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Análisis Estructural
Resumen del método de rigidez
Fundamento teórico
Resumen del método de rigidez1
Conservación de la energía:
Equilibrio (1º Castigliano):i
i
UF
1
2
extj j
j
W F U
D1
D3 F3D2
F1
F2
F6
F5
F4
D4
D5
D6
Sustituyendo U:1
2i j jji
F F
Equivale al PTV
Grados de
libertad
Fuerzas
generalizadas
Desarrollo teórico
Resumen del método de rigidez2
1 1
2 2j j
i j j j jj j ji i i i
FUF F F
j
i jj i
FF
Resultado:
1
2j
i j ij i
FF F
Desarrollando 1º Castigliano con la U:
jj
UFPero:
2j
i j jj ji j i
F UF
Resumen teórico del método de rigidez
Resumen del método de rigidez3
2j
i j jj ji j i
F UF
i ij jj
F K
Equilibrio:
1 11 1 1 1
1
.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. ..
j n
i ii ij
j
n n nj nn n
F K K K
F K K
F K K K
D1
D3 F3D2
F1
F2
F6
F5
F4
D4
D5
D6
Estas expresiones
de K no son útiles
Significado físico de [K]
Resumen del método de rigidez4
D1=1K11
Ki1
D3=1
K33
Ki3
1 11 1 1 1
1
.. .. 0
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. 1
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. 0
j n
j jj j
n n nj nn n
F K K K
F K
F K K K
Columna j de [K]:Fuerzas y momentos que hay que aplicar sobre los grados de libertad de la estructura,para imponer un desplazamiento unitario en la dirección j, y cero en todas las demás
No se puede emplear Para toda la estructura
Significado físico de [K] para una viga plana
Resumen del método de rigidez5
1 11 1 16 1
6 61 6 66 6
.. .. 0
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. 1
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. 0
j
j jj j
j
F K K K
F K
F K K K
Se emplea a nivel de una barra sola.Para obtener su matriz de rigidez local.
qIZ qJZ
dIY dJY
dIX dJX
=D3
=D1
=D2
=D4
=D5
=D6
D3=1
K33
K23
K63
K53
D2=1
K32
K62
K52K22
D1=1
K41K11
6
Catálogo de elementos (1)
XG
ZG
YG
XL
X
Y
Z
PIYPIX
PIZ
PJX
PJY
PJZ
Resumen del método de rigidez
Barras 2D Barras 3D
7
Catálogo de elementos (2)
dIXdJX
dIYdJY
qI qJ
dIXdJX
dIY dJYy
+ otros en el futuro (MEF)
q1
q2
Resumen del método de rigidez
Muelles
Barras curvas 2D
Dos cuestiones fundamentales
En cualquier método de análisis estructural, se deben
garantizar:
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Compatibilidad de deformaciones
Cómo se garantiza esto en el método de rigidez??
Resumen del método de rigidez8
Compatibilidad de deformaciones
En el método de rigidez es automática:
Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se
comparten entre las barras que llegan a dicho nudo.
Las deformaciones en el interior de las barras se definen en
función de los grados de libertad de los nudos.
Resumen del método de rigidez9
DX DX
DY DY
DY
DXqZ
qZ1
qZ2
A) B) C)
v
qIZ qJZ
dIY
qZ
dJY
YL
dIX dJXu
Grados de libertad
Resumen del método de rigidez10
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo
tanto basta con cumplir:
Resumen del método de rigidez11
1,e e eG
e bK F
1,e extI I
e
I NF F
A
B
FIA
FIB
FJ
A
FKB
Equilibrio de todas las barras
Equilibrio de todos los nudos-FI
A
-FIB
FIext
12
Equilibrio de cada barra de la estructura
En el sistema general de la estructura
XG
ZG
YG
I
J
FI
DJ
DI
e
FJ
e
e e eGII GIJ I I
e e eJGJI GJJ J
K K F
K K F
e e eLII LIJ I I
e e eLJI LJJ JJ
K K P
K K P
En el sistema local de la barra
Equilibrio estático de la barra:
3 ecs. en el plano, 6 en el espacio
Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en función
de los grados de libertad y de las fuerzas en los
extremos, mediante la ecuación de rigidez:
Sólo cambia el tamaño y
el valor de las matrices
Resumen del método de rigidez
13
Equilibrio de los nudos
e e eGII I GIJ J IK K F
Fuerzas en el nudo I, en el extremo de la barra ‘e’
Equilibrio del nudo I: las
fuerzas exteriores se
equilibran con las fuerzas
interiores en las barras
e extI I
e
F F
e e extGII I GIJ J I
e e
K K F
Sustituyendo las
fuerzas interiores
Resumen del método de rigidez
A
B
FIA
FIB
FJ
A
FKB
-FIA
-FIB
FIext
14
Equilibrio de los nudos
Equilibrio del nudo I
1
1
.. .. .. .. ......
.. .. .. .. .. .. ..
.. ..
.. .... .. .. .. ..
exte e eI IGI GII GIN
e
N
FK K K
Tantas ecuaciones de equilibrio estático como g.d.l. tiene el nudo
Se repite el proceso para todos los nudos I=1, N
e e extGII I GIJ J I
e e
K K F
Resumen del método de rigidez
A
B
FIext
DJDI
DK
15
Matriz de rigidez de la estructura
Se ensamblan una tras otra las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos
Sumando (ensamblando) la rigidez de cada barra a los grados de libertad a los
que se conecta la barra
.... .. .. .. .. ..
.. .. ..
.... .. .. .. .. ..
.. .. ..
.... .. .. .. .. ..
exte eIGII GIJ I
e e extJGJI GJJ J
FK K
K K F
Contribución de la barra ‘e’ a la ecuación de equilibrio total
Resumen del método de rigidez
eFIext
DJ
DI
FJ
ext
Ejemplo
Resumen del método de rigidez16
A1
2
3B
CD E 11 11 12
21 22 22 22 23
32 33 33
A C AG G G
A A B D BG G G G G
B B EG G G
K K K 0
K K K K K K
0 K K K
Ejemplo
Resumen del método de rigidez17
A
B C
D
E
F
1
3
2 4
11 11 13
22 22 22 23 24
31 32 33 33
42 44 44
A B BG G G
C D E C EG G G G G
B C B C
G G G GE E FG G G
K K 0 K 0
0 K K K K KK
K K K K 0
0 K 0 K K
Propiedades matemáticas de [K]
Simétrica: teoremas de reciprocidad de deformaciones
Definida positiva. Define la energía
Resumen del método de rigidez18
1
2
TU K
Conservación de la energía:1
2
ext TU W F
Equilibrio: F K
Energía en función de D:
0 0 det ) 0U K
19
Propiedades topológicas de [K]
Su estructura topológica depende de la numeración de los nudos.
Sólo hay términos no nulos en las celdas (nudos) donde se conectan barras
Estructura dispersa, o de banda compacta.
Los programas reordenan los nudos para obtener una estructura de banda
compacta de [K]
Se necesita menos memoria para almacenarla
Se facilita su factorización
Resumen del método de rigidez
1
2
4
3
5
768 10
9
Celosía plana 10 nudos
n=20 ecs.
Propiedades topológicas de [K]
Resumen del método de rigidez20
1
24
3 5 7
6 810
9
1 2 43 5
76
810
9
Operaciones para factorizar K
A B C
Llena
Simétrican3/6 1330 1330 1330
Banda
Simétrican m2/2-m3/3 1330 864 288
A B C
Llena n2 400 400 400
Llena
Simétrican2/2+n/2 210 210 210
Banda
Simétrican m –m2/2 210 168 102
Dispersa 98 98 98
Almacenamiento de K
C) n=20 Matriz banda m=6
1
2
4
3
5
768 10
9
A) n=20 Matriz llena
B) n=20 Matriz banda m=12
21
Fuerzas sobre los elementos
Se transforman en fuerzas nodales equivalentes,
mediante la fase de empotramiento perfecto (fase 0)
Las fuerzas de fase 0 pasan
con signo (-) al vector de
fuerzas exteriores
Resumen del método de rigidez
Situación
real
Fase 0 Fase 1
F0
-F0
Fases 0 y 1
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
Todas las barras son biempotradas.
Tienen M, Q, N y deformaciones locales, según el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman bajo la acción de las cargas
exteriores aplicadas sobre ellos (las de fase 0 con signo -)
Todas las barras se deforman según cúbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)
Resumen del método de rigidez22
Fase 0 Fase 1
D0=0
F0 -F
0
K D1=-F
0
v(x3)
u(x)
23
Tipos de fuerzas sobre los elementos (I)
Puntuales y distribuidas sobre las barras.
Tablas para vigas empotradas en todos sus grados de
libertad
Térmicas sobre las barras.
Temperatura media y gradiente en el canto de la barra
Tablas para vigas empotradas en todos sus g.d.l.
Resumen del método de rigidez
EAaTm EAaTm
EIaTg EIaTg
EAaTm EAaTm
0TP
Tipos de fuerzas sobre los elementos (II)
Errores en la forma de las barras (deformaciones de
montaje)
Se conoce la diferencia (error) entre:
la forma natural (descargada) de la barra y
la forma en la que se le obliga a ser montada en la
estructura
Resumen del método de rigidez24
E
Fuerzas de fase 0: las fuerzas necesarias para obligar a
la barra a montarse en la estructura
Aplicar –dE
0E L EP K
XL
YL
Forma
natural
Barra montada
en la estructura
Errores
de forma
25
Tipos de fuerzas sobre los elementos (III)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)
Puede ser cualquier sistema de fuerzas que se está
aplicando sobre la barra en el momento del montaje de la
misma en la estructura
Deben estar en equilibrio entre sí.
Son directamente las fuerzas de fase 0
0pretP
Resumen del método de rigidez
Forma
natural
Barra montada
26
Tipos de fuerzas sobre los elementos (IV)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)
habituales
Dos fuerzas iguales y de sentido contrario.
Fuerzas aplicadas desde el exterior
P
D
0pretP
N0N0
Resumen del método de rigidez
Esfuerzos interiores en las barras
Esfuerzos interiores son la suma de :
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
Todas las barras son biempotradas.
Esfuerzos interiores M, Q, N según el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman
Todas las barras se deforman según cúbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)
Resumen del método de rigidez27
Fase 0 Fase 1
F0
F1 = K D
1
M0
1 1e e eF K
0eF
Deformaciones en las barras
Deformación real es la suma de:
Fase 0: Todas las barras son biempotradas
No hay deformaciones de los nudos.
Deformaciones u,v de la barra según el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman
Todas las barras se deforman:
Lateralmente a flexión, según cúbicas v(x3)
Axial: linealmente u(x)
Resumen del método de rigidez28
Fase 0 Fase 1
D0=0
F0 -F
0
K D1=-F
0
v(x3)
u(x)
v0
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra
Donostia - San Sebastián
Resumen de las propiedades de rigidez de
los elementos estructurales
Juan Tomás Celigüeta
Marzo 2004
1
BARRA BIARTICULADA PLANA- RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
/ 0 / 0
0 0 0 0
/ 0 / 0
0 0 0 0
IX IX
IY IY
JX JX
JY JY
P EA L EA L
P
P EA L EA L
P
IXIY
JX
JY
XL
YL
I
J
BARRA BIARTICULADA PLANA- RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
2 2
2 2
2 2
2 2
IX IX
IY IY
JX JX
JY JY
F c sc c sc
F sc s sc sEA
F L c sc c sc
F sc s sc s
IX
IY
JX
JY
FIX
FIY
FJX
FJY
2
BARRA BIARTICULADA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
IX IX
IY IY
IZ IZ
JX JX
JY JY
JZ JZ
P
P
P EA
P L
P
P
IX
IY
IZ
JX
JZ
JY
PIX
PIY
PIZ
PJX
PJZ
PJY
YL
ZL
BARRA BIARTICULADA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
IX IX
IY IY
IZ IZ
JX JX
JY JY
JZ JZ
F
F
F EA
F L
F
F
IX
IY
IZ
JX
JZ
JY
FIX
FIY
FIZ
FJX
FJZ
FJY
XG
YG
ZG
3
VIGA A FLEXIÓN EN EL PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
/ 0 0 / 0 0
0 12 / 6 / 0 12 / 6 /
0 6 / 4 / 0 6 / 2 /
/ 0 0 / 0 0
0 12 / 6 / 0 12 / 6 /
0 6 / 2 / 0 6 / 4 /
IX IX
IY I
I
JX
JY
J
P EA L EA L
P EI L EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L EI L
P EA L EA L
P EI L EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L EI L
Y
I
JX
JY
J
YL
IX
IY
JX
JY
I
J
XL
PIX
PIY
PJY
MI
MJ
PJX
4
VIGA A FLEXIÓN EN EL PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
2 2/ // /2 26 / 6 /3 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /
2 2/ // /26 / 63 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /
EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L EIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
EAsc L EAsc LF EAs L EAs LIX EIc L E
EIsc L EIsc LF EIc L EIc LIY
MI
FJX
FJY
MJ
2
2
2/
2 2 26 / 6 / 4 / 6 / 6 / 2 /
2 2/ // / 26 / 6 /3 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /
2 2/ // /26 /3 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /
Ic L
EIs L EIc L EI L EIs L EIc L EI L
EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L EIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
EAsc L EAsc LEAs L EAs LEIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc L
26 /
2 2 2 26 / 6 / 2 / 6 / 6 / 4 /
IX
IY
I
JX
JY
JEIc L
EIs L EIc L EI L EIs L EIc L EI L
c = cos s = sen
I
IY
IX
I
J
JY
JXJ
5
VIGA A FLEXION EN EL PLANO. VIGA HORIZONTAL
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
/ 0 0 / 0 0
0 12 / 6 / 0 12 / 6 /
0 6 / 4 / 0 6 / 2 /
/ 0 0 / 0 0
0 12 / 6 / 0 12 / 6 /
0 6 / 2 / 0 6 / 4 /
IX IX
IY I
I
JX
JY
J
F EA L EA L
F EI L EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L EI L
F EA L EA L
F EI L EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L EI L
Y
I
JX
JY
J
I
IY
IX
I J
JY
JXJ
VIGA A FLEXION EN EL PLANO. VIGA VERTICAL
3 2 3 212 / 0 6 / 12 / 0 6 /
0 / 0 0 / 0
2 26 / 0 4 / 6 / 0 2 /
3 2 3 212 / 0 6 / 12 / 0 6 /
0 / 0 0 / 0
2 26 / 0 2 / 6 / 0 4 /
FEI L EI L EI L EI LIX
F EA L EA LIY
M EI L EI L EI L EI LI
F EI L EI L EI L EI LJX
EA L EA LFJY
M EI L EI L EI L EI LJ
IX
IX
I
JX
JY
J
I
IY
IXI
J
JY
JX
J
6
ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
2 2
2 3 2 3
2 2
2 3 2 3
/ 0 0 / 0 0
0 4 / 6 / 0 2 / 6 /
0 6 / 12 / 0 6 / 12 /
/ 0 0 / 0 0
0 2 / 6 / 0 4 / 6 /
0 6 / 12 / 0 6 / 12 /
IX
IY Y Y Y Y
IZ Y Y Y Y
JX
JY Y Y Y Y
JZ Y Y Y Y
m GJ L GJ L
m EI L EI L EI L EI L
P EI L EI L EI L EI L
m GJ L GJ L
m EI L EI L EI L EI L
P EI L EI L EI L EI L
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
IX
IY
IZ
JZ
JX
JY
mIX
mIY
PIZ
PJZ
mJX
mJY
7
ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
/ / / /6 / 6 /
4 / 2 /4 / 2 /
/ / / /6 / 6 /
4 / 2 /4 / 2 /
6 / 6 /
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
GJc L GJsc L GJc L GJsc LEIs L EIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
GJsc L GJs L GJsc L GJs LMEIc L EIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc LM
EIs L EIcF
M
M
F
2 3 2 2 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
12 / 6 / 6 / 12 /
/ / / /6 / 6 /
2 / 4 /2 / 4 /
/ / / /6 / 6 /
2 / 4 /2 / 4 /
6 / 6 / 12 /
L EI L EIs L EIc L EI L
GJc L GJsc L GJc L GJsc LEIs L EIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
GJsc L GJs L GJsc L GJs LEIc L EIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc L
EIs L EIc L EI L
3 2 2 36 / 6 / 12 /
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
EIs L EIc L EI L
c s sen cos( ) ( ) y I IY
IXIY
IZ
JZ
JX
JY
MIXMIY
FIZ
FJZ
MJX
MJY
XG XG
YG
8
ELEMENTO VIGA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
3 2 3 2
3 2 3 2
2
/ 0 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0
0 12 / 0 0 0 6 / 0 12 / 0 0 0 6 /
0 0 12 / 0 6 / 0 0 0 12 / 0 6 / 0
0 0 0 / 0 0 0 0 0 / 0 0
0 0 6 / 0 4
IX
IY z z z z
IZ Y Y Y Y
IX
IY Y
IZ
JX
JY
JZ
JX
JY
JZ
P EA L EA L
P I L I L I L I L
P I L I L I L I L
m GJ L GJ L
m I L
m
P
P
P
m
m
m
2
2 2
3 2 3 2
3 2 3 2
2 2
2
/ 0 0 0 6 / 0 2 / 0
0 6 / 0 0 0 4 / 0 6 / 0 0 0 2 /
/ 0 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0
0 12 / 0 0 0 6 / 0 12 / 0 0 0 6 /
0 0 12 / 0 6 / 0 0 0 12 / 0 6 / 0
0 0 0 / 0 0 0 0 0 / 0 0
0 0 6 / 0 2 / 0 0 0 6 / 0 4 / 0
0 6 / 0
Y Y Y
z z z z
z z z z
Y Y Y Y
Y Y Y Y
z
I L I L I L
I L I L I L I L
EA L EA L
I L I L I L I L
I L I L I L I L
GJ L GJ L
I L I L I L I L
I L
20 0 2 / 0 6 / 0 0 0 4 /
IX
IY
IZ
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
JX
JY
JZz z zI L I L I L
IY
IX
IZ
IY
IZ
IX
JX
JZ
JY
JZJX
JY
mIY
PIX
PIZ
PIY
mIZ
mIX
PJX
PJZ
PJY
mJZ
mJXmJY
9
ELEMENTO VIGA ESPACIAL- MATRIZ DE ROTACIÓN
XG
YG
X
Z
XL=X
Y
ZG
YL
ZL
Y
YL
Z
L
T
L
NMMM
O
QPPP
( cos ) / cos ( cos ) /
( cos ) / ( cos ) /
sen D D sen D
sen D Dsen sen D
D2 2 2
IX
IY
IZ
JY
JX
JZ
JY
JX
JZ
IX
IY
IZ
FIX
FIY
FIZ
MJY
FJX
FJZ
FJY
MJX
MJZ
MIX
MIY
MIZ
10
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
3 3 2
3 3 2
2 2
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 0 0 3 / 3 /
0 0 0 0 0 0
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 0 0 3 / 3 /
0 3 / 0 0 3 / 3 /
IX IX
IY IY
I I
JX JX
JY JY
J J
P EA L EA L
P EI L EI L EI L
M
P EA L EA L
P EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L
YL
IX
IY
JX
JY J
XL
PIX
PIY
PJY
MI=0
MJ
PJX
Giro en la articulación
I JY IYJ
L
3
2 2( )
I
J
IY
JY
11
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
2 2
2
3 32 3 2 3
2 2
2
3 32 3 2 3
2
2
/ // /0 3 /
3 / 3 /3 / 3 /
/ // /0 3 /
3 / 3 /3 / 3 /
0 0 0 0 0 0
/
3 /
IX
IY
I
JX
JY
J
EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
EAsc L EAsc LEAs L EAs LFEIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc LF
M
F EAc L
F EIs
M
2
2
3 33 2 3
2 2
2
3 32 3 2 3
2 2 2 2
/ //0 3 /
3 / 3 /3 /
/ // /0 3 /
3 / 3 /3 / 3 /
3 / 3 / 0 3 / 3 / 3 /
IX
EAsc L EAsc LEAc LEIs L
EIsc L EIsc LL EIs L
EAsc L EAsc LEAs L EAs LEIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc L
EIs L EIc L EIs L EIc L EI L
IX
I
JX
JY
J
I
IY
IX
J
JY
JXJ
12
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO HORIZONTAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
3 3 2
3 3 2
2 2
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 0 0 3 / 3 /
0 0 0 0 0 0
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 0 0 3 / 3 /
0 3 / 0 0 3 / 3 /
IX IX
IY IY
I I
JX JX
JY JY
J J
F EA L EA L
F EI L EI L EI L
M
F EA L EA L
F EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L
I
IY
IX
JJY
JXJ
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO VERTICAL- RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
3 3
3 3
2
2
2 2
3 / 0 0 3 / 0 3 /
0 / 0 0 / 0
0 0 0 0 0 0
3 / 0 0 3 / 0 3 /
0 / 0 0 / 0
3 / 0 0 3 / 0 3 /
IX IX
IY IX
I I
JX JX
JY JY
J J
EI L EI L EI L
EA L EA L
EI L EI L EI L
EA L EA L
EI L EI L EI L
F
F
M
F
F
M
I
IY
IX
J
JY
JX
J
13
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
3 2 3
2 2
3 2 3
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 3 / 0 3 / 0
0 3 / 3 / 0 3 / 0
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 3 / 0 3 / 0
0 0 0 0 0 0
IX IX
IY IY
I I
JX JX
JY JY
J J
P EA L EA L
P EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L
P EA L EA L
P EI L EI L EI L
M
YL
IX
IY
JX
JY
I
XL
PIX
PIY
PJY
MJ=0
MI
PJX
Giro en la articulación
J JY IYI
L
3
2 2( )
I
J
IY
JY
14
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
2 2
2
3 32 3 2 3
2 2
2
3 32 3 2 3
2 2
/ // /3 / 0
3 / 3 /3 / 3 /
/ // /3 / 0
3 / 3 /3 / 3 /
3 / 3 / 3 /
IX
IY
I
JX
JY
J
EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
EAsc L EAsc LEAs L EAs LFEIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc LF
EIs L EIc L EI LM
F
F
M
2 2
2 2
2
3 32 3 2 3
2 2
2
3 32 3 2 3
3 / 3 / 0
/ // /3 / 0
3 / 3 /3 / 3 /
/ // /3 / 0
3 / 3 /3 / 3 /
0 0 0 0 0 0
IX
EIs L EIc L
EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L
EIsc L EIsc LEIs L EIs L
EAsc L EAsc LEAs L EAs LEIc L
EIsc L EIsc LEIc L EIc L
IX
I
JX
JY
J
I
IY
IX
I
JY
JX
J
15
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO HORIZONTAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
3 2 3
2 2
3 2 3
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 3 / 0 3 / 0
0 3 / 3 / 0 3 / 0
/ 0 0 / 0 0
0 3 / 3 / 0 3 / 0
0 0 0 0 0 0
IX IX
IY IY
I I
JX JX
JY JY
J J
F EA L EA L
F EI L EI L EI L
M EI L EI L EI L
F EA L EA L
F EI L EI L EI L
M
I
IY
IX
I
JY
JXJ
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO VERTICAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
3 3
2
3 2 3
2
2
3 / 0 3 / 3 / 0 0
0 / 0 0 / 0
3 / 0 3 / 3 / 0 0
3 / 0 3 / 3 / 0 0
0 / 0 0 / 0
0 0 0 0 0 0
IX IX
IY IX
I I
JX JX
JY JY
J J
EI L EI L EI L
EA L EA L
EI L EI L EI L
EI L EI L EI L
EA L EA L
F
F
M
F
F
M
I
IY
IX
I
JY
JX
J
16
MUELLES DE ESFUERZO AXIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
IX IX
IY IY
JX JX
JY JY
P K K
P
P K K
P
PIX
PJX
PIY
PJY
MUELLES DE ESFUERZO AXIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
2 2
2 2
2 2
2 2
IX IX
IY IY
JX JX
JY JY
F c sc c sc
F sc s sc sK
F c sc c sc
F sc s sc s
IX
IY
JX
JY
FIX
FIY
FJX
FJY
MUELLES AL GIRO
M
M
K K
K K
1
2
1
2
RSTUVW
LNM
OQPRSTUVW
M1 M2 1 2
17
ELEMENTO VIGA PLANA CON ENERGÍA DE ESFUERZO CORTANTE - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
3 2 3 2
2 2
3 2 3
0 0 0 0
12 6 12 60 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
6 (4 ) 6 (2 )0 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
0 0 0 0
12 6 12 60 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
IX
IY
I
JX
JY
J
EA EA
L L
EI EI EI EI
P L L L L
P EI EI EI EI
M L L L L
P EA EA
L LP
EI EI EI EIML L L
2
2 2
6 (2 ) 6 (4 )0 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
IX
IY
I
JX
JY
J
L
EI EI EI EI
L L L L
12
2
EI
GA L'
YL
IX
IY
JX
JY
I
J
XL
PIX
PIY
PJY
MI
MJ
PJX
18
ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO CON ENERGÍA DE ESFUERZO CORTANTE – RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
2 2
2 3 2 3
2
0 0 0 0
(4 ) 6 (2 ) 60 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
6 12 6 120 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
0 0 0 0
(2 ) 6 (4 )0 0
(1 ) (1 )
Y Y Y Y
IX
IY Y Y Y Y
IZ
JX
JY
Y YJZ
GJ GJ
L L
EI EI EI EI
m L L L L
m EI EI EI EI
P L L L L
m GJ GJ
L Lm
EI EIPL L
2
2 3 2 3
6
(1 ) (1 )
6 12 6 120 0
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
IX
IY
IZ
JX
JY
Y YJZ
Y Y Y Y
EI EI
L L
EI EI EI EI
L L L L
12
2
EI
GA L
Y
'
IX
IY
IZ
JZ
JX
JY
mIX
mIY
PIZ
PJZ
mJX
mJY
1
Esfuerzos de empotramiento perfecto
VIGA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS
RA RB
MA MB
L
P
L/2 L/2
M MPL
R RP
A B A B 8 2
P
a b
MPab
LM
Pba
L
RPb
LL a R
Pa
LL b
A B
A B
2
2
2
2
2
3
2
32 2( ) ( )
q
M MqL
R RqL
A B A B 2
12 2
q
a b
c
Mqc
LLc bc ab
Mqc
LLc ac a b
Rqbc
L
M M
LR
qac
L
M M
L
A
B
AA B
BA B
123 12
123 12
22 2 2
22 2 2
d i
d i
q2q1
ML
q q ML
q q
Rq q L M M
L
Rq q L M M
L
A B
AA B
BA B
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
603 2
602 3
2
6
2
6
b g b g( )
( )
q
MqL
MqL
RqL
RqL
A B A B 2 2
30 20
3
20
7
20
q
M MqL
R RqL
A B A B 5
96 4
2
2
q
a b
Mq
LL a L a La
Mq
LL a L a La
Rq L b M M
L
Rq L a M M
L
A
B
AA B
BA B
FH
IK
FH
IK
20
7
3
30
3
2
6
6
3 3 2 2
3 3 2 2
( )
( )
M
a b
MMb
L
b
LM
Ma
L
a
L
RMab
LR
Mab
L
A B
A B
FHIK
FHIK
32 2
3
6 63 3
+T
-T
h
M M EI T h R RA B A B 2 0/
VIGA ARTICULADA EMPOTRADA
RA RB
MB
L
P
L/2 L/2
MPL
RP
RP
B A B 3
16
5
16
11
16
P
a b
MPa
LL a
RPb
La b R
Pa
LL a
B
A B
2
23 2
23
22 2
2
3 32 2
d i
a f d i
q
MqL
RqL
RqL
B A B 2
8
3
8
5
8
q
a b
c
Mqabc
La b
c
b
Rqbc
L
M
LR
qac
L
M
L
B
AB
BB
FHG
IKJ
22
42
2
3
q2q
1
ML
q q
RL
q q RL
q q
B
A B
2
1 2
1 2 1 2
1207 8
12033 12
12027 48
b g
b g b g
q
MqL
RqL
RqL
B A B 2
15 10
4
10
q
MqL
RqL
RqL
B A B 5
64
11
64
21
64
2
q
a b
Mq L a
LL a
Rq L b M
LR
q L a M
L
B
AB
BB
( )
( ) ( )
1207 3
6 6
2 2d i
M
a b
MM
La L
RM
LL a R R
B
A B A
23
3
2
22 2
32 2
d i
d i
+T
-T
h
M EI T h
R EI T hL R R
B
A B A
3
3
/
/
Condiciones de apoyo especiales
1. Apoyos no orientados según los ejes generales2. Descensos conocidos en los apoyos2. Descensos conocidos en los apoyos
Condiciones de apoyo especiales
Apoyos no orientados según los ejes generales
Apoyos no orientados según XG YG
La condición de apoyo no se puede definir fácilmente en los ejes generales de la estructuraejes generales de la estructura.
sin cos 0X Yα αΔ −Δ =
Definir un sistema de ejes local al nudo, XN, YN, en el que sea fácil imponer la condición de apoyo
0NYΔ =
sea fácil imponer la condición de apoyo
XYN
XN
YGXNcos sinN
X Xα α⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤Δ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
XG
sin cosNYY
α α⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ΔΔ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
2
Nj j j= TΔ Δ N
j j j=F T F
Cambio de ejes de las ecuaciones de equilibrio (1)
Equilibrio en el sistema de ejes
111 1 1 1.. ..j n ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
K K K FΔjsistema de ejes
general1
.... .. .. .. .. ..
.. ..j jj jn jj
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
K K K FΔYG
1
.. .. .. .. .. ....
.. ..n nj nn nn
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭K K K FΔ
XG
T Njj j= TΔ ΔTransformar las deformaciones al sistema N
111 1 1 1.. ..
.... .. .. .. .. ..
Tjj n
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
TK K K FΔ
YN
j
1 .. ..
.... .. .. .. .. ..
T Nj j jj jj jn
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
T FK K K ΔMultiplicar la columna j por TT
XN
3
1 .. ..Tj
nn nj nn n
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭T FK K K Δ
Cambio de ejes de las ecuaciones de equilibrio (2)
Partimos de la ecuación anterior:
111 1 1.. ..Tjj
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥K K K FT ΔPara transformar las fuerzas: multiplicar la fila j por Tj
111 1 1.. ..Tjj
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥K K K FT Δ111 1 1 1.. ..
.... .. .. .. .. ..
j
T N
j n ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
K K K F
FK K KTT T T
T
T
Δ
Δ
111 1 1 1.. ..
.... .. .. .. .. ..
j
T N
j n ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
K K K F
FK K KTT T T
T
T
Δ
Δ1 .. ..
.... .. .. .. .. ..
j j
T
jj jj jn jj j j⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪
FK K K
F
TT T T TΔ
⎪⎪⎪
1 .. ..
.... .. .. .. .. ..
j j
T
jj jj jn jj j j⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪
FK K K
F
TT T T TΔ
⎪⎪⎪1 .. ..T
jn
n nj nn n⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
FK K T K Δ ⎪⎪
Nj j j=T F FEquilibrio en el sistema mixto
1 .. ..Tj
nn nj nn n
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭FK K T K Δ ⎪⎪
1 111 1 1.. ..
.. .... .. .. .. ..
j nTj
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
FK K KT Δ
1 .. ..
.. .. .. .. .. .. ..
j jj jnNT N
j j jj j j
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
K K KTT T T FΔ
⎪⎪⎪
En el sistema Nes fácil aplicar la condición de ligadura especial
4
1 .. ..n nj nn nTj n
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭K K K FT Δ
⎪⎪⎪⎪⎪⎪0N
jYΔ =
Resumen
T ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤
Equilibrio en el sistema mixto
1 111 1 1.. ..
.. .... .. .. .. ..
j nTj
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
FK K KT Δ
NextjXNF⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬F
1 .. ..
.. .. .. .. .. .. ..
j jj jnNT N
j j jj j j
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
K K KTT T T FΔ
⎪⎪⎪
(?)Nj N
jYR= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
F
1 .. ..n nj nn nTj n
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭K K K FT Δ
⎪⎪⎪⎪⎪(?)N
jXN⎧ ⎫Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬Δ
0j N
jY
= ⎨ ⎬⎪ ⎪Δ =⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭Δ
5
Ejemplo
3X2X2Y 3Y
A
B
CA C
1X1Y
1 1cos( 45) sin( 45)NX X
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫Δ − − Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥
YNY
Y=0N
N TΔ Δ
1 1
11
( ) ( )
sin( 45) cos( 45)
X X
NYY
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ− − −Δ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭-45X
N
X
6
1 1 1N TΔ = Δ XN
Ejemplo. Rigidez general y mixta
3X2X2Y 3Y Rigidez en el sistema general
A
B11 12
21 22 22 23
A AG G
A A B BG G G G
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥
K K 0
K K K K KA C
1X1Y
32 33 33B B CG G G
⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦0 K K K
1 1 1N TΔ = ΔRotación de 1 a su sistema local
11 121
1
11 A AG G
A A B B NT
T⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ =
T TK K 0
K K KT
T
K K21 22 22 23
32 3 333
G G G G
B B CG G G
⎢ ⎥+ =⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
K K K
K
T
0 K
K K
K
7
Ejemplo: Ensamblado de la rigidez general
B
3X2X2Y 3Y
A
B
C
1
11 12 18
221 22
0.0233 0 0.0233 0
0 7. 0 7.10
0.0233 0 0.0233 0
x
A AG G yA
G A AG G
Δ⎡ − ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
K KK
K K
1X1Y
221 22
2
0.0233 0 0.0233 0
0 7. 0 7.xG G
y
Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎣ ⎦
K K
2
22 23 28
7. 0. 7. 0.
0. 0. 0. 0.10
x
B BG G yB
G
Δ⎡ − ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥
K KK
11 12
21 22 22 23
A AG G
A A B BG G G G
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥
K K 0
K K K K K
323 33
3
107 0. 7. 0.
0. 0. 0. 0.
G B BxG G
y
⎢ ⎥⎢ ⎥ − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦
KK K
21 22 22 23
32 33 33
G G G G
B B CG G G
+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦0 K K K
3833
0.0233 010
0 7xC
G
⎡ ⎤ Δ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ Δ
K
8
3330 7.Gy
⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
Ejemplo: Rigidez en el sistema general
10.02 0. 0.02 0. 0. 0. XΔ⎡ ⎤−⎢ ⎥2X
2Y 3Y
1
28
0. 7. 0. 7. 0. 0.
0.02 0. 7.02 0. 7. 0.10
Y
X
⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ−⎢ ⎥⎢ ⎥− − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥=K
B
3X2X
2
3
100. 7 0. 7. 0. 0.
0. 0. 7. 0. 7.02 0.
0 0 0 0 0 7
Y
X
⎢ ⎥=⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥
KA C
1Y
30. 0. 0. 0. 0. 7.
Y
⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
1X
9
Ejemplo: Rotación de la rigidez al sistema mixto
10 02 0 0 02 0 0 0 XΔ⎡ − ⎤1TT
3X2X2Y 3Y
1
1
28
0.02 0. 0.02 0. 0. 0.
0. 7. 0. 7. 0. 0.
0.02 0. 7.02 0. 7. 0.10
X
Y
X
Δ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ−⎢ ⎥⎢ ⎥− − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥K
1T
A
B
C2
3
100. 7 0. 7. 0. 0.
0. 0. 7. 0. 7.02 0.
0 0 0 0 0 7
Y
X
⎢ ⎥=⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥
Δ⎢ ⎥
KA C
1X1Y
30. 0. 0. 0. 0. 7.
YΔ⎢ ⎥⎣ ⎦
Rigidez en el sistema mixto de gdl
1
1
3.51 3.49 0.016 4.95 0. 0.
3.49 3.51 0.016 4.95 0. 0.
N
NY
X⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
Δ− −
− − − Δ
28
2
0.016 0.016
4.95 4.95
7.02 0. 7. 0.10
0. 7. 0. 0.
7 0 7 02 00 0
XN
Y
⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥
− −
−K
10
3
3
7. 0. 7.02 0.
0. 0. 0.
0. 0.
0 7. 0. .X
Y
Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦
Ejemplo: Fuerzas
1 1875XF⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 kN/m 100001125 32
T1
2
0.
1125
5000
Y
X
F
F
F
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬F
5000 50002 1T
2
3
5000
0.
5000
Y
X
F
F
F
⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪18751125
3 5000YF⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭18751
N⎧ ⎫ ⎧ ⎫
1125 Fuerzas nodales giradas
1
1 1326
132
1125
6
NX
NY
F
F
F
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
5000 50002 3
2
3
21125
5000
0.
XN
Y
X
F
F
F
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
F
18751326
11
3
35000
X
Y
F
F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
1326
1875
1
Ejemplo: ecuaciones finales
Se introduce la condición de ligadura debida al apoyo inclinado: Eliminar la fila y la columna en la dirección Y local del nudo.
1 0NY =Δ
Eliminar la fila y la columna en la dirección Y local del nudo.
1
1
3.51 3.49 0.016 4.95 0. 0.
3.49 3.51 0.016 4.95 0. 0. 0
NX
NY
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥
Δ− −
− − − Δ =
1326
1326
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪28
2
7.02 0. 7. 0.10
0. 7. 0. 0.
0.016 0.016
4.95 4.95X
Y
⎪⎢ ⎥ ⎪− ⎪ Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ Δ⎪⎢ ⎥ ⎪
− −
−
1125
5000
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪3
3
7. 0. 7.02 0.
0. 0. 0. 7.
0. 0.
0. 0.X
Y
⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− ⎪ Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ ⎪⎪⎩
0
5000
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎪⎭⎪⎩ ⎪⎭
12
Ejemplo: deformaciones
1 0.9032NX
⎧ ⎫Δ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪2
22
0.3440
0.6394 10
0.3429
X
NY
−
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
Δ
3
3
0.3429
0.007X
Y
⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ Rotación de las deformaciones locales del nudo 1 al sistema
1 1cos( 45) sin( 45)
sin( 45) cos( 45)
T NX X
N
⎧ ⎫⎡ ⎤⎧ ⎫Δ − − Δ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ Δ⎢ ⎥
YN
general
1 1
1
sin( 45) cos( 45)
1 1 0.63860.90321
NY Y
TX
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ − − − Δ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫Δ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
X=0.6386
Y=0N
1
1
101 1 0.63862
X
Y
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭XN
X=0.9032N
Y=-0.6386
13
Ejemplo: esfuerzos en la barra A
Fase 0 + fase 1 (En el sistema local de la barra)
0 7 0 0 7 0P⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ 0 6386 5000⎧ ⎫ ⎧ ⎫1
1
8
0 7 0 0 7 0
1875 0 0.0233 0.07 0 0.0233
1125 0 0 07 0 21 0 0 0710
x
y
P
P
M
⎧ ⎫ ⎡ ⎤− −⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −+ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 2
0.6386 5000
50000.6386
0 1950010−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎨ ⎬ ⎨ ⎬1
2
2
1125 0 0.07 0.21 0 0.0710
0 7 0 0 7 0
1125 0 0.0233 0.07 0 0.0233x
y
M
P
P
= + ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎣ ⎦
0 1950010
50000.6394
80000.3440
=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪2y ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭
14
Apoyos inclinados modelizados con muelles
No todos los programas (pocos) permiten emplear sistemas de ejes locales (N) en los nudos con lo que el método anterior no se puede emplear
Método intuitivo y práctico para modelizar un apoyo inclinado: introducir un muelle de gran rigidez en la dirección fijada por el apoyo
(N) en los nudos, con lo que el método anterior no se puede emplear.
YY
X
K
2cos sin cosK Kα α α⎡ ⎤−⎢ ⎥
Rigidez del muelle en el sistema general
15
2
cos sin cos
sin cos sinM
K K
K K
α α α
α α α⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
K
Apoyos inclinados modelizados con muelles
Ecuación de equilibrio del nudo en el sistema general X,Y, incluyendo la
2cos sin cosK KK K K K Fα α α⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−
rigidez del muelle y la del resto de la estructura
2
cos sin cos... ... ... ...
... ... ... .sin cos sin ..
xi xx xy xj X X
YYyi xy yy yj
K KK K K K F
K K K FK K K
α α α
α α α
⎡ ⎤+ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦
−
−
Al ser K muy grande, los demás términos son despreciables frente a él.
2
2
cos sin cos0
sin cos si 0n
0
0
X X
YY
K K
K
F
FK
α α α
α α α
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦
−
− sin cos si 0n0 YYK Kα α α⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦
Dos ecuaciones casi linealmente dependientes entre sí !!
16
pProblemas de estabilidad numérica al resolver el sistema de ecuaciones si K muy grande. Usar con precaución, cuidando el valor de K.
Ejemplo: modelo numérico cespla
B
3X2X2Y 3Y
2 4 4
6 2
100 10
2 1 10 /
A cm I cm
E kg cm
= =
= ⋅
A C
2.1 10 /E kg cm= ⋅
Rigidez de las barras al desplazamiento: orden 106 kg/cm
1X
1Y
=0
K
101.5 10 /K kg cm= ⋅
/K EA L=1=0
Solución correcta para un pamplio rango de valores de K: 108 - 1014 kg/cm
17
Condiciones de apoyo especiales
Deformaciones impuestas en los apoyos
Deformaciones impuestas en los apoyos
Se conoce el valor de algunos grados de libertad. Normalmente uno sólo o unos pocos.Ningún problema teórico: valores conocidos de algunas incógnitasSe dividen los g.d.l. en dos tipos:
DD DC DD⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪K K FΔ
GDLs de valor conocido: GDLs de valor desconocido:CΔ DΔ
DD DC D
CD CC C
D
CC
⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
K K F
K K RFΔ
Δ
RC: reacciones exteriores sobre los GDL conocidos, necesarias para imponer los valores conocidos de las deformaciones.p p
Incógnitas:RC reacciones exteriores
19
CΔD deformaciones.
Deformaciones impuestas en los apoyos
DD DC DD⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪
K K F
K K RFΔ
Δ
A nivel teórico se resuelve en dos pasos:
CD CC C CC⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭K K RFΔ
La primera ecuación proporciona las deformaciones de los nudos
DD DC C DD + =K K FΔΔDD DC C D
D
D
C CDD DD = −K F KΔ Δ
Nuevo término de cargas: fuerzas nodales equivalentes a los GDL conocidos.
La segunda ecuación proporciona las reacciones a aplicar para obtener las deformaciones impuestas
20
CC D CC C CD= + −KR K FΔΔ
Ejemplo
1y 2y 3y
2x1
21x⎧ ⎫Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ1x 3x 1
1
y
θ
⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ2
2
2
x
D
y
C θ
⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ Δ= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪
ΔΔ Δ
4y=-2
2
3
3
x
y
θ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪3
4 2
y
y
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ =−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭8 x 8
0DD
CD CC
D
C
DC
C
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦
K
K K R
K
Δ
ΔNo hay fuerzas exteriores
21
CD CC CC⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭K K RΔ
1 x 1
Ejemplo. Ecuación de equilibrio
Ensamblando las matrices K de las distintas barras.
6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0.
0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0.
0.
2.5
−
− −
1
1
x
y
⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪
0
0
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
810
0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0.
6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0.
0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0
0.
0.77
2.0.044 5
−
− −
− − − −
−
−
1
2
2
x
θ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪Δ⎨ ⎬⎢ ⎥
0
0
0
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬10 0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0 2.0.044
0. 0.266 0.266 0.
5
0.133 0.933 0.− −2
2
3
0.133
0. 0. 0. 6.67 0. 0. 6.67 0.
0.
0.
y
x
θ
Δ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥
0
0
0
= ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪3
4
0. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.544
0. 2.5 0. 0.77 2.05 0. 0. 0. 4.5
0
5
.
y
y
⎪⎢ ⎥ ⎪− − Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪− − −⎢ ⎥ ⎪⎪⎣ ⎦ ⎪Δ
⎩4
0
yR
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎭⎪⎭
-2 cm
22
c
Ejemplo. Fuerzas equivalentes a la deformación
6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0.
0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0.
−
−
1
1
0
0
x
y
⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
0.
2.5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
810
0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0.
6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0.
0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044
−
− −
− − − −
1
2
2
0
0
0x
y
θ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
{ }84
0.
0.7710 0.02
2.05 y
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− Δ = −⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
0. 0.266 0.266 0. 0.133 0.933 0. 0.133
0. 0. 0. 6.67 0.
− −
−2
3
3
0
00. 6.67 0.
00. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.544
y
x
θ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪− − ⎪ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦
0.
0.
0.
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎥⎣ ⎦⎪3yΔ⎢ ⎥ ⎪⎩⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎢⎭ ⎥⎣ ⎦⎪
1 0. 0.
5 02 5
xF
F
⎡ ⎤ ⎧⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎫⎪⎪⎪⎪⎪
{ }8
1
1
2
5.02.5
0.0.
1.540.76610 0.02
4 102 05
y
x
DC C
F
M
F
F
⎢ ⎥ ⎪ −− ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ −−⎢ ⎥− − = ⎨⎢ ⎥
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− = =⎨ ⎬⎪ ⎪K Δ 610
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎬⎪ ⎪{ }
2
2
3
4.102.05
0.0.
0.0.
DC Cy
x
F
M
F
⎢ ⎥ −−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
23
30.0.
yF⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Ejemplo. Deformaciones
6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0.
0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0.
−
−
1
1
0.
5
x
y
⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎡⎢⎢ −⎢⎢
⎤⎥⎥⎥⎥
810
0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0.
6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0.
0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044
−
− −
− − − −8
1
2
2
0.
1.5410
4.1x
y
θ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎢⎢⎢⎢−⎢⎢⎢ −⎢
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
0. 0.266 0.266 0. 0.133 0.933 0. 0.133
0. 0. 0. 6.67 0.
− −
−2
3
3
0. 6.67 0.
0. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.5
0.
0.
0.44
y
x
θ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− − ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦3yΔ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦
1 1.892
2 008
x⎧ ⎫Δ ⎧− ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1
1
2 2
2.008
0.247
1.89410
y
x
θ
−
Δ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬Δ 2
2
2
101.273
0.320
1 893
Dy
θ
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪− ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
Δ
24
3
3
1.893
0.005x
y
−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
Ejemplo. Reacción en el apoyo que se mueve
6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0. 0.
0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0. 2.5
−
− −
1
1
x
y
⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪
0
0
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
810
0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0. 0.
6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0. 0.77
0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044 2.05
−
− − −
− − − − −
1
1
2
2
y
x
θ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪Δ⎢ ⎥ ⎨ ⎬
0
0
0
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬10 0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044 2.05
0. 0.266 0.266 0. 0.133 0.933 0.− −2
2
3
0.133 0.
0. 0. 0. 6.67 0. 0. 6.67 0. 0.
0 0 0 0 0 044 0 133 0 2 544 0
y
x
θ
Δ⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥
0
0
0
0
= ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪3
4
0. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.544 0.
0. 2.5 0. 0.77 2.05 0. 0. 0. 4.55y
y
⎪− − Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪− − −⎢ ⎥ Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎪⎩4
0
yR
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎭
1 892⎧ ⎫
De la última ecuación Conocido1.892
2.008
0.247
1.894
⎧− ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪
{ } 8 24 4.55
89
1.27310 0. 2.5 0. 0.77 2.05 0. 0. 0. 10 13617( )0.320
1.893
yR N−
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ −= − − − = −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
25
0.0
0.005
2
⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩−
⎪⎭
Ejemplo. Esfuerzos finales
26
Ejemplo. Edificio simple
IPE 400 IPE 360 IPE 360
IPE 400 IPE 400 IPE 400
HEB 200 HEB 200 HEB 200
IPE 400 IPE 400 IPE 400
HEB 260 HEB 260 HEB 260
HEB 280 HEB 280 HEB 280
Peso propio + Sobrecarga de uso Descenso 5 cm pilar izquierda
7 m
27