Revisión de criterios para el diseño por capacidad de ...

Universidad Autónoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

POSGRADO EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

REVISIÓN DE CRITERIOS PARA EL DISEÑO POR

CAPACIDAD DE CIMENTACIONES DE EDIFICIOS

DE CONCRETO REFORZADO

T E S I S

P R E S E N T A

CARLOS EZEQUIEL LOEZA PÉREZ

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

ASESOR DE TESIS:

DR. LUCIANO ROBERTO FERNÁNDEZ SOLA

Ciudad de México Junio 2019

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A mi familia y amigos.

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Agradecimientos

Agradezco al Dr. Luciano Roberto Fernández Sola por brindarme su apoyo como asesor de esta tesis, por haber confiado en mi persona, por su paciencia para lograr la culminación de este trabajo.

A mis sinodales: Dr. Alonso Gómez Bernal, Dr. Dante Tolentino López y M.I. Francisco García Álvarez por su amable ayuda y sus valiosas observaciones, y por calificar con su buen criterio y experiencia este trabajo.

A mis profesores de posgrado del área de estructuras.

A la Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, por financiar mis estudios de posgrado.

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Índice

1 Introducción 8

1.1 Justificación 9

1.2 Objetivo general 10

1.3 Objetivos específicos 10

1.4 Alcance 11

1.5 Limitaciones 11

2 Antecedentes y marco teórico 12

2.1 Diseño por capacidad 12

2.2 Interacción dinámica suelo-estructura 14

3 Características, análisis y diseño estructural 25

3.1 Características generales 25

3.2 Modelo M1BRQ2 31

3.3 Modelo M1BRQ4 36

3.4 Modelo M1BFQ2 41

3.5 Modelo M1BFQ4 47

4 Análisis no lineal 51

4.1 Caracterización de los materiales 52

4.2 Patrón de cargas 53

4.3 Criterios de aceptación en el nivel de daño 54

4.4 Curvas de capacidad 55

5 Acciones de diseño sobre la subestructura 59

5.1 Criterios de acciones de diseño 59

5.2 Espectros de diseño utilizados 61

5.3 Resultados 63

5.4 Comparación de resultados 70

6 Conclusiones 75

7 Bibliografía 78

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Índice de figuras

Figura 2.1 Curva de cortante basal contra desplazamiento de la azotea. 13 Figura 2.2 Comportamiento de la respuesta en suelo rígido y suelo blando 16 Figura 2.3 Etapas en la solución de tres pasos. 18 Figura 2.4 Componentes de desplazamiento. 22 Figura 3.1 Planta tipo Modelo M1. 25 Figura 3.2 Elevación tipo Modelo M1. 25 Figura 3.3 Áreas tributarias Modelo M1. 27 Figura 3.4 Periodos predominantes del suelo. 29 Figura 3.5 Valores de HS en metros. 30 Figura 3.6 Espectro de aceleraciones Modelo M1BRQ2. 31 Figura 3.7 Modelo en SAP2000 Modelo M1 en base rígida. 32 Figura 3.8 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ2. 34 Figura 3.9 Secciones de las vigas del modelo M1BRQ2. 35

Figura 3.10 Secciones de las columnas del modelo M1BRQ2. 35 Figura 3.11 Espectro de aceleraciones Modelo M1BRQ4. 36 Figura 3.12 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ4. 38 Figura 3.13 Secciones de las vigas del modelo M1BRQ4. 39 Figura 3.14 Secciones de las columnas del modelo M1BRQ4. 40 Figura 3.15 Modelo en SAP2000 Modelo M1 en base flexible. 42 Figura 3.16 Distribución de resortes en la base. 42 Figura 3.17 Espectros de aceleraciones para diseño Q = 2. 43 Figura 3.18 Espectro de aceleraciones Modelo M1BFQ2. 43 Figura 3.19 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ2. 45 Figura 3.20 Secciones de las vigas del modelo M1BFQ2. 46 Figura 3.21 Secciones de las columnas del modelo M1BFQ2. 46 Figura 3.22 Espectro de aceleraciones Modelo M1BFQ4. 47 Figura 3.23 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ4. 49 Figura 3.24 Secciones de las vigas del modelo M1BFQ4. 49 Figura 3.25 Secciones de las columnas del modelo M1BFQ4. 50

Figura 4.1 Diagrama momento-curvatura de la viga 45x75 del modelo M1BRQ2. 52 Figura 4.2 Patrón triangular de carga. 53 Figura 4.3 Modelos de curva del elemento. 54 Figura 4.4 Curva de capacidad M1Q2. 55 Figura 4.5 Curva de capacidad M1Q4. 56 Figura 4.6 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BRQ2. 57 Figura 4.7 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BRQ4. 57 Figura 4.8 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BFQ2. 58 Figura 4.9 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BFQ4. 58 Figura 5.1 Espectros de aceleraciones para diseño Q = 2. 61 Figura 5.2 Espectros de aceleraciones para diseño Q = 4. 62

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Figura 5.3 Numeración de las columnas y dirección de análisis. 63 Figura 5.4 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BRQ2. 63 Figura 5.5 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BFQ2. 64 Figura 5.6 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BRQ4. 64 Figura 5.7 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BFQ4. 65 Figura 5.8 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BRQ2. 65 Figura 5.9 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BFQ2. 66

Figura 5.10 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BRQ4. 66 Figura 5.11 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BFQ4. 67 Figura 5.12 Resultados de la carga axial para el modelo M1BRQ2. 68 Figura 5.13 Resultados de la carga axial para el modelo M1BFQ2. 68 Figura 5.14 Resultados de la carga axial para el modelo M1BRQ4. 68 Figura 5.15 Resultados de la carga axial para el modelo M1BFQ4. 69 Figura 5.16 Normalización de los resultados de la fuerza cortante del modelo con Q = 2. 70 Figura 5.17 Normalización de los resultados de la fuerza cortante del modelo con Q = 4. 71 Figura 5.18 Normalización de los resultados del momento flexionante del modelo con Q

= 2. 72 Figura 5.19 Normalización de los resultados del momento flexionante del modelo con Q

= 4. 72 Figura 5.20 Normalización de los resultados de carga axial del modelo con Q = 2. 73 Figura 5.21 Normalización de los resultados de carga axial del modelo con Q = 4. 74

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Índice de tablas

Tabla 2.1 Funciones de impedancia. 21 Tabla 3.1 Principales materiales. 26 Tabla 3.2 Cargas muertas de entrepiso. 26 Tabla 3.3 Cargas muertas de azotea. 26 Tabla 3.4 Cargas vivas. 27 Tabla 3.5 Cargas sobre las vigas Modelo M1. 27 Tabla 3.6 Combinaciones de carga. 28 Tabla 3.7 Características de vigas y columnas en cada nivel Modelo M1BRQ2. 31 Tabla 3.8 Cargas laterales estáticas de entrepiso Modelo M1BRQ2. 33 Tabla 3.9 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ2. 33

Tabla 3.10 Características de vigas y columnas en cada nivel Modelo M1BRQ4. 36 Tabla 3.11 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ4. 37 Tabla 3.12 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ2. 44 Tabla 3.13 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ4. 48

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C A P Í T U L O 1

Introducción

El diseño estructural de un edificio implica hacer consideraciones que permitan que el sistema estructural sea efectivo bajo solicitaciones de servicio hasta el aseguramiento de la vida de los usuarios y la prevención del colapso. Además, se deben tomar previsiones que no sólo garanticen un buen comportamiento estructural ante cualquier evento, como un sismo, sino que también deben incluirse factores de funcionalidad y economía.

Durante un evento sísmico se puede esperar un comportamiento elástico o inelástico en la estructura. El primero para un evento frecuente y el segundo para un evento poco frecuente. Cuando la estructura se comporte de manera inelástica, se permitirá cierto nivel de daño mas no el colapso, es decir, ésta deberá permanecer estable, lo que se refiere a que debe ser capaz de soportar las cargas verticales.

Al llevar a cabo el diseño estructural del edificio, los diseñadores se apoyan en criterios reglamentarios que les ayudan a hacer consideraciones que doten a la estructura de una resistencia y ductilidad mayores que las que probablemente se demanden a la edificación durante un evento de diseño. Por ejemplo, las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo del Reglamento para las Construcciones para el Distrito Federal 2004 (NTC-Sismo-04) establecen en su alcance, que su propósito es el de obtener una seguridad adecuada tal que, bajo el sismo máximo probable, no habrá fallas estructurales mayores ni pérdidas de vidas, aunque pueden presentarse daños que lleguen a afectar el funcionamiento del edificio y requerir reparaciones importantes.

No obstante, se ha visto que durante eventos sísmicos severos las estructuras pueden estar sometidas a aceleraciones o deformaciones mayores que las previstas. Esto se debe a las grandes incertidumbres que existen en la determinación de las solicitaciones. Además, pueden existir incertidumbres en la capacidad de la estructura. Es por lo que, el diseño debe intentar alcanzar tres principios: 1) la prevención de daños no estructurales ante sismos pequeños que pueden ocurrir con frecuencia durante la vida útil del edificio; 2) la prevención de daños estructurales y minimizar los daños no estructurales durante sismos moderados que pueden suceder esporádicamente; y 3) la prevención del colapso o graves daños debido a sismos de gran intensidad que pueden ocurrir raras veces, (Piqué, 2004), proporcionando todas las necesidades de rigidez, resistencia y capacidad de disipación de energía.

De acuerdo con las filosofías de diseño actuales, la superestructura debería de desarrollar por completo su capacidad de deformación inelástica antes que la subestructura se comporte de

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manera inelástica. Cuando la primera incursione en su intervalo de comportamiento inelástico, la segunda debería permanecer elástica o cuasi-elástica. Sin embargo, de acuerdo con la reglamentación vigente hasta el año 2017, se estipula que la cimentación debe diseñarse con las cargas de diseño provenientes del análisis de la superestructura ante acciones reducidas por comportamiento inelástico. No obstante, considerando el diseño por capacidad, la cimentación debería diseñarse con la resistencia de la superestructura, introduciéndose de esta manera el concepto de viga débil - columna fuerte - cimentación más fuerte (Hernández, 2016). Aplicando las consideraciones normativas vigentes hasta el año 2017, no siempre se satisface que la cimentación sea efectivamente más resistente que la superestructura.

Si bien las filosofías de diseño tienen en común que toda estructura sometida a un sismo intenso debería diseñarse para evitar el colapso mas no para evitar sufrir daños estructurales (Piqué, 2004). Hernández (2016) precisa que éstas no especifican qué consideraciones específicas se deben tomar en cuenta para diseñar las cimentaciones y en consecuencia se podría perder el objetivo de estas si las cimentaciones llegaran a colapsar.

En ese sentido, el análisis estático no lineal es una buena herramienta que permite obtener información sobre el mecanismo de colapso, además de que puede ayudar a determinar las acciones de diseño sobre la cimentación para que ésta permanezca elástica o cuasi elástica durante el desarrollo del mecanismo de colapso.

Continuando con la idea anterior, en este trabajo se considerará que la cimentación soporta todas las cargas y se modelará el comportamiento elástico del suelo. Comprendiendo que en realidad se tendría que diseñar la cimentación, modelar el suelo alrededor y comprobar que la cimentación, ante el comportamiento no lineal de la estructura, soporta hasta que ésta desarrolle toda su capacidad.

La respuesta dinámica de las estructuras depende de las propiedades dinámicas de la misma estructura, así como de la excitación a la que se encuentre sometida, entre otras variables. Ya se han desarrollado múltiples modelos para analizar las estructuras, sin embargo, en la práctica muchos de estos modelos, por más complejos que sean, no consideran la flexibilidad del sistema suelo-cimentación, por lo que el comportamiento dinámico de los sistemas suelo-cimentación en la respuesta dinámica de la superestructura recibe poca atención.

Se han llevado a cabo estudios sobre el comportamiento no lineal de estructuras de concreto armado desde que se inició con la filosofía del diseño por capacidad. Existen muchas recomendaciones sobre cómo lograr el mecanismo de colapso deseado en la superestructura, sin embargo, en México, con motivo de la actualización de las Normas Técnica Complementarias, se ha abierto la discusión sobre las acciones que deberían considerarse en el diseño propio de la cimentación. Un punto que debe estudiarse es el que se refiere a las reducciones asociadas con el comportamiento inelástico de la estructura (Hernández, 2016).

1.1 Justificación

Hernández (2016) estudió las acciones de diseño sobre la cimentación para garantizar un adecuado comportamiento por capacidad en edificios de concreto reforzado. En ese trabajo se

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estudia el comportamiento de un edificio de seis niveles (22 metros de altura total) bajo distintos criterios de acciones de diseño. Se obtuvieron los elementos mecánicos correspondientes a los valores de diseño de columnas de planta baja que se aplicarían al diseño de la cimentación. Una consideración adicional fue que las estructuras estarían desplantadas en base rígida, despreciando los efectos de interacción suelo-estructura.

De los análisis llevados a cabo por Hernández (2016), él observa que la normativa vigente hasta 2016 subestima las cargas para el diseño de la cimentación respecto al análisis estático no lineal. Además, finaliza precisando que, si se requiere una aproximación rápida de las cargas de diseño sobre la cimentación, ésta se puede lograr multiplicando las acciones calculadas con acciones reducidas por el factor de sobrerresistencia ya que de esta manera se obtuvieron resultados similares a los presentados por el análisis estático no lineal para fuerza cortante y momento flexionante. Además, es la propuesta que considera otros códigos internacionales, por ejemplo, el “Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318)” de los Estados Unidos de América, o el Desing of Concrete Structures de la Canadian Standards Association (CSA A23) de Canadá.

Finalmente, considerando todo lo anterior, en este trabajo se revisa, analiza y diseña un edificio siguiendo las consideraciones anteriormente planteadas. Se obtendrán las cargas de diseño de las cimentaciones de cada edificio considerando la interacción suelo-estructura. Con esto se validarán las recomendaciones emitidas en trabajos previos para el diseño integral de edificios de concreto reforzado. Se tomará en cuenta el comportamiento del suelo considerando que la cimentación soporta todas las cargas considerando comportamiento elástico del suelo.

1.2 Objetivo general

Validar las recomendaciones existentes sobre las acciones de diseño de cimentaciones, considerando el comportamiento por capacidad en edificios de concreto reforzado, tomando en cuenta la interacción dinámica suelo-estructura.

1.3 Objetivos específicos

Considerando edificaciones de concreto diseñados bajo la filosofía de marco dúctil, se plantea lo siguiente:

• Analizar y caracterizar las recomendaciones existentes sobre las acciones de diseño de cimentaciones previamente emitidas.

• Definir el comportamiento no lineal de diferentes estructuras de concreto armado con distintas características previamente diseñadas considerando la interacción suelo – estructura.

• Estudiar el impacto de las características geométricas de las edificaciones en las recomendaciones existentes.

• Comparar los resultados obtenidos de los análisis no lineales considerando la interacción suelo - estructura con las recomendaciones previamente establecidas.

• Emitir nuevas recomendaciones en su caso.

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1.4 Alcance

En concordancia con el objetivo general, este trabajo busca generar un criterio de diseño de cimentaciones de edificios de concreto reforzado diseñados por capacidad considerando algunas recomendaciones existentes sobre las acciones que debieran considerarse incorporando la interacción dinámica suelo-estructura.

1.5 Limitaciones

El modelo estudiado es regular en planta, lo que permite analizar los datos en una sola dirección, adicionalmente no se consideran efectos de torsión por excentricidad de masa.

Se retoma la geometría de una cimentación diseñada previamente (Martínez, 2014) para un modelo similar al que se estudia en este documento. Por lo tanto, se considera que la cimentación está correctamente diseñada y no va a fallar.

Se asume que la cimentación se comporta como un cuerpo infinitamente rígido carente de masa en el cálculo de las rigideces dinámicas.

En el comportamiento no lineal, no se toma en cuenta el efecto de la losa que aporta rigidez y resistencia a las vigas ni que los nodos de los marcos son infinitamente rígidos.

Se realizarán análisis estáticos no lineales para la comprobación de los mecanismos de colapso.

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C A P Í T U L O 2

Antecedentes y marco teórico

2.1 Diseño por capacidad

La manera para asegurar la estabilidad de la estructura cuando incursione en el comportamiento inelástico es mediante un mecanismo de colapso deseado. El más adecuado para el caso de marcos es el denominado viga débil – columna fuerte. Este mecanismo se consigue propiciando que las articulaciones plásticas se presenten en las vigas, induciendo así las fallas a flexión y evitando las fallas a cortante y flexocompresión. Esto, dado que la primera sería una falla dúctil y la segunda y tercera serían fallas frágiles. Este mecanismo es aceptable que se presente en todos los niveles del edificio. También se permiten articulaciones plásticas en la base de las columnas de la planta baja.

En edificaciones de marcos de concreto reforzado, una de las maneras más claras para comprender el comportamiento de los elementos, es mediante el uso de gráficas que relacionan el momento flexionante resistente en una sección con la curvatura correspondiente (Vargas y González, 2005). También ayuda a comprender la ductilidad de los elementos, el desarrollo de las articulaciones plásticas, y la redistribución de los momentos elásticos que se producen en estructuras de concreto armado antes del colapso (Nilson et al., 2010).

No es suficiente con fomentar un comportamiento plástico estable en los elementos de concreto reforzado, sobre todo en vigas, sino que se requiere además detallar adecuadamente el elemento estructural y controlar sus demandas de deformación plástica. En resumen, para fomentar un comportamiento estable por flexión, se deben seguir las siguientes consideraciones de detallado: uso correcto de refuerzo transversal, balance adecuado entre acero longitudinal positivo y negativo, control de efectos de corte por medio del uso de elementos esbeltos, y control de la carga axial en elementos estructurales (Terán, 2015a).

Una vez diseñado el edificio, se tendría que comprobar que, en efecto, éste tiene la sobreresistencia y capacidad dúctil supuesta. Para comprobar las capacidades, se pueden aplicar procedimientos como el análisis estático no lineal o el análisis dinámico incremental, entre otros; de tal manera que el objetivo es imponer desplazamientos gradualmente a la estructura hasta su deformación última.

El diseño por capacidad tiene sus orígenes alrededor de los años sesenta en Nueva Zelanda. Está orientado a evitar el colapso y la pérdida de vidas y no a limitar el daño ni a mantener el edificio funcionando o facilitar su reparación (Piqué, 2004).

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Como ya se había mencionado anteriormente, se puede resumir la filosofía de diseño sismorresistente en tres principios: 1) la prevención de daños no estructurales ante sismos pequeños que pueden ocurrir con frecuencia durante la vida útil del edificio; 2) la prevención de daños estructurales y minimizar los daños no estructurales durante sismos moderados que pueden suceder esporádicamente; y 3) la prevención del colapso o graves daños debido a sismos de gran intensidad que pueden ocurrir raras veces. Estos principios están plasmados en la gran mayoría de los códigos de diseño alrededor del mundo, por lo que éstos definen el comportamiento deseado de las edificaciones.

Como se ha visto (Piqué, 2004; Hernández, 2016), las filosofías de diseño consideran que las estructuras deberían diseñarse para evitar el colapso, mas no evitar sufrir daños estructurales, no se especifican las consideraciones que se deben tomar en cuenta para diseñar cimentaciones que asegure que primero se colapsará la superestructura antes que la cimentación.

Ahora bien, los elementos estructurales se diseñan habilitando más acero del que en realidad necesitan y la resistencia del concreto es mayor a la resistencia de diseño, de tal manera que estos pueden tener mayor resistencia que la necesaria para soportar las acciones obtenidas del análisis de la superestructura.

Considerando lo anterior, si la cimentación se diseña con las cargas del análisis de la superestructura (𝑉𝑑 en la Fig. 2.1), y la estructura es sometida a un sismo de gran intensidad, la cimentación podría no tener la resistencia necesaria para absorber las acciones transmitidas por las columnas.

Por lo tanto, no se garantizaría que la cimentación se mantendría elástica o cuasi-elástica cuando la superestructura ha entrado en su rango de comportamiento inelástico (a partir de 𝑉𝑦 en

la Fig. 2.1), lo que significa que la edificación pudiera colapsarse antes que la superestructura desarrolle su capacidad de deformación última (𝑢𝑢 en la Fig. 2.1).

Figura 2.1 Curva de cortante basal contra desplazamiento de la azotea.

En la curva de capacidad presentada en la Figura 2.1: 𝑢𝑦 es el desplazamiento de fluencia,

𝑢𝑢 es el desplazamiento último, 𝑉𝑑 es el cortante de diseño de la cimentación, 𝑉𝑦 es el cortante de

fluencia, y 𝑉𝑢 es el cortante último.

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Hernández (2016) estudia esta situación por lo que propone algunos criterios de acciones de diseño sobre la subestructura, las cuales se resumen a continuación:

• AENL, con este criterio se obtienen los elementos mecánicos a partir de un análisis estático no lineal en el punto en el que el sistema estructural ya no es capaz de incrementar su cortante basal. Este análisis es la referencia respecto a los otros debido a que representa mejor el comportamiento esperado de la capacidad máxima de la estructura.

• NTC-2004, con este criterio se toman las magnitudes de las acciones como lo estipulan las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Cimentaciones 2004, en su apartado 3.1. Las acciones que resulten serán de un análisis modal espectral de la superestructura con el valor de Q que corresponda a cada edificio.

• A*R, es un método a partir de las propuestas de las acciones según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. Los resultados de los elementos mecánicos derivados del análisis modal espectral “A” se multiplican por el factor de sobrerresistencia R que se considere en los espectros de diseño.

• Espectro Transparente, es un método a partir de las propuestas de las acciones según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. Las fuerzas de diseño se obtienen por medio del análisis utilizando el espectro denominado elástico transparente cuya ordenada espectral no se encuentra reducida por R.

• Espectro Elástico, es un método a partir de las propuestas de las acciones según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. Las fuerzas de diseño se obtendrán por medio del análisis utilizando el espectro cuya ordenada espectral se encuentra dividida entre R y considera un factor de comportamiento sísmico Q = 1.

• DCCG, diseño por capacidad considerando la carga gravitacional. En este análisis se toman las cargas axiales de las columnas de la planta baja considerando un análisis por cargas gravitacionales. En la combinación sólo se considera el peso muerto, carga muerta y la carga viva máxima. Se establecen los diagramas momento curvatura tomando en cuenta la presencia de la carga axial y se establecen los momentos y cortantes de diseño asociadas a dicha carga axial.

• DCAENL, diseño por capacidad considerando la carga axial del AENL. En este análisis se toman en cuenta las cargas axiales de las columnas de la planta baja obtenidas del análisis estático no lineal. Se establecen los diagramas momento curvatura siguiendo el mismo procedimiento que en el DCCG.

• ET/Q’, un análisis utilizando el espectro elástico transparente entre Q’. Este análisis elástico considera el espectro elástico transparente afectado por el factor Q’ estipulado en las NTC-Sismo-04 y se establece la magnitud de las acciones producto del análisis.

2.2 Interacción dinámica suelo-estructura

Una vez abordada la problemática que encierra el diseño por capacidad de la superestructura y su influencia en el diseño de la cimentación, considérese la atención a la subestructura.

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Dado que la interacción dinámica suelo-estructura tiene que ver también con el suelo, conviene definir qué es el suelo. Así, se puede decir que el suelo es un material de origen natural heterogéneo, anisótropo en la que la variabilidad y la incertidumbre de sus propiedades es muy alta.

En ese mismo sentido se puede decir que es un material que resulta de la desintegración de la roca o rocas preexistentes por medio de agentes atmosféricos y desintegración mecánica (aire, agua, cambios abruptos de temperatura, etc.), y el conjunto de esa partículas es lo que denominamos suelo. De tal manera que no nos importa el estudio de una partícula individual sino el estudio del conjunto de partículas que son afectadas por la estructura como si fueran un solo material (Fernández, 2017).

Así pues, se puede hacer una clasificación general del suelo por cómo se relacionan este conjunto de partículas: suelos cohesivos (arcillas, limos) y suelos friccionantes (arenas, gravas). La diferencia entre estos dos grupos es el tamaño de la partícula, pero mecánicamente consiste en la manera en que transfiere los esfuerzos cortantes: que las partículas entre sí transfieran los esfuerzos cortantes por un mecanismo de cohesión o por un mecanismo de fricción.

Lo anterior es importante porque en general, se ha visto que los suelos más blandos son los suelos cohesivos, los suelos de partículas más chicas y los problemas de interacción suelo-estructura más importantes se producen en suelos relativamente blandos, los cuales casi siempre están relacionados con suelos cohesivos. Por otro lado, si se tiene un suelo friccionante que es capaz de resistir una estructura, este suelo friccionante tiene una rigidez tal que muy probablemente no haya efectos de interacción suelo-estructura importantes.

Si se desea caracterizar un suelo para plantear un problema de interacción dinámica suelo-estructura se necesita conocer al menos su capacidad de deformación asociada a su módulo de

rigidez al corte (G), la capacidad que tiene para disipar energía por medio del amortiguamiento (),

la relación de las deformaciones en sus tres direcciones por medio de su relación de Poisson (), y

la masa que se va acelerar y a producir fuerzas de inercia ().

Uno de los parámetros fundamentales que ayudan a caracterizar los materiales es cómo se

mueven las ondas elásticas en el suelo que relaciona a las dos constantes de Lamè ( y G) y la densidad del suelo.

No es la intención de este estudio detallar sobre la problemática del suelo y las formas utilizadas para determinar sus propiedades dinámicas.

La interacción dinámica suelo-estructura (IDSE) se refiere a las modificaciones producidas tanto en el movimiento del terreno, como en la respuesta dinámica de las superestructuras debidas a la flexibilidad relativa del sistema suelo-cimentación, respecto a la rigidez del sistema (Fernández 2013). La importancia de la IDSE en la respuesta estructural está definida por el contraste que existe entre la rigidez del sistema suelo-cimentación y la rigidez del sistema.

La respuesta de una estructura cimentada sobre una base indeformable estará dada por las propiedades de ésta (masa, rigidez y amortiguamiento) así como por los desplazamientos que

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le sean permitidos por su deformabilidad e inercia. Por otro lado, si la estructura se desplanta sobre una base deformable, la IDSE produce un alargamiento del periodo fundamental de vibrar de la estructura y la modificación del amortiguamiento. El incremento del periodo estructural se debe a la flexibilización del sistema suelo-estructura, resultante de la flexibilidad de la base.

El amortiguamiento se modifica debido al amortiguamiento histerético que aporta el suelo al sistema y la energía que se irradia debido al movimiento de la cimentación que produce perturbaciones en el suelo. La energía que se irradia en forma de ondas elásticas a través del suelo interactúa con las ondas sísmicas incidentes, lo que produce cambios en el nivel de amortiguamiento, en la mayoría de los casos son incrementos respecto al nivel de amortiguamiento de sistemas con base indeformable.

Figura 2.2 Comportamiento de la respuesta en suelo rígido y suelo blando. Los puntos A, B, C, D y E representan los puntos de control en el registro del movimiento sísmico. Adaptado de Wolf (1985)

Las diferencias entre un sistema con base deformable y otro con base indeformable son: primero, que se modifica el movimiento en los distintos puntos del terreno debidas a las propiedades de rigidez y de inercia propiamente del suelo con o sin estructura; segundo, al introducir un elemento rígido se modifica el movimiento de campo libre debido a la cimentación; y tercero, que existe un desplazamiento relativo de la cimentación respecto al terreno producido por las fuerzas de inercia de la superestructura (“interacción inercial”) debido a las fuerzas laterales y momentos de volteo, ver Figura 2.2.

A la primera diferencia se le llama “efectos de sitio” y es el más conocido y el que se toma en cuenta con mayor frecuencia en los análisis sísmicos mediante el uso de espectros de diseño reglamentarios.

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A la modificación del movimiento de campo libre se le denomina “interacción cinemática” y es el menos conocido y estudiado. Esto se debe a que produce una reducción del movimiento de altas frecuencias y que la rotación de la cimentación introducida suele tener poca influencia en las aceleraciones y desplazamientos de la superestructura. Se suele pensar que ignorar estos efectos cinemáticos es conservador, lo cual es cierto para edificaciones robustas, poco esbeltas y con cimentaciones relativamente superficiales. Sin embargo, en estructuras altas con cimentaciones considerablemente profundas, el efecto del cabeceo puede producir movimientos importantes ocasionando que el diseño esté del lado de la inseguridad.

Entonces, se tienen dos sistemas que naturalmente son distintos y que por las características de ambos sistemas se abordan de manera distinta: por las características del suelo se estudia con modelos continuos, es un semi espacio o una serie de estratos que naturalmente se debe abordar con técnicas de modelos continuos; y por otro lado todo el análisis estructural está basado en sistemas discretos (matrices de masa, de rigidez, de amortiguamiento, etc.).

2.2.1 Método de superposición

Para el análisis en la frecuencia se tienen dos métodos: el método directo que consiste en tomar todo el sistema (el suelo, los efectos de sitio, la subestructura y la superestructura) haciendo una función de transferencia; o bien, se puede plantear la solución por el método de superposición que consiste en resolver los efectos de sitio, por un lado, los efectos cinemáticos en otro lado, y los efectos inerciales por otro lado.

Kausel (1978) plantea el método de superposición que considera un comportamiento lineal, pero en este caso se considera la no linealidad en la última parte de la solución: la superestructura, que es donde se espera que se produzca la no linealidad.

El método de superposición en la interacción dinámica puede demostrarse a partir de la ecuación de movimiento del sistema ensamblado suelo-estructura:

[𝑀𝑆]{�̈�𝑆} + [𝐶𝑆]{�̇�𝑆} + [𝐾𝑆]{𝑢𝑆} = −[𝑀𝑆]{�̈�𝑔} (2.1)

Donde [Ms], [Cs] y [Ks] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez respectivas del sistema, {us} es el vector de desplazamientos del sistema y [ug] es el vector de desplazamiento del terreno.

Dado que el sistema está formado por un modelo para la interacción cinemática y uno para la interacción inercial, entonces la masa del sistema es [Ms] = [Mc] + [Mi], y el desplazamiento del sistema es {uS} = {uc} + {ui}. Donde [Mc] corresponde a la matriz de masas que interviene en la interacción cinemática: la masa del suelo excluyendo la de la estructura. [Mi] es la matriz de masas que participa en la interacción inercial: solo la masa de la estructura descartando la del suelo. {uc} es el vector de desplazamientos debido a la interacción cinemática, y {ui} es el vector de desplazamientos debido a las fuerzas inerciales en la estructura. Sustituyendo las componentes correspondientes en la ec. 2.1 se obtienen las siguientes expresiones:

[𝑀𝐶]{�̈�𝐶} + [𝐶𝑆]{�̇�𝐶} + [𝐾𝑆]{𝑢𝐶} = −[𝑀𝑆]{�̈�𝑔} (2.2)

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[𝑀𝑆]{�̈�𝑖} + [𝐶𝑆]{�̇�𝑖} + [𝐾𝑆]{𝑢𝑖} = −[𝑀𝑖]{�̈�𝐶} (2.3)

La ecuación 2.2 representa la interacción cinemática, que se define como la modificación del movimiento de campo libre debido al contraste de rigideces entre el suelo y la estructura, y en la que se considera una cimentación infinitamente rígida carente de masa.

La ecuación 2.3 está asociada con la interacción inercial, que se puede definir como la transferencia de las fuerzas inerciales de la superestructura hacia la base, producto de la aceleración que ejerce el movimiento de entrada de la interacción cinemática sobre la masa del edificio.

De tal manera que ambos mecanismos se relacionan mediante el ensamble de las matrices correspondientes, dado por las funciones de impedancia.

Kausel (1978) establece la solución de la interacción suelo-estructura caracterizado por el procedimiento de tres pasos como sigue, ver Figura 2.3:

1. Interacción cinemática. Se determina la respuesta de la cimentación infinitamente rígida y sin masa ante el movimiento de campo libre producidas por el sismo. El movimiento efectivo de entrada presenta componentes de traslación y rotación en la base.

2. Funciones de impedancia. Las cuales, dependientes de la frecuencia de la excitación sísmica, representan la rigidez y amortiguamiento equivalentes del suelo. Las funciones de impedancia se pueden modelar mediante el uso de resortes y amortiguadores equivalentes en la interfaz suelo-cimentación. Estos elementos discretos ayudan a ensamblar la matriz de rigidez de todo el sistema.

3. Interacción inercial. Determinación de la respuesta de la estructura real soportada en resortes del suelo dependientes de la frecuencia (segundo paso), y sometida en la base de estos resortes al movimiento calculado en el primer paso.

Figura 2.3 Etapas en la solución de tres pasos. Adaptado de Kausel (1978)

19

2.2.2 Funciones de impedancia

Las funciones de impedancia se definen como la relación en estado estacionario entre la fuerza aplicada y el desplazamiento en dirección de la fuerza, para una cimentación rígida carente de masa y excitada armónicamente (Avilés, 2004).

En este planteamiento sólo se considera la masa del suelo, rigidez, amortiguamiento y relación de Poisson, y el cimiento infinitamente rígido sin masa desplantando en un medio homogéneo.

Para resolver el problema se representa como un oscilador de 1GDL (ya sea el movimiento en alguna dirección del modelo), porque sólo nos interesa caracterizar un punto del sistema dinámico, sin olvidar que se trata de un sistema de masa y rigidez distribuida.

Recordando que la ecuación dinámica de un oscilador de 1GDL sometida a una excitación que varía con el tiempo se puede representar de manera general como:

𝑀�̈�(𝑡) + 𝐶�̇�(𝑡) + 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑃(𝑡) (2.4)

Donde M es la masa del sistema, �̈�(𝑡) es la aceleración, C es la constante de amortiguamiento viscoso, �̇�(𝑡) es la velocidad, K es la rigidez, 𝑥(𝑡) es el desplazamiento, 𝑃(𝑡) es una fuerza perturbadora que varía con el tiempo.

Dado que, de manera general, la rigidez es la relación entre una fuerza y un desplazamiento, se puede decir que la fuerza será 𝑃(𝑡) y el desplazamiento es la función que está a la izquierda de la ecuación 2.4 en la ecuación diferencial.

Se puede suponer que la fuerza excitadora es una ecuación armónica: 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑒𝑖𝜔𝑡 ,

recordando que 𝑒𝑖𝜔𝑡 = cos(𝜔𝑡) + 𝑖 sin(𝜔𝑡), es la frecuencia de la excitación y P es la amplitud de la fuerza excitadora. En ese mismo sentido se puede suponer que si la fuerza es armónica, la

respuesta también lo será: 𝑥(𝑡) = 𝑋𝑒𝑖𝜔𝑡, siendo X la amplitud del desplazamiento.

Ahora, resolviendo la ecuación diferencial, las derivadas del desplazamiento son:

�̇�(𝑡) = 𝑋𝑖𝜔𝑒𝑖𝜔𝑡 y �̈�(𝑡) = −𝑋𝜔2𝑒𝑖𝜔𝑡. Reordenando:

𝑀[−𝑋𝜔2𝑒𝑖𝜔𝑡] + 𝐶[𝑋𝑖𝜔𝑒𝑖𝜔𝑡] + 𝐾[𝑋𝑒𝑖𝜔𝑡] = 𝑃𝑒𝑖𝜔𝑡 (2.5)

Para diferenciar a la rigidez dinámica, la notamos como �̃�, entonces se puede representar a la amplitud de la fuerza excitadora entre la amplitud del desplazamiento:

�̃�(𝜔) =𝑃

𝑋= −𝑀𝜔2 + 𝑖𝜔𝐶 + 𝐾 = 𝐾 − 𝑀𝜔2 + 𝑖𝜔𝐶

(2.6)

Factorizando en función de la K estática:

�̃�(𝜔) = 𝐾 [1 −𝑀

𝐾𝜔2 +

𝑖𝜔𝐶

𝐾]

(2.7)

20

Sabiendo que 𝜔0 = √𝐾 𝑀⁄ y 𝐶 = 2𝐾𝜁0 𝜔0⁄ , donde 𝜔0 es la frecuencia natural de vibrar

del sistema que contiene al cimiento (de la estructura o del oscilador de 1GDL), y 𝜁0 es la fracción

del amortiguamiento crítico de la estructura, se puede reescribir como:

�̃�(𝜔) = 𝐾 [1 −𝜔2

𝜔02+

𝑖𝜔2𝜁0

𝜔0]

(2.8)

También se puede reescribir definiendo un factor que asocie sólo las partes reales, 𝑘 = 1 −𝜔2

𝜔02 el cual es adimensional, y 𝑐 =

2𝜁0

𝜔0 con unidades de uno entre la frecuencia, sin olvidar que 𝐾 =

𝑘0, donde 𝑘0 es la rigidez de la estructura o del oscilador de 1GDL. La forma estándar de la función

de impedancia es:

�̃�(𝜔) = 𝐾[𝑘 + 𝑖𝜔𝑐] (2.9)

Además de la ventaja de resolver de esa manera porque se diferencian las modificaciones

de la parte real y las modificaciones de la parte imaginaria, 𝑖𝜔𝑐 tiene la forma de un amortiguador

viscoso (coeficiente de amortiguamiento por la velocidad).

Incluyendo el amortiguamiento por histéresis del suelo 𝜁𝑠 , Gazetas (1983) obtiene la

función generalizada de rigidez dinámica:

�̃�(𝜂𝑚) = 𝐾𝑚0 [𝑘𝑚(𝜂𝑚) + 𝑖𝜂𝑚𝑐𝑚(𝜂𝑚)](1 + 𝑖2𝜁𝑠) (2.10)

Donde:

𝜂𝑚 =𝜔𝑅𝑚

𝑉𝑠

(2.11)

El subíndice m indica el grado de libertad de la base al que se hace referencia (x es

horizontal, v es vertical, y r es rotacional), 𝐾𝑚0 es la rigidez estática, 𝜂𝑚 es la frecuencia

normalizada, 𝑉𝑠 es la velocidad de onda de corte, 𝑅𝑚 es el radio equivalente de la cimentación.

Llevando la ecuación 2.10 a un modelo de resorte y amortiguador:

�̃�𝑚(𝜔) = 𝐾𝑚(𝜔) + 𝑖𝜔𝐶𝑚(𝜔) (2.12)

Donde:

𝐾𝑚(𝜔) = 𝐾𝑚0 (𝑘𝑚 − 2𝜁𝑠𝜂𝑚𝑐𝑚) (2.13)

Contiene la información relativa a la rigidez y las fuerzas de inercia del sistema.

𝐶𝑚(𝜔) =𝐾𝑚

0 (𝜂𝑚𝑐𝑚 + 2𝜁𝑠𝑘𝑚)

𝜔

(2.14)

21

Contiene la información de todos los mecanismos que disipan energía en el sistema

(amortiguamiento propio del material del suelo y la radiación).

Las NTC-Sismo-04 en la “Tabla A.2 Rigideces y amortiguamientos de cimentaciones someras o con

pilotes” se incluyen las funciones de impedancia, ver Tabla 2.1:

Tabla 2.1 Funciones de impedancia, Adaptado de las NTC-Sismo-04

CIMENTACIONES SOMERAS

𝐾𝑚 = 𝐾𝑚0 (𝑘𝑚 − 2𝜁𝜂𝑚𝑐𝑚) y 𝐶𝑚 =

𝐾𝑚0 (𝜂𝑚𝑐𝑚+2𝜁𝑘𝑚)

𝜔; 𝑚 = 𝑥, 𝑣, 𝑟

= frecuencia de interés

Modo de vibración

Rigidez Estática

Horizontal 𝐾𝑚0 =

8𝐺𝑅𝑥

2 − 𝜈(1 +

𝑅𝑥

2𝐻𝑠) (1 +

2𝐷

3𝑅𝑥) (1 +

5𝐷

4𝐻𝑠)

Vertical 𝐾𝑣0 =

8𝐺𝑅𝑣

1 − 𝜈(1 + 1.28

𝑅𝑣

𝐻𝑠) (1 + 0.5

𝐷

𝑅𝑣) [1 + (0.85 − 0.28

𝐷

𝑅𝑣)

𝐷 𝐻𝑠⁄

1 − 𝐷 𝐻𝑠⁄]

Cabeceo 𝐾𝑟0 =

8𝐺𝑅𝑟3

3(1 − 𝜈)(1 +

𝑅𝑟

6𝐻𝑠) (1 +

2𝐷

𝑅𝑟) (1 + 0.71

𝐷

𝐻𝑠)

Parámetros de frecuencia:

𝜂𝑚 = 𝜔𝑅𝑚 𝑉𝑠⁄ ; donde 𝑉𝑠 = 4𝐻𝑠 𝑇𝑠⁄ , 𝑅𝑥 = √𝐴 𝜋⁄ , 𝑅𝑣 = 𝑅𝑥 y 𝑅𝑟 = √4𝐼 𝜋⁄4

𝜂𝑠 = 𝜋𝑅𝑥 2𝐻𝑠⁄

𝜂𝑝 =√2(1 − 𝜈) (1 − 2𝜈)⁄ 𝜋𝑅𝑟

2𝐻𝑠⁄

Coeficiente de rigidez

Coeficiente de amortiguamiento

𝑘𝑥 = 1 𝑐𝑥 =

0.65𝜁𝜂𝑥𝑠

1 − (1 − 2𝜁)𝜂𝑥𝑠2

; 𝑠𝑖 𝜂𝑥𝑠 = 𝜂𝑥 𝜂𝑠⁄ ≤ 1

𝑐𝑥 = 0.576; 𝑠𝑖 𝜂𝑥𝑠 = 𝜂𝑥 𝜂𝑠⁄ > 1

𝑘𝑣 = 1

𝑐𝑣 = 0; 𝑠𝑖 𝜂𝑣 < 𝜂𝑝

𝑐𝑣 = 0.851 + 1.85(1 − 𝜈)𝐷 𝑅𝑣⁄

1 + 0.5𝐷 𝑅𝑣⁄; 𝑠𝑖 𝜂𝑣 ≥ 𝜂𝑝

𝑘𝑟 = 1 − 0.2𝜂𝑟

𝑐𝑟 =0.5𝜁𝜂𝑟𝑝

1 − (1 − 2𝜁)𝜂𝑟𝑝2

; 𝑠𝑖 𝜂𝑟𝑝 = 𝜂𝑟 𝜂𝑝⁄ ≤ 1

𝑐𝑟 =0.3𝜂𝑟

2

1 + 𝜂𝑟2; 𝑠𝑖 𝜂𝑟𝑝 = 𝜂𝑟 𝜂𝑝⁄ > 1

A es el área de la superficie neta de la cimentación; e I es el momento de inercia de dicha superficie con respecto a su eje centroidal de rotación, perpendicular a la dirección en que se analiza la estructura.

Parámetros del suelo: = amortiguamiento histerético; = relación de Poisson y G es módulo de rigidez al corte.

2.2.3 Problema fundamental de IDSE

La IDSE introduce dos componentes adicionales en el desplazamiento total de la estructura:

al desplazamiento por deformación se le suma el desplazamiento de “cuerpo rígido” relativo al

22

suelo-cimentación y el desplazamiento de cuerpo rígido por cabeceo. De modo que el problema

de un GDL se convierte en uno de tres GDL.

De tal manera que el desplazamiento total con efectos de interacción se describe como:

𝑢𝑡 = 𝑢𝑔 + 𝑢0 + ℎ𝜙 + 𝑢

Figura 2.4 Componentes de desplazamiento. Adaptado de Fernández (2017)

Donde 𝑢𝑡 es el desplazamiento total del sistema, 𝑢𝑔 es el desplazamiento del terreno, 𝑢0

es el desplazamiento relativo suelo-cimentación (cuerpo rígido), ℎ𝜙 es el desplazamiento por cabeceo (cuerpo rígido), y 𝑢 es el desplazamiento de debido a la deformación del cuerpo.

Los tres grados de libertad están dados por:

𝑢𝑡 = 𝑢𝑔 + 𝑢0 + ℎ𝜙 + 𝑢 es la traslación de la masa,

𝑢0𝑡 = 𝑢𝑔 + 𝑢0 es la traslación de la base, y

𝜙 es el giro de la base.

Si consideramos movimientos armónicos, las ecuaciones de movimiento del sistema

acoplado se expresan como (Fernández, 2017):

−𝑚𝜔2(𝑢0 + ℎ𝜙 + 𝑢) + 𝑘(1 + 𝑖2𝜁)𝑢 = 𝑚𝜔2𝑢𝑔 (2.15a)

−𝑚𝜔2(𝑢0 + ℎ𝜙 + 𝑢) + 𝑘ℎ(1 + 𝑖2𝜁ℎ)𝑢0 = 𝑚𝜔2𝑢𝑔 (2.15b)

−𝑚ℎ𝜔2(𝑢0 + ℎ𝜙 + 𝑢) + 𝑘𝑟(1 + 𝑖2𝜁𝑟)𝜙 = 𝑚ℎ𝜔2𝑢𝑔 (2.15c)

Dividiendo las ecuaciones 2.15a y 2.15b entre 𝜔2𝑚 y la ecuación 3 entre 𝜔2𝑚ℎ y

expresando en forma matricial se establece (𝜔0 = √𝑘 𝑚⁄ ):

23

[ 𝜔0

2

𝜔2(1 + 𝑖2𝜁) − 1 −1 −1

−1𝜔ℎ

2

𝜔2(1 + 𝑖2𝜁ℎ) − 1 −1

−1 −1𝜔𝑟

2

𝜔2(1 + 𝑖2𝜁𝑟) − 1]

{

𝑢𝑢0

ℎ𝜙} = {

111} 𝑢𝑔 (2.16)

Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede definir para 𝑢 el factor de amplificación

dinámica (función de transferencia) como:

𝑢

𝑢𝑔=

𝜔2

𝜔02

[1 + 𝑖2𝜁 −𝜔2

𝜔02 −

𝜔2

𝜔ℎ2 (

1 + 𝑖2𝜁1 + 𝑖2𝜁ℎ

) −𝜔2

𝜔𝑟2 (

1 + 𝑖2𝜁1 + 𝑖2𝜁𝑟

)] (2.17)

Con esta función de transferencia se puede definir la frecuencia fundamental de excitación

de un sistema de 1GDL equivalente al sistema sobre base flexible (�̃�0) calculando la resonancia del

sistema cuando 𝜁 = 𝜁ℎ = 𝜁𝑟 = 0 como:

[1 −�̃�0

2

𝜔02 −

�̃�02

𝜔ℎ2 −

�̃�02

𝜔𝑟2] = 0 (2.18)

Despejando queda 1 =�̃�0

2

𝜔02 +

�̃�02

𝜔ℎ2 +

�̃�02

𝜔𝑟2, y dividiendo ambos términos entre �̃�0

2: 1

�̃�02 =

1

𝜔02 +

1

𝜔ℎ2 +

1

𝜔𝑟2. En términos de periodo �̃�0

2 =4𝜋2

�̃�02 , 𝑇0

2 =4𝜋2

𝜔02 , 𝑇ℎ

2 =4𝜋2

𝜔ℎ2 y 𝑇𝑟

2 =4𝜋2

𝜔𝑟2 , queda:

�̃�02 = 𝑇0

2 + 𝑇ℎ2 + 𝑇𝑟

2 (2.19)

Siendo �̃�02 el periodo fundamental efectivo de la estructura con base flexible, 𝑇0

2 es el

periodo de base rígida, 𝑇ℎ2 es el periodo por traslación, y 𝑇𝑟

2 es el periodo por cabeceo. En términos

de las NTC-Sismo-04 queda (�̃�𝑒 = �̃�0, 𝑇𝑒 = 𝑇0, 𝑇𝑥 = 𝑇ℎ,):

�̃�𝑒 = √𝑇𝑒2 + 𝑇𝑥

2 + 𝑇𝑟2 (2.20)

Donde:

𝑇𝑒 =2𝜋

√𝑔√

𝑊𝑒

𝐾 (2.21)

𝑇𝑥 =2𝜋

√𝑔√

𝑊𝑒

𝐾𝑥 (2.22)

24

𝑇𝑟 =2𝜋

√𝑔√

𝑊𝑒(𝐻𝑒 + 𝐷)

𝐾𝑟 (2.23)

𝑊𝑒 =(∑𝑊𝑖 𝜙𝑖)

2

∑𝑊𝑖 𝜙𝑖2 (2.24)

𝐻𝑒 =∑𝑊𝑖 𝜙𝑖ℎ𝑖

∑𝑊𝑖 𝜙𝑖 (2.25)

Donde 𝑊𝑒 es el peso efectivo de la estructura, 𝐻𝑒 es la altura efectiva de la estructura, g es

la aceleración gravitacional, K es la rigidez de la estructura con base rígida, 𝐾𝑥 y 𝐾𝑟 son las rigideces

dinámicas horizontal y rotacional de la base, y D es la profundidad del desplante.

En lo que respecta a la fracción de amortiguamiento crítico del sistema equivalente (𝜁), se

puede determinar igualando la respuesta máxima del sistema en base rígida con la respuesta

máxima en base flexible, es decir, en las frecuencias fundamentales de vibrar de ambos sistemas

(se sustituye 𝜔2 por �̃�02 en la ecuación 2.17):

�̃�02

�̃�02

[1 + 𝑖2𝜁 −�̃�0

2

�̃�02]

=

�̃�02

𝜔02

[1 + 𝑖2𝜁 −�̃�0

2

𝜔02 −

�̃�02

𝜔ℎ2 (

1 + 𝑖2𝜁1 + 𝑖2𝜁ℎ

) −�̃�0

2

𝜔𝑟2 (

1 + 𝑖2𝜁1 + 𝑖2𝜁𝑟

)]

(2.26)

Por lo tanto, simplificando, se obtiene el amortiguamiento sobre base flexible:

𝜁 = 𝜁 +𝜔0

2

𝜔ℎ2 𝜁ℎ +

𝜔02

𝜔𝑟2𝜁𝑟 (2.27)

Recordando que 𝜔0 = √𝑘 𝑚⁄ , del sistema en base indeformable, 𝜁ℎ =𝐶ℎ𝜔ℎ

2𝐾ℎ, 𝜁𝑟 =

𝐶𝑟𝜔𝑟

2𝐾𝑟, y

Cm y Km son las funciones de impedancia. La expresión 2.27 no considera los componentes de

segundo orden como sí lo considera las NTC-Sismo-04.

25

C A P Í T U L O 3

Características, análisis y diseño estructural

3.1 Características generales

El edificio de diez niveles modelado está estructurado con marcos a momento de concreto reforzado, cuadrado en planta de tres crujías en ambos sentidos, los sistemas de piso se modelaron como diafragma rígido en todos los niveles.

Adicionalmente, no se consideran irregularidades ni discontinuidades del edificio debido a que se procura revisar criterios para el diseño de cimentaciones, de manera que para facilitar el análisis de la información, se decide descartar esas condiciones.

El modelo tiene las siguientes características geométricas (unidades en metros):

Figura 3.1 Planta tipo Modelo M1 Figura 3.2 Elevación tipo Modelo M1

Se trata de un solo modelo de edificio desarrollado sobre dos tipos de base: base rígida y base flexible, y ambas analizadas con los factores de comportamiento sísmico de 2 y 4. Los modelos con base flexible incorporan resortes traslacionales y rotacionales obtenidos de las funciones de impedancia calculadas con las ecuaciones de la “Tabla A.2 Rigideces y amortiguamientos de cimentaciones de cimentaciones someras o con pilotes” de las NTC-Sismo-04 que representan la deformación de la base:

26

Consideración de apoyo Rígida Flexible

Factor de comportamiento

sísmico (Q)

2 M1BRQ2 M1BFQ2

4 M1BRQ4 M1BFQ4

Antes de desarrollar el modelo se llevó a cabo el análisis de cargas que se utilizará en todos los modelos, se seleccionó el tipo de suelo sobre el que se desplantan, así como la combinación de cargas con las que se analizará, para lo cual se hicieron las siguientes consideraciones:

3.1.1 Análisis de cargas

Para llevar a cabo el análisis de cargas se siguen las recomendaciones de las NTC-Criterios-04 y NTC-Concreto-04, a continuación, se describen las consideraciones:

Materiales:

Tabla 3.1 Principales materiales

Peso volumétrico del concreto clase 1 en estado fresco = 2,400.00 Kgf/m3

Resistencia a compresión del concreto clase 1 f’c = 350.00 kgf/cm2 Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo fy = 4,200.00 kgf/cm2 Módulo de elasticidad del concreto clase 1 Ec = 14,000√𝑓′𝑐 Ec = 261,916.02 kgf/cm2

Acciones:

Cargas muertas:

Tabla 3.2 Cargas muertas de entrepiso

Muros de tablaroca 50.00 kgf/m2

Cancelería y accesorios 50.00 kgf/m2

Loseta 40.00 kgf/m2

Instalaciones y plafón 80.00 kgf/m2

Mortero nivelador 18.00 kgf/m2

Sobrecarga 40.00 kgf/m2

= 278.00 kgf/m2

Tabla 3.3 Cargas muertas de azotea

Impermeabilizante 10.00 kgf/m2

Cancelería y accesorios 40.00 kgf/m2

Entortado 132.00 kgf/m2

Instalaciones y plafón 10.00 kgf/m2

Sobrecarga 40.00 kgf/m2

= 232.00 kgf/m2

Para el cálculo del peso propio de la losa se propone un espesor de 15 cm, por lo tanto: 0.15 m x 2,400 kgf/m2 = 360.00 kgf/m3. El espesor de la losa se calcula considerando los requisitos de la sección “6.3 Losas” de las NTC-Concreto-04.

27

Cargas vivas:

De la “Tabla 6.1 Cargas vivas unitarias” de las NTC-Criterios-04:

Tabla 3.4 Cargas vivas (kgf/m2)

Destino Media Instantánea Máxima

b) Oficinas, despachos y laboratorios 100.00 180.00 250.00

h) Azoteas con pendiente no mayor de 5 % 15.00 70.00 100.00

Se tomó la decisión de distribuir las cargas en elementos de área, se consideró las áreas tributarias mostradas en la Figura 3.5

Figura 3.3 Áreas tributarias Modelo M1

Por lo tanto, las cargas en los elementos viga quedan determinadas como sigue:

Tabla 3.5 Cargas sobre las vigas Modelo M1*

Viga CM

(tonf/m) CVinst

(tonf/m) CVmáx

(tonf/m) Azotea Entrepiso Azotea Entrepiso Azotea Entrepiso

Colindancia 1.776 1.914 0.21 0.54 0.30 0.75 Interior 3.552 3.828 0.42 1.08 0.60 1.50

*distribución triangular.

3.1.2 Selección del tipo de suelo

Se ha determinado que el modelo se ubique en un sitio con periodo predominante de Ts = 1.2 s. Utilizando la “Figura 3.4 Periodos predominantes del suelo, Ts” se ha ubicado el sitio y con ayuda de la “Figura 3.5 Valores de Hs en metros” (ambas figuras adaptadas de las NTC-Sismo-04) se ha obtenido una profundidad de estrato del sitio.

Del punto marcado en los planos (19.45° N, -99.16° O), se determina que la profundidad del estrato Hs es de aproximadamente 22 m. Por otro lado, los siguientes valores se han tomado directamente del último párrafo del apartado “A.6.4 Rigideces y amortiguamientos de la

cimentación” de las NTC-Sismo-04: = 1.25 tonf/m3 (peso volumétrico medio del suelo); = 0.03

(fracción de amortiguamiento histerético del suelo); = 0.45 (relación de Poisson).

Las otras propiedades dinámicas del suelo se determinan como sigue:

28

• Módulo “dinámico” de cortante: 𝐺 =16𝛾

𝑔(𝐻𝑠

𝑇𝑠)2

= 𝑉𝑠2𝜌, donde g es el valor de la gravedad (9.81

m/s2), Vs es la velocidad de propagación de ondas S igual a 4Hs/Ts.

• Velocidad de propagación de ondas S: Vs = 73.33 m/s.

• Módulo “dinámico” de cortante: G = 685.242 tonf/m2.

3.1.3 Combinación de cargas

Las combinaciones de carga utilizadas se conformaron tomando en cuenta las recomendaciones de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo que estipulan que las cargas laterales se combinarán considerando el 100% en una dirección y 30% en dirección perpendicular y se combinarán con las demás acciones, como se muestran en la Tabla 3.6:

Tabla 3.6 Combinaciones de carga

1.4 (PP + CM + CVmáx) 1.1 (PP + CM + CVinst + Sx + 0.3Sy) 1.1 (PP + CM + CVinst + Sx - 0.3Sy) 1.1 (PP + CM + CVinst - Sx - 0.3Sy) 1.1 (PP + CM + CVinst - Sx + 0.3Sy) 1.1 (PP + CM + CVinst + Sy + 0.3Sx) 1.1 (PP + CM + CVinst + Sy - 0.3Sx) 1.1 (PP + CM + CVinst - Sy - 0.3Sx) 1.1 (PP + CM + CVinst - Sy + 0.3Sx)

Donde PP es la carga muerta debido al peso propio de la estructura, CM es la sobrecarga muerta o cargas permanentes, CVmáx es la carga viva máxima, CVinst es la carga viva instantánea que se aplica en la combinación con cargas accidentales, y Sx y Sy es la carga debido a la acción del sismo en dirección X y Y, respectivamente.

29

Figura 3.4 Periodos predominantes del suelo, TS

30

Figura 3.5 Valores de HS en metros

31

3.2 Modelo M1BRQ2

En este modelo se utiliza un factor de comportamiento sísmico Q igual a 2 y se considera una base rígida (se ignoran los efectos de interacción suelo-estructura), y se cumple con el apartado “5.3 Requisitos para Q = 2” de las NTC-Sismo-04.

Características geométricas de las secciones:

Tabla 3.7 Características de vigas y columnas en cada nivel Modelo M1BRQ2 Nivel Viga Nivel Columna

1 55 cm 75 cm 1 – 2 85 cm 85 cm 2 – 6 50 cm 75 cm 3 – 7 75 cm 75 cm

7 – 10 45 cm 75 cm 8 – 10 70 cm 70 cm

3.2.1. Análisis

Para el diseño sísmico, mediante el método estático o dinámico, se aplica lo estipulado en el Apéndice A de las NTC-Sismo-04, en lo concerniente al espectro para diseño, se utilizan las ecuaciones A.1 a A.6 y A.9 y A.10. Recordemos que el periodo fundamental del suelo es TS = 1.2 s.

a0 = 0.205 c = 0.924 Ta = 0.655 Tb = 1.44 k = 0.800

Dado que para este modelo se está considerando que está desplantado sobre una base rígida, con β = 1, se obtiene el siguiente espectro de aceleraciones:

Figura 3.6 Espectro de aceleraciones Modelo M1BRQ2

Se lleva a cabo un análisis estático y un análisis dinámico modal. Para el caso del análisis estático se puede utilizar el periodo fundamental de la estructura, por ello, se modela el edificio en el programa SAP2000 (CSI-Berkeley1995) con el que se obtiene un periodo fundamental de T = 0.98 segundos.

Para el cálculo de las fuerzas laterales se utiliza la ecuación A.11 de las NTC-Sismo-04, por lo tanto:

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

rera

ció

n (

g)

Periodo (s)

Espectro transparente.

Espectro reducido por Q' y R.

32

𝐹𝑖 = 𝑊𝑖ℎ𝑖

∑𝑊𝑖

∑𝑊𝑖ℎ𝑖𝑎′ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎′ =

𝑎

𝑄′𝑅 (3.1)

donde Wi y hi son el peso y la altura del i-ésimo nivel sobre el terreno, respectivamente.

Los valores calculados de Q’ y R en función del periodo fundamental son: Q’ (T = 0.98 s) = 2.12; y R = 2.00.

Figura 3.7 Modelo en SAP2000 Modelo M1 en base rígida

En un principio, se utilizó el espectro de aceleraciones sin escalar, sin embargo, al llevar a cabo la revisión por cortante basal, no se cumplía con la condición establecida en el apartado 9.3 de las NTC-Sismo-04 que establece que el cortante debido al análisis dinámico fuera al menos el 80% del cortante estático en la misma dirección, por lo que se aumentaron las secciones y se escaló el espectro utilizando un factor de 1.029. Una vez hecho lo anterior, se revisó que se cumpliera la condición antes mencionada; adicionalmente, se llevó a cabo la revisión de desplazamientos laterales.

3.2.2 Revisión del cortante basal

Para llevar a cabo esta revisión se obtuvo los valores de las reacciones en los nodos de la base, y se considera la dirección en X que corresponde a F1 en la nomenclatura de SAP2000 para el análisis de la información; se sumaron los valores correspondientes y se ha obtenido el valor de V0 = 791.06 tonf. Ahora bien, la condición “9.3 Revisión por cortante basal” de las NTC-Sismo-04 establece:

𝑉0 ≥ 0.8𝑎𝑊0

𝑄′𝑅 𝑉0 = 791.06 𝑡𝑜𝑛𝑓 ≥

0.8 × 0.924 ×4,530.58

2.118 × 2.00= 790.59 𝑡𝑜𝑛𝑓

Donde a se toma de la Figura 3.6 con el valor del periodo fundamental, Q’ se calcula con la ecuación A.9 de las NTC-Sismo-04 con el valor del periodo fundamental, y W0 se calcula sumando la columna Wi de la Tabla 3.8 en toneladas más el peso propio de los elementos.

33

Tabla 3.8 Cargas laterales estáticas de entrepiso Modelo M1BRQ2

Nivel Wi

(kgf) hi

(m) Wihi

(kgf·m) Fi

(kgf)

1 233,928 3.5 818,748 10,692.869 2 233,928 6.5 1,520,532 19,858.185 3 233,928 9.5 2,222,316 29,023.501 4 233,928 12.5 2,924,100 38,188.817 5 233,928 15.5 3,625,884 47,354.133 6 233,928 18.5 4,327,668 56,519.450 7 233,928 21.5 5,029,452 65,684.766 8 233,928 24.5 5,731,236 74,850.082 9 233,928 27.5 6,433,020 84,015.398

10 183,384 30.5 5,593,212 73,047.485

= 2,288.74 tonf

A continuación, se muestran los valores de F1 del Modelo M1BRQ2 obtenidos del programa SAP2000 (CSI-Berkeley1995):

Reacciones laterales en la base del Modelo M1BRQ2

Nodo 1

12

23

34

45

56

67

78

89

10

0

11

1

12

2

13

3

14

4

15

5

16

6 Suma

(Tonf)

F1 (Tonf) 4

4.0

20

44

.63

6

44

.63

6

44

.02

0

53

.97

8

55

.13

2

55

.13

2

53

.97

8

53

.97

8

55

.13

2

55

.13

2

53

.97

8

44

.02

0

44

.63

6

44

.63

6

44

.02

0

791.061

3.2.3 Revisión de desplazamientos laterales

Para llevar a cabo esta revisión, se obtuvieron los valores de la envolvente de los desplazamientos de cada nivel, que coincidió con la combinación de carga 1.1(PP+CM+CVinst+Sdx+0.3Sdy). A continuación, se muestran los valores tabulados:

Tabla 3.9 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ2

Nivel Desplazamiento en

dirección X (m)

Altura de entrepiso

(m)

Para revisión al colapso

Para revisión al servicio

10 0.078455 3.00 0.0041 0.00062

9 0.075373 3.00 0.0065 0.00099

8 0.070485 3.00 0.0089 0.00134

7 0.063830 3.00 0.0102 0.00154

6 0.056198 3.00 0.0118 0.00179

5 0.047331 3.00 0.0134 0.00202

4 0.037310 3.00 0.0144 0.00218

3 0.026484 3.00 0.0145 0.00219

2 0.015604 3.00 0.0124 0.00187

34

1 0.006337 3.50 0.0072 0.00110

Para el cálculo de los valores para la revisión al colapso, se aplicó lo establecido en el inciso b del apartado “A.4 Revisión de desplazamientos laterales”, y para el cálculo de los valores para revisión al servicio se aplicó lo establecido en el inciso a del apartado mencionado.

De tal manera que, graficando los datos de la Tabla 3.9, se obtiene:

Figura 3.8 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ2

En la Figura 3.8, la Tabla A.1 se refiere a la “Tabla A.1 Distorsiones permisibles de entrepiso” de las NTC-Sismo-04.

3.2.4 Diseño de elementos (vigas y columnas)

Para el diseño de las vigas y columnas, se obtuvo la envolvente de los elementos, y se aplicó lo establecido en el capítulo “2 Estados límites de falla” y en el capítulo “3 Estados límite de servicio” de las NTC-Concreto-04.

Diseño de vigas

Se obtuvieron las siguientes secciones (acotaciones en metros):

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.0

01

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06

0.0

07

0.0

08

0.0

09

0.0

1

0.0

11

0.0

12

0.0

13

0.0

14

0.0

15

0.0

16

Niv

el

Distorsiones al colapso. Distorsiones permisibles al colapso (Tabla A.1).

Distorsiones al servicio. Distorsiones permisibles al servicio.

35

Figura 3.9 Secciones de las vigas del modelo M1BRQ2

Diseño de columnas

Se obtuvieron las siguientes secciones (cotas en metros):

Figura 3.10 Secciones de las columnas del modelo M1BRQ2

36

3.3 Modelo M1BRQ4

En este modelo se utiliza un factor de comportamiento sísmico Q igual a 4 y se considera una base rígida (se ignoran los efectos de interacción suelo-estructura), y se procura cumplir con el apartado “5.1 Requisitos para Q = 4” de las NTC-Sismo-04.

Características geométricas de las secciones:

Tabla 3.10 Características de vigas y columnas en cada nivel Modelo M1BRQ4 Nivel Viga Nivel Columna

1 45 cm 65 cm 1 – 2 70 cm 70 cm 2 – 6 40 cm 65 cm 3 – 7 60 cm 60 cm

7 – 10 35 cm 65 cm 8 – 10 50 cm 50 cm

3.3.1 Análisis

Para el diseño sísmico, mediante el método estático o dinámico, se aplica lo estipulado en el Apéndice A de las NTC-Sismo-04, en lo concerniente al espectro para diseño, se utilizan las ecuaciones A.1 a A.6 y A.9 y A.10. Recordemos que el periodo fundamental del suelo es TS = 1.2 s.

a0 = 0.205 c = 0.924 Ta = 0.655 Tb = 1.44 k = 0.800 Dado que para este modelo se está considerando que está desplantado sobre una base

rígida, con β = 1, se obtiene el siguiente espectro de aceleraciones:

Figura 3.11 Espectro de aceleraciones Modelo M1BRQ4

Así mismo, se lleva a cabo un análisis estático y un análisis dinámico modal. Para el caso del

análisis estático se puede utilizar el periodo fundamental de la estructura, por ello, se modela el

edificio en el programa SAP2000 (CSI-Berkeley1995) con el que se obtiene un periodo fundamental

de T = 1.247 segundos.

Los valores calculados de Q’ y R en función del periodo fundamental son: Q’ (T = 1.247 s) = 4.35; y R = 2.00.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

rera

ció

n (

g)

Periodo (s)

Espectro elástico o transparente.

Espectro reducido por Q' y R.

37

Al igual que en el modelo con Q = 2, al llevar a cabo la revisión por cortante basal no se cumplía con la condición establecida en el apartado 9.3 de las NTC-Sismo-04 que establece que el cortante debido al análisis dinámico fuera al menos el ochenta por ciento del cortante estático en la misma dirección, por lo que se aumentaron las secciones y se escaló el espectro utilizando un factor de 1.05. Una vez hecho lo anterior, se revisó que se cumpliera la condición antes mencionada; adicionalmente, se llevó a cabo la revisión de desplazamientos laterales.


Para llevar a cabo esta revisión se obtuvo los valores de las reacciones en los nodos de la base, se sumaron los valores correspondientes a la dirección en X y se ha obtenido el valor de V0 = 329.50 tonf. Ahora bien, la condición “9.3 Revisión por cortante basal” de las NTC-Sismo-04 establece:

𝑉0 ≥ 0.8𝑎𝑊0

𝑄′𝑅 𝑉0 = 329.50 𝑡𝑜𝑛𝑓 ≥

0.8 × 0.924 ×3,880.70

4.354 × 2.00= 329.42 𝑡𝑜𝑛𝑓

Donde a se toma de la Figura 3.11 con el valor del periodo fundamental, Q’ se calcula con la ecuación A.9 de las NTC-Sismo-04 con el valor del periodo fundamental, y W0 se calcula sumando las reacciones verticales (en dirección Z según el modelo) considerando el peso propio de los elementos.


Para llevar a cabo esta revisión, se obtuvieron los valores de la envolvente de los desplazamientos de cada nivel, que coincidió con la combinación de carga 1.1(PP+CM+CVinst+Sdx+0.3Sdy). A continuación, se muestran los valores tabulados:

Tabla 3.11 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ4

Nivel Desplazamiento en

dirección X (m)

Altura de entrepiso

(m)



10 0.06215 3.00 0.00639 0.00099 9 0.05976 3.00 0.01107 0.00172 8 0.05560 3.00 0.01523 0.00237 7 0.04989 3.00 0.01576 0.00245 6 0.04398 3.00 0.01818 0.00283 5 0.03717 3.00 0.02068 0.00322 4 0.02941 3.00 0.02256 0.00351 3 0.02095 3.00 0.02296 0.00357 2 0.01234 3.00 0.01934 0.00301 1 0.00509 3.50 0.01163 0.00181

Para el cálculo de los valores para la revisión al colapso, se aplicó lo establecido en el inciso b del apartado “A.4 Revisión de desplazamientos laterales” de las NTC-Sismo-04, y para el cálculo

38

de los valores para revisión al servicio se aplicó lo establecido en el inciso a del apartado mencionado.

Así, graficando los datos de la Tabla 3.11, se obtiene:

Figura 3.12 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BRQ4



Para el diseño de las vigas y columnas se aplica lo establecido en el capítulo “7 Marcos dúctiles” de las NTC-Concreto-04.

En atención a lo anterior, se obtuvo la envolvente de cada uno de los elementos mecánicos de los miembros a flexión, posteriormente se corroboró la aplicabilidad del capítulo “7.2 Miembros a flexión” de las NTC-Concreto-04 de acuerdo con la ecuación 7.1.

En cuanto a las columnas, se revisa la aplicabilidad de acuerdo a los primer párrafo del capítulo “7.3 Miembros a flexocompresión”.

Posteriormente se revisaron que los elementos propuestos cumplan con los requisitos geométricos de los capítulos 7.2.1 y 7.3.1, la primera en el caso de las vigas y la segunda para las columnas.

Diseño de vigas

Para el diseño de estos elementos, se obtuvo las envolventes de los elementos mecánicos de cada uno de los tipos de vigas usados en el análisis estructurales, para lo cual se revisó el cumplimiento de los requisitos geométricos, se determinó el refuerzo longitudinal, se determinó

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0

00

0.0

01

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06

0.0

07

0.0

08

0.0

09

0.0

10

0.0

11

0.0

12

0.0

13

0.0

14

0.0

15

0.0

16

0.0

17

0.0

18

0.0

19

0.0

20

0.0

21

0.0

22

0.0

23

0.0

24

0.0

25

0.0

26

0.0

27

0.0

28

0.0

29

0.0

30

0.0

31

0.0

32

Niv

el



39

el refuerzo transversal por confinamiento y por resistencia a corte, de acuerdo con los apartados 7.2.1 a 7.2.4 de las NTC-Concreto-04.

El momento resistente se calcula con factor de resistencia igual a uno y de acuerdo con las características mecánicas de los materiales como se describe en la sección 7.1.5 de las NTC-Concreto-04.

Finalmente, se obtuvieron las siguientes secciones (acotaciones en metros):

Figura 3.13 Secciones de las vigas del modelo M1BRQ4

Diseño de columnas

En el caso de estos elementos, una vez verificado el cumplimiento geométrico de las secciones, se procede a determinar los momentos resistentes que actuarán sobre los elementos considerando los momentos resistentes de las vigas y tomando en cuenta la sección “7.3.2 Resistencia mínima a flexión de columnas” de las NTC-Concreto-04. En lo relativo a la carga axial, se toman los valores obtenidos del análisis estructural.

El cálculo del refuerzo longitudinal se lleva a cabo con ayuda de los diagramas de interacción de cada elemento y las recomendaciones de la sección 7.3.3 de las NTC-Concreto-04.

La fuerza cortante de diseño se calcula de acuerdo con la sección 7.3.5 de las NTC-Concreto-04, para posteriormente determinar el refuerzo transversal considerando adicionalmente la sección 7.3.4 de las NTC-Concreto-04.


40

Figura 3.14 Secciones de las columnas del modelo M1BRQ4

41

3.4 Modelo M1BFQ2

La aplicabilidad del apartado “A.6 Interacción suelo-estructura” de las NTC-Sismo-04 y lo concerniente a ella se revisa con la ecuación A.13, en la que se especifica que se pueden despreciar los efectos de IDSE si se cumple con la expresión:

𝑇𝑒

𝑇𝑠

𝐻𝑠

𝐻𝑒> 2.5 (3.2)

Donde 𝐻𝑠 es la profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés, en este documento se ha definido en la sección “3.1.2. Selección del tipo de suelo” igual a 22 m. Como ya se había visto, 𝐻𝑒 es la altura efectiva de la estructura que es 27.69 m considerando la altura de la cimentación. 𝑇𝑒 es el periodo fundamental de la estructura supuesta con base indeformable igual a 0.98 s, y 𝑇𝑠 igual a 1.2 s. Al evaluar, resulta apropiado considerar los efectos de IDSE:

0.98𝑠 × 22𝑚

1.2𝑠 × 27.69𝑚= 0.65 < 2.5

Para llevar a cabo el diseño de los elementos de este modelo que considera una base flexible es necesario calcular las funciones de impedancia o las rigideces dinámicas de la cimentación, así como determinar el espectro de aceleraciones a utilizar.

3.4.1 Modelado de la base

La subestructura consiste en un cajón de cimentación desplantado a 5 m bajo la superficie del terreno y la profundidad de los depósitos firmes se determina en el apartado “3.1.2. Selección del tipo de suelo” de este documento. En la Figura 3.16 se esquematiza la ubicación de los resortes que representan las rigideces de la cimentación.

Mediante un proceso iterativo se calcula el periodo efectivo del sistema acoplado suelo-estructura de acuerdo con la ecuación 2.19 o A.20 de las NTC-Sismo-04, las funciones de impedancia con las ecuaciones 2.13 y 2.14, y el amortiguamiento equivalente con la ecuación 2.27. El primer valor para iniciar este proceso es el periodo fundamental de la estructura sobre base indeformable.

Se obtiene el valor de �̃�𝑒 = 1.589 𝑠, 𝐾𝑥 = 75,312.39 𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚, 𝐾𝑟 = 7,910,757.99 𝑡𝑜𝑛𝑓/

𝑚 , 𝐶𝑥 = 1,475.47 𝑡𝑜𝑛𝑓 ∙ 𝑠/𝑚 , 𝐶𝑟 = 124,558.26 𝑡𝑜𝑛𝑓 ∙ 𝑠/𝑚 y 𝜁 = 0.0836 . Los valores de los amortiguadores viscosos, 𝐶𝑥 y 𝐶𝑟 , se utilizan en el cálculo del factor de reducción por amortiguamiento suplementario, β.

El espesor del cajón de cimentación que se utiliza es de 5 m. Para modelarlo haciéndolo infinitamente rígido se restringen todos los nodos que lo conforman con las mismas restricciones globales en todos sus grados de libertad, es decir, todos los nodos se comportan en conjunto sin giros ni desplazamientos relativos entre ellos. Así se toma en cuenta de forma razonable las hipótesis para incluir los efectos de la interacción suelo estructura, ver Figura 3.15.

42

Ahora bien, los resortes en la base son las restricciones que se agregan al sistema para mantenerlo estable y son los dos grados de libertad adicionales en ambas direcciones que se le agregan adicional a la deformación propia de la estructura.

Figura 3.15 Modelo en SAP2000 Modelo

M1 en base flexible Figura 3.16 Distribución de resortes en la

base

3.4.2 Análisis

Para llevar a cabo el análisis sísmico modal espectral se necesita definir el espectro de diseño sísmico que se debe utilizar, para lo cual se define conforme al apartado “A.6.2 Análisis dinámico modal” en lo referente a la ordenada espectral de diseño para el periodo efectivo del sistema suelo estructura.

Los términos que dependen exclusivamente del periodo dominante del suelo Ts no cambian, como sí lo hacen los términos β y el factor de ductilidad Q’, el primero conforme a la ecuación A.16 de las NTC-Sismo-04 y el segundo conforme a la ecuación A.9 de las NTC-Sismo-04

reemplazando al factor de comportamiento sísmico Q por �̃�𝑒 = (𝑄 − 1)𝑇𝑒2 �̃�𝑒

2⁄ + 1. Para este

modelo, �̃�𝑒 = 1.397.

El término �̃�𝑒 se puede definir como la “demanda de ductilidad del sistema equivalente” con IDSE cuyo único significado es numérico porque ayuda a controlar los parámetros de los factores de reducción y demandas de ductilidad (Fernández, 2017). De manera que, aplicando los cambios anteriores, se llega a la Figura 3.17.

En la Figura 3.17 se nota que el espectro de diseño reducido por los factores de ductilidad Q’ y de sobrerresistencia R sobre base flexible es ligeramente mayor al correspondiente sobre base rígida, lo cual se debe a que en sistemas con IDSE se reduce menos para mantener las demandas de ductilidad. Las abreviaturas BR se refieren a base rígida, y BF a base flexible.

Ahora bien, como ya se había definido en las hipótesis de la IDSE, el comportamiento sobre base flexible hace que una parte del desplazamiento sea por cuerpo rígido y otra parte sea por la deformación propia de la estructura. Por otro lado, el sistema equivalente suelo-estructura tiene un modo fundamental de vibrar que corresponde con el periodo efectivo del sistema acoplado

43

suelo-estructura, por lo tanto, la IDSE influye sobre todo al primer modo de vibrar porque las masas de un sistema de varios grados de libertad se mueven en la misma dirección como un comportamiento de cuerpo rígido.

Figura 3.17 Espectros de aceleraciones para diseño Q = 2

Considerando lo anterior, los modos superiores de vibrar pueden quedarse sin modificación por los efectos de IDSE, quedando el espectro de aceleraciones para el modelo M1BFQ2 como se muestra en la Figura 3.18.

Figura 3.18 Espectro de aceleraciones Modelo M1BFQ2

El cambio entre los espectros de diseño reducidos para formar el espectro de diseño reducido en base flexible para el primer modo se da entre el periodo fundamental y el periodo del segundo modo con el único fin de garantizar que el único modo afectado sea el modo principal.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

lera

ció

n (

g)

Periodo (s)

Espectro elástico en BR. Espectro elástico en BF.Espectro de diseño reducido en BR. Espectro de diseño reducido en BF.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

lera

ció

n (

g)

Periodo (s)Espectro elástico en BR. Espectro elástico en BF.Espectro elástico en BF para el 1er modo. Espectro de diseño reducido en BR.Espectro de diseño reducido en BF. Espectro de diseño reducido en BF para el 1er modo.

44

Utilizando el espectro de diseño reducido en BF para el 1er modo en el programa SAP2000, se lleva a cabo el análisis estructural. Se obtiene un periodo fundamental equivalente de 1.555 segundos el cual no dista considerablemente del valor teórico calculado de 1.589 segundos. Se usan las mismas secciones descritas en la “Tabla 3.7 Características de vigas y columnas en cada nivel Modelo M1BRQ2”.

Los valores calculados de Q’ que en este caso es 𝑄𝑒′̃ y R en función del periodo fundamental

son: 𝑄𝑒′̃ (T = 1.56 s) = 1.38; y R = 2.00. El término 𝑄𝑒

′̃ se puede definir como el factor de ductilidad equivalente del modelo sobre base flexible.

Para poder considerar que estos resultados son confiables y que se pueden considerar para el diseño estructural, se procede a revisar el cortante basal y los desplazamientos laterales.


Para llevar a cabo esta revisión se obtuvo los valores de las reacciones en los nodos de la base, es decir, las cortantes de las columnas ancladas en el cajón de cimentación, se sumaron los valores correspondientes a la dirección en X y se ha obtenido el valor de V0 = 817.64 tonf. Ahora bien, la condición “9.3 Revisión por cortante basal” de las NTC-Sismo-04 establece:

𝑉0 ≥ 0.8𝑎𝑊0

𝑄′𝑅 𝑉0 = 817.64 𝑡𝑜𝑛𝑓 ≥

0.8 × 0.581 ×4,530.58

1.38 × 2.00= 762.68 𝑡𝑜𝑛𝑓

Donde a se toma de la Figura 3.18 con el valor del periodo fundamental equivalente, Q’ se calcula con la ecuación A.9 de las NTC-Sismo-04 con el valor del periodo fundamental equivalente tomando en cuenta lo que se indica en el apartado “A.6.1 Análisis estático” de las NTC-Sismo-04, y W0 se calcula sumando las reacciones verticales (en dirección Z según el modelo) considerando el peso propio de los elementos, el cual es mismo que el calculado para el modelo M1BRQ2.


Para llevar a cabo esta revisión, se obtuvieron los valores de la envolvente de los desplazamientos de cada nivel, que coincide con la combinación de carga 1.1(PP+CM+CVinst+Sdx+0.3Sdy). A continuación, se muestran los valores tabulados, para la dirección X y utilizando los términos definidos en la Figura 2.4:

Tabla 3.12 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ2

Nivel 𝑢𝑡 (m)

𝑢0𝑡

(m) ℎ𝜙 (m)

𝑢 (m)

A. entrepiso

(m)



10 0.192229 0.012050 0.103944 0.076235 3.00 0.0039 0.00038 9 0.180555 0.012050 0.095160 0.073345 3.00 0.0061 0.00060 8 0.167212 0.012050 0.086376 0.068786 3.00 0.0084 0.00083 7 0.152115 0.012050 0.077592 0.062473 3.00 0.0100 0.00099 6 0.135822 0.012050 0.068808 0.054964 3.00 0.0115 0.00114

45

5 0.118381 0.012050 0.060024 0.046307 3.00 0.0130 0.00128 4 0.099860 0.012050 0.051240 0.036570 3.00 0.0140 0.00138 3 0.080552 0.012050 0.042456 0.026046 3.00 0.0142 0.00140 2 0.061124 0.012050 0.033672 0.015402 3.00 0.0122 0.00120 1 0.043178 0.012050 0.024888 0.006240 3.50 0.0072 0.00071

En la Tabla 3.12, los valores de la columna 𝑢𝑡 son los desplazamientos totales de cada uno de los niveles del modelo en base flexible. El desplazamiento de cuerpo rígido o traslación de la base, 𝑢0

𝑡 , corresponde al desplazamiento horizontal del nodo donde se aplicaron las rigideces dinámicas, que corresponde a 0.01205 m. Los valores de ℎ𝜙 es el desplazamiento por cabeceo como cuerpo rígido de cada uno de los niveles, para el cual, el sistema estructural completo rota 0.002928 radianes. Por ejemplo, se puede calcular el desplazamiento del nivel 10 debido a la deformación propia de la estructura:

𝑢 = 𝑢𝑡 − 𝑢0𝑡 − ℎ𝜙 = 0.192229 − 0.01205 − (35.5 × 0.002928) = 0.07624 𝑚

El valor de h corresponde a la altura total a la que se encuentra cada nivel considerando el espesor de la cimentación D.

Para el cálculo de los valores para la revisión al colapso, se aplicó lo establecido en el inciso b del apartado “A.4 Revisión de desplazamientos laterales”, y para el cálculo de los valores para revisión al servicio se aplicó lo establecido en el inciso a del apartado mencionado, sin olvidar que Q’ corresponde al valor modificado con IDSE.


Figura 3.19 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ2


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.0

01

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06

0.0

07

0.0

08

0.0

09

0.0

1

0.0

11

0.0

12

0.0

13

0.0

14

0.0

15

0.0

16

Niv

el



46


Dado que se cumplen con los límites establecidos para las revisiones de cortante basal y de desplazamientos laterales, se procede a diseñar los elementos estructurales.

El procedimiento para el diseño estructural en base flexible no es diferente respecto al diseño en base rígida. Por lo que, para el diseño de las vigas y columnas, se obtuvo la envolvente de los elementos, y se aplicó lo establecido en el capítulo “2 Estados límites de falla” y en el capítulo “3 Estados límite de servicio” de las NTC-Concreto-04.

Diseño de vigas


Figura 3.20 Secciones de las vigas del modelo M1BFQ2

Diseño de columnas


Figura 3.21 Secciones de las columnas del modelo M1BFQ2

47

3.5 Modelo M1BFQ4

Se revisa si se pueden despreciar los efectos con la ecuación 3.2, y se sigue el mismo procedimiento que con el modelo M1BFQ2 en lo aplicable al modelado de la base y el espectro de diseño.

3.5.1 Modelado de la base

Se obtiene el valor de �̃�𝑒 = 1.70 𝑠, 𝐾𝑥 = 75,330.93 𝑡𝑜𝑛𝑓/𝑚, 𝐾𝑟 = 7,974,736.40 𝑡𝑜𝑛𝑓/

𝑚, 𝐶𝑥 = 1,494.11 𝑡𝑜𝑛𝑓 ∙ 𝑠/𝑚, 𝐶𝑟 = 133,595.51 𝑡𝑜𝑛𝑓 ∙ 𝑠/𝑚 y 𝜁 = 0.0784.

3.5.2 Análisis

Se determina el espectro de diseño sísmico tomando en cuenta las consideraciones del apartado “3.4.2 Análisis” de este documento, obteniendo de esa forma el espectro de diseño:

Figura 3.22 Espectro de aceleraciones Modelo M1BFQ4

Así, utilizando el espectro de diseño reducido en base flexible para el primer modo para el análisis estructural utilizando las mismas secciones que las obtenidas para el modelo M1BRQ4, se obtiene un periodo fundamental equivalente de 1.667 segundos el cual no difiere considerablemente del valor teórico calculado de 1.70 segundos.

Los valores calculados de Q’ igual a 𝑄𝑒′̃ y R en función del periodo fundamental son: 𝑄𝑒

′̃ (T = 1.67 s) = 2.631; y R = 2.00.

Se verifica la confiabilidad de estos resultados, para poder usar los elementos mecánicos en el diseño estructural, revisando el cortante basal y los desplazamientos laterales.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

lera

ció

n (

g)

Periodo (s)Espectro elástico en BR. Espectro elástico en BF.Espectro elástico en BF para el 1er modo. Espectro de diseño reducido en BR.Espectro de diseño reducido en BF. Espectro de diseño reducido en BF para el 1er modo.

48


Para esto, se revisa la condición “9.3 Revisión por cortante basal” de las NTC-Sismo-04 establece:

𝑉0 ≥ 0.8𝑎𝑊0

𝑄′𝑅 𝑉0 = 327.87 𝑡𝑜𝑛𝑓 ≥

0.8 × 0.521 ×3,880.70

2.631 × 2.00= 307.13 𝑡𝑜𝑛𝑓

Donde a se toma de la Figura 3.22 con el valor del periodo fundamental equivalente, Q’ se calcula con la ecuación A.9 de las NTC-Sismo-04 con el valor del periodo fundamental equivalente tomando en cuenta lo que se indica en el apartado “A.6.1 Análisis estático” de las NTC-Sismo-04, y W0 se calcula sumando las reacciones verticales (en dirección Z según el modelo) considerando el peso propio de los elementos, el cual es mismo que el calculado para el modelo M1BRQ4.


Para llevar a cabo esta revisión, se obtuvieron los valores de la envolvente de los desplazamientos de cada nivel, que coincidió con la combinación de carga 1.1(PP+CM+CVinst+Sdx+0.3Sdy). A continuación, se muestran los valores tabulados, para la dirección X y utilizando los términos definidos en la Figura 2.4:

Tabla 3.13 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ4

Nivel 𝑢𝑡 (m)

𝑢0𝑡

(m) ℎ𝜙 (m)

𝑢 (m)

A. entrepis

o (m)



10 0.105546 0.004924 0.041393 0.059229 3.00 0.0061 0.00057 9 0.099770 0.004924 0.037895 0.056951 3.00 0.0105 0.00099 8 0.092331 0.004924 0.034397 0.053010 3.00 0.0145 0.00137 7 0.083378 0.004924 0.030899 0.047555 3.00 0.0148 0.00139 6 0.074338 0.004924 0.027401 0.042013 3.00 0.0170 0.00160 5 0.064453 0.004924 0.023903 0.035626 3.00 0.0195 0.00183 4 0.053652 0.004924 0.020405 0.028323 3.00 0.0214 0.00201 3 0.042120 0.004924 0.016907 0.020289 3.00 0.0221 0.00207 2 0.030349 0.004924 0.013409 0.012016 3.00 0.0188 0.00177 1 0.019798 0.004924 0.009911 0.004963 3.50 0.0114 0.00107


49

Figura 3.23 Distorsiones de entrepiso Modelo M1BFQ4



Dado que se cumplen con los límites establecidos para las revisiones de cortante basal y de desplazamientos laterales, se procede a diseñar los elementos estructurales.

Para el diseño de estos elementos se aplican los mismos criterios establecidos en el apartado “3.3.4. Diseño de elementos (vigas y columnas)” de este documento sobre el diseño de marcos dúctiles.

Diseño de vigas


Figura 3.24 Secciones de las vigas del modelo M1BFQ4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.0

01

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06

0.0

07

0.0

08

0.0

09

0.0

1

0.0

11

0.0

12

0.0

13

0.0

14

0.0

15

0.0

16

0.0

17

0.0

18

0.0

19

0.0

2

0.0

21

0.0

22

0.0

23

0.0

24

0.0

25

0.0

26

0.0

27

0.0

28

0.0

29

0.0

3

0.0

31

0.0

32

Niv

el

Distorsiones al colapso. Distorsiones permisibles al colapso (Tabla A.1).Distorsiones al servicio. Distorsiones permisibles al servicio.

50

Diseño de columnas


Figura 3.25 Secciones de las columnas del modelo M1BFQ4

51

C A P Í T U L O 4

Análisis no lineal

Los análisis no lineales proporcionan los medios para calcular la respuesta estructural en el intervalo inelástico, incluyendo el deterioro de la resistencia y rigidez asociados al comportamiento inelástico de los materiales y a los grandes desplazamientos, comportamiento que se puede deber a deformaciones inelásticas bajo sismos intensos (Deierlein, 2010).

Dado que estos análisis involucran más tiempo, al usarlos se deben considerar los objetivos específicos por lo que se quieren aplicar. En general, se usan dos tipos de análisis no lineales, el primero se denomina análisis dinámico no lineal paso a paso (ADNL) y el segundo se denomina análisis estático no lineal (AENL), también conocida como pushover o análisis por empujón.

Si se tiene claro qué partes de la estructura sufrirán deformaciones inelásticas, se pueden utilizar los análisis inelásticos para confirmar la ubicación de esas deformaciones y caracterizar las demandas de deformación de los elementos que fluyen y las demandas de fuerza de los elementos que no fluyen. En tal sentido, los conceptos del diseño por capacidad ayudan a garantizar un comportamiento confiable (Deierlein, 2010).

Deierlein (2010) explica que los métodos de ADNL generalmente proporcionan modelos más realistas de respuesta estructural a movimientos fuertes del terreno y, por lo tanto, proporcionan una evaluación más confiable del desempeño sísmico que el AENL dado que este último está limitado en su capacidad de capturar el comportamiento dinámico transitorio con la carga y degradación cíclicas.

Sin embargo, Deierlein (2010) reconoce que el AENL es conveniente y confiable para estructuras cuya respuesta dinámica se rige por movimientos de oscilación de primer modo y de poca altura con configuraciones regulares simétricas. Entonces, el análisis pushover es definitivamente útil para una evaluación de desempeño preliminar, pero la evaluación final se puede hacer mejor usando un análisis dinámico no lineal (Powell, 2006).

De tal manera, incluso cuando el procedimiento estático no lineal no es apropiado para una evaluación completa del desempeño, el análisis estático no lineal puede ser una herramienta de diseño eficaz para investigar aspectos del modelo de análisis y la respuesta no lineal que son difíciles de realizar mediante el análisis dinámico no lineal. Por ejemplo, el análisis estático no lineal puede ser útil para verificar y depurar el modelo de análisis no lineal, aumentar la comprensión de los mecanismos de colapso y las demandas de deformación, e investigar parámetros de diseño

52

alternativos y cómo las variaciones en las propiedades de los componentes pueden afectar la respuesta.

Considerando lo anterior, se decide llevar a cabo un análisis estático no lineal, adicionalmente se considera que con este método se estará lo más cerca a la capacidad de la estructura por lo que se pueden obtener las magnitudes de las fuerzas últimas sobre la cimentación.

4.1 Caracterización de los materiales

La caracterización de la no linealidad de los materiales, necesaria para llevar a cabo el análisis estático no lineal, se toma en cuenta determinando los diagramas de momento curvatura de estos.

Vargas y González (2005) describen un procedimiento para determinar los diagramas momento-curvatura, sin embargo, para este estudio se utilizó el programas BIAX (Wallace, 1989) que utiliza el modelo constitutivo del concreto de Kent y Park modificado.

Figura 4.1 Diagrama momento-curvatura de la viga 45x75 del modelo M1BRQ2

La longitud equivalente de articulación plástica se calcula con el propósito de calcular el giro que puede desarrollar el miembro en su intervalo inelástico, y en este estudio se calcula como el peralte efectivo entre dos (d/2) (Terán, 2015b).

El giro o rotación de la articulación plástica queda definida mediante la ecuación:

𝜃𝑝 = (𝜑𝑢 − 𝜑𝑦)𝑙𝑝 (4.1)

0.000042561.3200000

0.00063486.850000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007

Mo

men

to (t

on

f-m

)

Curvatura (1/cm)

Viga 45x75 cm (M1BRQ2)

53

Donde 𝜑𝑢 es la curvatura asociada con el momento último y 𝜑𝑦 es la curvatura asociada

con el momento de fluencia de la sección, y 𝑙𝑝 es la longitud plástica.

Al comparar la rotación plástica que propone el FEMA (2000) y las obtenidas con el BIAX resultan similares, por lo que se consideran confiables los diagramas momento-curvatura obtenidos con el programa BIAX.

En cuanto a las columnas, los diagramas momento-curvatura se determinan considerando la carga gravitacional probable durante un sismo, esto, considerando la importancia de la carga axial en la respuesta: a mayor carga axial, mayor resistencia y menor ductilidad.

Así mismo, las posibles combinaciones de momento flexionante y carga axial se realiza mediante el uso del diagrama de interacción.

4.2 Patrón de cargas

El análisis estático no lineal consiste en aplicar un patrón de carga lateral de forma monotónica creciente para representar las cargas inerciales producidas por un sismo al modelo analítico de la estructura. Un patrón comúnmente utilizado es el triangular invertido, asumiendo que las fuerzas son proporcionales a la altura de la estructura y que la relación entre ellas es constante.

Figura 4.2 Patrón triangular de carga

Una de las formas de controlar las acciones es mediante la deformación, para la cual, es necesario definir un desplazamiento objetivo que debe ser el desplazamiento máximo que es capaz de desarrollar la estructura en su intervalo inelástico. Este desplazamiento se considera que es el desplazamiento esperado durante el sismo de diseño.

Para este estudio se considera como desplazamiento último al desplazamiento asociado con la aparición de la primera articulación de columna que hubiese alcanzado el nivel de colapso o con la inestabilidad de algún nodo al alcanzarse la fluencia en todos los elementos que confluyen en él. Una buena aproximación, el cual es útil para llevar a cabo en el programa SAP2000, es el desplazamiento obtenido en la azotea al llevar a cabo el análisis sísmico modal espectral, es cual es de aproximadamente 32 cm para el caso del modelo M1BRQ2.

114.75

213.11

311.48

409.84

508.20

606.56

704.92

803.28

901.64

1000.00

0 200 400 600 800 1000 1200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Carga (kgf)

Niv

el

54

4.3 Criterios de aceptación en el nivel de daño

En lo que respecta a los niveles de comportamiento y criterios de aceptación, para los análisis no lineales, es necesario definir los niveles de desempeño de la estructura a partir del desempeño de sus partes, para lo cual, se establecen los criterios adecuados para definir los niveles de daño aceptables y una deformación límite de colapso razonable, que en este caso hace referencia a los diagramas momento-curvatura.

Dado que se lleva a cabo el AENL en el programa SAP2000, en éste se pueden definir los niveles de comportamiento a partir de la información que proporcionan los diagramas momento-curvatura y los diagramas de interacción, en específico para las columnas.

El FEMA (2000) define tres niveles de desempeño, los cuales, se pueden entender como (Deierlein, 2010):

- Ocupación Inmediata (IO), en la que hay un comportamiento prácticamente elástico limitando el daño estructural,

- Seguridad de Vida (LS), en la que se limita el daño de componentes estructurales y no estructurales para minimizar el riesgo de lesiones o damnificados y para mantener accesible las rutas esenciales de circulación, y

- Prevención del Colapso (CP), el cual permite tomar un pequeño riesgo de colapso parcial o completo del edificio limitando las deformaciones estructurales y fuerzas al inicio de la degradación de la resistencia y rigidez.

El programa SAP2000 adopta un formato similar al del FEMA (2000) para definir el modelo de la curva de capacidad de los elementos y los criterios de aceptación de daño, ver Figura 4.3.

a) b)

Figura 4.3 Modelos de curva del elemento, a) FEMA (2000), b) SAP2000

55

Del inciso a de la Figura 4.3, el tramo A-B representa el comportamiento elástico del elemento, la curva B-C representa el intervalo inelástico, el tramo C-D está asociado con la pérdida de resistencia y el tramo C-E indica un intervalo de resistencia residual. Qy es la carga asociada con el inicio de fluencia del elemento. Las constantes a y b, en un diagrama momento-rotación, representan el ángulo en radianes de la rotación plástica y la rotación posterior al colapso, respectivamente. Los valores de a y b dependen de la cuantía de acero, la carga axial, el cortante actuante, así como del confinamiento del acero longitudinal, lo cual está indicado explícitamente en las tablas correspondientes del documento FEMA (2000), (Huerta, 2015).

El punto C en la curva está asociado con el nivel de colapso que, en este estudio, está asociado con el momento último de la sección. Es importante notar que en el formato del SAP2000, se utiliza el momento último normalizado Mu/My y la longitud lp o la rotación θp de la articulación plástica para definir el nivel de colapso correspondiente (Huerta, 2015).

4.4 Curvas de capacidad

A continuación, se presentan las curvas de capacidad de los modelos diseñados sobre base rígida y sobre base flexible:

Figura 4.4 Curva de capacidad M1Q2

7.32, 791.06 7.73, 817.64

9.35, 1,011.54 9.32, 984.82

36.40, 1,778.91

37.311,725.08

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Co

rtan

te b

asal

(kgf

)M

illar

es

Desplazamiento en azotea (cm)

Base rígida Base flexibleCortante de diseño BR Cortante de diseño BFCortante a la 1a fluencia BR Cortante a la 1a fluencia BFCortante último BR Cortante último BF

56

La ductilidad 𝜇 =∆𝑢

∆𝑦 para el modelo M1BRQ2 es de 3.89, para el modelo M1BFQ2 es de

4.00; y la sobrerresistencia 𝑅 =𝑉𝑢

𝑉𝑑 para el modelo M1BRQ2 es de 2.25, y de 2.11 para el modelo

M1BFQ2.

Figura 4.5 Curva de capacidad M1Q4

La ductilidad 𝜇 =∆𝑢

∆𝑦 para el modelo M1BRQ4 es de 4.04, para el modelo M1BFQ4 es de

4.17; y la sobrerresistencia 𝑅 =𝑉𝑢

𝑉𝑑 para el modelo M1BRQ4 es de 2.86, y de 2.88 para el modelo

M1BFQ4.

Los subíndices “u” se refieren a las condiciones últimas, y los subíndices “y” indican las condiciones de fluencia. El cortante de diseño se determina como se indica en las revisiones por cortante basal V0 de cada modelo.

A continuación, se muestran los mapeos de articulaciones plásticas de los modelos, para los cuales se utiliza la siguiente simbología:

Inicio de fluencia 1/2 de rotación última Rotación última

5.93, 329.50 5.95, 327.87

8.10, 450.56 8.08, 445.17

32.73, 941.19 33.67, 945.10

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Co

rtan

te b

asal

(kgf

)M

illar

es

Desplazamiento en azotea (cm)

Base rígida Base flexible

Cortante de diseño BR Cortante de diseño BF

Cortante a la 1a fluencia BR Cortante a la 1a fluencia BF

Cortante último BR Cortante último BF

57

Marco perimetral Marco central Figura 4.6 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BRQ2

Como se observa en la Figura 4.6, el diseño basado en las recomendaciones de las NTC-Sismo-04 fomenta el desarrollo del concepto viga débil/columna fuerte, a pesar de no haberse diseñado por capacidad. El mecanismo de colapso se da en el extremo izquierdo del tercer nivel del marco central.

Marco perimetral Marco central Figura 4.7 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BRQ4

De la Figura 4.7 se observa que se desarrolla el concepto de viga débil/columna fuerte y el mecanismo de colapso se da en la base de las columnas de esquina, en el marco perimetral,

58

desarrollándose satisfactoriamente el concepto de diseño por capacidad, de acuerdo con las NTC-Sismo-04.

Marco perimetral Marco central Figura 4.8 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BFQ2

En la Figura 4.8 se observa que ocurre un fenómeno similar que con el modelo M1BRQ2 con la diferencia de que el mecanismo de colapso se da a la izquierda del tercer nivel en los marcos perimetrales y centrales.

Marco perimetral Marco central Figura 4.9 Mapeo de articulaciones plásticas del modelo M1BFQ4

Finalmente, en la Figura 4.9 se observa el desarrollo del mecanismo de colapso en la base de las columnas de la planta baja que están en el extremo izquierdo en los marcos perimetrales y centrales.

59

C A P Í T U L O 5

Acciones de diseño sobre la subestructura

Las acciones de diseño, llámense fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionantes, obtenidas en la base de las columnas de planta baja se utilizarían para diseñar la cimentación.

5.1 Criterios de acciones de diseño

Los criterios de diseño de cimentaciones han sido estudiados extensamente por Hernández (2016), de tal manera que, retomándolos para su aplicación en este trabajo, se consideran los siguientes:

• NTC04, con este criterio se toman las magnitudes de las acciones como lo estipulan las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Cimentaciones 2004, en su apartado 3.1. Las acciones que resulten serán de un análisis modal espectral de la superestructura con el valor de Q que corresponda a cada edificio.

• AENL, con este criterio se obtienen los elementos mecánicos a partir de un análisis estático no lineal en el punto en el que el sistema estructural ya no es capaz de incrementar su cortante basal. Este análisis representa la referencia respecto a los otros debido a que representa mejor el comportamiento esperado de la capacidad máxima de la estructura.

• Elástico, es un criterio a partir de las propuestas de las acciones según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. Las fuerzas de diseño se obtienen por medio del análisis utilizando el espectro denominado elástico transparente cuya ordenada espectral no se encuentra reducida por Q’ ni R. Hernández (2016) la denomina E. Transparente.

• Elástico/R, es un criterio a partir de las propuestas de las acciones según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. Las fuerzas de diseño se obtendrán por medio del análisis utilizando el espectro cuya ordenada espectral se encuentra dividida entre R y considera un factor de comportamiento sísmico Q = 1. Hernández (2016) la denomina E. Elástico.

• Elástico/Q’, un análisis utilizando el espectro elástico transparente entre Q’. Este análisis elástico considera el espectro elástico transparente afectado por el factor Q’ estipulado en las NTC-Sismo-04 y se establece la magnitud de las acciones producto del análisis. Hernández (2016) la denomina ET/Q’.

60

Adicionalmente, se revisan los casos de las acciones considerando la resistencia real de las columnas de la planta baja considerando la influencia de las cargas axiales gravitacionales (PG) y dinámicas mínimas y máximas (Pmín,DYN y Pmáx,DYN):

• MR1(PG), se refiere al momento flexionante obtenido a partir del diagrama de interacción calculada a partir de las resistencias reales propuestas por las NTC-Concreto-04 en la que la carga axial se considera como la carga gravitacional a la que se encuentra sometida el elemento.

• MR2(Pmín,DYN), se refiere al momento flexionante obtenido a partir del diagrama de interacción calculada a partir de las resistencias reales propuestas por las NTC-Concreto-04 en la que la carga axial se considera como la carga dinámica mínima a la que se encuentra sometida el elemento.

• MR3(Pmáx,DYN), se refiere al momento flexionante obtenido a partir del diagrama de interacción calculada a partir de las resistencias reales propuestas por las NTC-Concreto-04 en la que la carga axial se considera como la carga dinámica máxima a la que se encuentra sometida el elemento.

• Vi(MRi), es el cortante obtenido a partir de la aplicación del momento flexionante real calculado a partir de las cargas gravitacionales o dinámicas mínimas o máximas.

El último criterio se hace a partir de la consideración de que 𝑉𝑖 =2𝑀𝑅𝑖

𝐻, donde H es la altura

total de la columna.

61

5.2 Espectros de diseño utilizados

A continuación, se presentan los espectros de diseño utilizados para este trabajo:


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

lera

ció

n (

g)

Periodo (s)

Elástico BR

Elástico BF

NTC04 BR

NTC04 BF

Elástico BF 1er modo

NTC04 BF 1er modo

Elástico/R BR

Elástico/R BF 1er modo

Elástico/Q' BR

Elástico/Q' BF 1er modo

62


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Ace

lera

ció

n (

frac

ció

n d

e g

rave

dad

)

Periodo (s)

Elástico BR

Elástico BF

NTC04 BR

NTC04 BF

Elástico BF 1er modo

NTC04 BF 1er modo

Elástico/R BR

Elástico/R BF 1er modo

Elástico/Q' BR

Elástico/Q' BF 1er modo

63

5.3 Resultados

Las acciones se toman considerando las acciones en la base de cada columna de la planta baja. El orden de presentación de los resultados se encuentran primero las cargas cortantes, luego los momentos flexionantes y finalmente las cargas axiales. A continuación, se presenta la numeración de las columnas utilizada en las gráficas:

Figura 5.3 Numeración de las columnas y dirección de análisis

5.2.1 Fuerza cortante

Figura 5.4 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BRQ2

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Co

rtan

te (t

on

f)

Columna

NTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' V1(MR1) V2(MR2) V3(MR3)

64

Figura 5.5 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BFQ2

De las figuras 5.4 y 5.5 se puede observar que las acciones debidas a la aplicación del espectro elástico modificado con IDSE para el primer modo, se reducen. Mientras que las acciones debidas a la aplicación del espectro elástico entre R y Q’ son similares a las acciones obtenidas del AENL en base rígida, pero varían significativamente los resultados analizados sobre base flexible.

En todos los caso, el diseño basado en las NTC04 queda por debajo de las acciones debidas al AENL. Las cortantes debidas a los momentos resistentes reales quedan por arriba de las acciones debidas al AENL, tanto en análisis llevados a cabo sobre base rígida como flexible.

Figura 5.6 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BRQ4

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Co

rtan

te (t

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Columna

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ColumnaNTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' V1(MR1) V2(MR2) V3(MR3)

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Figura 5.7 Resultados de la fuerza cortante para el modelo M1BFQ4

En el caso de las acciones de los modelos diseñados como marcos dúctiles, las acciones que más se acercan a las acciones debidas al AENL son las obtenidas al aplicar un espectro elástico entre Q’.

Resulta interesante el efecto de la IDSE en los criterios Elástico y Elástico/R haciendo que los resultados obtenidos de la aplicación de estos criterios se reduzcan hasta una tercera parte, tanto en los modelos con factor de comportamiento sísmico igual a 2 como con los modelos con Q igual a 4.

5.2.2 Momento flexionante

Figura 5.8 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BRQ2

0.00

20.00

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ColumnaNTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' V1(MR1) V2(MR2) V3(MR3)

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NTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' MR1(PG) MR2(Pmin,DYN) MR3(Pmáx,DYN)

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Figura 5.9 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BFQ2

Para el caso de los momentos flexionantes, los modelos diseñados con Q igual a 2, la base rígida no ayuda a distinguir fácilmente qué acciones se aproximan a las obtenidas con el AENL; mientras que la base flexible proporciona la visión más clara que las acciones debidas a la aplicación del espectro elástico entre Q’ se asemejan mejor.

Lo anterior debido a que la condición de la base hace que los resultados con los criterios Elástico y Elástico/R disminuyan, acercando los resultados del criterio Elástico al AENL y alejándose con el criterio Elástico/R. Sucede algo similar en los modelos diseñado como marcos dúctiles, con la característica de que esta reducción permite que los resultados con el criterio Elástico/R se aproxime a los resultados del AENL.

Figura 5.10 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BRQ4

0.0050.00

100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00450.00500.00550.00600.00650.00700.00750.00800.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

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ColumnaNTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' MR1(PG) MR2(Pmin,DYN) MR3(Pmáx,DYN)

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100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00450.00500.00550.00600.00650.00

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ColumnaNTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' MR1(PG) MR2(Pmin,DYN) MR3(Pmáx,DYN)

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Figura 5.11 Resultados del momento flexionante para el modelo M1BFQ4

Al igual que en el modelo diseñado con Q igual a 2, en los modelos diseñados con Q igual a 4, las acciones que mejor se aproximan al momento flexionante obtenidas del AENL son las acciones obtenidas de la aplicación del espectro elástico entre Q’ y los criterios que se basan en los momentos resistentes reales, tanto en los modelos analizados con base rígida como los analizados con base flexible.

5.2.3 Carga axial

En el análisis estático no lineal no se toma en cuenta la bidireccionalidad del problema al obtener la carga axial en una sola dirección de análisis. Para solucionar esto, se le suma el 30% de la carga axial por sismo. Desglosando, se puede decir que la carga actuante del sismo PS es igual a la carga axial del AENL PP menos la carga gravitacional PG, o bien, la carga que se debe utilizar para el estudio de la carga axial del análisis estático no lineal P debe calcularse como:

𝑃 = 1.3𝑃𝑃 − 0.3𝑃𝐺

Donde P es la carga axial corregido del AENL, 𝑃𝑃 es la carga axial del AENL que es igual a 𝑃𝑆 + 𝑃𝐺 , 𝑃𝑆 es la carga actuante del sismo, y 𝑃𝐺 es la carga axial gravitacional.

En las figuras 5.12 a 5.15 se observa que el único criterio cuyos resultados son mayores al AENL es el criterio Elástico. Mientras que los resultados de los otros criterios son superiores al AENL si no se considerasen las cuatro columnas en el extremo que están más a compresión.

Así mismo, se observa que las cargas axiales que mejor se aproxima a las acciones debidas al análisis con las NTC04 y el AENL son las cargas obtenidas de la aplicación del espectro elástico reducida por Q’. Lo cual se visualiza mejor en los datos de las columnas en el extremo a compresión.

0.0050.00

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)

Columna

NTC04 AENL Elástico Elástico/R Elástico/Q' MR1(PG) MR2(Pmin,DYN) MR3(Pmáx,DYN)

68

Figura 5.12 Resultados de la carga axial para el modelo M1BRQ2

Figura 5.13 Resultados de la carga axial para el modelo M1BFQ2

Figura 5.14 Resultados de la carga axial para el modelo M1BRQ4

0.00

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Car

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Figura 5.15 Resultados de la carga axial para el modelo M1BFQ4

De las Figuras 5.12 a 5.15 se observa que las columnas con menor área tributaria tienen mayor carga en los modelos con base rígida y no así en los modelos con base flexible.

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Car

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nf)


70

5.4 Comparación de resultados

Resulta conveniente llevar a cabo un análisis normalizando los resultados de los criterios aplicados con los resultados obtenidos con el AENL. Esto se hace porque se considera que el comportamiento descrito con el AENL es lo más real al comportamiento del edificio por lo que se puede considerar para obtener los elementos mecánicos para diseñar la cimentación.

En las figuras de fuerza cortante, momento flexionante y carga axial se observa que las columnas numeradas del 1 al 4 tienen cocientes mayores debido a que éstas se hacen respecto al AENL, el cual se lleva a cabo en una sola dirección. Al obtener los resultados del AENL en una sola dirección al alcanzarse algún mecanismo de colapso, las columnas del 1 al 4 tienen una carga axial menor en comparación con el resto de las columnas por lo que el momento resistente disminuye y en consecuencia lo hace también la fuerza cortante, esto si consideramos que la fuerza cortante tiene relación con el momento resistente.

5.3.1 Fuerza cortante

De las figuras 5.16 y 5.17 se puede notar que las acciones obtenidas siguiendo las recomendaciones de las NTC04 resultan conservadoras, mientras que los resultados del análisis con el espectro elástico reducido por Q’ son próximas a los que se obtendría con el AENL.

Se observa que las fuerzas cortantes obtenidas con el criterio Elástico/R sobre base flexible disminuyen respecto a los datos obtenidos con base rígida, llegando a subestimarse respecto al AENL como como se muestra en la comparativa con Q igual a 2. Este comportamiento no sucede con el criterio Elástico/Q’, ya que los resultados no varían significativamente entre los análisis sobre base rígida y base flexible.

Figura 5.16 Normalización de los resultados de la fuerza cortante del modelo con Q = 2

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Figura 5.17 Normalización de los resultados de la fuerza cortante del modelo con Q = 4

El criterio Elástico sobrestima hasta dos y tres veces los resultados respecto al AENL para Q igual a 2 y 4, respectivamente, sobre base rígida. La introducción de la base flexible al análisis hace que esta sobre estimación sea menor.

En lo que respecta a las fuerzas cortantes reales, V1, V2 y V3, no varían si se analizan sobre base rígida o base flexible, lo que se puede atribuir a que se usó la misma sección en ambas condiciones con el fin de establecer las mismas condiciones que permitan una mejor comparación.

Entonces, respecto a la fuerza cortante, el criterio Elástico/Q’ es el que mejor se aproxima a los resultados del AENL.

5.3.2 Momento flexionante

Los momentos flexionantes obtenidos con los criterios de las NTC04 son menores hasta en la mitad de los obtenidos con el AENL.

El criterio Elástico/R aplicado sobre base flexible hace que los momentos flexionantes disminuyan, respecto al modelo sobre base rígida, hasta aproximarse a los resultados del AENL en los modelos diseñados como marcos dúctiles. Llegando a ser perjudicial en el modelo con Q igual a 2 donde llegan a ser menores a los resultados respecto al AENL cuando eran similares al analizarse sobre base rígida.

Al observar el comportamiento del criterio Elástico/Q’ respecto al AENL, los resultados sobre base rígida son similares a los resultados sobre base flexible, aproximándose significativamente a los resultados del AENL.

Por otro lado, los criterios de momento resistente considerando la resistencia real de los materiales, se aproximan mejor a los resultados del AENL sin diferencia significativa entre ellas.

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Figura 5.18 Normalización de los resultados del momento flexionante del modelo con Q = 2

Figura 5.19 Normalización de los resultados del momento flexionante del modelo con Q = 4

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73

5.3.3 Carga axial

Si se consideraran las cargas axiales debidas al análisis basadas en las recomendaciones de las NTC04, casi siempre estaríamos del lado de la seguridad excepto en las columnas que están en el extremo a compresión, donde el criterio Elástico siempre está por arriba del AENL, y el criterio Elástico/R está por arriba del AENL en la condición de base rígida para el modelo diseñado con marcos dúctiles.

Sin embargo, si no se desea alternar entre criterios, se puede considerar sin problemas los resultados obtenidos con el análisis considerando el espectro elástico reducido por Q’.

Lo anterior se puede afirmar al revisar las figuras 5.20 y 5.21, en las que el criterio Elástico sobre estima la carga axial, llegando a ser similar a todos los criterios solamente en las columnas centrales.

Abundando a lo mencionado en el párrafo anterior, al analizar el criterio Elástico/R, se observa que los resultados obtenidos son sensibles a las condiciones de base, de manera que los resultados se aproximan más a los resultados del AENL cuando se analizan sobre base flexible que si se analizan sobre base rígida. Similar a lo que sucede con la fuerza cortante y el momento flexionante, tanto para modelos analizados con Q igual a 2 como con Q igual a 4.

Por otro lado, las cargas axiales debidas a la aplicación del criterio Elástico/Q’ no varían significativamente entre análisis llevados a cabo sobre base rígida y sobre base flexible.

Figura 5.20 Normalización de los resultados de carga axial del modelo con Q = 2

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Figura 5.21 Normalización de los resultados de carga axial del modelo con Q = 4

0.000.501.001.502.002.503.003.504.004.505.005.506.006.507.007.50

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C A P Í T U L O 6

Conclusiones

Considerando los resultados obtenidos del estudio del modelo sobre base rígida y sobre base flexible para los factores de comportamiento sísmico Q igual a dos y cuatro, se puede tener algunas conclusiones como las descritas a continuación:

Las curvas de capacidad de los modelos analizados en base rígida y base flexible muestran que la ductilidad y la sobrerresistencia propias del edificio no se modifican debido a los efectos de interacción dinámica suelo-estructura, sino que las diferencias entre las curvas se pueden atribuir al incremento de los efectos de segundo orden que amplifican las componentes de deformación y cabeceo de la estructura. Esto se explica mejor numéricamente con la demanda de ductilidad equivalente.

Las recomendaciones de las Normas Técnicas Complementarias del 2004, en general, subestiman las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes para el diseño de la cimentación respecto a las cargas obtenidas con el análisis estático no lineal.

Mientras que, si se consideran las fuerzas cortantes resistentes de las columnas como acciones, se sobre estima al menos hasta 1.5 veces respecto a los resultados obtenidos con el análisis estático no lineal.

En lo que respecta a las fuerzas cortantes obtenidas con un factor de comportamiento sísmico igual a 2 sobre una base rígida, el análisis Elástico sobre estima hasta el doble los resultados con el AENL. Los cortantes obtenidos considerando los momentos resistentes reales sobre estiman al menos hasta 1.5 veces los resultados del AENL. Mientras que los cortantes obtenidos con los espectros elásticos reducidos por R y Q’ por separado, se aproximan bastante a los resultados obtenidos con el AENL, y en algunos casos, lo sobre estiman.

En lo que respecta a las fuerzas cortantes obtenidas con un factor de comportamiento sísmico igual a 2 sobre una base flexible, el análisis Elástico sobre estima hasta 1.25 veces los resultados con el AENL. Los cortantes obtenidos considerando los momentos resistentes reales sobre estiman al menos hasta 1.5 veces los resultados con el AENL. Mientras que los cortantes obtenidos con el espectro elástico reducido por R subestiman los resultados por el AENL; y, los resultados con el espectro elástico reducido por Q’ se aproximan a los resultados obtenidos con el AENL, y en algunos casos, lo sobre estiman hasta 1.5 veces.

76

En cuanto a las fuerzas cortantes, con los resultados obtenidos para un factor de comportamiento sísmico igual a 4 sucede que, en los análisis sobre una base rígida, únicamente el análisis llevado a cabo con el espectro elástico reducido por Q’ subestima hasta en un 25% respecto a los resultados obtenidos con el AENL, mientras que los resultados obtenidos con los otros criterios sobre estiman al menos 1.5 veces los resultados con el AENL.

Los resultados de los análisis sobre base flexible considerando un factor de comportamiento sísmico igual a 4, para el caso de las fuerzas cortantes obtenidas con el espectro elástico reducido por R, son similares a los obtenidos con el AENL; mientras que los resultados con el espectro elástico reducido por Q’ los subestima hasta en un 25%. Los resultados con los otros análisis sobre estiman al menos hasta 1.5 veces.

Considerando los momentos flexionantes, los análisis con factor de comportamiento sísmico igual a 2 con base rígida, los resultados son similares a los obtenidos con el AENL, a excepción del análisis con el espectro elástico que sobre estima en promedio el doble de los resultados con el AENL.

Los momentos flexionantes obtenidos con los análisis sobre base flexible considerando un factor de comportamiento sísmico igual a 4, con el espectro elástico sobre estiman los resultados con el AENL, y se subestiman con el espectro elástico reducido por R. Mientras que los resultados con el espectro elástico reducido por Q’ es similar con los resultados con el AENL, así como con los momentos resistentes reales de las columnas.

Los momentos flexionantes del modelo sobre base rígida con Q igual a 4 obtenidos con el espectro elástico y el espectro elástico reducido por R sobre estiman los resultados obtenidos con el AENL, el primero más de 3 veces y el segundo más de 1.5 veces. Mientras que los resultados obtenidos con el espectro elástico reducido por Q’ subestima los resultados hasta 25%, de tal manera que los momentos resistentes reales se aproximan bastante a los resultados con el AENL.

Los momentos flexionantes obtenidos del modelo sobre base flexible con Q igual a 4 son similares a los obtenidos con el AENL, exceptuando a los resultados derivados del espectro elástico que sobre estima más de 1.5 veces, y a los resultados derivados del espectro elástico reducido por Q’ que los subestima hasta en 20%.

En cuanto a las cargas axiales, en general, las Normas Técnicas Complementarias del 2004 sobre estiman al menos 1.5 veces los resultados obtenidos con el AENL, y los otros criterios sobre estiman más que las Normas. De manera que, en base rígida con Q igual a 2 se sobre estima menos con el análisis considerando el espectro elástico reducido por R o Q’, y en base flexible se sobre estima menos con el análisis considerando el espectro reducido por R.

Las cargas axiales obtenidas con el análisis considerando el espectro elástico reducido por Q’ es el más próximo a los resultados obtenidos con el AENL, sobre base rígida y sobre base flexible con Q igual a 4.

Los resultados obtenidos con el espectro elástico reducido por la sobrerresistencia se aproximan más a los resultados obtenidos con el AENL al considerarse los efectos de IDSE. De tal

77

manera que, si en base rígida se subestiman o sobre estiman, en base flexible se aproximan mejor. La condición de base muestra la sensibilidad de la sobrerresistencia en el comportamiento de la estructura.

Lo anterior es útil si se desea una aproximación rápida de las cargas de diseño sobre la cimentación, la propuesta de considerar el espectro elástico reducido por la sobrerresistencia es adecuada.

Finalmente, en general, el criterio que considera el espectro elástico reducido por Q’ muestra que las acciones obtenidas considerando una base rígida no varían significativamente de las acciones obtenidas considerando una base flexible. Además, los resultados se aproximan bastante a los obtenidos con el análisis estático no lineal.

78

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[23] Wolf, J. P. (1985), “Dynamic Soil-Structure Interaction”, 1a ed., Prentice-Hall, New Jersey, E.U.A.

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