RESISTENCIA DE MATERIALES

CLASES TEÓRICAS

2018

CUERPO DOCENTE

Titular:

Prof. Ing. Álvaro M. Corró

COMISIÓN Nº 2

Alumnos de Ingeniería Civil

Ing. Nicolás A. Pintos

Dr. Ing. Tomás Rodriguez

Dr. Ing. Diego García

HORARIOS

TEORÍAS:

Martes de 14.00 hs a 17 .30 hs

PRÁCTICAS

Jueves de 14.00 a 18.00

CLASES DE CONSULTA

Ordinarios:

Martes y Jueves :

de 17.00 a 19.00

Extraordinarios:

A definir

BIBLIOGRAFÍAEstabilidad II Eduardo Fliess

Mecánica de Materiales R.C. Hibbeler

Resistencia de Materiales Luis Ortiz Berrocal

Mecánica de Sólidos William Bickford

Mecánica de Materiales Gere Timoshenko

CONDICIONES PARA LA REGULARIDAD :

a) Aprobación de los dos parciales prácticos (o eventualmente sus recuperatorios) con calificación APROBADO.

b) Asistencia al 80 % de las clases teóricas y prácticas.Dicha asistencia se certificará con una evaluación teórica (en cada una de las clases teóricas) y contra la presentación y justificación de la resolución de ejercicios de índole práctica, en las clases prácticas

c) Presentación y exposición de los trabajos teóricos complementarios instrumentados por la cátedra.

CONDICIONES PARA LA PROMOCIÓN :

a) Aprobación de los dos parciales prácticos con nota de PROMOCIÓN, más un coloquio final, a exponer entre el término del cursado y los exámenes finales correspondientes al mes de julio del año inmediato siguiente.

b) Presentación y exposición de los trabajos teóricos complementarios instrumentados por la cátedra.

c) Asistencia al 80 % de las clases teóricas y prácticas.Dicha asistencia se certificará con una evaluación teórica (en cada una de las clases teóricas) y contra la presentación y justificación de la resolución de ejercicios de índole práctica, en las clases prácticas

INTRODUCCIÓN

A LA

RESISTENCIA DE MATERIALES

La resistencia de materiales es una disciplina de la ingeniería mecánica, que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados.

La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos debido a las fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.

Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, (también llamadas cargas o acciones), y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno

Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la R de M no alcanza y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos con métodos numéricos como el análisis por elementos finitos.

https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_finitos

Enfoque de la resistencia de materiales

La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales.Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de ciertas hipótesis cinemáticas. En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones.

https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vigahttps://es.wikipedia.org/wiki/Pilarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Celos%C3%ADa_(estructura)https://es.wikipedia.org/wiki/Placas_y_l%C3%A1minashttps://es.wikipedia.org/wiki/Membrana_(estructura)https://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno

El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende: a) La hipótesis cinemática establece cómo serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis de Coulomb para la torsión, la de Saint Venant para axil, etc.b) La ecuación constitutiva, que establece una relación entre las deformaciones deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas.c) Las ecuaciones de equivalencia son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos, a partir de 6 integralesd) Las ecuaciones de equilibrio relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores.

https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_cinem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica#Teor.C3.ADa_de_Euler-Bernoullihttps://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_constitutivahttps://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales#Ecuaciones_de_equivalenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_internohttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_de_equilibrio&action=edit&redlink=1

Concretamente la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:

Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.

Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexión, flexión obliciua , tracción, pandeo, torsión,teoría de Collignon para tensiones cortantes, etc.

https://es.wikipedia.org/wiki/Tracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pandeohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortante

Análisis de rigidez:Se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1sticahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Navier-Bresse&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Castigliano

En Estática, las reacciones se calculan mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio (suma de fuerzas igual a cero y suma de momentos igual a cero).

Aunque el cálculo de las reacciones que garanticen el reposo es fundamental, éste es solo el primer paso en el proceso de análisis y diseño que en cada situación llevará a la definición del tipo de material, de la forma, posición y de las dimensiones que harán que las estructuras sean seguras y funcionales. –

Seguras quiere decir que no se rompan. –Funcionales quiere decir que no se deformen excesivamente afectando el servicio que prestan.

Estas dos condiciones, RESISTENCIA y RIGIDEZ deberán asegurarse para que las estructuras cumplan su fin.

Como puede verse, cualquiera de las dos situaciones (Deformación excesiva o Rotura) es inadmisible.

Por lo tanto, el ingeniero debe asegurar con una buena probabilidad de éxito que las estructuras que construya sean RÍGIDAS y RESISTENTES.

De esto trata la RESISTENCIA DE MATERIALES.

Debemos ser capaces de garantizar que las estructuras a construir no se deformen excesivamente y que no se fracturen.

Para hacerlo, es necesario que sepamos calcular las fuerzas internas que se producen en los elementos estructurales y que son en últimas las que producirán las deformaciones y la rotura.

A partir de dichos cálculos, seremos capaces entonces de verificaro de diseñar una estructura

RESUMIENDO

En general podemos afirmar que una fuerza interna produce un esfuerzo actuante que trata de romper el elemento. Que se rompa depende del esfuerzo resistente que tenga el elemento el cual dependerá del material y de sus dimensiones transversales. Análogamente, esas mismas fuerzas internas producirán deformaciones del elemento las cuales dependerán igualmente del material y de sus dimensiones. La Resistencia de Materiales se ocupa del cálculo de los esfuerzos y deformaciones que se producirán debiendo garantizar el ingeniero que las deformaciones estén dentro de unos límites permisibles y obviamente que no se produzcan roturas.

Estos esfuerzos dependen no solo de las dimensiones del elemento estructural sino de la forma como estén aplicadas las cargas las cuales pueden producir esfuerzos normales o cortantes dependiendo de que las fuerzas o momentos actuantes sean axiales, transversales o combinados.Debe por tanto, determinarse primero que todo, si el elemento en estudio está sometido a fuerzas axiales, transversales (en cuyo caso se producirá flexión), momentos torsionales (torsión) o una combinación de algunos de ellos.

INTRODUCCIÓNA LATEORÍA DE LA ELASTICIDAD

¿ Para que estudiar Resistencia de Materiales.?

A partir de los conocimientos de Estática, estamos en condiciones de determinar la sección más solicitada

Dicha sección no necesariamente debe ser una sola, ya que puede darse que en una sección las solicitaciones por corte sean mayores( menores) que las producidas por los esfuerzos normales y/o los momentos flectores.

En Resistencia de Materiales debemos:

a) seleccionar el material

b) determinar su geometría

c) fijar su posición respecto de un par de ejes

d) dimensionar la sección o verificar la misma

Otras cuestiones a tener en cuenta serían

a) el costo en precio de distintos materiales / proyectos ( variables económicas)

b) el peso de los materiales utilizados ( fundaciones, fletes, )

c) Cuestiones vinculadas con fatiga de materiales

d) la transmisión de vibraciones, las cargas de impacto

e) El medio ambiente.

f) los coeficientes de seguridad

e) La vida útil del proyecto.

f) factores estéticos (la esposa)

e) etc. etc.

bp

ESTADOS DE TENSION

CONCEPTOS GENERALESNo existe el sólido indeformable.Todos los cuerpos se deforman en mayor o menor medida bajo el efecto de las cargas exteriores o interiores.Si los cuerpos fueran indeformables, las ecuaciones de la estática no alcanzarían para resolver, por ejemplo aquellos problemas que fueran hiperestáticos

DEFINICION DE CUERPOS DEFORMABLESDefinimos al cuerpo deformable, como aquel cuerpo que posee ciertas propiedades y cumple con una serie de hipótesis respecto de dichas propiedades, todas ellas verificadas experimentalmente.

CONTINUIDAD: La masa del sólido es continua, quiere decir que analizamos un cuerpo en un entorno donde la masa es la misma (superposición de efectos sino)

HOMOGENEIDAD: Las propiedades de un elemento infinitesimal dV son las mismas en todo el sólido.

ISOTROPÍA: El sólido presenta las mismas propiedades en todas las direcciones

ELASTICIDAD: Para ciertos materiales, si las fuerzas que lo deforman no exceden ciertos limites, la deformación desaparece cuando se suprimen las fuerzas que actúan.

FUERZAS

Fuerzas de Masa: Son aquellas que se encuentran distribuidas a lo largo de todo el volumen del sólido ( por ejemplo: inerciales, gravitatorias, térmicas, magnéticas, etc.)

Fuerzas de Superficie: Provienen de interacciones entre sistemas o de acciones exteriores, pueden ser:

Concentradas: son las fuerzas que actúan en un punto

Distribuidas: son las fuerzas que actúan a lo largo de una superficie ( por ejemplo: pesos, presiones hidrostáticas, viento, encamisados, etc.)

1.4 ESTUDIO DE TENSIONES EN UN SÓLIDO DEFORMABLE

1.4.1 Concepto de tensión en un punto: Se considera un sólido en equilibrio bajo la acción de las fuerzas pi

El sólido, obviamente, es continuo, homogéneo, elástico e isótropo.Se corta el sólido con un plano π y nos determina una sección “s” dentro de la cual

se encuentra un punto A.Luego separamos la parte derecha delimitada por el plano π, con lo cual se rompe el

equilibrio al cual estaba sometido el sólido.Para restituir el equilibrio, debemos colocar en el baricentro de la sección del lado

izquierdo, una resultante Rd y un par Md, que reemplacen las acciones ejercidas por las Pi del lado derecho suprimidas.

. Tengamos en cuenta que las acciones no se ejercen de una parte del sólido a la otra como acciones concentradas, sino que los son punto a punto de la parte derecha hacia la parte izquierda.Considerando ahora el punto “A”, y en el, un entorno de superficie ΔF, sobre dicho elemento se transmite de un lado al otro, una fuerza ΔP.Si para el cociente ΔP/ ΔF hacemos tender ΔF→ 0, al límite de dicho cociente, cuando ΔF→ 0, lo denominaremos TENSIÓN EN EL PUNTO A.

lim (ΔP/ ΔF) = dP / dF = ρΔF→ 0

Se mide en unidades de fuerza por unidades de longitudkg/cm2, N/m2, MPa,

(1 Pa pascal = 1 N/m2).

La tensión ρ es una magnitud vectorial, pues tiene dirección, sentido e intensidad, por lo que se la representa por medio de vectores.

1.4.2 Régimen de tensiones en un punto: Si por el punto A pasamos otros planos distintos del π,o sea con distintas orientaciones, el valor de ρ cambiará, ya sea en intensidad, dirección o sentido.

Por lo tanto por un punto interior de un sólido como pasan infinitos planos, y por lo tanto a dicho punto A, corresponderán infinitas tensiones ρ, según el plano que se considere.

A esto se lo conoce como: “ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO” o “RÉGIMEN DE TENSIONES”

Existen al menos 3 estados posibles de tensión

1.4.2.1 Estado Espacial o Triple de Tensiones: Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ, varía en dirección sentido e intensidad., teniendo el vector tensión cualquier orientación en el espacio.

1.4.2.2 Estado Plano o Doble de Tensiones: Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ, varía en dirección sentido e intensidad, pero el vector tensión se mantiene paralelo a un plano determinado

1.4.2.3 Estado Simple o Uniaxial: Si al considerar los infinitos planos que pasan por un punto, las correspondientes tensiones se mantienen todas paralelas a una dirección.

1.4.3. Tensiones Normales y Tangenciales: Surgen de las descomposición del vector ρ en dos componentes ortogonales, una perpendicular al plano, denominada Tensión Normal σ, y otra contenida en el plano de la sección denominada Tensión Tangencial ζ.

Por lo tanto dichas componentes tendrán como valores analíticos las siguientes expresiones algebraicas:

σ = ρ cos φ

ζ = ρ sen φ

ρ = (σ2 + ζ 2 )1/2

1.4.4. Convención de Signos

Hacemos coincidir una terna de ejes coordenados por el punto A, y consideramos un plano πque pase por dicho punto.

A los efectos de facilitar la interpretación del gráfico, el plano se dibuja desplazado. La dirección del plano π, queda definida en el espacio por la ubicación de su normal exterior “e” , que forma con los ejes coordenados los ángulos α, β y γ , siendo sus cosenos directores

l = cos α ; m = cos β y n = cos γque por cuestiones de trigonometría cumplen con la relación l 2 + m 2 + n 2 = 1

y

Consideramos ahora un cubo elemental de aristas unitarias, cuyas caras coinciden con los 3 planos coordenados, y definimos

a) Una cara es positiva cuando lo es su normal exterior. La normal exterior es positiva cuando lo es su proyección sobre el eje al que le es paralelo.

Las tensiones normales σ se sub indican con el eje respecto al cual son paralelos.Las tensiones tangenciales en cambio, se sub indican con 2 índices, el primero referido al eje

normal a la cara donde actúa la tensión, y el otro referido al eje al cual es paralelo la tensión.La cara EFGH es positiva por serlo su normal exterior en la dirección x, y las tensiones son

positivas por serlo sus proyecciones sobre los ejes a los cuales son paralelos. Para caras negativas AHCD, las tensiones son positivas en este caso por ser negativas sus

proyecciones a los ejes a los cuales son paralelos.

•CARAS POSITIVAS•EFGH•ABEF•BDFH

•CARAS NEGATIVAS•AECG•ABCD•DCGH

Signo de las tensiones:

Las tensiones normales σ son positivas cuando son de tracción, y negativas cuando son de compresión.

Las tensiones tangenciales ζ en cambio son mas , menos, como se verá más adelante.

EQUILIBRIO DEL CUBO ELEMENTAL SUJETO A TENSIONES

Para analizar el equilibrio del cubo elemental, sujeto a tensiones, hacemos coincidir en el punto A una terna de ejes coordenados ortogonales y pasamos tres planos ortogonales por dicho punto.

Luego a una distancia dx, dy, y dz, colocamos un punto B.

Debemos hacer la salvedad que suponemos que las funciones que definen las variaciones de tensiones σ y ζ , son continuas y derivables para poder obtener una solución matemática

En la cara dy; dz que pasa por A, actúa σx , ζ xy ; ζ xz .En la cara paralela que pasa por B actuaránσx + ( ∂σx / ∂ x ) dx ; ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ; ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ;o sea la función incrementada Idéntico razonamiento aplicamos en las

otras dos caras

xz

y

Pero además supondremos que el cubo elemental se encuentra sometido a Fuerzas de Masa, (kg/m3 )que se suponen aplicadas en el baricentro.

Llamamos X, Y y Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen aplicadas en la dirección de los ejes.

Para lograr el equilibrio del cubo elemental, plantearemos

a) 3 ecuaciones de proyección sobre los 3 ejes coordenados

b) 3 ecuaciones de nulidad de momento respecto de 3 ejes paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo elemental.

CONCEPTO A RECORDAR: TENSIÓN X ÁREA = FUERZA

Ecuaciones ded proyección sobre los efes coordenados

Sobre el eje “x”

[ σx + ( ∂σx / ∂ x) dx ] dy dz - σx dy dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂y ) dy ] dz dx] –ζ xy dz dx +[ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂z ) dz] dx dy - ζ xz dx dy + X dx dy dz = 0

Sobre el eje “y”

[ σy + ( ∂σy / ∂ y ) dy ] dx dz - σy dx dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ] dz dy] –ζ xy dy dz +[ ζ zy + ( ∂ ζ zy /∂z ) dz] dx dy - ζ zy dx dy + Y dx dy dz = 0

Sobre el eje “z”

[ σz + ( ∂σz / ∂ z ) dz ] dy dx - σz dy dx + [ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ] dz dy] –ζ xz dz dy +[ ζ xz + ( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx dz - ζ yz dx dz + Z dx dy dz = 0

Si simplificamos los términos iguales en cada una de las tres ecuaciones, y dividimos por dx, dy y dz llegamos a las Ecuaciones de Equilibrio, quedándonos un sistema de tres ecuaciones con nueve incógnitas, que en realidad se demuestran que son seis.

∂σx / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0

( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂σy / ∂ y ) +( ∂ ζ zy /∂z ) + Y = 0

( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂σz / ∂ z ) + Z = 0

Para resolver dichas seis incógnitas, planteamos 3 ecuaciones de momento respecto de tres ejes ortogonales, paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo

elemental.

Por lo tanto de todos los momentos posibles, serán nulos losmomentos correspondientes a aquellas fuerzas que corten o sean paralelas al eje considerado quedándonos por lo tanto para el eje X:

ζ yz (dy/2) dz dx + [ ζ yz +( ∂ ζ yz /∂y ) dy] (dy/2) dx dz - ζzy(dz/2) dx dy - [ ζ zy +( ∂ ζ zy /∂z )dz] dx dy (dz/2) = 0

x

Aplicando desarrollo y sumas llegamos a :

ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ yz /∂y ) dx (dy2/2) dz - ζ zy dz dy dx + ( ∂ ζ zy /∂z ) dx (dz2/2) dy = 0

Despreciando los infinitésimos de orden superior, nos queda

ζ yz dz dy dx - ζ zy dz dy dx = 0

Haciendo las mismas ecuaciones para los otros dos pares de ejes llegamos a:ζ yz = ζ zyζ xz = ζ zxζ xy = ζ yx

Que constituye la expresión matemática del Teorema de Cauchy, que se enuncia de la siguiente manera:

Dados dos planos, que definen una arista, en su intersección, las componentes normales a dicha arista, de las tensiones tangenciales ζ que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista.

El hecho de tener signos contrarios, aparte de una consideración matemática, se da en el hecho de que los momentos respecto de un mismo eje de las tensiones tangenciales de sub índices cambiados deben ser de sentido contrario, a los efectos de mantener el equilibrio del cubo elemental.

Luego, para conocer el estado tensional de un punto de un sólido sometido a cualquier estado de cargas, debemos conocer el Tensor de Tensiones a partir de sus seis componentes.

∂σx / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0

( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂σy / ∂ y ) + ( ∂ ζ yz /∂z ) + Y = 0

( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂σz / ∂ z ) + Z = 0

SOLUCIONES:a)Teoría Matemática de la Elasticidad: Plantea 3 ecuaciones complementarias de deformación.

b) Resistencia de Materiales: Utiliza hipótesis suficientemente válidas, verificadas experimentalmente. Fin clase 1

ESTADO TRIPLE O ESPACIAL

Se parte de analizar el equilibrio de tensiones en un punto material A, por el cual se hace coincidir una terna de ejes coordenados, que delimitan 3 planos ortogonales, más un cuarto plano oblicuo que pasa por A y que en el gráfico se lo dibuja desplazado a los efectos de una mejor interpretación

Supondremos conocida la dirección del plano inclinado, a partir de conocer la ubicación en el espacio, de su normal exterior.

Esto es, que el plano queda definido por el conocimiento de los cosenos directores, l , m y n que la normal exterior al plano, forma con cada uno de los ejes coordenados ortogonales.

Nos queda entonces un tetraedro elemental, cuyo equilibrio es el objeto de nuestro análisis.

Admitiremos que el área inclinada, tiene una superficie unitaria.

Área BCD = 1

Por lo tanto, las caras ortogonales ACD, ABD Y ABC, tendrán como áreas, el valor de los cosenos directores l , m y n .

Nuestro estudio se basa en que conociendo las tensiones normales

σx , σy , σz y tangenciales ζxy , ζxz , ζyz , en cada una de las caras elementaleshallemos el valor de la tensión resultante ρ y sus componentes σ y ζ en la cara inclinada.

Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas

ρx . 1 = σx l + ζxy m + ζxz n

ρy . 1 = ζxy l + σy m + ζyz n

ρz . 1 = ζxz l + ζyz m + σz n

Teniendo en cuenta que ρ = ( ρx2 + ρy

2 +ρz2 )½

Elevamos las ecuaciones A al cuadrado y reemplazamos en B obtenemos ρ en función de los datos del problema

ρ = [ (σx2 + ζxy

2 + ζxz2) l2 + (σy

2 + ζxy2 + ζyz

2) m2 + (σz2 + ζxz

2 + ζyz2) n2 +2 (σx ζxy

+ σy ζxy + ζxz ζyz) l m + 2 (σx ζxz + σz ζxz + ζxy ζyz) l n + 2 (σy ζzy + σz ζxz + ζxz ζyz) m n]

½

y teniendo en cuenta que φ es el ángulo entre σ y ρ nos queda

σ = ρ cos φ ; ζ = ρ sen φ donde el valor ρ ya lo obtuvimos

A

B

Luego al ángulo ente ρ y los ejes coordenados, los llamamos αρ ; βρ ; γρY como conocemos los cosenos directores de la normal exterior con el plano considerado, l, m. n

Podemos entonces plantear :

cos αρ = ρx / ρ

cos βρ = ρy / ρ

cos γρ = ρz / ρ

como sabemos además que e ≡ σ que forma con los ejes coordenados x , y , z los cosenos directores l, m y n, y que por trigonometría se define

cos φ = l cos αρ + m cos βρ + n cos γρReemplazando

cos φ = l (ρx / ρ) + m (ρy / ρ) + n (ρz / ρ)

O sea que hallamos el cos φ y con él, los valores de σ y ζ que era el motivo de nuestro estudio

Supongamos ahora que deseamos expresar σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales. (que son los datos del problema)

Para ello debemos recordar que la proyección de la resultante de un sistema de fuerzas sobre una dirección cualquiera era igual a la sumatoria de las proyecciones de las componentes.

Entonces, proyectamos ρ sobre la dirección de σ ( que es la perpendicular al plano inclinado) e igualamos a la suma de las proyecciones de ρx , ρy y ρz sobre los planos a a los cuales le son perpendiculares.

Nos queda: cos φ = l (ρx / ρ) + m (ρy / ρ) + n (ρz / ρ)

σ = ρ cos φ = ρx l + ρy m + ρz n

Que reemplazando con los valores de la ecuación A nos queda

σ = σx l2 + σY m

2 + σZ n2 + 2 ( ζxy l m + ζxz l n + ζyz m n )

ζ = (ρ2 - σ2 )½.

De esta manera, hemos hallado σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales.

TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALESAl cambiar la orientación de un plano, varían las tensiones aplicadas al

mismo.

La tensión σ máxima se alcanzará cuando ρ coincida con σ (y con e), siendo nulas en ese caso, las tensiones tangenciales ζ.

El plano que contenga a ese valor de ρ se llama PLANO PRINCIPAL, y por el teorema de Cauchy, no es un solo plano, sino 2, ortogonales entre si, en los cuales las tensiones normales σ adquieren su valor máximo y mínimo (σ1;2) respectivamente.

Estos valores son importantes porque al ser los máximos, serán los valores que utilizaremos en los cálculos de dimensionamiento y/o verificación.

Por lo tanto, en los planos principales, actuarán las tensiones principales, en las direcciones principales

Para el caso de las tensiones principales, las expresiones A, se convierten entonces en:

ρx . 1 = σi l

ρy . 1 = σi m

ρz . 1 = σi n

Por ser nulas las tensiones tangenciales.

Si igualamos este sistema de ecuaciones, con la parte derecha de las ecuaciones A, que eran los datos del problema y que representaban las tensiones en las caras ortogonales, nos quedará:

σi l = σx l + ζxy m + ζxz n

σi m = ζxy l + σy m + ζyz n

σi n = ζxz l + ζyz m + σz n

Operando matemáticamente obtendremos (ecuaciones 1)

(σx - σi ) l + ζxy m + ζxz n = 0

ζxy l + (σy -σi ) m + ζyz n = 0

ζxz l + ζyz m + (σz - σi ) n = 0

O sea un sistema de 3 ecuaciones homogéneas entre las incógnitas l , m , n que definen la dirección del plano principal que corresponde a σi en función de las tensiones normales y tangenciales que ocurren en las tres cara ortogonales.

Una solución, es la trivial, o sea: l = m = n = 0.

Para que ello no ocurra, es condición necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo

(σi - σx ) ζxy ζxzζxy (σy -σi ) ζyz = 0

ζxz ζyz (σz - σi )

Desarrollando el determinante, llegamos a una ecuación cúbica, llamada

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LAS TENSIONES PRINCIPALES.

σi 3 - σi

2 (σX+ σy + σz ) + σi (σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy2 - ζxz

2 - ζyz2 ) –

(σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz . ζyz - ζxy2 . σz - - ζxz

2 . σy - ζzy2 . σx ) = 0

Esta ecuación posee 3 raíces que son σ1; σ2; σ3 , que son las tres tensiones principales que actúan en los tres planos principales y que existen si y solo si las 3 σi son reales.

Siempre supondremos σ1> σ2 > σ3

Que una raíz es siempre real, es obvio por predominar el término cúbico sobre el resto de la ecuación. A ese valor lo llamaremos σ3

Para ver si σ1 y σ2 son reales, tomamos una terna de ejes x’, y’ y z’ , y

hacemos coincidir el eje z’ con la dirección de σ3 .

O sea que σ3 = σz’ de lo que resulta que ζz’y’ = ζz’x’ = 0

Entonces las ecuaciones 1, se transforman en

(σx’ - σi ) l + ζy’x’ m = 0

ζx’y’ l + (σy’ -σi ) m = 0

(σz’ - σi ) n = 0

Para que la solución sea no nula, bastará que el determinante de los coeficientes sea nulo

(σx’ - σi ) ζy’x’ 0

ζ x’y’ (σy’ -σi ) 0 = 0

0 0 (σz’ - σi )

Desarrollando el determinante, llegamos a

z'

σ3 Ξ z'

σi σi

y ' x '

σi2 - σi (σx’ +σy’ )+ (σx’ σy’ - ζy’x’

2) = 0

σ 1;2 = (σx´ + σy´)/2 ± √[(σx´ - σy´)/2 ]2 + ζ 2x´y´Valores de lar raíces siempre reales

ya que el determinante es siempre positivo

CASOS POSIBLES DE LAS RAÍCES PRINCIPALES

a)Las tres raíces son diferentes σ1 ≠ σ2 ≠ σ3Existen 3 raíces principales, ortogonales

entre si, existiendo tensiones tangenciales

en los demás planos

b) Hay dos raíces iguales y una es diferente σ1 = σ2 ≠ σ3Las tensiones correspondientes a planos normales al plano

donde actúa σ3 , resultan iguales entre si e iguales a σ1 = σ2 siendo entonces la dirección de σ3 la dirección del haz de planos

c) Las tres raíces son iguales σ1 = σ2 = σ3Las tensiones en los infinitos planos que pasan por el punto, son iguales entre si, no

existiendo tensiones tangenciales en ningún plano. Se denomina estado hidrostático

y

σ2

´ σ1 x

σ3z

Eje del haz de planosz

σ2

σ1

y

x

σ 3

z

x

y

1

2

σ1

σ2

σ3

GRÁFICO DE UN ESTADO TRIPLE

GRAFICOS DE ESTADOS PLANOS

1.5.3. DETERMINACION DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES

De la ecuación característica, obtuvimos σ1 ; σ2 ; σ3 .

Ahora hallaremos las direcciones en las que actúan dichas tensiones principales, o sea, las normales exteriores a los planos principales.

Para ello necesitaremos conocer los valores de l, m y n para cada una de las 3 direcciones principales

σ = σx l2 + σY m

2 + σZ n2 + 2 ( ζxy l m + ζxz l n + ζyz m n )

Partimos de la dirección principal 1, planteando el sistema de ecuaciones obtenido en las ecuaciones 1

(σx – σ1 ) l1 + ζxy m1 + ζxz n1 = 0

ζxy l1 + (σy – σ1 )m1 + ζyz n1 = 0

ζxz l1 + ζyz m1 +(σz – σ1 ) n1 = 0

El determinante de este sistema de ecuaciones, esta dado por:

(σx – σ1 ) ζxy ζxzζ xy (σy – σ1 ) ζyz = 0

ζ xz ζyz (σz – σ1 )

Si ahora llamamos Δ1 ; Δ 2 Δ 3 , a los 3 menores complementarios de la primera fila, tendremos

σy – σ1 ζyzΔ1

ζyz σz – σ1

ζyx ζyzΔ2

ζxz σz – σ1

ζxy σy – σ1Δ3

ζxz ζyz

Luego, desarrollamos el determinante por la primera fila

(σx – σ1) Δ 1 + ζ xy Δ 2 + + ζ xz Δ 3 = 0

dividiendo miembro a miembro, y comparando con

(σx – σ1 ) l1 + ζxy m1 + ζxz n1 = 0

que era la primera de las ecuaciones, llegamos a determinar K, una constante no nula cuyo valor vendrá determinado por

l 1 m 1 n1K = = =

Δ 1 Δ 2 Δ 3

Entonces

l 1= K Δ 1 ; m 1 = K Δ 2 ; n1 = K Δ 3y como sabemos que l 1

2 + m 12 + n1

2 = 1

Nos quedará entonces

(K Δ 1 ) 2 + (K Δ 2 )

2 + ( K Δ 3 ) 2 = 1

Finalmente podremos escribir que

1

K =

± [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½

A partir de ahora, estamos en condiciones de hallar los cosenos directores

para la dirección principal 1

Δ1l1 =

± √ [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]

Δ2

m1 =

± √ [ (Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]

Δ3

n1 =

± √ [ (Δ 1 ) 2 +√( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]

Ahora repetimos todo el proceso matemático reemplazando alternativamente σ1 por σ2y luego por σ3 para hallar los cosenos directores de las direcciones principales 2 y 3.

DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES

Si los ejes ortogonales coinciden con las tres direcciones principales, tendremos que:

σx = σ1σy = σ2 ζ xy = ζ xz = ζ zy = 0

σz = σ3La ecuación A, se convierte entonces en

ρx = σ1 l

ρy = σ2 m

ρz = σ3 n

por lo tanto: ρ = ±(σ12 l2 + σ22 m2 + σ32 n2 )½

σ = ρ cos φ = σ1 l2 + σ2 m

2 + σ3 n2 Ecuación de σ

ζ = (ρ2 - σ2 )½. Esta expresión, reemplazando por los valores de σ y ρ hallados anteriormente, y teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados de los cosenos es igual a la unidad, de puede escribir de la siguiente manera, expresando n en función de l y de m

ζ = (σ12– σ3

2 )l2 + (σ22– σ3

2 )m2 + σ32 - [(σ1– σ3 )l

2 + (σ2– σ3 )m2 + σ3]

½

Ecuación de ζ bp

1.5.5 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMASDerivando la expresión anterior de ζ en función de las variables independientes l y m,

obtenemos los valores máximos y mínimos de ζ

Se obtiene un sistema de ecuaciones, con tres soluciones posibles

a) Para el caso en que las tres tensiones principales son distintas, σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 las soluciones posibles son l = m = 0 ; n = ± 1

Reemplazando estos valores en las ecuaciones de σ y ζ obtenemos queσ = σ3 y ζ = 0

Es decir una cara principal.

Si en vez de poner n en función de l y m hubiéramos hecho cualquiera de las otras 2 combinaciones posibles, llegaríamos a idénticos resultados.

Cuando las tres tensiones principales son diferentes, las tensiones tangenciales máximas actúan en planos a 45º de los planos que contienen las tensiones normales máximas y su valor está dado por

ζ1 = ± ((σ2– σ3 )/2)

ζ2 = ± ((σ3– σ1 )/2)

ζ3 = ± ((σ1– σ2 )/2)

Ahora bien, en los planos de tensiones normales máximas, no existían tensiones tangenciales.

No ocurre lo mismo en los planos donde las tensiones tangenciales son máximas.

Para esos planos existe un valor de tensión normal asociada, llamada comúnmente

σm y cuyo valor es:

Para el plano donde actúa ζ1

σm = (σ2+ σ3 )/2

Para el plano donde actúa ζ2

σm = (σ1+ σ3 )/2

Para el plano donde actúa ζ3

σm = (σ2+ σ1 )/2

b) Para el caso que dos tensiones principales sean iguales y una diferente σ1 = σ2 ≠ σ3La solución a este caso ocurre así mismo en planos a 45º de los planos que contienen a las direcciones principales y su valor viene dado por

ζmáx = ± (σ1– σ3 )/2 = (σ2– σ3 )/2

c) Para el caso de tres tensiones principales iguales σ3 = σ2 = σ1 ya habíamos dicho que las tensiones tangenciales son nulas para todos los infinitos planos.

1.5.6. INVARIANTES DE TENSIÓN

Partimos de la ecuación característica de tensiones

σi 3 - σI

2 (σX+ σy + σz ) + σi (σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy2 - ζxz

2 - ζyz2 ) - (σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz .

ζyz - ζxy2 . σz - ζxz

2 . σy - ζzy2 . σx ) = 0

El concepto es que no importa la terna de ejes coordenados que se adopte, las tensiones principales deben ser siempre las mismas.

Lo que es lo mismo que decir que los coeficientes de la ecuación característica deben ser constantes de allí que

J1 = σX+ σy + σzJ2 = σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy

2 - ζxz2 - ζyz

2

J3 = σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz . ζyz - ζxy2 . σz - ζxz

2 . σy - ζzy2 . σx

Que son los llamados Invariantes de Tensión.

Si entre todas las posibles ternas de ejes existentes , adoptamos la que corresponde a las direcciones principales, los invariantes de tensión quedan de la siguiente manera:

J1 = σ1+ σ2 + σ3J2 = σ1. σ2 + σ3 σ1+ σ3 σ2J3 = σ1. σ2 . σ3De ambas ecuaciones llegamos a la importante conclusión siguiente:

La suma de las tensiones principales es igual a la suma de las tensiones normales correspondientes a tres caras

J1 = σX+ σy + σz = σ1+ σ2 + σ3

1.6 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO TRIPLE O ESPACIAL 18-8

Es una representación gráfica del estado espacial de tensiones.

Dicho de otro modo, representamos un estado espacial en un estado plano en el papel.

Para su análisis partiremos de las expresiones obtenidas al inicio del estado triple de tensiones

ρ2 = σ12 l2 + σ2

2 m2 + σ32 n2

σ = σ1 l2 + σ2 m

2 + σ3 n2

1 = l2 + m2 + n2

Nuestro objetivo es resolver la orientación del plano que contiene a σ y ζ, partiendo del conocimiento de las tensiones principales.

O sea que las incógnitas serán l2 , m2 y n2 .

Si llamamos Δ al discriminante del sistema anterior tenemos

σ12 σ2

2 σ32

σ1 σ2 σ3 = σ12 ( σ2 - σ3) – σ2

2 ( σ1 - σ3) – σ32 ( σ1 – σ2)

1 1 1

Resolviendo los determinantes de las direcciones llegamos a obtener una familia de circunferencias en el plano σ ; ζ . Para una terna de direcciones principales, obtendremos una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia igual a ½ (σ2 + σ3) y donde l es un parámetro que varia entre los extremos que puede tomar la función coseno, es decir 0 o 1

Idéntica situación se produce para los cosenos directores m y n obteniendo en total 6 circunferencias .

CIRCUNFERENCIA CORRESPONDIENTE AL PARÁMETRO

Centro circunferencias l : ( σ2 + σ3) /2

l = 0 → radio ( σ2 - σ3) /2

l = 1 → radio σ1 - ( σ2 + σ3) /2

Centro circunferencias m : ( σ1 + σ3) /2

m = 0 → radio ( σ1 - σ3) /2m = 1 → radio σ2 - ( σ1 + σ3) /2

Centro circunferencias n : ( σ1 + σ2) /2n = 0 → radio ( σ1 – σ2) /2n = 1 → radio σ3 - ( σ1 + σ2) /2

σ3 σ2 σ1

El punto representativo de las tensiones σ ; ζxy debe caer dentro del triángulo curvilíneo sombreado , dado que su contorno representa los valores límites para los distintos estados tensionales.

Sobre dicho punto, deben cortarse las tres circunferencias correspondientes al plano elegido. Las tres circunferencias se denominan CIRCUNFERENCIAS PRINCIPALES

Con la construcción de Mohr, hallamos la ubicación que tiene un plano en el espacio para un valor de σ ; ζxy dado,

o viceversa, si conocemos la ubicación de dicho plano, por conocer l,m y n, hallar σ ; ζxy

Como los datos son l, m y n, podemos entonces saber el valor de los ángulos α, β y γ.

Trazamos por el punto C una recta que forme con el eje x un ángulo α, hasta que corte a las circunferencias de centro C2 y C3 y determine los puntos E y E’.

Con centro en la otra circunferencia C1 y radio (C1 ; E ) trazamos un arco de circunferencia entre E y E’.

Luego repetimos el procedimiento con el ángulo γ a partir del eje z, hasta determinar los puntos F y F’. Como corta a las circunferencias de centro C1y C2 con centro en la otra circunferencia C3 y radio (C3; F) trazamos un arco de circunferencia entre F y F’.

La intersección de estos dos arcos de circunferencia, ya me determina el punto “P”.

Si ahora nos fijamos en las circunferencias fundamentales, vemos que para cada una de ellas existe una tensión tangencial máxima relativa de valores

ζ’ = (σ2- σ3 )/2;

ζ’’ = (σ1- σ2 )/2;

ζ

z x

p’’’

p’’

p’

γ α

O σ3 σ2 σ1 σ

ζ’’’ = (σ1- σ3 )/2; esta es la mayor y se la llama ζMÁX , y es independiente de σ2 ,y

ocurre en planos a 45º de los planos principales

ESTADO DOBLE O PLANO

1.6 EL ESTADO DOBLE O PLANO1.6.1 Definición: Es el estado para el cual al variar el plano considerado, la tensión resultante se

mantiene paralela a un plano determinado, convirtiéndose la dirección principal perpendicular al plano ortogonal, en el eje del haz de planos.

Supongamos que ese plano sea el (x; y)

Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas

ρx . 1 = σx l + ζxy m

ρy . 1 = ζxy l + σy m

y recordando que ρ = ( ρx2 + ρy

2)½

ζxz = ζzx = ζzy = ζyz = 0

nos queda

σ = l ρx + m ρyQue reemplazando con los valores de la ecuación superior nos queda

σ = σx l2 + σy m

2 + 2 ζxy l m

ζ = (ρ2 - σ2 )½.

Para el análisis gráfico del equilibrio, en vez de un tetraedro elemental como habíamos visto para el estado triple, ahora trabajamos con un prisma triangular de espesor unitario.

Por razones de comodidad, trabajamos con sen α en vez del cos β, ya que matemáticamente es lo mismo.

Entonces podemos escribir

σ = σx cos2 α + σy sen

2 α + 2 ζxy sen α cos α = σx cos2 α + σy sen

2 α + ζxy sen 2 α

Signo de las tensiones: Las normales si son de tracción son positivas y si son de compresión son negativas. Las tangenciales, consideramos positivas aquellas que produzcan un momento positivo con respecto a un punto ubicado en el interior del prisma, y negativas las contrarias. En nuestra figura, son positivas σ ; σx ; ;σy ; ζxy ; ζ ; en cambio ζyx negativas .

Si consideramos que ζ es la proyección de ρ sobre el plano de la sección, y como la proyección de ρ se puede reemplazar por la proyección de sus componentes, nos quedará que

ζ = ρy cos α - ρx sen α

ζ = (ρ2 - σ2 )½.; y además sabemos que ρ es la suma de sus componentes ρ x + ρ y .

Entonces

ρx = σx l + ζxy m

ρy = ζxy l + σy m

ζ = ζxy cos2 α - ζxy sen

2 α + σy sen α cos α - σx sen α cos α

ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α

2

Obtuvimos así, las expresiones de σ y ζ que ocurren en un plano que forma un ángulo αcon el plano donde actúa σx .

1.6.2.Tensiones y planos principales

Se obtienen derivando la expresión de σ respecto del ángulo α, e igualando la expresión a 0.

d σ/dα = - 2 σx cos α sen α + 2 σy sen α cos α + 2 ζxy cos 2 α = 0

Con está expresión, hallamos α1 que es el ángulo del plano que cumple con la condición de la derivada de arriba.

Luego de trabajar algebraicamente, llegamos a la dirección de los planos principales

tg 2 α 1 = 2 ζxy / σx - σy

Al igual que en el estado triple, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y que se denominan, planos principales.

También habríamos llegado al mismo par de valores de α si en la ecuación

ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α la igualáramos a 0 y despejáramos el valor de tg 2α

2

Valor de las tensiones principales ( cuando las tangenciales son nulas)

ρx = σi l

ρy = σi m

Reemplazando

σi l = σx l + ζxy m

σi m = ζxy l + σy m

(σx - σi ) l + ζxy m = 0

ζxy l + (σy - σi ) m = 0

Si el determinante tiene una solución nula, la solución pueda ser distinta de la trivial, o sea

(σx - σi ) ζxy = 0

ζxy (σy - σi )

(σx - σi ) (σy - σi ) - ζxy2 = 0

Ecuación de 2º grado que nos da los dos valores de las tensiones principales

σ1; 2 = (σx + σy ) ± (σx - σy )2 + ζxy22 4

1.6.3 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS

Partimos de derivar la expresión de ζ respecto de α .

dζ / d α = - 2 ζxy sen 2 α - (σx - σy ) cos 2 α

Nos da para un valor determinado de α 2 ,

- 2 ζxy sen 2 α 2 = (σx - σy ) cos 2 α 2 .

tg 2 α 2 = σx – σy / 2 ζxyAl igual que en el caso de las tensiones principales, hay dos valores que satisfacen esta ecuación,

por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y en los cuales se obtendrá el valor del esfuerzo de corte máximo.

Si en la expresión de

ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α

2

Reemplazamos α por α 2 , obtenemos el valor de la tensión tangencial máxima.

ζMÁX = (σx - σy )2 + ζxy

2

4

Consideraciones

Comparando las expresiones de α 1 y α 2 vemos que tg α 1 .tg α 2 = -1

Lo que nos dice que los planos que contienen a las tensiones tangenciales máximas, están a 45º de los planos que contienen a las tensiones principales

6.1.4 EXPRESIÓN DE LAS TENSIONES EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES

Es para el caso en que el par de planos cualquiera, los hacemos coincidir con los planos principales, con lo que se anulan las tensiones tangenciales, y las ecuaciones iniciales nos quedan de la siguiente forma

σ = σ1 cos2 α + σ2 sen

2 α

ζ = ( σ2 - σ1 ) sen 2 α

2

y la expresión de las tensiones tangenciales máximas ζMÁX = ± (σ1 - σ2 )/2

σXσ1

σm

σm

σ2

σy

ζMÁXα2

π/4ζxy

ζyx

ζMÁX

6.1.5 CIRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO PLANO.

Representamos los valores principales y el plano rotado 2 α

OT’ = σα ; TT’ = ζα ; ON = σ2 ; OM = σ1 ;

CONVENCIONES: ANGULOS DOBLES, GIRO EN EL CIRCULO AL REVES DEL ELEMENTO ORIGINAL; SENTIDO ANTIHORARIO POSITIVO

ζ

ζ MÁX ≡ R

Q (σX; ζxy )

R

0 σ2 C σ1

σy

σx

ζxyP = POLO DE MOHR

2 θC2 θp

σm = ( σx +σy ) / 2

2αζ α

σ αX

T’

T

N M

TRAZA DEL PLANO QUE FORMA UN ANGULO αCON EL ESTADO INICIAL

αθp

DIRECCIÓN PPAL 1

σ αY

x

y

α

Correlato de las ecuaciones de ejes girados para el estado plano

σα = σx cos2 α + σy sen

2 α + ζxy sen 2 α

ζα = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α

2

Pero cos2 α = (1 + cos 2 α )/2 y sen2 α = (1 - cos 2 α )/2 entonces podemos escribir las ecuaciones de arriba, como

σ = (σx + σy ) / 2 + [ (σx - σy ) / 2 ]cos 2 α + ζxy sen 2 α = OT’

ζ = [ (σx - σy ) / 2 ] sen 2 α + ζxy cos 2 α = TT’

Sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones, y elevándolas al cuadrado, obtenemos

[ σ - (σx + σy ) / 2 ] 2+ ζ 2 = [ (σx - σy ) / 2 ]

2 + ζ2xy

que es la ecuación de una circunferencia en función de los valores σx ; σy y ζxy , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia (σx + σy ) / 2 = σm y cuyo radio vale

[ [ (σx - σy ) / 2 ] 2 + ζ2xy ]

½ = R = CQ

ESTADO SIMPLE

Es aquel estado para el cual, el estado tensional resultante, se mantiene paralelo a una dirección, o lo que es lo mismo, un estado tensional para el cual dos de sus tensiones principales son nulas.σ 3 = σ2= 0

Luegoρx . 1 = σ1 l

σ = σ1 l2 + σ1 cos

2 α

ζ = σ1 [sen 2 α / 2]

Círculo de Mohr para el estado Simple

Clase 2

ESTADOS DE DEFORMACION

ESTADO DE DEFORMACIÓN DEL SÓLIDO CONTINUO

CONCEPTOS GENERALES: Como no existen los sólidos indeformables, la distancia entre 2 puntos o la orientación de dos planos varían.

El cuerpo se deforma, a través de tres procesos:

A)Corrimiento

B) Rotación

C) Deformación propiamente dicha

Las 2 primeras no nos interesan por ser de incumbencia de la física, así que solamente nos ocuparemos de la deformación.

DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

Se considera un punto arbitrario A, de coordenadas, XA ,YA ,ZA, que luego de la deformación, ocupa el lugar A’ cuyas coordenadas son

X’A = XA + u

Y’A = YA ,+ v

Z’A = ZA, + w

donde u, v y w son las funciones del corrimiento “a” en función de los 3 ejes x, y , z

u = u (x, y, z)

v = v (x, y, z)

w = w (x, y, z)

Para hallar relaciones matemáticas que nos vinculen las deformaciones, se considera un segundo punto B, infinitamente próximo a A, y a una distancia ds, cuyos componentes serán dx, dy, dz

XB = XA + dx

YB = YA + dy

ZB = ZA + dz

A su vez el punto B tendrá su corrimiento a partir de las funciones

u* = u + du = u (x + dx; y + dy; z +dz)

v* = v + dv = v (x + dx; y + dy; z +dz)

w* = w + dw = w (x + dx; y + dy; z +dz)

Si suponemos que estas funciones son continuas y derivables, podemos desarrollarlas en serie de Taylor, limitando el desarrollo a los términos de primer orden.

Luego del desarrollo matemático, llegamos a las siguientes conclusiones para todo entorno infinitésimo al punto A

a) un plano se transforma en otro plano

b) la intersección de 2 planos forma una recta, por lo que toda recta se transformará en otra recta.

c) dos planos paralelos, o dos rectas paralelas, lo seguirán siendo despues de la deformación

DEFORMACIONES LINEALES ESPECIFICAS Y DISTORSIONES

Como consecuencia de las tensiones que lo solicitan, un cubo de lados dx, dy , dz, se desplaza y se deforma, es decir varían las longitudes de sus aristas y el ángulo relativo entre ellas

ε = Deformación específica unitaria ( cambios de longitud): Es el alargamiento o acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud.

ε = lím ∆s´ - ∆sB →A ∆s

lo que nos permite hallar la longitud final de un segmento ∆s´ = (1+ ε) ∆sEn cuanto a sus unidades, es adimensional

γ = Distorsión angular ( variación de ángulos) o Deformación unitaria cortante

Es el cambio en el ángulo entre dos segmentos de línea que originalmente eran perpendiculares entre sí. Como es un ángulo, se mide en radianes.

Si el ángulo final es menor que π/2 la distorsión se considera positiva

Ejemplo: Una placa es deformada y adquiere los valores de la líneas punteadas. Si las líneas horizontales permanecen horizontales y no cambian su longitud hallar:

a)la deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AB

b)La deformación unitaria cortante promedio en la placa relativa a los ejes x e y

y 3mm

B 2mm250 mm B´

A C

300 mm

Solución: AB se convierte en AB´ o sea AB´ = [(250-2)2 + 32 ]½ = 248.018 mmLuego la deformación específica unitaria normal es ε = ∆s´ - ∆s = 248.018 -250

∆s 250

εprom = - 7.93 (10-3) mm/mm ( el signo menos implica que se acorta)

El lado AC no se deforma

El ángulo BAC originalmente recto, varía a Ø debido al desplazamiento de B a B´y como ϒxy =π/2 - Ø

3mm

B 2mm

250 mm ϒxy

Ø

A C

300 mm

ϒxy = tan-1 [ 3 mm ] = 0.0121 rad

250 – 2

Distorsión positiva ya que el ángulo final es menor que 90° ( convención a adoptar)

Valroes de ε y ϒ; Se parte del análisis de las variaciones de una cara del cubo, y se extrapolan los resultados a todo el cubo.

Partimos de la proyección del cubo sobre el plano xy, haciendo coincidir el vértice A con el origen de coordenadas.

Debido a que el cubo se encuentra sometido a tensiones normales y tangenciales, las aristas varían de longitud y se modifican los valores entre los ángulos originalmente rectos

Para facilitar el estudio, se estudia la proyección del cubo en cada una de las caras.

•.

Estado tensional?

VECTORES CORRIMIENTO

AA’, BB’, CC’ Y DD’

Proyectamos esos vectores sobre los ejes coordenados, recordando que las funciones que definen los corrimientos son continuas y derivables.

AA’ → ( u ; v)

BB’ → u* = u + (∂u / ∂x) dx

v* = v + (∂v / ∂x) dx

DD’ → u** = u + (∂u / ∂y) dy

v** = v + (∂v / ∂y) dy

Por definición, las deformaciones específicas son iguales a la relación entre el incremento de la longitud y la longitud inicial ( ΔL / L) = L f - Lo

Para la dirección x: Lo

εX = [u + (∂u / ∂x) dx] - u = ∂u / ∂x entonces εy = ∂v / ∂y y εZ = ∂w / ∂z

dx

Respecto de las distorsiones, se sub indican por dos índices, respecto del plano en el cual actúan.

γXY = B’Ô’ B’’ + D’ Ô’ D’’

tg B’Ô’ B’’ =[ v + (∂v / ∂x) dx ] - v = ∂v / ∂x

dx

tg D’Ô’ D’’ = [u + (∂u / ∂y) dy ] - u = ∂u / ∂y

dy

y como son ángulos infinitesimales

luego tg B’Ô B’’ ≈ B’Ô B’’ = α1 = ∂v / ∂x

tg D’Ô D’’ ≈ D’Ô D’’ = α2 = ∂u / ∂y

Entonces la distorsión total será

γXY = α1 + α2 = ∂v / ∂x + ∂u / ∂y y por analogía

γXZ = = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z

γZY = = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y

DEFINICIÓN: las distorsiones se definen como la suma de las derivadas parciales cruzadas del corrimiento correspondiente a un eje con respecto al otro.

Otra forma de analizar este punto, es considerar que:

α1 = γXY / 2 + θZ y α2 = γXY / 2 - θZ

Esto es que los lados del cuadrado elemental giran en sentidos opuestos γXY /2 , mas que todo el cuadrado gira en un sentido θZ

= +

α2 γXY / 2 θZ

α1 γXY/2 θZ

Luego

α1- θZ = α2 + θZ sumando m. a m.

θZ = (α1 - α2 )/2 pero ya habíamos visto que

α1 = ∂v / ∂xα2 = ∂u / ∂y

Entonces

θZ = ½ (∂v / ∂x - ∂u / ∂y) y por extrapolación

θy = ½ (∂u / ∂z - ∂w / ∂x)

θx = ½ (∂w / ∂y - ∂v / ∂z)

Si ahora remplazamos los valores de εX ; εy ; εz y de θZ ; θY ; θx en la ecuación del desarrollo en serie de Taylor enunciada precedentemente, llegamos a

du = (∂u / ∂x) dx + ( ∂u / ∂y) dy + ( ∂u / ∂z) dz

dv = (∂v / ∂x) dx + ( ∂v / ∂y) dy + ( ∂v / ∂z) dz

dw = (∂w / ∂x) dx + ( ∂w / ∂y) dy + ( ∂w / ∂z) dz

Que nos da la expresión del corrimiento en función de los ejes coordenados y expresado como tensor nos da el TENSOR DEFORMACIÒN.

Este Tensor deformación, se descompone en un tensor deformación propiamente dicho y en un tensor rotación, el cual no es de interés para nuestro curso

εX γXY/2 γXz/2 0 - θZ θy

Tdef γXY/2 εy γzY/2 + T rot θz 0 - θxγXY/2 γXY/2 εz - θY θx 0

Existirán al menos 3 direcciones en las cuales las distorsiones angulares son nulas,

γXY = γZY = γXZ = 0 y que nos definen las direcciones principales, donde actúan

ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 .

en forma perpendicular a los planos principales.

Se las denomina deformaciones principales y el tensor queda de la siguiente manera

ε1 0 0

Tdef 0 ε2 0

0 0 ε3

ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

Partimos del análisis de un estado plano, lo cual implica que una deformación principal es nula, o sea un prisma elemental de espesor unitario y lados dx, dy y diagonal ds que forma un ángulo α

α

y

x

N’

N

O

εy dy

dy

(1+ εy)dy

N’’ P’

γXY

ds

γXYP

M M’ M’’dx εx dx (1+εy ) γxy dy

( 1 + εx ) dx

ds’

Los datos conocidos, son las deformaciones εx ; ε y y las distorsiones γxy ,y nos interesa hallar εα, en la dirección de α.

(OP’)2 = ( P’M’’) 2 + (OM’’) 2 pero

(OP’)2 = (ds + εα ds) 2 = ( 1 + 2 εα )ds

2.

despreciando los infinitésimos de orden superior

Análogamente

(P’M’’)2 = ( 1 + εy )2 dy2 = ( 1 +2 εy ) dy

2

(OM’’)2 = ( 1 + εx )2 dx2 + 2 ( 1 + εx ) ( 1 + εy ) γ xy dx dy + ( 1 + εy )

2 γ 2xy dy2

y también

(OM’’ )2 = ( 1 +2 εx ) dx2 + 2 γ xy dx dy

Pero:

dx = ds cos α

dy = ds sen α

Haciendo los reemplazos correspondientes

εα = εx cos2α + εy sen

2 α + γ xy sen α cos α

O lo que es lo mismo

εα = εx cos2α + εy sen

2 α + ½ γ xy sen 2 α

Expresión de la deformación específica unitaria en función de conocer los valores de las deformaciones específicas unitarias y las distorsiones angulares en cada una de las caras.

Variación de la distorsión angular γα:

Se trabaja con una distorsión pura, de valor

γα’ = γxy cos2 α

Que se superpone a uno de deformación lineal pura, de valor

γα’’ = - ( εx - εy ) sen 2 α

Entonces

γα = γα’ + γα’’ = γxy cos2 α - ( εx - εy ) sen 2 α

γα = ( εy - ε x ) sen 2 α + ( γ xy ) cos 2 α

Distorsión angular en un plano cualquiera

Deformaciones específicas y distorsiones máximas y mínimas

Se derivan las expresiones halladas respecto de α y se igualan a 0

εα = εx cos2α + εy sen

2 α + ½ γ xy sen 2 α

nos queda

tg 2 α 1 = γ xy / (εx - εy )

para

α 1 = ángulo entre las direcciones conocidas y las direcciones principales

Reemplazando y sustituyendo obtenemos

ε 1;2 = (ε x + ε y)/2 ± √[( ε x - ε y)/2 ]2 + γ xy2

Ahora derivamos respecto de α e igualamos a 0 la otra expresión

γα = ( εy - ε x ) sen 2 α + ( γ xy ) cos 2 α

Y hallamos

tg 2 α 2 = (εy - εx ) / γ xy

que nos conduce a

γ MÁX = ± √[( ε x - ε y)/2 ]2 + γ xy2

Circunferencia de deformaciones

Se plantea igual que para el estado plano de tensiones, dada la similitud de las expresiones.

La única diferencia está en que en la circunferencia de deformaciones representamos en ordenadas, en vez de llevar los valores de ζ xy se grafica γxy / 2.

Respecto de los signos en el círculo de Mohr, se tomará como convención que las deformaciones específicas unitarias si aumentan la longitud del elemento son positivas y si lo acortan, son negativas.

En cuanto a las distorsiones angulares, supondremos positivas las distorsiones que correspondan a una disminución del valor del ángulo de 90° que formen las dos caras orientadas según los ejes x e y.

fin clase 3

RELACION ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES 25/8/15

Se parte del análisis de los dos tensores vistos en los capítulos anteriores, El tensor de tensiones y el tensor de deformaciones, orientados en las direcciones principales

σ1 0 0

T 0 σ2 0

0 0 σ3

ε1 0 0

Tdef 0 ε2 0

0 0 ε3

Las funciones que definen las coordenadas del tensor deformación, dependen del valor de las funciones expresadas por el tensor de tensiones

T def = F ( T )

Para F una función que vincula ambos estados a partir de

ε1 = F1 ( σ1 , σ2 , σ3 )

ε2 = F2 ( σ1 , σ2 , σ3 )

ε3 = F3 ( σ1 , σ2 , σ3 )

F1 , F2 , y F3 , representan las funciones para cada tipo de material e independientes de las direcciones de las tensiones principales.

Se resuelven estas funciones con hipótesis simplificativas verificadas experimentalmente

Ley de HOOKE

Es la ecuación básica de la Resistencia de Materiales

ε = α . σ

α = coeficiente de proporcionalidad

El coeficiente α corresponde a un valor de deformación específica unitaria, ε que se corresponde a un valor de tensión normal σ unitaria.

Su valor depende de las características del material que se trabaje.

Por ser muy pequeño su valor, se trabaja con la inversa α = 1 / E

ε = σ E = Módulo de Young oE Módulo de elasticidad longitudinal

Es la primera constante elástica y la más importante

Para el caso de distorsiones puras, la ley de Hooke se transforma en

γ = ζ G = Módulo de elasticidad transversal ( 2° constante elástica)G

La 3° constante elástica es μ coeficiente de Poisson, que relaciona las deformaciones específicas unitarias longitudinales con las transversales.

“Toda deformación específica en una dirección, produce otra de signo contrario, en planos normales, cualquiera sea el estado de tensión”.

εt = μ

εl

La 4° constante elástica, es la Deformación Volumétrica

Un cubo de aristas de longitud unitaria, se deforma en forma positiva en las tres direcciones, o sea que

ε = Δ L = εx ; εy ; ε zL

z

εz

11 εx x

01

εy

y

Vo = 1Vf = ( 1 + εx) ( 1 + εy) ( 1 + εz)

ΔV = Vf - Vo = ( 1 + εx) ( 1 + εy) ( 1 + εz) - 1

ΔV = 1 + εx + εy + εz + εx εy + εz εx + εy εz + εx εy εz – 1

Despreciando infinitésimos de orden superiorΔV = εx + εy + εz

Haciendo ΔV / V

εV = εx + εy + εz = ε1 + ε2 + ε3Por comparación con las ecuaciones de los invariantes de tensiónLas cuatro constantes elásticas dependen exclusivamente del material que se trate, y se

relacionan entre si, no son independientes unas de otras,

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Partimos del cubo elemental de aristas unitarias

Producto de las tensiones experimentaráalargamientos específicos unitariosεx εy εz .

Por acción del coeficiente dePoisson, las deformacionesen x no se deben solo a lastensiones σx ; sino también alas σy y σz

z σz

σx

x

σy

y

εx = σx - μ (σy + σz )

E E

εY = σY - μ (σX + σz )

E E

εZ = σZ - μ (σy + σY )

E E

O sacando factor común 1/ E

εx = 1 [ σx - μ (σy + σz )]

E

εY = 1 [ σY - μ (σX + σz )]

E

εZ = 1 [ σZ - μ (σy + σY )]

E

Si el estado es plano

εx = 1 [ σx - μ σy ]

E

εY = 1 [ σY - μ σX ]

E

RELACIÓN ENTRE ε G μSe analiza en un estado plano de resbalamiento puro - σx = σy sobre un prisma cuadrado

de espesor unitario

Estado inicial: σx = - σyLas semi diagonales OA = OB = OC = OD = 1y las caras del elemento cuadrado orientadas a 45° de los ejes x e y

Sobre ellas actúan tensiones ζ = σx = σy

Luego de la deformación, el prisma pasa a A’ B’ C’ D’

Los corrimientos serán:AA’ = BB’ = εxCC’ = DD’ = εy

Las distorsiones vendrán dadas porA’C’O = (π / 4 ) – ( γ / 2 )

Pero tg [ (π / 4 ) – ( γ / 2 )] = 1 + εx1 + εy

Luegotg (π / 4 ) – tg( γ / 2 ) = 1 + εx1 + tg (π / 4 ) tg( γ / 2 ) 1 + εy

Pero tg (π / 4 ) = 1 y tg( γ / 2 ) ~ ( γ / 2 )

Entonces

1 - ( γ / 2 ) = 1 + εx1 + ( γ / 2 ) 1 + εy

y teniendo en cuenta de las ecuaciones generalesεx = 1 [ σx - μ σy ]

E

εY = 1 [ σY - μ σX ]

E

y como σx = - σyPodemos escribir

εx = σx [ 1 + μ ]

E

εY = σy [ 1 + μ ]

E

Como se planteó σx < 0 y σy > 0 tendremos ε x < 0 y ε y > 0

Volviendo al desarrollo y analizando en

1 - ( γ / 2 ) = 1 + ( - εx) → γ / 2 = εx1 + ( γ / 2 ) 1 + εy

Obtenemosεx = σx [ 1 + μ ] = γ / 2 y reemplazando en

E

ζ = σx = σy y en γ = ζ / G

ζ = ζ [ 1 + μ ] 2 G Efinalmente

τMÁX

σ X σ Y

E

G =

2 ( 1 +μ )

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

Objetivo:Desarrollar ensayos que nos permitan determinar el comportamiento del material, a la

vez que hallar los valores de las constantes elásticas.Se somete el material a un estado de tensión simple, válido para todos sus puntos.

ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE:a)Probeta circular de acero, de medidas normalizadasb)Se mide la tracción que se ejercec)Se verifica el alargamiento producidod)Se gráfica el ensayo de tensión deformacióne)Se determina E

TIPOS DE MATERIALES:Dúctiles , Frágiles, Plásticos

Material DúctilSe distinguen 3 zonas:

a) Elástica: Zona recta donde se verifica la validez de la ley de Hooke, y que sirve para su determinación. tg α = σ /ε = E hasta el valor σPTermina en un valor de elasticidad, σE donde a pesar de no verificarse la linealidad entre tensiones y deformaciones, se observa que al descargar el material, el mismo vuelve a su estado inicial, no existiendo deformaciones residuales. Es en general nuestra área de trabajo.

b) Fluencia: Se caracteriza por un aumento de deformaciones en ausencia de un incremento de tensiones, y oscila entre un valor máximo / mínimo denominados σflsuperior e inferiorLa velocidad de la aplicación de la carga, el tipo de cabeza de la probeta y las

variaciones de sección por error en el maquinado, las condiciones superficiales, la existencia de rayaduras y picaduras, influyen sobre estos valores.

c) Plástico : Zona de grandes deformaciones, hasta alcanzar la rotura mecánica σRprimero y la física después.Al alcanzarse el valor, σR se produce la estricción del material, se reduce la sección del material ante el aumento de carga, aumentando entonces las tensiones

DIAGRAMAS IDEALES

MATERIAL SIN LIMITE MATERIAL DÚCTIL MATERIAL FRÁGILFLUENCIA DEFINIDO

DIAGRAMA TENSIÓN DEFORMACIÓN PARA EL ACERO

Endurecimiento mecánico: Al descargar el material una vez superado el límite de fluencia, el material queda deformado, y al volver a cargarlo, desaparece el período de fluencia y se incrementa el valor de σp ( de 2200 a 4000 kg/cm2).El material se endurece y se transforma en un material frágil sin período de

fluencia.Cuando descargamos el material, la deformación acumulada se reduce ante el retiro de la carga y al volver a cargarlo recorre la misma recta ya que el material es el mismo.

En la práctica existen 2 procesos mediante le cual se consigue el endurecimiento mecánico:a) Laminación en frío, aplicable a planchuelas, flejes o perfilesb) Trafilado : para el endurecimiento de alambres y barras circulares

Estos materiales, así como los aceros duros o de alto contenido de carbono se caracterizan por:Limite de proporcionalidad y de elasticidad más elevados que para los aceros

durosNo poseen límite de fluenciaLa deformación de rotura, se reduce considerablemente.

4800 kg / cmσR

σP 4000 kg / cm2

12 a 15 %

Límites aparentes de fluencia

Existen dos métodos basados ambos en deformaciones

Limite Johnson:

Se define como el valor de la tensión normal σpara el cual en el punto correspondiente deldiagrama , la pendiente de la tangentea la curva es un 50 % menor que latangente al origen

Límite 0,2 %:Se utiliza para determinar ellímite de fluencia consistente en establecerel valor de la tensión para la cual ladeformación específica permanente o residualque queda al descargar el material, tiene unvalor determinado, que para los aceros se aceptauniversalmente en 0,2 %.

CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

Rigidez: capacidad de los materiales para oponerse a las deformaciones.Se lo mide a partir del valor de su módulo de elasticidad.

A mayor E menor deformable es el material

Ductibilidad: Capacidad del material de deformarse en el período plástico. A mayor capacidad de deformarse antes de romperse, más dúctil es el material.

Resiliencia: Capacidad de un material para restituir la energía almacenada durante la deformación elástica. Se mide en unidades de energía por unidad de volumen.Gráficamente queda representada por el área del triangulo

encerrado por la recta de la ley de Hooke y el eje de abscisas.

u = σ2e / 2 E

Tenacidad: Capacidad de un material de almacenar energía en el período anelástico, hasta alcanzar la rotura.Su valor viene dado por el total del área encerrada por el diagrama tensión deformación y el eje de abscisas hasta la deformación de rotura.

Dureza: Capacidad de un material para resistir acciones mecánicas del tipo abrasión, punzonado, incisión y corte. Se la determina experimentalmente a partir del ensayo de dureza de Brinell o el de Rockwell.

Ejemplos:Las máquinas herramientas (TORNOS) necesitan ser duras para evitar el desgaste

prematuro, y rígidas, para evitar fallas de precisión en el maquinadoLa ductibilidad es necesaria para piezas sujetas a aumentos bruscos de tensión, piezas sujetas a tensiones secundarias no previstas o a piezas que presentan concentración de tensiones. }el material al estar en condiciones de deformarse ante la aparición de estas tensiones, evita la falla.La resiliencia es útil para aquellas partes mecánicas sujetas a cargas de impacto o

dinámicas. Resortes, Pistones, Bielas etc.La tenacidad de un material es un índice de si una carga dinámica puede ser absorbida con seguridad, Se analiza en la fabricación de rieles, engranajes, ejes etc

COEFICIENTE DE SEGURIDADDimensionar una estructura, es darle medidas a la sección transversal de modo tal que

las tensiones de cualquier índole no superen los valores máximos admisibles.Estos valores admisibles nos garantizan que las tensiones y las deformaciones

quedaran acotadas por debajo de ciertos valores límites.Para materiales dúctiles, el límite de tensiones es el valor de fluencia o el de

elasticidad, en función de la importancia del proyecto.

La utilización del coeficiente de seguridad , se da en base a los siguientes ítems:-Materiales no absolutamente homogéneos-Desconocimiento exacto de las propiedades mecánicas-Exactitud en el cálculo de las cargas-Procedimientos de cálculo con aproximaciones e idealizaciones

Factores que afectan el coeficiente de seguridad:-Se basan en la ignorancia y en la incertidumbre-Ignorancia: de nuestro conocimiento, de los procedimientos de cálculo, hipótesis supuestas de reacción de las estructuras frente a un estado de cargas determinado, errores de cálculo

Incertidumbre: se refiere a las variables imposibles de establecer con exactitud tales como la evaluación de las cargas actuantes, el conocimiento exacto de la calidad de los materiales, las suposiciones planteadas.

El avance de ciencia de los materiales, y los modelos asistidos por computadora, han logrado realizar obras con mayor esbeltez y sin embargo con igual factor de seguridad.En los materiales dúctiles en régimen elásticoν = σfl / σADM

Otro aspecto a tener en cuenta en un proyecto, es el destino y la permanencia de la obra, y los defectos propios en la ejecución de la obra.

DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALESLos esfuerzos característicos son cuatro

ESFUERZO NORMAL O AXIL

MOMENTO TORSOR

MOMENTO FLEXOR

ESFUERZO DE CORTE

Todos surgen solos o combinados de considerar la reducción al baricentro de la mitad derecha de las fuerzas actuantes, representadas por una combinación de fuerza y/ o momento

1

Mf 2

Q

2

1

EL EQUILIBRIO INTERNO EN UN SÓLIDO DE ALMA LLENA:

Se refiere al equilibrio entre las acciones exteriores o de masa y las reacciones en el interior del sólido

N Mt

My

Qy

Qz Mz

Se plantea el equilibrio de fuerzas entre acciones y reacciones a lo largo de todo el area

En el eje x = dN = σ dFEn el eje y = dQy = ζxy dFEn el eje z = dQz = ζxz dF

N = ʃF σ dFQy = ʃF ζxy dFQz = ʃF ζxz dF

Para el equilibrio de los momentos se plantea

Mt = Mx = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dFMy = ʃF σ . z dFMz = ʃF σ . y dF

fin clase 4

ESTADOS DE TENSIÓN1)Defina las 4 características del sólido ideal2)¿Qué diferencia hay entre fuerzas de superficie y de masa? ejemplifique3)Defina el concepto de tensión en un punto4)¿A qué se denomina régimen de tensión en un punto?5)¿Qué son las tensiones normales y tangenciales? Como se las sub indica y cual es la convención de signos para cada una de ellas.6)Defina el teorema de Cauchy y demuéstrelo a partir del equilibrio del cubo elemental sujeto a tensiones7)Estado triple de tensiones: planteo del equilibrio del tetraedro elemental, determinar las expresiones de ρ, σ y ζ.8)Tensiones y planos principales. Planteo de la ecuación característica para el estado triple de tensiones.9)Determinación de las tensiones y direcciones principales10)Tensiones tangenciales máximas para el estado triple11)Defina y plantee, el concepto de invariantes de tensión12)Círculo de Mohr para el estado triple: justificación, construcción y resolución

ESTADOS DE DEFORMACIÓN13) Defina el concepto de deformación específica unitaria y de distorsión angular14) Deformaciones específicas y distorsiones máximas y mínimas15) Planteo y resolución de la circunferencia de deformaciones

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

1)Defina la ley de Hooke, justifique su validez y plantee el valor y significado de las 4 constantes elásticas.2)Ley de Hooke Generalizada: enunciado y justificación3)Relación entre E, G y μ: Demostración analítica

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

19) Diagrama tensión deformación: Gráfico, explicación, tipos de materiales y sus gráficos, límite Johnson, límite 0,2

20) Características mecánicas de los materiales : Enunciado, gráficos, ejemplos. Coeficiente de seguridad: definición, factores que lo afectan

21) Planteo de las ecuaciones de equilibrio, para un sólido de alma llena.

SOLICITACIÓN AXIL 1/9TRACCIÓN Y COMPRESIÓN SIMPLE

DEFINICIÓN: Cuando al reducir al baricentro de la sección a todas las fuerzas actuantes a un lado, obtenemos únicamente una fuerza normal al plano de la sección. Esta situación se repite para todas las secciones del sólido.

P N≡P P

S

PLANTEANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO, OBTENEMOS

1) N = ʃF σx dF

2) 0 = ʃF ζxy dF

3) 0 = ʃF ζxz dF

4) 0 = ʃF (ζxy . z + ζxz . y ) dF

5) 0 = ʃF σx . z dF

6) 0 = ʃF σx . y dF

HIPÓTESIS:

a) Ley de Hooke

a)Principio de Saint Venant:Si se reemplazan las fuerzas que actúan sobre una zona reducida

de la superficie de un sólido elástico por otro sistema estáticamente equivalente actuando en la misma zona, este cambio origina una modificación sustancial en el estado de tensión local, pero no influye en el estado de tensión en secciones ubicadas a una distancia que, en comparación con las dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande.”

En la zona extrema solo hay tensiones en el baricentro, resultando los demás puntos libres de tensiones. A medida que nos alejamos, la distribución de tensiones se va modificando hasta una distancia equivalente a la máxima dimensión lineal del área extrema.

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-VenantFecha de nacimiento: 23 de agosto 1797 en Villiers-en-Bière, Seine-et-Marne, FranciaMurió: 06 de enero 1886 en St Ouen, Loir-et-Cher, Franci

A partir de esa distancia, admitiremos que la distribución de tensiones no varía y por lo tanto se acepta que las secciones normales se mantienen planas y paralelas a si mismas luego de la deformación.

Luego: si las secciones se mantienen planas y paralelas existen dos posibilidades

a)Que las distorsiones angulares son nulasγ = 0 implica que ζ es 0

Con lo cual se anularían las ecuaciones 2) 3) y 4)

b) Que las distorsiones angulares son constantes (si fueran variables habria alabeo) y del mismo signo

γ = cte implica que ζ es cteEllo implicaría que0 = ζxy ʃF dF0 = ζxz ʃF dF

Como ζxy es constante y no puede ser 0, implica que0 = ʃF dF o sea área = 0 lo cual es una incongruencia

Por lo tanto se define que las ζxz = ζxy = 0 ya que la sección no puede ser nula.

Nos falta demostrar la nulidad de las ecuaciones 5) y 6)Producto de la deformación la longitud L se incrementa un ΔL.FIBRA: sobre una superficie se considera un elemento dF, que al ir desplazándose la

sección, genera un cilindro elemental de base dF y altura igual a la longitud del sólido.

Para el caso la fibra a-a sufrirá una deformación específica de valor

ε a = Δ L / L y para todas las fibras ε es constante

s s’ s’’a a

P P

s s’ s’’L ΔL

σ = ε E = cteEntonces la 1)

N = σ ʃF dF → σ = N/ F ecuación fundamental de la solicitación axil

Por ser σ constante, al reemplazar en las ecuaciones 5 y 6 obtenemos5) 0 = σ ʃF z dF1)0 = σ ʃF y dF

Que son los momentos estáticos del área de la sección con respecto a los ejes y y z.Como estos ejes son baricéntricos, su momento estático es nulo, lo que satisface

las ecuaciones anteriores.De la ecuación fundamental observamos:a)Que las tensiones son de valor constante para todos los puntos de la sección.b)Permite realizar el dimensionamiento de una sección

Fnec ≥ N / σadm

c) Permite verificar una sección.σadm ≥ N / F = σ

DEFORMACIONES EN LA SOLICITACIÓN AXILEl alargamiento o acortamiento de una barra sometida a solicitación axil viene dado

porε = Δ L = σ .

L E

Pero σ = N / F

Δ L = N L EF

Δ L = N . LE . F

La deformación específica unitaria longitudinal será entonces:εl = N . y la transversal εt = - μ N .

E F E F

REGIMEN DE TENSIONES PARA UN PUNTO DE UN SÓLIDO SOMETIDO A SOLICITACIÓN AXIAL

σα = σX cos2 α

ζ α = σX sen 2 α2

Por ser un estado uniaxialσx = σ1σ2 = 0

σm = σ1 /2

ζ máx,mín = ± σX en planos a 45° y 135 ° respectivamente2

σx = σ1

ζ máx,mín

σm

o σ2 C

INFLUENCIA DEL PESO PROPIO EN LAS TENSIONES PARA SOLICITACIÓN AXIL

Se parte del análisis de una barra de sección constante Fsuspendida del extremo superior, de longitud l y sometidaa la acción de una fuerza P. Se considera que γ es el pesoespecífico del material.A una distancia “x”, la fuerza valdráN = P + γ F x

y la tensión correspondienteσx = N = P + γ x

F FPara x = 0 ; σx = σo

σo = P / F entonces

σx = σo + γ x que será máxima para x = lσmáx = σo + γ l

l

N x

P

o

Dimensionamiento A partir de σmáx = σo + γ l

F = P .σMÁX - γ l

y como σadm ≥ σMÁX

F = P . σadm - γ l

Nos dice que el límite máximo de la columna de sección constante es

σadm = γ l → l máx = σadm / γ

Por ejemplo, si la barra fuera de acero, σadm = 2400 kg/cm2 ; γ = 7850 kg/ m3

l máx = 3057,32 m

DEFORMACIÓN DE UN SÓLIDO DE SECCCIÓN CONSTANTE TENIENDO EN CUENTA EL EFECTO DEL PESO PROPIOAnalizamos la misma barra de sección constanteLa longitud inicial del elemento es dx, y esta a xde distancia del extremo libre. Actúa tambiénuna fuerza P.El alargamiento de ese elemento diferencial vendrádado por

dΔx = σ dxE

de la expresión σX = P + γ F x

F

dΔx = (P + γ Fx) dxE F

dx

x

P

Integrando entre 0 y l para toda la longitud de la barra

Δ l = 1 ʃol (P + γ F x) dxEF

Δ l = 1 (P l + ½ γ F l2)EF

o sea

Δ l = P l + l γ F l = P l + γ l2

EF EF 2 EF 2 E“ El efecto del peso propio en la deformación, equivale a colocar en el extremo libre,

una carga puntual de valor la mitad del peso propio.

( P + P ) l ; ya que P/2 = γ F l2 EF 2

Tensiones por variación de temperatura en una viga doblemente emprotrada

Sea una barra de longitud l, sección F y módulo E, sometida a un oincremento de temperatura.Si no existiera el empotramiento, sufriría un alargamiento de valor:

Δl = α l ΔT α = coeficiente de dilatación térmica propio de cada materialPara evitar ese desplazamiento aplicamos un Δl' = P l / EF

Para restituir el equilibrio, Δl + Δl' = 0

α l ΔT + P l / EF = 0 → P = - α ΔT E F

y la tensión normal necesaria

σ = - α ΔT E

Para un incremento de temperatura ΔT es positivo lo que produce una σ de compresión

TENSIONES EN TUBOS DE PARED DELGADA

PLANTEO: Un tubo de longitud indefinida por lo que se supone un estado plano de deformación. εl = 0Radio interior ri y espesor eSujeto a una presión interior piTensiones radiales σr y circunferenciales σt

Tensiones radiales σr y circunferenciales σt

Ambas tensiones varían a lo largo del espesor

σr varía entre pi en el interior y 0 en el exterior

σt también varía, pero por ser el espesor delgado consideramos que es constante.

POSTULADO: por ser σt >>> σr despreciamos esta última.

Se analiza partiendo de un tubo, cortado por dos planos normalesseparados una distancia unitaria

Fuerzas actuantesY = σt e 1 (Ec 1)Que se deben equilibrarcon la R resultantede las acciones delas pi

Para un áreads . 1, actuará lafuerza elementaldP = pi ds 1

Las componentes segúnlos ejes serán:

dPz= dP senα = pi sen α dsdPy= dP cosα = pi cos α ds

Y como ds = ri dα

R- α + α

dP cosα

dP

dPsenα

e rids

α dαpi

1 2 1 2

Y Y

y

z

dPz= dP senα = pi ri sen α dαdPy= dP cosα = pi ri cos α dα

Para el equilibrio, debemos igualar al suma de proyecciones sobre ambos ejes a 0

π/2

ʃ pi ri sen α d α = 0 ( proyecciones sobre el eje z)- π/2

Ecuación que matemáticamente se satisface por ser la integral nula

π/2

ʃ pi ri cos α d α = 2 Y ( proyecciones sobre el eje y)- π/2

Como pi y ri son constantes

π/2

pi ri ʃ cos α d α = 2 Y- π/2

Integrando y simplificandoπ/2

Y = pi ri sen α ]0 = pi riy de ec 1Y = σt e = pi ri

σt = pi rie

Se verifica que el máximo valor de las σr era pi lo que las hace mucho más chicas que las σt ya que