

11. 2

322

4−=+ x

x

12. xxx −=+ 326

13. 3

15

6=++ x

x

14. 253

=− xx

15. 3

2

2

3

5

1 xx =+

16. 53

4 =−x

17. 9

1

6

5

4

3 −+−=− xxx

18. 4

3

5

4

3

2 −=−−− xxx

19. 2(x – 3) + 10x = 2

18 −x

20. 3

2

5

103

2

1 −+−=− xxx

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión de la forma:

ax2+ bx + c = 0

Una ecuación de segundo grado es completa si tiene los tres términos. Si faltan b, c o

ambos, la ecuación es incompleta. Las soluciones de una ecuación de segundo grado

son los valores de la incógnita que verifican la ecuación.

La resolución de una ecuación de segundo grado presenta varios procedimientos según

el tipo particular de ecuación que tengamos:

• ax2 = 0

Las soluciones son x1 = x2 = 0

• ax2 + c = 0

Se resuelve despejando x2 y hallando la raiz cuadrada.

• ax2 + bx = 0

Se resuelve sacando x factor común. Una de lassoluciones es siempre x = 0.

36

• ax2 + bx + c = 0

Se aplica la fórmula x = a

acbb

2

42 −±−

A.152.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 3x2 = 0

2. x2 – 4 = 0

3. x2 + x – 6 = 0

4. x2 – 36 = 0

5. x2 + 3x – 4= 0

6. x2 – 9 = 0

7. x2 – 3x – 10 = 0

8. x2 – 3x = 0

9. x2 – 100 = 0

10. 2x2 + 3x – 2 = 0

11. 2x2 – 5x = 0

12. 9x2 – 18x + 8 = 0

13. 9x2 – 4 = 0

14. 4x2 – 13x + 3 = 0

15. 2x + 5x2 = 0

16. 2x2 – 3x + 1 = 0

17. 25x2 – 1 = 0

18. 2x2 – x – 6 = 0

19. 5x2 – 3x = 0

20. 4x2 – x = 0

21. 5x2 – 14x – 3 = 0

22. 3x2 = 4x

23. 5x2 – 24x – 5 = 0

24. (x – 3)(x – 1) = 15

25. (x + 1)(x – 2) = 10

26. 4

41

2

3 2 ++= xx

37

Se llama discriminante de la ecuación de 2º grado, y se representa por ∆ al valor

b2- 4ac. El número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende del

signo del discriminante.

• Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales y

distintas.

• Si el discriminante es nulo, hay una única solución, que se dice es doble.

• Si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Un trinomio de segundo grado se puede descomponer factorialmente en función de sus

raíces x1 y x2:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Para hallar una ecuación de segundo grado a partir de dos soluciones, basta

multiplicar los binomios (x – x1)(x - x2) = 0

A.153.- Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen:

a) x2 + 5x – 7 = 0

b) 2x2 – 3x + 5 = 0

c) x2 + 4x + 4 = 0

d) 4x2 – 4x + 1 = 0

A.154.- Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios de segundo

grado:

a) x2 – x – 12

b) 2x2 – x – 3

c) 3x2 + 5x – 12

d) 5x2 – 2x

A.155.- Escribe en cada caso una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean

a) x1 = 3, x2 = -5

b) x1 = 2/3, x2 = -3

c) x1 = - 1, x2 = - 2/5

d) x1 = 3/2, x2 = - ¼

38

A.156.- Encuentra un número tal que el cuádruple de dicho número más 20 unidades sea

igual a 68.

A.157.- Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 189.

A.158.- La base de un rectángulo mide 9 cm más que la altura. Si su perímetro mide 74

cm, ¿cuáles serán las dimensiones del rectángulo?

A.159.- Irene sale en moto desde su pueblo hacia el este a una velocidad de 60 km/h.

Dos horas más tarde, María sale en moto tras ella, a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto

tiempo tardará María en alcanzar a Irene?

A.160.- Halla dos números enteros consecutivos tal que la suma de sus cuadrados sea

313.

A.161.- Calcula las dimensiones de una finca rectangular que tiene 12 dam más de largo

que de ancho, y una superficie de 640 dam2.

39

SOLUCIONARIO

Números naturales A.1 304.920 A.2 6 A.3 325 árboles A.4 13 Divisibilidad A.5 (a) 5, 10, 15, 20, 25 (b) 8, 16, 24, 32, 40 A.6 72 = 6 . 12 ; 324 = 27 . 12 ; 482 = 40 . 12 + 2 NO ; 948 = 79 . 12 ; 1060 = 88 . 12 + 4 NO A.7 175 , 200 , 225 , 250 , 275 , 300 , 325 , 350. A.8 1024 = 128 . 8 ; 1024 = 68 . 15 + 4 NO ; 1024 = 32 . 32 A.9 60, 120, 180, etc. A.10 (a) 1, 2, 3, 4, 6, 12 (b) 1, 2, 4, 5, 10, 20 (c) 1, 5, 7, 35

(d) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 A.11 Primos: 7, 13, 31, 43 Compuestos: 12, 25 A.12 Divisibles por 2: 24, 30, 72 Divisibles por 3: 24, 30, 72, 81 Divisibles por 5: 30, 65 A.13 28 = 22 . 7 ; 30 = 2 . 3. 5 ; 56 = 23 . 7 ; 75 = 3 . 52 ; 96 = 25 . 3 ; 120 = 23 . 3 . 5 ; 200 = 23 . 52 ; 475 = 52 . 19 ; 540 = 22 . 33 . 5 ; 625 = 54 A.14 (a) 25 (b) 10 (c) 7 (d) 15 A.15 (a) 10 (b) 20 (c) 2 (d) 20 A.16 (a) 100 (b) 840 (c) 320 (d) 675 A.17 (a) 200 (b) 130 (c) 30 (d) 60 A.18 12 minutos A.19 4 paquetes con 3 figuras de cada tipo Números enteros A.20 (a) – 2 (b) + 7 (c) – 3 (d) + 12 A.21 (a) 100 € (b) – 2 (c) – 1 € (d) – 3ºC A.22 -o----o—o---o---o— -6 -2 0 3 6 A.23 4, 0, 6, 2, 8, 1 A.24 -7 < -5 < -2 < -1 < 0 < 4 < 5 < 7 A.25 +6 y -6 A.26 (a) 12 (b) – 9 (c) 4 (d) 6 A.27 (a) 2 (b) – 2 (c) 28 (d) 10 A.28 (a) 13 (b) 18 (c) – 6 (d) – 30 A.29 (a) 25 (b) – 6 (c) 4 (d) 4 A.30 (a) 30 (b) 21 (c) – 24 (d) – 108 A.31 (a) 2 (b) 14 (c) - 5 (d) – 3 A.32 (a) 50 (b) – 36 (c) 18 (d) – 6 A.33 (a) 10 (b) – 3 (c) 22 (d) 20 A.34 (a) 1 (b) 39 (c) 16 (d) 14 A.35 (a) 4 (b) – 4 (c) – 7 (d) 64

40

A.36 22ºC A.37 6400 m A.38 3400 – 837 + 2800 = 5363 € de ganancia. A.39 1967 – (- 234) = 2201 años. A.40 x – 3 + 4 = 9 de donde x = 8º A.41 - 384 aC + 64 = - 320 aC Fracciones A.42 A.43 A.44 (a) 12 (b) 20 A.45 A.46 3 A.47 (a) 6/8 = ¾ (b) 5/6 = 15/18 A.48 4/6 = 2/3 = 10/15 ; 8/10 = 4/5 A.49 ¾ = 3.2/4.2 = 6/8 = 3.3/4.3 = 9/12 A.50 18/24 ; 20/24 ; 21/24 A.51 2/3 < ¾ < 4/3 < 3/2 A.52 (a) ¾ (b) 2/3 (c) 2/3 (d) ¾ A.53 1/3 < ½ < ¾ A.54 (a) 3/2 (b) ¼ (c) 13/3 (d) 0 A.55 245/144 A.56 (a) 17/4 (b) – 19/6 (c) 9/10 (d) 91/24 A.57 1/12 A.58 (a) 20/21 (b) 16/35 (c) – 16 A.59 (a) 16/35 (b) – 9/10 A.60 (a) 59/72 (b) 175/48 (c) 31/25 (d) – 459/16 A.61 Coste: 200 € Venta: 300 € Ganancia: 100 € Números decimales A.62 (a) 500 (b) 0,023 A.63 2,45 = 2 + 0,4 + 0,05 ; 23,5 = 23 + 0,5 ; 7,874 = 7 + 0,8 + 0,07 + 0,004 84,45 = 80 + 4 + 0,4 + 0,05 A.64 ¾ = 0,75 ; 27/5 = 5,4 ; 33/2 = 16,5 ; 83/20 = 4,15 A.65 - 1,75 < - 0,5 < 0,35 < 2,5 A.66 25/100 ; 275/100 ; 22/100 ; 32/10 A.67 A.68 (a) 2,45 (b) 7,55 (c) 5,237 (d) 8,345 A.69 (a) 53,072 (b) 183,017 (c) 848,062 (d) 106,3334 A.70 (a) 16,12 (b) 5,03 (c) 726,466 (d) 1,987 A.71 (a) 39,225 (b) 200,76 (c) 19619,915 (d) 0,01695 A.72 (a) 745 (b) 4.567.830 (c) 0,56 (d) 8,76 A.73 (a) 0,0819 (b) 0,23456 (c) 0,065923 (d) 0,0023 A.74 1,27 kg A.75 25 m A.76 25 kg

41

A.77 (a) 3,87 (b) 1,85 (c) 31,36 (d) 0,38 A.78 (a) 9,27 (b) 27,60 (c) 0,34 (d) 12,49 A.79 (a) 130,34 (b) 240 (c) 0,14 (d) 2,40 A.80 (a) 7,383 (b) 0,007634 (c) 0,0044 (d) 0,0342 A.81 (a) 723 (b) 5,6 (c) 32000 (d) 6785 A.82 (a) 24 (b) 3,36 (c) 202,496 (d) 37,633 A.83 800 botellas A.84 0,05985 € A.85 4,098 € A.86 528,2 € Potencias y raíz cuadrada A.87 (a) 9 (b) 9 (c) 27 (d) – 27 A.88 (a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) – 1 A.89 (a) 100 (b) 1.000.000 (c) – 1000 (d) 10.000 A.90 (a) 125 (b) – 125 (c) 625 (d) 625 A.91 (a) 75 (b) (-7)2 A.92 (a) 0,25 (b) 12,167 A.93 4, 16, 36, 64 A.94 8, 64 A.95 (a) 2,3 . 105 (b) 5,7 . 10-4 A.96 (a) 5600 (b) 0,00795 A.97 21.870 € A.98 (a) 1 (b) – 6 (c) 9 (d) 1 A.99 (a) 39 (b) 38 (c) 73 (d) 611 A.100 (a) 1000 (b) 1,5163981 . 1012 (c) 29,641 (d) 6568 . 10-9 A.101 (a) 563 (b) 305 (c) (5/3)4 (d) (11/13)6 A.102 (a) x7 (b) x6 (c) x4 (d) x10 A.103 (a) 25 (b) 8 A.104 (a) 5 (b) 7 (c) 0 (d) 1 A.105 (a) 7 (b) 4 (c) 4 (d) 9 A.106 (a) 7 (b) 10 (c) 4 (d) 8 A.107 (a) 19 (b) 21 (c) 89 (d) 843 A.108 (a) 441 (b) 9 Proporcionalidad A.109 (a) 3,50 €/kg (b) 120 km/h (c) 3 €/paquete (d) 8 lavados/kg A.110 (a) 7/6 mayor a menor (b) 1,25 veces mayor (c) 5/4 más rápido

(d) 4 veces más A.111 (a) ¾ = 24/32 (b) 7/9 = 21/27 A.112 (a) 24/9 = 8/3 (b) 2/8 = 3/12 (c) 6/15 = 14/35 (d) 12/15 = 20/25 A.113 (a) 4/8 = 8/16 (b) 3/6 = 6/12 A.114 34,02 € A.115 6 días A.116 49.800 L A.117 21 días A.118 50 horas A.119 4,50 €

42

A.120 25 alumnos A.121 24 % A.122 11.500 kg A.123 9,6 €/m A.124 8 % Polinomios A.125 (a) x + 5 (b) x2 (c) 2x + 2y A.126 Términos: 4xy, -5x, 6x, - 3 Independiente: - 3 Variables: x, y

Coeficientes: 4, -5, 6 A.127 (a) - 7, grado 5 (b) 4, grado 6 (c) 5, grado 0 (d) -6, grado 1 A.128 5 x3, -9 x3, x3 son semejantes, como -7 x2 , 8 x2 ó 7 x, 9 x A.129 Términos: 7 x3 , -9 x, -2 Grado 3 Coeficientes: 7, -9 Principal: 7 Término independiente: -2 A.130 (a) 6 (b) 0 (c) – 4 (d) 66 A.131 (a) 13 (b) 23 (c) 14 A.132 (a) 11 x5 (b) – 9 x6 (c) 81 x4 (d) – 7 A.133 (a) 49 x10 (b) – 3 x3 (c) 5 x3 (d) 10 x2 A.134 (a) 4 x3 (b) – 49 x8 (c) 27 x9 (d) 105 x5 A.135 (a) – 15 x6 (b) – 32 x15 (c) – 19 x (d) 3,5 x2 A.136 (a) 2 x8 – 10 x7 + 8 x5 + 2 x4 (b) 3 x11 – 9 x9 + 18 x7 – 27 x5 (c ) – 4 x5 – 16 x4 + 36 x2 – 20 x (d) – 5 x6 + 35 x5 – 10 x3 + 60 x2 A.137 (a) – 9 x2 – 3 x – 5 (b) – 11 x2 + 6 x + 8 (c) 13 x2 – 7 x – 1 (d) 67 x2 – 65 x + 58 A.138 (a) 4 (2x – 3y) (b) 2 x3 (2 x2 – 3) (c) 3 x (x3 + 5 x – 2)

(d) 2 xy (2x + 3y – 1) A.139 (a) – 7 x4 + 10 x3 – 3 (b) 7 x4 – 12 x + 21 A.140 (a) 3 x5 – 2 x4 + 7 x – 14 (b) 3 x5 – 12 x4 + 18 x2 – 7 x - 12 A.141 Opuesto: 8 x5 – 5 x4 + 9 x2 – 2 La suma de ambos es 0 A.142 3 x3 – 20 x2 – x + 2 Grado 3 A.143 2 x6 – 11 x5 + 12 x4 – 41 x3 + 5 x2 – 22 x + 7 Grado 6 A.144 - 3 x5 + 7 x4 – 7 x3 + 22 x2 – 4 x + 20 Grado 5 A.145 x3 – 1 Grado 3 A.146 (a) 1 (b) x – 1 (c) x2 + 2 x + 1 (d) x2 – 2 x + 1 (e ) x2 – 1 A.147 (a) x2 + 8 x + 16 (b) x2 – 16 (c) x2 – 10 x + 25 (d) 4 x2 – 12 x + 9 (e ) 4 x2 – 9 A.148 (a) x (x + 3) (b) x (x – 3) (c) (x + 7)(x – 7) (d) (x + 2)2 (e ) (x – 3)2 A.149 (a) 9 x2 + 3 x + ¼ (b) 9 x2 – 3 x + ¼ (c) 9 x2 – ¼ A.150 (a) 3 x2 (x2 + 2) (b) 2 x (3 x2 – 4) (c) (x + √5)(x - √5) (d) (x – 1)2

(e ) x (x + 1)2 Ecuaciones A.151 (1) 3 (2) 1 (3) 0 (4) 5 (5) 2 (6) – 1 (7) 3 (8) – 1 (9) 1/3 (10) 3 (11) 2 (12) 1,8 (13) – 4 (14) 15 (15) – 6/25 (16) 19 (17) 7 (18) 7,5 (19) 11/16 (20) 5 A.152 (1) 0 (2) ± 2 (3) 2, - 3 (4) ± 6 (5) 1, - 4 (6) ± 3 (7) 5, -2 (8) 0, 3 (9) ± 10 (10) ½ , - 2 (11) 0, 5/2 (12) 4/3, 2/3 (13) ± 2/3 (14) 3, ¼ (15) 0, - 2/5 (16) 1, ½ (17) ± 1/5 (18) 2, - 3/2

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(19) 0, 3/5 (20) 0, ¼ (21) 3, - 1/5 (22) 0, 4/3 (23) 5, - 1/5 (24) 6, - 2 (25) 4, - 3 (26) 4, 2 A.153 (a) 2 soluciones (b) Ninguna real (c) 1 (d) 1 A.154 (a) (x – 4)(x + 3) (b) (x – 3/2)(x + 1) (c) (x – 4/3)(x + 3) (d) x (x – 2/5) A.155 (a) x2 + 2 x – 15 (b) 3 x2 + 7 x – 6 (c) 5 x2 + 7 x + 2 (d) 8 x2 – 10 x – 3 A.156 12 A.157 62, 63, 64 A.158 14, 23 A.159 4 horas A.160 12, 13 o bien -13, -12 A.161 20, 32

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