Curso: Cálculo Aplicado Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

Sucesiones y series

1.1.- Límite de una sucesión

Una sucesión na tiene límite L si para cualquier

0 existe un número N>0 tal que si n es un número

entero y si n>N entonces Lan

Se escribe: LaLím nn

1.2.- Definición de sucesiones creciente y

decreciente

Una sucesión na es:

(i) Creciente si 1 nn aa para todo n

(ii) Decreciente si 1 nn aa para todo n

*Una sucesión es monótona si es creciente o

decreciente

2.- Series

2.1.- Definición de la suma de una serie infinita

Si na es una sucesión y:

nn aaaaS ........321

Entonces nS es una sucesión de sumas parciales

denominada serie infinita y se denota por:

n

n

n aaaaa

........321

1

Donde los números naaaa ............;; 321 son los

términos de la serie infinita

Si SSLim nn

entonces la serie la serie es convergente

y S es la suma de la serie. Si el límite anterior no existe, entonces la serie es divergente, y la serie no tiene suma.

Teorema 1: Si la serie infinita

1n

na es convergente,

entonces:

0

nn

aLím

Si el límite anterior es distinto de cero no puede inferirse lo contrario.

2.2.- Algunas series

2.2.1- Serie geométrica

1

1

1n

n

r

aar si 1r

2.2.2.- Serie p

1 1

1

np r

a

n

Converge si p>1; diverge si p≤1

2.2.3.- Series Alternadas

Una serie alternada:

1

)1(n

n

n a ó

1

)1(n

n

n a

Es convergente si:

0na y nn aa 1

n

0

n

n

alím

2.3.- Criterios de convergencia

2.3.1.- Criterio de comparación

Sea la serie

1n

na una serie de términos postivos.

(1) Si otra serie de términos positivos

1n

nb es

convergente con nn ba entonces

1n

na converge

(2) Si otra serie de términos positivos

1n

nc es

divergente con nn ca entonces

1n

na diverge

2.3.2.- Criterio de comparación por paso al límite

Sean

1n

na y

1n

nb dos series de términos positivos

(1) Si 0

cb

aLím

n

n

n , entonces las dos series

son convergentes o ambas son divergentes.

(2) Si cb

aLím

n

n

n

, y si

1n

nb converge, entonces

1n

na converge.

(3) Si

n

n

n b

aLím , y si

1n

na diverge, entonces

1n

nb diverge

Curso: Cálculo Aplicado Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

El criterio de comparación en el límite es eficaz para comparar una serie algebraica con una serie p adecuada. Debe elegirse como p-serie una que tenga el término general de la misma magnitud que el término general de la serie dada.

Serie dada Serie para comparar

Conclusión

12 543

1

n nn

12

1

n n

Ambas series convergen

1 23

1

n n

1

1

n n

Ambas series divergen

135

2

4

10

n nn

n

1

31

5

2 1

nn nn

n

Ambas series convergen

2.3.3.- Criterio de la integral

Sea f una función continua, decreciente, y de valores

positivos para toda x≥1. Entonces la serie infinita

1

)(.......)3()2()1()(n

nffffnf

-Es convergente si la integral

1

)( dxxf existe

-Es divergente si

b

b

dxxflím1

)(

2.4.-Definición de convergencia absoluta

La serie infinita

1n

na es absolutamente convergente

si la serie

1n

na es convergente

*Una serie que es convergente, pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente.

2.4.1.- Teoreman

Si la serie

1n

na es convergente, entonces la serie

1n

na es convergente.

2.4.2.- Criterio de la razón

Sea

1n

na una serie infinita para la cual cada na es

diferente de cero:

(1) Si 11

L

a

aLím

n

n

n ,entonces la serie es

absolutamente convergente.

(2) Si 11

L

a

aLím

n

n

n o si

n

n

n a

aLím 1 , la serie

es divergente.

(3) Si 11

n

n

n a

aLím , no se puede concluir nada acerca

de la convergencia. *Éste criterio resulta útil para el cálculo del radio de convergencia de una serie.

2.4.3.- Criterio de la raíz

Sea

1n

na una serie infinita para la cual cada na es

diferente de cero:

(1) Si 1

LuLím nn

n ,entonces la serie es

absolutamente convergente.

(2) Si 1

LuLím nn

n o si

nn

nuLím , la serie

es divergente.

(3) Si 1

nn

nuLím , no se puede concluir nada

acerca de la convergencia.

Ejercicios Ayudantía

(1) Determine el término general na , las sumas

parciales ns y la suma s de la serie

.........82

1

62

1

42

1

(2) Calcule el valor de

1

1

n

n

(3) Determine el intervalo y radio de convergencia

de

1 8

)8()1(

nn

nn

n

x

Bibliografía empleada y recomendada:

- El cálculo Leithold

- Calculo Vol.1 Larson Hostetler