1. CINEMTICA DEL ROBOT Cinemtica Directa Cinemtica Inversa Matriz JacobianaAutomatizacin y Robtica. Cinemtica.1

2. Problema cinemtico del robot Cinemtica del robot: Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia: Descripcin analtica del movimiento espacial del robot como una funcin del tiempo. Relaciones entre la posicin y orientacin del extremo del robot (localizacin) y los valores de sus coordenadas articulares.Problema cinemtico directo: Determinar la posicin y orientacin del extremo del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parmetros geomtricos de los elementos del robot.Problema cinemtico inverso: Determinar la configuracin que debe adoptar el robot para alcanzar una posicin y orientacin conocidas.Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades del movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot. Automatizacin y Robtica. Cinemtica.2 3. Relacin entre cinemtica directa e inversa Valor de las coordenadas articulares (q1, q2, ... , qn)Cinemtica directaCinemtica inversaPosicin y orientacin del extremo del robot (x,y,z,,,)q1 = f1 (x,y,z,,,)x = fx (q1, q2, ... , qn)q2 = f2 (x,y,z,,,)y = fy (q1, q2, ... , qn)..z = fz (q1, q2, ... , qn).. = f (q1, q2, ... , qn).. = f (q1, q2, ... , qn)qn = fn (x,y,z,,,) = f (q1, q2, ... , qn) Automatizacin y Robtica. Cinemtica.3 4. Obtencin del modelo cinemtico directo (I) Mediante relaciones geomtricas: Robots con pocos grados de libertad. No es un mtodo sistemtico.x = l1 cos q1 + l2 cos(q1+q2) y = l1 sen q1 + l2 sen(q1+q2)Automatizacin y Robtica. Cinemtica.4 5. Obtencin del modelo cinemtico directo (II) Mediante matrices de transformacin homognea: A cada eslabn se le asocia un sistema de referencia solidario. Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas entre los distintos eslabones. La matriz i-1Ai representa la posicin y orientacin relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot. Representacin total o parcial de la cadena cinemtica del robot: 0A 3= 0A1 1A2 2A3 T = 0A6 = 0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6 Existen mtodos sistemticos para situar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabn y obtener la cadena cinemtica del robot.Automatizacin y Robtica. Cinemtica.5 6. Representacin de Denavit-Hartenberg (D-H) Permite el paso de un eslabn al siguiente mediante 4 transformaciones bsicas, que dependen exclusivamente de las caractersticas constructivas del robot. Las transformaciones bsicas que relacionan el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1 son: 1.- Rotacin i alrededor del eje zi-1. 3.- Traslacin ai a lo largo del eje xi.2.- Traslacin di a lo largo del eje zi-1. 4.- Rotacin i alrededor del eje xi.Automatizacin y Robtica. Cinemtica.6 7. Algoritmo de Denavit-Hartenberg (I) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabn mvil de la cadena) y acabando con n (ltimo eslabn mvil). Se numerar como eslabn 0 a la base fija del robot.Numerar cada articulacin comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.Localizar el eje de cada articulacin. Si sta es rotativa, el eje ser su propio eje de giro. Si es prismtica, ser el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulacin i+1.Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarn de modo que formen un sistema dextrgiro con z0.Automatizacin y Robtica. Cinemtica.7 8. Algoritmo de Denavit-Hartenberg (II) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabn i) en la interseccin del eje zi con la lnea normal comn a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situara {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situara en la articulacin i+1.Para i de 1 a n-1, situar xi en la lnea normal comn a zi-1 y zi.Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrgiro con xi y zi.Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la direccin de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.Obtener i como el ngulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos.Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habra que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados. Automatizacin y Robtica. Cinemtica.8 9. Algoritmo de Denavit-Hartenberg (III) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidira con xi-1, que habra que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.Obtener i como el ngulo que habra que girar en torno a xi, que ahora coincidira con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.Obtener las matrices de transformacin i-1Ai .Obtener la matriz de transformacin que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An.La matriz T define la orientacin (submatriz de rotacin) y posicin (submatriz de traslacin) del extremo referidas a la base en funcin de las n coordenadas articulares.Automatizacin y Robtica. Cinemtica.9 10. Modelo cinemtico directo: Ejemplos (I)Articulacinda11l100290d209030d30044l400Automatizacin y Robtica. Cinemtica.10 11. Modelo cinemtico directo: Ejemplos (II)Articulacinda1100-9022l10903 3900-l29044l30-9055009066l400Automatizacin y Robtica. Cinemtica.11 12. Problema cinemtico inverso El objetivo del problema cinemtico inverso consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot, q={q1, q2, ... qn}, para que su extremo se posicione y oriente segn una determinada localizacin espacial. La resolucin no es sistemtica: Depende de la configuracin del robot y pueden existir soluciones mltiples. Solucin cerrada: qk = fk (x,y,z,,,) Posibilidad de resolucin en tiempo real. Posibilidad de incluir restricciones que garanticen la mejor solucin. Posibilidad de simplificaciones. No siempre existe.Automatizacin y Robtica. Cinemtica.12 13. Obtencin del modelo cinemtico inverso Mtodos geomtricos: Se suele utilizar para obtener los valores de las primeras variables articulares, que son las que posicionan el robot (prescindiendo de la orientacin de su extremo). Utilizan relaciones geomtricas y trigonomtricas sobre los elementos del robot.Matrices de transformacin homognea: Despejar las n variables qi en funcin de las componentes de los vectores n, o, a y p.Desacoplo cinemtico: Para determinados robots con 6 grados de libertad. Resolucin independiente de los grados de libertad que posicionan y de los que orientan. Automatizacin y Robtica. Cinemtica.13 14. Resolucin por mtodos geomtricos (I)Automatizacin y Robtica. Cinemtica.14 15. Resolucin por mtodos geomtricos (II)Automatizacin y Robtica. Cinemtica.15 16. Resolucin por matrices de transformacin (I) Articulacin 1 2 3Automatizacin y Robtica. Cinemtica. 1 2 0d l1 0 d3a 0 0 0 90 -90 016 17. Resolucin por matrices de transformacin (II)Automatizacin y Robtica. Cinemtica.17 18. Resolucin por matrices de transformacin (III)Automatizacin y Robtica. Cinemtica.18 19. Resolucin por desacoplo cinemtico (I) Articulacinda11l10-90220l2033009044l30-9055009066l400Automatizacin y Robtica. Cinemtica.19 20. Resolucin por desacoplo cinemtico (II)Automatizacin y Robtica. Cinemtica.20 21. Matriz Jacobiana Velocidad de las articulaciones (q1, q2, ... , qn)Jacobiana directaJacobiana inversaVelocidades del extremo del robot y, (x, z, , , ) q1 = f1 (x, y, z, , , ) z, q = f (x, y, , , ) x = fx (q1, q2, ... , qn) = f (q , q , ... , q ) y.... z = fz (q1, q2, ... , qn) = f (q , q , ... , q )2y2121n2n = f (q1, q2, ... , qn) = f (q , q , ... , q ). . qn = fn (x, y, z, , , )Automatizacin y Robtica. Cinemtica.12n21 22. Jacobiana directaAutomatizacin y Robtica. Cinemtica.22 23. Jacobiana inversa Inversin simblica de la matriz Jacobiana: Gran complejidad: matriz 6x6 de funciones trigonomtricas.Evaluacin e inversin numrica de la matriz Jacobiana: Necesidad de recmputo continuo. En ocasiones J no es cuadrada Matriz pseudoinversa (J JT)-1. En ocasiones el determinante de J es nulo: configuraciones singulares.A partir del modelo cinemtico inverso:Automatizacin y Robtica. Cinemtica.23 24. Configuraciones singulares Jacobiano (determinante de la matriz jacobiana) nulo.Incremento infinitesinal en coordenadas cartesianas implica incremento infinito en coordenadas articulares.Implica prdida de algn grado de libertad.Tipos: En los lmites del espacio de trabajo del robot. En el interior del espacio de trabajo del robot.Requieren su estudio y eliminacin. Automatizacin y Robtica. Cinemtica.24