Escuela Politécnica NacionalFacultad de Ingeniería Mecánica

Análisis Numérico

Deber N˚3

Nombre: Kevin Javier Zurita Grupo: GR3Fecha: 4/10/2015

Objetivos General:

Revisar las definiciones de diversos temas como termodinámica,fluidos y mecánica de materiales, mediante la consulta de varios documentos científicos para estudiarlos y recapitularlos.

Objetivo Específico:

Comprender minuciosamente las ecuaciones de Navier y Stokes, primera y segunda ley de la termodinámica, módulo de Young, ecuaciones de flujo de calor y las equivalencias entre sistemas mediante la revisión de libros para familiarizarnos con dicho tópicos.

Marco Teórico:

1. Primera y Segunda ley de la termodinámica

La primera ley de la termodinámica establece que siempre la energía se conserva (no se destruye, solo se transforma). Para realizar un trabajo se necesita imprimir energía en forma de calor u obtenerla de la energía interna. Para un pistón que requiero que se mueva se necesita expandir el aire dentro del cilindro mediante la energía que vendrá de la energía interna del gas o mediante calor externo.Entonces el cambio neto en sistema de la energía total es igual a la energía que entra menos la energía que sale, así el calor que se necesita se convertirá en trabajo y en energía interna obteniendo la siguiente ecuación:

Q= W+⧍U

donde Q es el calor que puede entrar o salir, W es el trabajo que se puede imprimir o extraer del sistema y U es la energía interna del sistema.

La segunda ley indica que cualquier proceso termodinámica aumenta o deja igual la entropía del universo, en consecuencia ninguna máquina termodinámica puede transformar todo el calor en trabajo por lo que no existe máquinas con eficiencia del 100% (enunciado de Kelvin-Planck).

2. Ecuaciones para la Mecánica de Fluidos

Navier-Stokes

Son las ecuaciones de cantidad de movimiento que sirven para un fluido newtoniano con densidad y viscosidad constante con flujo incompresible en un espacio tridimensional.

Donde p es la densidad, g la gravedad,P la presión, u,v,w las velocidad en las diferentes direcciones y 𝓊 es la viscosidad dinámica.

Bernoulli

La ecuación de Bernoulli es una relación entre las cargas de presión, las cargas de velocidad y las cargas de altura altura. Esta ecuación esta dada para un flujo no estacionario sin fricción a lo largo de una sola corriente.

donde V es la velocidad y su deriva es la carga de velocidad, P es la presión,p la densidad,g la gravedad.

3. Módulo de Young

El módulo de Young es el valor de la pendiente de la recta de comportamiento elástico de la gráfica esfuerzo-deformación y es el módulo de elasticidad o la medida de la rigidez de un material

Figura 1. Gráfica esfuerzo vs deformación elástica, el módulo de Young esta entonces comprendido en la recta que describe el comportamiento elástico.Imagen tomada de Mott R. L.

(2009). Resistencia de Materiales (57).México: Pearson Educación.

Sección 2 - 2 ■ Propiedades de diseño de materiales 57

FIGURA 2-3 Curva de esfuerzo- deformación típica para acero.

400

350

300

250

200

150

100

50

60 Resistencia a la tensión

D

Deformación, in/in om /m

Punto decedencia

C

B Límite elástico A Límite proporcional

Cuando la probeta se aproxima a su carga de ruptura, se reduce el diámetro y consecuentemente se reduce el área de sección transversal. El área reducida requiere una fuerza menor para que la probeta se siga alargando, aun cuando el esfuerzo en el material se esté incrementando. Esto da por resultado la curva mostrada en la figura 2-3. Debido a que es muy difícil moni torear la dis minución del diámetro y la experimentación ha demostrado que existe poca diferencia entre el esfuerzo máximo verdadero y el encontrado a partir de la curva del pico del esfuerzo aparente contra la deformación, se acepta el pico como la resistencia a la tensión del material.

A continuación se resumen las definiciones de las propiedades de resistencia claves de aceros:

El límite proporcional es el valor de esfuerzo en la curva de esfuerzo- deformación en el que la curva se aparta por primera vez de una línea recta.

El límite elástico es el valor de esfuerzo en la curva de esfuerzo-deformación en el que el material se ha deformado plásticamente; es decir, cuando ya no recobrará su tamaño y forma originales después de que se retire la carga.

El punto de cedencia es el valor de esfuerzo en la curva de esfuerzo- deformación donde existe un incremento significativo de la deformación con poco o ningún incremento del esfuerzo•.

La resistencia a la tensión es el valor más alto del esfuerzo aparente en la curva de esfuerzo-deformación.

Muchos metales no exhiben un punto de cedencia bien definido como el de la figura 2-3. Algunos ejemplos son aceros aleados de alta resistencia, aluminio y titanio. No obstante, estos materiales en realidad sí ceden, en el sentido de que se deforma una cantidad apreciable antes de que de hecho se fracturen. Para estos materiales, un diagrama de esfuerzo-deformación típico se vería como el mostrado en la figura 2-4: una curva uniforme sin ningún punto de cadencia pronunciado. Para materiales como ésos, una línea como la M -N trazada paralela a la parte de línea recta de la curva de ensayo define la resistencia a la cedencia.

El punto M casi siempre se determina localizando el punto sobre el eje de deformación que representa una deformación de 0.002 in/in (pulg/pulg). Este punto también se conoce como

La conservación de la masa, Ecuación (3.20), para este volumen de control infinitesimal queda

donde m· = ρAV y d! ≈ A ds. Así, la forma deseada de la conservación de la masa es

(3.74)

Una relación que no exige hacer la hipótesis de flujo sin fricción.Si escribimos ahora la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, Ecuación (3.37), en la

dirección de la corriente:

donde Vs = V idénticamente porque s es en la dirección de las líneas de corriente. Si despreciamos los es-fuerzos tangenciales en las paredes (flujo sin fricción), los términos de fuerza se deben sólo a la presión y lagravedad. La fuerza de gravedad en la dirección de la corriente es la componente del peso del fluido con-tenido en el volumen de control:

dFs, grav = –dW sen θ = –ρgA ds sen θ = –ρgA dz

La fuerza de presión es más fácil de visualizar en la Figura 3.15b si restamos primero una presión uni-forme p en todas las superficies; recordemos de la Figura 3.7 que en este caso la fuerza neta no cambia. Lafuerza resultante de la presión sobre las paredes cónicas del tubo de corriente tiene una componente en la di-rección de la corriente que es idéntica a la que se obtendría si la presión actuase no sobre el área A, sino so-bre la corona circular dA, que representa el aumento de área. La fuerza resultante de presión es, por tanto,

dFs, pres = 12 dp dA – dp(A + dA) ≈ –A dp

donde se han retenido términos de primer orden. Sustituyendo estos dos términos de la fuerza en la ecuaciónde conservación de la cantidad de movimiento:

El primer y último términos del lado derecho se cancelan como consecuencia de la ecuación de la conti-nuidad [Ecuación (3.74)]. Dividiendo el resto por ρA y reordenando, se obtiene la ecuación final:

(3.75)

Esta expresión es la ecuación de Bernoulli para flujo no estacionario sin fricción a lo largo de una línea decorriente.18 Es una ecuación diferencial que puede ser integrada entre dos puntos 1 y 2 a lo largo de la líneade corriente:

(3.76)∂∂ ρVt

ds dp V V g z z+ + − + − =∫ ∫1

2

1

222

12

2 112

0( ) ( )

∂∂ ρVt

ds dp V dV gdz+ + + = 0

dF gAdz Adpt

V Ads d mV

tVAds V

tAds m dV V dm

s = − − = +

= + + +

∑ ρ∂∂

ρ

∂ρ∂

∂∂

ρ

( ) ( ˙ )

˙ ˙

dF d

dtV d mV mV

tV Ads d mVs = ( ) + − ≈ +∫∑ ρ

∂∂

ρ!VC sal ent( ˙ ) ( ˙ ) ( ) ( ˙ )

dm d AVt

A ds˙ ( )= = −ρ∂ρ∂

ddt

d m mt

d dmρ∂ρ∂

! !VC sal ent∫( ) + − = ≈ +˙ ˙ ˙0

178 MECÁNICA DE FLUIDOS

18 También llamada ecuación de Euler-Bernoulli (N. del T.).

El modulo de Young está dado por las propiedades geométricas y la fuerza para la cual se tiene la siguiente expresión:

Donde E es el módulo de elasticidad, F es la fuerza, A es el área del material, lo la longitud inicial y l la variación de longitudes inicial y final

4. Ecuación de Flujo de Calor

La ecuación para flujo de calor a travez de una pared rígida esta determinada por las propiedades geométricas y la diferencia de temperaturas del sistema. Dicha ecuación se expresa de la siguiente manera:

Donde Q es el calor transferido, t el tiempo, k el coeficiente de conductividad térmica del material que es netamente experimental, A el área, x la longitud y T1,T2 las respectivas temperaturas del sistema donde T1>T2.

5. Equivalencia entre sistemas

Bibliografía

(1) White F. M. (2004). Mecánica de fluidos. Madrid: Mc Graw Hill.(2) Mott R. L. (2009). Resistencia de Materiales. México: Pearson Educación.(3) Cengel Y. A. (2007). Resistencia de Materiales. México: Mc Graw Hill.(4) Streeter V. wylie. E. Bedford K. (2000). Mecánica de Fluidos. Colombia: Mc Graw Hill.

Sistema Mecánico Sistema Eléctrico Sistema Hidraulico

Masa (m) Inductancia (L) Masa (m)

Coeficiente de amortiguamiento viscoso (c)

Resistencia (R) Válvula

Constante de resorte (k) Inverso de la capacidad (1/C) Densidad (p)

Elongación, desplazamiento (x) Carga (Q) Desplazamiento (x)

Velocidad (v) Corriente (I) Caudal (Q)

Fuerza (F) F.E.M. (E) Fuerza (F)

Generador Electrico Turbina

Cables conductores Tubería

Interruptor Válvulas de Control