MÉTODOS CUANTITATIVOSRESUMEN DE LA SESIÓN 13/10/09

MODELO GENERAL DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

En el modelo general de regresión lineal múltiple se pretende explicar una sola variable Y dependiente, endógena y explicada con por lo menos una variable X independiente, exógena y explicativa.

En clase vimos un ejemplo en el que buscábamos explicar los ingresos de un supermercado (Y) por los habitantes del municipio donde se encuentra el supermercado (X1) y los metros cuadrados del supermercado (X2)

La tabla de datos con la que empezamos a trabajar es la siguiente:

Ingresos Población Superficie

198 70 21

209 35 26

197 55 14

156 25 10

85 28 12

187 43 20

43 15 5

211 33 28

120 23 9

62 4 6

176 45 10

117 20 8

273 56 36

Si la relación existente entre las variables fuera de tipo lineal utilizaríamos la siguiente expresión:

Sin embargo, puede ser que la relación entre las variables no sea perfecta, por lo que introducimos a la expresión anterior un término aleatorio que corresponde con variables que no hemos tenido en cuenta

El sistema de ecuaciones que hay que resolver es el siguiente:

Nuestro objetivo es que los valores de las incógnitas sean lo más pequeños posible.

Determinaremos cuáles son los valores más adecuados de los coeficientes del modelo para alcanzar este objetivo:

Llamaremos residuos a los valores que toman las incógnitas en la solución del sistema de ecuaciones:

Debemos encontrar los valores de los coeficientes que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos

Después de calcular los valores de los parámetros de la combinación lineal, podremos construir el siguiente modelo de ajuste lineal:

Los valores calculados para la variable dependiente mediante el modelo de ajuste lineal serán los llamados valores estimados.

Después de la explicación teórica del modelo y de lo que buscamos con él empezamos a trabajar con Excel:

1) Construimos la matriz X

Matriz X

1 70 211 35 261 55 141 25 101 28 121 43 201 15 51 33 281 23 91 4 61 45 101 20 81 56 36

2) Calculamos la matriz traspuesta de X

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

70 35 55 25 28 43 15 33 23 4 45 20 56

21 26 14 10 12 20 5 28 9 6 10 8 36

3) Calculamos la matriz Xt*X

Matriz Xt*X

13 452 205452 19828 8452205 8452 4343

4) Invertimos esta última matriz

Matriz (XtX)-1

0,40146598 -0,0063017 -0,00668629-0,0063017 0,00039483 -0,00047093

-0,00668629 -0,00047093 0,00146234

5) Calculamos la matriz Xt*Y

Matriz XtY

20348249538769

6) Para calcular la matriz B que será la que nos marque llos valores de las variables explicativas y el término aleatorio tenemos que multiplicar las matrices (XtX)-1*XtY. Obtenemos:

B

37,502300361,4962877934,244624453

Por lo tanto, el modelo es el siguiente:

Y= 37,5 +1,49*población + 4,24 m^2 +

Con este modelo obtenemos las siguientes predicciones de ingresos y las desviaciones:

Y.predicho Residuos

231,3795594 -33,37955939200,2326089 8,767391105179,2228713 17,77712868117,3557397 38,64426028

130,333852 -45,333852186,7351645 0,26483547981,16973952 -38,16973952205,7292822 5,270717786110,1185397 9,88146032368,95519825 -6,95519825147,2814956 28,71850442101,3850518 15,61494816274,1008971 -1,100897079

Para calcular la SCR elevamos todos los residuos al cuadrado y los sumamos, obteniedo así un SCR de:

7756,21416