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GRADO DE ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS 1

2011 – 2012 MATEMÁTICAS I RESUMEN DE TEORÍA

U.N.E.D. GRADO DE ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS 6502102- MATEMÁTICAS I PROGRAMA Tema 1. Espacios vectoriales. Tema 2. Aplicaciones lineales. Tema 3. Matrices. Tema 4. Sistemas de ecuaciones lineales. Tema 5. Sucesiones de números reales

Apéndice A . Temas preliminares (conjuntos, relaciones, aplicaciones, grupos y cuerpos, polinomios)

Apéndice B . Determinantes.



Resumen de Teoría

6502102- Matemáticas I TEMA 1. Espacios vectoriales I. Vectores de n Vector : Un vector de n (o vector de n componentes) es un conjunto (n-tupla) ordenado de

números reales: n

nxxxx ∈= ),...,,( 21 , con ∈ix

Cada elemento ix del vector se denomina componente del mismo.

Suma de vectores : Dados dos vectores ),...,,( 21 nxxxx = e ),...,,( 21 nyyyy = de n , su suma

es otro vector de n definido en la forma: ),...,,( 2211 nn yxyxyxyx +++=+ , con ∈ji yx ,

Propiedades y elementos notables :

a. Es asociativa: nzyx ∈∀ ,, , se tiene: zyxzyx ++=++ )()(

b. Es conmutativa: nyx ∈∀ , , se tiene: xyyx +=+

c. Existe el vector nulo, designado por 0 tal que: xxx n =+∈∀ 0:

d. Existe vector opuesto: xx n −∃∈∀ , tal que 0)( =−+ xx Producto de un vector por un número real : Dado un número ∈a y un vector

n

nxxxx ∈= ),...,,( 21 , se define el producto del número real por el vector como otrro

vector: n

nn axaxaxxxxa ∈= ),...,,(),...,,( 2121 , con ∈ix

Propiedades de esta operación : a. Distributiva respecto de la suma en n : yaxayxayxa n +=+∈∀∈∀ )(:,,

b. Distributiva respecto de la suma en : xbxaxbaxba n +=+∈∀∈∀ )(:,,

c. Asociatividad mixta: )()(:,, xbaxbaxba n =∈∀∈∀

d. Siendo 1 al elemento unidad para el producto en , se verifica: xxx n =∈∀ 1: Espacio vectorial : El conjunto de vectores de n , con las operaciones de suma de vectores y

producto de un vector por un número real, anteriormente definidas, es un espacio vectorial real. Lo representaremos en la forma: ),,( ⋅+n .

Consecuencias : a. Cualquiera que sea el valor ∈a , se verifica: 00 =a

b. Cualquiera que sea nx ∈ , se verifica: 00 =x c. Si 0=xa , entonces: 0=a ó 0=x . d. Cualquiera que sea nx ∈ , se tiene que ( )− = −1 x x .

Aplicación: Cualquiera que sea nx ∈ , se tiene: )()()( xaxaxa −=−=− .

e. Cualquiera que sea 0≠a de , si yaxa = , se sigue que yx = .

f. Cualquiera que sea x ≠ 0 de n , si xbxa = , se sigue que ba =



Subespacio vectorial : Diremos que un subconjunto ∅≠S de n , es un subespacio vectorial de n , si las operaciones definidas en n son estables en S, es decir:

- Para todo par de vectores SyxSy,x ∈+∈ : - Para todo Sx ∈ y para todo ∈a : Sxa ∈ Así ),,( ⋅+S , con las mismas operaciones, es también espacio vectorial.

Por definición, el conjunto formado por el vector nulo, { }0 , y el propio n son subespacios

vectoriales de n , a los que llamamos subespacios impropios. A los demás subespacios los llamamos subespacios propios. Teorema de caracterización de subespacios vectorial es: La condición necesaria y

suficiente para que una parte S ≠ ∅ de un espacio vectorial n sea un subespacio vectorial es que: Sybxabayx n ∈+∈∀∈∀ :,,, .

Intersección de subespacios vectoriales : Se define en esta forma al conjunto de los vectores

de n que pertenecen simultáneamente a los dos subespacios S1 y S2 . Teorema : La intersección de dos subespacios vectoriales, S1 y S2 , de un espacio vectorial

n , es un subespacio vectorial de n . Suma de subespacios vectoriales : Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio

vectorial n y dos vectores genéricos: x S1 1∈ y x S2 2∈ . Llamaremos suma de ambos

subespacios vectoriales al conjunto de vectores nx ∈ que se expresan en la forma: x x x= +1 2 : { }22112121 ,, SxSxxxxxSS n ∈∈+=∈=+

Teorema : La suma de dos subespacios vectoriales S1 y S2 de un espacio vectorial n es un

subespacio vectorial de n . Subespacios suplementarios : Dos subespacios vectoriales S1 y S2 de un espacio vectorial

n , se dice que son suplementarios si cumplen las siguientes condiciones: { }S S1 2 0∩ = , nSS =+ 21 .

También se denomina suma directa de subespacios vectoriales y se designa por: S S1 2⊕ . Consecuencia : Si S1 y S2 son subespacios suplementarios de un espacio vectorial n , todo

vector nx ∈ se expresa de forma única como suma de un vector de S1 y un vector de S2 .



II. Relación entre vectores Sistema de vectores : Se denomina sistema de vectores de n a un conjunto de vectores

{ }nxxx ,...,, 21 (alguno podría repetirse).

Combinación lineal de vectores : Se dice que un vector nx ∈ , es una combinación lineal del

conjunto de vectores { }x x xn1 2, , ..., de n , si y sólo si existen unos números reales

naaa ,...,, 21 (llamados coeficientes de la combinación lineal), tales que el vector x se puede

escribir en la forma: nn xaxaxax +++= ...2211

Dependencia lineal de vectores : Se dice que un sistema de n vectores { }x x xn1 2, , ..., de un

espacio vectorial n , son linealmente dependientes, si y sólo si existen n números reales

naaa ,...,, 21 , no todos nulos, tales que: 0...2211 =+++ nn xaxaxa

A dicho conjunto de vectores también se le denomina familia ligada o sistema ligado de vectores.

Consecuencias

a. Todo sistema de vectores de n que contenga al vector nulo, es un sistema ligado de vectores.

b. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de n vectores { }x x xn1 2, , ..., de n sea linealmente dependiente es que, al menos uno de ellos sea combinación lineal

de los restantes. Dependencia lineal de conjuntos de vectores : Un conjunto H de vectores se dice que

depende linealmente de otro conjunto H', si cada uno de los vectores de H depende linealmente de los vectores de H'.

Independencia lineal de vectores : Se dice que un conjunto de n vectores { }x x xn1 2, , ..., de

n , es linealmente independiente cuando la igualdad: 0...2211 =+++ nn xaxaxa se verifica

si y sólo si todos los escalares son nulos. Un conjunto de vectores linealmente independiente se dice que es una familia libre o un

sistema libre de vectores. Consecuencias a. Cualquier vector x ≠ 0 constituye un sistema libre. b. Si el sistema de vectores { }x x xn1 2, , ..., es libre, todo sistema extraído de él es libre.

Rango de un sistema de vectores : Se define el rango de un sistema como el número máximo

de vectores linealmente independientes que contiene dicho sistema. Consecuencias : El rango de un sistema de vectores no cambia por transformaciones elementales: a. Intercambiar la posición de dos vectores b. Multiplicar un vector por un número distinto de cero. c. Sumar a un vector un múltiplo de otro.



Nota . En la práctica se puede analizar el rango de un sistema de vectores escribiendo sus componentes como filas o columnas de una matriz y estudiando el rango de dicha matriz, lo cual nos dará el número de vectores linealmente independientes.

Subespacios engendrados : Dada una familia de n vectores { }x x xn1 2, , ..., de n , el conjunto

de todas las posibles combinaciones lineales realizadas con los vectores de tal familia constituye un subespacio vectorial.

Dicho subespacio vectorial se dice engendrado por los n vectores de la familia.O bien: Subespacios engendrados : Dado un subespacio vectorial S, se dice que el sistema

{ }x x xn1 2, , ..., es generador de S si todo vector de S se puede escribir como

combinación lineal de los vectores del sistema. Es decir, si: nnn xaxaxaxaaaSx +++=∋∈∃∈∀ ...,...,,: 221121

Diremos, por tanto, que el subespacio S está engendrado por el sistema anterior. Base de un espacio vectorial : Se llama base de un subespacio vectorial S a todo sistema de

generadores de dicho subespacio, que sea un sistema libre. En particular, una base de n es un sistema generador y linealmente independiente del

espacio n . Dimensión de un subespacio vectorial S: Es el número de vectores de una base de dicho

subespacio S. Se denota por “dim S”. En particular la dimensión de n es n y, en consecuencia, la de cualquier subespacio propio

de n es menor que n, siendo la dimensión del subespacio impropio { }0 cero. Coordenadas de un vector : Se denominan de esta forma a los coeficientes de la combinación

lineal del vector respecto de los vectores de una base. Base canónica : Es claro que en n todo vector ),...,,( 21 nxxxx = se puede escribir en la

forma: )1...,0,0(...)0...,1,0()0...,0,1( 21 nxxxx +++=

En consecuencia, el sistema formado por los vectores: { })1...,0,0(,)0...,1,0(,)0...,0,1( es

un sistema generador de n . Como además es libre, forma una base de n . Nota : En este último caso, las componentes y coordenadas de un vector coinciden. Teoremas referentes a la base

1. Todo subespacio vectorial S de dimensión finita, distinto del vector nulo, posee, al menos, una base.

2. Todos los sistemas generadores de un subespacio vectorial S tienen el mismo rango. En particular, todas las bases tienen el mismo número de vectores. 3. Para que un sistema libre de un subespacio vectorial S, formado por n vectores, sea una

base, basta (es suficiente) con que todo sistema de S formado por mas de n vectores sea ligado.

4. Todo vector de un subespacio vectorial S de n , se escribe de forma única como combinación lineal de los vectores de una base.



III. Subespacios afines Subespacio afín. Definición : Dado un subconjunto A, no vacío, del espacio vectorial

),,( ⋅+n , se dice que es un subespacio afín de n si puede obtenerse como suma de un

vector de n y un subespacio vectorial S de n . Esto es: { }SxvxvSvA n ∈∈+=+= ,

Ejemplo 1 : Ver si el subconjunto { })3,2,1( de 3 es un subespacio afín de 3 .

Solución: Es un subespacio afín puesto que puede escribirse: { } { })0,0,0()3,2,1()3,2,1( += , siendo este

último conjunto subespacio, en este caso trivial, de 3 . Ejemplo 2 : Ver si el subconjunto de 3 : { }4),,( 3 =−∈= zxzyxA es un subespacio afín

de 3 . Solución: Es un subespacio afín puesto que puede escribirse en la forma:

+= )0,0,4(A

En efecto: 1. 0/≠A , puesto que, al menos contiene al vector )0,0,4( 2. Todo vector de A puede escribirse en la forma:

)1,0,1()0,1,0()0,0,4(),,4(),,( zyzyzzyx ++=+=

Es decir, como suma de un vector de 3 mas un vector del subespacio vectorial de 3 engendrado por los vectores )0,1,0( y )1,0,1( .

Consecuencias :

1. Un subconjunto de 3 formado por un solo vector es un subespacio afín de 3 . 2. Todo subespacio vectorial de 3 es un subespacio afín de 3 . 3. Si wv y son vectores de 3 , el conjunto { } ∈+=+ awavwv es un subespacio

afín de 3 . Teoremas :

1. Si Sv + es un subespacio afín de un espacio vectorial 3 y ∈w , entonces: SvSwSvw +=+⇔+∈

2. Si Sv + es un subespacio afín de un espacio vectorial 3 , se verifica: Sv + es subespacio vectorial SvSSv ∈⇔=+⇔

3. Si Sv + y Tv + son el mismo subespacio afín de un espacio vectorial 3 , entonces los subespacios vectoriales S y T son iguales.

4. Si Sv + y Tw + son subespacios afines de un espacio vectorial 3 , tales que su intersección no sea el vacío, entonces dicha intersección, definida en la forma

)()()( TSzTwSv ∩+=+∩+ con )()( TwSvz +∩+∈ , es también un subespacio

afín de 3 . Ejemplo : Dados los subespacios afines 1)1,2,3( SA += y 2)3,5,7( SB += , siendo 1S y 2S

subespacios vectoriales: { }02),,( 31 =+−∈= zyxzyxS , { }02),,( 3

2 =−∈= zxzyxS ,

hallar el subespacio afín de 3 intersección de ambos.



Solución: Veamos en primer lugar la intersección de los subespacios afines A y B: Un vector BAzyxu ∩∈= ),,( deberá ser de la forma:

++−++

=)1,0,2(')0,1,0(')3,5,7(

)1,0,1()0,1,2()1,2,3(),,(

ba

bazyx

Igualando ambas expresiones se tiene: )0,0,0()1,0,1()0,1,2()1,0,2(')0,1,0(')2,3,4( =−−−++ baba

Es decir:

−=−−=−

−=+−

2'

3'

42'2

bb

aa

bab

, sistema con infinitas soluciones, una de las cuales es

3=a , 2=b , 0'=a , 0'=b . Por tanto un vector de la intersección es )3,5,7(=u .

Hallamos la intersección de los subespacios 1S y 2S : Serán los vectores de la forma:

)2,3,4(2),2

3,2(),,( zzzzzyx == .

En consecuencia, se tiene: )2,3,4()3,5,7()3,5,7( 21 +=∩+=∩ SSBA

Hiperplanos de n : Se llama hiperplano de n al conjunto:

=∈= ∑=

dxaxxxHn

i

ii

n

n

121 ),...,,(

donde ∈d y los coeficientes ia son también números reales no simultáneamente nulos.

Ejemplo : Los siguientes conjuntos, de acuerdo con la definición son hiperplanos:

{ }3),( 212

21 =−∈= xxxxA { }22),,( 313

321 −=+∈= xxxxxB

Consecuencia: Todo hiperplano de n es subespacio afín de n . Ejemplo : Ver que el hiperplano de 4 { }22),,,( 42

44321 −=+∈= xxxxxxA es un

subespacio afín de 4 . Solución: Todo vector de A se puede escribir en la forma: )0,1,0,0(,)2,0,1,0(,)0,0,0,1()2,0,0,0()22,,,(),,,( 23214321 −+−=−−= xxxxxxxx

)0,1,0,0(,)2,0,1,0(,)0,0,0,1()2,0,0,0( −+−= R

Lo cual nos dice que A es un subespacio afín de 4 . Subespacios afines paralelos : Dados dos subespacios afines Sv + y Tw + del espacio

vectorial n , diremos que son paralelos si TS = . Ejemplo : Ver si son paralelos el hiperplano { }4),,( 31

3321 =−∈= xxxxxA y el

subespacio afín )0,1,0(,)1,0,1()1,1,1( +=B .

Solución: Es claro que lo son, puesto que un vector cualquiera del hiperplano se puede poner:

)1,0,1(,)0,1,0()0,0,4(),,4(),,( 323321 +=+= xxxxxx .

Es decir que el subespacio es el mismo.



Combinaciones afines : Se dice que un vector x de un espacio vectorial n , es una combinación afín del conjunto de vectores { }x x xn1 2, , ..., de n , si y sólo si existen unos

escalares naaa ...,,, 21 de , tales que 11

=∑=

n

i

ia , y el vector x se puede escribir en la forma:

nn xaxaxax ...2211 ++= .

Ejemplo : Ver si el vector 3)3,1,0( ∈− es combinación afín del conjunto de vectores

{ })1,0,1(,)1,1,0(,)0,1,1( .

Solución: Escribimos el vector como combinación lineal del sistema dado:

)1,0,1()1,1,0()0,1,1()3,1,0( cba ++=−

Resolviendo el sistema:

+=+=−

+=

cb

ba

ca

3

1

0

se tiene

==

−=

2

1

2

c

b

a

, cuya suma es la unidad, por tanto el

vector es combinación afín. Consecuencia: Todo vector que es combinación afín de vectores de un mismo subespacio

afín, pertenece, a su vez, al subespacio afín. Ejemplo : Estudiar si el siguiente subconjunto de 3 es un subespacio afín:

{ }3),,( 3 =−∈= zxzyxA

Solución: En primer lugar, es claro que no es vacío, puesto que el vector A∈− )1,1,4( . Por otra parte un vector genérico de A se puede escribir en la forma:

)1,0,1()0,1,0()0,0,3(),,3(),,( zyzyzzyx ++=+= Es decir: como suma del vector )0,0,3( mas el subespacio engendrado por los vectores

)1,0,1(y)0,1,0( . En consecuencia A es un subespacio afín de 3 .

NOTA: Entre las páginas 40 y 55 del libro de problemas, hay diversos ejercicios resueltos sobre este apartado de subespacios afines.



TEMA 2. Aplicaciones lineales 1. Aplicaciones lineales Definición : Una aplicación mnf →: se llama lineal (u homomorfismo) si:

1. )()()(:, yfxfyxfyx n +=+∈∀

2. )()(:, xafxafxa n =∈∀∈∀ Casos particulares :

a. Una aplicación lineal se dice inyectiva si siendo 21 xx ≠ se sigue que sus imágenes son

distintas, )()( 21 xfxf ≠

b. Se dice que una aplicación lineal es suprayectiva si todo vector de m es imagen de algún vector de n ( mf =Im )

c. Una aplicación lineal que sea biyectiva recibe el nombre de isomorfismo d. Si la aplicación lineal es de un espacio vectorial en si mismo se denomina

endomorfismo e. A todo endomorfismo biyectivo se le llama automorfismo

f. A una aplicación lineal de un espacio vectorial en el espacio vectorial real ),,( ⋅+ , se la denomina forma lineal.

Teorema de caracterización de aplicaciones lineales : La condición necesaria y suficiente

para que una aplicación mnf →: sea lineal, es que:

)()()(:,,, ybfxafybxafyxba n +=+∈∀∈∀ Consecuencias : a. Imagen del vector nulo: La imagen del vector nulo de n es el vector nulo de m

b. Imagen del vector opuesto: La imagen del opuesto de un vector, es igual al opuesto de la imagen de dicho vector.

c. Imagen de un subespacio: La imagen de un subespacio vectorial de n es un subespacio vectorial de m .

Caso particular : A la imagen del espacio vectorial n (como subespacio de si mismo) se le denomina subespacio imagen de f y se representa por:

{ }yxfxyf nm =∋∈∃∈= )(Im

Rango de una aplicación lineal : Dada una aplicación lineal mnf →: , se llama rango de

dicha aplicación a la dimensión del subespacio imagen. Esto es: fff n Imdim)(dimrango == . Núcleo de una aplicación lineal : Dada una aplicación lineal mnf →: , se llama núcleo de

dicha aplicación lineal al conjunto de vectores de nR cuya imagen por f es el vector nulo de m , es decir: { }mn xfxf ∈=∈= 0)(ker

Propiedades : a. El núcleo de una aplicación lineal es un subespacio vectorial de V.



b. La condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sea inyectiva, es que el núcleo se reduzca al vector nulo.

Matriz asociada a una aplicación lineal : Sea una aplicación lineal mnf →: .

Consideremos una base de cada uno de los espacios vectoriales { } n

nvvvB ∈= ,...,, 21 y

{ } m

mwwwB ∈= ,...,,' 21 . Se llama matriz asociada a la aplicación lineal a la matriz traspuesta de la formada por los

coeficientes del sistema que resulta de expresar las imágenes de los vectores de la base B de n , como combinación lineal de los vectores de la base B' de m . Es decir:

f v a w a w a w

f v a w a w a w

f v a w a w a w

A

a a a

a a a

a a a

m m

m m

n n n mn m

n

n

m m mn

( ) ...

( ) ...

... ... .. ... ... ... ... ... ...

( ) ...

...

...

... ... ... ..

...

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

11 12 1

21 22 2

1 2

= + + += + + +

= + + +

⇒ =

Hay que tener en cuenta que esta matriz A depende de las bases que hayamos elegido en los espacios vectoriales.

Ecuación matricial de una aplicación lineal : Es la ecuación que nos permite relacionar las

coordenadas de un vector de n con las coordenadas de su vector imagen en m . Es de la forma: Y AX= , siendo X la matriz columna de las coordenadas de un vector x en la base B de n considerada, Y la matriz columna de las coordenadas de su vector imagen f x( ) en la

base B' de m y A la matriz asociada a la aplicación lineal referida a las bases consideradas. Núcleo e imagen en su expresión matricial : De acuerdo con la expresión matricial de una

aplicación lineal, podemos expresar: • el núcleo en la forma: { }0ker =∈= AXXf n

• la imagen en la forma: { }YAXXYf nm =∈∃∈= ,Im .

Teorema de la dimensión : Dada una aplicación lineal mnf →: , se tiene:

ffn kerdimImdimdim += Matriz asociada a un cambio de base : Sean dos bases del mismo espacio vectrial n

{ }B v v vn= 1 2, , ..., y { }nvvvB ',...,','' 21= .

Se llama matriz asociada al cambio de base a la matriz traspuesta de la formada por los coeficientes del sistema que resulta de expresar los vectores de la base B1, como combinación lineal de los vectores de la base B. Es decir:

v a v a v a v

v a v a v a v

v a v a v a v

P

a a a

a a a

a a a

n n

n n

n n n nn n

n

n

n n nn

' ...

' ...

... ... ... ... ... ... ... ...

' ...

...

...

... ... ... ...

...

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

11 12 1

21 22 2

1 2

= + + += + + +

= + + +

⇒ =

A esta matriz P se la denomina matriz del cambio de base y ha de ser una matriz regular ( P ≠ 0), pues de lo contrario los vectores de la base 'B serían linealmente dependientes.

El sistema anterior se puede expresar en forma matricial:



( ) ( )v v v v v v

a a a

a a a

a a a

n n

n

n

n n nn

' ' ... ' ...

...

...

... ... ... ...

...

1 2 1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

=

Ecuación de un cambio de base : Esta ecuación relaciona las coordenadas de un vector en dos bases distintas y es de la forma: 'PXX = , siendo X la matriz columna de las coordenadas del vector x en la base B, X' la matriz columna de las coordenadas del vector x en la base B1 y P la matriz del cambio de base.

Homomorfismo y cambio de base : Es claro que al efectuar un cambio de bases se modifica la

matriz asociada a una aplicación lineal.

Expresión de la nueva matriz : Sea A la matriz asociada a una aplicación lineal mnf →: referida a las bases B de n y B' de m . La ecuación, en este caso será:

Y AX= . Si nos referimos a unas nuevas bases B1 de

n y B'1 de m , la nueva matriz asociada a la

aplicación lineal será A' y, en consecuencia, la ecuación será: Y A X' ' '= , siendo X' e Y' las matrices columna de las coordenadas de los vectores x y f x( ) en las nuevas bases.

Llamando P y Q a las matrices de los cambios de base en V y W, respectivamente, las ecuaciones de los cambios de base son X PX= ' e Y QY= ' .

En resumen, escribiremos: Y AX QY APX Y Q AP X= ⇒ = ⇒ = −' ' ' ( ) '1

Podemos concluir que A Q AP'= −1 ya que la expresión matricial de una aplicación lineal, para unas bases dadas, es única. Será la matriz asociada en las nuevas bases.

Caso particular : Si ambos espacios vectoriales coinciden, entonces P Q= y, por tanto,

A P AP'= −1 , lo cual nos asegura que las matrices asociadas a un endomorfismo en distintas bases son semejantes.

Composición de aplicaciones lineales : Sea mnf →: una aplicación lineal tal que

)(xfy = y pmg →: otra aplicación lineal en la que )(ygz = . Con ambas se puede

definir una tercera aplicación lineal pnh →: mediante: ))(()( xfgxh = que también es lineal.

A esta nuena aplicación h se la denomina composición de las aplicaciones f y g y se escribe: fgh o= .

Matricialmente, sean fA (matriz de orden nm× ) y gA (matriz de orden mp× ),

respectivamente, las matrices asociadas a las aplicaciones f y g, se tiene: XAY f= , YAZ g=

Combinando ambas expresiones se tiene: XAAZ fg=

Esto es, la matriz asociada a la composición de f y g es: fgh AAA =

2. El espacio vectorial V),L(U Definición : Dados dos espacios vectoriales ),,( KU ⋅+ y ),,( KV ⋅+ ambos sobre el mismo cuerpo

conmutativo K, se designa por ),( VUL al conjunto de todas las aplicaciones lineales entre ambos espacios vectoriales.



Es inmediato comprobar, a través del teorema de caracterización de subespacios que ),( VUL es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las aplicaciones de U en V.

Ejemplo : Dado el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de en , ),( L ,

comprobar que el sistema de aplicaciones lineales { }321 ,, fff dadas por )0,0,1()1( 11 == ef ,

)0,1,0()1( 22 == ef , )1,0,0()1( 33 == ef constituye una base de dicho espacio vectorial.

Solución: Puesto que en cualquier número no nulo es base, se ha tomado por comodidad la unidad. Sea f una aplicación cualquiera de ),( L , entonces: ),,()1( 321 xxxf = . Veamos si puede

expresarse como combinación lineal de { }321 ,, fff :

)1(),,()1()1()1()1)(( 321332211332211332211 fxxxexexexfxfxfxfxfxfx ==++=++=++

En consecuencia { }321 ,, fff es un sistema generador.

Estudiamos si son linealmente independientes: De 0332211 ffxfxfx =++ (siendo 0f la aplicación nula) se deduce:

⇒=++ )1()1)(( 0332211 ffxfxfx )0,0,0()1()1()1()1( 0332211 ==++ ffxfxfx

En consecuencia 0)0,0,0(),,( 321321 ===⇒= xxxxxx

Por lo tanto, el sistema { }321 ,, fff es una base de ),( L 3),(dim =⇒ L

Isomorfismos de espacios vectoriales . Definición : Un isomorfismo entre dos espacios

vectoriales definidos sobre el mismo cuerpo conmutativo K es una aplicación lineal biyectiva. En este caso se dice que los espacios vectoriales son isomorfos.

Consecuencias : 1. Si U es un espacio vectorial sobre K de dimensión finita n )1( ≥n , entonces U y nK son

espacios vectoriales isomorfos. 2. Dos espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo conmutativo) de igual dimensión

(finita) son isomorfos. 3. Dados dos espacios vectoriales U y V de dimensión finita (no nula) y una aplicación

lineal entre ellos y dada una base { }nuuu ,...,, 21 de U, la condición necesaria y suficiente para

que la aplicación lineal sea un isomorfismo es que el sistema { })(,...,)(,)( 21 nufufuf sea una

base de V. 4. Si dos espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos, entonces tienen la misma

dimensión. 5. Una condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal f entre dos espacios

vectoriales, de la misma dimensión finita n, sea un isomorfismo es que su rango coincida con la dimensión común ( nf =rango ).

Ejemplo : Estudiar si el endomorfismo en ),,(),,( 213132321 xxxxxxxxxf +++= es un

isomorfismo. Solución: Estudiamos su núcleo: Los elementos que pertenecen al núcleo verifican:

0

0

0

0

321

21

31

32

===⇒

=+=+=+

xxx

xx

xx

xx



por tanto el núcleo es el vector nulo y, en consecuencia su dimensión es cero. Por el teorema de la dimensión deducimos que la dimensión del subespacio imagen es tres. En consecuencia la aplicación es inyectiva y suprayectiva. Por tanto es un isomorfismo.

Formas lineales. Espacio dual : Se ha definido anteriormente (como caso particular de

aplicación lineral) una forma lineal como una aplicación lineal de un espacio vectorial U en un cuerpo conmutativo K, considerado como espacio vectorial.

Sabemos que el conjunto ),( KUL de las aplicaciones lineales de U en K es un espacio vectorial, al que se denomina espacio dual de U, y se representa por U*. Esto es

),(* KULU = . Ejemplo : Estudiar cómo es el espacio dual del espacio vectorial 2 : *)( 2 Solución: Sea un elemento ,()*( 22 Lf =∈ . Para determinarlo, bastará con conocer las imágenes,

por f, de los vectores de una base de 2 (por ejemplo de la base canónica). Sea 1)1,0( af = y

2)1,0( af = . Por tanto, para cualquier vector de 2 se tiene:

22112121 ))1,0()0,1((),( axaxxxfxxf +=+=

Por tanto, el conjunto *)( 2 es el conjunto de las aplicaciones f de 2 en que verifican:

2211212

21 ),(,),( axaxxxfxx +=∈∀ para algunos números reales 1a , 2a . Consecuencias : 1. Si U es un espacio vectorial de dimensión finita (no nula) n, U* es de la misma

dimensión. 2. Si U es un espacio vectorial de dimensión finita (no nula) y { }nuuuA ,...,, 21= es una

base del mismo, y { }**2

*1 ,...,,* nuuuA = es su base dual, entonces para el vector Ux∈ de

coordenadas nxxx ,...,, 21 , en la base A, se verifica: ii xxu =)(* para ni ,...,2,1=

Ejemplo : Hallar la base dual de la base canónica de 3 . Solución: Se trata de hallar la base { }∗∗∗∗ = 321 ,, eeeBC dual de la base { }321 ,, eeeBC = de 3 .

Las componentes y coordenadas de un vector, referido a la base canónica, son las mismas, por tanto: 332211321 ),,( exexexxxx ++= De la consecuencia anterior se deduce:

13211 ),,( xxxxe =∗ , 23212 ),,( xxxxe =∗ , 33213 ),,( xxxxe =∗

Por ejemplo: →∗ 3

1 :e es una forma lineal que asocia al vector 3321 ),,( ∈xxx el vector

∈1x . Ortogonalidad : Dado un espacio vectorial U de dimensión finita, sea U* su dual. Se dice que un

elemento ∗∈Uf y un vector Uv ∈ son ortogonales si se verifica: 0)( =vf .

Consecuencia : El conjunto de vectores de U que son ortogonales a f, constituye el núcleo

de ( fker ).



Aplicación afin. Definición : Dados dos espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo conmutativo K y una aplicación VU →Φ : , se dice que es afín si existe un vector Vv ∈ y una aplicación lineal VUf →: tales que: )()(, xfvxUx +=Φ∈∀

Ejemplo : Sea →Φ 2: tal que 132),( 2121 ++=Φ xxxx . Ver si es aín. Solución: Sea →2:f la aplicación lineal definida por 2121 32),( xxxxf += . Si llamamos 1=v

(vector de ), se tiene: ),(),(,),( 2121

221 xxfvxxxx +=Φ∈∀

En consecuencia la aplicación dada es afín. Consecuencias : 1. La aplicación VU →Φ : determina unívocamente el vector Vv ∈ y la aplicación lineal

VUf →: .

2. La imagen, mediante una aplicación afín, de una combinación afín de vectores de U es igual a la misma combinación afín de sus imágenes, es decir, si nvvv ,...,, 21 son vectores de U

y nλλλ ,...,, 21 son escalares de K, tales que 1...21 =+++ nλλλ , entonces se verifica:

)(...)()()...( 22112211 nnnn vvvvvv Φ++Φ+Φ=+++Φ λλλλλλ

3. La imagen mediante una aplicación afín de un subespacio afín de U es un subespacio afín de V. Es decir que si 1Uu + es un subespacio afín de U, se verifica:

)())(()( 11 UfufvUu ++=+Φ

4. La imagen inversa por Φ de un subespacio afín de V puede ser el conjunto vacío. 5. Si la imagen inversa por Φ de un subespacio afín de V no es el conjunto vacío, entonces

esta imagen inversa es un subespacio afín de U.



TEMA III. Matrices I. Matrices Definición : Llamamos matriz a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Se

representa en la forma:

A

a a a

a a a

a a a

a

n

n

m m mn

ij=

=

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

( )

Observamos que cada elemento lleva dos subíndices, el primero indica la fila en la que está el elemento y el segundo la columna. Así, el elemento aij es un elemento que está en la fila i-

ésima y en la columna j-ésima. A las matrices las designaremos mediante letras mayúsculas. Orden de una matriz : Decimos que una matriz es de orden m n× si tiene m filas y n columnas. Diversos tipos de matrices 1. Matriz fila: Es una matriz de orden 1× n , es decir tiene una sóla fila. 2. Matriz columna: Es una matriz de orden m×1, es decir tiene una sóla columna.

Nota: Una matriz de orden nm× puede considerarse como como un sistema de m vectores fila (de n ) o un sistema de n vectores columna (de m )

3. Matriz cuadrada: Aquella matriz de orden n n× (nº de filas = nº de columnas). Diagonal principal de una matriz cuadrada: Llamamos así al conjunto de los

elementos a i nii , , ,...,= 1 2 4. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos, excepto los de

la diagonal principal, son nulos: 5. Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que a i nii = =cte., , ,...,1 2

6. Matriz unidad: Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son todos igual a la unidad. Se representa por In ó I si no hay lugar a confusión.

7. Matriz nula: Es una matriz, cuadrada o rectangular, en la que todos sus elementos son nulos.

8. Matriz triangular superior (inferior) o escalonada: Es aquella matriz cuadrada, tal que todos sus elementos por debajo (por encima) de la diagonal principal son nulos.

Igualdad entre matrices : Se dice que dos matrices A aij= ( ) y B bij= ( ) son iguales si, siendo del

mismo orden, los elementos que ocupan los mismos lugares, en ambas matrices, son iguales. Es decir, si: njmiba ijij ,...,2,1y,...,2,1, =∀=∀= .

Suma de matrices : Dadas dos matrices A aij= ( ) y B bij= ( ) del mismo orden (pueden ser

cuadradas o rectangulares), se define la suma de ambas matrices como otra matriz, del mismo orden que aquellas, cuyos elementos sean la suma de los correspondientes elementos de las matrices A y B ( ijijij basBAS +=⇔+= ).

Propiedades y elementos notables : a. Conmutativa: ∀ ∈ + = +×A B A B B Am n, :M b. Asociativa: ∀ ∈ + + = + +×A B C A B C A B Cm n, , : ( ) ( )M c. Elemento neutro: AAAA nmnm =+=+∈∀∋∈∃ ×× )0()0(:)0( MM



d. Elemento opuesto: )0(''', =+=+∋∈∃∈∀ ×× AAAAAA nmnm MM . A esta matriz A' la

designaremos por –A. Producto de una matriz por un número : Dada la matriz A aij m n= ∈ ×( ) M , se define su

producto por un número real k ≠ 0, como otra matriz B bij m n= ∈ ×( ) M cuyos elementos son los

de la primitiva multiplicados por dicho número: b kaij ij= .

Propiedades : a. Distributiva respecto de la suma en : bAaAAbaAba nm +=+∈∀∈∀ × )(:,, M

b. Distributiva respecto de la suma en Mm n× : aBaABAaBAa nm +=+∈∀∈∀ × )(:,, M

c. Asociatividad mixta: AabbAaAba nm )()(:,, =∈∀∈∀ ×M

d. Para toda matriz nmA ×∈ M , se verifica: AA =1

Estructura del conjunto Mm n× : El conjunto Mm n× con las operaciones suma de matrices y

producto por un número tiene, vistas las propiedades anteriores, estructura de espacio vectorial.

El elemento neutro será la matriz nula: )0( .

El elemento opuesto de la matriz )( jiaA = será la matriz opuesta: )( jiaA −=−

Producto de matrices : Dadas dos matrices A m n∈ ×M y B n r∈ ×M (con los órdenes indicados) se

define el producto A B× (en este orden) como otra matriz P m r∈ ×M , cuyos elementos son de

la forma: p a b a b a b a bij is sj

s

n

i j i j in nj= = + + +=∑

11 1 2 2 ...

Es decir, que cada elemento pij de la matriz producto se obtiene mediante la suma de los

productos de los elementos de la fila i-ésima de la primera matriz por los elementos de la columna j-ésima de la segunda.

En general, el producto de matrices no es conmutativo, por lo cual habrá que distinguir el producto por la izquierda (premultiplicación) y por la derecha (postmultiplicación).

Nota 1. En el caso de que se verifique AB BA= se dice que ambas matrices conmutan. Es

evidente que en este caso ambas matrices han de ser cuadradas y del mismo orden. Nota 2. Las matrices nula y unidad (cuadradas) conmutan con cualquier matriz del mismo

orden que ellas. Nota 3. El hecho de que el producto de dos matrices sea la matriz nula, no implica que alguna

de las matrices lo sea, como lo prueba el siguiente Propiedades : a. Asociativa: ∀ ∈ ∈ ∈ =× × ×A B C A BC AB Ch k k m m nM M M, , : ( ) ( )

b. Distributiva respecto de la suma de matrices: ACABCBACBA pnnm +=+∈∀∈∀ ×× )(:,, MM

Potencias de una matriz cuadrada : Llamaremos An a la matriz resultante de multiplicar la

matriz cuadrada A consigo misma un número *∈n de veces. Este cálculo se efectúa empleando la propiedad asociativa:

)...))(((:*, AAAAApA p

nn =∈∀∈∀ × M , siendo A I n n

0 = ∈ ×M



Matriz traspuesta : Dada una matriz A m n∈ ×M , llamamos traspuesta de ésta, a otra matriz B n m∈ ×M obtenida de la primera convirtiendo las filas en columnas y viceversa, sin modificar su orden relativo, es decir: b a aij ij

t

ji= = .

A la matriz traspuesta de la matriz A la designaremos por B At= . Consecuencias :

a. La traspuesta de una suma de matrices, del mismo orden, es igual a la suma de las traspuestas de las matrices, es decir: ( )A B A Bt t t+ = +

b. La traspuesta de un producto de matrices, con los órdenes necesarios, es igual al producto de las traspuestas cambiadas de orden, esto es: ( )AB B At t t=

Matriz simétrica : Una matriz cuadrada se dice simétrica, si es igual a su traspuesta: A A t= . Matriz antisimétrica : Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica (o hemisimétrica), si es

igual a la opuesta de su traspuesta: A At= − . Consecuencia : Toda matriz cuadrada A se puede descomponer, en forma única, como suma

de una matriz simétrica S y otra antisimétrica T.



II. Determinantes (Apéndice A) Definición : Determinante es un valor numérico de una matriz cuadrada y equivale a la suma de

todos los productos posibles que se pueden efectuar con los elementos de dicha matriz, de tal forma que en cada producto intervenga un elemento y sólo uno de cada fila y un elemento y sólo uno de cada columna.

El signo, positivo o negativo de estos productos vendrá dado por la clase de la permutación de los subíndices de las columnas (supuestos ordenados los de las filas según la permutación principal), según que dicha clase sea par o impar. Es decir:

A

a a a

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

v

i i ni

vn

= = −∑

11 12 1

21 22 2

1 2

1 211 2

...

...

... ... ... ...

...

( ) ...

donde v indica el número de inversiones de los subíndices de las columnas respecto de la permutación principal.

Consecuencias

a. El número de factores de cada sumando será igual al número de filas o columnas de la matriz, o sea n.

b. El número de sumandos será igual al número de permutaciones que se puedan efectuar con los subíndices correspondientes a las columnas, es decir n!.

c. Se demuestra que la mitad de los sumandos llevan signo positivo y la otra mitad negativo.

Algunos determinantes particulares :

a. Es evidente que si 1=n se tiene 1111 aaA ==

b. Determinante de una matriz de orden 2: Aa a

a aa a a a= = −11 12

21 2211 22 12 21

c. Determinante de una matriz de tercer orden:

A

a a a

a a a

a a a

= =11 12 13

21 22 23

31 32 33

312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++

De este desarrollo se deduce la regla de Sarrus, válida para determinantes de orden 3. d. El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal: ∏=

=n

i

iiaA1

Para el cálculo de determinantes de orden superior al tercero, se utilizan técnicas que veremos mas adelante, salvo en el caso siguiente:

Propiedades de los determinantes : a. El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta ( A At= ).

Consecuencia : Toda propiedad que, en un determinante, se pueda demostrar para filas, es válida también para columnas.

b. Al cambiar, entre si, dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo pero mantiene su valor absoluto.

Consecuencia : Si un determinante tiene dos líneas (filas o columnas) iguales, su valor es cero.



c. Si en un determinante multiplicamos los elementos de una línea por un número k ≠ 0, el determinante queda multiplicado por dicho número.

Consecuencia : Un determinante con dos líneas proporcionales, vale cero. Menor complementario de un elemento : Es el determinante de orden n −1 que resulta de

suprimir, en el determinante primitivo, la fila y la columna correspondientes a dicho elemento. Será αhk el menor complementario del elemento que ocupa la fila h y la columna k.

Adjunto de un elemento : Es el polinomio aritmético que resulta de sacar factor común a dicho

elemento de todos los sumandos en los que interviene en el desarrollo del determinante. Lo designaremos por Ahk .

Se demuestra que el adjunto de un elemento es igual al menor complementario de dicho elemento afectado de un signo, positivo o negativo, según que la suma de los subíndices (fila y columna) del elemento sea par o impar: hk

kh

hkA α+−= )1(

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea : Si en el desarrollo de un

determinante se saca factor común, sucesivamente, a los elementos de una línea de todos los sumandos en los que intervienen dichos elementos, según lo dicho anteriormente, quedará cada uno de ellos multiplicado por su adjunto correspondiente, es decir:

A a A a A a Ah h h h nh nh= + + +1 1 2 2 ...

Por lo tanto, un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos respectivos.

Consecuencias :

a. La suma de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela es igual a cero.

b. Si todos los elementos de una línea de un determinante se descomponen en el mismo número de sumandos, el determinante puede descomponerse en suma de determinantes, tantos como sumandos, con el resto de las líneas iguales.

c. Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras paralelas, el valor del determinante es cero.

d. Si a una línea de un determinante se le añade una combinación lineal de otras paralelas, su valor no se modifica.

Producto de determinantes : El producto de dos determinantes del mismo orden es un número

(como producto de dos números) que se puede expresar como otro determinante, del mismo

orden que aquellos, cuyos elementos son de la forma: ∑=

=n

r

rjirij bap1

Determinante de un producto de matrices : Se demuestra que el determinante de un producto

de matrices cuadradas del mismo orden, es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: AB A B= .

Cálculo de determinantes : Aplicando las propiedades anteriores, se puede hallar el valor de un

determinante de cualquier orden, reduciendo sucesivamente su orden.



III. Otros tipos de matrices Matriz regular : Es una matriz cuadrada, tal que su determinante (valor numérico) es distinto de

cero. Matriz singular : Es una matriz cuadrada, cuyo determinante vale cero. Matriz inversa : Llamamos matriz inversa de una matriz cuadrada A, supuesto que sea regular

( )A ≠ 0 , a otra matriz que designaremos por A−1 y que verifica: AA A A I− −= =1 1 Matriz adjunta : Dada una matriz cuadrada A, se llama adjunta de dicha matriz a la matriz

traspuesta de la formada por los adjuntos de los elementos de la primera matriz en el correspondiente determinante.

Cálculo de la matriz inversa : Si A es una matriz regular, se tiene:

A

AAAAI

A

AAIA

A

A

A

AAαα

α =⇒==⇒=

= −− 11

...00

............

0...0

0...0

Matriz ortogonal : Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal cuando verifica:

a ai j

i jir jr

r

n

=∑ =

=≠

1

1

0

si

si

Consecuencias de las definiciones : a. La inversa de la inversa de una matriz, es la propia matriz: ( )A A− − =1 1 . b. Si existe, la matriz inversa es única.

c. Si una matriz tiene inversa, el determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz.

d. Dada una matriz simétrica, su inversa también es una matriz simétrica e. Si A y B son dos matrices regulares del mismo orden, existe la inversa de su producto y

es el igual al producto de las inversas en orden contrario. f. Si una matriz admite inversa, la traspuesta de la matriz inversa es igual a la inversa de la

matriz traspuesta. g. Si A es una matriz ortogonal, se tiene: IAAt = . h. En una matriz ortogonal, su inversa y su traspuesta coinciden. i. La inversa de una matriz ortogonal, es otra matriz ortogonal. j. El producto de dos matrices ortogonales, es otra matriz ortogonal. Relaciones entre matrices :

1. Relación de semejanza: Se dice que dos matrices A B n n, ∈ ×M son semejantes si existe

una matriz P regular, del mismo orden que aquellas, tal que: B P AP= −1 2. Relación de congruencia: Se dice que dos matrices A B n n, ∈ ×M son congruentes si

existe una matriz P regular, del mismo orden que aquellas, tal que B P APt= . Rango (o característica) de una matriz : El rango de una matriz es el número de filas (o

columnas) linealmente independientes que contiene.



Otra definición : También se puede definir el rango de una matriz como: El orden del mayor menor no nulo. Es decir, una matriz será de rango h, si todos los menores complementarios de dicha matriz de orden h +1 son nulos, existiendo, al menos, un menor de orden h distinto de cero.

Nota: Equivalente a estudiar la dependencia e independencia lineal de vectores. Propiedades : El rango de una matriz se conserva por transformaciones elementales. Esto es: a. El rango no se modifica si se traspone la matriz. b. Si se cambian entre si dos líneas de una matriz, su rango no se modifica. c. Si se multiplican los elementos de una línea de una matriz por un número no nulo, el

rango no varía. d. Si a una línea de una matriz se le agrega una línea que sea combinación lineal de las

restantes, el rango no varía. Cálculo práctico del rango

1. Método de Gauss, triangulando la matriz (obteniendo una matriz triangular superior), mediante el empleo de las propiedades anteriores que conservan el rango de la matriz.

2. Cálculo secuencial, a partir de un menor no nulo, orlándolo con las sucesivas filas y columnas.

3. Mediante tranformaciones elementales.



TEMA 4. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación : Es una igualdad que se verifica para algunos valores de los parámetros. A estos

parámetros se les denomina incógnitas de la ecuación. Solución de una ecuación : Es el valor o valores de las incógnitas que satisfacen a dicha

ecuación. Identidad : Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las incógnitas. Ecuación lineal : Se dice que una expresión polinómica es una ecuación lineal si las incógnitas no

aparecen multiplicadas entre sí ni elevadas a una potencia mayor que la unidad. Sistema de ecuaciones lineales : Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de

expresiones de la forma: a x a x a x y

a x a x a x y

a x a x a x y

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

...

...

... ... ... ... ... ... ... ...

...

Siendo los aij (con 1 1≤ ≤ ≤ ≤i m j n, ) números conocidos, así como los yi , (siendo

1 ≤ ≤i m ). Los elementos x j con 1≤ ≤j n son las incógnitas (o valores desconocidos).

Cuando iyi ∀= ,0 , el sistema se dice homogéneo.

Solución de un sistema : Se llama así a la n-tupla ( , ,..., )x x xn1

020 0 que satisface todas las

ecuaciones del anterior sistema. Definición : Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es compatible si tiene solución e

incompatible si carece de ella. Definición : Un sistema de ecuaciones lineales compatible es determinado si la solución es única e

indeterminado si tiene mas de una (en este caso se comprueba que serán infinitas). Sistemas equivalentes : Dos ecuaciones (o dos sistemas de ecuaciones) con las mismas

incógnitas se dicen equivalentes, si tienen las mismas soluciones. Esto quiere decir que toda solución del primer sistema es solución del segundo y recíprocamente.

Transformaciones elementales :

a: Al cambiar entre si dos ecuaciones de un sistema, se obtiene otro sistema equivalente al primero.

b: Al multiplicar una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al anterior.

c: Si a una ecuación de un sistema lineal se le suma un múltiplo de otra ecuación, el sistema obtenido es equivalente al primero.

Interpretación matricial de un sistema lineal : El anterior sistema de ecuaciones lineales lo

podemos escribir en forma matricial, de la siguiente manera:



a a a

a a a

a a a

x

x

x

y

y

y

AX Y

n

n

m m mn n m

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

...

...

... ... ... ...

...

... ...

=

⇒ =

Donde: A es la matriz de los coeficientes X es la matriz columna (o vector), desconocida, de las incógnitas Y es la matriz columna (o vector) de los términos independientes Esta expresión YAX = , como veremos mas adelante, corresponde a la ecuación matricial de

una aplicación lineal. Nota. Las transformaciones elementales indicadas para sistemas de ecuaciones, son válidas

como transformaciones por filas de una matriz. Sistema de Cramer : En el caso de que la matriz A sea inversible (cuadrada tal que A ≠ 0), una

solución será: X A Y0 1= − , puesto que: AX A A Y AA Y IY Y0 1 1= = = =− −( ) ( )

Además esta solución será única, pues si existiera otra X10, se tendría:

X A A X A AX A Y X10 1

10 1

10 1 0= = = =− − −( ) ( )

Resumen : Siempre que la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, sea inversible, el sistema admite solución única y se llama sistema de Cramer.

Solución de un sistema de Cramer : Dado un sistema de Cramer, la solución única se puede

calcular en la forma:

X

x

x

x

A YA

A A A

A A A

A A A

y

y

yn

n

n

n n nn n

0

10

20

0

1

11 21 1

12 22 2

1 2

1

21=

= =

⇒−

...

...

...

... ... ... ...

...

...

( )⇒ = + + + = =xA

A y A y A yA Y

Ai ni i i ni n

i01 1 2 2

112...

( ), , ,...,

Donde A Yi ( ) representa el determinante de la matriz A, en la que se ha sustituido la columna i-ésima por la columna de los términos independientes.

Interpretación vectorial de un sistema lineal : Dada la matriz A de los coeficientes de un

sistema de ecuaciones, llamemos:

( )nm

mi

i

i

i aaaA

a

a

a

a ...... 212

1

=⇒∈

=

El sistema de ecuaciones AX Y= , lo escribimos:

AX x a x a x a

y

y

y

Yn n

m

= + + + =

=1 1 2 2

1

2......

Existirá solución del sistema si y sólo si el vector Y es combinación lineal del sistema de vectores { }a a an1 2, ,..., .



Teorema : La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX Y=

tenga mas de una solución, es que los vectores { }a a an1 2, ,..., sean linealmente dependientes.

Teorema de Rouché-Fröbenius

Teorema 1 : La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX Y= tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de dicha matriz ampliada con los términos independientes.

Teorema 2 : La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales

AX Y= tenga más de una solución es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de dicha matriz ampliada con los términos independientes y que dicho rango sea menor que n.

Resumen :

1. Si rango rango( ) ( )A AY n= = existe solución única. El sistema es compatible y determinado.

2. Si rango rango( ) ( )A AY h n= = < existen infinitas soluciones. El sistema es compatible e indeterminado.

3. Si rango rango( ) ( )A AY≠ el sistema no tiene solución. Es incompatible. El método de Gauss : Este método se basa en las transformaciones elementales de una matriz,

mediante las que se pasa de una matriz cualquiera a otra triangular superior (o escalonada). Sistemas homogéneos : Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, cuando

todos los términos independientes son cero. Esto es: a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

n n

n n

m m mn n

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

+ + + =+ + + =

+ + + =

...

...

... ... ... ... ... ... ... ...

...

De lo visto anteriormente se deduce que todo sistema homogéneo siempre tiene solución. Esta será única (solución nula) cuando rango (A) = n y poseerá infinitas soluciones en caso contrario. Es decir, un sistema homogéneo posee solución no trivial si y sólo si A = 0.



TEMA 5. Sucesiones de números reales Definición : Sea una aplicación f : ∗ → , tal que a cada número natural, distinto de cero, le

asocia un número real. Se llama sucesión de números reales al conjunto de las imágenes en dicha aplicación.

El número real f n( ) se representa por un y se denomina término general de la sucesión. Una sucesión se representa en la forma:

{ } { }u r f n r nn = ∈ = ∀ ∈ ∗ ( ) ,

A los elementos imágenes se les llama elementos o términos de la sucesión. Límite finito de una sucesión de números reales : Se dice que una sucesión { }nu de

números reales, tiene por límite L (tiende al límite L) y se escribe Lunn

=∞→

lim , cuando para

todo número 0>ε , tan pequeño como se quiera, existe un número natural 0n (que en general

dependerá de ε ), tal que para todo 0nn > , se verifica: ε<− Lun .

Consecuencia : La desigualdad u Ln − < ε , puede escribirse en la forma:

− < − < ⇒ − < < +ε ε ε εu L L u Ln n Esto nos indica que si L es el límite de la sucesión { }un , en todo entorno suyo hay puntos de

la sucesión, en consecuencia L es punto de acumulación de la sucesión. Así pues, un entorno del límite L, contiene todos los puntos de la sucesión a partir del n0 en adelante. Fuera de dicho entorno, sólo habrá un número finito de puntos de la sucesión.

Límite infinito de una sucesión de números reales : Se dice que una sucesión de números

reales { }nu tiende a infinito o que su límite es infinito, y escribiremos limn

nu→∞= ∞ , cuando para

todo número H positivo, tan grande como se quiera, existe un número natural n0 tal que, para todo n n> 0 se verifica que: u Hn > .

Consecuencia : Para que una sucesión de números reales tenga por límite infinito, es

necesario que tenga un punto de acumulación en el infinito. Carácter de una sucesión

1. Sucesión convergente: Diremos que una sucesión { }un es convergente si tiene límite

finito 2. Sucesión divergente: Diremos que una sucesión { }un es divergente si tiene límite

infinito. 3. Sucesión oscilante: Diremos que una sucesión { }un es oscilante si tiene mas de un

límite. 4. Sucesiones con términos repetidos: Son aquellas sucesiones de números reales tales

que uno o varios de sus términos se repiten un número indefinido de veces. Definición de sucesión de Cauchy : Se dice que una sucesión { }un de números reales es de

Cauchy si a todo número ε > 0,arbitrariamente elegido, se le pueda asociar un número natural n0 tal que, para todo par de valores p y q mayores que n0 , se verifique que u up q− < ε .

εε <−⇒>∋∈∃>∀ qp uunppn 00 ,,,0



Propiedades de los límites de sucesiones 1. Unicidad del límite: Si una sucesión tiene límite (finito o infinito), éste es único. 2. Acotación: Si una sucesión tiene un límite finito L y es c L> , a partir de un término n0

en adelante se verifica que c un> .

Consecuencia: Si tenemos dos sucesiones { }un y { }vn convergentes, de límites

respectivos L y L', si se verifica L L> ' , a partir de un término n0 en adelante, se verifica: u vn n> .

Caso particular: Si c = 0, la propiedad anterior se traduce: A partir de un término n0 en adelante, los términos de la sucesión tienen el mismo signo que su límite, siempre que éste sea distinto de cero.

3. Sucesión comprendida entre otras dos: Si dos sucesiones tienen un límite común, toda sucesión cuyos términos se conserven comprendidos entre los dos correspondientes de aquellas, tiene el mismo límite.

4. Sucesiones contenidas en otras a. Definición: Diremos que una sucesión { }un está contenida en otra { }vn , cuando

todo elemento de la primera (manteniendo el orden) pertenece a la segunda, pudiendo tener ésta otros elementos.

b. Propiedad: Toda sucesión contenida en otra, convergente o divergente, tiene el mismo carácter que ésta.

5. Sucesiones crecientes y decrecientes

a. Definición: Se dice que una sucesión { }un es monótona no decreciente (no

creciente), si se verifica: u u u u nn n n n≤ ≥ ∀ ∈+ +∗

1 1( ),

Diremos que una sucesión { }un es monótona creciente (decreciente) si:

u u u u nn n n n< > ∀ ∈+ +∗

1 1( ),

b. Propiedad: Toda sucesión creciente (decreciente) que esté acotada superiormente (inferiormente), tiene límite finito.

c. Aplicación. El número e: La sucesión cuyo término general es un

n

n

= +

1

1,

tiene límite finito por ser creciente y acotada superiormente. Este límite es

limn

n

ne

→∞+

=1

1 ( )≅ 2 7182818284' ...

Caso general: Dada una sucesión { }un tal que lim un = +∞ , se verifica:

limn

n

u

ue

n

→∞+

=1

1

Cálculo de límites

1. Límite de la suma o diferencia: Si las sucesiones { }un y { }vn tienden,

respectivamente, a los límites finitos L y L', las sucesiones { }u vn n+ y { }u vn n−

tienden a L L+ ' y L L− ' , respectivamente. Casos particulares de la suma: a. Si la sucesión { }un tiene por límite +∞ − ∞ ∞, ó , y { }vn es una sucesión acotada,

la sucesión { }u vn n+ tiene por límite +∞ − ∞ ∞, ó , respectivamente.

b. Si las dos sucesiones { }un y { }vn tienen por límite +∞ − ∞ó , su suma tiene el

mismo límite.



2. Límite del producto: Si las sucesiones { }un y { }vn tienen límites finitos L y L',

respectivamente, la sucesión { }u vn n tiene por límite L L. '.

Casos particulares del producto: a. Si la sucesión { }un tiene por límite cero y la sucesión { }vn está acotada, el límite

del producto es cero. b. Si la sucesión { }un tiene por límite infinito y el límite de la sucesión { }vn es

positivo, el límite del producto es infinito. 3. Límite del cociente: Si las sucesiones { }un y { }vn tienen límites finitos L y L' (éste, al

menos, no nulo), respectivamente, la sucesión { }u vn n/ tiene por límite L L/ ' .

Casos particulares del cociente: a. Si la sucesión { }un está acotada y la sucesión { }vn tiene por límite infinito, la

sucesión { }u vn n/ tiene por límite cero.

b. Si los términos de la sucesión { }un se conservan, en valor absoluto, superiores a

un número fijo k la sucesión { }vn tiende a cero, la sucesión { }u vn n/ tiene por límite

infinito. c. Si la sucesión { }un tiende a infinito y la sucesión { }vn está acotada, la sucesión

{ }u vn n/ tiene por límite infinito.

4 Límite del logaritmo: Si la sucesión { }un es convergente y de términos positivos

( )u nn > ∀0 y su límite es L > 0, se tiene: limn

a n au L a→∞

= >log log ( )1

Consecuencia: Esta última igualdad pone de manifiesto que la operación de tomar logaritmos es conmutable con la operación de paso al límite.

5. Límite de una expresión exponencial: Dado un número a positivo y una sucesión

{ }un convergente y de límite L, se verifica que: limn

u La an

→∞= .

6. Límite de una expresión potencial: Dada una sucesión { }un convergente de límite

L > 0, se verifica: limn

n

p pu L→∞

= .

7. Límite de una expresión potencial – exponencial: Dadas las sucesiones { }un y { }vn

de límites finitos L( )> 0 y L', respectivamente, se verifica: limn

n

v Lu Ln

→∞= ' .

Infinitésimos : Se dice que una sucesión { }un es un infinitésimo, cuando el límite del término

general de la sucesión es cero: limn

nu→∞= 0 .

1. Comparación: Se dice que una sucesión infinitésimo { }un es de orden superior, igual o

inferior que otra sucesión infinitésimo { }vn , según que:

limn

n

n

u

v→∞= ≠

∞

0

0λ



Nota. Si este límite no existe, se dice que los infinitésimos no son comparables.

2. Equivalencia: Se dice que dos sucesiones infinitésimos son equivalentes, cuando el

límite de su cociente de sus términos generales es la unidad. limn

n

n

u

v→∞= 1

3. Sustitución: En el cálculo de límites puede sustituirse un factor o divisor, infinitésimo,

por otro equivalente, sin que varíe dicho límite. 4. Principales equivalencias: Las siguientes equivalencias, que las justificaremos mas

adelante, son especialmente útiles en el cálculo de límites. Si lim

nnu→∞

= 0 se tienen las siguientes:

ln ( )1+ ≈u un n u u u u un n n n n≈ ≈ ≈ ≈sen arcsentag arctag Infinitos : Se dice que una sucesión { }un es un infinito, cuando el límite del término general de la

sucesión es infinito: limn

nu→∞= ∞ .

1. Comparación: Se dice que una sucesión infinito { }un es de orden superior, igual o

inferior que otra sucesión infinito { }vn , según que:

limn

n

n

u

v→∞=

∞≠

λ 0

0

Nota. Si este límite no existe, se dice que los infinitos no son comparables.

2. Equivalencia: Se dice que dos sucesiones infinitos son equivalentes, cuando el límite

del cociente de sus términos generales es la unidad. limn

n

n

u

v→∞= 1

3. Sustitución: En el cálculo de límites puede sustituirse un factor o divisor, infinito, por otro equivalente, sin que varíe dicho límite.

4. Principales equivalencias: Las siguientes equivalencias, que se justificarán mas adelante, son especialmente útiles en el cálculo de límites.

a n a n a n a a np p

p p

p

0 11

1 0+ + + + ≈−−... ,, n n e nn n! ≈ − 2π (fórmula de Stirling)

Dominancias entre términos generales de sucesiones Entendiendo que el símbolo << debe leerse mucho menor que y interpretándose en el sentido

de que el cociente u vn n , siendo u vn n<< , tiende a cero, se tiene:

ln !n n b n na n n<< << << << siendo a > 0 y b > 1.



Límites indeterminados : Son los siguientes:

condiciones operación símbolos

limn

nu→∞= 0, lim

nnv→∞

= 0 limn→∞

( )u vn n ( )0 0

limn

nu→∞= ∞, lim

nnv→∞

= ∞ limn→∞

( )u vn n ( )∞ ∞

limn→∞

= ∞un , limn→∞

=vn 0 limn→∞

( )u vn n ( )∞0

limn

nu→∞= ∞, lim

nnv→∞

= ∞ limn→∞

−( )u vn n ( )∞ − ∞

limn

nu→∞= 0, lim

nnv→∞

= 0 limn→∞

unvn

( )0 0

limn→∞

= +∞un , limn→∞

=vn 0 limn→∞

unvn

( )∞ 0

limn→∞

=un 1, limn→∞

= ∞vn limn→∞

unvn

( )1∞

Vamos a considerar los tipos generales de expresiones indeterminadas y cuyo límite puede hallarse:

1. Expresiones racionales de la forma )( ∞∞ : Es el caso más sencillo y se representa mediante el cociente de dos polinomios con n como variable. La solución en los posibles casos es:

lim

si

si

sin

p p

p

q q

q

a n a n a

b n b n b

p q

a b p q

p q→∞

−

−

+ + ++ + +

=<

=∞ >

0 11

0 11 0 0

0...

...

Estas soluciones se obtienen dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de n.

A partir de los resultados precedentes, vemos que: limn

p p

p

p

a n a n a

a n→∞

−+ + +=0 1

1

0

1...

En consecuencia, ambos infinitos son equivalentes. 2. Expresiones de la forma )( ∞−∞ : Se puede reducir a la anterior mediante las técnicas

expresadas en los siguientes ejemplos: 3. Expresiones de la forma 0)(∞ : La expresión indicada, se puede poner en la forma

( )∞ ∞ mediante:

lim limn

n nn

n

n

u vu

v→∞ →∞= ∞ = = ∞

∞

( ) ( )0

1

4. Expresiones de la forma 0)0( : Son también reducibles al caso anterior:

lim limn

n

nn

n

n

u

v

v

u→∞ →∞= = = ∞

∞

0

0

1

1

5. Expresiones de la forma

∞1 : Pueden expresarse en la forma:

( ) ( )limlim

nn

vv u

u e en nn n

→∞

∞ − ∞= = =→∞11) 0(

.



6. Expresiones de la forma

00 ó

∞0 : Ambos casos se pueden reducir a los

estudiados anteriormente, teniendo en cuenta que:

( ) ( )lim ólim

nn

vv u

u e en nn n

→∞

∞= ∞ = =→∞0 0 0 0ln.

7. Criterio de Stolz: Sean { }na y { }bn dos sucesiones. Si existe 1

1lim−

−

∞→ −−

nn

nn

n bb

aa, entonces:

1

1limlim−

−

∞→∞→ −−

=nn

nn

nn

n

n bb

aa

b

a, siempre que { }bn sea una sucesión monótona divergente.

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