CÀLCUL DE DIVERSES VARIABLES

1- LÍMITS I CONTINUÏTAT

2-CÀLCUL DIFERENCIAL (DIFERENCIABILITAT)

3-DIRECCIONALS I GRADIENT (MATRIU JACOBIANA)

4-REGLA DE LA CADENA

5-DERIVADES D'ORDRES SUPERIORS (MATRIU HESSIANA)

6-TAYLOR

7-FUNCIÓ IMPLÍCITA I FUNCIÓ INVERSA

8-PUNTS ESTACIONARIS

9-PUNTS CRÍTICS: MÀXIMS I MÍNIMS ABSOLUTS.

1- LÍMITS I CONTINUÏTAT:

*Per saber si un límit existeix definitivament cal substituir directament al límit el valor pel

qual tendeix la variable independent Ó BÉ determinar-ho per la definició de límit.

Tenim dos mètodes per DESCARTAR l'existència del límit de manera determinística i

suficient:

A – Límits iterats coincideixen:

B – Límits direccionals (substituïts en x=a i y=b) no depenen del paràmetre “m” o bé el

resultat coincideix per dues direccions diferents (recta i paràbola).

*Substituïm per:

Recta: y = mx

Ó BÉ:

*Els límits quan la y es comporta com la recta Y=x i la paràbola Y=x^2:

*Si els dos mètodes anteriors NO DESCARTEN l’existència del límit i ens trobem davant d’una

indeterminació a l’hora de substituir, disposem de dos mètodes per superar la indeterminació:

a – Si x->0 i y->0, canvi a coordenades polars.

B – Si x->0 i y->0, emprar infinitèssims equivalents / Taylor.

A - Si el límit és per x->0 i y->0 podem emprar el canvi a coordenades polars:

X=r·cosδ Y=r·sinδ

B – Alguns desenvolupaments de Taylor d’utilitat:

*Finalment si no podem resoldre una indeterminació i ni els límits iterats ni els límits

direccionals ens descarten l’existència del límit, haurem de determinar l’existència o la no

existència d’aquesta partir de la definició formal de límit.

CONTINUÏTAT: Una funció serà contínua Existeix el límit i aquest és igual a la imatge.

DISCONTINUÏTAT: Una funció serà discontínua quan:

- El límit no existeix

- El límit ≠ Imatge

- Funció no definida en el punt

2 – CÀLCUL DIFERENCIAL (DIFERENCIABILITAT), DIFEERNCIAL I INCREMENT:

DIFERENCIAL:

(

) (

)

INCREMENT D’ :

DIFERENCIABILITAT:

* La definició de diferenciabilitat és:

(

) El resultat és de grau 1

*2ª Definició de diferenciabilitat:

La funció f(x,y) té derivades parcials i aquestes són contínues.

*3ª Definició de diferenciabilitat:

Si el càlcul de la derivada parcial de manera analítica ( ) és igual que el resultat

obtingut de la derivada parcial a partir de la definició ( ), és condició suficient per

determinar que és diferenciable.

PLA TANGENT:

*El pla tangent en un punt p(x,y,z)=(a,b,c) és:

3 – DIRECCIONALS I GRADIENT (MATRIU JACOBIANA)

GRADIENT I DERIVADES PARCIALS:

*E grad ent d’una unc x s’expressa co : i és el vector que té com a

co ponents es der vades parc a s d’ x :

(

)

*Definim les derivades parcials com:

*El sentit físic del gradient és la direcció de màxim pendent (o de creixement més ràpid) de la

funció.

*Si volem determinar el sentit de mínim pendent (o de decreixement més ràpid) només cal que

calculem:

IMPORTANT: Si ens demanen la direcció de màxim o mínim creixement, cal que fem unitària la

direcció del gradient: Dmàx. =

Dmín. = -

DERIVADES DIRECCIONALS:

*Definim les derivades direccionals segons la direcció unitària i en un punt

p(x,y)=(a,b):

*Analíticament podem trobar l’expressió de les derivades parcials aplicant:

*En aplicacions lineals de l’estil: el gradient rep el nom de “Matriu Jacobiana”, i és

la que correspon a les derivades parcials de primer ordre. Té la forma següent:

(

)

*El determinant de la matriu Jacobiana rep el nom de “Jacobià” i es representa:

||

(

)

||

4 – REGLA DE LA CADENA:

* Siguin dues funcions: g(x,y) i f(u,v) | u= ; v= definim:

:

:

Ve e que a d ens de ’espa d’arr bada de ’ap cac g ha de co nc d r a b a de

’espa de sort da de a xí de n a reg a de a cadena co :

*Per resoldre-ho també podem aplicar els canvis : u= ; v=

5 - DERIVADES D'ORDRES SUPERIORS (MATRIU HESSIANA):

*Les der vades d’ordres super ors s n aquelles que obtenim derivant respecte de

cadascuna de les variables, cadascuna de les derivades parcials de primer ordre:

*La Matriu Hessiana és la que està formada per les derivades de segon ordre:

(

)

6 - TAYLOR:

*El desenvolupament de Taylor de primer ordre el definim com:

*El desenvolupament de Taylor de segon ordre el definim com:

[ ]

[ ]

7 - FUNCIÓ IMPLÍCITA:

*Per poder determinar si podem expressar una funció en la seva forma implícita, cal que

es compleixin les següents condicions:

í

8 – EXTREMS RELATIUS I PUNTS CRÍTICS; MÀXIMS I MÍNIMS ABSOLUTS. PUNTS DE

SELLA:

*Els punts crítics els trobem quan:

*D re que es tracta d’un x re at u quan donat un punt de a atge :

*D re que es tracta d’un ín re at u quan donat un punt de a atge :

*Sigui H el determinant de la matriu Hessiana, els criteris per determinar els extrems

absoluts són: