Resumen de Las Aplicaciones Que Hace Logica Difusa en Los MRP

Rev. Tc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 33, N 1, 77 - 86, 2010

Fuzzy mathematical programming appliedto the material requirements planning (MRP)

Martn Daro Arango Serna, Conrado Augusto Urn Sernay Giovanni Prez Ortega

Escuela de Ingeniera de la Organizacin, Facultad de Minas,Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln. [email protected],

[email protected], [email protected]

Abstract

A rational approach toward decision-making should take into account human subjectivity, ratherthan employing only objective probability measures. This attitude towards the uncertainty of human be-havior led to the study of a relatively new decision analysis field: Fuzzy decision making, which incorpo-rates imprecision and subjectivity into the model formulation and solution process and represents an at-tractive tool to aid research in industrial engineering when the dynamics of the decision environment limitthe specification of model objectives, constraints and the precise measurement of model parameters. Thisarticle gives an overview of the applications that have fuzzy logic in the industrial field and presents a MRPmodel to which apply some of these concepts.

Key words: MRP, fuzzy logic, scheduling, fuzzy mathematical programming, decision analysis,industrial Engineering.

Programacin matemtica difusa aplicadaen la planeacin de requerimientos de material (MRP)

Resumen

Un enfoque racional para la toma de decisiones debe tener en cuenta la subjetividad humana, en lu-gar de emplear slo medidas con distribucin de probabilidad. Esta actitud hacia la incertidumbre delcomportamiento humano ha llevado al estudio de un relativamente nuevo campo de anlisis de decisincomo es, la toma de decisiones difusas, la cual incorpora la subjetividad y la imprecisin en la formulacinde modelos y procesos de solucin y representa una atractiva herramienta de ayuda a la investigacin eningeniera industrial cuando la dinmica de las decisiones estn limitadas por imprecisiones en los mode-los formulados. El presente artculo hace un resumen de las aplicaciones que ha tenido la lgica difusa enel campo industrial y presenta un modelo MRP al cual se aplican algunos de estos conceptos.

Palabras clave: MRP, lgica difusa, anlisis de decisiones, planeacin de la produccin, ingenieraindustrial, programacin matemtica difusa.

1. Introduccin

La ingeniera industrial ha sufrido impor-tantes cambios con el mejoramiento de las tecno-logas de la informacin, las cuales han permiti-do dimensionar la planificacin de la produccina contextos considerados hasta hace slo 30

aos como inmanejables; as por ejemplo, el an-lisis sobre la demanda de un producto en parti-cular estaba sujeto en la mayora de los casos alas conclusiones obtenidas del anlisis de unaserie de tiempos sin tener en consideracin otrasvariables como son los tiempos de suministro,costos de operacin, por lo que los mtodos de

Rev. Tc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 33, No. 1, 2010

planificacin no eran lo suficientemente apropia-dos para contar con planes de produccin pti-mos, esto es la satisfaccin de la demanda al cos-to ms bajo. Tanto los nuevos desarrollo en hard-ware y software, han permitido un redirecciona-miento de la planificacin, dado que con ellos seha logrado integrar no slo variables lgicas si notambin ambiguas o difusas.

Es as, como surgen metodologas que invo-lucran la incertidumbre en la programacin ma-temtica para resolver problemas de planifica-cin. En las metodologas planteadas por los con-juntos difusos los expertos en el sistema analiza-do pueden ser interrogados para proporcionarindicaciones relativas a las variables involucra-das; la informacin obtenida de esta manera,est representada generalmente por frases lin-gstica que pueden ser usadas adecuadamentea travs de nmeros difusos [1].

2. Concepto de conjunto difuso

La teora de conjuntos difusos fue introdu-cida por Lofti Zadeh, con el objetivo de proveeruna herramienta capaz de describir problemasen donde la imprecisin se derivada de la ausen-cia de un criterio para distinguir claramente en-tre diferentes categoras, ms que de la presenciade variables aleatorias [2]. Las propiedades de losconjuntos difusos se describen dentro de un tipode objetivos con un grado de membresa, o gradode pertenencia continuo en el intervalo [0,1] y sedefine matemticamente como [3]:

A x x x UA ( , ( )), (1)

Las aplicaciones de la lgica difusa se hanido consolidando, lo cual ha hecho que actual-mente se entienda que la teora de lgica difusa yla teora de probabilidades estn dirigidas a dis-tintas clases de incertidumbres [4].

3. Aplicaciones de la lgicadifusa en la ingeniera industrial

Los modelos de lgica difusa aplicados a lamanufactura se basan en la interaccin del eje-cutor y el analista en la toma de decisiones con-ducentes a dar una solucin satisfactoria al pro-

blema [5]. A continuacin se hace un resumen dealgunos de los trabajos que usan los modelos di-fusos para la solucin de problemas en el campoindustrial:

Petrovic [6] trat de identificar el nivel deexistencias y las cantidades a ordenar en una ca-dena de suministro, con un anlisis de dos fuen-tes de incertidumbre: la demanda de los clientesy abastecimiento externo de materias primas;este modelo busca la reduccin de costos en losprocesos de fabricacin y en general en la cadenade suministros. Otra aplicacin en la cadena desuministro es presentada por Arango et al. [7]quienes aplican el concepto difuso para decidirsobre la destinacin de recursos en estrategiasde ventas o de compras cuyos resultados son di-fusos. Tsujimura en 1992 [8] presenta un modelode programacin matemtica fuzzy para la plani-ficacin agregada con mltiples objetivos. Lee etal. [9] introducen la aplicacin de la Teora de losConjuntos Difusos al problema del dimensiona-do del lote en un sistema MRP de una nica eta-pa. Mula [10] proporciona un nuevo modelo deprogramacin lineal, denominado MRPDet, parala Planificacin de la Produccin a medio plazo enun entorno de fabricacin MRP con restriccionesde capacidad, multi-producto, multi-nivel y mul-ti-perodo. Vasant [5], usa una curva-s como fun-cin de pertenencia para la seleccin de una mez-cla de productos en una fabrica de chocolates endonde la informacin con la que se cuenta es im-precisa o difusa.

Hop [11] aborda un modelo de balanceo delnea con tiempo de procesamiento difuso; y for-mula un mtodo de programacin lineal binariadifusa para su solucin. Chang y Liao [12] pre-sentan un nuevo enfoque mediante la combina-cin de mapas auto organizativos y reglas difu-sas para la prediccin del tiempo de flujo en unafbrica de semiconductores. Kahraman et al.[13] propone algunos modelos difusos basadosen valores presente difusos para medir la flexibi-lidad de fabricacin. Estos modelos son bsica-mente modelos de decisin de ingeniera econ-mica en los que la incertidumbre de los flujos deefectivo y las tasas de descuento se especificancomo nmeros difusos triangulares. Hasuike[14] examina varios modelos de problemas dedecisin de mezcla de productos y problemas de


78 Arango y col.

planeacin de la produccin en condiciones deincertidumbre.

En general, la teora de conjuntos difusosse ha aplicado ampliamente en la ingeniera in-dustrial en campos como la planeacin, el controlde la calidad, la ergonoma, muestreo de acepta-cin, distribuciones de planta, entre otros. ParaKahraman [15], La idoneidad y contribucin a lasolucin de problemas industriales ha permitidoque el uso de los conjuntos difusos, sea compara-ble al uso de la investigacin de operaciones en lamayora de sus campos.

4. Programacin matemticadifusa

La aplicacin de conjuntos difusos en latoma de decisiones y ms especficamente en laprogramacin matemtica, en su mayor parte,consiste en transformar las teoras clsicas enmodelos difusos equivalentes [16]. Es as como,en muchas situaciones prcticas en un problemade programacin lineal tpico no es razonable exi-gir que la funcin objetivo o las restricciones seespecifiquen de forma precisa; en tales situacio-nes, es conveniente utilizar algn tipo de progra-macin lineal difusa. En la Tabla 1 se muestra unproblema tpico de programacin lineal y su equi-valente difuso.

En el modelo difuso Aij, Bi ,C j, son nmeros

difusos, Xi son variables difusas y las operacio-nes de suma y multiplicacin son operacionesaritmticas difusas, adems el smbolo denotauna desigualdad difusa. Este modelo supone quetanto la funcin objetivo como las restriccionespueden incluir nmeros y variables difusas.

4.1. Modelo de programacin linealcon nmeros difusos al ladoderecho de la restriccin.

Un caso particular es considerar que el ladoderecho de las restricciones son imprecisas, porlo que Bi podra ser definido como un valor perte-

neciente al intervalo [ , ]bi bi pi .De acuerdo a estaconsideracin se define el siguiente modelo deprogramacin lineal difusa, en el cual se deseaminimizar la funcin objetivo:

Min z c x

S a a x B i N

x j N

j jj i

n

ij j ij

n

m

j n

. ( )

( )

1

0

(4)

Hiptesis 1

Bi es un nmero difuso que tendra la si-

guiente forma

B x

si x bi pix bi

pisi bi x bi pi

x bi

i ( )

1

0

(5)

donde x R , como se puede apreciar en la Figu-ra 1.

Para cada vector X x x xn ( , , , )1 2 , prime-ro se calcula el grado, D xi ( ), con el que x satisfacela restriccin i (i Nm ) con la frmula:

D x B a xi i ij jj

n

( )

1

(6)


Programacin matemtica difusa aplicada en la planeacin de requerimientos de material (MRP) 79

Tabla 1Problemas de programacin lineal clsico

y difuso

Problema clsico

Max z c x

S a a x b i N

x j N

j jj i

n

ij j ij

n

m

j n

. ( )

( )

1

0

(2)

Problema difuso

Max z C X

S a A X B i N

X j N

j jj i

n

ij j ij

n

m

j n

. ( )

( )

1

0

(3)

donde D xi ( ) es un conjunto difuso en Rn, y su in-

terseccin, Dii

m

1 , es un conjunto difuso factible.

Ahora, para determinar el conjunto difusode valores ptimos, se calculan los lmites infe-rior y superior entre los cuales se encontrarandichos valores. Para hallar el lmite inferior de losvalores ptimos (z) y el lmite superior (z+) delmismo conjunto, se solucionan siguientes pro-blemas de programacin lineal estndar:

Min z c x

S a a x b i N

x j N

j jj i

n

ij j ij

n

m

j n

. ( )

( )

1

0

(7)

Min z c x

S a a x b p i N

x j N

j jj i

n

ij j i ij

n

m

j n

. ( )

( )

1

0

(8)

Hiptesis 2

El conjunto difuso de valores ptimos (U), elcual es un subconjunto difuso de Rn [17], dondeel grado de satisfaccin del decisor () aumentaen la medida en que la respuesta obtenida seacerca a z (Figura 2). La ecuacin queda definidapor:

U x

si x zz x

z zsi z x z

x z

( )

1

0

(9)

La solucin ms eficiente se encuentra re-solviendo el siguiente modelo de programacin li-neal:

Max

S a z z c x z

a x p b i N

j jj i

n

ij j i ij

n

m

. ( )

(

1

)

, ( )x j Nj n 0

(10)

es el nivel que como mnimo tienen que al-canzar todas las funciones de pertenencia. Lo an-terior se interpretar como el nivel de aspiracino de satisfaccin de un decidor [18]. El anteriorproblema es un modelo para encontrar x Rnsujeto a que la ecuacin (11) alcance el mnimovalor:

Di U Xi

m

1 ( ) (11)

Esta metodologa es planteada por Zadeh[3] y es llamada mtodo simtrico (las restriccio-nes y metas son tratadas simtricamente).

4.2. Modelo de programacin linealcon coeficientes tecnolgicosdifusos

Otro caso es suponer que el modelo de pro-gramacin lineal tiene coeficientes tecnolgicosdifusos; es decir, la matriz de coeficientes Aij ten-dra valores definidos en los intervalos [aij, aij +dij], por lo que un modelo programacin matem-tica difusa de minimizacin tendra la siguienteforma:


80 Arango y col.

1

Z- Z+

Figura 2. Nmero difuso z.

1

bi b + pi iFigura 1. Nmero difuso bi.

Min z c X

S a A X b i N

X j N

j jj i

n

ij j ij

n

m

j n

. ( )

( )

1

0

(12)

Hiptesis 3

El conjunto difuso de las i restricciones Ci,el cual es un subconjunto de Rm, est definidopor:

C x

si a x b

a d x b

d xi

ij j ij

n

ij ij j ij

n

ij jj

n( )

( )

11

1

1

si a x b

a d x

si b a d x

ij j ij

n

ij ij jj

n

i ij ij j

1

1

0

( )

( )j

n

1

(13)

Hiptesis 4

La funcin membreca para el conjunto di-fuso de valores ptimos (U), se define igual al casoanterior Ver ecuacin (9). Por lo tanto, la ecua-cin (12) puede ser reescrita como sigue:

Max

S a z z c x z

a d d x b

j jj i

n

ij ij ij j ij

. ( )

( )

1

n

m

j n

i N

x j N

( )

, ( ) 0

(14)

Es de anotar que las restricciones que con-tiene el producto x j, son restricciones no linea-les, lo que hace que el problema sea un modelo nolineal.

5. Modelo de plande requerimiento de materiales

con lgica difusa

Se ha considerado el siguiente modelo MRPpara ilustrar la aplicacin de la programacin

lineal difusa en los sistemas de produccin. Lacomplejidad de un sistema MRP se traduce en lagran cantidad de informacin que es necesariomanipular para administrar apropiadamente losprocesos productivos. Es necesario conocer, por lotanto, con anticipacin la siguiente informacin:

Tiempo de suministro.

La cantidad mnima de produccin o decompra.

El actual nivel de inventario.

Los componentes necesarios lista de ma-teriales (BOM).

En el siguiente ejemplo se ilustra un siste-ma MRP: Consideremos un producto finalA8172, el cual posee la lista de materiales mos-trada en la Figura 3 y Tabla 2.

Si suponemos una demanda para elAJ8172 en los prximos ocho periodos de 20, 30,10, 20, 30, 20, 30 y 40. El resultado del MRP esdado a continuacin en la Tabla 3.

El cual a su vez da origen al plan de requeri-mientos de los componentes que lo conforma deacuerdo a la lista de materiales. Una funcin ob-jetivo sera, entonces, realizar los pedidos consi-derando el tamao mnimo a pedir y el nivel destock promedio que se genera en el horizonte deplaneacin. Es decir realizar el lanzamiento depedidos tan tarde como sea posible pero sin so-brepasar la fecha del requerimiento. Para encon-trar una solucin al modelo planteado definimoslas variables en la Tabla 4.

La funcin objetivo estara formulada de lasiguiente manera:

Min x T t xijt

T

i

P

( )11

(15)

Dicha funcin busca solicitar el mayor n-mero de unidades del componente i tan tardecomo sea posible, con lo cual se garantiza un ni-vel inventario bajo, teniendo presente las si-guientes restricciones:

La cantidad de materiales requeridos mslas existencias en inventario, debe ser igualo superior a la demanda del periodo corres-pondiente y el tamao del pedido del com-ponte i en el periodo t debe ser cero (0) o su-perior a LS(i):



X LS ii t i t, , ( ) (16)

donde i t, es un indicador de produccin quepuede ser uno (1), si el componente i es ini-ciado en el periodo t o cero en caso contrario.

Una siguiente restriccin es: i t, { , } 01.

No negatividad: xi t, 0.

Al considerar la demanda deterministacuando en la realidad es incierta, obtendremosuna solucin que deja de ser ptima si la demandaes diferente al valor pronosticado, y lo ms proba-ble es que as sea. Esto presenta una situacin


82 Arango y col.

A8172

L8811 R0098

N1100W7348

Figura 3. Lista de materiales A8172.

Tabla 2Informacin de entrada MRP

A8172 L8811 R0098 N1100 W7342

Tiempo de suministro 2 3 4 1 2

Tamao mnimo de lote 25 45 20 1 100

Componentes L8811 (2), R0098 (1) N1100 (1), W7342 (1) N/a N/a N/a

Inventario inicial 0 30 8 0 900

Tabla 3MRP Inicial. Referencia A8172

Referencia: A8172 Das

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

Demanda 20 30 10 20 30 20 30 40

Inventarios 5 15 20 15 20 15

Recepcin de Pedidos 25 25 25 25 25 25 25 25

Lanzamiento de Pedidos 25 25 25 25 25 25 25 25

Tabla 4Definicin de variables

Variable Definicin

P Nmero de componentes

T Horizonte de planeacin

R(i,j) Nmero de componentes i necesarios para realizar componentes j

D(i,j) Demanda externa para el componente i en el periodo t

I(i,0) Inventario inicial del componente i

LS(i) Tamao de lote mnimo para el componente i

X(i,t) Cantidad de pedido del componente i solicitado en el periodo t

M Un nmero muy grande

difusa, dado que no se conoce y no se podra esti-mar la demanda con precisin. Una forma de fle-xibilizar la estimacin de la demanda, sin recu-rrir a definirla como un valor nico para cada unode los periodos de tiempo, es definir un intervaloen el cual la probabilidad de que la demanda seencuentre en ste sea muy alta. Para definir di-cho intervalo los ingenieros pueden estimar (conel apoyo de expertos o datos histricos) un valormnimo y mximo para la demanda en cada unode los periodos, como se muestra en la Tabla 5.

A continuacin se aborda una de las meto-dologas de la lgica difusa para el tratamiento dela incertidumbre en la demanda y en los coefi-cientes tecnolgicos del modelo de programacinmatemtica.

5.1. MRP con incertidumbreen la demanda

El modelo como se ha planteado hasta aho-ra, es un modelo determinstico que puede sersolucionado por muchos de los paquetes de opti-mizacin que actualmente se comercializan. Sinembargo el modelo se puede volver un poco mscomplejo al considerar que la demanda (D(i,t)) esun valor impreciso que puede estar entre un va-lor mnimo (D (i,t)) y mximo (D (i,t)+ p (i,t)).

Al tenerse en cuenta la anterior considera-cin el modelo MRP inicial toma la forma de unmodelo de programacin lineal difusa similar almostrado en la ecuacin (4), por lo que se puedereescribir de la siguiente manera.

Max

S a z z T t x z

x

ijt

T

i

P

t LT i

i

!

. ( ) ( )

( )

11

1! !

!

!

I i D i R i j x p

x

jJ

p

ij

t

( , ) ( ( , ) ( ( , ) ))0 0

0

11

0

(17)

5.2. MRP con incertidumbreen los coeficientes tecnolgicos

Otro caso de incertidumbre y que es inhe-rente a los modelos MRP, como los presentadosen este artculo, es considerar que el factorR i j( , ),no est completamente definido para algunoscomponentes dado los desperdicios que puedenser generados en el proceso productivo; sin em-bargo, s es posible definir un intervalo de valores[R(i,j), R(i,j)+d(i,j)] entre los cuales puede estar. Deesta manera el modelo MRP presentado al iniciode este captulo es similar al problema planteado,por lo que puede reescribirse la ecuacin (17) dela siguiente manera:

Max

S a z z T t x z

x

ijt

T

i

P

t LT i

i

!

. ( ) ( )

( )

11

1! !

!

!

I i D i R i j d i j x jj

Pt

( , ) ( ( , ) ( ( , ) ( , )) )0 011

10x

(18)

Para la solucin de este modelo se conside-ra que el proceso para producir el productoAJ8172 necesita entre 2 y 2.2 unidades del com-ponente L8811, del cual se puede generar undesperdicio de 0 a 0.2 unidades.

5.3. Anlisis de resultados

En la Tabla 6 se muestran los resultados delas variables xij, obtenidos al aplicar la programa-cin matemtica de manera clsica y con incerti-dumbre en la demanda y en los coeficientes tec-nolgicos. Las dems variables xij que no estn enla tabla tienen el valor de cero. El resultado obte-nido en la funcin objetivo sin considerar incerti-dumbre presente en el modelo es z = 8349. Para elsegundo caso se considero la incertidumbre en lademanda obteniendo que los valores de z+ y z son



Tabla 5Demanda para A8172

Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8

Demanda Mnima 20 30 10 20 30 20 30 40

Demanda Mxima 24 35 13 22 34 24 35 45

9937 y 8349 respectivamente y la funcin objeti-vo es z = 9143, lo cual puede considerarse comouna solucin intermedia que equilibra los crite-rios pesimistas y optimistas del decisor, dado quesu nivel de ajuste a la mejor solucin z es de = 0.4996, cifra que puede ser considerada comonivel de satisfaccin del decisor.

Para la solucin del problema con coefi-cientes tecnolgicos difusos, es importante con-siderar que las funciones (12) y (13) inviertensus resultados, dado que el factor aijxj es negati-vo en (18). Por lo tanto los valores lmites entrelos que estar el conjunto de soluciones facti-bles, se obtienen reemplazando a aij por aij + dijpara hallar z, por consiguiente z+ se calcula de-jando el coeficiente aij invariable, donde z

=8349 y z+ = 8986.

La funcin objetivo es entonces z = 8667.5,la cual representa un nivel de satisfaccin de = 0.5, el cual se puede explicar considerandoque el valor de z hallado es una solucin interme-dia entre lo mejor que puede ocurrir (esto es siaij = 2) y el caso menos favorable (que da lugarcuando aij = 2 + 0.2).

6. Conclusiones

En este artculo se ha mostrado la aplica-cin que posee la lgica difusa en el campo de laproduccin, ms especficamente en los sistemasMRP. La solucin obtenida permiti valorar el re-sultado con respecto al mximo beneficio que setendra si se estuviera en un campo determinista.Es necesario aclarar entonces que el decisor ten-dr confianza en que la implementacin de la so-lucin expresada, puede estar de conformidadcon sus deseos, toda vez que el ndice de satisfac-cin es considerablemente adecuado (aproxima-damente un 40% de satisfaccin). Hay que anotarque en la medida que la informacin con la quecuenta el decisor sea ms precisa, entonces la sa-tisfaccin ser mayor.

Aunque inicialmente, la funcin objetivoera la planeacin ptima de pedidos que permi-tiera un nivel bajo de inventarios, el modelo pue-de ser ampliado e involucrar costos o limitacio-nes de capacidad, formulando adems modelosMRP II a los cuales sea posible aplicarles las tc-nicas aqu analizadas.


84 Arango y col.

Tabla 6Resultados MRP

Producto ipedido en el

periodo j

Mtodoclsico

Incertidumbreen la

demanda

Coeficientestecnolgicos

difusos

Producto ipedido en el

periodo j

Mtodoclsico

Incertidumbreen la

demanda

Coeficientestecnolgicos

difusos

X1(-1) 25 25,00 25 X3(-5) 20 20,00 20

X10 35. 41,00 35 X3-4 32 38,00 32

X12 35. 38,00 35 X3-2 35 38,00 35

X14 25. 25,00 25 X30 25. 25,00 25

X15 25. 29,50 25 X31 25. 29,50 25

X16 40. 42,50 40 X32 40. 42,50 40

X2(-4) 45 45,00 45 X4-5 45 45,00 45

X2(-3) 45 56,99 51 X4-4 45 56,99 51

X2(-1) 70 76,00 73,5 X4-2 70 76,00 73,5

X21 50. 50,00 52,5 X40 50. 50,00 52,5

X22 50. 58,99 52,5 X41 50. 58,99 52,5

X23 80. 85,00 84 X42 80. 85,00 84

Una de las mayores fortalezas que posee lalgica difusa aplicada a las tcnicas de toma dedecisiones, es que se puede involucrar tanto lainformacin correspondiente a datos histricoscomo opiniones subjetivas o intuitivas de perso-nas expertas en el campo de anlisis. Lo que per-mite un tratamiento matemtico de la impreci-sin que poseen algunos parmetros. Vale decirque la tcnica no suprime dicha imprecisin o in-certidumbre, sino que establece un mtodo parasu manejo, es decir, en vez de ignorar la incerti-dumbre que es inherente al modelo genera solu-ciones que la involucran.

Agradecimientos

Los autores expresan sus agradecimientosa la DIME Universidad Nacional de Colombia,por la financiacin del proyecto: Desarrollo demodelos de programacin matemtica fuzzy parala planificacin de la produccin en contextos deincertidumbre. Un caso aplicado a la industriaautomotriz que da origen a este artculo.

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86 Arango y col.

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