REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDAVICERRECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INDUSTRIAL

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

INTEGRANTES:RANGEL, ALBERTH

DURAN, SARAGONZALEZ, ANDREINA

PADRON, LUISPADILLA, LUISANA

PROFESOR:GUEDEZ, PEDRO

Ciudad Ojeda, Abril de 2013

DESARROLLO

1. CAMPO VECTORIAL.

Es un lugar en el cual interactúan las diferentes magnitudes, direcciones y sentidos de cada uno de los vectores que describen el comportamiento de un fenómeno físico.

Es la función a la que se le asigna un vector a un punto en el plano o a un punto en el espacio, resultan muy útiles para representar diversas clases de campos de fuerzas y campos de velocidades; dichas funciones representan el comportamiento de una función de varias variables.

2. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL.

Son generalizaciones de la noción de derivadas aplicadas en los campos vectoriales ambas miden directamente cantidades físicas importantes relacionadas con el campo vectorial F(x, y, z).

3. DEFINICION DE UN CAMPO VECTORIAL.

El rotacional de F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk es Rot F(x, y, z) = ∇ x F(x, y, z)

=( ∂ P∂ y −∂N∂ z )i−( ∂P∂ X−∂M

∂z ) j+( ∂N∂ X −∂M∂ y )k

La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el grandiente ∇f como el resultado del operador diferencial ∇ que actúa en la función f. en este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.

Rot F (x, y, z) = ∇ x F(x, y, z)

= | i j k∂∂ X

∂∂Y

∂∂Z

M N P|

= ( ∂ P∂ y −∂N∂ z )i−( ∂P∂ x−∂M∂ z ) j+( ∂N∂x −∂M

∂ y )k

4. PROPIEDADES DEL ROTACIONAL.

Si el campo escalar F (x, y, z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (∇f) = 0.

Si F (x, y, z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F)=0.

Si el campo vectorial F(x, y, z) es una función definida sobre todo R³ cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F)= 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la función vectorial F(x, y, z) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso se interpreta como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto (x0, y0, z0). Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot (F)=0, entonces se dice que el fluido es irrotacional.

5. CALCULO DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Hallar rot F para el campo vectorial dado por

F(x, y, z)= 2xyi + (X²+Z²)j + 2YZ k.

¿Es F irrotacional?

Solución: El rotacional de F esta dado por

. Rot F (x, y, z) = ∇ x F(x, y, z)

= | i j k∂∂ X

∂∂Y

∂∂ Z

2 xy x ²+z ² 2 yz|

= | ∂∂ yx ²+z ²

∂∂z2 yz|i−| ∂∂ x2xy

∂∂ z2 yz| j+|

∂∂ x2 xy

∂∂ yx ²+ z ²|k

=(2 z−2 z) i−(0−0 ) j+(2 x−2 x )k

= 0

Como rot F= 0, F es irrotacional.

El criterio establece que para un campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abierta), el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y solo si F es conservativo.

6. CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO

Suponer que M, N Y P tienen primeras derivadas parciales continuas en una esfera abierta Q en el espacio. El campo vectorial dado por F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk es conservativo si solo si.

Rot F (x, y, z) = 0.

Es decir, F es conservativo si solo si

∂P∂ y

=∂ N∂ z,∂ P∂ x

=∂M∂z

y∂N∂ x

=∂M∂ y

Del teorema se puede ver que el campo vectorial del ejemplo es conservativo, ya que rot F (X, Y, Z) = 0, comprobar que el campo vectorial.

F(x, y, z) = x³ y² zi + x² zj + x² yk

No es conservativo; se puede demostrar que su rotacional es

Rot F (x, y, z) = (x³ y² - 2xy)j + (2xz – 2x³ yz)k ≠ 0.

Para los campos vectoriales en el espacio que satisfagan el criterio y sean, por tanto, conservativos se puede encontrar una función potencial siguiendo el mismo modelo utilizando en el plano.

7. CALCULAR UNA FUNCION POTENCIAL PARA F (x,y,z)

Hallar una función potencial para F(x, y, z) = 2xyi + (x² + z²)j + 2yzk.

Del siguiente ejercicio se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo.

Si f es una función tal que F(x, y, z) = ∇f(x, y, z) = 2yz

E integrando separadamente con respecto a x, y y z se obtiene

F(x, y, z) =∫M dx=∫2 xy dx=x ² y+g ( y , z )

F(x, y, z) =∫N dy=∫ (X2+Z2 )dy=x2 y+ y z2+h (x , z)

F(x, y, z) =∫Pdz=∫2 yz dz= yz ² y+k (x , y )

Comparando estas tres versiones de f(x, y, z), concluir que

G (y, z)= yz² + K, h(x, z) = K y k(x, y) = x²y + K.

Por tanto, f(x,y,z) resulta ser

F(x,y,z) = x²y + yz² + K