Aproximaciones socioculturales al aprendizaje matemático: el caso de

definir Victoria Sánchez y Mercedes García1

Departamento de Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla

Introducción

Pasado, presente y futuro son los tres ejes temporales en los que se sitúa el trabajo que

aquí vamos a presentar. Pasado, porque hay una trayectoria de investigación previa en la

que se han obtenido algunos resultados y en la que se han generado algunas preguntas.

Presente, porque esas preguntas han sido reformuladas como preguntas de investigación

y abordadas dentro de marcos teóricos que ofrecen nuevas posibilidades. Futuro, porque

nuevas resultados y nuevas preguntas reinician el proceso que forma parte de nuestro

desarrollo investigador.

La investigación inicial

Como hemos ido exponiendo en los diferentes Seminarios de Investigación

desarrollados, en nuestro proyecto previo pretendíamos, ente otros objetivos, identificar

conceptos y procedimientos básicos que articulan los contenidos de las Matemáticas de

Bachillerato en los Diseños Curriculares y textos escolares. La consideración de definir

probar y modelar como aspectos básicos en el aprendizaje matemático (que en nuestro

estudio consideramos como metaconceptos), el marco teórico desarrollado, la forma de

analizar los datos y los resultados correspondientes a este objetivo fueron debatidos en

los seminarios de Barcelona, Alicante y Sevilla celebrados en años anteriores (Sánchez

et al., 2006, 2007).

Fue precisamente el marco teórico elaborado, en el que se contemplaban como

variables el tipo y papel de los diferentes metaconceptos (ver Sánchez et al,.2008; en

1 Proyecto PSI2008-02289/PSIC

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prensa) el que nos permitió abordar otro de nuestros objetivos, en el que nos

planteábamos indagar sobre el aprendizaje de los alumnos respecto a ellos en cursos de

Bachillerato de distintos Institutos de Secundaria. Cuestionarios y entrevistas fueron en

este caso los instrumentos metodológicos que utilizamos para poder acceder a este

objetivo. A través del análisis realizado a las respuestas de los participantes obtuvimos

tres tipos de resultados, que describiremos brevemente a continuación.

- Los que provienen del análisis transversal, considerando conjuntamente definir,

probar y modelar

En primer lugar, la consideración de los metaconceptos nos ha permitido identificar

distintas ‘formas de ver el quehacer matemático’ (explicar, usar, describir) que afectan a

la consideración de los tres metaconceptos, algo que nos parece de gran interés para una

posterior profundización, es decir, ver si se reafirma esta tendencia o se diversifica con

otras alternativas (otros metaconceptos o conceptos específicos).

- Los que provienen de la identificación de las características propias de cada

metaconcepto

Con respecto a la identificación que los estudiantes realizaban de las características

propias de cada metaconcepto podemos decir que, en general, no se produce una

identificación de las características de los metaconceptos. Llama la atención que

algunos tipos de metaconconceptos y modos de representación, como puede ser una

prueba pragmática directa con un fuerte apoyo en el texto, hacen que los alumnos no

los consideren como válidos a pesar de serlo. En general, en todos los casos que dicen

que las formulaciones de los metaconceptos ‘no son correctas’ aunque efectivamente lo

sean, los argumentos utilizados no tienen nada que ver con las propias características

que identifican el metaconceptos. Creemos importante profundizar en este resultado

previo, ya que el que no se identifiquen claramente los metaconceptos matemáticos

puede indicar una falta de comprensión de su significado real.

- Los que provienen de la discriminación en función de las variables papel y tipo de

cada metaconcepto

En tercer lugar, respecto al acceso a la discriminación en función de las variables tipo

del metaconcepto y papel dentro de cada uno de ellos, la vinculación a distintos sujetos

(profesor o alumno), nos ha permitido en el caso del tipo y papel hacer inferencias sobre

si los alumnos los consideraban asociados al propio concepto (caso en que no había

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variaciones al asignarlo al profesor o al propio alumno), o lo que se consideraba

asociado al sujeto (caso en el que se consideraban distintas elecciones para profesor

/alumno). Queremos destacar que en este caso el modo de representación en los tres

metaconceptos ha jugado un papel muy diferente. Así en el caso de la definición,

asociaban mayoritariamente la gráfica a la definición que les gustaba frente al modo

algebraico que asociaban al profesor. Sin embargo, para la prueba, valoraban

negativamente el que no apareciesen símbolos algebraicos, y las diferencias entre

profesor y ellos mismos se establecían más en base a ‘su cercanía’ (en el sentido de

‘haberlo dado hace poco tiempo’) a los contenidos en los que se basa la prueba.

Aunque no incluimos aquí la parte del estudio correspondiente al análisis longitudinal,

la consideración de los metaconceptos, lo que se identifican como características de los

mismos y la discriminación que establecen dentro de ellos en función del tipo y papel

nos ha proporcionado un perfil individualizado de los estudiantes, permitiéndonos en

alguna medida acceder a la comprensión individual.

Las nuevas preguntas surgidas

Globalmente considerados, los resultados de este proyecto de investigación pusieron de

manifiesto unas particularidades y dificultades específicas en el caso de definir que nos

llevaron a profundizar en su problemática y que fueron transformadas en preguntas de

investigación. En particular, nos llevó a plantearnos qué han aprendido realmente los

alumnos de Bachillerato de lo que es definir y de las características que le son propias.

Por otro lado, hemos considerado necesario extender la investigación a alumnos

universitarios de Magisterio de la Facultad de Ciencias de la Educación, ya que la

persistencia (o no) de determinados rasgos puede afectar a su futura labor profesional.

La fuerte carga social que este metaconcepto presenta en cuanto al papel del lenguaje y

la generación de significados compartidos nos ha llevado a plantearnos en esta ocasión

abordar dichos estudios desde una perspectiva sociocultural, que proporciona una nueva

forma de aproximarse al pensamiento, entendido como una forma individualizada de

comunicación. En los apartados siguientes, nos centraremos en lo que esta perspectiva

supone a la hora de abordar nuestro estudio, tanto en los referentes que nos aporta como

en los intentos por operativizar los planteamientos teóricos en nuestra propuesta

concreta.

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Una nueva manera de abordarlas

Cuando un equipo se plantea en una investigación adoptar una determinada perspectiva

teórica surge el problema de cómo hacer operativas las ideas implícitas en dicha teoría

en el desarrollo de la misma. En particular, estamos preocupados por el aprendizaje

matemático de los alumnos de un determinado nivel centrado en un metaconcepto, y en

buscar formas teóricas que nos posibiliten como investigadores acceder a ese

aprendizaje de manera que nos proporcionen una visión lo mas ajustada posible. Dentro

de las aproximaciones socioculturales, y asumiendo su forma de considerar el

aprendizaje, nos hemos planteado acceder a él a través de algunas de las ideas de

autores como Holland (1998), Wenger (1998) o Sfard (2006; 2008), entre otros. En

concreto, en relación con el trabajo de esta última autora, hemos considerado ideas

como discurso, mediador visual, narrativas asociadas (‘endorsed narratives’) y rutinas

en un contexto de aprendizaje matemático en alumnos de nivel no obligatorio,

preocupándonos por cómo podían ser trasladadas dichas ideas a nuestra práctica

investigadora con un objetivo claro: cómo hacerlas operativas para acceder a dicho

aprendizaje.

Coincidimos plenamente con el comentario de Sfard (2006) en que el uso de términos

como social, sociocultural, etc. ha sido una constante en muchas investigaciones

desarrolladas en el campo de la Didáctica de las Matemáticas en los últimos años, un

vocabulario ‘moderno’ con el que muchos investigadores han tratado (hemos tratado) de

actualizar unas investigaciones que seguían basándose en planteamientos procedentes

de otras aproximaciones teóricas. Se puede decir que, en muchas ocasiones, estos

términos han sido utilizados sin asumir lo que significaban en cuanto a la propia forma

de entender el aprendizaje.

La propia diversidad de planteamientos teóricos dentro del campo ha podido favorecer

esa imprecisión, y ha llevado a Sfard (2006) a establecer una distinción entre los

discursos teóricos participacionistas (término bajo el que esta autora engloba a las

aproximaciones socioculturales) y acquisicionistas (que agrupa posiciones más

cognitivas). El ser conscientes de estas diferencias ha sido en nuestro caso:

- una llamada de atención sobre la falta de precisión con la que muchas veces

nosotros mismos habíamos utilizado los términos, y

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- una apuesta de futuro para asumirlos e incorporarlos en nuestra investigación de

forma que permita acceder a un nuevo conocimiento sobre el aprendizaje en

general y el matemático en particular.

En este contexto y teniendo presente nuestro objetivo específico: cómo hacer operativas

las ideas de discurso, mediador visual, narrativas asociadas (‘endorsed narratives’) y

rutinas para acceder al aprendizaje matemático en alumnos de nivel no obligatorio (16-

18 años y estudiantes de magisterio), tenemos que dar un paso previo a este objetivo, y

es tratar de formular algunas preguntas clave que nos permitan situarnos dentro de la

perspectiva sociocultural. En concreto, nos hemos planteado las siguientes preguntas y,

profundizando en el trabajo de la mencionada autora, hemos identificado las siguientes

respuestas:

¿Qué es aprender?: Aprender es cambiar

¿Qué cambia cuando una persona aprende?: Podemos decir que lo que cambia es

su forma de actividad

¿Qué clase de actividad cambia cuando se aprende Matemáticas?: Cuando una

persona aprende cambia su forma de pensamiento (que puede considerarse una

actividad)

¿Cuál es la actividad colectiva que mejor ‘muestra’ el pensamiento?: La

comunicación es una actividad del pensamiento, es una visión interpersonal del

pensamiento, por lo que el pensamiento se ve como una forma de comunicación,

que no tiene por que ser necesariamente escrita. El pensamiento puede

considerarse una versión privada de la comunicación. Por ello, el pensamiento y

la comunicación pueden reunificarse y tratarse como dos manifestaciones de un

único fenómeno.

¿Cómo podemos considerar las matemáticas?: Se puede decir que las

matemáticas es una forma de pensar, y la forma de pensar es una forma de

comunicar, y la forma de comunicar es un discurso, luego las matemáticas

pueden ser vistas como discurso, un tipo especial de discurso.

¿Qué significa aprender matemáticas?: Si las matemáticas es un discurso y

aprender es cambiar, aprender matemáticas es cambiar el discurso matemático

(aprendizaje como actividad discursiva)

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¿Por qué se distinguen los discursos? ¿cuáles son los elementos clave del

discurso?: Se pueden señalar como elementos relevantes las palabras clave y

como se usan, los mediadores visuales, las narrativas aceptadas y las rutinas.

De todo lo anterior, nos parece importante destacar que bajo esta perspectiva:

• las matemáticas son un tipo especial de discurso, aprender matemáticas es

cambiar el discurso matemático, y el aprendizaje matemático es el proceso de

llegar a tener comunicación matemática no solo con los otros sino también con

uno mismo (hacer propio el discurso matemático).

• los criterios de aprendizaje se formulan en términos de formas de acción, no en

términos de propiedades del aprendiz.

Asumidos estos planteamientos, ahora ya estamos en condiciones de tratar de

operativizar las ideas de discurso, mediador visual, narrativas asociadas (‘endorsed

narratives’) y rutinas, entendidas como referentes que de alguna manera pueden guiar el

análisis del aprendizaje matemático. Si, como ya hemos indicado, las matemáticas

pueden ser vistas como un tipo de discurso especial, hecho distinto entre otras cosas por

sus palabras clave (objetos), mediadores y reglas (rutinas), nos planteamos entonces:

En relación con las palabras clave (objetos) y su uso: ¿Qué palabras se usan?, ¿qué

uso se hace de ellas?…

En relación con los mediadores visuales, entendidos como artefactos simbólicos

específicos para este tipo de comunicación: ¿Qué mediadores se usan? ,¿se usan de la

misma manera?…

En relación con las narrativas asociadas (endorsed narratives), entendidas como el

conjunto de proposiciones aceptadas como verdaderas por la comunidad. ¿Qué conjunto

de proposiciones se manejan?, ¿por qué’

En relación con las rutinas, entendidas como secuencias repetitivas bien definidas:

¿Cómo son y cuando se usan?...

Concretando estas ideas en el caso de definir

El paso siguiente es tratar de concretar todos estos aspectos en un metaconcepto, definir,

cuyo aprendizaje, tal y como hemos indicado anteriormente, es ahora el objetivo de

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nuestro estudio. Una muestra del aprendizaje dentro de nuestro propio equipo fue el

proceso de razonamiento analógico que seguimos para tratar de identificar esos aspectos

diferenciadores del discurso en definir, en base a lo que identificábamos en otros

contenidos matemáticos como funciones, que a priori nos resultaban más familiares.

Los resultados de este proceso analógico quedan reflejados en el siguiente cuadro.

Si voy a hablar de

En “función” sería … En “definir” sería…

palabras clave

Variable, relación,gráfica, tabla,inyectiva, creciente…..

etiquetar, clasificar, categorizar,característica, identificar,discriminar, dar sentido, comprobar, verificar,lista de propiedades, único, no ambiguo…..

mediadores visuales

Gráfico, situación, f(x), tabla…..

texto, ejemplo, ecuación,expresión algebraica, dibujo,gráfico, tabla…..

narrativas Una función se usa para indicar la relación entre dos o más cantidades. Una función se usa para indicar la correspondencia entre dos o más variables.Una función representa la relación entre dos o más variables. …..

‘porque una definición es algo que tienes que recordar’‘lista numérica de propiedades’…..

rutinas identificar las variables,ver si son dependientes o independientes…..

eliminar lo superfluo/redundanteelegir la más sencilla…..

Identificados estos elementos clave, planteamos como discusión en este seminario:

- ¿Son los elementos explicitados en la tabla anterior aspectos diferenciadores del

discurso en definir?

- Si lo son, ¿como podemos usarlos para apreciar el aprendizaje?

-¿Cuales otros elementos nos ayudarían a diferenciar o caracterizar el discurso en

definir?

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Esperamos que tanto las reflexiones y comentarios iniciales como el posterior debate

conjunto nos ayuden en el desarrollo de nuestra investigación y contribuyan a crear

entre todos los que participamos en el seminario un vocabulario común y conocimiento

compartido.

Referencias

García, M., Sánchez, V., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,

G. (2006). Comentario a un estudio sobre el aprendizaje de contenidos

matemáticos en el Bachillerato dentro de una comunidad de indagación. En M.C.

Penalva y otros (Eds.) Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para

la formación del profesorado de Matemáticas. Proyecto Sur: Granada.

Holland, D., Lachiotte, W. Jr., Skinner, D., & Cain, C. (1998). Identity and agency in

cultural worlds. Cambridge: Harvard University Press.

Sánchez, V., García, M., (2006). Los contenidos matemáticos en el bachillerato. ¿qué se

pretende que aprendan los alumnos? Ponencia presentada al III Seminario sobre

entornos de aprendizaje y autorización, Sevilla, España, Noviembre 2006.

Sánchez, V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,

G. (2006). Un estudio sobre el aprendizaje de contenidos matemáticos en el

Bachillerato dentro de una comunidad de indagación. En M.C. Penalva y otros

(Eds.) Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para la formación del

profesorado de Matemáticas. Proyecto Sur: Granada.

Sánchez, V., García, M., & Sánchez-Matamoros, G. (2007). El acceso a la comprensión

matemática de los estudiantes de bachillerato como problema metodológico.

Ponencia presentada al IV Seminario sobre entornos de aprendizaje y

autorización, Alicante, España.

Sánchez, V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,

G. (2008). Una aproximación a las matemáticas en el bachillerato. ¿Qué se

pretende que aprendan los alumnos?. Enseñanza de las Ciencias, 26(2), 267-

276.

Sánchez, V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,

G. (2008). Didáctica de las matemáticas: de los proyectos de investigación como

futuro al futuro en los proyectos de investigación. Revista Publicaciones.

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Sfard, A. (2006). Participacionist discourse on mathematics learning. En J. Maasz &

W. Schlöglmann (Eds.), New Mathematics Education Research and Practice.

Rotterdam: Sense Publishers.

Wenger, E. (1998). Communities of practice. Learning, Meaning and Identity.

Cambridge University Press.

LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICA

LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICA

La sociedad del tercer milenio en la cual vivimos es de cambios acelerados en el campo de la ciencia y la tecnología: los conocimientos, las herramientas y las maneras de hacer y comunicar la matemática evolucionan constantemente. Por esta razón, tanto el aprendizaje como la enseñanza de la Matemática deben estar enfocados en el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño necesarias para que el estudiantado sea capaz de resolver problemas cotidianos, a la vez que se fortalece el pensamiento lógico y crítico.

El saber Matemática, además de ser satisfactorio, es extremadamente necesario para poder interactuar con fluidez y eficacia en un mundo “matematizado”. La mayoría de las actividades cotidianas requieren de decisiones basadas en esta ciencia, a través de establecer concatenaciones lógicas de razonamiento, como por ejemplo, escoger la mejor alternativa de compra de un producto, entender los gráficos estadísticos e informativos de los periódicos, decidir sobre las mejores opciones de inversión; asimismo, que interpretar el entorno, los objetos cotidianos, las obras de arte, entre otras.

La necesidad del conocimiento matemático crece día a día al igual que su aplicación en las más variadas profesiones. El tener afianzadas las destrezas con criterios de desempeño matemático, facilitan el acceso a una gran variedad de carreras profesionales y diferentes ocupaciones que pueden resultar especializadas.

El aprender cabalmente Matemática y el saber transferir estos conocimientos a los diferentes ámbitos de la vida del estudiantado, y más tarde al ámbito profesional, además de aportar resultados positivos en el plano personal, genera cambios importantes en la sociedad. Siendo la educación el motor del desarrollo de un país, dentro de ésta, el aprendizaje de la Matemática es uno de los pilares más importantes, ya que, además de enfocarse en lo cognitivo, desarrolla destrezas esenciales que se aplican día a día en todos los entornos, tales como: el razonamiento, el pensamiento lógico, el pensamiento crítico, la argumentación fundamentada y la resolución de problemas.

Nuestros estudiantes merecen y necesitan la mejor educación posible en Matemática, lo cual les permitirá cumplir sus ambiciones personales y sus objetivos profesionales en la actual sociedad del conocimiento; por con- siguiente, es necesario que todas las partes interesadas en la educación como autoridades, padres de familia, estudiantes y docentes trabajen conjuntamente creando los espacios apropiados para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. En estos espacios, todos los estudiantes con diferentes habilidades podrán trabajar con docentes calificados en la materia, comprender y aprender importantes conceptos matemáticos, siendo necesario que el par enseñanza y aprendizaje de Matemática represente un desafío, tanto para docentes como para estudiantes, basado en un principio de equidad. En este caso, equidad no significa que todos los estudiantes deben recibir la misma instrucción, sino que se requieren las mismas oportunidades y

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facilidades para aprender conceptos matemáticos significativos y lograr los objetivos propuestos en esta materia.

Se recomienda que nos ayudemos de la tecnología para la enseñanza de Matemática, ya que resulta una herramienta útil, tanto para el que enseña como para el que aprende. Esta herramienta posibilita mejorar los procesos de abstracción, transformación y demostración de algunos conceptos matemáticos.

La evaluación es otro de los factores que debemos tomar en consideración en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Ella debe centrarse en el estudiante, en lo que debe saber y en lo que debe ser capaz de hacer, respondiendo a un proceso coherente y sistemático, en el que sus resultados proporcionan una retroalimentación para el docente y el estudiante. Así, la evaluación se convierte en una herramienta remedial del proceso educativo.

Recordemos que un factor importante y necesario en el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática, es un currículo coherente, enfocado en los principios matemáticos más relevantes, consistente en cada año de Educación General Básica, bien alineado y concatenado.

Es por esto que el eje    curricular integrador del área es: “desarrollar el pensamiento lógico y crítico para interpretar y resolver problemas de la vida”, es decir, cada año de la Educación General Básica debe promover en los estudiantes la habilidad de plantear y resolver problemas con una variedad de estrategias, metodologías activas y recursos, no únicamente como una herramienta de aplicación, sino también como una base del enfoque general para el trabajo en todas las etapas del proceso de enseñanza-aprendizaje en esta área.

El eje curricular integrador del área de Matemática se apoya en los siguientes ejes   del   aprendizaje: El razonamiento, la demostración, la comunicación, las conexiones y/o la representación. Se puede usar uno de estos ejes o la combinación de varios de ellos en la resolución de problemas.

El razonamiento matemático es un hábito mental y como tal debe ser desarrollado mediante un uso coherente de la capacidad de razonar y pensar analíticamente, es decir, debe buscar conjeturas, patrones, regularidades, en diversos contextos ya sean reales o hipotéticos. Otra forma es la discusión, a medida que los estudiantes presentan diferentes tipos de argumentos van incrementando su razonamiento.

La demostración matemática es la manera “formal” de expresar tipos particulares de razonamiento, argumentos y justificaciones propios para cada año de Educación General Básica. El seleccionar el método adecuado de demostración de un argumento matemático ayuda a comprender de una mejor forma los hechos matemáticos. Este proceso debe ser empleado tanto por estudiantes como docentes.

La comunicación se debe trabajar en todos los años es la capacidad de realizar conjeturas, aplicar información, descubrir y comunicar ideas. Es esencial que los estudiantes desarrollen la capacidad de argumentar y explicar los procesos utilizados en la resolución de un problema, de demostrar su pensamiento lógico matemático, y de interpretar fenómenos y situaciones cotidianas, es decir, un verdadero aprender a aprender. El eje de comunicación no solo se centra en los estudiantes sino también en los docentes.

La actualización y fortalecimiento curricular propone que en las clases de Matemática se enfaticen las conexiones que existen entre las diferentes ideas y conceptos matemáticos en un mismo bloque curricular, entre bloques, con las demás áreas del currículo, y con la vida cotidiana. Lo que permite que los estudiantes integren sus conocimientos, y así estos conceptos adquieran significado para alcanzar una mejor comprensión de la Matemática, de las otras asignaturas y del mundo que les rodea.

En Matemática al igual que en otras áreas, la construcción de muchos conceptos importantes se da a través del trabajo realizado en diferentes años; por lo cual es necesario que exista una estrecha relación y concatenación entre los conocimientos de año a año respetando la secuencia. Dentro de este ámbito, los profesores de Matemática de los diferentes años contiguos determinarán dentro

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de su planificación los temas más significativos y las destrezas con criterios de desempeño relevantes en las cuales deberán trabajar, para que los estudiantes al ser promovidos de un año al siguiente puedan aplicar sus saberes previos en la construcción de nuevos conocimientos.

La representación consiste en la forma en que el estudiante selecciona, organiza, registra, o comunica situaciones o ideas matemáticas, a través de material concreto, semiconcreto, virtual o de modelos matemáticos.

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