RESUMEN METODOS
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1 RESUMEN DEL PRIMER CAPITULO DE METODOS NUMERICOS Paul Santiago Merchan guarango [email protected] Edwin Vinicio Morocho Barzallo [email protected] Nieves Quilli Carlos Andrés [email protected] Universidad Politécnica Salesiana Laboratorio de Electronica Analogica II Abstract—En la presente documento se encuentra la informa- ción del capitulo uno de acuerdo a la planificacion del primer capitulo cuyo del libro guia es de Metodos Numericos para ingenieros del autor 6ta ed, Steven C Chapra, el mismo que esta basada la redaccion del presente documento, cuyos puntos se encuentran detallados a continuacion con sus respectivos ejemplos I. INTRODUCCIÓN. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáti- cos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión de los principios científicos básicos. II. MARCO TEÓRICO. A. Cifras Significativas Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna infor- mación. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milímetros. 1) Es possible afirmar que la aproximación es acceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras 2) No se pueden expresar exactamente con un número finito de digitos raices, pi, etc Ejemplo л=3,141592653589793238462643 . . . hasta el infinito Las computadoras representan un número de cifras signi- ficativas jamas podrá representar con exactitud. El resto se considera como error de redondeo. 1) exactitud y precisión: Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. Es importante resaltar que la automatización de diferentes pruebas o técnicas puede producir un aumento de la precisión. Esto se debe a que con dicha automatización, lo que logramos es una disminución de los errores manuales o su corrección inmediata. No hay que confundir resolución con precisión. Exactitud se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación. Cuando se expresa la exactitud de un resultado, se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. Figure 1. Muestra la ejemplo grafico de precision y exactitud. a. inexacto e impreciso b. exacto e impreciso c. Inexacto y preciso d. Exacto y preciso 2) Definiciones de Error.: Estos surgen al aproximar para representar operaciones y cantidades exacta con números que tienen limites de cifras significativas para representarlo exactamente. por ello tenemos las siguientes definiciones de error. • Error numerico Et=Valor verdadero - valor aproximado • Error relativo porcentual Error relativo fraccional verdadero = Error.relativo.porcentual=errro.verdadero/valor.verdadero
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RESUMEN DEL PRIMER CAPITULO DEMETODOS NUMERICOS
Paul Santiago Merchan guarango [email protected] Vinicio Morocho Barzallo [email protected]
Nieves Quilli Carlos Andrés [email protected] Politécnica Salesiana
Laboratorio de Electronica Analogica II
Abstract—En la presente documento se encuentra la informa-ción del capitulo uno de acuerdo a la planificacion del primercapitulo cuyo del libro guia es de Metodos Numericos paraingenieros del autor 6ta ed, Steven C Chapra, el mismo queesta basada la redaccion del presente documento, cuyos puntosse encuentran detallados a continuacion con sus respectivosejemplos
I. INTRODUCCIÓN.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entenderesquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáti-cos, de ingeniería y científicos en una computadora, reduciresquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlosen una computadora y usar correctamente el software existentepara dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad parael uso de computadoras sino que también amplia la periciamatemática y la comprensión de los principios científicosbásicos.
II. MARCO TEÓRICO.
A. Cifras Significativas
Las cifras significativas de un número son aquellas quetienen un significado real y, por tanto, aportan alguna infor-mación. Toda medición experimental es inexacta y se debeexpresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplosencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesacon una regla graduada en milímetros.
1) Es possible afirmar que la aproximación es acceptablesiempre y cuando sea correcta con cuatro cifras
2) No se pueden expresar exactamente con un número finitode digitos raices, pi, etc
Ejemplo л=3,141592653589793238462643 . . . hasta el infinitoLas computadoras representan un número de cifras signi-ficativas jamas podrá representar con exactitud. El resto seconsidera como error de redondeo.
1) exactitud y precisión: Precisión se refiere a la dispersióndel conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidasde una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayorla precisión. Una medida común de la variabilidad es ladesviación estándar de las mediciones y la precisión se puedeestimar como una función de ella. Es importante resaltarque la automatización de diferentes pruebas o técnicas puede
producir un aumento de la precisión. Esto se debe a que condicha automatización, lo que logramos es una disminución delos errores manuales o su corrección inmediata. No hay queconfundir resolución con precisión.
Exactitud se refiere a cuán cerca del valor real se encuentrael valor medido. En términos estadísticos, la exactitud estárelacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor esel sesgo más exacta es una estimación. Cuando se expresa laexactitud de un resultado, se expresa mediante el error absolutoque es la diferencia entre el valor experimental y el valorverdadero.
Figure 1. Muestra la ejemplo grafico de precision y exactitud.
a. inexacto e imprecisob. exacto e imprecisoc. Inexacto y precisod. Exacto y preciso2) Definiciones de Error.: Estos surgen al aproximar para
representar operaciones y cantidades exacta con númerosque tienen limites de cifras significativas para representarloexactamente.
por ello tenemos las siguientes definiciones de error.• Error numerico
Et=Valor verdadero - valor aproximado• Error relativo porcentual
Error relativo fraccional verdadero =
Error.relativo.porcentual=errro.verdadero/valor.verdadero
2
• Error relativo porcentual
Et = (error.verdadero/valor.verdadero) ∗ 100• Error normalizado•
Ea = (error.aproximado/valor.aproximado) ∗ 1003) Errores de redondeo : Debido a que las computadoras
tienen representación en base 2, no pueden representar exacta-mente algunos números en bases10. Esta mencionada omisiónDe cifras significativas se llama error de redondeo
4) Representación de números en la computadora : Launidad fundamental mediante la cual representa la informaciónse malla palabra, que consiste en una cadena de dígitosbinarios o bits.
Sistemas de Numeración.Es una convención para representar una cantidad, por ejem-
plo el sistema de base 10 que utiliza 10 dígitos, para grandescantidades se utiliza su posición para dar su valor, por ejemplocontando desde la derecha el tercer digito será múltiplo de 100y así sucesivamente
Ejemplo. 86409 será de esta manera.
(8x104) + (6x103) + (4x102) + (0x101) + (9x100) = 86409
REPRESENTACION ENTERA.Método de magnitud con signo. ejemplo.
Figure 2. Muestra a paso de numero binario, b decimal
5) Delimitaciones del punto flotante.: Las cantidades frac-cionarias se representan con un punto flotante, por lo quese representa como una parte fraccionaria llamada mantisao significando, y una parte entera, denominada exponente ocaracterística
m ∗ be
De donde m= mantisa, b= la base del sistema numerico ye= exponente
Figure 3. Muestra grafica de la mantisa
B. Método de la Bisección
MÉTODO DE LA BISECCIÓN.Es el método más elemental y antiguo para determinar
las raíces de una ecuación. X_r=(X_L+X_u)/2 Consiste enconsiderar un intervalo (xl, xu) en el que se garantice que lafunción tiene raíz. El segmento se bisecta, tomando el puntode bisección xr como aproximación de la raíz buscada. Seidentifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.
Xr =xl − xu
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El proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisecciónxr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
Algoritmo para el método de la bisección.• Paso 1. Elija valores iniciales inferior, Xb y superior Xa
que encierren la raíz, de forma, de tal forma que la funcióncambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobandoque f(Xa)*f(Xb)<0
• Paso 2, la aproximación de la raiz Xr, se determinamediante
• Paso 3, Realice las siguientes evaluaciones para determinaren que subintervalo esta
• si f(Xl)*f(Xu)<0, entonces la raiz se encuentra dentro delsubintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga Xu=Xr yregrese al paso 2
• si f(Xl)*f(Xu)>0, entonces la raiz se encuentra dentro delsubintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga Xl=Xr yregrese al paso 2
• si f(Xl)*f(Xu)=0, la raiz es igual a Xn; termina el cálculo
Figure 4. Muestra grafica de la biseccion
C. Método de la Falsa Posición.
La falsa posición es una alternativa a la bisección basadaen una visualización gráfica. Un inconveniente del método debisección es que al dividir el intervalo de Xl a Xu en mitadesiguales, no se toman en consideración las magnitudes de f(xu)y f(xl). Por ejemplo, si f(x) está mucho más cercana a cero quefx_u, es lógico que la raíz se encuentre más cerca de Xl que deXu. Un método alternativo que aprovecha esta visualizacióngráfica consiste en unir f(xu) y f(xl)con una línea recta. Laintersección de esta línea con el eje de las x representa unamejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplacela curva por una línea recta da una “falsa posición” de la raíz;de aquí el nombre de método de la falsa posición. Tambiénse le conoce como método de interpolación lineal. Usandotriángulos semejantes, la intersección de la línea recta con eleje de las x se estima mediante una semejanza de triángulos,en la cual se despeja xr.
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El método de la falsa posición pretende conjugar la seguri-dad del método de la bisección con la rapidez del método dela secante. Parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0,es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0) f(x1) < 0.
El algoritmo de este métodos es muy similar simplementeque se cambia el cálculo de Xr por la siguiente ecuación
Xr = xu− f(xu)(xl − xu)
f(xl)− f(xu)
Figure 5. Muestra grafica de la falsa posicion
El procedimiento es el mismo como se indicó en el métodode la bisección.
III. CONCLUSIONES.
• El presente documento nos presenta la informacion basicaen la intruduccion a los metodos numericos los mismosque son esenciales en los distintos metodos que se revisanconforme avanza el ciclo lectivo .
• Mediante la aplicacion de los metodos inciales como esel metodo de la biseccion y falsa posicion se comprobosus distintas aplicaciones en ingenieria en especial enel analisis de circuitos electricos respectivamente, yaque son de mucha utilidad en la prediccion de com-portamiento de ciertos elementos o segun sea el casopara su aplicacion(en los siguientes capitulos se muestranotros metodos alternativos que mejoran los calculos conrespecto a los antes mencionados)
• Con la realizacion del presente documento nos da mayorenfasis en el estudio de los metodos numericos ya suutilizacion es muy importante en el transcurso de nuestracarrera universitaria, siendo una herramienta muy impor-tante en nuestros estudios.
REFERENCES
[1] Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ta ed, Steven C Chapra
