Respuestas - Editorial Digital Tecnológico de Monterrey · Un péndulo simple tiene longitud L y...
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Fluidos, ondas y calor Rosa Ma. Guadalupe García Castelán / Luis Jaime Neri Vitela / José Luis Escamilla Reyes
1 D.R. © Ins t i tu to Tecno lóg ico y de Es tud ios Supe r io res de Monter rey , Méx ico 2012
Ejercicio integrador - Respuestas
Capítulo 3
1 ¿En qué punto del movimiento de un péndulo simple la tensión de la cuerda es
mayor?
Respuestas Retroalimentación
a) Cuando se detiene
momentáneamente antes de
regresar.
Incorrecto.
b) En el punto más bajo de su
trayectoria. Correcto.
c) Cuando está subiendo por la
trayectoria. Incorrecto.
d) Cuando está bajando por la
trayectoria. Incorrecto.
2 Si la amplitud de un péndulo simple crece, su periodo:
Respuestas Retroalimentación
a) Aumenta. Incorrecto.
b) Disminuye. Incorrecto.
c) Permanece igual. Correcto.
d) Falta información para contestar. Incorrecto.
3 Un péndulo simple tiene un periodo T en la Tierra. Si se lleva a la Luna (gLuna =
gTierra / 6) su periodo:
Respuestas Retroalimentación
a) Aumenta. Correcto.
b) Disminuye. Incorrecto.
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c) Permanece igual. Incorrecto.
d) Falta información para contestar. Incorrecto.
4 En el MAS, la aceleración del oscilador va dirigida en:
Respuestas Retroalimentación
a) Formando un ángulo de 45º con el
desplazamiento. Incorrecto.
b) El mismo sentido que el
desplazamiento. Incorrecto.
c) Dirección perpendicular al
desplazamiento. Incorrecto.
d) Sentido opuesto al
desplazamiento. Correcto.
5 Un objeto que realiza un MAS con amplitud A sobre el eje X alcanza su aceleración
máxima en:
Respuestas Retroalimentación
a) x = ± A
Incorrecto.
b) x = ± A/2 Correcto.
c) x = ± A/4 Incorrecto.
d) x = ± A/4 Incorrecto.
6 Un objeto se mueve sobre el eje X en un MAS con amplitud A. La energía potencial
del oscilador es máxima en:
Respuestas Retroalimentación
a) x = A Correcto.
b) x = 0 Incorrecto.
c) x = A/2 Incorrecto.
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d) x = ± A/4 Incorrecto.
7 Un objeto cuelga atado a un resorte. El objeto se desplaza hacia abajo, alargando el
resorte, y luego se suelta. El objeto experimenta su velocidad máxima en:
Respuestas Retroalimentación
a) En su punto de máxima
compresión. Incorrecto.
b) Al pasar por su punto de equilibrio. Correcto.
c) En los extremos del movimiento. Incorrecto.
d) A la mitad de su amplitud. Incorrecto.
8 Un objeto cuelga atado a un resorte. El objeto se desplaza hacia abajo, alargando el
resorte, y luego se suelta. El objeto experimenta su velocidad mínima en:
Respuestas Retroalimentación
a) En su punto de máxima
compresión Incorrecto.
b) Al pasar por su punto de equilibrio Incorrecto.
c) A la mitad de su amplitud Correcto.
d) En los extremos del movimiento Incorrecto.
9 En un movimiento armónico simple con amplitud A la distancia total recorrida en un
periodo es:
Respuestas Retroalimentación
a) 4A Correcto.
b) 3A Incorrecto.
c) 2A Incorrecto.
d) A Incorrecto.
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10 Un objeto se mueve sobre el eje X en un MAS con amplitud A. La energía cinética
del oscilador es máxima en:
Respuestas Retroalimentación
a) x = Incorrecto.
b) x = 0 Correcto.
c) x = A/2 Incorrecto.
d) x = A/4 Incorrecto.
11 Un péndulo simple oscila en un plano vertical con ángulo de amplitud Su
movimiento será aproximadamente armónico simple si:
Respuestas Retroalimentación
a) es menor a 10º Correcto.
b) está entre 10º y 45º Incorrecto.
c) es mayor a 45º Incorrecto.
d) No importa el valor del ángulo, el
movimiento del péndulo es siempre
un MAS
Incorrecto.
12 Pregunta: Un péndulo simple de longitud L y masa M oscila en un plano vertical con
periodo T. Si su longitud cambia al doble entonces su nuevo periodo de oscilación
es:
Respuestas Retroalimentación
a) T Incorrecto.
b) 2T Incorrecto.
c) T/2 Correcto.
d)
2T Incorrecto.
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13 Un péndulo simple de longitud L y masa M oscila en un plano vertical con periodo
T. Si su masa cambia al doble entonces su nuevo periodo de oscilación es:
Respuestas Retroalimentación
a) 2T Incorrecto.
b) T Correcto.
c) T/2 Incorrecto.
d) 4T Incorrecto.
14 Un péndulo simple tiene longitud L y masa M. Una varilla delgada rígida de la
misma masa y misma longitud se cuelga de uno de sus extremos y se pone a
oscilar en un plano vertical. Entonces el periodo de oscilación de la varilla:
Respuestas Retroalimentación
a) Es igual al del péndulo simple Incorrecto.
b) Es mayor que la del péndulo
simple Incorrecto.
c) Es menor que la del péndulo
simple Correcto.
d) Falta información para contestar. Incorrecto.
15 Un objeto que se mueve en un MAS con amplitud A tiene una energía mecánica
total E. Si su amplitud se duplica la energía del oscilador es ahora:
Respuestas Retroalimentación
a) E/4 Incorrecto.
b) E/2 Incorrecto.
c) 2E Incorrecto.
d) 4E Correcto.
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16 Un bloque de masa M, atado a un resorte de constante k, se mueve en un MAS
sobre una superficie horizontal sin fricción con frecuencia f. Si se pone ahora a
oscilar amarrado a un resorte de constante 2k su frecuencia es:
Respuestas Retroalimentación
a) 2f Incorrecto.
b) Correcto.
c) f/2 Incorrecto.
d) f Incorrecto.
17 Un bloque de masa M, atado a un resorte de constante k, se mueve en un MAS
sobre una superficie horizontal sin fricción. Si su amplitud se duplica, su rapidez
máxima:
Respuestas Retroalimentación
a) No cambia Incorrecto.
b) Se duplica Correcto.
c) Se cuadruplica Incorrecto.
d) Se divide a la mitad Incorrecto.
18 En un movimiento de oscilación amortiguado, la amplitud y la energía del
movimiento:
Respuestas Retroalimentación
a) No cambian con el tiempo Incorrecto.
b) Disminuyen linealmente con el
tiempo Incorrecto.
c) Disminuyen exponencialmente con
el tiempo Correcto.
d) Aumentan exponencialmente con
el tiempo Incorrecto.
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19 Un objeto realiza un movimiento de oscilación amortiguado, por lo que:
Respuestas Retroalimentación
a) Aumenta el periodo y disminuye la
frecuencia Correcto.
b) Disminuye el periodo y aumenta la
frecuencia Incorrecto.
c) Disminuyen ambas cantidades
físicas Incorrecto.
d) Aumentan ambas cantidades
físicas Incorrecto.
20. Respuesta:
a) A = 4 m , = rad , f = 1.5 Hz , T = 0.667 s;
b) x = 4 m , v = 0 m/s , a = 355.3 m/s2;
c) x = 2.531 m , v = 30.50 m/s , a= 208.8 m/s2;
d) vmax = 37.7 m/s , en x = 0 ; amax = 355.3 m/s2 , en x = 4 m.
a)
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b)
c)
d)
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e)
21. Respuesta:
a) x = 2 cos (3t 2 sen (3t)
b) vmax = 18.85 cm/s
c) amax = -177.7 cm/s2
a)
b)
vmáx A 3(2) 18.85cm /seg
c)
amáx 2A (3)2(2) 177.7cm /seg2
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22. Respuesta:
T M
k
Si el disco se rota en el sentido de las manecillas del reloj, los dos resortes se comprimen. El peso no produce torca, ya que el disco está en una superficie horizontal. Los resortes comprimidos obligan al sistema a regresar a su posición original. Para aplicar la segunda ley de Newton en su forma rotacional, necesitamos calcular las torcas aplicadas sobre el disco.
k
k
Las torcas producidas por los resortes van en el mismo sentido. Así:
Fr ksRsen sen2 900
Ya que los resortes obedecen la ley de Hooke F =-
ks.
k
M, R
De la trigonometría, sabemos que:
s R y sen 900 cos
Sustituyendo:
2 2
2
2kR I Id
dtcos
Considerando desplazamientos angulares
pequeños, sabemos que las relaciones
siguientes son válidas:
s
sen
cos
1
k
M, R
s
R
900+
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Por otro lado, el momento de inercia de un disco sólido respecto de un eje
perpendicular que pasa por su centro de masa (Manual de Física I) es MR2/2.
Sustituyendo todo lo anterior, obtenemos, finalmente (¡claro, hay que hacer los pasos
intermedios!):
Es la ecuación de un movimiento armónico simple. De acuerdo con esto, el periodo
de oscilación del sistema (para desplazamientos angulares pequeños) es:
T M
k
23. Respuesta:
Como el sistema oscila en un plano vertical, los pesos de los objetos juegan un papel
fundamental en este problema ya que, junto con el resorte, producen las torcas que
regresan al sistema a su posición original. La figura siguiente muestra el estado inicial
del sistema y cuando se realizó el desplazamiento angular:
044
2
2
2
2
M
k
dt
d
dt
d
M
k
k
L
M, R
M
Mg
Mg
ks
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Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior y recordando que el sistema se mueve en un plano vertical, obtenemos:
Mg
LL R ks L R I
d
dt2900
2
2sen sen
Aplicando la condición de desplazamiento angular pequeño, se cumplen las
relaciones:
Resultando:
Que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple. La frecuencia angular del oscilador puede obtenerse directamente:
Siendo el momento de inercia igual a:
L+R
s
Nuevamente:
s L R y sen cos900
Por lo tanto:
Mg
LL R k L R I
d
dt2
22
2sen cos
d2
dt 2
k L R 2Mg
3
2L R
I
0
k L R 2Mg
3
2L R
I
illadisco III var
sen
cos
1
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Donde, de acuerdo con el teorema de ejes paralelos:
Es decir:
Como consecuencia, la frecuencia angular de oscilación depende tanto de factores
geométricos (el radio del disco, la longitud de la varilla, la distancia al punto de
suspensión), como de la respuesta del resorte al estiramiento o compresión (a través
de la constante k) y de los pesos de los objetos involucrados.
24. Respuesta: 12 cm.
25. Respuesta: 1.11 Hz.
La aceleración máxima se da cuando
amáx g (2f )2A
Despejando la frecuencia:
Idisco MR2
2M L R
2
Ivar illa ML2
12M
L
2
2
32
22
2 LRL
RMI
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f 1
2
9.81
21.11Hz
26. Respuesta: 1.10 s
Datos: m=5kg R=0.2m De acuerdo con el teorema de ejes paralelos, el momento de inercia del sistema es:
I mR2
2mR2
3mR2
2
La torca debido al peso es:
mgRsen
Sustituyendo en la segunda ley de Newton para rotaciones, y haciendo la
aproximación a ángulos pequeños, tenemos:
d2
dt 2mgR
3
2mR2
0
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De donde:
T 2
2g
3R
2
2(9.81)
3(0.2)
1.1seg
27. Respuesta: g
RT
22
El momento de inercia del sistema de acuerdo con el teorema de ejes paralelos es:
I mR2 mR2 2mR2
La torca producida por el peso es:
mgRsen
Donde el signo menos indica que la rotación es en el sentido de las manecillas del
reloj por la regla de la mano derecha.
Sustituyendo la torca y el momento de inercia en la segunda ley de Newton para
rotaciones, y haciendo la aproximación a ángulo pequeño, nos queda:
d2
dt 2mgR
2mR2 0
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Por lo que:
g
2R2
T
T 22R
g
28. Respuesta: T = 2 [7L/12g] 1 / 2.
El momento de inercia, de acuerdo con el teorema de ejes paralelos, es:
I ML2
12M
L
4
2
7ML2
12(4)
La torca debido al peso, es:
MgL
4sen
En la aproximación de ángulo pequeño y sustituyendo tanto la torca como el momento
de inercia en la segunda ley de Newton para rotaciones, se obtiene:
d2
dt 212g
7L 0
De donde:
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T 27L
12g
29. Respuesta: 5.14 kg m2.
Datos: L=1m R=0.15m M=8kg T=1.5s
La torca del peso de la esfera es:
mgdsen y de la segunda ley de Newton para rotaciones, tenemos que:
Donde
d LR
d2
dt2
mgd
I
d2
dt2mgd
I
0
d2
dt2 2 0
De aquí, podemos obtener la frecuencia angular y el periodo de oscilación de este
sistema:
mgd
I T 2
I
mgd
Despejando el momento de inercia y sustituyendo valores, se tiene:
mgdsen Id2
dt2
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I 8(9.81)(10.15)1.5
2
2
I 5.14kg(m2)
30. Respuesta:
a) 0.420 J
b) 0.529 m/s.
Datos: M = 3kg A = 0.08m amáx = 3.50m/s2
31.Respuesta:
a) A/(2)1/2
b) Cinética: 3/4, potencial: 1/4.
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a)
b)
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32. Respuesta:
a) 0.158 J
b) 0.202 J
a)
b)
33.Respuesta:
x A 3
2
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34.Respuesta: x(t) = 0.75m cos(2t + /2)
Datos:
2rad /sec
v 1.5m /sec
1
2kA2
1
2mv2
Usando el hecho de que
k m 2
Tenemos que:
A v
1.5
2 0.75m
Así:
0)2/cos(0
)2/2cos(75.0
tsipues
tmx
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35.Respuesta:
a) 2.21 Hz
b) 141 J
c) 322 J
d) 96.8 cm.
Datos:
m=5.13 kg k=9.88N/cm=988N/m x=0.535m v=-11.2 m/s
988
5.1513.878rad /sec
f
2 2.21Hz
b)
1
2kx2
1
2988(0.535)2 141.4Joules
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c)
1
2mv2
1
2(5.13)(11.2)2 321.75Joules
d)
1
2KA2 141.4 321.75 463.15Joules
De donde, despejando la amplitud:
A 2(463.15)
988 0.9682m
36.Respuesta:
a) No se desliza
b) 3.97 cm.
Datos: A=0.01m T=0-8seg
f N m2g m2a
g a
Por otro lado:
amáx 2A
k
m2 m1
A g
pero
k (m2 m1)2
así
A g
2gT 2
(2 )2(0.8)2(0.25)(9.81)
(2 )2 0.0397m
Como 0.01m<0.0397 m, los cuerpos no se mueven.
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37.Respuesta:
T 22R
g
E mgRcos 1
2I 2
dE
dt 0 mgRsen
d
dt I
d
dt
0 mgRsen Id2
dt 2
Cancelando la velocidad angular, haciendo la aproximación de ángulos pequeños y
arreglando términos:
g
2R
d2
dt2 0
g
2R 2f
Pero f=1/T, así que:
T 22R
g
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38.Respuesta: T = 2 [7L/12g] 1 / 2
E 1
2I 2 Mg
L
2L
4
cos
dE
dt 0 I
d
dtMg
L
2L
4
sen
d
dt
cond
dt
yL
2L
4
L
4
De esta forma se obtiene:
0 d2
dt 212g
7L
Así tenemos finalmente que:
T = 2 [7L/12g] 1 / 2
39.Respuesta: T = 2 [ 3M / 2k ]1 / 2
k
MT
M
k
dt
d
dt
dkR
dt
dMR
dt
dE
kRMRkRMv
R
v
R
MRE
ksmvIE
2
32
03
2
2
2
4
320
24
3
2
1
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
2
22
222
2222
2
2
2
2
222
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40.Respuesta:
a) 0.444 s
b) 0.180 J
c) 0.0451 kg/s.
Datos: m=2kg A0=0.03m k= 400 N/m
a)
T 2k
m 2
2
400 T 0.444seg
b)
Eo 1
2kA2
1
2(400)(0.03)2 0.180Joules
c)
0.444
0.01 44.4seg T
Como:
T m
b b
2
44.4 b 0.0451kg/seg
41.Respuesta: 1.00 10 3 s1.
Datos: L=1m
o=150
f=5.50 T=1000seg
En este caso tenemos:
o fe1000
b
2m
De donde:
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15 5.5e1000
b
2m así que:
b
2mln(15
5.5)
1000 0.0010033
1
seg
42.Respuesta:
a) 3.53 s
b) 6J.
Datos:
m=3kg k=400 N/m Ao=20cm=0.20m b=1.17 kg/seg Af=10cm=0.10m
a) En este caso, tenemos:
Ao A febt
2m
De donde:
0.20
0.10 e
1.178t
2(3) ln2 0.19633t t 3.53seg
b)
1
2kAo
21
2400(0.20)2 8Joules
1
2kAf
21
2400(0.10)2 2Joules
Así que 8Joules-2Joules= 6Joules.
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43.Respuesta:
a) 70 J
b) 22.22 J
a) La energía cinética está dada por
1
235(2)2 70Joules
b)
Q 2E
E 20 2
70
EE 22.22J
44.Respuesta: b=2.52 kg/seg.
Datos: T=5 segundos m=20kg v=2m/s Q=10
En este caso o=2/5=1.26rad/seg, entonces:
Q o
m
b b 1.26
20
10
De donde b=2.52 kg/seg.
45.Respuesta: 20.
Q 2E
E 2
300
30 20
Fluidos, ondas y calor Rosa Ma. Guadalupe García Castelán / Luis Jaime Neri Vitela / José Luis Escamilla Reyes
29 D.R. © Ins t i tu to Tecno lóg ico y de Es tud ios Supe r io res de Monter rey , Méx ico 2012
46.Respuesta: Sí.
o k
m250
3 9.13rad /s
además
2
T2
0.9 6.98rad /s
como
6.98rad /s 9.13rad /s
entonces hay amortiguamiento.
47.Respuesta: f=0.53 Hz.
k
mb2
4m2
3
0.2000.8002
4(0.200)2 3.32rad /s
De donde:
f 3.32
2 0.53Hz
48.Respuesta: b=0.012 kg/s.
b 2m
tlnAo
A f
2(0.050)
6ln0.300
0.150
0.012kg/s
49.Respuesta: t=0.211 segundos.