Resumen: Campo y potencial Electrostático en el...
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Resumen:Campo y potencial
Electrostáticoen el vacío
Física II curso 2019-20
Juan Luis Domenech Garret
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Campo y Potencial Electrostático
Introducción: Carga eléctrica y Fuerza de Coulomb.
Campo Eléctrico creado por una carga puntual.
Principio de superposición: distribución discreta de cargas.
Teorema de Gauss del campo eléctrico.
Líneas de campo eléctrico.
Principio de superposición : distribución continua de cargas.
Juan Luis Domenech Garret
Trabajo y energía potencial electrostática.
Potencial electrostático.
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Campo y Potencial Electrostático
Potencial creado por una carga puntual.
Unidades del campo eléctrico y del potencial.
Líneas de potencial.
Superposición de potenciales : distribución discreta.
Superposición de potenciales : distribución continua.
Energía de configuración: Caso discreto y continuo.
Apéndice I: Energía Electrostática.
Apéndice II: Ecuaciones de Poisson y Laplace.
Juan Luis Domenech Garret
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Introducción: carga eléctrica
Hasta el advenimiento de las teorías de estructura microscópica de la materia, la carga eléctrica se asocia a los dos «estados de electrización » conocidos:
Estado A: (entre otros) el resultante de frotar una varilla de vidrio Estado B: (entre otros) el resultante de frotar una varilla de ámbar
Al estado «A» por convenio se le asocia la carga «positiva»Al estado «B» por convenio se le asocia la carga «negativa»
Estructura microscópica de la materia: el elemento fundamental portador de carga es el electrón cuya carga (negativa) es e=-1.6 10 -19 Coulomb (C)
• La materia ordinaria es eléctricamente neutra; los átomos contienen tantos electrones para equilibrar las cargas positivas de los núcleos.
La materia cargada negativamente posee un exceso de electrones respecto de la neutra.
La materia cargada positivamente posee un defecto de electrones respecto de la neutra.
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Carga eléctrica: distribuciones discreta y continua
2Q
NQjQ
1Q
1 21
...N
Total N ii
Q Q Q Q Q=
= + + + =∑
Elementode volumen «dVol»
que contiene una carga dq
Volumencargado
dVol
dVol
Superficiecargada
Elementode superficie «dS»
que contiene una carga dq
Elementode superficie «dl»
que contiene una carga dq
Líneacargada L
Carga total de un conjunto de N cargasdiscretas
dVol
Vol S
dS
dL
Carga total de un continuo de cargas
iQ
dq
dq dq
dq
Totaldistribución
Q dq= =∫• «suma» de un continuo de cargas
Vol
dqd
ρ =
Densidad volumétricade carga
dqdS
σ =
Densidad superficialde carga
dqdL
λ =
Densidad linealde carga
VV
ololdρ= ∫
SdSσ= ∫
LdLλ= ∫
elementos= ∫Volumen
Superficie
Línea
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Campo Electrostático
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Fuerza entre cargas eléctricas (de Coulomb):
1 22 r
Q QF K ur
= ±
0
14
Kπ ε
=
K: Constante de Coulombε0 : Permitividad dieléctrica
del vacíoε0= 8.85 . 10-12 N-1 C2 m-2
2 1r r r= − 1Q
1r
2r
2Qrr r u=
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Campo Electrostático
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Fuerza entre cargas :
1 22
Q QF Kr
=
Módulo
Dirección: La recta que une ambas cargas (recta soporte de ur).
Punto de aplicación: apoyada en la carga sobre la que se ejerce la fuerza.
Si ambas cargas son de igual signo
Si ambas cargas son de signo contrario
1Q+ 2Q+ 21F
1Q+2Q−21F
Sentido:
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Campo Electrostático
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Superposición de fuerzas:En un sistema de cargas la fuerza total que se ejerce sobre cada carga es la resultante de las fuerzas que el resto de cargas ejerce sobre ella
4Q+2Q−
1Q+3Q−
AQ−1AF
2AF
3AF
4AF
Cuando el número de cargas es grande El estudio de las fuerzas entre cargas
resulta poco cómodo y artificioso!
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Fuerzas a distancia y Campo Eléctrico:
Las fuerzas entre cargas eléctricas son fuerzas a distancia
Choque con la intuición de fuerzas de contacto de la mecánica
Se recurre a una nueva interpretación del fenómeno introduciendo una NUEVA MAGNITUD FÍSICA llamada CAMPO ELÉCTRICO.
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Campo Eléctrico creado por una carga puntual:
Supongamos una región (R) del espacio aislado del resto,
en la cual somos capaces de quitar y poner cargas
eléctricas a voluntad. “p” es un punto cualquiera de la
región.
R Supongamos además que fuera de R
disponemos de una carga eléctrica “Q” y
de otra carga “q” «sonda » de igual
signo que Q ; de manera que el valor
de q es MUCHO MENOR que Q (q 0).
1º)
pr p
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Campo Eléctrico creado por una carga puntual:
Supongamos ahora que, estando R vacía, introducimos la
carga «sonda», q, en el punto p: SOBRE q NO NOTAREMOS
EFECTO ALGUNO
Rp
q2º- a)
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Campo Eléctrico (CE) creado por una carga puntual:
R p
q2º- b)
Q
rur
Ahora previamente introducimos la carga Q en R; y
posteriormente introducimos q en el punto p. VEREMOS
QUE q EXPERIMENTA UNA FUERZA DE REPULSIÓN, , F
F
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Campo Eléctrico creado por una carga puntual:
La diferencia entre las situaciones 2-a y 2-b es que en R está
presente o no la carga eléctrica Q; y en ambos casos situamos
en p la carga q , creando diferente resultado sobre ella.
La situación se interpreta diciendo que: LA INCLUSIÓN DE Q EN LA REGIÓN R ALTERA LAS PROPIEDADES DE R DE MANERA QUE Q CREA EN TODA LA REGIÓN R UN CAMPO ELÉCTRICO, ; de manera que al poner q en el punto p,La carga q experimenta una fuerza de repulsión DEBIDA AL CAMPO ELÉCTRICO creado por Q en ese punto. Ese campo eléctrico existe en p aunque no pongamos carga alguna en ese punto.
E
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Campo Eléctrico creado por una carga puntual:
¿Qué forma tiene el campo eléctrico?
2 rp
QF q E E k ur
= ⇒ =
E
es un vector F
es un vector q es un escalar
2p
QF q k q Er
= =
E
Parte independiente de q ≡
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Campo Electrostático
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Campo Eléctrico creado por una carga puntual:
2
p
QE Kr
=
Módulo
Dirección: La recta que une el punto p con la carga (recta soporte de ).
Punto de aplicación: apoyado en el punto p donde se representa el campo
ru
p
p
pE
Si la carga es de signo positivoQ+
Sentido:Q− pE
Si la carga es de signo negativo
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Campo Electrostático
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Campo Eléctrico creado por una carga puntual:
Líneas de campo eléctrico: convenio
Líneas de fuerza:
representación de la
intensidad del campo en
cada punto, siendo el CE
tangente a la línea en cada
punto
+ E
E
-0E∇⋅ >
Las cargas positivas son fuente del campo eléctrico; la negativas son sumidero del campo eléctrico.
0E∇⋅ <
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Principio de Superposiciónel campo eléctrico total creado por un conjuntode cargas en un punto p es la suma VECTORIAL de los campos creados en p por cada carga por separado.
Principio de Superposición: distribución discreta de cargas
21 1
?N N
iA A Ai Ai
i i Ai
qE E E k ur= =
= ⇒ = =∑ ∑
Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
Dada una distribución de N cargas ¿Cuál es el campo total creado por ellas en el punto A? La carga i-ésima crea en el punto A un campo:
;
1...Ai Ai AiE E u
i N
=
=
El campo total en el punto A creado por las N cargas:
4Q−2Q+
1Q− 3Q+1AE
2AE
3AE
4AE A
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Principio de Superposición: Distribución continua de cargas.
Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
2p p rdq dq
dqE dE k ur∀ ∀
= =∫ ∫
Volumencargado
pr
p
pr
pr
AdE
dVol
dVol
AdE
AdE
dVol
i
Ai
iA AN
qi
Q dqr r
E dE
∀
↔↔
↔
↔∑ ∫
Discreto Continuo
21 1
N Ni
p pi pii i pi
QE E k ur= =
= =∑ ∑ Discreto Continuo
↔
Voldq dρ=
dq dSσ=dq dLλ=
Volumen
Superficie
Línea
dq
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Principio de Superposición: Distribución continua de cargas.
Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
( )3 30
14 | |p p C fdq dq dq
C f
dq dqE dE k R r rR r rπε∀ ∀ ∀
= = = −−∫ ∫ ∫
Volumencargado
C
Cr
R
dVol
CdE
dVol
Voldq dρ=
dq dSσ=dq dLλ=
Volumen
Superficie
Línea
dq
fr
C fR r r= −
:Cr
Punto Campo
:fr Punto Fuente
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Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una esfera
Juan Luis Domenech Garret
2 20
14r r
p p
Q QE k u ur rπε
= =
Q E
E dS
E
E
; / /r dS Ed u SdS=
Calculamos el flujo, , del campo* eléctrico que crea una carga puntual en un punto situado a una distancia . Construimos una esfera de radio igual a esa distancia con la carga centrada en la esfera y el campo atraviesa la superficie S que la encierra.
QΦ
pr
* flujo del campo : ver tema anterior
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Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una esfera
Juan Luis Domenech Garret
( ) ( )r rS SE dS E u dS u
∀ ∀Φ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫
/ /dS E ⇒
SE dS
∀Φ = =∫ 2
0
14 p
QErπε
=
Estamos integrando en la superficie de la esfera, toda ella a la misma distancia rp de la carga, luego el campo eléctrico sobre la superficie es constante.
( )
20
22
0 0
14
1 44
Sp
pp
QE dS E S Sr
Q Qrr
πε
ππε ε
∀Φ = = =
Φ = =
⇒∫
0
encerrada por SQε
Φ =
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Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria.
Juan Luis Domenech Garret
Q
E
E
E
E Calculamos el flujo, , del campo
eléctrico que crea una carga puntual a través de una superficie cerrada Sarbitraria, que encierra la carga, en un punto situado a una distancia sobre la superficie.
QΦ
pr
ϕEdS
dS
dS
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Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria.
Juan Luis Domenech Garret
20 0
2
2
0
14
cos
1 coscos4 4
S S
S Sp p
p
QE dS E dS
Q Q dSdSr
E
r
rπεϕ
ϕϕπε πε
∀ ∀
∀ ∀
⇒ =Φ = ⋅ =
Φ
= =
∫ ∫
∫ ∫
Elemento de ángulo sólido dΩ
+
cosdS ϕ
dΩ
E
Sd
ϕ
ϕ
Elemento de Ángulo sólido
dS
r
Q
2
cos 4S S
p
dSdr
ϕ π∀ ∀
Ω = =∫ ∫
0
encerrada por SQε
Φ =
Propiedad del ángulo sólido
(estereoradianes)
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Campo ElectrostáticoTeorema de Gauss: Flujo del campo eléctrico a través de una esfera
Juan Luis Domenech Garret
0
encerrada por S
S
QE dS
ε∀Φ = ⋅ =∫
Independientemente de la forma en que se elija S!!
Uso del Teorema de Gauss: útil para hallar el campo en distribuciones
de carga con alto grado de simetría en los que el flujo se pueda
calcular fácilmente de manera que queda una ecuación con el
campo como incógnita : si existe esa simetría normalmente nos
quedará una ecuación del tipo:
«E» x «Superficie» = ; que permite hallar el campo.
0
encerrada por SQε
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Campo ElectrostáticoTrabajo y energía potencial electrostática:
Juan Luis Domenech Garret
Supongamos una una carga +Q en el punto P y que ponemos una carga-sonda «q» en el punto A.Calculamos el trabajo que hay que hacer cuando llevamos q desde A hasta B a través del camino de la figura. En todo momento tendremos que vencer la fuerza repulsiva originada por el campo eléctrico creado por Q.
B f pr r r= −
A i pr r r= −
A
B
PQ+
prfr
q+ir
dl
B B
A A
W F dl F q E q E dl= − ⋅ ⇒ = = − ⋅∫ ∫
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Campo ElectrostáticoTrabajo y energía potencial electrostática:
Juan Luis Domenech Garret
Como el campo electrostático es conservativo (ver los ejemplos vistos en el tema de operadores), el trabajo realizado solo depende de la posición inicial y final, independiente del camino elegido. Calculamos el trabajo que hay que hacer cuando llevamos q desde A hasta B a través del camino definido por la direccion radial ur. Demostrémoslo con un camino cerrado que encierra una superficie S :
( ) 0; 0
S
W F dl F q E q E dl Stokes
q E dS E conservativo
= − ⋅ ⇒ = = − ⋅ →
= − ∇× ⋅ = ∇× = =
∫ ∫∫
2 rB A
Q Q QE k u W q k kr r r
⇒ = ⇒ = −
B B
A A
W q E dl q E d r= − ⋅ = − ⋅∫ ∫ El trabajo realizado
desde A hasta B es:
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Campo ElectrostáticoTrabajo y energía potencial electrostática:
Juan Luis Domenech Garret
pqQE kr
=
El trabajo realizado solo depende de la posición inicial y final; con lo que la fuerza electrostática es CONSERVATIVA:
La cantidad es la energía potencial electrostática.
depende de la distancia relativa r de la carga sonda q a la carga Q que origina el campo eléctrico.
Definimos el potencial electrostático, ,como la energía potencial electrostática por unidad de carga q que colocamos a la distancia r de la carga Q que origina el campo.
Potencial creado por una carga puntual
El potencial depende solo de la carga que crea el campo eléctrico.
pE QV kq r
= =
V
0F∇× =
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Campo ElectrostáticoRelación entre campo y potencial electrostático:
Juan Luis Domenech Garret
Como la fuerza electrostática es conservativa; con todo lo visto antes podemos poner:
,B AV V
0
;p
p
F F E
F q E E qV
∇× = ⇒ = −∇
= =
0E
E V
∇× =
= −∇
El campo electrostático es conservativo
( )B AB A
Q QW q k k q V Vr r
= − = −
Si son los potenciales en los puntos B y A ; el trabajo electrostático lo podemos poner en función de la DIFERENCIA DE POTENCIAL entre esos puntos.
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Campo ElectrostáticoUnidades del campo y potencial electrostático:
Juan Luis Domenech Garret
[ ] [ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
; p
p
F q E E q V
E JV Voltq C
F N VoltEq C m
= = = = =
= = =
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Campo ElectrostáticoRelación entre campo y potencial electrostático:
Juan Luis Domenech Garret
1 2,V V
E
1 1( , , ) |SV x y z V=
2 2( , , ) |SV x y z V=2S
1S
2 1V V V∆ = −
; NN u
N NdVE E u V udN
= = −∇ = −
W q V= ∆
• El trabajo necesario para llevar la carga de una a otra superficie es:
Si son los potenciales en las superficies equipotenciales ; se establece una DIFERENCIA DE POTENCIAL entre esas superficies. La dirección de la máxima variación define la dirección del campo eléctrico¿Cuál es trabajo necesario para llevar la carga de una a otra superficie?
1 2;S SV∆
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Campo ElectrostáticoLíneas de Potencial electrostático:
Juan Luis Domenech Garret
Líneas de campo y superficies equipotenciales (contornos azules) creados por:a) Carga eléctrica positivab) Carga eléctrica negativac) Dipolo eléctrico
a) b)
c)
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Potencial Electrostático: distribución discreta de cargas
el potencial total creado por un conjunto de cargas en un punto P es la suma de los potenciales creados en P por cada carga por separado.
Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
( )1 1 0
14
N Nj
P jPj j jP
QV V
rπε= =
±= =∑ ∑
4Q−2Q+
1Q− 3Q+
2Pr3Pr1Pr
4Pr P
SIGNO de la carga
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Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
0
14 | |p pdq dq dq
C f
dq dqV dV kR r rπε∀ ∀ ∀
= = =−∫ ∫ ∫
Volumencargado
P
Cr
R
dVol
PdVdVol
Voldq dρ=
dq dSσ=dq dLλ=
Volumen
Superficie
Línea
dq
fr
C fR r r= −
:Cr
Punto Campo
:fr Punto Fuente
Potencial electrostático: Distribución continua de cargas.
i
Ai
ip P
N
dqi
Q dq
r RV dV
∀
↔
↔↔
↔∑ ∫
Discreto Continuo
Discreto( )
1 1
N Nj
P jPj j iP
qV V k
r= =
±= =∑ ∑
Continuo
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Energía de configuración: distribución discreta de cargas
el potencial total creado por un conjunto de cargas en un punto p es la suma de los potenciales creados en p por cada carga por separado.
1 1 1
1 12 2
N N Nj
e i ji ii i j ji
j i
qU q V q k
r= = =≠
±= =∑ ∑ ∑
Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
4Q−2Q+
1Q− 3Q+
2jr
Dada una distribución de N cargas ¿Cuál es el energía potencial total creado por ellas por el hecho de estar cada una en una posición dada? La carga j-ésima crea en el punto donde está la i-ésima un potencial:
( ); , 1... ;j
jiji
QV k i j N i j
r±
= = ≠
La energía potencialde configuración creado por las N cargas:
3jr1jr
4jr jQ
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Energía de configuración: distribución continua de cargas
Campo Electrostático
Juan Luis Domenech Garret
olVol
1 1 ( ) ( ) dV2 2e dq
U dq V r V rρ∀ ∀
= =∫ ∫
i
Ai
ip P
N
dqi
Q dqr r
V dV
∀
↔↔↔
↔∑ ∫
Discreto Continuo
Discreto
Continuo
Voldq dρ=
dq dSσ=dq dLλ=
Volumen
Superficie
Línea
Volumencargado
prp
dVol
dVol
pdV
dVol
dq
1 1 1
1 12 2
N N Nj
e i ji ii i i j ji
qU q V q k
r= = ≠ =
±= =∑ ∑ ∑
dq
dq
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(1)S Vol
E dS E dVol∀ ∀
Φ = ⋅ = ∇ ⋅∫ ∫
E V→ = −∇
Apéndice I. Ecuación de Poisson y de LaplaceRecordemos que al ser el campo eléctrico un campo vectorial , usando el Teorema de Gauss para la divergencia, visto en el tema de operadores, el flujo del campo lo podemos poner:
Además , usando el Teorema de Gauss para el campo eléctrico , también :
0 0
1 (2)encerrada por S
S Vol
QE dS dVolρ
ε ε∀ ∀Φ = ⋅ = =∫ ∫
donde ρ es la densidad de carga. Igualando los últimos miembros de (1) y (2):
0
1Vol Vol
E dVol dVolρε∀ ∀
∇ ⋅ = ⇒∫ ∫
0
E ρε
∇ ⋅ = Teorema de Gauss
En forma diferencial
Además , como hemos visto que el campo es conservativo:
0 0
( )E E V Vρ ρε ε
∇ ⋅ = → = −∇ →∇⋅ −∇ = ⇒
2
0
V ρε
∇ = − Ecuación
de Poisson
Conociendo la densidad de carga ρ en una región esta ecuación permite calcular el potencial. Cuando en esa región no hay carga , ρ=0 , entonces la ecuación anterior queda:
2 0V∇ =
Ecuación de Laplace Juan Luis Domenech Garret
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Calculamos la energía almacenada en una distribución continua de cargas. Si el volumen que tomamos es lo bastante grande para encerrar a todas las cargas la energia de esa configuración es:
C. Electrostático: ApéndiceII.Energía Electrostática
Juan Luis Domenech Garret
olVol
1 dV (1)2eU Vρ
∀= ∫
0 Eρ ε= ∇ ⋅
Usando el Teorema de Gauss en forma diferencial visto en el apéndice I,
Sustituyendo la densidad de carga en (1) 0olVol
( ) dV (2)2eU E Vε
∀= ∇ ⋅∫
De las propiedades vistas en el tema de operadores:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E V E V E V E V E V E V∇⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ∇ ⇒ ∇⋅ = ∇ ⋅ − ⋅ ∇
Sustituyendo en (2)
0 0ol olVol Vol
( ) dV ( ) dV (3)2 2eU E V E Vε ε
∀ ∀= ∇ ⋅ − ⋅ ∇∫ ∫
A B
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C. Electrostático: ApéndiceII. Energía Electrostática
Juan Luis Domenech Garret
La integral A: Usando el Teorema de la divergencia
22
1 1 1~ ; ~ ; ~ ~E V dS r E V dSr r r
⇒
0 0olVol Vol
( ) dV ( ) dS2 2
E V E Vε ε∀ ∀
∇ ⋅ = ⋅∫ ∫
El campo E, el potencial V, y la superficie S varían con la distancia de la forma, respectivamente :
Luego si hacemos el que: r →∞ La integral A tiende a cero
La integral B: En esta también , luego la integral de volumen se extiende a TODO EL ESPACIO .
• Usando E V= −∇
0 0ol olVol
( ) dV ( ) dV2 2 ESPACIO
E V E Eε ε∀ ∀
− ⋅ ∇ = ⋅ ⇒∫ ∫
20oldV
2e ESPACIOU Eε
∀= ∫
A=0
Luego, sustituyendo en (3)
Energía Electrostática
r →∞