Resumen de Cálculo I
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Resumen de Calculo I
Armin Luer Villagra
21 de marzo de 2006
1. Numeros Reales
1.1. Axioma de Cuerpo
1. a, b ∈ R ⇒ (a+ b) ∈ R,∀a, b ∈ R
2. a+ b = b+ a,∀a, b ∈ R
3. a+ (b+ c) = (a+ b) + c, ∀a, b, c ∈ R
4. 0 + a = a+ 0 = a,∀a ∈ R
5. ∀a ∈ R,∃(−a) ∈ R :a+ (−a) = (−a) + a = 0
6. a, b ∈ R ⇒ a · b ∈ R,∀a, b ∈ R
7. a · b = b · a,∀a, b ∈ R
8. a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R
9. ∃1 ∈ R llamado neutro de la multiplicacion :1 · a = a · 1 = a,∀a ∈ R
10. ∀a ∈ R ∃a−1 llamado inverso multiplicativode a : a · a−1 = a−1 · a = 1
11. a ·(b+c) = (b+c) ·a = a ·b+a ·c, ∀a, b, c ∈ R
Observacion:
1. a− b = a+ (−b)
2.a
b= a · b−1, b 6= 0
3. 0 · a = 0
4. (−a) · b = a · (−b) = −a · b
5. (−a) · (−b) = a · b
6. a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
7. a · (b− c) = a · b− a · c
8.a
b+c
d=ad+ bc
bd; b, d 6= 0
9.a
b· cd
=a · cb · d
; b, d 6= 0
10.abcd
=ad
bc, b, c, d 6= 0
1.2. Axioma de Orden
1. R+ es cerrado para la adicion: a, b ∈ R+ ⇒(a+ b) ∈ R+
2. R+ es cerrado para la multiplicacion: a, b ∈R+ ⇒ (a · b) ∈ R+
3. a ∈ R ⇒ a = 0 ∨ a > 0 ∨ a < 0 Ley deTricotomıa
Utiles en demostraciones
1. R− = x ∈ R/− x ∈ R+
2. a > b⇔ a− b ∈ R+
3. a ≥ b⇔ a− b ∈ R+ ∨ a− b = 0
4. x < y ⇒ x+ a < y + a
5. x < y ∧ y < z ⇒ x < z
6. x < y ∧ a < b⇒ x+ a < y + b
7. x < y ∧ a > 0 ⇒ a · x < a · y
8. x < y ∧ a < 0 ⇒ a · x > a · y
9. x 6= 0 ⇒ x2 > 0
10. x > 0 ⇒ x−1 > 0
1
11. 0 < a < b⇒ b−1 < a−1
12. 0 < a < b ∧ 0 < x < y ⇒ a · x < b · y
1.2.1. Intervalos
1. Intervalos finitos
a) Abierto: si ninguno de los extremosdel intervalo pertenecen al conjuntoque determina el intervalo. (a, b) =x ∈ R/a < x < b
b) Cerrado: si ambos extremos del intervalopertenecen al conjunto que determina elintervalo. [a, b] = x ∈ R/a ≤ x ≤ b
c) Semiabierto o semicerrado: si uno de losextremos no pertenece al conjunto quedetermina el intervalo.
1) (a, b]=x ∈ R/a < x ≤ b2) [a, b) = x ∈ R/a ≤ x < b
2. Intervalos infinitos
a) [a,+∞) = x ∈ R/x ≥ a
b) (a,+∞) = x ∈ R/x > a
c) (−∞, a] = x ∈ R/x ≤ a
d) (−∞, a) = x ∈ R/x < a
e) (−∞,+∞) = x ∈ R = R
Expresiones notables:
1. x2 − y2 = (x+ y)(x− y)
2. (x± y)2 = x2 ± 2xy + y2
3. (x± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3
4. x3 ± y3 = (x± y)(x2 ∓ xy + y2)
5. (x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2xy+2xz+2yz
1.2.2. Desigualdades
1. Conviene agrupar todos los terminos algebrai-cos en un lado de la inecuacion y resolver ası.Ej: 7x− 2 < 5x+ 7 ⇔ 2x < 9 ⇔ x < 9
2
2. En expresiones mas complejas descomponeren factores y analizar por intervalos. Ej: x2 −4x− 5 ≤ 0 ⇔ (x− 5)(x+1) ≤ 0 Analizamosen los intervalos (−∞,−1), (−1, 5), (5,+∞)Determinando signo de la expresion y selec-cionamos en los que se cumpla la desigualdad.Ver tambien las fronteras de los intervalos. R:S = x ∈ R/− 1 ≤ x ≤ 5
1.2.3. Valor Absoluto
|x| es el valor absoluto del real x, que se definecomo:
x, si x ≥ 0
-x, si x < 0
Propiedades del valor absoluto
1. |x| =√x2
2. x ≤ |x|
3. |xy| = |x| |y|
4.∣∣∣x
y
∣∣∣ = |x||y|
5. |x| − |y| ≤ |x|+ |y|
6. |x| ≤ a⇒ −a ≤ x ≤ a
7. |x| ≥ a⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a
8. |x+ y| ≤ |x| + |y| OJO! Desigualdad trian-gular
En las desigualdades con valor absoluto seopera de forma similar a las desigualdades mascomplejas, pero se deben agregar intervalos.Se deben considerar los valores en los que losvalores absolutos cambian de signo.
1.3. Axioma de Completitud
Sea S ⊂ R :
1. Si S esta acotado superiormente, entonces Stiene supremo.
2. Si S esta acotado inferiormente, entonces Stiene ınfimo.
2
1.4. Principio de Induccion Ma-tematica
Si a cada n ∈ N se le asocia una proposicionP(n), que cumple:
1. P (1) es verdadera
2. P (k) verdadera ⇒ P (k + 1) verdadera
entonces P (n) verdadera ∀n ∈ N
1.5. Operatoria en N1.5.1. Potenciacion
an = a · a · a · · · a, n factores de a
a1 = a
an+1 = an · a
1.6. Operatoria en ZZ = N ∪ N− ∪ 0
1.6.1. Potenciacion entera
a0 = 1
a−n =(a−1
)n=
(1
a
)n
=1
an, a 6= 0
Propiedades de la potenciacion entera
1. am · an = am+n
2. (a · b)n = an · bn
3. (am)n = amn
4.am
an= am−n, a 6= 0
5. (a
b)n =
an
bn, b 6= 0
1.7. Numeros racionales QSu definicion es:
Q =x ∈ R/x =
a
b, a ∈ Z, b ∈ Q− 0
1.7.1. Radicacion
xn = a⇔ x = n√a
A tener en cuenta:
1.√a = 2
√a
2.n√
0 = 0
3. ( n√a)n = a
4. Si a > 0 ⇒ ( n√a)n = a = n
√an
1.7.2. Exponentes racionales
Sean a ∈ R− 0 , p ∈ Z, q ∈ R+ tq ∃a1/q.
ap/q = q√ap = ( q
√a)p = (a1/q)p = (ap)1/q
Cumplen las mismas propiedades que laspotencias, al igual que las potencias reales.
1.8. Numeros irracionales II = R−Q
1.9. Teorema del Binomio
Sean n ∈ N, a, b ∈ R, entonces
(a+ b)n =n∑
k=0
(n
k
)an−kbk
2. Geometrıa Analıtica
2.1. Distancia entre dos puntos
d =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
2.2. Punto de Division
Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) puntos del planocartesiano y P (x, y) un punto que divide al seg-mento en la relacion r = P1P/PP2. Las coorde-nadas de dicho punto, que divide en una razon r elsegmento P1P2 son:
x =rx2 + x1
1 + r; y =
ry2 + y1
1 + r
3
2.3. La Recta
Es el L.G. de los puntos (x1, y1), (x2, y2) distin-tos que cumplen la relacion:
y2 − y1
x2 − x1
= k
Su pendiente viene dada por:
m = tg θ =y2 − y1
x2 − x1
Tener en cuenta que si L1L2 rectas:
L1||L2 ⇔ m1 = m2
L1⊥L2 ⇔ m1 ·m2 = −1
El angulo entre dos rectas, que llamaremos α es:
α = arc tg
(m2 −m1
1 +m1m2
)Ecuaciones de la recta
1. Punto-pendiente:
y − y1 = m(x− x1)
2. Pendiente-ordenada:
y = mx+ b
donde b es la ordenada (el punto (0,b) quepertenece a la recta)
3. Punto-punto:
y − y1 =y2 − y1
x2 − x1
(x− x1)
4. Simetrica:x
a+y
b= 1
donde la recta pasa por (a,0) y (0,b)
5. General:Ax+By + C = 0
con A, B, C constantes, con A y B noanulandose al mismo tiempo.
6. Normal:Si Ax+By+C=0 la ecuacion de una recta, lade su normal viene dada por:
Ax+By + C√A2 +B2
= 0
Distancia de un punto a una recta SeaAx+By+C=0 una recta y P (x1, x2) un punto, ladistancia d del punto a la recta es:
d =|Ax1 +By1 + C|√
A2 +B2
2.4. Ecuaciones Cuadraticas
Tienen la forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
Si B = 0 ademas:
1. A = C ⇒ Circunferencia
2. A y C distinto signo ⇒ Hiperbola
3. A y C igual signo, A 6= C ⇒ Elipse
4. A = 0 ⇒ Parabola
5. C = 0 ⇒ Parabola
2.4.1. Circunferencia
Es el L.G de todos los puntos que se encuentran auna distancia r, de un punto (h, k), llamado centro.Su ecuacion :
(x− h)2 + (y − k)2 = r2
(Figura 1).
2.4.2. Parabola
Es el L.G de todos los puntos que se encuentrana una misma distancia de un punto fijo F (Foco) yde una recta fija D (Directriz). (Figura 2).
Ecuaciones generalizadas: Sea el vertice(h, k), el foco a una distancia a del vertice. Ladirectriz esta a una distancia 2a del foco.
1. Eje de simetrıa paralelo al eje x, directriz a laizquierda del foco
(y − k)2 = 4a(x− h)
2. Eje de simetrıa paralelo al eje x, directriz a laderecha del foco
(y − k)2 = −4a(x− h)
4
Figura 1: Circunferencia de ecuacion(x− h)2 + (y − k)2 = r2.
Figura 2: Parabola de ecuacion (y−k)2 = 4a(x−h)
Figura 3: elipse de ecuacion (x−h)2
a2 + (y−k)2
b2= 1
3. Eje de simetrıa paralelo al eje y, directriz bajoel foco
(x− h)2 = 4a(y − k)
4. Eje de simetrıa paralelo al eje y, directriz sobreel foco
(x− h)2 = −4a(y − k)
2.4.3. Elipse
Es el L.G de todos los puntos cuya suma de dis-tancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2)es constante, e igual a 2a.
Ecuaciones generalizadas
1. Elipse con centro en (h, k) y eje mayor en di-reccion del eje x
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
(Figura 3).
2. Elipse con centro en (h, k) y eje mayor en di-reccion del eje y
(x− h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1
5
Figura 4: Hiperbola de ecuacion (x−h)2
a2 − (y−k)2
b2=
1
2.4.4. Hiperbola
Es el L.G. de todos los puntos cuya diferencia dedistancias a dos puntos fijos (F1 y F2) es constante,e igual a 2a.
Ecuaciones generalizadas
1. Hiperbola con centro en (h, k) y eje real endireccion del eje x
(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= 1
(Figura 4)
2. Hiperbola con centro en (h, k) y eje real endireccion del eje y
(y − k)2
a2− (x− h)2
b2= 1
2.4.5. Transformacion de coordenadas
Traslacion Sea un sistema de ejes primitivos,donde un punto tiene coordenadas (x, y). Si el ori-gen del sistema de coordenadas se mueve al pun-to (h, k) y las nuevas coordenadas del punto son(u, v), entonces las ecuaciones de transformacionpor traslacion son:
x = h+ u
y = k + v
(Figura 5)
Figura 5: Traslacion del origen de los ejes a (h, k)
Figura 6: Rotacion de los ejes en un angulo θ
Rotacion Sea el sistema de coordenadas xy serota un cierto angulo θ. Si los nuevos ejes son uv,las ecuaciones de transformacion son:
x = u cos θ − v sen θ
y = u sen θ + v cos θ
(Figura 6)
6
3. Funciones
Trigonometricas
3.1. Prerrequisitos
Conversion grados-radianes
3.2. Funciones Trigonometricas
En el triangulo rectangulo:
senα =opuesto
hipotenusa
cosα =adyacente
hipotenusa
tgα =opuesto
adyacente
cotgα =1
tgα
secα =1
cosα
cscα =1
senα
3.2.1. Funciones de angulos complemen-tarios
En un triangulo, sean α y β los dos angulos agu-dos de este triangulo (el tercero es el angulo recto).Cumplen que como β = 90− α:
senα = cos β
cosα = sen β
tgα = cotg β
cotgα = tg β
secα = csc β
cscα = sec β
Signo en los distintos cuadrantes Siguen laregla I,II,III,IV ⇒ Todas SIN TA-COS
3.2.2. Reduccion al primer cuadrante
Se separa en casos, sea α agudo, y ψ el anguloa reducir:
1. Si ψ = (90 ± α) o ψ = (270 ± α) corres-ponden a la cofuncion de α, con el signo delcua-drante de ψ.
2. Si ψ = (180 ± α) o ψ = (360 ± α) corres-ponden a la funcion de α, con el signo delcuadrante de ψ.
3. Resumiendo:Si ψ=(n · 90 ±α), corresponde a la funcionde α si n es par, sino es igual a la cofuncionde este. (Considerar el signo del cuadrante deψ)
3.3. Grafica de funciones trigo-nometricas
3.3.1. Amplitud, fase y periodo
1. Amplitud es la mitad de la distancia entredos valores maximos y mınimo
2. Fase es el corrimiento horizontal que sufrefuncion
3. Periodo Cambio necesario de la variable paraque la funcion realice un ciclo completo
3.4. Identidades trigonometricas
1. sen2 α+ cos2 α = 1
2. 1 + tg2 α = sec2 α
3. 1 + cotg2 α = csc2 α
4. cscα =1
senα
5. secα =1
cosα
6. tgα =1
cotgα
7. tgα =senα
cosα
8. sen(x± y) = sen x · cos y ± cosx · sen y
7
9. cos(x± y) = cosx · cos y ∓ sen x · sen y
10. tg(x± y) =tg x± tg y
1∓ tg x · tg y
11. sen(2x) = 2 senx · cosx
12. cos(2x) = cos2 x− sen2 x
13. sen(x
2) = ±
√1− cosx
2
14. cos(x
2) = ±
√1 + cos x
2
15. sen x+ sen y = 2 sen(x+ y
2) · cos(
x− y
2)
16. sen x− sen y = 2 cos(x+ y
2) · sen(
x− y
2)
17. cosx+ cos y = 2 cos(x+ y
2) · cos(
x− y
2)
18. cosx− cos y = −2 sen(x+ y
2) · sen(
x− y
2)
3.5. Funciones trigonometricasinversas
Son los llamados “arcos”, son las funciones in-versas. Requieren biyectividad por parte de las fun-ciones trigometricas, y por esto en las siguienteexpresiones se restringe su “rango de validez”.
1. Seno
Arcsen(senα) = α, ∀α ∈[−π
2, π
2
]sen(Arcsenx) = x, ∀x ∈ [−1, 1]
2. Coseno
Arccos(cosα) = α, ∀α ∈ [0, π]
cos(Arccosx) = x, ∀x ∈ [−1, 1]
3. Tangente
Arctg(tgα) = α, ∀α ∈(−π
2, π
2
)tg(Arctgx) = x, ∀x ∈ R
3.6. Ecuaciones trigonometricas
No existe una forma unica de resolverlas, peroes se suelen seguir las sigtes. recomendaciones:
Llevar todas las relaciones trigonometricas auna sola, mediante identidades.
Dejar todo expresado en la misma cantidad,ya sea x, 2x, etc.
No aplicar raız cuadrada, de no ser estricta-mente necesario, porque se pierden soluciones.
Es preferible resolver las ecuaciones cuadrati-cas.
3.7. Teoremas utiles engeometrıa
3.7.1. Ley de los senos
En todo triangulo los lados son proporcionales alos senos de los angulos opuestos:
a
senA=
b
senB=
c
senC
3.7.2. Ley de los cosenos
En todo triangulo el cuadrado de un lado es iguala la suma de los cuadrados de los otros dos ladosmenos el doble producto de estos lados por el co-seno del angulo comprendido:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cosA
b2 = a2 + c2 − 2ac · cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab · cosC
4. Sucesiones Numericas
Si X es un conjunto, familia de X se anota (xn),n ∈ I, con I conjunto de ındices y cualquierelemento n ∈ I es un ındice. Si I = N, se lellama sucesion. Diremos que dos sucesiones soniguales ⇔ todos sus terminos correspondientesson iguales. En sımbolos:
Sean (an), (bn) sucesiones iguales⇔ (ai) = (bi)∀i ∈ N
8
4.1. Antes de seguir...
4.1.1. Factorial
0! = 1! = 1, (n+ 1)! = (n+ 1)n!
4.1.2. Sumatoria
1.n∑
i=0
ai = a0 + a1 + a2 + . . .+ an
2.0∑
i=0
ai = a0
3.n+1∑i=0
ai = an+1 +n∑
i=0
ai
4.n∑
i=0
(ai ± bi) =n∑
i=0
ai ±n∑
i=0
bi
5.n∑
i=0
k · ai = k ·n∑
i=0
ai
6.n∑
i=0
ai =n+r∑i=r
ai−r, r > 0
7.n∑
i=0
ai =m−1∑i=0
ai +n∑m
ai,m < n
4.2. Sucesion aritmetica
Cumple que an+1 − an = d,∀n ∈ N, tal que:
Sn =n∑
i=1
ai = a1 + a2 + . . .+ an =n
2(a1 + an)
es la llamada Serie aritmetica.
4.3. Sucesion geometrica
Cumple que an+1 = r · an,∀n ∈ N, tal que:
Sn =n∑
i=1
ai = a1+a2+. . .+an =a1(r
n − 1)
r − 1, r 6= 1
es la llamada Serie geometrica.
4.4. Sucesion armonica
Si tres numeros a, b, c estan en sucesion armoni-
ca sia
c=a− b
b− cAdemas
1
a,1
b,1
cestan en sucesion
aritmetica.
4.5. Sucesiones monotonas
4.5.1. Criterios
Diferencia
• (xn) creciente⇔ xn+1−xn ≥ 0,∀n ∈ N
• (xn) decreciente⇔ xn+1−xn ≤ 0,∀n ∈N
Cuociente
• (xn) creciente ⇔ xn+1
xn
≥ 1,∀n ∈ N
• (xn) decreciente ⇔ xn+1
xn
≤ 1,∀n ∈ N
Si se quiere que sean estrictas, se le quita el iguala los criterios, quedando como < o bien como >.
4.6. Sucesiones convergentes
lımn→∞
xn = L⇔ (∀ε > 0)(∃N ∈ N)
(n > N ⇒ |xn − L| < ε)
Si una sucesion tiene lımite es convergente, encaso contrario, divergente.
4.6.1. Determinar convergencia
Si Si (xn) converge a L ⇒ toda subsucesionxnk
converge a L.
Si existen dos subsucesiones que convergenhacia lımites distintos, entonces (xn) diverge
O mejor dicho, si una sucesion converge, en-tonces su lımite es unico.
9
4.7. Sucesiones acotadas
4.7.1. Supremo
Sea (xn) acotada superiormente, y β supremo.Entonces
xn ≤ β, ∀n ∈ N
(∀ε > 0)(∃k ∈ N)(xk > β − ε)
4.7.2. Infimo
Sea (xn) acotada inferiormente, y α ınfimo. En-tonces
xn ≥ α, ∀n ∈ N
(∀ε > 0)(∃k ∈ N)(xk < α + ε)
Si una sucesion es acotada, lo es tanto superiorcomo inferiormente.
Teoremas
Toda sucesion (xn) convergente es acotada.
Toda sucesion monotona y acotada es conver-gente.
Una sucesion (xn) monotona converge⇔ es acotada.
Si (xn) es creciente, entonces
lımn→∞
xn = supxn
•• Si (xn) es decreciente, entonces
lımn→∞
xn = ınf xn
4.8. Calculo de lımites
Una sucesion convergente a cero se llama nu-la.
La suma de dos sucesiones nulas o el productode una sucesion acotada por una por una nulaes una nueva sucesion nula.
4.8.1. Algebra de lımites
Si lımn→∞
an = a, lımn→∞
bn = b,
entonces:
1.lım
n→∞(an ± bn) = a± b
2.lım
n→∞(an · bn) = a · b
3.lım
n→∞
an
bn=a
b
4.9. Teoremas de lımites de suce-siones
1. Sea (an) sucesion:
a)
lımn→∞
|an| =∣∣∣ lımn→∞
an
∣∣∣b)
an ≥ 0 ⇒ lımn→∞
an ≥ 0
c)an ≥ bn ⇒ lım
n→∞an ≥ lım
n→∞bn
d)
an ≥ 0 ⇒ lımn→∞
√an =
√lım
n→∞an
2. Sea (an) sucesion real:
a)0 < a < 1 ⇒ lım
n→∞an = 0
b)a > 1 ⇒ lım
n→∞an = ∞
3. (Sandwich) Si:
bn ≤ an ≤ cn ∧ lımn→∞
bn = lımn→∞
cn = L,
entonces:lım
n→∞an = L
10
4. a)
lımn→∞
an = a, an > 0 ⇒
lımn→∞
(logb an) = logb
(lım
n→∞an
)b)
lımn→∞
an = a > 0 ⇒
lımn→∞
abn = ab
c)
lımn→∞
an = a, b > 0 ⇒
lımn→∞
ban = ba
d)
lımn→∞
bn = b > 0, lımn→∞
an = a
⇒ lımn→∞
bann = ba
4.10. Lımites infinitos
4.10.1. Algebra de lımites infinitos
Suma
1. xn →∞∧ yn →∞⇒ (xn + yn) →∞
2. xn → L ∧ yn →∞⇒ (xn + yn) →∞
3. xn → L ∧ yn → −∞⇒ (xn + yn) → −∞
4. xn → −∞∧ yn → −∞⇒ (xn + yn) → −∞
Producto
1. xn →∞∧ yn →∞⇒ (xn · yn) →∞
2. xn → −∞∧ yn →∞⇒ (xn · yn) → −∞
3. xn → −∞∧ yn → −∞⇒ (xn · yn) →∞
4. xn → L > 0 ∧ yn →∞⇒ (xn · yn) →∞
5. xn → L > 0∧yn → −∞⇒ (xn ·yn) → −∞
6. xn → L < 0 ∧ yn →∞⇒ (xn · yn) → −∞
7. xn → L < 0 ∧ yn → −∞⇒ (xn · yn) →∞
Cuociente
1. xn → ±∞⇒ 1
xn
→ 0
2. xn → L ∧ yn → ±∞⇒ xn
yn
→ 0
3. xn → L 6= 0 ∧ yn → 0 ⇒∣∣∣∣xn
yn
∣∣∣∣ → +∞
4.10.2. Teoremas Utiles de lımites
1. Si (an) es una sucesion divergente a infinito,sin terminos nulos y tal que 1 + 1
an> 0, en-
tonces
lımn→∞
(1 +
1
an
)an
= e
2. Stolz Si (xn) sucesion arbitraria, (yn) suce-sion estrictamente creciente y divergente a∞.Si existe
lımn→∞
xn+1 − xn
yn−1 − yn
entonceslım
n→∞
xn
yn
existe y tiene el mismo valor. O bien:
lımn→∞
xn+1 − xn
yn−1 − yn
= lımn→∞
xn
yn
Consecuencias de Stolz
a)lım
n→∞an = a
⇒ lımn→∞
a1 + a2 + . . .+ an
n= a
b)lım
n→∞an = a, an > 0
⇒ lımn→∞
n√a1 · a2 · . . . · an = a
c)
lımn→∞
an
an−1
= L, an > 0
⇒ lımn→∞
n√an = lım
n→∞
an
an−1
d)
lımn→∞
n√n = 1, lım
n→∞n√a = 1, a > 1,
lımn→∞
n√n! = ∞
11
5. Lımite de Funciones
Definicion de trabajo La funcion f : R → Rtiene lımite L, en el punto de acumulacion x0, ⇔dado ε > 0 arbitrario, exisite δ > 0 tq:
0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
en otra forma:
lımx→x0
f(x) = L
5.1. Algebra de lımites
Sean
lımx→x0
f(x) = A, lımx→x0
g(x) = B,
1.lım
x→x0
(f ± g)(x) = A±B
2.lım
x→x0
(f · g)(x) = A ·B
3.
lımx→x0
(f
g
)(x) =
A
B
5.1.1. Propiedades de los lımites
1.lımx→a
|f(x)| =∣∣∣ lımx→a
f(x)∣∣∣
2.
f(x) ≥ g(x) ⇒ lımx→a
f(x) ≥ lımx→a
g(x)
3.
f(x) ≥ 0 ⇒ lımx→a
√f(x) =
√lımx→a
f(x)
4.f(x) ≥ 0 ⇒ lım
x→af(x) ≥ 0
5.1.2. Teoremas de lımites
1. Sea f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x ∈ V (a, ε).
lımx→a
f(x) = lımx→a
h(x) = L⇒ lımx→a
g(x) = L
2.lımx→0
sen x
x= 1
5.2. Lımites laterales
5.2.1. Lımite por la derecha
lımx→x+
0
f(x) = L⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)
(x0 < x < x0 + δ ⇒ |f(x)− L| < ε)
5.2.2. Lımite por la izquierda
lımx→x−0
f(x) = L⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)
(x0 − δ < x < x0 ⇒ |f(x)− L| < ε)
Conclusion
lımx→x0
f(x) = L⇔ lımx→x+
0
f(x) = lımx→x−0
f(x) = L
5.3. Lımites infinitos
5.3.1. A tener en cuenta
1. f →∞, g →∞⇒ (f + g)(x) →∞
2. f →∞, ⇒ k · f(x) →∞, k ∈ R+
3. f →∞, ⇒ k · f(x) → −∞, k ∈ R−
4. f →∞, g →∞⇒ f(x) · g(x) →∞
5. f →∞⇒ 1
f(x)→ 0
6. f → 0 ⇒ 1
f(x)→∞, f ≥ 0
5.4. Continuidad
Definicion de trabajo f : R → R es conti-nua en x0 ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0) tq:
|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε
Ademas hay q tener en cuenta que:Si la funcion f : R → R es continua en x0 ⇔
⇔ lımx→x0
f(x) = f(x0)
“En un punto de discontinuidad, el lımite de lafuncion es la funcion del lımite”
12
5.5. Continuidad Lateral- Discon-tinuidad
La funcion f tiene una discontinuidad evitableen un punto, si el lımite en ese punto existe pero esdiferente del valor de la funcion en el punto. La su-ma, diferencia, producto y cuociente de funcionescontinuas en un punto x0, salvo cuando se anule eldenominador en el ultimo caso.
5.5.1. Teoremas
1. BolzanoSea f : [a, b] ⊂ R → R continua sobre [a, b]y tal que f(a) y f(b) tienen signos opuestos,entonces existe por lo menos un punto x0 ∈[a, b] tal que f(x0) = 0.
2. Valor intermedioSea f funcion continua sobre [a, b]. Si x1 <x2 son dos puntos cualesquiera de [a, b], conf(x1) 6= f(x2), entonces la funcion f tomatodos los valores comprendidos entre f(x1) yf(x2), por lo menos una vez en el intervalo(x1, x2).
3. Si f : [a, b] ⊂ R → R es una funcion conti-nua e inyectiva, entonces f es monotona sobre[a, b].
4. Si la funcion real f es estrictamente crecienteen [a, b], entonces la funcion inversa f−1 existey es estrictamente creciente.
5. Sea f funcion real continua sobre [a, b]. Si lafuncion inversa f−1 existe, entonces es conti-nua sobre [f(a), f(b)].
5.5.2. Continuidad uniforme
Definicion de trabajo La funcion f : I ⊂R → R es uniformemente continua sobre el inter-valo I,⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 independiente del puntox0 ∈ I tq:
|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε
A tener en cuenta Toda funcion continua so-bre un intervalo cerrado es uniformemente continuasobre ese intervalo.
6. Derivadas
Definicion de trabajo Sea f : A ⊂ R → Rfuncion. Se llama derivada de f a la funcion quese anota f ′, y tal que su valor en cualquier puntox del dominio de definicion de f est dado, siempreque exista el lımite, por:
f ′(x) = lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
6.1. Derivadas laterales
Son, las llamadas derivadas derecha e izquierda,cuyas expresiones respectivas son:
f ′+(x) = lımh→0+
f(x+ h)− f(x)
h
f ′−(x) = lımh→0−
f(x+ h)− f(x)
h
Debemos recalcar que:
f ′(x0) = L⇔ f ′+(x0) = f ′−(x0) = L
6.2. Relacion entre continuidad ydiferenciabilidad
f diferenciable ⇒ f continua
6.3. Tabla de Derivadas
f(x) = xk ⇒ f ′(x) = kxk−1, k ∈ R
f(x) =1
x⇒ f ′(x) = − 1
x2
f(x) = sen x⇒ f ′(x) = cosx
f(x) = cosx⇒ f ′(x) = − sen x
f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex
f(x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ln a
f(x) = tg x⇒ f ′(x) = sec2 x
f(x) = cotg x⇒ f ′(x) = − csc2 x
f(x) = sec x⇒ f ′(x) = sec x tg x
f(x) = csc x⇒ f ′(x) = − csc x cotg x
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f(x) = lnx⇒ f ′(x) =1
x
f(x) = loga x⇒ f ′(x) =1
x ln a
f(x) = Arcsenx⇒ f ′(x) =1√
1− x2,
x ∈ (−1, 1)
f(x) = Arccosx⇒ f ′(x) = − 1√1− x2
,
x ∈ (−1, 1)
f(x) = Arctgx⇒ f ′(x) =1
1 + x2, x ∈ R
f(x) = Arccotgx ⇒ f ′(x) = − 1
1 + x2, x ∈
R
f(x) = Arcsecx⇒ f ′(x) =1
|x|√x2 − 1
,
|x| > 1
f(x) = Arccscx⇒ f ′(x) = − 1
|x|√x2 − 1
,
|x| > 1
6.4. Algebra de derivadas
1. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)
2. (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
3.
(f
g
)′
(x) =f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
6.5. Regla de la cadena
Permite derivar funciones compuestas. Dice que:
dy
dx=dy
dz· dzdx
Donde, por ejemplo dydx
representa la derivada dela funcion y(x) respecto a la variable x. Para otroscasos mas complejos y ası sucesivamente:
dy
dx=dy
dw· dwdz
· dzdx
6.6. Derivada de las funciones hi-perbolicas
Debemos saber que:
senh x =1
2
(ex − e−x
), coshx =
1
2
(ex + e−x
)Las diversas identidades entre las funciones trigo-nometricas se siguen teniendo validez para las fun-cioneshiperbolicas, salvo las que relacionan los cua-drados de dichas funciones, las que no se cumplen,como sen2 x + cos2 x = 1. Sus derivadas tambiensiguen las mismas reglas, solamente hay que agre-garles el apellido hiperbolico.
6.7. Derivada de una funcion ele-vada a funcion
(uv)′ = uv · v′ · lnu+ v · uv−1 · u
6.8. Derivada de la funcion inver-sa
Sea f funcion biyectiva y derivable ∀x en su do-minio. Si g = f−1 es su inversa, entonces:
g′(x) =1
f ′ [g(x)]
6.9. Derivadas de orden superior
Corresponden a derivar n veces una funcion. Laderivada n-esima se anota como:
f (n)(x) =dnf
dxn
6.10. Derivada de funciones pa-rametricas
En estos casos la funcion se representa pordos ecuaciones bajo una misma variable llamadaparametro, usualmente x = f(t), y = g(t). Laderivada de estas funciones es:
dy
dx=dy
dt· dtdx
=dydtdxdt
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6.11. Derivada de las funcionesimplıcitas
Se realizan considerando las ’y’ como funcionesde x, y al derivarlas como y′. Usando la regla dela cadena se deriva termino a termino y luego sedespeja y′.
7. Aplicaciones de la deri-
vada
7.1. Maximos y mınimos
Una funcion tiene un mınimo relativo en un va-lor x0, si en la vecindad de x0, la funcion entregavalores mayores que f(x0). Si tiene un mınimo rela-tivo en x0, en la vecindad de x0, la funcion entregavalores menores que f(x0). Si f alcanza valoresmaximos o mınimos, entonces esos valores se lla-man valores extremos.
7.1.1. Importante:
Si la funcion real derivable f tiene un valor ex-tremo en el punto x0, entonces f ′(x0) = 0.
7.1.2. Criterio de la primera derivada
Sea x0 un valor extremo, si:
1. Si la derivada pasa de ser positiva a negativaen x0, entonces (x0, f(x0) es un maximo dela funcion.
2. Si la derivada pasa de ser negativa a positivaen x0, entonces (x0, f(x0) es un mınimo de lafuncion.
7.2. Teoremas
7.2.1. Rolle
Sea f : [a, b] ⊂ R → R funcion que satisface:
1. continua sobre [a, b]
2. diferenciable sobre (a, b)
3. f(a) = f(b)
entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) talque:
f ′(c) = 0
7.2.2. Valor medio (TVM)
Sea f : [a, b] ⊂ R → R funcion que satisface:
1. continua sobre [a, b]
2. diferenciable sobre (a, b)
entonces existe a lo menos un punto c ∈ (a, b) talque:
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
Consecuencias del TVM Si f satisface elTVM en un intervalo I:
Si f tiene derivada nula sobre I, entonces fes constante sobre I.
Sean f(x) y g(x) diferenciables en I. Sif ′(x) = g′(x)∀x ∈ I, entonces f y g difie-ren en una constante.
• Si f ′(x) ≥ 0 ⇔ creciente sobre I.
• Si f ′(x) ≤ 0 ⇔ decreciente sobre I.
7.2.3. TVM generalizado
Sean f , g : [a, b] ⊂ R → R funciones tales que
1. f y g son continuas sobre [a, b]
2. f y g son diferenciables sobre (a, b)
3. g′(x) 6= 0,∀x ∈ (a, b)
entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) talque
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c)
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7.3. Grafica de funciones
7.3.1. Etapas de la graficacion
1. Establecer el dominio de la funcion. Se debever en que puntos la funcion no esta definida,es decir, cuando los logaritmos son de numerosmenores o iguales que cero, raıces de pares concantidad subradical negativa, etc. Ej: f(x) =√x2 − 1 ⇒ Dom f = (−∞,−1] ∪ [1,∞)
2. Determinar las intersecciones con los ejes. Lasintersecciones con el eje x se obtienen con(y = 0), y para las intersecciones con el eje ycon (x = 0)
3. Establecer paridad, imparidad, periodicidad,acotamientos.
f es par ⇒ f(x) = f(−x)
f es impar ⇒ f(−x) = −f(x)
f tiene periodo T ⇒ f(x) = f(x+ T )
4. Determinar los intervalos de monotonıa. Sedetermina considerando los intervalos en losque la funcion f ′(x) tiene signo positivo (cre-ciente) o cuando tiene signo negativo (decre-ciente).
5. Ver si hay maximos y/o mınimos. Utilizandocriterio de la primera derivada o el criterio dela segunda derivada.
6. Determinar en que intervalos la funcion esconvexa o concava, junto con los puntos deinflexion. Def: Sea f : I ⊂ R → R funciondos veces derivable
a) f ′′(x) > 0 sobre I ⇒ f convexa oconcava hacia arriba.
b) f ′′(x) < 0 sobre I ⇒ f concava oconcava hacia abajo.
Sea x0 ∈ Dom f . f ′′(x0) = 0 ⇒ (x0, f(x0))punto de inflexion.
7. Establecer la existencia de asıntotas (vertica-les, horizontales, oblicuas).
7.3.2. Definiciones de asıntotas
La recta x = c es una asıntota verticala la grafica de la funcion f si uno delos lımites laterales en c es infinito. Larecta y = L es una asıntota horizontalde la grafica de la funcion f si uno de loslımites, cuando x → ∞ o bien cuandox→ −∞ es L.
La recta mx+n es asıntota oblicua a lagrafica de la funcion f , si la distanciaentre la funcion y la recta tiende a ce-ro cuando la variable x es infinitamentegrande (positiva o negativa), donde loscoeficientes son:
m = lımx→∞
f(x)
x;n = lım
x→∞(f(x)−mx)
7.4. Extremos Absolutos
Se dan en funciones reales de variable real defi-nida en conjuntos cerrados de R. Para encontrarlosse procede como sigue:
Se determinan los extremos relativos (candi-datos a maximos o mınimos).
Se agregan a la lista los extremos del conjunto(un intervalo para este caso).
Se evaluan todos estos valores en la funcion.
El menor de todos los f(xextremos) es el mıni-mo absoluto.
Y el mayor de todos los f(xextremos) es elmaximo absoluto.
7.5. Aproximacion del valor deuna funcion en un punto
Sea f(x) funcion diferenciable y se desea obte-ner una aproximacion del valor f(x0). La expresionutilizada para esto es, para valores de x cercanos ax0:
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
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7.6. Reglas de L’Hopital
7.6.1. Para mascara0
0
Si f y g son funciones reales definidas sobre unintervalo I, x0 punto de acumulacion finito o infi-nito de I, y se cumple:
1.lım
x→x0
f(x) = 0 = lımx→x0
g(x)
2. f y g son derivables sobre I o sobre I − x0
3. g′(x) 6= 0,∀x 6= x0
4.
lımx→x0
f ′(x)
g′(x)= L
L es finito o infinito, entonces:
lımx→x0
f(x)
g(x)= lım
x→x0
f ′(x)
g′(x)= L
7.6.2. Para mascara∞∞
Si f y g son funciones reales definidas sobre unintervalo I, x0 punto de acumulacion finito o infi-nito de I, y se cumple:
1.lım
x→x0
f(x) = ∞ = lımx→x0
g(x)
2. f y g son derivables sobre I o sobre I − x0
3. g′(x) 6= 0,∀x 6= x0
4.
lımx→x0
f ′(x)
g′(x)= L
L es finito o infinito, entonces:
lımx→x0
f(x)
g(x)= lım
x→x0
f ′(x)
g′(x)= L
7.6.3. Regla de L’Hopital para otras for-mas
Forma 0 ·∞ Se escribe como1
0= ∞ o
1
∞= 0.
Con lo que se obtiene:
0 · ∞ =0
0=∞∞
Forma ∞ − ∞ Se agrupan los terminos y secalcula el lımite.
Forma 00 Se usan logaritmos para “bajar” el ex-ponente, quedando en alguna de las otras formas.
Forma 1∞ Se usan logaritmos para “bajar” elexponente, quedando en alguna de las otras for-mas.
7.6.4. L’Hopital en sucesiones
Sea f funcion tal que an = f(n) para n ∈ R. Si
lımx→∞
f(x) = L
existe, entonces la sucesion (an) converge y se tieneque
lımn→∞
an = L
7.7. Optimizacion
No existe una metodologıa unica de resolucion,pero en lıneas generales consiste en:
Leer bien el problema y entenderlo completa-mente.
Identificar los valores que se mantienen cons-tantes y cuales son variables.
Asociarle letras a los distintos valores oparametros.
Crear una “funcion objetivo” que sera la fun-cion a la que encontraremos los extremos.
Reducir todas las variables a una sola, de talmanera que se obtenga un “f(x)”.
Acotar el dominio de la funcion para que seacoherente con el enunciado (por ejemplo, si lafuncion a optimizar tiene relacion con la can-tidad de cierta cosa, descartar los valores ne-gativos del dominio de la “funcion objetivo”).
Encontrar los maximos o mınimos de la “fun-cion objetivo” de acuerdo a lo que se extraigadel enunciado del problema.
Entregar la respuesta solicitada.
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8. Anexo A: Simbologıa
∈ en, pertenece
/∈ no en, no pertenece
∪ union
∩ interseccion
⊂ subconjunto, pero no igual
⊆ subconjunto, o igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
= igual
6= distinto
≡ equivalente
≈ aproximado
∼= congruente
∃ existe
∃! existe un unico
∀ para todo
∧ y (logico)
∨ o (logico)
9. Anexo B:Letras Griegas
9.1. Minusculas
α↔ alfa
β ↔ beta
χ↔ chi
δ ↔ delta
ε↔ epsilon
φ, ϕ↔ phi
γ ↔ gamma
η ↔ eta
ι↔ iota
κ↔ kappa
λ↔ lambda
µ↔ mu
ν ↔ nu
ø ↔ o
π,$ ↔ pi
θ, ϑ↔ theta
ρ↔ rho
σ, ς ↔ sigma
τ ↔ tau
υ ↔ upsilon
ω ↔ omega
ξ ↔ xi
ψ ↔ psi
ζ ↔ zeta
9.2. Minusculas
∆ ↔ Delta
Φ ↔ Phi
Γ ↔ Gamma
Λ ↔ Lambda
Π ↔ Pi
Θ ↔ Theta
Σ ↔ Sigma
Υ ↔ Upsilon
Ω ↔ Omega
Ξ ↔ Xi
Ψ ↔ Psi
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