Revista digital, Carlos Montiel, Robert Dudiver, Vanessa Ramirez,

[METODO DE LAGRANGE Y OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES] 13 de Junio de 2015

1 Realizado por: Carlos Montiel, Vanessa Ramírez Giannini, Robert Dudiver --- Optimización de Operaciones

OPTIMIZACIO N SIN RESTRICCIONES

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN MARACAY

MINIM

OS

MAXIM

OS



INDICE

OPTIMIZACION DE OPERACIONES BREVE HISTORIA ………………………………….3

OPTIMIZACION ........................................................................................................................... 4

FUNCION OBJETIVO CON DOS VARIABLES

...........................................................…….5¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACION ...…………………………..7

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION ......................................................................................... 12

METODO DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES ................................................................ 14

OPTIMIZACION DE VARIABLES SIN RESTRINCIONES………………………………….12

OBJETIVOS .................................................................................................................................... 17

CARACTERISTICAS ................................................................................................................. 14

IMPORTANCIA .......................................................................................................................... 20

CAMPO DE APLICACION ........................................................................................................ 16

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA ............................................................................................. 20



OPTIMIZACION DE OPERACONES

BREVE HISTORIA

A Investigación de Operaciones o

Investigación Operativa es una disciplina

donde las primeras actividades formales se

dieron en Inglaterra en la Segunda Guerra

Mundial, cuando se encarga a un grupo de

científicos ingleses el diseño de

herramientas cuantitativas para el apoyo a la

toma de decisiones acerca de la mejor

utilización de materiales bélicos. Se presume

que el nombre de Investigación de

Operaciones fue dado aparentemente porque

el equipo de científicos estaba llevando a

cabo la actividad de Investigar Operaciones

(militares).Una vez terminada la guerra las

ideas utilizadas con fines bélicos fueron

adaptadas para mejorar la eficiencia y la

productividad del sector civil.

Una de las áreas principales de la

Investigación de Operaciones es la

Optimización o Programación Matemática.

La Optimización se relaciona con problemas

de minimizar o maximizar una función

(objetivo) de una o varias variables, cuyos

valores usualmente están restringidos por

ecuaciones y/o desigualdades.

Hoy en día el uso de modelos de

optimización es cada vez más frecuente en

la toma de decisiones. Este mayor uso se

explica, principalmente, por un mejor

conocimiento de esta metodología en las

diferentes disciplinas, la creciente

complejidad de los problemas que se desea

resolver, la mayor disponibilidad de

software y el desarrollo de nuevos y mejores

algoritmos de solución.

JHON VON NEUMANN

Fue un gran investigador, profesor,

matemático, entre otros. Sus aportes en el

desarrollo de la optimización de

Operaciones han sido hasta nuestros tiempos

de gran ayuda.

Su teoría de juegos sorprendió a la

comunidad científica porque

Proporcionaba un análisis estratégico de un

tema que parecía escapar al análisis: los

juegos de habilidad. Además, la teoría de

juegos influyo significativamente en la

economía, donde fue aplicada a situaciones

competitivas semejantes a los juegos.

L



Optimización

Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente

sin la ayuda de gráficos.

Conceptos claves. A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para

comprender apropiadamente el tema de optimización.

Funciones creciente y decreciente. Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en

x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse

de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de

una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente “a”; una

primera derivada negativa indica que es decreciente.

Concavidad y convexidad. Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región

cercana al punto [a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea

tangente. Una función es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta

complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a

Máximos y Mínimos de una Función:

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su

derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su

derecha creciente.

Grafico Punto Maximo creciente / Decreciente Grafico Punto Minimo Decreciente/ Creciente



FUNCIONES OBJETIVOS CON DOS VARIABLES

Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números

reales (x, y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x, y). E l conjunto D es el

dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir {f(x, y) (x, y) ε D}

Explicación

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x ,y)

en D le corresponde un único número f(x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es

el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x y) es el recorrido de f.

Graficas

Otro modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es mediante su

gráfica.

Ejemplo:

Hallar y trazar el dominio de:

Restricción:

Por lo tanto { }

Gráfica:



Para que una función como Z= F (x, y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones

deben cumplirse:

1. Las derivadas parciales de primer orden deben ser simultáneamente iguales a cero, ello

indica que un punto dado (a, b), llamado punto crítico, la función no está creciendo ni

decreciendo con respecto a los ejes principales si no a una superficie relativa.

2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas

en el punto crítico (a, b) para un máximo positivo y positivas para un mínimo relativo.

Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes

principales en el casco de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose

hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico

deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en

dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o

punto de silla. En resumen:

Nota: Las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto crítico (a,b) o

los puntos críticos que hubieren.

Ejemplos Gráficos de las tres condiciones que se deben cumplir en funciones de dos

variables.

Condición necesaria Máximo Mínimo

Primer Orden F x= F y =0 F x= F y =0

Segundo Orden Fxx, Fyy < 0 y Fxx, Fyy > (fxy)2 Fxx, Fyy > 0 y Fxx, Fyy < (fxy)2



MÍMIMO MÁXIMO

PUNTO SILLA

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACION.

En la resolución de problemas de optimización de

funciones seguiremos los siguientes pasos:

1. Plantear la función que hay que maximizar o

minimizar.



2. Plantear una ecuación que relacione las

distintas variables del problema, en el caso de que haya

más de una variable.

3.Despejar una variable de la

ecuación y sustituirla en la función de modo que nos

quede una sola variable.

4. Derivar la función e igualarla a cero , para hallar

los extremos locales.

5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el

resultado obtenido.

Problemas de optimización

. De todos los triángulos isósceles de 12 m Ejercicio 1

de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del

triángulo:



Relacionamos las variables:

2 x + 2 y = 12 x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que

la solución y = 0 la descartamos porque no hay un

triángulo cuyo lado sea cero.



Por lo que queda probado que en y = 2 hay un

máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también

miden 4 m, por lo que el triángulo de área máxima sería un

triángulo equilátero.

Recortando convenientemente en cada Ejercicio 2.

esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x

50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente

(véase figura), se construye una caja. Calcular x para que

volumen de dicha caja sea máximo.



. Una boya, formada por dos conos rectos de Ejercicio 3

hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante

dos placas circulares de 3 m de radio. Calcu lar las

dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.



OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES

ntes de la aparición de los ordenadores de

alta velocidad, los métodos de

optimización estaban prácticamente

limitados a los métodos indirectos en los

cuales el cálculo del extremo potencial

estaba restringido al uso de derivadas y la

condición necesaria de optimalidad. Los

modernos ordenadores han hecho posible los

métodos directos, esto es la búsqueda de un

óptimo por comparación sucesiva de los

valores de la función f(x) en una secuencia

de puntos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … sin la necesidad de

hacer intervenir derivadas analíticas.

Para llevar a cabo los métodos directos de

minimización numérica solamente se usa el

valor de la función objetivo. Se comienza

con un valor inicial de x y se continúa

seleccionando valores de x de acuerdo con

una estrategia pre-seleccionada. El proceso

termina cuando 𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑓(𝑥𝑘) < 𝜀

donde el superíndice k designa el número de

iteración y 𝜀 es la tolerancia pre-

especificada o criterio de tolerancia.

Los métodos indirectos tienen la ventaja

inherente de que la convergencia es

generalmente más rápido incluso aun

cuando se utilicen métodos numéricos para

calcular las derivadas. Sin embargo, en

problemas de ingeniería esta ventaja es

muchas veces neutralizada por la falta de

interés de determinaciones precisas de la

función objetivo debido la falta de precisión

de los coeficientes que muchas veces se

utiliza.

Los métodos directos, tienen la ventaja de

que pueden tratar fácilmente con problemas

que incluyan discontinuidades, puntos de

inflexión y puntos finales. También el

carácter de f(x) en las vecindades de un

extremo es fácilmente estudiable.

A



OBJETIVOS

1. Para que una función de dos variables tenga un mínimo o máximo relativo, tres

condiciones deben ser satisfecha:

2. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero.

Ello indica que en un punto dado (ab) llamado “punto crítico”, la función no está

creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie

relativa.

3. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son

evaluadas en el punto crítico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un

mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en

relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es

convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un

mínimo relativo. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas

en el punto crítico debe exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas

también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar

un punto de inflexión o punto de silla.

CARACTERISTICAS

En muchos problemas las restricciones se pueden incluir dentro de la función

objetivo, por lo que la dimensionalidad del problema se reduce a una variable.

Algunos problemas sin restricciones, inherentemente incluyen una única variable.

Las técnicas de optimización con y sin restricciones, generalmente incluyen pasos

de búsqueda unidireccional en sus algoritmos.

CAMPO DE APLICACION

a optimización puede ser aplicada en cualquier área donde se busque o desee realizar una

actividad de forma eficaz y eficiente, sin perder datos relevantes ni tiempo, los campos donde la

L



optimización es el mejor elemento para cubrir soluciones son como por ejemplo, matemática,

estadística, ciencias empíricas, ciencia de la computación, ciencia de la administración,

optimización matemática, etc.

IMPORTANCIA

Los métodos de optimización sin restricciones son importantes porque:

Hay problemas que se pueden formular sin restricciones.

Permiten introducir muchos conceptos y explorar ideas que se usaran en

problemas NLP.

Muchos problemas de optimización utilizan alguna fase algoritmos sin

restricciones.

Algunos problemas NLP pueden reformularse como problemas sin restricciones.

Para poder resolver problemas en optimización de operaciones con funciones sin restricciones es

de suma importancia tener el conocimiento del teorema de Lagrange. Joseph

Louis Lagrange (1736 - 1813).

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto

(a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]

f(x) es derivable en (a,b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)



Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por

los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox. f'(c) es la tangente del ángulo que

forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.

Demostración

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.

g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.

Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle

=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)

f(a) - f(b)

=> h = -----------

b – a

f(a) - f(b)

=> h = -----------

b – a

=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0

=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0

g'(x) = f'(x) + h

f(b) - f(a)

g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------

b - a

Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde

su punto de partida a lo largo de cierto camino.

Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a.

(Recordar que velocidad = distancia/tiempo)

Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.



Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por

hora.

Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas,

el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.

PROBLEMAS DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES

En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si estos son máximos o

mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥3 − 5𝑦2 − 225𝑥 + 70𝑦 + 23

Solución:

Cuando la primera derivada e igualándola a 0:

𝑓𝑥 = 9𝑥2 − 255 = 0 𝑓𝑦 = −10𝑦 + 70 = 0

Resulta: 𝑥 = ±5, 𝑦 = 7. Entonces los puntos críticos serán: (5, 7) y (5, 7)

La segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

𝑓𝑥𝑥 = 18𝑥 𝑓𝑦𝑦 = −10 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = 0



Evaluando el punto crítico (5,7):

𝑓𝑥𝑥(5,7) = 18(5) = 90 𝑓𝑦𝑦(5,7) = −10

¿Cumple 𝑓𝑥𝑥(5,7). 𝑓𝑦𝑦(5,7) > [𝑓𝑥𝑦(5,7)]2? 90. (−10) < [0]2 (no cumple)

Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑓𝑦𝑦 (evaluadas en este

punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.

Evaluando el punto crítico (-5,7)

𝑓𝑥𝑥(−5,7) = 18(−5) = −90 𝑓𝑦𝑦(−5,7) = −10

¿Cumple 𝑓𝑥𝑥(−5,7). 𝑓𝑦𝑦(−5,7) > [𝑓𝑥𝑦(−5,7)]2? −90. (−10) > 0 (Si cumple)

Dado que se cumple 𝑓𝑥𝑥(−5,7). 𝑓𝑦𝑦(−5,7) > [𝑓𝑥𝑦(−5,7)]2y además, 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑦𝑦 < 0 entonces el

punto de análisis es un máximo.

EJERCICIOS (SAIA) RESUELTOS

Ejercicio 1. Una compañía destina su planta a la elaboración de dos tipos de bienes A y B.

Obtiene un beneficio de 04 dólares. por unidad de A y de 06 dólares por unidad de B. Los

números de unidades de los 02 tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por

la ecuación de transformación del producto que es:

04222 yxyx

con X, Y los números de unidades ( dólares ) de A y B respectivamente producidas por semana.

Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad

Solución:

Beneficio: 4x+6y



Ecuación de Lagrange: )442(64 22 yxyxyx

Bx= 0224 x

By= 0426 y

1

2

x

2

3

y

2

13

xy

66.13

1336*6

13*2

13*21312

;0232613

04)13(22)13(4

1

2

22

X

xx

xxxx

X=.66 ; Y= .49

0

2

2

Bxy

Byy

Bxx

0

04

1

2

2

H

H Máximo

El beneficio es de 5.58 $.

EJERCICIO 2. Calcula dos números que cumplan que al sumarlo resulte 10 y la resta de uno

de ellos menos el inverso del otro sea mínima

Condición: x + y = 10, de donde y= 10-x

La función: f (x, y)= 𝑥 − 1

𝑦

f (x )= 𝑥 − 1

10− 𝑦 >>> f (x)=

−𝑥2+10 𝑥−1

10−𝑥

Así,

f^ (x)= 𝑥2+20 𝑥+99

(10−𝑥)2 >>> f^ (x )= 0



f “(x )= −2

(10− 𝑥)3 >>>> f “( 9 ) <0 >>>> f “(11) >0

Solución: X= 11, Y= -1

EJERCICIO 3.

f (x, y)= 𝑥2 + 𝐟^ 2𝑦 + 3𝑥 𝑦2 >>> a)

𝑑𝑓

𝑑𝑥= f^= 2x + 0 + 3 1. Y (2) = 2x + 3 y2

𝑑𝑓

𝑑𝑦= f^= 0 + 2 + 3x 2y = 2 + 6 xy

f (x, y)= 2 𝑋2 − 4𝑋2𝑌 + 5𝑌 b)

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝐟^𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟖𝒙𝒚 + 𝟎

𝑑𝑓

𝑑𝑦= 𝐟^𝒚 = 𝟎 − 𝟒 𝒙 𝟐. 𝟏 + 𝟓 = −𝟒 𝒙𝟐 + 𝟓

f (x, y)= 3 𝑋2 − √𝑥 + √𝑥𝑦 c)

f (x, y) = 3𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 =

3𝑦(𝑥2 + 𝑦2) − 3 𝑥𝑦 (2𝑥)

(𝑥2 + 𝑦2)2 =

3 𝑥2 𝑦 + 3 𝑦3 − 6 𝑥2 𝑦

(𝑥2 + 𝑦2)2 =

−3(2)𝑦 + 3 𝑦3

(𝑥2 + 𝑦2)2

𝑑𝑓

𝑑𝑦= 𝑓 𝑦 =

3𝑦. 1(𝑥2 + 𝑦2) − 3 𝑥𝑦 (2𝑦)

(𝑥2 + 𝑦2)2 =

3 𝑥3 𝑦 + 3𝑥 𝑦2 − 6 𝑥2 𝑦

(𝑥2 + 𝑦2)2 =

−3(3) − 3𝑥 𝑦2

(𝑥2 + 𝑦2)2



REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Plataforma modle. SAIA , Politécnico Santiago Mariño

http://saia.psm.edu.ve/moodle/pluginfile.php/164238/mod_resource/content/1/F.pdf

S.A.I.A. Cátedra Optimización de Sistemas y Funciones. “Funciones con mas de una variable”.

Disponible en:

http://saia.psm.edu.ve/moodle/pluginfile.php/164234/mod_resource/content/1/VV.pdf

Matemática IV. “Aplicaciones de la derivación parcial”. Disponible en:

http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1328695759_1992907084.pdf

Roberto MArtinez. “Funciones de Varias Variables”. Disponible en:

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-

Variables.pdf

Prof. Cesar de Prada. “Optimización Sin Restricciones”. Disponible en:

http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf

http://saia.psm.edu.ve/moodle/pluginfile.php/164238/mod_resource/content/1/F.pdf

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https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-Variables.pdf

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-Variables.pdf

http://prof.usb.ve/mirodriguez/Sinrestricciones1.pdf

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