Parte I

EFECTO DEL RUIDO EN

SISTEMAS FM

Temario

Receptor FM

SNR a la entrada del Receptor

SNR a la salida del Receptor

Receptor FM

La seal modulada en FM es de tipo compleja, donde la informacin se encuentra en la fase o especficamente en la frecuencia instantnea de la seal FM.

El detector utilizado es aquel cuya salida sea proporcional a , para obtener esto se utiliza un discriminador (slope detector o diferenciador) para luego utilizar un detector de envolvente.

dt

d

Receptor FM

SNR a la entrada del detector

Recordando la seal modulada en FM:

(1.1)

:es la componente de fase donde se

encuentra la seal mensaje, para FM la

expresion es:

(1.2)

tjtj

ccc

ceeAttAts

Recos

t

t

fduumKt 2

El ruido n(t) AWGN con (PSD)

Este se suma a nuestra seal modulada en FM, luego pasa por un filtro pasobanda ideal. A la salida del filtro tenemos un proceso de ruido pasobanda descrito como: (1.3)

Entonces el proceso se puede representar por una envolvente compleja formada por dos subcomponentes: una real (o en

fase) y otra en cuadratura (imaginaria), que a su vez son

procesos Gaussianos independientes con media cero y

varianza N0.

HzWN

2

0

tjQIcQcIf

cejnnttnttntn

Resincos

tnf

Continuacin SNR a la entrada del detector

Continuacin

Tambin se puede representar la ecuacin anterior as:

(1.4).

:"envolvente" con distribucin Rayleigh.

:el cual es un proceso uniforme entre .

Se asume que el filtro pasobanda tiene un ancho de banda

equivalente al de modulacin . (Carson).

La seal filtrada resulta:

(1.5).

BBfT

12

tjtj

cf

ceetNtttNtn

Recos

22

QInntN

I

Q

n

n

t1

tan

2,0

Potencia De Ruido

Para obtener el SNR en la entrada primero hallamos

la potencia de la seal

(1.6)

La potencia del ruido se obtiene a partir de la grafica

de PSD de ruido pasobanda:

(1.7)

Por tanto la SNR en la entrada es:

(1.8)

2

2

0

2

2

T

c

T

c

Bf

Bf

n

NP

T

c

N

s

inBN

A

P

P

N

S

0

2

2

2

2

c

s

AP

SNR a La Salida Del Detector

La seal que ingresa al detector FM :

(2.1)

Podemos representar las componentes de seal y ruido

(envolventes complejas) como vectores as como lo

muestra la figura siguiente: Seal FM

ruido (dist. Rayleigh)

tjtjtjtj

cf

cceetNeeAtr

ReRe

Continuacin

ngulo en trminos de la seal FM y de ruido: (2.2)

Entonces el ngulo del vector resultante :

(2.3)

tttNA

tttN

c

cos

sintan

1

tttNA

tttNtt

c

T

cos

sintan

1

Nota

La envolvente de la seal resultante para

efectos de analisis NO ES IMPORTANTE

dedido a la influencia del limitador al inicio

del detector FM.

Lo importante aqui es conocer la

influencia del ruido en el angulo resultante,

o sea,

tT

Continuacin

Aproximando (2.3) ( es grande entonces )

(2.4)

Salida del detector AM :

(2.5)

: nivel DC que es eliminado en el receptor usando un

capacitor en serie.

Reemplazando la expresin (2.4) en (2.5):

(2.6)

DC

TLK

dt

tdVtr

20

DCK

inSNR tNA c

ttA

tNtt

c

T sin

tt

A

tN

dt

dV

dt

tdVtr

c

LL

sin

220

Asumimos SNR alto >>1

Continuacin

De la expresin tenemos:

(2.7)

nuestra seal mensaje m(t) escalada por algn valor

constante y se encuentra adems una seal adicional

que corresponde al ruido.

t

fduumKt 2

tntmKVtrdfL

0

tt

A

tN

dt

dVtn

c

L

d

sin

2

Donde:

PSD del proceso nd(t)

El ruido antes de ingresar al diferenciador tiene componentes de: amplitud (Rayleigh) y el ngulo (uniforme). Pero, desconocemos la distribucin del ngulo o fase , debemos notar adems que corresponde a m(t) y podemos suponer que dicha fase tiene un comportamiento determinstico (aunque no en el sentido estricto dado que el audio y voz tienen comportamientos aleatorios).

tN

Continuacin

Suponemos que el ruido a la salida del discriminador es independiente de m(t) y depende de las caracteristicas de la portadora y del ruido de banda angosta. (solo si el SNR de entrada es alto. )

Expresion simplificada de

:es la componente de ruido pasobanda en cuadratura

Q

n

dn

ttNdt

d

A

Vtn

c

L

d

sin

2

tndt

d

A

Vtn

Q

c

L

d

2

(2.8a)

(2.8b)

Continuacin

Debemos obtener la PSD de la derivada de la componente de ruido en cuadratura

( (Gaussiano) con media cero y varianza )

0N

Qn

PSD a la salida del diferenciador

Recuerden una propiedad importante de seales aleatorias procesadas por sistemas lineales:

)(2

fSfHfSnqnd

)( fS nq

fjjfH 2

Continuacin

Relacion PSD de salida con la PSD de entrada:

(2.9)

:respuesta de frecuencia del sistema lineal diferenciador, y sta por propiedades de Fourier resulta ser: (2.10)

La magnitud de H(f) es y por tanto la expresion (2.9) se convierte en:

(2.11)

f2 0NfS nQ

fSA

VfHfS

nQ

c

L

nf

2

2

2

fjfH 2

fH

2

;02

22

T

c

L

nd

BfN

A

fVfS

Grafica de la PSD resultante

:es el ancho de banda total en FM generalmente mayor que el ancho de banda de la seal m(t)

usando la Regla de Carson tenemos:

(2.12)

TB

BBfT

12

Continuacin

A la salida del discriminador del receptor viene un detector de envolvente, este tiene un dispositivo no lineal que captura la amplitud o envolvente de la seal y luego lo pasa a traves de un filtro paso bajo con ancho de banda igual al de la seal mensaje ( ).

Con esto debemos notar que el proceso de ruido descrito en la figura (2.5) atraviesa otro sistema lineal (en este caso es el filtro paso bajo), por lo que la PSD del ruido resulta ser:

B

PSD del ruido

Potencia del ruido (integrando la PSD del ruido):

(2.13) 302

2

2

02

2

3

2BN

A

VdffN

A

VdfSP

c

L

B

B c

L

ndnd

Continuacin

La potencia de la seal detectada se obtiene a

partir de la ecuacin (2.7):

(2.14)

Modificando la ecuacin 2.14 para que dependa

de el ndice de modulacin FM. ( )

: valor mximo pico de m(t)

seal mensaje normalizada:

(2.15)

f

pV

tmKVPfLs

22

P

n

V

tmtm

Continuacin

La desviacin mxima de frecuencia en FM :

(2.16)

El ndice de modulacin en FM:

(2.17)

Despejando : (2.18)

pfVKF

B

VK

B

F pff

fK

p

f

f

V

B

K

Continuacin

Reemplazando la expresin (2.18) y (2.15) en la ecuacin de potencia de seal recibida (2.14) tenemos:

(2.19)

Finalmente, el SNR de salida resulta al combinar las expresiones (2.13) y (2.19),

(2.20)

El SNR de la entrada segun la expresion (1.8) se puede expresar nuevamente como:

(2.21)

BN

tmA

P

P

N

S nfc

nd

s

out 0

222

2

3

BN

A

BN

A

N

S

f

c

T

c

in142

0

2

0

2

tmBVPnfLs

2222

Resumen

Receptor FM

SNR a la entrada del Receptor

SNR a la salida del Receptor

Problemas

6.9 (proakis)

7-42 (couch deber)