Resistencia de Materiales II
-
Upload
sofiakaren -
Category
Documents
-
view
44 -
download
1
description
Transcript of Resistencia de Materiales II
DETERMINAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Y LO QUE SE
PRECISA EN CADA VIGA POR METODO DE CASTIGLIANO Y TRABAJO
VIRTUAL:
SOLUCION:
1. METODO DE GASTIGLIANO
π¦ = π€π ππ (ππ₯
π)
π = β« π¦ = β« π€π ππ (ππ₯
π)
π₯
0
ππ₯ =βπ€π
π[cos (
ππ₯
π) β 1]
π = β« πππ₯ = β«βπ€πΏ
π[cos (
ππ₯
πΏ) β 1]
π₯
0
ππ₯ =βπ€π2
π2[sen (
ππ₯
πΏ)] +
π€πΏπ₯
π
a) ECUACIΓN
ππ = π π΄π₯ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ) β¦ β¦ (1)
b) DERIVADA PARCIAL
πππ
ππ π΄= π₯
c) SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:
πΏ = β« ππ (πππ
ππ π΄) = 0
πΏ
0
πΏ = β« (π π΄π₯ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) (π₯)ππ₯ = 0
πΏ
0
πΏ = β« (π π΄π₯2 βππΏ
ππ₯2 +
ππΏ2π₯
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) ππ₯ = 0
πΏ
0
[π π΄
π₯3
3β
ππΏ
π
π₯3
3β
ππΏ3π₯
π3πππ (
ππ₯
πΏ) +
ππΏ4
π4π ππ (
ππ₯
πΏ)]
πΏ
0= 0
π π΄
πΏ3
3β
ππΏ4
3π+
ππΏ4
π3= 0
π π΄ =ππΏ
πβ
3ππΏ
π3
POR ESTATICA:
β πΉπ£ = 0
π π΄ + π π΅ =2ππΏ
π
π π΅ =2ππΏ
π+
3ππΏ
π3β
ππΏ
π
π π΅ =ππΏ
π+
3ππΏ
π3
β ππ΄ = 0
π π΅πΏ β ππ΅ β2ππΏ
π
πΏ
2= 0
ππ΅ = (ππΏ
π+
3ππΏ
π3) πΏ β
ππΏ2
π
ππ΅ =ππΏ2
π+
3ππΏ2
π3β
ππΏ2
π
ππ΅ =3ππΏ2
π3
DETERMINAMOS EL GIRO EN EL APOYO SIMPLE:
ππ = π π΄π₯ β ππ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)
DERIVADA PARCIAL
πππ
πππ= β1
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
π =1
πΈπΌβ« ππ (
πππ
πππ)
πΏ
0
π =1
πΈπΌβ« (π π΄π₯ β ππ β
ππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) (β1)
πΏ
0
ππ₯
π =1
πΈπΌβ« (βπ π΄π₯ +
ππΏ
ππ₯ β
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ))
πΏ
0
ππ₯
REEMPLZANDO π π΄ EN ESTA ΓLTIMA ECUACION
π =1
πΈπΌβ« (β (
ππΏ
πβ
3ππΏ
π3) π₯ +
ππΏ
ππ₯ β
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ))
πΏ
0
ππ₯
INTEGRANDO Y EVALUANDO TENEMOS:
π = βππΏ3
2π3
EL SIFNO NEGATIVO INDICA QUE LA FUERZA APLICADA (MOMENTO
ππ ) DEBE ESTAR EN SENTIDO HORARIO
π =ππΏ3
2π3
2. POR TRABAJO VIRTUAL:
DETERMINAMOS LA DEFLEXION EN EL APOYO SIMPLE:
DETERMINAMOS LA ECUACION DEL MOMENTO REAL:
ππ = π π΄π₯ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)
EL MOMENTO VIRTUAL SERA:
ππ£π = ππ = 1
LA ECUACION DE TRABAJO VIRTUAL PARA LA DEFLEXION
EN EL APOYO SIMPLE:
π =1
πΈπΌβ« ππ β ππ£π ππ₯
πΏ
0
π =1
πΈπΌβ« (π π΄π₯ β
ππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) (1)ππ₯
πΏ
0
REEMPLZANDO π π΄ EN ESTA ΓLTIMA ECUACION
π =1
πΈπΌβ« ((
ππΏ
πβ
3ππΏ
π3) π₯ β
ππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ))
πΏ
0
ππ₯
INTEGRANDO Y EVALUANDO TENEMOS:
π =ππΏ3
2π3
3. DETERMINAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Y LO QUE SE
PRECISA EN CADA VIGA POR METODO DE CASTIGLIANO Y
TRABAJO VIRTUAL:
SOLUCION:
4. METODO DE GASTIGLIANO
a) ISOSTATIZANDO
π¦ = π€π ππ (ππ₯
π)
π = β« π¦ = β« π€π ππ (ππ₯
π)
π₯
0
ππ₯ =βπ€π
π[cos (
ππ₯
π) β 1]
π = β« πππ₯ = β«βπ€πΏ
π[cos (
ππ₯
πΏ) β 1]
π₯
0
ππ₯ =βπ€π2
π2[sen (
ππ₯
πΏ)] +
π€πΏπ₯
π
d) ECUACIΓN
ππ = π π΄π₯ β ππ΄ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ) β¦ β¦ (1)
e) DERIVADA PARCIAL
πππ
πππ΄= β1 π¦
πππ
ππ π΄= π₯ β¦ β¦ (2)
f) SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:
π = β« ππ (πππ
πππ΄) = 0
πΏ
0
- REEPLAZANDO(1) Y (2):
ππ΄ = β« (π π΄π₯ β ππ΄ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) (β1) = 0
πΏ
0
[βπ π΄
π₯2
2+ ππ΄π₯ +
ππΏ
π
π₯2
2+
ππΏ3
π3πππ (
ππ₯
πΏ)]
πΏ
0= 0
[βπ π΄
πΏ2
2+ ππ΄πΏ +
ππΏ
π
πΏ2
2+
ππΏ3
π3πππ (
ππΏ
πΏ) β
ππΏ3
π3] = 0
[βπ π΄πΏ
2+ ππ΄ +
ππΏ2
2πβ
2ππΏ2
π3] = 0 β¦ β¦ (3)
πΏ = β« ππ (πππ
ππ π΄) = 0
πΏ
0
πΏπ΄ = β« (π π΄π₯ β ππ΄ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) (π₯) = 0
πΏ
0
πΏπ΄ = β« (π π΄π₯2 β ππ΄π₯ βππΏ
ππ₯2 +
ππΏ2π₯
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) = 0
πΏ
0
[π π΄
π₯3
3β ππ΄
π₯2
2β
ππΏ
π
π₯3
3β
ππΏ3π₯
π3πππ (
ππ₯
πΏ) +
ππΏ4
π4π ππ (
ππ₯
πΏ)]
πΏ
0= 0
[π π΄
πΏ3
3β ππ΄
πΏ2
2β
ππΏ
π
πΏ3
3β (β
ππΏ3πΏ
π3)] = 0
π π΄
πΏ
3β
ππ΄
2β
ππΏ2
3π+
ππΏ2
π3= 0 β¦ β¦ (4)
- Multiplicando la ecuaciΓ³n (4) por 2, sumando con la
ecuaciΓ³n (3), tenemos:
2π π΄
πΏ
3β
2ππΏ2
3π+
2ππΏ2
π3β
π π΄πΏ
2+
ππΏ2
2πβ
2ππΏ2
π3 = 0
π π΄πΏ
6β
ππΏ2
6π= 0
π π΄ =ππΏ
π
- Reemplazando π π΄ en la ecuaciΓ³n (3), tenemos:
[βππΏ
π
πΏ
2+ ππ΄ +
ππΏ2
2πβ
2ππΏ2
π3] = 0
ππ΄ =2ππΏ2
π3
POR SIMETRIA:
π π΄=π π΅ =ππΏ
π
ππ΄ = ππ΅ =2ππΏ2
π3
LA DEFLEXION EN EL CENTRO DE LA LUZ SERA:
ππ = π π΄π₯ β ππ΄ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ) β π(π₯ β
πΏ
2)
πππ
ππ= β (π₯ β
πΏ
2)
POR EL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
πΏ =1
πΈπΌβ« ππ (
πππ
ππ)
πΏ
0
πΏ =1
πΈπΌβ« (π π΄π₯ β ππ΄ β
ππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ) β π(π₯ β
πΏ
2)) (
πΏ
2β π₯) ππ₯
πΏ
πΏ2
πΏ =1
πΈπΌβ« (π π΄ (
πΏπ₯
2β π₯2) β ππ΄ (
πΏ
2β π₯) β
ππΏ
π(
πΏπ₯
2β π₯2)
πΏ
πΏ2
+ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ) (
πΏ
2β π₯)) ππ₯
INTEGRANDO Y EVALUANDO:
πΏ = βπππΏ4 β 4ππΏ4
4π4
πΏ =ππΏ4
π4β
ππΏ4
4π3
πΏ =ππΏ4
π3(
1
πβ
1
4)
POR TRABAJO VIRTUAL
APLICAMOS UNA FUERZA UNITARIA EN EL CENTRO DE
LA VIGA PARA DETERMINAR LA DEFLEXION EN EL
CENTRO DE LA LUZ:
DETERMIANOS LA ECUACION DEL MOENTO REAL:
ππ = π π΄π₯ β ππ΄ βππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)
LA ECUACION DE MOMENTO VIRTUAL:
ππ = β1 (π₯ βπΏ
2)
PLANTEAMOS LA ECUACION DE TRABAJO VIRTUAL
PARA DETERMINAR LA DEFLEXION EN EL CENTRO DE
LA LUZ:
πΏ =1
πΈπΌβ« ππ β ππ£π ππ₯
πΏ
0
πΏ =1
πΈπΌβ« (π π΄π₯ β ππ΄ β
ππΏ
ππ₯ +
ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ)) (β1 (π₯ β
πΏ
2)) ππ₯
πΏ
0
πΏ =1
πΈπΌβ« (π π΄ (
πΏπ₯
2β π₯2) β ππ΄ (
πΏ
2β π₯) β
ππΏ
π(
πΏπ₯
2β π₯2)
πΏ
πΏ
2
+ππΏ2
π2π ππ (
ππ₯
πΏ) (
πΏ
2β π₯)) ππ₯
INTEGRANDO Y EVALUANDO:
πΏ = βπππΏ4 β 4ππΏ4
4π4
πΏ =ππΏ4
π4β
ππΏ4
4π3
πΏ =ππΏ4
π3(
1
πβ
1
4)
SEGUNDA PARTE:
DIBUJAR LOS DIAGRAMAS DE N, V Y M
DETERMINAR EL DESPLAZAMIENTO EN EL APOYO LIBRE π’2, π£2 y
π2
SOLUCION:
ES HIPERESTATICA, SELECCIONAMOS UNA FUERZA REDUDANTE, EN
ESTE CASO H1
PRIMER PASO: LEVANTAMOS EL GRADO DE HIPERTATICIDAD:
πΏ =πππ
ππ = 0 β¦ ( ππ ππ ππππΆπ΄ ππΌππΊππ π·πΈπππΏπ΄ππ΄ππΌπΈπππ)
R= FUERZA REDUNDANTE
ECUACION DE FUERZA INTERNAS:
πΏ =πππ
ππ =
1
πΈπΌβ« π (
ππ
ππ»1) ππ₯
πΏ
0
= 0
1
πΈπΌβ« π (
ππ
ππ»1) ππ₯
πΏ
0
= 0
a) FUERZAS INTERNAS:
SECCION (a-a) π β€ π½ β€ ππ
ππ΄ = ππ π ππ π β ππ(1 β πππ π)π πππ β ππ π ππ π πππ π
β π»1 πππ π
ππ΄ = ππ πππ π
ππ΄ = ππ(1 β πππ π)πππ π β π»1 π ππ π β ππ πππ π β ππ π ππ2 π
ππ΄ = ππ(π ππ π β 1)
ππ΄ = ππ. (π π ππ π) + ππ. π(1 β πππ π) β ππ.π
2π ππ2 π
β ππ.π
2(1 β πππ π)2
ππ΄ = ππ2(π ππ π β 1)