2

n

38 · Capítulo 3. Respuesta temporal

3.2 Respuesta temporal de los sistemas lineales de segundo orden de tiempo continuo sin ceros

Herramienta interactiva: 3.2. t_segundo_orden

Conceptos analizados en la ficha

Modelado de sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo mediante una ecuación diferen- cial lineal de segundo orden.

Obtención de la función de transferencia de un sistema de segundo orden a partir de una ecuación diferencial lineal.

Análisis de la respuesta temporal de un sistema dinámico lineal de segundo orden cuando la entrada es una señal en forma de escalón.

Concepto de ganancia estática y su efecto sobre la respuesta temporal del sistema cuando la entra- da es una señal en forma de escalón.

Concepto de factor de amortiguamiento relativo y su efecto sobre la respuesta temporal del sis- tema.

Concepto de frecuencia natural no amortiguada y su efecto sobre la respuesta temporal del sis- tema.

Concepto de sistema de segundo orden sobreamortiguado, críticamente amortiguado, subamor- tiguado, críticamente estable e inestable.

Análisis de la estabilidad de sistemas lineales de segundo orden.

Teoría Los sistemas de segundo orden, tal y como su nombre indica, se pueden describir mediante una ecuación diferencial normalizada de segundo orden del tipo:

d2y(t) + 2ζωn

dy(t) + ω2 y(t) = kω2 u(t) (3.9)

dt2 dt n n

donde y(t) y u(t) son la salida y la entrada del sistema respectivamente. Existen sistemas con dinámicas de segundo orden “puras” o formadas por la combinación de dos sistemas de primer orden en serie (producto de dos funciones de transferencia de primer orden4). La función de transferencia estándar de un sistema de segundo orden viene dada por:

G(s) =kωn

s2 + 2ζωn s + ω2(3.10)

en la que el polinomio del denominador se denomina polinomio característico J(s), cuyas raíces (solución de la ecuación característica J(s) = 0) son los polos de la función de transferencia, que en este caso pueden ser reales o complejos conjugados. Los parámetros que definen la función de transferencia son:

k es la ganancia canónica o ganancia estática del sistema, que representa el cociente entre la amplitud de la respuesta del sistema en régimen estacionario y la amplitud del escalón de entrada al mismo. Se puede obtener haciendo s = 0 en la función de transferencia, G(0) = k.

4Como se analizará en el Capítulo 6, la función de transferencia de dos sistemas en serie G1 (s) y G2 (s) es el producto de ambas G1 (s)G2 (s), consecuencia de la aplicación de las propiedades de la transformada de Laplace.

n

2

n

1

−

3.2 Respuesta temporal de los sistemas lineales de segundo orden de tiempo continuo sin ceros · 39

ζ es el coeficiente, razón o factor de amortiguamiento relativo del sistema (adimensional), que determinará la forma de la respuesta transitoria. En función de su valor se puede deducir si el sistema es inestable (ζ < 0), críticamente estable o no amortiguado (ζ = 0), subamortiguado (0 < ζ < 1), críticamente amortiguado (ζ = 1) o sobreamortiguado (ζ > 1).

ωn es la frecuencia natural no amortiguada (rad/s), que corresponde a la frecuencia con la que oscilaría el sistema si no existiese amortiguamiento (ζ = 0, respuesta de tipo senoidal).

Evidentemente, para que se obtenga una respuesta limitada cuando la señal de entrada tiene forma de escalón (señal acotada), los polos del sistema deben estar en la parte izquierda del plano s. Si alguna de sus raíces está en el semiplano derecho s, el sistema será inestable. Si la ecuación característica del sistema (J(s) = s2 + 2ζωn s + ω2 = 0) tiene las raíces sobre el eje imaginario (eje jω), la salida en estado estacionario cuando la entrada es una señal en escalón tendrá oscilaciones mantenidas, a menos que la entrada sea una sinusoide cuya frecuencia sea igual a la magnitud de las raíces del eje jω. Para este caso, la salida está sin acotar. A tal sistema se le denomina marginalmente estable, debido a que únicamente algunas entradas limitadas (sinusoides de la frecuencia de los polos) harán que la salida no esté acotada.

La respuesta temporal cuando la entrada tiene forma de escalón de amplitud Ue (U(s) = Ue /s) se puede obtener a partir de:

Y(s) = G(s)U(s) =kωn Ue

s2 + 2ζωn s + ω2 s(3.11)

aplicando la transformada inversa de Laplace, y(t) = L−1 {Y(s)}, o bien resolviendo la ecuación dife- rencial con:

u(t) =

0, t < 0 ,Ue, t ≥ 0

siendo necesario diferenciar los casos: 0 ≤ ζ < 1, ζ ≥ 1 y ζ < 0. En todos ellos, la respuesta temporal de los sistemas de segundo orden comienza en t = 0 con pendiente nula. Se puede comprobar fácilmentehaciendo dy(t)/dt|t=0.

Sistema subamortiguado: Para el caso 0 ≤ ζ < 1 se obtiene que los polos del sis tema (raíces de la ecuación característica) son complejos conjugados, (s1 = −ζωn + jωn

1 − ζ2 y s∗ =

−ζωn −

jωn

1 − ζ2) y la respuesta temporal a entrada en escalón es:

y(t) = kUe 1 − e−ζωn

t

cos ω t +

ζsenω

t

d 1 ζ2 d

, t ≥ 0 (3.12)

donde ωd = ωn

1 − ζ2 es la frecuencia natural amortiguada. Se puede observar cómo la

compo-nente compleja de los polos produce una respuesta temporal con presencia de senos y cosenos quedan lugar a oscilaciones que se amortiguan con la envolvente exponencial. Al producto σ = ζωn

se le denomina factor de amortiguamiento, que es una constante que determina las propiedades de amortiguamiento de un sistema. Determina la velocidad de crecimiento o decaimiento de la res- puesta a escalón unitario de un sistema de segundo orden subamortiguado.

Sistema sobreamortiguado: Cuando el factor de amortiguamiento relativo ζ ≥ 1, los polos del sistema de segundo orden serán reales (s1 = −1/τ1 = −ζωn − ωn

ζ2 − 1 y s2 = −1/τ2 =

−ζωn + ωn

ζ2 − 1) . La función de transferencia en este caso viene dada por:

G(s) =k

(τ1s + 1)(τ2s + 1) (3.13)