Revisado por el Doctor en matemática · que la curvatura del espacio-tiempo en cualquier lugar del...
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Revisado por el Doctor en matemaacutetica
1 DESCRIPCIOacuteN DE LA UNIDAD DIDAacuteTICA 11 BREVE DESCRIPCIOacuteN El UNIVERSO esta habitado por asteroides planetas estrellas galaxias agujeros negros agujeros de gusano materia y energiacutea oscura y objetos que auacuten el ser humano no conoce como el Espacio mismo De acuerdo a la teoriacutea General de la relatividad la materia curva el Espacio por lo tanto la Gravitacioacuten de Newton fue reducida a un problema de curvatura del
Espacio La ecuacioacuten de campo gravitacional de Einstein Gμν = 8π Tμν expresa
que la curvatura del espacio-tiempo en cualquier lugar del universo (Gμν) debe
ser igual a la distribucioacuten de la materia (8π Tμν ) (Ver Graacutefica 1)
Grafica 1 Grafica 2
El problema no es tan sencillo como a primera vista se ve ya que el universo no es homogeneo y al parecer fuera de agujeros negros (Grafica 2) que tienen una curvatura (negativa) muy diferente a la de la Grafica 1 exixte la materia oscura la energiacutea oscura y la Expanciacuteon del Universo de las cuales no nos ocuparemos en esta guia Por ahora en el universo existen curvatura positiva negativa y cero Eacutestas tres curvaturas son las mismas que se encuentran en la geometria esferica geometria Hiperboacutelica y euclidiana respectivamente Esta es la razoacuten que nos
motiva e invita a estudiar geometrias no euclidianas y desarrollar la intuicion hacia la cosmologia moderna (la nueva visioacuten del Universo) y en el futuro desarrollar la matematica tanto de las geometrias no euclidianas como de la teoria de la relatividad y la mecagravenica cuantica La guia se desenvuelve para los integrantes del Grupo Galois de grado 8 con una duracioacuten de 4 sesiones de 2 horas cada una El eacutenfasis se pondraacute en desarrollar el pensamiento espacial usando las operaciones mentales de observacioacuten comparacion anaacutelisis razonamiento hipoteacutetico razonamiento loacutegico y siacutentesis en las poderosas y asombrosas fotografias del telescopio Hubble y las graacutefica hechas por fisicos matemaacuteticos y las fantasticas conclusiones de Albert Einstein
12 JUSTIFICACIOgraveN
Desde que el hombre pudo explorar el espacio a traveacutes del telescopio Hubble quedo maravillado Pero ya desde la eacutepoca de las cavernas se preguntaba queacute son las estrellas Sabemos hoy algo de las estrellas pero el nuevo misterio es el espacio mismo Nos preguntamos iquestQue es el espacio iquestCoacutemo se formo iquestQue forma tiene iquestQue lo compone iquestQue extensioacuten tiene iquestSe puede observar en eacutel alguacuten tipo de geometriacutea Las geometriacuteas no euclidianas te acercan a la verdadera forma del Espacio seguacuten la teoriacutea de la relatividad y la mecaacutenica cuaacutentica Esta unidad didaacutectica te invita a que construyas una nueva imagen del universo a partir del estudio de las geometriacuteas Lobachevski y Riemann
Quiero romper con el paradigma de la geometriacutea euclidiana en la escuela Estoy empentildeado en una revolucioacuten que este maacutes cerca de la connotacioacuten antigua de la GEOMETRIA medir la tierra Pero La tierra no es plana es una esfera Invitamos y convocamos a los participantes a construir la nueva imagen del universo que se sustenta en las geometriacuteas de Lobachevski y Riemann que atraviesa la meacutetrica de Minkowski como requisitos fundamentales para entender la mecaacutenica cuaacutentica y la teoriacutea de la relatividad Nuestra experiencia de la geometriacutea a traveacutes de la escuela y las vivencias por fuera de la misma nos han llevado a pensar que la uacutenica superficie que existe es la plana Pero no Realmente existen otras superficies tales como tu propia piel la caacutescara de la naranja la caacutescara de la pintildea la superficie de los planetas de los agujeros negros de los agujeros de gusano entre otras Ademaacutes dado que el universo es una caja de sorpresas es posible que existan otras geometriacuteas que quizaacutes hasta el momento no han sido imaginadas por el hombre
Hoy queremos mostrar a ustedes lo faacutecil que es concebir conocer entender las tres geometriacutea baacutesicas euclidiana rimanniana y lobachevskiana y los principales resultados matemaacuteticos que de ellas se derivan y lo mas importante como nos ayudan a entender el ESPACIO Despueacutes de leer los fines de la educacioacuten los lineamientos curriculares de matemaacutetica y los estaacutendares baacutesicos de competencias en matemaacutetica queda uno convencido de que para sus autores no es importante que los colombianos desde preescolar hasta 11 nos demos cuenta que vivimos en un planeta que no es plano y lo peor que el espacio infinito tampoco lo es Son 2 las razones que me motivan a pensar que esto es asiacute
1) Arrastramos por mas de 2000 antildeos el peso de una geometriacutea (Euclidiana) que solo se usa de manera local en un aacuterea como una ciudad y que ademaacutes nada tiene que ver con la realidad la tierra no es plana la palma de la mano no es plana el sanitario no es plano ni un solidoacute perfecto la silla de montar y las mujeres presentan curvas que nada tienen que ver con Euclides
2) La segunda razoacuten es que no tenemos investigacioacuten espacial No tenemos sateacutelites artificiales y tampoco nos interesa la Fiacutesica moderna que usa las geometriacuteas no Euclidianas para su perfecta comprensioacuten
Cambiar de paradigma es de las cosas maacutes duras que hay hasta para los propios cientiacuteficos Si Kant (el filosofo) pudiera regresar a la vida estariacutea arrepentido de haber defendido tanto a Euclides
Tampoco soy el primero que dice ABAJO EUCLIDES Riemann Hilbert y Klein lo dijeron primero que yo Estoy convencido que al nintildeo se le debe hablar y mostrar la geometriacutea de la esfera de los agujeros negros (Grafica 4) o de la silla de montar (Grafica 5) antes de hablarle de Euclides El 99999999999999999 de las superficies no son planas y existen en ellas triaacutengulos y cuadrilaacuteteros con propiedades que contradicen el sentido comuacuten provocado por la geometriacutea Euclidiana Para la propuesta que traigo hoy dejemos el sentido comuacuten en la casa y salgamos de viaje con la INTUICIOacuteN
Grafica 4 Grafica 5
2 ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDAacuteCTICA 21 METAS COGNITIVAS
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAacuteS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicadores 211 Identifica diferentes superficies en el Universo Planas esfeacutericas
hiperboacutelicas 212 Distingue las formas de los triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en cada una de las
superficies 213 Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados 214 Observa que en el globo terraacutequeo existen cuadrilaacuteteros con 2 aacutengulos
rectos lados iguales y que los otros 2 aacutengulos no son rectos 215 Aclara sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann La suma de los aacutengulos interiores de un triangulo es menor de 180 grados y mayor respectivamente
216 Relaciona las curvaturas de las geometriacuteas no euclidianas con las conclusiones de Einstein
217 Argumenta que la geometriacutea del Espacio o parte de el se soporta en las geometriacuteas no euclidianas como modelo
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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1 DESCRIPCIOacuteN DE LA UNIDAD DIDAacuteTICA 11 BREVE DESCRIPCIOacuteN El UNIVERSO esta habitado por asteroides planetas estrellas galaxias agujeros negros agujeros de gusano materia y energiacutea oscura y objetos que auacuten el ser humano no conoce como el Espacio mismo De acuerdo a la teoriacutea General de la relatividad la materia curva el Espacio por lo tanto la Gravitacioacuten de Newton fue reducida a un problema de curvatura del
Espacio La ecuacioacuten de campo gravitacional de Einstein Gμν = 8π Tμν expresa
que la curvatura del espacio-tiempo en cualquier lugar del universo (Gμν) debe
ser igual a la distribucioacuten de la materia (8π Tμν ) (Ver Graacutefica 1)
Grafica 1 Grafica 2
El problema no es tan sencillo como a primera vista se ve ya que el universo no es homogeneo y al parecer fuera de agujeros negros (Grafica 2) que tienen una curvatura (negativa) muy diferente a la de la Grafica 1 exixte la materia oscura la energiacutea oscura y la Expanciacuteon del Universo de las cuales no nos ocuparemos en esta guia Por ahora en el universo existen curvatura positiva negativa y cero Eacutestas tres curvaturas son las mismas que se encuentran en la geometria esferica geometria Hiperboacutelica y euclidiana respectivamente Esta es la razoacuten que nos
motiva e invita a estudiar geometrias no euclidianas y desarrollar la intuicion hacia la cosmologia moderna (la nueva visioacuten del Universo) y en el futuro desarrollar la matematica tanto de las geometrias no euclidianas como de la teoria de la relatividad y la mecagravenica cuantica La guia se desenvuelve para los integrantes del Grupo Galois de grado 8 con una duracioacuten de 4 sesiones de 2 horas cada una El eacutenfasis se pondraacute en desarrollar el pensamiento espacial usando las operaciones mentales de observacioacuten comparacion anaacutelisis razonamiento hipoteacutetico razonamiento loacutegico y siacutentesis en las poderosas y asombrosas fotografias del telescopio Hubble y las graacutefica hechas por fisicos matemaacuteticos y las fantasticas conclusiones de Albert Einstein
12 JUSTIFICACIOgraveN
Desde que el hombre pudo explorar el espacio a traveacutes del telescopio Hubble quedo maravillado Pero ya desde la eacutepoca de las cavernas se preguntaba queacute son las estrellas Sabemos hoy algo de las estrellas pero el nuevo misterio es el espacio mismo Nos preguntamos iquestQue es el espacio iquestCoacutemo se formo iquestQue forma tiene iquestQue lo compone iquestQue extensioacuten tiene iquestSe puede observar en eacutel alguacuten tipo de geometriacutea Las geometriacuteas no euclidianas te acercan a la verdadera forma del Espacio seguacuten la teoriacutea de la relatividad y la mecaacutenica cuaacutentica Esta unidad didaacutectica te invita a que construyas una nueva imagen del universo a partir del estudio de las geometriacuteas Lobachevski y Riemann
Quiero romper con el paradigma de la geometriacutea euclidiana en la escuela Estoy empentildeado en una revolucioacuten que este maacutes cerca de la connotacioacuten antigua de la GEOMETRIA medir la tierra Pero La tierra no es plana es una esfera Invitamos y convocamos a los participantes a construir la nueva imagen del universo que se sustenta en las geometriacuteas de Lobachevski y Riemann que atraviesa la meacutetrica de Minkowski como requisitos fundamentales para entender la mecaacutenica cuaacutentica y la teoriacutea de la relatividad Nuestra experiencia de la geometriacutea a traveacutes de la escuela y las vivencias por fuera de la misma nos han llevado a pensar que la uacutenica superficie que existe es la plana Pero no Realmente existen otras superficies tales como tu propia piel la caacutescara de la naranja la caacutescara de la pintildea la superficie de los planetas de los agujeros negros de los agujeros de gusano entre otras Ademaacutes dado que el universo es una caja de sorpresas es posible que existan otras geometriacuteas que quizaacutes hasta el momento no han sido imaginadas por el hombre
Hoy queremos mostrar a ustedes lo faacutecil que es concebir conocer entender las tres geometriacutea baacutesicas euclidiana rimanniana y lobachevskiana y los principales resultados matemaacuteticos que de ellas se derivan y lo mas importante como nos ayudan a entender el ESPACIO Despueacutes de leer los fines de la educacioacuten los lineamientos curriculares de matemaacutetica y los estaacutendares baacutesicos de competencias en matemaacutetica queda uno convencido de que para sus autores no es importante que los colombianos desde preescolar hasta 11 nos demos cuenta que vivimos en un planeta que no es plano y lo peor que el espacio infinito tampoco lo es Son 2 las razones que me motivan a pensar que esto es asiacute
1) Arrastramos por mas de 2000 antildeos el peso de una geometriacutea (Euclidiana) que solo se usa de manera local en un aacuterea como una ciudad y que ademaacutes nada tiene que ver con la realidad la tierra no es plana la palma de la mano no es plana el sanitario no es plano ni un solidoacute perfecto la silla de montar y las mujeres presentan curvas que nada tienen que ver con Euclides
2) La segunda razoacuten es que no tenemos investigacioacuten espacial No tenemos sateacutelites artificiales y tampoco nos interesa la Fiacutesica moderna que usa las geometriacuteas no Euclidianas para su perfecta comprensioacuten
Cambiar de paradigma es de las cosas maacutes duras que hay hasta para los propios cientiacuteficos Si Kant (el filosofo) pudiera regresar a la vida estariacutea arrepentido de haber defendido tanto a Euclides
Tampoco soy el primero que dice ABAJO EUCLIDES Riemann Hilbert y Klein lo dijeron primero que yo Estoy convencido que al nintildeo se le debe hablar y mostrar la geometriacutea de la esfera de los agujeros negros (Grafica 4) o de la silla de montar (Grafica 5) antes de hablarle de Euclides El 99999999999999999 de las superficies no son planas y existen en ellas triaacutengulos y cuadrilaacuteteros con propiedades que contradicen el sentido comuacuten provocado por la geometriacutea Euclidiana Para la propuesta que traigo hoy dejemos el sentido comuacuten en la casa y salgamos de viaje con la INTUICIOacuteN
Grafica 4 Grafica 5
2 ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDAacuteCTICA 21 METAS COGNITIVAS
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAacuteS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicadores 211 Identifica diferentes superficies en el Universo Planas esfeacutericas
hiperboacutelicas 212 Distingue las formas de los triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en cada una de las
superficies 213 Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados 214 Observa que en el globo terraacutequeo existen cuadrilaacuteteros con 2 aacutengulos
rectos lados iguales y que los otros 2 aacutengulos no son rectos 215 Aclara sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann La suma de los aacutengulos interiores de un triangulo es menor de 180 grados y mayor respectivamente
216 Relaciona las curvaturas de las geometriacuteas no euclidianas con las conclusiones de Einstein
217 Argumenta que la geometriacutea del Espacio o parte de el se soporta en las geometriacuteas no euclidianas como modelo
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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motiva e invita a estudiar geometrias no euclidianas y desarrollar la intuicion hacia la cosmologia moderna (la nueva visioacuten del Universo) y en el futuro desarrollar la matematica tanto de las geometrias no euclidianas como de la teoria de la relatividad y la mecagravenica cuantica La guia se desenvuelve para los integrantes del Grupo Galois de grado 8 con una duracioacuten de 4 sesiones de 2 horas cada una El eacutenfasis se pondraacute en desarrollar el pensamiento espacial usando las operaciones mentales de observacioacuten comparacion anaacutelisis razonamiento hipoteacutetico razonamiento loacutegico y siacutentesis en las poderosas y asombrosas fotografias del telescopio Hubble y las graacutefica hechas por fisicos matemaacuteticos y las fantasticas conclusiones de Albert Einstein
12 JUSTIFICACIOgraveN
Desde que el hombre pudo explorar el espacio a traveacutes del telescopio Hubble quedo maravillado Pero ya desde la eacutepoca de las cavernas se preguntaba queacute son las estrellas Sabemos hoy algo de las estrellas pero el nuevo misterio es el espacio mismo Nos preguntamos iquestQue es el espacio iquestCoacutemo se formo iquestQue forma tiene iquestQue lo compone iquestQue extensioacuten tiene iquestSe puede observar en eacutel alguacuten tipo de geometriacutea Las geometriacuteas no euclidianas te acercan a la verdadera forma del Espacio seguacuten la teoriacutea de la relatividad y la mecaacutenica cuaacutentica Esta unidad didaacutectica te invita a que construyas una nueva imagen del universo a partir del estudio de las geometriacuteas Lobachevski y Riemann
Quiero romper con el paradigma de la geometriacutea euclidiana en la escuela Estoy empentildeado en una revolucioacuten que este maacutes cerca de la connotacioacuten antigua de la GEOMETRIA medir la tierra Pero La tierra no es plana es una esfera Invitamos y convocamos a los participantes a construir la nueva imagen del universo que se sustenta en las geometriacuteas de Lobachevski y Riemann que atraviesa la meacutetrica de Minkowski como requisitos fundamentales para entender la mecaacutenica cuaacutentica y la teoriacutea de la relatividad Nuestra experiencia de la geometriacutea a traveacutes de la escuela y las vivencias por fuera de la misma nos han llevado a pensar que la uacutenica superficie que existe es la plana Pero no Realmente existen otras superficies tales como tu propia piel la caacutescara de la naranja la caacutescara de la pintildea la superficie de los planetas de los agujeros negros de los agujeros de gusano entre otras Ademaacutes dado que el universo es una caja de sorpresas es posible que existan otras geometriacuteas que quizaacutes hasta el momento no han sido imaginadas por el hombre
Hoy queremos mostrar a ustedes lo faacutecil que es concebir conocer entender las tres geometriacutea baacutesicas euclidiana rimanniana y lobachevskiana y los principales resultados matemaacuteticos que de ellas se derivan y lo mas importante como nos ayudan a entender el ESPACIO Despueacutes de leer los fines de la educacioacuten los lineamientos curriculares de matemaacutetica y los estaacutendares baacutesicos de competencias en matemaacutetica queda uno convencido de que para sus autores no es importante que los colombianos desde preescolar hasta 11 nos demos cuenta que vivimos en un planeta que no es plano y lo peor que el espacio infinito tampoco lo es Son 2 las razones que me motivan a pensar que esto es asiacute
1) Arrastramos por mas de 2000 antildeos el peso de una geometriacutea (Euclidiana) que solo se usa de manera local en un aacuterea como una ciudad y que ademaacutes nada tiene que ver con la realidad la tierra no es plana la palma de la mano no es plana el sanitario no es plano ni un solidoacute perfecto la silla de montar y las mujeres presentan curvas que nada tienen que ver con Euclides
2) La segunda razoacuten es que no tenemos investigacioacuten espacial No tenemos sateacutelites artificiales y tampoco nos interesa la Fiacutesica moderna que usa las geometriacuteas no Euclidianas para su perfecta comprensioacuten
Cambiar de paradigma es de las cosas maacutes duras que hay hasta para los propios cientiacuteficos Si Kant (el filosofo) pudiera regresar a la vida estariacutea arrepentido de haber defendido tanto a Euclides
Tampoco soy el primero que dice ABAJO EUCLIDES Riemann Hilbert y Klein lo dijeron primero que yo Estoy convencido que al nintildeo se le debe hablar y mostrar la geometriacutea de la esfera de los agujeros negros (Grafica 4) o de la silla de montar (Grafica 5) antes de hablarle de Euclides El 99999999999999999 de las superficies no son planas y existen en ellas triaacutengulos y cuadrilaacuteteros con propiedades que contradicen el sentido comuacuten provocado por la geometriacutea Euclidiana Para la propuesta que traigo hoy dejemos el sentido comuacuten en la casa y salgamos de viaje con la INTUICIOacuteN
Grafica 4 Grafica 5
2 ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDAacuteCTICA 21 METAS COGNITIVAS
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAacuteS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicadores 211 Identifica diferentes superficies en el Universo Planas esfeacutericas
hiperboacutelicas 212 Distingue las formas de los triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en cada una de las
superficies 213 Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados 214 Observa que en el globo terraacutequeo existen cuadrilaacuteteros con 2 aacutengulos
rectos lados iguales y que los otros 2 aacutengulos no son rectos 215 Aclara sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann La suma de los aacutengulos interiores de un triangulo es menor de 180 grados y mayor respectivamente
216 Relaciona las curvaturas de las geometriacuteas no euclidianas con las conclusiones de Einstein
217 Argumenta que la geometriacutea del Espacio o parte de el se soporta en las geometriacuteas no euclidianas como modelo
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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Quiero romper con el paradigma de la geometriacutea euclidiana en la escuela Estoy empentildeado en una revolucioacuten que este maacutes cerca de la connotacioacuten antigua de la GEOMETRIA medir la tierra Pero La tierra no es plana es una esfera Invitamos y convocamos a los participantes a construir la nueva imagen del universo que se sustenta en las geometriacuteas de Lobachevski y Riemann que atraviesa la meacutetrica de Minkowski como requisitos fundamentales para entender la mecaacutenica cuaacutentica y la teoriacutea de la relatividad Nuestra experiencia de la geometriacutea a traveacutes de la escuela y las vivencias por fuera de la misma nos han llevado a pensar que la uacutenica superficie que existe es la plana Pero no Realmente existen otras superficies tales como tu propia piel la caacutescara de la naranja la caacutescara de la pintildea la superficie de los planetas de los agujeros negros de los agujeros de gusano entre otras Ademaacutes dado que el universo es una caja de sorpresas es posible que existan otras geometriacuteas que quizaacutes hasta el momento no han sido imaginadas por el hombre
Hoy queremos mostrar a ustedes lo faacutecil que es concebir conocer entender las tres geometriacutea baacutesicas euclidiana rimanniana y lobachevskiana y los principales resultados matemaacuteticos que de ellas se derivan y lo mas importante como nos ayudan a entender el ESPACIO Despueacutes de leer los fines de la educacioacuten los lineamientos curriculares de matemaacutetica y los estaacutendares baacutesicos de competencias en matemaacutetica queda uno convencido de que para sus autores no es importante que los colombianos desde preescolar hasta 11 nos demos cuenta que vivimos en un planeta que no es plano y lo peor que el espacio infinito tampoco lo es Son 2 las razones que me motivan a pensar que esto es asiacute
1) Arrastramos por mas de 2000 antildeos el peso de una geometriacutea (Euclidiana) que solo se usa de manera local en un aacuterea como una ciudad y que ademaacutes nada tiene que ver con la realidad la tierra no es plana la palma de la mano no es plana el sanitario no es plano ni un solidoacute perfecto la silla de montar y las mujeres presentan curvas que nada tienen que ver con Euclides
2) La segunda razoacuten es que no tenemos investigacioacuten espacial No tenemos sateacutelites artificiales y tampoco nos interesa la Fiacutesica moderna que usa las geometriacuteas no Euclidianas para su perfecta comprensioacuten
Cambiar de paradigma es de las cosas maacutes duras que hay hasta para los propios cientiacuteficos Si Kant (el filosofo) pudiera regresar a la vida estariacutea arrepentido de haber defendido tanto a Euclides
Tampoco soy el primero que dice ABAJO EUCLIDES Riemann Hilbert y Klein lo dijeron primero que yo Estoy convencido que al nintildeo se le debe hablar y mostrar la geometriacutea de la esfera de los agujeros negros (Grafica 4) o de la silla de montar (Grafica 5) antes de hablarle de Euclides El 99999999999999999 de las superficies no son planas y existen en ellas triaacutengulos y cuadrilaacuteteros con propiedades que contradicen el sentido comuacuten provocado por la geometriacutea Euclidiana Para la propuesta que traigo hoy dejemos el sentido comuacuten en la casa y salgamos de viaje con la INTUICIOacuteN
Grafica 4 Grafica 5
2 ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDAacuteCTICA 21 METAS COGNITIVAS
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAacuteS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicadores 211 Identifica diferentes superficies en el Universo Planas esfeacutericas
hiperboacutelicas 212 Distingue las formas de los triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en cada una de las
superficies 213 Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados 214 Observa que en el globo terraacutequeo existen cuadrilaacuteteros con 2 aacutengulos
rectos lados iguales y que los otros 2 aacutengulos no son rectos 215 Aclara sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann La suma de los aacutengulos interiores de un triangulo es menor de 180 grados y mayor respectivamente
216 Relaciona las curvaturas de las geometriacuteas no euclidianas con las conclusiones de Einstein
217 Argumenta que la geometriacutea del Espacio o parte de el se soporta en las geometriacuteas no euclidianas como modelo
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
Tampoco soy el primero que dice ABAJO EUCLIDES Riemann Hilbert y Klein lo dijeron primero que yo Estoy convencido que al nintildeo se le debe hablar y mostrar la geometriacutea de la esfera de los agujeros negros (Grafica 4) o de la silla de montar (Grafica 5) antes de hablarle de Euclides El 99999999999999999 de las superficies no son planas y existen en ellas triaacutengulos y cuadrilaacuteteros con propiedades que contradicen el sentido comuacuten provocado por la geometriacutea Euclidiana Para la propuesta que traigo hoy dejemos el sentido comuacuten en la casa y salgamos de viaje con la INTUICIOacuteN
Grafica 4 Grafica 5
2 ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDAacuteCTICA 21 METAS COGNITIVAS
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAacuteS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicadores 211 Identifica diferentes superficies en el Universo Planas esfeacutericas
hiperboacutelicas 212 Distingue las formas de los triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en cada una de las
superficies 213 Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados 214 Observa que en el globo terraacutequeo existen cuadrilaacuteteros con 2 aacutengulos
rectos lados iguales y que los otros 2 aacutengulos no son rectos 215 Aclara sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann La suma de los aacutengulos interiores de un triangulo es menor de 180 grados y mayor respectivamente
216 Relaciona las curvaturas de las geometriacuteas no euclidianas con las conclusiones de Einstein
217 Argumenta que la geometriacutea del Espacio o parte de el se soporta en las geometriacuteas no euclidianas como modelo
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
2 ELEMENTOS QUE COMPONEN LA UNIDAD DIDAacuteCTICA 21 METAS COGNITIVAS
RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HUBBLE LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAacuteS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicadores 211 Identifica diferentes superficies en el Universo Planas esfeacutericas
hiperboacutelicas 212 Distingue las formas de los triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en cada una de las
superficies 213 Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos
interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados 214 Observa que en el globo terraacutequeo existen cuadrilaacuteteros con 2 aacutengulos
rectos lados iguales y que los otros 2 aacutengulos no son rectos 215 Aclara sustenta y muestra usando Geogebra los resultados de
Lobachevski y Riemann La suma de los aacutengulos interiores de un triangulo es menor de 180 grados y mayor respectivamente
216 Relaciona las curvaturas de las geometriacuteas no euclidianas con las conclusiones de Einstein
217 Argumenta que la geometriacutea del Espacio o parte de el se soporta en las geometriacuteas no euclidianas como modelo
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
22 CONTENIDOS
221 Conceptos previos 222 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como
parte de el
223 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 224 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y
cuadrilaacuteteros en diferentes superficies 225 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con las
superficie hiperboacutelica y esfeacuterica 226 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann 227 Curvaturas 228 Las superficies en el Espacio 229 iquestQueacute deforma el Espacio 2210 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna 2211 Meacutetricas 2212 La duda de Einstein 2213 El tensor de Riemann Los tres uacuteltimos numerales son para un nivel superior
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
221 CONCEPTOS PREVIOS 2211 Tangente a una curva en un punto 2212 Aacutengulo entre 2 curvas 2213 Telescopio Hubble 2214 Agujero Negro 2215 Superficie 2211 Tangente a una curva en un punto Liacutenea que toca la curva en ese punto
2212 Aacutengulo entre 2 curvas
Aacutengulo entre dos curvas que se cortan
Es el aacutengulo que forman las rectas tangentes si existen a las curvas en el punto de corte
Se pude usar el programa Geogebra para medir eacuteste tipo de aacutegulos
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
GeoGebra
2213 Telescopio Hubble La extensioacuten del ojo humano para mirar en la actualidad al Cosmos
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
2214 Agujero Negro
Lectura 1
ldquoUn agujero negro u hoyo negro es una regioacuten del espacio-tiempo provocada por una gran
concentracioacuten de masa en su interior con enorme aumento de la densidad lo que provoca un
campo gravitatorio tal que ninguna partiacutecula material ni siquiera los fotones de luz puede
escapar de dicha regioacuten
La curvatura del espacio-tiempo o laquogravedad de un agujero negroraquo provoca una singularidad
envuelta por una superficie cerrada llamada horizonte de sucesos Esto es debido a la gran
cantidad de energiacutea del objeto celeste El horizonte de sucesos separa la regioacuten del agujero negro
del resto del Universo y es la superficie liacutemite del espacio a partir de la cual ninguna partiacutecula
puede salir incluyendo la luz Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general la que
predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio En los antildeos 70 Hawking
Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometriacutea de los
agujeros negros1 Previamente en 1963 Roy Kerr habiacutea demostrado que en un espacio-tiempo de
cuatro dimensiones todos los agujeros negros debiacutean tener una geometriacutea cuasi-esfeacuterica
determinada por tres paraacutemetros su masa M su carga eleacutectrica total e y su momento angular L
Se cree que en el centro de la mayoriacutea de las galaxias entre ellas la Viacutea Laacutectea hay agujeros
negros supermasivos La existencia de agujeros negros estaacute apoyada en observaciones
astronoacutemicas en especial a traveacutes de la emisioacuten de rayos X por estrellas binarias y galaxias
activasrdquo
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
2215 Superficie Entenderemos por superficie lo que envuelve al cuerpo la piel o los liacutemites del objeto
221 Superficies que se han encontrado en el universo y en la naturaleza como parte de el
1) El profesor sentildeala una superficie plana El tablero (Grupo Galois)
2) La superficie de la mano derecha del profesor
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
3) La piel es la superficie del cuerpo humano
4) La superficie de las frutas
5) La superficie de los animales
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
6) La superficie de la tierra y la luna
7) Superficie de un agujero negro
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
8) Superficie de un cometa
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
9) La superficie del Espacio
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
222 Triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies Definiremos nominalmente (como lo hace un nintildeo con la palabra mama) algunos conceptos TRIANGULOS i) Triaacutengulo Plano Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie plana
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
ii) Triaacutengulo hiperboacutelico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie hiperboacutelica
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
iii) Triaacutengulo esfeacuterico Objeto de tres lados Tres aacutengulos y tres veacutertices formado en una superficie esfeacuterica
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
CUADRILATEROS
Observe como pueden existir i) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C agudos ii) Un cuadrilaacutetero con 2 aacutengulos rectos lados AD = BC y aacutengulos D y C obtusos
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
223 Resultados de la suma de los aacutengulos interiores de triaacutengulos y cuadrilaacuteteros en diferentes superficies
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
Observe que la suma de los aacutengulos interiores del triaacutengulo esfeacuterico (en la esfera) es 90deg + 90deg + 50deg = 230deg En el plano es 50deg + 40deg + 90deg = 180deg
89deg + 89deg + 60deg + = 238deg
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
La suma en el triaacutengulo hiperboacutelico es la siguiente 23deg + 23deg + 90deg = 136deg
224 Relacioacuten del postulado de las paralelas de la superficie plana con la superficie hiperboacutelica y la esfeacuterica
i) Seguacuten Euclides en la Superficie plana solo existe una paralela y solo una Los dos insectos caminaran infinitamente sobre el plano siempre en forma equidistante y jamaacutes se encontraran ii) Para Riemann en la esfera no existen paralelas ya que en los polos los insectos se encuentran
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
iii)Lobachevski plante que existe maacutes de una paralela Aquiacute toca replantear el concepto de paralelismo Observe simplemente que los insectos jamaacutes se encontraran Pero si esta muy preocupado lea lo siguiente
Lectura 2
ldquoParalelas en la geometriacutea hiperboacutelica
Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R
Un triaacutengulo en un plano con forma de una silla de montar (un paraboloide hiperboacutelico) asiacute como
dos rectas paralelas divergentes
El axioma de Bolyai equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice
que laquodada una recta r y un punto P externo a ella hay una y soacutelo una recta que pasa por P que
no intersecta a rraquo Comuacutenmente la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de paralela
a traveacutes de P
En geometriacutea hiperboacutelica este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas
distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a r De hecho para la geometriacutea hiperboacutelica
es posible demostrar una interesante propiedad hay dos clases de rectas que no intersectan a la
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
Pu
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
recta r Sea B un punto que pertenece r tal que la recta PB es perpendicular a r Considere la recta
l que pasa por P tal que l no intersecta a r y el aacutengulo theta entre PB y l (en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde PB) es lo maacutes pequentildeo posible (ie cualquier aacutengulo maacutes pequentildeo que
theta forzaraacute a la recta a intersectar a r) Esta (l) es llamada recta hiperparalela (o
simplemente recta paralela) en la geometriacutea hiperboacutelica
En forma similar la recta m que forma el mismo aacutengulo theta entre PB y siacute misma pero ahora en
sentido de las manecillas del reloj desde PB tambieacuten seraacute hiperparalela pero no pueden haber
otras Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a r forman aacutengulos maacutes grandes
que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas)
Note que al haber un nuacutemero infinito de aacutengulos posibles entre θ y 90ordm cada uno de eacutestos
determinaraacute dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r tendremos
entonces un nuacutemero infinito de rectas ultraparalelas Por consiguiente tenemos esta forma
modificada del Postulado de las Rectas Paralelas laquoEn geometriacutea hiperboacutelica dada una recta r y
un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P las cuales son
hiperparalelas a r e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a rraquo
Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas tambieacuten pueden ser vistas de la
siguiente forma la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja
infinitamente de PB por la recta R Sin embargo la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende
a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r El aacutengulo de paralelismo en la geometriacutea
Euclideana es una constante es decir cualquier longitud BP determinaraacute un aacutengulo de
paralelismo igual a 90 grados En la geometriacutea hiperboacutelica el aacutengulo de paralelismo variacutea con la
que es llamada la funcioacuten Π(p) Esta funcioacuten descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky
produce un aacutengulo uacutenico de paralelismo para cada longitud dada BP Mientras la longitud BP se
haga maacutes pequentildea el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a 90ordm Si la longitud BP incrementa sin
liacutemites el aacutengulo de paralelismo se acercaraacute a cero Note que debido a este hecho mientras las
distancias se hagan maacutes pequentildeas el plano hiperboacutelico se comportaraacute cada vez maacutes como la
Geometriacutea Euclidiana Por lo tanto a pequentildeas escalas un observador en el plano hiperboacutelico
tendraacute dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano
Euclideano En la geometriacutea eucliacutedea la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es siempre
180deg En la geometriacutea hiperboacutelica esta suma es siempre menor de 180deg siendo la diferencia
proporcional al aacuterea del triaacutengulordquo
225 Nacimiento de las geometriacuteas no euclidianas Lobachevski y Riemann Nacen al querer demostrar el quinto postulado Saccheri al tratar de demostrarlo por reduccioacuten al absurdo no llego a contradiccioacuten alguna y casi se enloquece ya que murioacute creyendo que habiacutea cometido un error
Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
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Bolyai (hijo) no escatimo ninguacuten esfuerzo y simplemente saco el quinto postulado del camino Hizo una geometriacutea que llamo absoluta Lobachevski fue el maacutes arriesgado negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta pueden pasar 2 paralelas he incorporo el resultado a los demaacutes axiomas de la geometriacutea euclidiana rompiendo el paradigma y todo el mundo se le fue encima Lo azotaron como a cristo Pero Al fin la geometriacutea hiperboacutelica triunfo Riemann sorprendioacute al mundo de 2 formas en lo que a geometriacutea respecta i) Negoacute el quinto postulado diciendo que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela retira tambieacuten el postulado 2 de Euclides y nace la geometriacutea esfeacuterica ii) Inventa la geometriacutea diferencial y le pone un modelo matemaacutetico a la teoriacutea de la relatividad Nace el Tensor de Riemann
226 Curvaturas ldquoLa curvatura de un objeto geomeacutetrico es un nuacutemero que mide cuaacuten curvo es este objeto Por ejemplo un plano tiene curvatura 0 una esfera de radio r gt 0 tiene curvatura 1r y la curvatura de una pseudoesfera es ndash1rdquo Plano curvatura = 0 Esfera de radio r curvatura = gt 0 1r Pseudoesfera curvatura lt 0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
227 Las superficies en el Espacio Hemos mostrado que en el universo se encuentran planetas y estrellas de forma esfeacuterica o no Agujeros negros y cometas (asteroides) en forma de trompeta o silla de montar respectivamente Todo tipo de GALAXIAS En forma local existen los planos Por lo tanto las tres geometriacuteas se encuentran en el espacio
1 CURVATURA POSITIVA 2 CURVATURA NEGATIVA 3 CURVATURA CERO
Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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Simulacioacuten de computadora que nos muestra la colisioacuten de dos agujeros negros asiacute como las ondas de choque que se espera que una colisioacuten asiacute produzca en la faacutebrica del espacio-tiempo del Universo
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
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El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
Pu
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1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
Estrella Eta Carinae Con un brillo unas 4 millones de veces mayor que el de nuestro Sol y con una masa por lo menos 100 veces mayor Es tambieacuten extremadamente inestable dando variaciones suacutebitas en luminosidad y cambios suacutebitos de aspecto que han causado en los astroacutenomos la impresioacuten de que se trata del equivalente de un volcaacuten que estaacute listo para explotar Algunos la han llamado ldquola estrella maacutes peligrosa en el cielordquo Y aunque estaacute situada a unos 7500 antildeos-luz de la Tierra auacuten a esa distancia podriacutea ocasionar un dantildeo severo a los sateacutelites que tenemos en oacuterbita
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
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wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
228 iquestQueacute deforma el Espacio El propio Einstein se tuvo que convencer que la materia distorsiona el Espacio La distorsioacuten es esfeacuterica hiperboacutelica o plana dependiendo del tipo de ente (materia) del Universo del que estemos hablando Se dice tambieacuten entonces que el universo presenta curvatura cero positiva o negativa Al parecer lo que DEFORMA EL ESPACIO (desde el punto de vista matemaacutetico) ES EL TENSOR de Riemann El Tensor de Riemann es una medida de la curvatura del espacio en cada punto Tensor que es producido por la expansioacuten del Universo Podemos pensar en la expansioacuten del universo como en una BOMBA que se esta inflando a una velocidad que es la constante de Hubble
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
229 Geometriacutea espacio-tiempo y cosmologiacutea moderna El espacio-tiempo de Einstein se pude modelar con geometriacutea Desaparece entonces la gravitacioacuten Newtoniana ya que los planetas no caen alrededor del sol si no que se encuentran girando en la deformacioacuten del espacio que produce el sol La meacutetrica que se encuentra en el seno de eacutesta geometriacutea que es la de minkowski inicialmente y luego el poderoso TENSOR DE RIEMANN tienen propiedades tan extrantildeas que contradicen la desigualdad triangular y explican la curvatura del espacio respectivamente dando una explicacioacuten bastante didaacutectica a la paradoja de los gemelos y a la teoriacutea de la relatividad general Einstein aplicando la poderosa matemaacutetica de Riemann logra establecer que el UNIVERSO ES GEOMETRIA Eacutesta es la razoacuten de ser de eacuteste trabajo que Einstein plantea en la siguiente ecuacioacuten
ldquoEn esta fotografiacutea Einstein escribioacute en el pizarroacuten lo siguiente
Rik = 0
El signo de interrogacioacuten que puso Einstein a la derecha de la expresioacuten indica
las dudas personales que ya albergaba sobre el modelo del Universo estaacutetico al
cual se habiacutea aferrado y por el cual introdujo en su ecuacioacuten tensorial la
constante cosmoloacutegica que tiempo despueacutes llamariacutea el error (intelectual) maacutes
grande de su vidardquo (ARM ANDO M ARTIacute NE Z )
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
23 Actividades 231 Sesioacuten 1 Tiempo dos horas 1 Diagnoacutestico oral y escrito sobre conocimiento de superficies aacutengulos y cuadrilaacuteteros en esas superficies 2 Lectura introductoria Cuento 3 Fotografiacuteas actuales tomadas por el telescopio espacial Hubble 4 Presentacioacuten video No1 ldquoel espacio -tiempordquo 5 Presentacioacuten video No 2 ldquoagujeros negros y agujeros de gusanordquo 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta 233 Sesioacuten 3 Tiempo dos horas 8 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie hiperboacutelica es menor a 180deg 9 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie esferica es mayor a 180deg 10 El mediador interviene durante un espacio de diez minutos para mostrar que existen otros tipos de triaacutengulos en otras superficies donde la suma de los aacutengulos interiores no es igual a 180deg
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
234 Sesioacuten 4 Tiempo dos horas 11 Se plantea a los estudiantes una situacioacuten problema sobre un viaje real sobre la superficie de la tierra 12 El mediador utilizando un modelo a escala del planeta tierra soluciona el problema mostrando coacutemo no se debe aplicar la geometriacutea euclidiana a ciertas situaciones y daacutendole el significado etimoloacutegico a la palabra geometriacutea medida de la tierra 13 Se solicita crear un cuento sobre el espacio-tiempo y geometriacuteas no-euclidianas
24 Materiales para la actividad 20 computadores con el programa geogebra instalado (Se baja gratis de Internet) 20 Tijeras 20 transportadores papel (cartulina) colores pegante Video beam CDS con los videos el espacio ndashtiempo agujeros negros y agujeros de gusano Un globo terraacutequeo Cinta de enmascarar 20 fotocopias par el diagnoacutestico 20 con el enunciado del problema
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
Actividad 2 232 Sesioacuten 2 Tiempo dos horas Aprenden a usar el programa GeoGebra 6 Utilizar el programa geogebra para que los nintildeos(as) puedan inferir la conclusioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo en una superficie plana es igual a 180deg 7 Los nintildeos elaboran la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg Utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta INSTITUCION EDUCATIVA ANTONIO JOSEacute BERNAL LONDONtildeO S J GRUPO GALOIS del grado 8 Fecha 27 de octubre de 2009 UNIDAD DIDAacuteCTICA EN BUSCA DE LA ESTRUCTURA DEL ESPACIO Estudiante __________________________________________________ Nota_________ Profesor Guillermo Leoacuten Roldaacuten Sosa META COGNITIVA RECURRIR A LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS PARA ENTENDER MEJOR LA GEOMETRIA DEL UNIVERSO POR MEDIO DEL DESARROLLO DE LA INTUICIOacuteN ESPACIAL DEL NINtildeO USANDO FOTOGRAFIAS DEL TELESCOPIO HOOBEL Y LAS GRAacuteFICAS HECHAS POR FIacuteSICOS MATEMAacuteTICOS Y LAS FANTASTICAS CONCLUSIONES DE ALBERT EINSTEIN MAS QUE EL FORMALISMO MATEMAacuteTICO Indicador 2110 (a) Comprueba usando el programa Geogebra que la suma de los aacutengulos interiores de un triangulo en una superficie plana es 180 grados (b) Elabora la mostracioacuten de que la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180deg en una superficie plana utilizando papel regla laacutepiz colores transportador pegante o cinta
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
httpwwwlanasanet
httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
Indicaciones para usar el programa GeoGebra 1 De clic sobre el icono de GeoGebra (Aparece la siguiente pantalla)
2 Despliega la ventana del botoacuten marcado de azul y usa NUEVO PUNTO para marcar los puntos A B y C (los puntos se generan haciendo clic donde quiera)
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
3 Con SEGMENTO ENTRE 2 PUNTOS del tercer botoacuten hace clic en cada punto sale automaacuteticamente el segmento lo lleva al otro punto y lo descarga con clic Asiacute hace el triangulo
4 Para medir cada aacutengulo da clic en el botoacuten 6 (aacutengulo) Lo despliega y usa el primer subbotoacuten Recorre los veacutertices en el sentido de las manecillas del reloj en cada tres veacutertices para que salga la medida del veacutertice de la mitad Y asiacute hasta terminar los tres aacutengulos
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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httphubblesiteorgthe_telescope
wwwugres~amartinedibujosdibujoswebCGC5JPG httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes- coampum=1ampsa=1ampq=geomertias+no+euclidianaampaq=fampoq=ampstart=0 httpimagesgooglecomimageshl=esamprls=commicrosoft3Aes-coampum=1ampsa=1ampq=delfinesampaq=fampoq=ampstart=0
5 (a) Soacutelo resta sumar los aacutengulos interiores que ademaacutes aparecen al lado izquierdo de la pantalla Lo puedes hacer en Word
Para eacuteste caso tenemos 5763deg 7573deg 4664deg _______ 18000deg
6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
Estudiante
ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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6 Realizar el mismo proceso con 9 triaacutengulos maacutes Usar la opcioacuten VISUALIZA para la cuadricula y construir triaacutengulos isoacutesceles y equilaacuteteros asiacute
CONCLUIR CON RESPECTO AL LOGRO
(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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(b) Para el segundo momento de eacutesta seccioacuten trabajar en equipos de 2 personas Se trata de construir un triangulo en papel (cartulina) Colorear los aacutengulos recortarlos y pegarlos sobre una recta Concluir Hacer lo anterior con 4 triaacutengulos maacutes Concluir (sacar conclusiones = siacutentesis)
25 INSTRUMENTO DE EVALUACIOacuteN
ASPECTOS COGNITIVOS Y PROCEDIMENTALES
1 Comprende e interpreta la informacioacuten suministrada 2 Usa estrategias para resolver problemas 3 Demuestra eficacia y eficiencia en la realizacioacuten de las actividades 4 Formula preguntas plantea hipoacutetesis confronta argumentos y analiza la
informacioacuten 5 Demuestra habilidad para interactuar con los medios tecnoloacutegicos
ASPECTOS ACTITUDINALES
1 Respeta las reglas establecidas para la actividad 2 Muestra disposicioacuten para participar en las diferentes actividades y el
trabajo en equipo 3 Se muestra creativo innovador propositivo y emprendedor en el desarrollo de las actividades
ASPECTOS COMUNICATIVOS
1 Evidencia tanto en forma oral como escrita la capacidad para expresar sus ideas y pensamientos de manera oportuna clara y coherente
2 Se muestra en capacidad de comprender e interpretar textos de tipo instructivo y narrativo
ESCALA Cada iacutetem tiene un valor de 5 puntos maacuteximo miacutenimo de 1 Puntaje maacuteximo 50 puntos Se aprueba con miacutenimo 30 puntos
INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
Nordm
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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INSTRUMENTO DE OBSERVACIOacuteN Y REGISTRO Use una ldquoXrdquo para asignar la valoracioacuten
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ASPECTOS COGNITIVOS ASPECTOS ACTITUDINALES ASPECTOS COMUNICATIVOS
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OBSERVACIONES En la tabla que se muestra a continuacioacuten se escribe alguna descripcioacuten importante que apoye la valoracioacuten del trabajo realizado por alguacuten estudiante
Nordm ESTUDIANTE DESCRIPCIOacuteN
BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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BIBLIOGRAFIA Gonzaacutelez A E (1999) Corrientes Pedagoacutegicas Contemporaacuteneas Medelliacuten Aula Abierta U de A Ediciones
Schunk D H (1998) Teoriacuteas del aprendizaje (Segunda edicioacuten) Meacutexico Prentice-Hall Hispanoamericana SA
Roldaacuten G L (2003) Polinomios Nueva metodologiacutea para la ensentildeanza de los Polinomios Universidad de Medelliacuten Medelliacuten
Organizacioacuten de las Naciones Unidas para la Educacioacuten la Ciencia y la Cultura (2007 Noviembre 22 y 23) Principales tendencias de la institucionalizacioacuten de la Ciencia Tecnologiacutea e Innovacioacuten en Ameacuterica Latina y el Caribe Uruguay Montevideo Oppenheimer A (2005) Cuentos Chinos Buenos Aires Editorial Suramericana
Kay D C (2001) College Geometry A Discovery Approach (Segunda edicioacuten) United States of America Adidison Wesley Logman Inc
Fuchs W R (1969) El libro de la Matemaacutetica Moderna (Segunda edicioacuten) Barcelona Ediciones Omega S A
Lobachevski N I (1955) Geometrical Researches on the theory of parallels New York Dover Publications Inc
Bonola R (1923) Geometriacuteas no Euclidianas Madrid Calpe Penrose R (1995) La nueva mente del emperador Barcelona Grijalbo Mondadori Goacutemez R iquestPor queacute existe el tiempo Departamento de humanidades de la universidad Eafit Extraiacutedo el 12 102009 httpwwweafiteducoNRrdonlyres7A4DF41F-4AF9-4014-B2F7-76C281FAB5680tiempopdf Sobre las imaacutegenes httpwwwnasagovmission_pageshubblemain
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