LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definición: Una función es continua en si:

1)

y 2)

o simplemente

En conclusión:

Analice los siguientes casos:

1) Límites laterales NO existen

La función diverge a y diverge a

- La función no está definida en

- La función no es continua en

- Se dice que tiene una discontinuidad infinita.

2) Los límites laterales existen, pero no son iguales.

- La función no es continua en

- Se llama discontinuidad de salto.

3) Los límites laterales existen, y además son iguales

- La función no está definida en .

- La función no es continua en .

- Lo anterior se llama discontinuidad “removible”.

4)

LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN

Propiedades de los límites:

Si

1.

2.

3. Linealidad:

4.

5.

6.

7.

Nota:

Si , las propiedades anteriores se verifican; y pueden

resultar los límites indeterminados: .

Ejercicio:

Evaluar los siguientes límites:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Límites de formas indeterminadas.

Cuando al evaluar un límite se presentan las siguientes formas:

se aplica la siguiente regla:

Regla de L`Hopital: Si , son funciones derivables y

, entonces cuando existe o es infinito.

Sólo se cumple para indeterminaciones de la forma

Límites Notables o límites especiales de funciones trigonométricas.

1.

Demostración: Se toman los valores del dominio cercanos a , tanto

por la izquierda como por la derecha. Hay que tener en cuenta que los

valores de se obtienen al considerar el valor de en radianes.

1 1/2 1/3 1/4 1/5... 1/100 0

0.8414 0.9588 0.9816 0.9896 0.993 0.9999 1

-1 -1/2 -1/3 -1/4 -1/5... -1/100 0

0.8414 0.9588 0.9816 0.9896 0.993 0.9999 1

En general:

Hallar los siguientes límites:

1. 2.

2.

Demostración:

la diferencia por la suma de dos

números es la diferencia entre el cuadrado del minuendo y el cuadrado

del sustraendo .

Factorizando queda:

Entonces: equivale a

Por consiguiente :

Hallar los siguientes límites:

1. 2.

Para tener en cuenta:

Evaluando el límite nos queda , de donde se

puede concluir que, todos los límites indeterminados de la forma

dan como resultado potencias de .