Resumen Cálculo Mate022

7/31/2019 Resumen Clculo Mate022

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Coordinacin de Matemtica II (MAT022)Segundo semestre de 2010

Semana 1: Lunes 09 viernes 13 de agosto

CL CU LO

Clase 1: La diferencial y sus propiedades.

Clase 2: Antiderivadas, Propiedades de las antiderivadas.

Contenidos

CLASE 1

1.1 La diferencial y linealizacin

Si una funcin es diferenciable en x = a entonces el lmite

limxa

f(x)f(a)xa = f

(a)

existe, esto nos dice que para valores de x cercanos a a

f(x)f(a)xa f

(a)

de esta forma podemos decir que para x cercanos a a se cumple

f(x) f(a) +f (a) (xa)

Esta observacin sugiere una forma de estimar el cambio en los valores de salida que produce una funcin cuando los

valores de entrada varan muy poco, este estimativo depende de la derivada de fe introduce el concepto de diferencial.

1.1.1 La diferencial

Considere el punto P=

a, f(a)

sobre la grfica de una funcin diferenciable f(x). La recta tangente al grfico de fen el

punto Pesta dada por

y = f(a) +f (a) (xa)


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Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Matemtica

como f(a)y f (a) son constantes la funcin p(x) = f(a) +f (a) (xa) es un polinomio de grado 1.Considere un pequeo nmero x y como entrada a+ x (que entonces esta cercano a a) entonces

p(a+ x) = f(a) +f (a) (a+ xa)= f(a) +f (a) x

el cambio en fes por definicin

f f(a+ x)f(a)entonces

f(a+ x) = f(a) + f

Observacin 1.1. Representar grficamente las cantidades anteriores para una mejor comprensin.

Ejemplo 1.1. Calcular f(a+ x)yp(a+ x) cuando f(x) = x3, a = 1, x = 0.1Como a+ x = 1.1 se sigue

f(1.1) = (1.1)3 = 1.331

y

p(1.1) = f(1) +f (1) (0.1)

= 1 + 3 (0.1)

= 1.3

notar que p(a+ x) da una buena aproximacin de f(a+ x).

Las cantidades p(a+ x) = f(a) + f (a) x y f(a+ x) = f(a) + f son parecidas si y solo si f (a) x y f sonparecidas. La expresin f (a) x es llamada diferencial y como veremos es una aproximacin de f.

Definicin 1.1. Seany = f(x) una funcin diferenciable ya un nmero en el dominio de f. Llamaremos la diferencial defen a a la cantidad f (a) x. esta ser denotada por d f o d y.

Observacin 1.2. En la definicin de diferencial hay dos variables independientes a yx.

Mostremos que d f es en efecto una aproximacin de f.

Error de aproximacin = fd f= f(a+ x)f(a) f (a) x

= f(a+ x) f(a)

xf (a)x

si x 0 entoncesf(a+ x)f(a)

x f (a) 0

se sigue que el error en la aproximacin tiende a cero.

Es frecuente utilizar x en lugar de a en la definicin de diferencial, de esta forma se escribe

d f = f (x) x

donde x yx son independientes.

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Note que si se conoce una expresin para la derivada de inmediato conocemos una expresin para la diferencial

d

x3

= 3x2x

d(tanx) = sec2 xx

d(x) = x

por la ltima expresin se acostumbra escribir d x = x y la diferencial de fse escribe

d f = f (x) d x

o

d y = f (x) d x

note que los smbolos d y yd x tienen un significado propio y tiene sentido dividir por d x de aqu surge la notacin

d y

d x= f (x)

para las derivadas en donde estamos viendo d y/d x efectivamente como un cuociente de diferenciales.

Teorema 1.1. Sean f y g funciones diferenciables entonces

1. df+ g

= d f+ d g

2. Si entonces df=d f3. d

f g

=

d f

g +f

d g

4. d

f

g

=

(d f)gf(d g)g2

5. df g= f gd g

Definicin 1.2. La expresin p(x) = f(a) + f (a) (xa) es llamada linealizacin de f(x) en a y representa la mejoraproximacin mediante una recta que se puede hacer para fcerca de a.

Ejemplo 1.2. Encontrar la linealizacin de f(x) = tanx en x = 4

.

Como f

4

= 1 y f

4

= sec2

4

= 2 se tiene que la linealizacin es y = 1 + 2

x

4

Ejemplo 1.3. Aproximar el valor de 3

29

Utilizando la funcin f(x) = 3

x, a = 27 yx = 2 se sigue que una buena aproximacin para3

29 es

3

29 f(27) +f (27) x

3 + 13 (3)2

2

3.0741

el valor aproximado que entrega la calculadora es 3.0723.

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1.1.2 Error relativo

Si se comete un error E al aproximar una cantidad Q el error relativo que se comete en la estimacin es E/Q. Este error es

generalmente expresado en forma de porcentaje y mide que tan grande es el error comparado con la cantidad que se esta

midiendo.

Ejemplo 1.4. El error al medir el lado de un cubo es a lo sumo de 1%. Qu porcentaje de error se obtiene al estimar elvolumen de un cubo?

Sea x la longitud del lado del cubo yx el error que se comete al aproximar x entoncesd xx< 0.01

si d V es el error en el volumen del cubo entonces el error relativo al aproximar el volumen esd VV

pero note que V = x3 entonces d V = 3x2d x se sigued VV=

3x2d x

x3

= 3d xx

< 0.03luego el error relativo es menor al 3%.

CLASE 2

2.1 Antiderivadas o Primitivas de una funcin

Definicin 2.1. Sea f : A una funcin. Una primitiva (o Antiderivada) de f en A es una funcin g : A continua, tal que g(x) = f(x) , salvo finitos puntos.

Ejemplo 2.1. Una primitiva para la funcin f(x) = sen(x) es g(x) = cos(x) . Otra primitiva es h(x) = cos(x) + kcualquiera sea k .En efecto, basta derivar y comprobar: (cos(x) + k) = (sen(x)) = sen(x)

Ejemplo 2.2. Considerar la funcin

f(x) =

2x+ 1 x 0x2 3 x> 0

Una primitiva para f(x) es la funcin

g(x) =

x2 + x+ 1 x 0

x3

33x+ 1 x> 0

otra primitiva es

g2(x) =

x2 + x+ 5 x 0

x3

33x+ 5 x> 0

Observar que g(x) no es derivable en x = 0 , sin embargo nuestra definicin lo permite.

Observacin 2.1. De los ejemplos anteriores vemos que las primitivas no son nicas.

Proposicin 2.1. Sea f :A . Si g es una primitiva de f en A entonces g(x) + C es una primitiva de f .

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Recprocamente, si A es un intervalo y g , h son primitivas de f entonces h(x) = g(x) + C para algn C.

Notacin: Anotamos

f(x) d x = g(x) + C para indicar la familia de todas las primitivas de f

Tabla de PrimitivasLa siguiente tabla lista algunas primitivas elementales

1.-

d x = x+ C

2.-

xa d x =

xa+1

a+ 1a=1

3.-

1

xd x = ln(|x|) + C

4.-

senx d x = cosx+ C

5.-

cosx d x = senx+ C

6.-

tanx d x = ln(|cosx|) + C

7.-

cotx d x = ln(|senx|) + C

8.-

sec2(x) d x = tan(x) + C

9.-

sec(x) tan(x) d x = sec(x) + C

10.-

ex d x = ex + C

11.- 1

1x2 d x = arcsen(x) + C

12.-

1

1 + x2d x = arctan(x) + C

Proposicin 2.2. Sean f , g :A . Se cumple:

(f(x) + g(x)) d x =

f(x) d x +

g(x) d x

f(x) d x =

f(x) d x

Ejemplo 2.3.

sen2(x) d x =

1

2(1 cos(2x)) d x = 1

2

d x

cos(2x) d x

=

1

2

x sen(2x)

2

+ M

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Ejemplo 2.4. 1 + x

1x d x =

1 + x

1x

1 + x

1 + xd x

=

1 + x1x2

d x

=

d x1x2

+

x

1x2d x

=Arcsen(x)

2x2

1x2d x

=Arcsen(x) 1x2 + C

Proposicin 2.3. Sean f , g : A . Si g es una primitiva de f y a= 0 , entonces 1a

g(a x+ b) es una primitiva de

f(a x+ b) .

Ejemplo 2.5.

cos(3x+ 1) d x =

1

3sen(3x+ 1) + C

En efecto

1

3sen(3x+ 1)

=

1

3(sen(3x+ 1)) =

1

3cos(3x+ 1) 3 = cos(3x+ 1) .

Proposicin 2.4. Sea f : A derivable y tal que f(x)= 0 para todo xA. Se cumple:f(x)

f(x)d x = ln(|f(x)|) + C

Ejemplo 2.6.

ex

ex +1d x = ln(ex +1) + C .

En efecto, si derivamos queda:

(ln(ex +1) + C) =1

ex +1 (ex +1) = 1

ex +1ex

2.1.1 Ejercicios propuestos

1.

x1/2 + x

2d x

2.

x+ 1

xd x

3.

cos4 x d x

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CL CU LO

Clase 1: Clculo de Antiderivadas. Sustitucin.

Clase 2: Integracin por partes.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Antiderivadas de funciones definidas por tramos

Calcular la antiderivada de la funcin

f(x) =

x si x13 si 1 < x< 2

2x si x 2

Notar que en el intervalo x 1 la funcin es f(x) = x se sigue que las primitivas de f en el intervalo x 1 son de laforma

F(x) =x2

2+ C1

de manera similar, en el intervalo 1 < x< 2 las primitivas son de la forma

F(x) = 3x+ C2

y en el intervalo x 2 las primitivas son de la forma

F(x) = 2x x2

2+ C3

luego los candidados a primitivas de fson

F(x) =

x2

2+ C1 si x1

3x+ C2 si 1< x< 22x x2

2+ C3 si x 2


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pero recordar que la definicin de primitiva necesitamos que F sea continua luego

limx1

x2

2+ C1

=

1

2+ C1 = lim

x1+(3x+ C2) =3 + C2

y

limx2

(3x+ C2) = 6 + C2 = limx2+

2x x2

2+ C3

= 2 + C3

se sigue

C1 = 7

2+ C2

C3 = 4 + C2

entonces

F(x) =

x2

2 7

2+ C2 si x1

3x+ C2 si 1< x< 22x

x2

2

+ 4 + C2 si x

2

=

x2

2 7

2si x1

3x si 1 < x< 22x x2

2+ 4 si x 2

+ C2

notar que F(x) es continua yF (x) = f(x) salvo una cantidad finita de puntos.

1.1.1 Ejemplos propuestos

1.

(|x1|+ |x3|) d x

2.|x|x2||d x

1.2 Clculo de antiderivas por el mtodo de sustitucin

El mtodo de sustitucin para el clculo de primitivas, es un mtodo basado en la regla de la cadena, nos permite obtener

primitivas de cierto tipo de funciones a travs de primitivas de funciones ms sencillas.

Recordemos la regla de la cadena: La derivada de una composicin del tipo F

g(x)

esta dada por la expresin

Fg(x) = F g(x) g (x)entonces, si buscsemos una primitiva de la forma:

F

g(x)

g (x) d x

sera una funcin con F

g(x)

g (x) por derivada, luego la primitiva es F

g(x)

F

g(x)

g (x) d x = F

g(x)

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Ahora suponga que la expresin a la cual queremos encontrar primitiva es del tipo f

g(x)

g (x) entonces, si somoscapaces de encontrar una funcin F tal que F = fse seguira que

f

g(x)

g (x) = F

g(x)

g (x) =

F

g(x)

en resumen, el encontrar una primitiva de fg(x) g (x) se reduce a encontrar una primitiva de f, digamos F y luego laantiderivada de f

g(x)

g (x) ser F

g(x)

.

Observacin 1.1.

f(x) d x denota las antiderivadas de f

Teorema 1.1. Suponga que g es una funcin derivable con recorrido un intervalo I . Suponga tambin que f es continuaen I entonces

f

g(x)

g (x) d x =

f(u) d u

donde u = g(x).

Dem: Si F es una antiderivada de f entonces Fg(x) es antiderivada de fg(x) g (x) si hacemos la sustitucinu = g(x) entonces

f

g(x)

g (x) d x =

d

d xF

g(x)

d x

= F

g(x)

+ C

= F(u) +C

=

F (u) d u

=

f(u) d u

Observacin 1.2. Desde el punto de vista de las diferencialesf

g(x)

g (x) d x =

f(u)

d u

d xd x =

f(u) d u

Ejemplo 1.1. Calcular x2 cos

x3 + 7

d x

Desarrollo: Ponemos u = x3 + 7 entonces d u = 3x2d x se sigue

d u

3= x2d x

luego x2 cos

x3 + 7

d x =

cos u

3d u

=1

3

cosu d u

=1

3senu + C

=1

3sen

x3 + 7

+ C

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Ejemplo 1.2. Calcular sin

x

x

d x

Desarrollo: Pongamos u =

x entonces d u = 12

xd x luego

2d u =d x

x

se sigue por el teorema de sustitucin quesen

x

x

d x =

senu2d u

=

2sin (u) d u =2cos (u) + C

pero u =

x de donde obtenemos sin

x

x

d x =2cos

x

+ C

Ejemplo 1.3. Calcular x

12x2d x

Desarrollo: Pongamos u(x) = 12x2 entonces d u =4x d x se sigue que

d u4

= x d x

entonces x

12x2d x =

d u4

u

= 1

2 u1/2

+ C

= 12

12x2 + C

Ejemplo 1.4. Calcular 4

(1 + 2x)3d x

Desarrollo: Poniendo u(x) = 1 + 2x se sigue d u = 2d x entonces4

(1 + 2x)3d x =

2

u3d u =

1u2

+ C

= 1(1 + 2x)2

+ C


Calcular

1.-

(lnx)2

xd x 2.-

e2x

1 + exd x 3.-

3x

x2 + 1d x

4.-

cos2 xsinx d x 5.-

x+ 1

x2 + 2x4d x 6.-

sin3 x d x

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1.3 Sustituciones trigonomtricas

Primitivas de funciones que involucran expresiones del tipo

x2a2,

a2 x2 y

x2 + a2 pueden ser calculadas en

algunas ocasiones mediante sustituciones trigonomtricas. La siguiente tabla indica el cambio adecuado en cada caso:

Expresin Sustitucin Identidad

a2 x2 x = asen,

2,

2

1 sen2 = cos2

a2 + x2 x = atan,

2,

2

1 + tan2= sec2

x2 a2 x = asec,

0,

2

, 3

2

sec21 = tan2

Por ejemplo, al considerar

a2 x2 y hacer x = asen con

2,

2

entonces

a2 x2 =

a2 a2 sen2= |a|

1 sen2

= |a|cos2= |a| |cos|pero si

2,

2

entonces cos 0 entonces

a2 x2 = |a|cosEjemplo 1.5. Calcular

9x2x2

d x

Desarrollo: Ponemos x = 3sen entonces d x = 3cosd as9x2x2

d x =

3cos

9sen23cosd

=

cos2sen2

d=

cot2d

=

csc21

d

= cot+ C

para retornar a la variable original notar que sen= x/3 de donde obtenemos cot=

9x2x

as

9x2x2

d x =

9x2x

arcsen

x

3

+ C

Ejemplo 1.6. Calcular d x

x2

x2

+ 4

Ejemplo 1.7. Calcular

d xx24

Observacin 1.3. No siempre que aparecen las expresiones

x2 a2,

a2 x2 y

x2 + a2 las sustituciones anteriores

son el camino ms conveniente, por ejemplo la integralx d xx2 + 1

puede ser calculada rpidamente mediante la sustitucin u = x2 + 1 en lugar de hacer una sustitucin trigonomtrica.

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CLASE 2

2.1 Integracin por partes

Del calculo diferencial sabemos que la derivada de un producto de funciones f(x) g(x) es dada por

f(x) g(x)

= f (x) g(x) + f(x) g (x)

si usamos la notacin de primitivas tenemos

f(x) g(x)

d x =

f (x) g(x) d x+

f(x) g (x) d x

as f (x) g(x) d x = f(x) g(x)

f(x) g (x) d x

esta igualdad es conocida como frmula de integracin por partesy da lugar a unanuevatcnica para encontrarprimitivas

Para calcular una primitiva de la forma k(x) d x usando la frmula anterior se han de encontrar dos funciones fygde manera que k(x) se pueda escribir en la forma f(x) g (x) si esto es posible se tendr

k(x) d x = f(x) g(x)

f(x) g (x) d x

de manera que el clculo de la primitiva se traslada a calcular

f(x) g (x) d x. Para que el mtodo sea eficaz se han de

elegir fyg adecuadamente para que la integral

f(x) g (x) d x sea ms fcil de calcular que la original.

En ocasiones se utiliza una notacin abreviada para expresar esta frmula en trminos de diferenciales, pongamos

u = g(x)

d u = g (x) d x

d v = f (x) d x v = f(x)

se sigue u d v = u v

v d u


xcosx d x

Desarrollo: Se elige f(x) = x y g (x) = cosx de donde obtenemos f (x) = 1 y g(x) = senx, en virtud de la frmula deintegracin por partes se sigue

xcosx d x = xsenx

senx d x

= xsenx (cosx) +C= xsenx+ cosx+ C

observar que la segunda integral es fcil de calcular. el mismo calculo con la otra notacin es

u = x d u = d xd v = cosx d x v = senx

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as u d v = u v

v d u

xcosx d x = xsenxsenx d x= xsenx+ cosx+ C

Observacin 2.1. En el ejemplo anterior puede mostrar que la mala eleccin de las funciones lleva a una integral mascomplicada que la primera.


ln x d x

Desarrollo: Pongamos

u = ln x d u = 1x

d x

d v = d x v = xse sigue

lnx d x = xln x

x1

xd x

= xln x

d x

= xln xx+ C


x2exd x

Desarrollo: Pongamos

u = x2 d u = 2x d xd v = exd x v = ex

se sigue x2exd x = x2ex2

x exd x

podemos volver a aplicar inegracin por partes para calcular

x exd x

u = x d u = d xd v = exd x v = ex

se sigue x exd x = x ex

exd x

= x ex ex + C

se sigue x2exd x = x2ex2 (x ex ex + C)

= x2ex2x ex + 2ex + C

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Ejercicio 2.1. Plantear el problema de encontrar una frmula para calcular para n la primitiva

xnexd x

Ejemplo 2.4. Calcular la integral ex cosx d x

Aplicamos integracin por partes

u = ex d u = exd xd v = cosx d x v = senx

se sigue ex cosx d x = ex senx

ex senx d x

volvemos a aplicar integracin por partes pero a la integral ex senx d xu = ex d u = exd x

d v = senx d x v =cosx

entonces ex senx d x = ex cosx

ex (cosx) d x

= ex cosx+

ex cosx d x

se sigue ex cosx d x = ex senx

ex cosx+

ex cosx d x

entonces

ex cosx d x = ex senx+ ex cosx

ex cosx d x

de donde obtenemos ex cosx d x =

ex senx+ ex cosx

2+ C


1. Calcular

sen(ln x

)d x

2. Use integracin por partes para obtener las frmulas de reduccin

(a)

cosn x d x =

cosn1 xsenx

n+

n1n

cosn2 x d x

(b)

xn cosx d x = xn senxn

xn1 senx d x

(c)

xnexd x = xnexn

xn1exd x

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(d)

(lnx)n d x = x(ln x)nn

(ln x)n1 d x

3. Integracin de las funciones inversas: Suponga que deseamos calcular

f1 (x) d x

hacemos la sustitucin u = f1 (x) entonces f(u) = x y as

d x = f (u) d u

se sigue f1 (x) d x =

u f (u) d u

si adems aplicamos integracin por partes

f1 (x) d x = x f1 (x)f(u) d u

(a) Calcular

arctan x d x

(b) Calcular

arcsen x d x

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CL CU LO

Clase 1: Problemas con valor inicial.

Clase 2: Integral de Riemann. Sumas superior e inferior. Sumas de Riemann. Definicin defuncin integrable.

Contenidos

CLASE

11.1 Problemas con valor inicial

Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que aparecen derivadas de una funcin desconocida

Ejemplo 1.1. d yd x

+ x y =y2

Ejemplo 1.2.

d y

d x

2

d y

d x x y = cos

y x

Como aplicacin del clculo de primitivas y la constante de integracin vamos a resolver algunos problemas asociados

fenmenos fsicos. En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo

d y

d x= f(x) g

y

que son llamadas ecuaciones en variables separables. Note lo siguiente, Si Gy

es una primitiva de 1g(y)

yF(x) es una

primitiva de f(x) entonces de la relacin

Gy

F(x) = C

derivando en forma implcita obtenemos

Gy d y

d x F(x) = 0


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se sigued y

d x= g

y

f(x)

por otro lado, sid y

d x= f(x) gy

desde el punto de vista de las diferencialesd y

gy = f(x) d x

de donde obtenemos d y

gy =

f(x) d x+ C

eso nos da un mtodo para resolver este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1.3. Resolver d yd x

= eyx

Pasamos a diferenciales e integramos eyd y = x d x ey = x2

2+ C se sigue

y (x) = ln

x22

+ C

notar que si y (0) = 1 entonces

1 = ln (C)

de donde obtenemos C = e1 as

y (x) = ln

e1

x2

2

1.1.1 Reacciones qumicas y desintegracin

No es difcil observar en la naturaleza diversas reacciones qumicas entre elementos. Por ejemplo si molculas de cierto

tipo se desintegran por accin del medio, el nmero de molculas que se descomponen en una unidad de tiempo esproporcional al nmero de molculas total presente: Supongamos que en t = 0 se tienen x0 gramos. Si denotamos por

x(t) el nmero de gramos en el instante t entonces d xd t

es el ritmo de variacin de la cantidad. Si k> 0 es la constante de

proporcionalidad entoncesd x

d t= k x

(la cantidad esta decreciendo) Notar quex(t)

x(t)= k

se sigue que x(t)

x(t)d t =

k d t ln |x(t)| = k t + C

se sigue|x(t)| = K ek t

como x(t) 0 obtenemos x(t) = K ek t adems x(0) = x0 de donde obtenemos

X(t) = x0ek t

se llama semivida T al tiempo requerido para que la sustancia se reduzca a la mitad. De esta forma

x0

2= x0e

k t T =ln 2

k

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Ejemplo 1.4. Desintegracin radioactivaEl radio de carbono tiene una semivida de mas o menos 5600 aos. Este se produce en la alta atmsfera por accin

de rayos csmicos sobre el nitrgeno. El radio carbono por oxidacin pasa a dixido de carbono y este se mezcla por el

viento con el dixido de carbono no radioactivo presente.

La proporcin en el carbono ordinario ha alcanzado hace tiempo su estado de equilibrio. Todas las plantas y animales

que comen plantas incorporan esta proporsicn de radio carbono en sus tejidos. Mientras el animal o planta viven estacantidad permanece constante pero al morir deja de absorber radio carbono y el que haba en el momento de morir

comienza a desintegrarse.

As, si un fragmento de madera antigua tiene la mitad de radioactividad que un rbol vivo. Este vivi hace unos 5600

aos. Si solo tiene la cuarta parte podemos determinar el tiempo en que vivi tenemos:

x0

4= x0e

k t0 ln 4 = k t0

como T = ln2k

= 5200 se sigue t0 = 2T = 11200 aos.

Esto da un mtodo para medir la edad de objetos orgnicos.

Ejemplo 1.5. Si el 25% de una sustancia se desintegra en 100 aos. Cul es su vida media?

1.1.2 La ley de enfriamiento de Newton

Consideremos el siguiente modelo simplificado para el fenmeno de variacin de temperatura en un cuerpo. Suponga-

mos que se cumplen las siguientes hiptesis:

En el instante t la temperatura en todo el cuerpo T(t) es la misma.

La temperatura del medio es constante Tm

El flujo de calor a travs de las paredes del cuerpo dada por d Td t

es proporcional a la diferencia entre la temperatura

del cuerpo y la temperatura del medio.

La ltima condicin la podemos formular como

d T

d t= k(T Tm)

donde k > 0 es la constante de proporcionalidad. El signo puede ser explicado de la siguientes forma Si T > Tmentonces el cuerpo se enfra luego la temperatura decrece y as d T

d t< 0. Si T < Tm entonces la temperatura del cuerpo

crece luego d Td t

> 0.

Supongamos adems que la temperatura inicial del cuerpo esta dada por T0 = T(0) entonces tenemos el problema

d T

d t= k(T Tm)

T(0) = T0

con el mtodo anterior podemos encontrar una expresin para T(t), en efecto:

d T

(T Tm)= k d t

se sigue

ln |T Tm| = k t + C

note que T(0) = T0 de donde obtenemos

ln |T0 Tm| = C

as

|T(t) Tm| = |T0 Tm| ek t

MAT022 (Clculo) 3


19/100



los valores absolutos los podemos quitar razonando sobre la temperatura inicial (note por el teorema del valor intermedio,

si la temperatura comienza bajo Tm no la puede superar de lo contrario existira t0 tal que 0 = |T0 Tm| ek t0 .

Nos queda

T(t) = Tm + (T0 Tm) ek t

notar que limt T(t) = Tm

Ejemplo 1.6. Un cuerpo a 100C es puesto en una sala a temperatura constante de 25C. Despus de 5 minutos la tem-peratura del cuerpo es de 90 Cuanto tiempo tarda en estar a 50?

Ejemplo 1.7. Un cuerpo a 100 es puesto en una sala que esta a una temperatura constante desconocida. Si pasados 10minutos el cuerpo esta a 90 y pasado 20 minutos esta a 82 calcular la temperatura de la sala.

1.1.3 Mezclas

Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes.

Considere un recipiente con un dispositivo de agitacin que en todo momento mantiene la mezcla homognea Su-

ponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si al recipiente le agregamos agua con c

gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y del recipiente sacamos agua a la misma velocidad Qucantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t?

Sea x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t, la

variacin de la cantidad de sal es

d x

d t= (Sal que entra) - (Sal que sale)

La sal que entra es a c. la cantidad de sal en el instante t esx(t)

Vluego la cantidad de sal que sale es a

x(t)

V, de esta forma la

ecuacin que modela la variacin de la cantidad de sal es

d x

d t

= a c ax(t)

Ventonces

d x

x c V=

a

Vd t

se sigue

x(t) = c V + K eaV

t

si la cantidad inicial de sal es x(0) = x0 entonces

x(t) = c V + (x0 c V) e a

Vt

Ejemplo 1.8. Suponga que el estanque contiene 100 litros de agua, entra agua con 500 gramos de sal por litro a razn de5 litros por minuto, adems sale agua a la misma velocidad del recipiente. Cuanto tiempo tarda en tener 10 kilos de sal el

recipiente?

1.1.4 Crecimiento de poblaciones

Suponga que para modelar el crecimiento de una poblacin en tiempos cortos utilizamos la siguiente regla "La tasa de

crecimiento de la poblacin es proporcional a la poblacinexistente" entonces el modelo matemtico para este fenmeno

es la ecuacin:

d P

d t= k P

MAT022 (Clculo) 4


20/100



Donde P = P(t) es la poblacin existente en el tiempo t . Resolviendo por integracin directa se tiene

d P

P=

k d t ln(P) = k t + C P(t) = M0e

k t

Donde M0 representa la poblacin inicial.

Ejemplo 1.9. La poblacin de cierta ciudad se duplico de 1900 a 1960. Si la tasa de crecimiento natural de la poblacin esproporcional a la poblacin en cualquier tiempo y la poblacin en 1960 fue de 60000 habitantes, estime la poblacin para

el ao 2010.

Sean P= P(t) la poblacin en el tiempo t . El fenmeno queda modelado por la siguiente ecuacin diferencial con valores

iniciales:d P

d t= k P

en t = 0 (1900) P(0) = 30000

en t = 60 (1960) P(60) = 60000

Resolviendo como arriba:

P(t) = 30000 2t/60

Para determinar la poblacin en 2010, se debe evaluar en t = 110

P(110) = 30000 2110/60 106907 habts.

Observacin 1.1. Buscar otros ejemplos que puedan resolverse directamente a travs del clculo de primitivas.

CLASE 2

2.1 La integral definida

Observacin2.1. Vamos a introducir el concepto de funcin Riemann integrable a travs de la integral superior e inferior,es muy importante en un primer curso de clculo integral establecer la interpretacin grfica de estas cantidades por las

dificultades que presentan los conceptos de supremo e nfimo.

Definicin 2.1. Sea [a,b] un intervalo cerrado. Diremos que = {x0, x1, . . . ,xn} es una particin de [a,b] si se cumple

a = x0 < x1 < x2 < < xn1 < xn = b

Observacin 2.2. Notar que tiene n+ 1 elementos y determina n subintervalos de [a,b] de la forma [xi1, xi].

usaremos la notacin xi = xi xi1 y llamaremos norma de la particin al nmero

= max{xi : i = 1,2,..., n}

Ejemplo 2.1. Particin aritmtica y geomtrica de un intervalo [a,b]

Sea f : [a,b] una funcin acotada y = {x0, x1, . . . ,xn} es una particin de [a,b]. Para i = 1,. . . , n denotaremos

por

mi = inf

f(x) : x [xi1, xi]

Mi = sup

f(x) : x [xi1, xi]

(Como [a,b] =y fes acotada se sigue que para cada i el conjunto

f(x) : x [xi1, xi]

es no vaco y acotado, por ende

existen su nfimo y supremo).

MAT022 (Clculo) 5


21/100



Definicin 2.2. Si = {x0, x1, . . . ,xn} es particin de [a,b] se define la suma superior de fasociada a la particin comoel nmero

Sf,

=

ni=1

Mixi

de manera similar se define la suma inferior de fasociada a la particin como el nmero

sf,

=

ni=1

mixi

y = f(x)

a x1 xk1 xk xn1 b

y = f(x)

a x1 xk1 xk xn1 b

Observacin 2.3. Representar grficamente las cantidades anteriores para una funcin positiva.

Proposicin 2.1. Para cada particin de[a,b] se cumple sf,

S

f,

En efecto, para cada i se cumple mi Mi. Se sigue

mixi Mixi

ni=1

mixi

ni=1

Mixi

Si es una particin de [a,b] y agregamos otro punto de [a,b] a la particin, digamos xi01 < x < xi0 , entonces

formamos una particicin

del mismo intervalo que tiene la propiedad

adems

sf,

s

f,

y

Sf,

S

f,

Observacin2.4. Mostrar con ayuda de dibujos y enfocarsesolo en el intervalo que se agreg un punto. Si xi01 < x < xi0entonces

mi0 mi0

= inf

f(x) : x

xi01, x

mi0 mi0

= inf

f(x) : x

x,xi0

as

mi0

xi0 xi01

= mi0

xi0 x + x xi01

= mi0

xi0 x

+ mi0

x xi01

mi0

xi0 x

+ mi0

x xi01

de manera similar se muestra la otra propiedad.

Corolario 2.1. Si1 2 entonces

sf, 1

s

f, 2

Sf, 2

S

f, 1

MAT022 (Clculo) 6


22/100



Observacin 2.5. Agregar los puntos uno a la vez.

Corolario 2.2. Si1 y2 son dos particiones arbitrarias de[a,b] entonces

m(b a) s

f, 1

S

f, 2

M(b a)

Tomar la particin = 1 2 para la desigualdad

sf, 1

s

f,

S

f,

S

f, 2

Definicin 2.3. Llamaremos integral inferior de fen el intervalo [a,b] al nmero real

ba

f(x) d x = sup

sf,

: particiones de [a,b]

de manera similar se define la integral superior de fen el intervalo [a,b] como el nmero

b

a

f(x) d x = infSf, : particiones de [a,b]

Observacin 2.6. Notar que los resultados anteriores garantizan la existencia de tales nmeros, adems podemos decir

ba

f(x) d x

ba

f(x) d x

Definicin 2.4. Diremos que fes Riemann integrable si se cumple

ba

f(x) d x =b

af(x) d x

y en tal caso escribiremos ba

f(x) d x

para el nmero en comn.

Ejemplo 2.2. Las funciones constantes son integrables.

Ejemplo 2.3. La funcin

f(x) = 0 x [0, 1]

1 x [0, 1]

no es integrable.

Teorema 2.1. Considere una sucesin de particionesn de un intervalo[a,b] tales quelimn n = 0 y

limn

Sf, n

s

f, n

= 0

Entonces f es integrable en[a,b] ms an

limn

Sf, n

= lim

nsf, n

=

ba

f(x) d x

MAT022 (Clculo) 7


23/100



En efecto, para todo n se cumplira

sf, n

ba

f(x) d x

ba

f(x) d x Sf, n

entonces

0

ba

f(x) d x

ba

f(x) d x Sf, n

s

f, n

de donde obtenemos lo deseado al tomar el lmite.

Ejemplo 2.4. f(x) = x es integrable en [a,b] adems

ba

x d x =b2

2

a2

2

En efecto Considere las particiones aritmticas de [a,b]

n =

xi = a+ ib an

: i = 1,2,..., n

entonces como ex es creciente se sigue que

mi = inf{x : x [xi1,xi]} = xi1

Mi = sup {x : x [xi1, xi]} = xi

entonces

sf, n

=

ni=1

xi1

b a

n

=b a

n

n

i=1

a+ (i 1)

b a

n

=

b a

n

a n+

(n 1) n

2

b a

n

=

b a

n

1

2(a b+ a n+ b n)

= (b a)2

2n+

b2 a2

2

se sigue

limn

sf, n

=

b2 a2

2

De manera similar

Sf, n

=

ni=1

xi

b a

n

=

b a

n

ni=1

a+ i

b a

n

=

b a

n

b a

2+

a+ b

2n

=(b a)2

2n+

b2 a2

2

MAT022 (Clculo) 8


24/100



de donde obtenemos

limn

Sf, n

=

b2 a2

2

se sigue que

b

a x d x =

b2 a2

2

Observacin 2.7. Relacionar el clculo anterior con el rea de un tringulo.

Definicin 2.5. Sea f : [a, b] acotada y una par-ticin del intervalo [a, b] . Una Suma de Riemann para la

funcin f respecto de la particin es una suma finita de

la forma

S(f, , i) =

nk=1

f(k)(xk xk1)

donde los i [xi1 , xi] .

Observacin 2.8. Cuando las funcin considerada es continua las sumas superiores e inferiores corresponden a sumasde Riemann.

Escribiremos

lim0

Sf, ,i = Lpara denotar que para todo > 0 existe un > 0 tal que si es una particin con


25/100



Observacin 2.9. En los libros de clculo se acostumbra a definir la integral de la siguiente forma: Sea f : [a, b] acotada. Diremos que f es integrable Riemann si

lim0

S(f, , i) = lim0

rk=1

f(i)(tk tk1)

existe y no depende del tipo de particiones n de los i escogidos. En tal caso se denota

lim0

S(f, , i) =

ba

f(x) d x

(Decir que ambas definiciones son equivalentes)

Ejercicio 2.1 (Desafio para los alumnos). Muestre que f(x) = ex es integrable en cada intervalo [a,b] ms an, muestreque

b

a

exd x = eb ea

Ind: Utilizar particiones aritmticas.

MAT022 (Clculo) 10


26/100


Semana 4: Lunes 30 de agosto viernes 03 de septiembre

CL CU LO

Clase 1: Propiedades de la integral. Criterio de Integrabilidad (continua implica integrable)

Clase 2: Integral indefinida. Teorema Fundamental del Clculo.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Propiedades de la Integral definida

Propiedades 1.1. Sean f, g : [a, b] acotadas e integrables. Se cumple:

1. f g es integrable ademsb

a

(f(x) g(x)) d x =b

a

f(x) d x +

ba

g(x) d x

2. Si es un real, entonces f es integrable y

ba

f(x) d x =

ba

f(x) d x

3. Si f(x) 0 , entonces b

a

f(x) d x 0

4. Si f(x) g(x) para todo x [a, b] , salvo quizs en un conjunto finito de puntos, entoncesba

f(x) d x b

a

g(x) d x

5. |f(x)| es integrable y se cumple: b

a

f(x) d x

b

a

|f(x)|d x


27/100



6. Si m f(x) M , salvo quizs un conjunto finito de puntos, entonces

m(ba) b

a

f(x) d x M(ba)

Observacin1.1. Demostrar algunas de las propiedades anteriores mediante limites de sumas de Riemann: Por ejemplo:Si f : [a, b] es acotada e integrable entonces

lim0

Sf,,i

=

ba

f(x) d x

notar que si

Sf,,i

=

nk=1

f(k) xk

entonces

S

f,,i

=

n

k=1f(k) xk =

n

k=1f(k) xk =S

f,,i

se sigue

lim0

Sf,,i

= lim0

Sf,,i

= lim

0Sf,,i

=

ba

f(x) d x

pero

lim0

Sf,,i

=

ba

f(x) d x

se sigue ba

f(x) d x =

ba

f(x) d x

Ejemplo 1.1. Muestre que 0.5

1/2

1/2

d x1x24x2 0.6

Ejemplo 1.2. Sin calcular las integrales decidir cual es mayor:

1.-

10

x d x

10

1 + x2 d x 2.-

10

sen2 x d x

10

senx d x

Proposicin 1.1 (Aditividad). Sea f : [a, b] acotada eintegrable. Para todo c [a, b] , f es integrable en los inter-valos [a, c] y [c, b] , adems se cumple:

ba

f(x) d x =

ca

f(x) d x +

bc

f(x) d x

vale tambin el recproco, es decir, si f es integrable en los

intervalos [a, c] y [c, b] para algn c [a, b] entonces f :[a, b] es integrable y vale la igualdad anterior.

ca

f(x)d x bc

f(x)d x

MAT022 (Clculo) 2


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Definicin 1.1. Sea f : [a, b] acotada e integrable. definimos

1.

aa

f(x) d x = 0

2.b

a

f(x) d x = a

b

f(x) d x

Proposicin 1.2. Sea f : [a, b] acotada e integrable. Dados , , [a, b] cualesquiera y sin importar el ordenentre ellos. Se cumple:

f(x) d x =

f(x) d x +

f(x) d x

Ejemplo 1.3. Suponga que 11

f(x) d x = 5,

41

f(x) d x =2 y11

h(x) d x = 7

1.

1

4f(x) d x =?

2.

1

1

2f(x)3h(x)d xEjemplo 1.4. Calcular

40

2[x]d x donde [x] denota la parte entera de x.

1.2 Criterios de Integrabilidad

Teorema 1.1. Sea f : [a, b] montona entonces f es integrable en [a, b] .Dem: Supongamos que f : [a, b] es creciente yn es la particin aritmtica de [a,b] entonces

Sf,n =n

k=1

Mkxk =

n

k=1

f(xk) xk =ba

n n

k=1

f(xk)

sf,n

=

nk=1

mkxk =

nk=1

f(xk1) xk =

ba

n

nk=1

f(xk1)

se sigue

Sf,n

sf,n=

ban

nk=1

f(xk)f(xk1)

=

ba

n

f(b) f(a)

se sigue que

limn

Sf,n

sf,n= 0as fes integrable.

MAT022 (Clculo) 3


29/100



Observacin 1.2. Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en clculo son montonas por intervalos, por lapropiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prcticamente todas las funciones ele-

mentales como ex, ln x,arctanx,etc.

Con un poco ms de esfuerzo es posible mostrar:Teorema 1.2. Sea f : [a, b] continua, entonces f es integrable en [a, b] .

Este criterio se puede extender a funciones continuas a pedazos, entendiendo por estas, funciones acotadas con un

nmero finito de discontinuidades.

Teorema 1.3. Sea f : [a, b] continua a pedazos y sean x0 , x1 , . . . xn los puntos de discontinuidad de f , entonces f esintegrable en [a, b] y se cumple:

ba

f(x) d x =

x0a

f(x) d x +

x1x0

f(x) d x + +b

xn

f(x) d x

Definicin 1.2. Sea f: [a,b] integrable. se define el valor promedio de fen [a,b] por

AVf

=1

ba

ba

f(x) d x

Observacin 1.3. Se puede mostrar con sumas de Riemann que este nombre es razonable.

Teorema 1.4. Si f : [a, b] continua, entonces existe c en [a, b] . tal que

f(c) =AVf

=1

ba

ba

f(x) d x

Dem:

minf1

bab

a

f(x) d x

maxf

el resultado se sigue del teorema de valores intermedios.

Ejemplo 1.5. Si f : [a, b] continua y ba

f(x) d x = 0

entonces existe c [a,b] tal que f(c) = 0.

Ejemplo 1.6. Calcular 40

(2)[x] d x

donde [x] denota la parte entera de x.

Ejemplo 1.7. Muestre que ba

exd x = eb ea

Desarrollo: Sean n las particiones aritmticas de [a,b], sabemos que f(x) = ex es integrable por ser montonacreciente, se sigue que para cualquier eleccin de puntos k [xk1, xk] se cumple

limn0

nk=1

exp (k) xk =

ba

exd x

MAT022 (Clculo) 4


30/100



por el teorema del valor medio

exp (xk)exp (xk1)xkxk1

= exp (k) para algn k ]xk1, xk[

se sigue que

exp (xk)exp (xk1) = exp (k) xkpara esas elecciones especiales de k se sigue

nk=1

exp (k) xk =

nk=1

exp (xk)exp (xk1)

= eb ea

pero limn0

nk=1

exp (k) xk =

ba

exd x as

ba

exd x = eb ea

Ejemplo 1.8. Qu valores de a yb maximizan el valor de

ba

xx2d x?

CLASE 2

2.1 Teorema Fundamental del Clculo

Definicin 2.1. Sea f : [a, b] acotada, integrable. Llamaremos la Integral Indefinida de fa la funcin : [a, b] definida como

(x) =

xa

f(t) d t

Proposicin 2.1. Sea f : [a, b] acotada, integrable, entonces es continua.El Teorema ms importante del clculo diferencial e integral es el siguiente:

Teorema 2.1 (Teorema Fundamental del Clculo). Sea f : [a, b] continua, entonces es derivable y(x) = f(x)

Ejemplo 2.1. x0

3

1 + t5 d t

=

3

1 + x5

Ejemplo 2.2. Sea f(x) =

x1

x3 arctan(t2) d t . Calcule f(1) .

Solucin:

f(x) =x

1x

3

arctan(t2

) d t = x3 x

1arctan(t

2

) d t

f(x) =

x3x

1

arctan(t2) d t

= 3x2

x1

arctan(t2) d t + x3 arctan(x2)

f(x) = 6x

x1

arctan(t2) d t + 3x2 arctan(x2) + 3x2 arctan(x2) +x3 11 + x4

2x

Evaluando en x = 1 . f(1) =3

2+ 1

MAT022 (Clculo) 5


31/100



Usando regla de la cadena, la segunda parte del teorema anterior tiene una versin ms fuerte.

Proposicin 2.2. Si f(x) es continua y g(x) , h(x) son derivables en el intervalo [a, b] entonces se cumple:

1. g(x)

a

f(t) d t

= f(g(x))

g(x)

2.

g(x)h(x)

f(t) d t

= f(g(x)) g(x) f(h(x)) h(x)

Ejemplo 2.3.

cosxx3

sen

t2

d t

= sen

cos2 x

(senx) sen

x63x2

= sen(x) sen

cos2 x3x2 sen

x6

Ejemplo 2.4. Si x3

+ 2x =x

3

0f(t) d t . Calcular f(3) .

Solucin: Derivando directamente de la expresin x3 + 2x =

x30

f(t) d t se tiene:

3x2 + 2 = f(x3) 3x2

Y evaluando en x =3

3 :

f(3) =3

3

9 + 2

3 3

9

Teorema 2.2 (Regla de Barrows). Sea f : [a, b] continua y g una primitiva de f en [a, b] , entonces

b

a

f(x) d x = g(b) g(a)

Ejemplo 2.5. 40

2x+ 1 d x =

2

3(2x+ 1)3/2

1

2

4

0

=1

3(271) = 26

3

Ejemplo 2.6. 20

d x

x22x+ 2 =2

0

d x

(x1)2 + 1 = arctan(x1)

2

0

= arctan(1) arctan(1) = 2

Ejemplo 2.7.

/20

sen2x1 + sen2 x

d x =/2

0

2sen(x) cos(x)1 + sen2 x

d x = ln

1 + sen2(x)

/2

0

= ln(2)

Teorema 2.3 (Sustitucin en integrales definidas). Sea f : [a,b] continua y sea : [c, d] [a,b] con derivadacontinua y tal que:(c) = a, (d) = b . Entonces:

ba

f(x) d x =

dc

f((x)) (x) d x

MAT022 (Clculo) 6


32/100



Ejemplo 2.8. Evale la siguiente integral definidas:

20

x ex2

d x

Al considerar el cambio de variable u = x2 conx [0, 2] d u = 2x d x, x = 0 u = 0, x = 1u = 4.Luego:

20

x ex2

d x = 40

1

2eu d u

=1

2eu4

0

=1

2(e4 e0)

=1

2(e41)

Ejercicio 2.1. Sea f: [a, a] una funcin continua (aqu a+):

1. Muestre que si fes impar entonces a

a

f(x) d x = 0.

Cul es el valor de

cos2xsen (5x) d x?

2. Muestre que si fes par entonces

aa

f(x) d x = 2

a0

f(x) d x.

Teorema 2.4. Sean f, g : [a,b] diferenciables y tales que f y g son integrables en[a,b], entonces:ba

f(x)g(x)d x = f(x) g(x)b

ab

a

f(x)g(x)d x


0

xcos(x) d x

Sean f, g : [0,] tales que,

f(x) = x, g(x) = cos(x) d x. Entonces f(x) = d x, yg(x) = sen(x)

Luego, integrando por partes:0

xcos(x) d x = xsen(x)

0

0

sen(x)d x

= xsen(x)

0

+ cos(x)

0

= (sen()0sen(0)) + (cos()cos(0)) =2

Ejemplo 2.10. Sea ffuncin con primera derivada continua en [0, 1]. Si se sabe que f(0) = 4 y f(2) = 9, calcule:10

f2(2x) f(2x) d x

Ejemplo 2.11. Sabiendo que

10

ln(x+ 1)

x2 + 1d x =

8ln2, calcule:

10

arctanx

x+ 1d x

MAT022 (Clculo) 7


33/100


Semana 5: Lunes 06 viernes 10 de septiembre

CL CU LO

Clase 1: rea bajo la curva, reas entre curvas.

Clase 2: Ejercicios certamen 1 mat022.

Contenidos

CLASE 1

1.1 reas entre curvas

Sea funa funcin no negativa y acotada definida en el intervalo [a,b] . Queremos definir el rea de regiones del tipo:

=x,y : x [a,b] ,y 0,f(x)Las condiciones bsicas que debera cumplir nuestra definicin son:

i. UVrea(U) rea(V)

ii. Si rea(UV) = 0 entonces rea(UV) = rea(U) + rea(V)

iii. Si Res un rectngulo de lados a ybentonces rea(R) = ab

Si designamos el rea de por Abaf

entonces las propiedades anteriores se traducen como.

1. Si x [a,b] ,0 f(x) g(x) entonces AbafAbag

2. c [a,b] se cumple Abaf

=Acag

+Abcg

3. Aba (c) = c(ba)


34/100



Probaremos que si fes una funcin Riemannintegrable, entonces la nica definicin posible de rea de la regin esla integral de Riemann. En efecto, sea ={x0,x1, . . . ,xn} es una particin de [a,b] entonces por la propiedad 2 se cumple

Aba

f

=

ni=1

Axixi1

f

pero usando las notaciones usuales

mixi Axixi1fMixi

se sigue quesf,AbafSf,

como la particin es arbitraria obtenemos

ba

f(x)dxAbaf

ba

f(x)dx

de esta forma, si la funcin es Riemann integrable entonces b

af(x)dx =

b

af(x)dx, se sigue que la nica definicin

posible de rea que cumple con las propiedades bsicas consideradas es

Aba

f

=

ba

f(x)dx

Obs.: Mostrar que el rea encerrada por dos funciones arbitrarias y = f(x) ,y = g(x) entre las rectas x= a yx= b esdada por

A=

ba

f(x) g(x)dx

1.2 Ejercicios

Ejercicio 1.1. Hallar el rea de la regin encerrada por las curvas y= 10xx2yy= 3x 8.

5 5 10

15

10

5

5

10

15

20

25

0

Figura 1

Solucin: Graficamos ambas funciones. Busquemoslos puntos de interseccin de ambas grficas, es decir,resolvamos el sistema

y = 10xx2

y = 3x 8

esto nos lleva a la ecuacin 3x 8 = 10x x2 la quetiene por solucin x= 8,x= 1. Note que en x= 0 laecuacin

y= 10xx2da y = 0 yy = 3x 8 entrega y = 8, por continuidadse sigue que

10xx2 3x 8 en [1,8]

as podemos calcular el rea

81

10xx2 (3x 8)dx=8

1

10xx2 (3x 8)

dx=

243

2

MAT022 (Clculo) 2


35/100



Ejercicio 1.2. Encontrar el rea encerrada por las curvas y2 = xyy= 3x 10.

Solucin: Buscamos las intersecciones de las curvas, es de-cir, resolvemos el sistema

y2 = x

y = 3x 10

en este caso es ms conveniente resolver para y, se sigue deestas ecuaciones que

y2 =y+ 10

3

que tiene soluciones y = 2,y = 53

, valores que correspon-

den a x = 4 yx = 259

respectivamente. Los grfico de estascurvas corresponden a una parbola y una recta pero la pa-rbola tiene directriz perpendicular al eje X, es ms conve-niente mirar el problema como si el eje Y fuera el eje X, nos

queda

A =

25/3

y2 y+ 10

3

d y

=

25/3

y+ 10

3

y2

d y=

1331

162

1 1 2 3 4

2

1

1

2

0

Figura 2

Ejercicio 1.3. Hallar el rea Aencerrada por las curvas y= sinx, y= cosxentre las rectas x= 0 yx=.

0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1.5

1

0.5

0.5

1

0

Figura 3

Solucin: Buscamos las intersecciones de las curvasy = sinx, y = cosx en el intervalo [0,], esto nos lleva

a buscar las soluciones de sinx= cosx, as x=/4. En0,

4

cosx sinx y en

4,

se cumple sinx cosxas

0

|sinx cosx|dx =/4

0

(cosx sinx)dx

+

/4

(sinx cosx)dx

=

2 1

+

2 + 1

= 2

2

Ejercicio 1.4. Hallar el rea encerrada entre las curvas 8y= x3y

8y= 2x3 +x2 2x

MAT022 (Clculo) 3


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Solucin: Buscamos los puntos de interseccin de las cur-vas, es decir, resolvemos el sistema

8y = x3

8y = 2x3 +x2 2x

entonces

2x3 +x2 2x= x3 x3 +x2 2x= 0 x(x 1) (x+ 2) = 0

se sigue que las curvas intersectan en x = 0,x = 1,x = 2,adems de forma analtica podemos determinar cual de lascurvas se encuentra arriba y en que intervalo

2.5

2

1.5

1

0.5 0.5 1

1.5

1

0.5

0.5

0

Figura 4

En efecto2x3 +x2

2x

x3

x(x

1) (x+ 2)

0

luego utilizando la tabla

2 0 1x 0 + + + + +

x 1 0 + +x+ 2 0 + + + + + + + +

x(x1) (x+ 2) 0 + + 0 0 + +

obtenemos que en el intervalo [2,1] se cumple

2x

3

+x2

2x

8 x

3

8

si y solo si x [2, 0], as1

2

2x3 +x2 2x8

x3

8

dx =0

2

2x3 +x2 2x

8 x

3

8

dx

+

10

x3

8

2x3 +x2 2x8

dx

=1

3+

5

96=

37

96

Ejercicio 1.5. Hallar el rea encerrada por las curvas

xy = 9x+

y = 4

MAT022 (Clculo) 4


37/100



2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

0

Figura 5

Solucin: Como consideramos la curvax+

y = 4,

estamos asumiendo x 0, y 0. De la curva x+y= 4 obtenemos

y= 4 x

2

busquemos el punto de interseccin de las curvas

x+

y2

= 16

x+y+ 2xy = 16

de la primera obtenemos

x+y+ 6 = 16

se siguex+y= 10

luego tenemos el sistema

xy = 9

x+y = 10

multiplicando la segunda por x se siguex2 +xy= 10xyxy= 9

entoncesx2 10x+ 9 = 0 = x= 1 x= 9

los puntos de interseccin son (1,9) y(9,1). Se sigue que el rea es

9

14

x2

9

xdx= 88

3 18ln3

Ejercicio 1.6. Encontrar el rea encerrada por la curva cerrada y2 = x2 x4.

Solucin: Note que y2 0 entonces x2 x4 0

x

2 1 x

2 0 esto es x [1,1]. De la ecuaciny2 = x2 x4

obtenemos las funciones

y= x2 x4 = |x|

1 x2

1 0.5 0.5 1

1

0.5

0.5

1

Figura 6

MAT022 (Clculo) 5


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se sigue que el rea esta dada por

11

|x|

1 x2

|x|

1 x2

dx

= 21

1|x|1 x2dx

= 4

10

x

1 x2 = 43

CLASE 2

Ejercitacin para el certamen 1 Mat022

MAT022 (Clculo) 6


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CL CU LO

Clase 1: Certamen 1 mat022, no hay clases.

Clase 2: Funcin logaritmo y exponencial.

Contenidos

CLASE 1

Primer certamen de mat022 segundo semestre de 2010 mdulos 11-12.

CLASE 2

2.1 Funciones Trascendentales

2.1.1 Funcin Logartmica

Definicin 2.1. La funcin f(t) =1

t, con t> 0 es continua, por lo tanto para cualquier x positivo existe el nmero:

x1

1t

d t

Se llama Funcin Logartmica (natural) a la funcin: ln : ]0,[, definida por

ln(x) =

x1

d t

t

Teorema 2.1. Si a,b + y r entonces


40/100



1. ln(1) = 0

2. ln

1

a

= ln(a)

3. ln(ab) = ln(a) + ln(b)

4. ln

a

b

= ln(a) ln(b)

5. ln(ar) = rln(a)

La funcin f(x) = ln(x) es continua en todo su dominio (+), adems:

Si x> 1, entonces ln(x)> 0.

Si 0< x< 1, entonces ln(x) =

x1

1

td t =

1x

1

td t< 0

Si x = 1, entonces ln(1) =

1

1

1

t d t = 0, luego ln(x) = 0 x = 1.

Notemos tambin que f(x) =1

x, x+ de donde obtenemos que es estrictamente creciente. Es cncava y cumple

ln(x)+ para x+. ln(x) para x 0+.

Observacin 2.1. Graficar y = lnx con la informacin obtenida.

2.1.2 La Funcin Exponencial

El principal objetivo de esta clase es definir las funciones logaritmicasy exponenciales que fueron presentadas en mat021.

Aqu las podemos definir mediante integrales.

Definicin 2.2. Se llama Funcin Exponencial a la funcin: e x p : +, definida por e x p(x) = ln1(x). Es decir,y = e x p(x) x = ln(y).

Entonces:

e x p(ln(x)) = x; si x> 0

ln(e x p(x)) = x; si x

En particular, se tiene que:

e x p(ln(1)) = 1 e x p(0) = 1

e x p(ln(e)) = e e x p(1) = e

Teorema 2.2. Si ex p(x) :+, entonces:

1. e x p es continua y creciente en.

2 . e x p (0) = 1

3 . e x p (x+y) = e x p(x)e x p(y),x,y

MAT022 (Clculo) 2


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4 . e x p (xy) =e x p(x)

e x p(y), x,y

5 . e x p (r x) = (e x p(x))r, x, r

6. x : e x p(x) = ex

7. Es derivable yd(e x p(x))

d x=

d(ex)

d x= ex

8. Es convexa.

9 . e x p (x)+ para x+

10. exp(x) 0+ para x

Observacin 2.2. Graficar con la informacin obtenida.

Definicin 2.3. Sea a> 0, x. Definimos ax por:

ax

= e x p(xln(a)) = exln(a))

Teorema 2.3. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. ax> 0 y continua, x

2. a0 = 1

3.d(ax)

d x= ax ln(a)

4. ax es creciente si a> 1, decreciente si a< 1, igual a1 si a = 1

2.1.3 Ejercicios Propuestos

1. Demuestre que para x>1 yx= 0 se cumple:

x

1 + x< ln (x+ 1)< x

2. Muestre que y = exp (x) es la nica funcin derivable que cumple y(x) =y (x) con y (0) = 1.

3. Calcular para a> 1 a1

ln x d x+

ln a0

eyd y

y dar una interpretacin geomtrica de esta cantidad.

4. Muestre que si 0< a 0

0 si t = 0

es C ().

MAT022 (Clculo) 3


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CL CU LO

Clase 1: Feriado.

Clase 2: Funciones Trig. Inversas, derivadas y antiderivadas. Funciones hiperblicas. Pro-piedades. Derivadas e integrales de funciones hiperblicas.

Contenidos

CLASE

1Feriado fiestas patrias

CLASE 2

Antes de comenzar con las funciones hiperblicas es conveniente un pequeo recuerdo de las funciones trigonomtricas

inversas, las restricciones que debemos hacer en los dominios y codominios para poder invertir, las derivadas y algunas

primitivas relacionadas, por ejemplo, las primitivas de la forma

d x1x2

,

d x1+x2

etc. Esto hace que los clculos que se

realizarn en la clase parezcan ms naturales.

2.1 Funciones hiperblicasLas funciones hiperblicas son definidas tomando combinaciones de dos funciones exponenciales ex yex. Estas fun-ciones simplifican muchas expresiones matemticas que aparecen en las aplicaciones, por ejemplo, en la tensin en un

cable suspendido de sus extremos, movimiento de ondas en slidos elsticos, etc. Daremos una breve introduccin a las

funciones hiperblicas, sus grficos, sus derivadas y antiderivadas.


43/100



Definicin 2.1. Se definen las funciones hiperblicas como:

Seno Hiperblico es la funcin sinh : definida por: sinh(x) = ex ex

2

Coseno Hiperblico es la funcin cosh : definida por:

cosh(x) =ex + ex

2

Tangente Hiperblicaes la funcin tanh : definida por:

tanh(x) =sinh(x)

cosh (x)=

ex exex + ex

Cotangente Hiperblicaes la funcin coth :{0} definida por:

coth(x) =cosh(x)

sinh(x)=

ex + ex

exex

Secante Hiperblicaes la funcin sech : definida por:

sech(x) =1

cosh(x)=

2

ex + ex

Cosecante Hiperblicaes la funcin cosech :{0} definida por:

cosech(x) =1

cosh(x)=

2

exex

Observacin 2.1. Las funciones seno y coseno hiperblico corresponden a las partes impar y par respectivamente de la

funcin exponencial.

2.1.1 Propiedades

Los nombres de estas funciones estn relacionados con los nombres de las funciones trigonomtricas ya que tienen com-

portamientos parecidos por ejemplo:

1. sinh es una funcin impar

2. cosh es una funcin par

3. x, cosh2(x) sinh2(x) = 1

4. x, 1 tanh2(x) = sech2(x)

5. x,y, cosh(x+y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y).

6. x,y, sinh(x+y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y).

7. x, sinh (2x) = 2sinhxcosh x

8. x, cosh (2x) = cosh2 x+ sinh2 x

MAT022 (Clculo) 2


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2.1.2 Derivadas e integrales

Las seis funciones hiperblicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables exyex luego son deriva-bles en todo punto donde ellas estn definidas.

Derivadas Integrales

d

d x(sinhx) = coshx

sinhx d x = coshx+ C

d

d x(coshx) = sinhx

coshx d x = sinhx+ C

d

d x(tanh x) = sech2 x

sech2 x d x = tanhx+ C

d

d x(coth x) = cosech2 x

cosech2 x d x = coth x+ C

d

d x(sechx) = sechxtanhx

sechxtanhx d x = sechx+ C

d

d x(cosechx) = cosechxcoth x

cosechxcoth x d x = cosechx+ C

Ejemplo 2.1. Calcular las siguientes derivadas e integrales:

1.d

d t

tanh

1 + t2

= sech2

1 + t2

t

1 + t2

2.

coth (5x) d x =

cosh5xsinh5x

d x = 15

ln |sinh5x|+ C

3.

10

sinh2 x d x =

10

cosh2x1

2

d x =

sinh2

4 1

2

4.

ln20

ex sinh x d x = 34 1

2ln 2

2.1.3 Grficas

Con las propiedades anteriores y las tcnicas de mat021 podemos graficar las funciones hiperblicas.Por ejemplo: d

d x(sinhx) = coshx> 0 para todo x , se sigue que sinh x es creciente, adems d2

d x2(sinhx) = sinh x y

note que

ex ex 0 ex ex

xx x 0

luego la funcin es convexa para x 0 y concava para x< 0. Tambin podemos calcular

limx+

sinhx = limx+

ex ex

2

= +

MAT022 (Clculo) 3


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y

limx

sinhx = limx

ex ex

2

=

no hay asntotas para este grfico. Se sigue:

3 2 1 1 2

3

2

1

1

2

0

f(x) = sinh(x)

De manera similar podemos graficar:

3 2 1 1 2

1

1

2

3

0

f(x) = cosh(x)

3 2 1 1 2

2

1

1

0

f(x) = tanh(x)

Dar como ejercicios los otros grficos.

MAT022 (Clculo) 4


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2.1.4 Funciones Hiperblicas Inversas

Las funciones hiperblicas inversas son muy tiles en el clculo de primitivas.

Recordemos quey = sinhxes inyectiva(es estrictamente creciente) y es sobreyectiva(es continua conlimx sinh x =

y limx

+

sinhx = +

) se sigue que posee una inversa que adems es derivable por el teorema de la funcin inversa.

No todas las funciones hiperblicas son biyectivas en algunos casos debemos restringir el dominio y codominio para

poder definir la inversa.

Definicin 2.2. Las inversas de las funciones hiperblicas se definen como:

arcsenh(x) = sinh1(x) = ln(x+

x2 + 1), x

arccosh(x) = cosh1(x) = ln(x+

x2 1), x 1

arctanh(x) = tanh1(x) = 12

ln

1 + x

1x

, |x|< 1

arccoth(x) = coth1(x) = tanh1( 1x

)

arcsech(x) = sech1(x) = cosh1 1x

0< x 1

arccosech(x) = cosech1(x) = sinh1

1x

Observacin 2.2. Mostrar como se obtiene por ejemplo la definicin de arcsenh(x) = sinh1(x) = ln(x+

x2 + 1)

Ejercicio 2.1. Calcular arctanh

12

2.1.5 Derivadas de las Funciones Hiperblicas Inversas

Funcin Derivada arcsenh(x) 1

1+x2, x

arccosh(x) 1x21

, x> 1

arctanh(x)1

1x2 , |x|< 1

arccoth(x) 11x2 , |x|> 1

arcsech(x)1

x

1x2, 0


47/100



Ejemplo 2.2. Muestre qued

d xarccosh(x) =

1x2 1

, x> 1

Desarrollo: Por el teorema de la funcin inversa si consideramos f(x) = coshx entonces

f1

(x) =

1

ff1 (x)

=

1

sinh

cosh1 x

=1

cosh2

cosh1 x1

=1

x2 1

recordar que cosh2 x sinh2 x = 1 de donde sinh x =

cosh2 x1.

Teorema 2.1. En relacin a las funciones hiperblicas inversas tenemos:

1a2 + x2

d x = arcsenh

x

a

+ C, a> 0

1x2 a2

d x = arccosh

x

a

+ C, x> a> 0

1

a2 x2 d x =

1

aarctanh

x

a

+ C si x 2 < a2

1

aarccoth

xa

+ C si x 2 > a2

1

x

a2x2d x = 1

aarcsech

x

a

+ C, 0< x< a

1

x

a2 + x2d x = 1

aarccosech

x

a

+ C, x= 0 y a> 0

Ejemplo 2.3. Calcular la integral 10

2d x3 + 4x2

Desarrollo: Hacemos u = 2x entonces d u = 2d x y

10

2d x3 + 4x2

=

20

d u3 + u2

=

20

d u32

+ u2

= arcsinh

2

3

MAT022 (Clculo) 6


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Semana 8: Lunes 27 de Septiembre viernes 01 de Octubre

CL CU LO

Clase 1: Tcnicas de Integracin: Fracciones Parciales.

Clase 2: Sustitucin tangente del ngulo medio.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Integracin por fracciones parciales

El cociente de dos polinomios se denomina funcin racional. La derivacin de una funcin racional conduce a una nueva

funcin racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integracin de una

funcin racional puede conducirnos a funciones que no son racionales por ejemplo:

d x

x= ln |x|+ C y

d x

1 + x2= arctan (x) + C

ahora daremos un mtodo para calcular la integral de una funcin racional cualquiera y se ver que el resultado puede

expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arcotangentes y logaritmos.

La idea del mtodo es descomponer la funcin racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de

tcnicas ya conocidas (de debe realizar la descomposicin en fracciones parciales de la funcin racional considerada).

Supongamos entonces quef(x)

g(x)es una funcin racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda

f(x)

g(x)= Q(x) +

R(x)

g(x)

donde Q es un polinomio (el cociente de la divisin) yR(x) es el resto de la divisin (note que el grado del resto es menor

que el del divisor g (x)), de esta forma toda funcin racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una

funcin racional propia.


49/100



Del curso de complementos de MAT021 sabemos que toda funcin racional propia se puede descomponer en suma

de fracciones de la formaA

x+k (1)

y

Bx+ Ca x2 + b x+ c

m (2)donde k, m, a,b, c,A, B,C,, son constates y

b2 4a c< 0

en (2) lo que nos dice que es una cuadrtica sin races reales.

Luego el calculo de la integral de una funcin racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios (que ya sabe-

mos calcular) y a clculo de integrales de la forma Ad x

x+k

y (Bx+ C) d x

a x2 + bx+ cm

aprenderemos a calcular este tipo de integrales.

Ejemplo 1.1. Consideremos la integral (5x+ 3) d x

x2 + 2x3

La funcin racional5x+ 3

x2 + 2x3

es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fraccionesparciales, para ello necesitamos conocer las races reales del denominador, como

x2 + 2x3 = (x+ 3) (x1)

se sigue que5x+ 3

x2 + 2x3=

5x+ 3

(x+ 3) (x1)

luego por el mtodo de las fracciones parciales, existen constantes AyB tales que

5x+ 3

x2 + 2x3=

A

x+ 3+

B

x1

para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los mtodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados

de la expresin por el denominador5x+ 3 =A(x1) + B(x+ 3)

evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos

8 =A0 + 4B= B= 2

evaluando la igualdad en x = 3 se obtiene

15 + 3 =A(4) + B0 =A= 3

se sigue5x+ 3

x2 + 2x3=

3

x+ 3+

2

x1

MAT022 (Clculo) 2


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luego

5x+ 3

x2 + 2x3

d x =

3

x+ 3+

2

x1

d x

= 3 d x

x+ 3 + 2 d x

x1

= 3 ln |x+ 3|+ 2 ln |x1|+ C

el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas races reales

como el grado del polinomio y todas las races distintas.

Ejercicios propuestos

1. Calcular x

x2 1 (x2)d x

2. Calcular 2x+ 1

(3x1) (2x+ 5)d x

3. Calcular 2x2 + x1

2x3 + x2 5x+ 2

Veamos ahora que pasa si la races se repiten:

Ejemplo 1.2. Calcular x2 + 2x+ 3

d x

(x1) (x+ 1)2

notemos que es una funcin racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposicin en fracciones

parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego

x2 + 2x+ 3

(x1) (x+ 1)2

=A

x1+

B

x+ 1+

C

(x+ 1)2

desarrollando encontramos

A=3

2, B=

1

2yC = 1

se sigue

x2 + 2x+ 3

d x

(x1) (x+ 1)2

=3

2

d x

x1

1

2

d x

x+ 1

d x

(x+ 1)2

=3

2ln |x1|

1

2ln |x+ 1|+

1

x+ 1+ C

MAT022 (Clculo) 3


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Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo

Ad x

x+k

para k = 1 la integral es Ad x

x+=

A

lnx+ + C

para k> 1 podemos efectuar un cambio de variables u =x+ eso implica d u =d x de donde

Ad x

x+k = A

d u

uk=

A

u(k+1)

(k+ 1)+ C

=A

x+

(k+1)(k + 1)

+ C


3d x(2x1)3

Desarrollo: Podemos hacer la sustitucin u = 2x1 = d u = 2d x se sigue

3d x

(2x1)3= 3

d u

2u3=

3

2

u3d u

=3

2

u3+1

3 + 1+ C

= 3

4u2 + C

= 3

4 (2x1)2+ C

Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo

(Bx+ C) d x

a x2 + bx+ cm

con b2 4a c< 0.

Ejemplo 1.4. Calcular x d x

x2 + 2x+ 2

note que en este caso, es denominador no posee races reales = 48 = 4< 0 y

x

x2 + 2x+ 2

ya es una fraccin parcial (no tenemos que aplicar la tcnica de descomposicin), para calcular este tipo de integrales

intentamos llevarla a una de la forma d v

v2 + 1

que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador,

x

x2 + 2x+ 2=

x

(x+ 1)2 + 1

MAT022 (Clculo) 4


52/100



luego x d x

(x+ 1)2 + 1=

x d x

x2 + 2x+ 2

si hacemos el cambio de variable

u = x+ 1 = d u = d x

luego

x d x

(x+ 1)2 + 1=

(u1) d u

u2 + 1

=

u d u

u2 + 1

d u

u2 + 1

note que la primera es calculable por una simple sustitucin v = u2 + 1 (esto es general para las integrales del tipo

x d x

x2 +2

m

las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 +2 = d v2

= x d x) y la segunda es conocida,

luego u d u

u2 + 1

d u

u2 + 1=

1

2lnu2 + 1arctan (u) + C

volvemos a la variable original

x d x

(x+ 1)2 + 1=

1

2ln(x+ 1)2 + 1arctan(x+ 1) + C

Toda integral de la forma

(Bx+ C) d xa x2 + bx+ c

m

la podemos escribir como B x d x

a x2 + b x+ cm + C

d x

a x2 + b x+ cm

pero

B x d x

a x2 + b x+ cm

=

B2a

(2a x+ bb) d xa x2 + b x+ c

m

=

B

2a (2a x+ b) d x

a x2 + b x+ c

m

Bb

2a d x

a x2 + b x+ c

m

de esta forma (Bx+ C) d x

a x2 + b x+ cm = B2a

(2a x+ b) d x

a x2 + b x+ cm +

C

Bb

2a

d x

a x2 + b x+ cm

la integral (2a x+ b) d x

a x2 + bx+ cm

se puede calcular mediante la sustitucin u = a x2+b x+c =d u = (2a x+ b) d x, por lo que no presenta mayor dificultad.

MAT022 (Clculo) 5


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El problema ahora, es calcular integrales del tipod x

a x2 + bx+ cm

completemos cuadrado de binomio

a x2 + bx+ c = a

x2 + 2

b

2ax+

b2

4a2

b2

4a+ c

= a

x+

b

2a

2+

4a cb2

4a

note que b2 4a c< 0 = 4a cb2 > 0 obtenemosd x

a x2 + b x+ cm =

d x

a

x+ b2a

2+ 4acb

2

4a

m

=1

am

d x

x+ b

2a2

+4a cb2

4a2 m

hagamos el cambio de variables

x+b

2a=

4a cb2

4a2v

entonces

d x =

4a cb2

4a2d v

se sigue

1

am

d x

x+ b2a

2+ 4a cb

2

4a2

m = 1am 4a cb2

4a2d v

4a cb2

4a2

v2 +

4a cb2

4a2

m

= 1am4a cb2

4a2

4a cb2

4a2

m d vv2 + 1

mde donde obtenemos que el clculo de las integrales de la forma

d xa x2 + bx+ c

mpuede ser reducido al clculo de integrales de la forma

d vv2 + 1

my estas pueden ser enfrentadas por sustituciones trigonomtricas o integracin por partes.

Ejemplo 1.5. Calcular d x

x2 + 12

Desarrollo: Pongamos x = tan ud x = sec2 u d u entoncesd x

x2 + 12 =

sec2 u d u

sec4 u=

cos2 u d u =

1

2u +

1

4sin2u + C

volvemos a la variable originalx

2

x2 + 1 + 1

2arctan x+ C

MAT022 (Clculo) 6


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Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una funcin racional cualquiera (aunque nuestros

clculos se ven limitados por tener que encontrar las races que nos permitan hacer la descomposicin en fracciones

parciales)


a)

(2x+ 3) d x

(x2) (x+ 5)b)

x d x

(x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)c)

x d x

x3 3x+ 2

d)

x2 d x

x4 + 1e)

d x

(x+ 1)

x2 + 12

(x+ 2)2f)

x4 d x

x2 + 32

g)

(x+ 1) d x

x2 12 h)

d x

x4 2x3i)

x2 d x

x2 + 2x+ 22

CLASE 2

2.1 Sustitucin tangente del ngulo medio

Para integrales de la forma R(sin(x) ,cos (x)) d x

donde Res una funcin racional, utilizamos la sustitucin

t = tan

x

2

de ella obtenemos lo siguiente:

2arctant = x2d t

1 + t2

= d x

adems

sin

x

2

=

t1 + t2

cos

x

2

=

11 + t2

entonces

sin(x) = 2sin

x

2

cos

x

2

=2t

1 + t2

y

cos (x) = cos2

x

2

sin2

x

2

=1 t2

1 + t2

as R(sin(x) ,cos (x)) d x =

R

2t

1 + t2,

1 t2

1 + t2

2d t

1 + t2

MAT022 (Clculo) 7


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Ejemplo 2.1. Calcular la integral d x

1 + sinx+ cosx

Usamos la sustitucin t = tan

x

2 entonces

d x

1 + sinx+ cosx=

2d t1+t2

1 + 2t1+t2

+ 1t2

1+t2

=

d t

1 + t= ln |t + 1|+ C

= ln

tan

x

2

+ 1

+ C


1.

d x3 + 2cos x

2.

d x

sin(x) + cosx

3.

cosx d x

1 + cosx

Observacin 2.1. Si queda tiempo calcular integrales con todas las tcnicas de integracin que tenemos hasta ahora,relacionar tambin con integrales definidas.

MAT022 (Clculo) 8


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Semana 9: Lunes 04 viernes 08 de Octubre

CL CU LO

Clase 1: Integrales Impropias de primera especie. La integral p. Criterios de convergencia. Clase 2: Integrales Impropias de segunda especie. Criterios de convergencia. Integrales

impropias de tercera especie.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Integrales impropias de primera especie. Criterios de convergencia.

En la definicin de la integral definida ba

f(x) d x

se exigi que f: [a,b] fuese acotada. Por su parte el teorema fundamental del clculo que hemos usado para calcularintegrales requiere que fseacontinuaen [a,b]. Esta semana analizaremos aquellas integralesdonde integracin se realiza

en un intervalo no acotado o la funcin tiene una o varias discontinuidades infinitas en el intervalo de integracin. Tales

integrales son llamadas integrales impropias.

Para tener unaidea de como evaluar unaintegralimpropiaconsideremos el siguienteejemplo: Suponga quequeremos

integrar la funcin f: [1, +[

, x f(x) = 1/x2

. En cada intervalo de la forma [1,b] la funcin f(x) = 1/x

2

es continuay por tanto integrable, adems por el teorema fundamental tenemosb1

d x

x2= 1

x

b

1

= 1 1b

es razonable entonces considerar +1

d x

x2= lim

b+

b1

d x

x2

= limb+

1 1

b

= 1


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Definicin 1.1 (Integrales impropias de primera especie). Definimos las integrales sobre intervalos no acotados de lasiguiente forma:

1. Si f: [a, +[ es integrable en cada intervalo [a,b], se define

+a

f(x) d x = limb+

ba

f(x) d x

2. Si f: ],b] es integrable en cada intervalo [a,b], se defineb

f(x) d x = lima

ba

f(x) d x

3. Si f: es en cada intervalo [a,b] entonces+

f(x) d x =

c

f(x) d x+

+c

f(x) d x

donde c es cualquier nmero real.En los dos primeros casos decimos que la integral converge si el lmite existe (en tal caso el valor lo denotamos por+

af(x) d x y

b f(x) d x respectivamente); en caso contrario, la integral diverge. En el tercer caso decimos que la

integral de la izquierda converge si las dos integrales impropias de la derecha convergen en forma independiente.

Observacin 1.1. Analizar casos del tipo

+

x3d x.

1.1.1 Ejemplos Propuestos

Analizar la convergencia de las integrales impropias:

(a)+

1

d xx

(b)+

0

exd x (c)+

0

d xx2 + 1

(d)

+1

(1x) e2xd x (e)+

ex

1 + e2xd x (f)

+

arctanx d x

1 + x2

1.1.2 Integrales p

Llamaremos integrales p no acotadas a las integrales del tipo

+

1

d x

xp

Notemos que

b1

d x

xp=

x1p

1p

b1

si p= 1

lnx|b1 si p = 1

=

b1p

1p +1

p1 si p= 1

lnb si p = 1

MAT022 (Clculo) 2


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de esta forma +1

d x

xp= lim

b+

b1

d x

xp=

1

p1 si p> 1

+ si p 1

de donde concluimos que la integral +1

d x

xp

converge si y solo si p> 1.

Ejemplo 1.1.

+1

d xx

diverge y

+1

d x

x3/2converge.

Observacin 1.2. Notar que Suponga que f: [a, +[ es continua. Si c> a entonces por aditividad

ba

f(x) d x =c

a

f(x) d x+b

c

f(x) d x

note que por la continuidad de f,c

af(x) d x es un nmero bien definido, de esta forma

+a

f(x) d x converge si y solo si

+c

f(x) d x converge

(los valores a los cuales convergen pueden ser distintos).

Ejemplo 1.2.

+

1/3

d x

x2 converge puesto que

+

1

d x

x2 converge.

Proposicin 1.1. Sean f, g : [a, +[funciones continuas:

1. Si = 0, entonces+

af(x) d x converge si y solo si

+a

f(x) d x converge, ms an

+a

f(x) d x =

+a

f(x) d x

2. Si

+

af(x) d x y

+

ag(x) d x convergen entonces

+

a f(x) + g(x)

d x converge, ms an

+a

f(x) + g(x)

d x =

+a

f(x) d x+

+a

g(x) d x

Observacin 1.3. Proposiciones similares se pueden enunciar respecto a los otros tipos de integrales de primera especie.

MAT022 (Clculo) 3


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1.1.3 Teoremas de convergencia para funciones positivas

Suponga que en la integral impropia que estemos considerando es difcil encontrar una primitiva para calcular el valor de

la integral Como podemos argumentar que el lmite existe sin la necesidad de calcular la integral?

Para responder esta pregunta necesitamos antes el siguiente

Lema 1.1. Si F : [a, +[ es una funcin creciente entonceslimx F(x) existe olimx F(x) = +. El primer caso seda si y solo si F es acotada superiormente.

Observacin 1.4. La demostracin se basa en analizar los casos que F es acotada y no acotada, en el primer caso

limx

F(x) = sup{F(x) : x [a, +[}

Teorema 1.1 (De comparacin). Sean f, g : [a, +[funciones continuas en[a, +[ tales que para x c se cumple0 f(x) g(x)

entonces:

1. Si

+a

g(x) d x converge entonces

+a

f(x) d x converge.

2. Si+

af(x) d x diverge entonces

+a

g(x) dx diverge.

Demostracin. Sabemos que+

af(x) d x converge si y solo si

+c

f(x) d x converge, lo mismo para g. Si definimos

F(x) =

xc

f(t) d t yG(x) =

xc

g(t) d t

entonces por el teorema fundamental del clculo ambas funciones son derivables y con derivada positiva (por hiptesis

0 f(x) g(x) para x c). Si+

ag(x) d x converge

+c

g(t) d t converge y as

G(x) =x

cg (t) d t

+

cg(t) d t = M 0

entonces+

ag(x) d x converge si y solo si

+a

f(x) dx converge.

Dem.: limx

f(x)

g(x)

= L> 0 entonces existe M> 0 tal que si x

M

L

2 f(x)

g(x) 3L

2

se sigue para xML

2g (x) f(x) g(x) 3L

2ahora aplicar el teorema de comparacin.

Observacin 1.5. Podemos utilizar tambin estos criterios adaptados con los otros tipos de integrales impropias de pri-mera especie. Tambin observar que mediante cambios de variables todos los problemas se pueden reducir al anlisis de

integrales del tipo+

af(x) d x.

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1. Qu sucede si limx+f(x)

g(x)= 0 en el criterio del cuociente?

2. Decida si las siguientes integrales son o n convergentes

(a)

+

1

d xx4 + 4

2(b)

+1

x3 + 3x2 + 1

x6 + 4x3 + 2sin xd x

(c)

+0

ex2

d x

(d)

+0

x3exd x

(e) +

1

1 + ex

1+

e

x +e

2xd x

3. Para que valores 0 es convergente la integral impropia+

0

x d x

1 + x + x2

CLASE 2

2.1 Integrales impropias de segunda y tercera especie. Criterios de convergencia.

En la clase anterior enfrentamos el problema de integrales sobre intervalos no acotados ahora veremos que sucede si lafuncin es no acotada y cuando tenemos ambos comportamientos.

Definicin 2.1 (integral impropia de segunda especie (funciones no acotadas)). Sea f: [a,b[ unafuncin no acotada,diremos que fes integrable en [a,b[ si:

(i) x ]a,b[, fes integrable en [a, x]

(ii) El lmite limxb

xa

f(x) d x existe.

2.1.1 Observaciones

1. Cuando limxb

xa

f(x) d x existe, se dice que la integral impropia converge y si no existe decimos que la integral

impropia diverge.

2. Denotamos por

limxb

xa

f(x) d x =

ba

f(x) d x

MAT022 (Clculo) 5


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3. La primera condicin exige facotada en [a,x] para x ]a,b[ se sigue que este tipo de funciones tiene una asntotavertical en x = b.

4. En forma anloga se definen las integrales impropias siguientes:

(i)b

a+f(x) d x = lim

xa+b

x

d x

(ii)

ba+

f(x) d x =

ca+

f(x) d x+

bc

f(x) d x para c ]a,b[

Esta ltima converge si y solo si las dos integrales de la derecha convergen por separado.

Ejemplo 2.1. Estudiar la convergencia de las integrales

1

0+

d x

xp

para p> 0.

Desarrollo: 10+

d x

xp= lim

x0+

1x

d t

tp

= limx0+

t1p

1p

1x

si p= 1

ln t|1x si p = 1

=

11p si 0< p< 1

+ si p 1

de esta forma

10+

d x

xpconverge si y solo si p< 1.

Definicin 2.2. Las integrales impropias de tercera especie o mixtas son aquellas integrales que combinan las de primery segunda especie.

Ejemplo 2.2. La integra

+0

d xx+ x4

es una integral impropia mixta. La funcin tiene asntota vertical en x = 0 y el intervalo de integracin es infinito. La

convergencia de esta integral depender de la convergencia de las integrales impropias

10+

d xx+ x4

y

+1

d

Resumen Cálculo Mate022

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