SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA UNIVERSIDAD …200.23.113.51/pdf/23634.pdf · TESINA, OPCIÓN...
91
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL UNIDAD UPN, 099 D. F. PONIENTE ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA FACILITAR LA COSTRUCCIÓN DE LOS PRODUCTOS NOTABLES ALGEBRAICOS EN EL TERCER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA TESINA, OPCIÓN ENSAYO QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN PRESENTA: LUCILA ARÉSTEGUI RUIZ MÉXICO D. F. NOVIEMBRE DE 2006.
Transcript of SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA UNIVERSIDAD …200.23.113.51/pdf/23634.pdf · TESINA, OPCIÓN...
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD UPN, 099 D. F. PONIENTE
ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA FACILITAR LA COSTRUCCIÓN
DE LOS PRODUCTOS NOTABLES ALGEBRAICOS EN EL TERCER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
TESINA, OPCIÓN ENSAYO QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
LICENCIADO EN EDUCACIÓN
PRESENTA:
LUCILA ARÉSTEGUI RUIZ
MÉXICO D. F. NOVIEMBRE DE 2006.
DEDICATORIAS
Con agradecimiento por la motivación, el apoyo y el respaldo a:
Nieves Amilcar Velasco Vaca, esposo.
Lucila, Eduardo, Rubén y Gabriela, hijos.
Sabina y Diego, nietos.
Alicia Ruiz Loza, madre, por la gran
fuerza que mostró para sacarnos adelante.
Rubén Aréstegui Hernández, padre, por
mostrarme el camino de la docencia.
Eva, Alicia, Rafael y Patricia, hermanos,
por su cariño y solidaridad;
Mayra, Carlos, Claudia, Daniela, Mauricio, Joel, Valentín Eva y Arturo, sobrinos.
Octavio García Castañeda, Valentín Gómez Sardina
y Diana Gómez Gómez, cuñados.
María Eugenia López Escamilla y
Baudelio Mancillas Leal, compadres, por su confianza y gran apoyo.
Mtra. Guadalupe G. Quintanilla Calderón.
Directora de la Unidad UPN 099 D. F. Poniente.
Por su profesionalismo y calidad humana;
Profra. Guadalupe Aguilar Ibarra, asesoras de mi tesina;
Profr. Ramiro Garza De La Torre; a todos mis profesores que me
acompañaron a través de mis estudios.
Imelda Sandoval Licea,
Guadalupe Peña, Pilar Ovalle,
Idalia Aldape, Guadalupe Tornero; amigas.
ÍNDICE
Pág.
INTRODUCCIÓN. ……………………………………………………………………. 1
CAPÍTULO 1. EL MARCO SOCIAL, ECONÓMICO Y ESCOLAR
DE LA TEMÁTICA Y EL PROCESO METODOLÓGICO PARA LA
ELABORACIÓN DEL ENSAYO. …………………………………………… 3
1.1 EL AMBIENTE GEOGRÁFICO DEL TEMA. ……………………………... 5
1.2 JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA. ………………………. 8
1.3 ELEMENTOS DE DELIMITACIÓN DEL TEMA ELEGIDO PARA SU
ANÁLISIS. …………………………………………………………………….. 9
1.3.1 EL SUJETO U OBJETO DE LA INVESTIGACIÓN. ……………………... 9
1.3.2 EL ENFOQUE QUE SE SUSTENTA A LA INVESTIGACIÓN. …………. 10
1.3.3 LA UBICACIÓN GEOGRÁFICA ESPECÍFICA DEL PROBLEMA. ……. 10
1.3.4 UBICACIÓN TEMPORAL DE LA PROBLEMÁTICA. …………………… 10
1.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. ……………………………………. 10
1.5 LA HIPÓTESIS GUÍA, QUE COMO HILO CONDUCTOR SE
ESTABLECE PARA SU SEGUIMIENTO. ………………………………… 11
1.6 LOS OBJETIVOS DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN. ……………….. 12
1.6.1 OBJETIVO GENERAL. ……………………………………………………… 12
1.6.2 OBJETIVOS PARTICULARES. ……………………………………………. 12
1.7 PROCESO METODOLÓGICO LLEVADO A CABO
EN LA INDAGACIÓN. ……………………………………………………….. 13
CAPÍTULO 2. LOS ELEMENTOS TEÓRICOS DE LA INVESTIGACIÓN
DOCUMENTAL. ELEMENTOS TEÓRICOS BÁSICOS PARA LA
ESTRUCTURACIÓN DEL MARCO TEÓRICO. …………………….……. 15
2.1 POSICIÓN PEDAGÓGICA CONSTRUCTIVISTA: PRINCIPIOS
Y AUTORES. ………………………………………….……………………… 15
2.1.1 EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE DAVID P. AUSUBEL. ………… 16
2.1.2 ÁREA DE DESARROLLO POTENCIAL DE
LEV SEMENOVICH VIGOTSKY. ………………………………….……….. 20
2.1.3 LA PSICOLOGÍA GENÉTICA DE JEAN PIAGET. ………………………… 22
2.1.4 EL JUEGO EN LA DIDÁCTICA DE JEROME BRUNER. ………………… 23
2.1.5 ESQUEMATIZACIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. ………………… 24
2.2 CONTRASTACIÓN TEÓRICO PRÁCTICA SOBRE LA REALIDAD DE LA
PRÁCTICA DOCENTE. ……………………………………………………… 25
2.3. IMPORTANCIA DE ESTABLECER EN LAS ESCUELAS,
UNA PRÁCTICA EDUCATIVA DE CALIDAD
POR PARTE DE LOS DOCENTES. ………………………...……………... 30
CAPÍTULO 3. UNA PROPUESTA PARA LA SOLUCIÓN
DE LA PROBLEMÁTICA. ……………………………..…………………….. 32
3.1 TÍTULO Y JUSTIFICACIÓN DE LA PROPUESTA. ………………………… 35
3.2 MARCO JURÍDICO-LEGAL PARA LA VIABILIDAD DEL DISEÑO E
IMPLANTACIÓN DE LA PROPUESTA. ……………………………..….… 36
3.3 BENEFICIARIOS DE LA PROPUESTA. ……………………………………... 38
3.4 CRITERIOS GENERALES DE APLICACIÓN DE LA PROPUESTA. …….. 39
3.5 DISEÑO DE LA PROPUESTA. ……………………………………………….. 42
3.5.1. CARACTERÍSTICAS TEÓRICO-CURRICULARES
DE LA PROPUESTA. ………………………………………………………… 49
3.5.2. EL MAPA DE ACTIVIDADES PARA SALÓN DE CLASES. ……………. 57
3.5.3. LA EVALUACIÓN Y EL SEGUIMIENTO EN EL DESARROLLO
DE LA PROPUESTA. ………………………………………………………… 79
3.6 RESULTADOS ESPERADOS CON LA IMPLEMENTACIÓN
DE LA PROPUESTA. ………………………………………………………… 80
CONCLUSIONES. ……………………………………………………………………. 82
BIBLIOGRAFÍA. ……………………………………………………………………… 84
INTRODUCCIÓN
Existe un consenso en la sociedad y en particular en el ambiente académico de la
grave deficiencia terminal en el aprovechamiento de las matemáticas en los niveles
de la enseñanza media oficial, ahora que se ha podido medir con parámetros
internacionales se ha constatado que nuestro país se encuentra entre las últimas
naciones que forman la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico
(OCDE).
El presente trabajo de investigación documental pretende mostrar una estrategia
didáctica que facilite a los jóvenes del Tercer curso de Educación Secundaria la
comprensión de los productos notables algebraicos, por medio de la construcción de
planos y sólidos.
La práctica y experiencia de un método de enseñanza en la esfera de las clases
particulares a alumnos que requieren de una regularización en matemáticas, ha
permitido identificar a los productos notables algebraicos como un obstáculo que
frena su aprovechamiento; la propia experiencia ha indicado también identificar otras
consecuencias concomitantes cuando no se asimilan correctamente estos conceptos
matemáticos: frustración de los alumnos, abandono escolar, animadversión a las
matemáticas, entre otras, problemática que gira alrededor de una práctica didáctica
insuficiente.
El contenido de esta Investigación Documental está dividido en tres capítulos, el
primero comprende la identificación del sujeto de estudio, el marco social económico
y escolar del mismo; la justificación y delimitación del tema en función del
planteamiento del problema enunciado como: ¿Cuál es la estrategia didáctica que
facilite la construcción de los productos notables algebraicos entre los alumnos del
Tercer Grado de Educación Secundaria?; el establecimiento de la hipótesis guía para
marcar el objetivo general y los particulares así como la metodología a seguir.
El segundo capítulo contiene los elementos teóricos de la investigación,
fundamentado en las aportaciones y concepciones de autores constructivistas como
son las de Ausubel con el Aprendizaje Significativo, de Vigotsky en el Área de
Desarrollo Potencial, la Psicología Genética de Piaget, el Juego en la Didáctica de
Bruner y, la contrastación teórico práctica sobre la realidad docente con la
identificación de los productos notables algebraicos y por consiguiente, la
importancia del establecimiento en las escuelas de una práctica educativa como la
propuesta.
En el tercer capítulo se marca la propuesta para la solución de la problemática, la
argumentación que le da sustento en el marco jurídico-legal vigente para su
viabilidad, así como los criterios generales, el diseño, el mapa de actividades para el
salón de clases, la evaluación y el seguimiento en el desarrollo de la propuesta; por
último, los resultados esperados con su implantación.
Por último, se incluyen las conclusiones y la bibliografía.
2
CAPÍTULO 1. EL MARCO SOCIAL, ECONÓMICO
Y ESCOLAR DE LA TEMÁTICA Y EL PROCESO
METODOLÓGICO PARA LA ELABORACIÓN DEL ENSAYO.
La educación demanda en la actualidad, analizar Planes, Programas y metodologías,
para transformar profundamente los procesos que eleven el nivel académico con
calidad y fundamentos sólidos. Si bien no está en nuestras manos seleccionar los
contenidos de los Planes y Programas de Estudios si podemos aportar, dentro de los
instrumentos y actividades didácticas, los elementos que ayuden a mejorar la calidad
educativa. Con este trabajo académico se pretenden hacer tangibles los conceptos
matemáticos que se perciben en forma abstracta; para poder lograr esto, se recurre a
la didáctica educativa, como es el juego y animaciones de figuras, cuerpos
geométricos, gráficas, etc.
En las Escuelas Secundarias se inicia la enseñanza de los conceptos algebraicos en
la materia de matemáticas, existe el problema de que no se ejemplifican
correctamente, es decir, en la explicación matemática no se plantean de una forma
secuencial, cada concepto no está articulado con un todo, relacionado con otro de
mayor dificultad, cada concepto se explica lisa y llanamente por lo expuesto en el
3
pizarrón; no existen otros elementos en la explicación que permitan al alumno
interesarse y comprender determinado concepto de manera clara y precisa.
Los productos notables algebraicos se utilizan también en los cursos superiores, la
debilidad en su comprensión o ambigüedad en sus rasgos particulares forman lastres
que dificultan el desarrollo y aprovechamiento posterior. Se llaman productos
notables a ciertos productos algebraicos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación, esto
último es una ventaja en la simplificación del resultado final. Al inducir a los alumnos,
en primer lugar a relacionar este concepto con segmentos lineales, áreas, volúmenes
para que muevan, trasladen, roten, superpongan figuras geométricas, hará que
descubran proporciones y deduzcan relaciones matemáticas que les lleven a nuevas
construcciones mentales superiores.
La estructura básica que sostiene el andamiaje del presente ensayo es la realidad
imperante en que se ejecuta en la práctica educativa. Esto, como es bien sabido
genera enfoques múltiples de problemáticas que requieren su inmediata atención por
parte de todos los actores involucrados en los procesos educativos sobre todo,
aquellos íntimamente relacionados con la cotidianeidad de implantar los procesos
enseñanza-aprendizaje entre el alumnado. Éste es, el máximo interés que guía la
presente Investigación Documental que a la vez, fue realizada conforme a los
cánones establecidos para esta opción de trabajo académico, por la Universidad
Pedagógica Nacional.
4
El marco contextual social, económico y escolar de la temática, se describen a
continuación:
1.1 EL AMBIENTE GEOGRÁFICO DEL TEMA.
La Escuela donde se observó la situación que motivó la realización de este trabajo
“Instituto Pedagógico Abraham Lincoln, S. C. está ubicado en una zona típica de una
colonia habitacional, de casas de dos plantas como máximo, que a diferencia de
otras zonas habitacionales en condominio o Unidades Habitacionales del Infonavit,
contrastan con una vida tranquila y poco bulliciosa o popular. En ésta, se desarrolla
el servicio escolar como en muchas de las escuelas urbanas del país. Los datos
generales son: se ubica en la Avenida Islas no. 34, colonia Atlanta, Cuautitlán Izcalli,
Estado de México. Supervisión Escolar de Secundaria General Zona no. 6 Esc. Part.
No. 0157 CCT15PES0637E, S. C.
La escuela cubre los niveles educativos de Primaria y Secundaria. Los grupos de
este último, son reducidos, aproximadamente entre 20-25 alumnos, Existe un grupo
por cada grado escolar, esto significa que cada grupo conserva tanto a los propios
alumnos como al profesor de cada materia, al pasar de un grado a otro, permitiendo
–posiblemente- una mejor atención a los alumnos y un mejor aprovechamiento
escolar.
5
CONTEXTO SOCIAL.
Como casi toda zona urbana, el Municipio mexiquense de Cuautitlán Izcalli, comparte
la problemática social común a toda ciudad: Riesgo creciente de consumo de drogas;
un vandalismo incipiente, no tan marcado como en algunas partes de la Ciudad de
México, distracción de los medios televisivos, videojuegos, los centros de diversión
llamados “discos”, entre otros; poca ayuda de los padres de familia en la atención
personal a sus hijos (tareas, comunicación, calificaciones) producto de las
ocupaciones laborales de los padres, que emplean mucho tiempo en los traslados a
la Ciudad de México, en donde se encuentran sus principales fuentes de empleo,
puesto que Cuautitlán Izcalli, es considerado un Municipio “dormitorio” en donde
todavía no se generan fuentes de empleo para retener su población de cerca de un
millón de habitantes; sin embargo, en esta problemática social se da un hecho
paradójico, el Municipio da cobertura educativa en todos los niveles, se ubican en él,
cuatro campus universitarios de la Universidad Nacional Autónoma de México,
Conaleps, Normales de Maestros e instalaciones de universidades privadas, que
cuentan cada una de ellas con bibliotecas y servicios escolares como: centros de
idiomas, culturales abiertos a la comunidad, es decir, la población tiene cubierto su
nivel educativo, pero el Municipio, no tiene todavía la capacidad de retener con
empleos a una gran cantidad de profesionistas que salen de sus planteles.
CONTEXTO ECONÓMICO
En las escuelas privadas como en algunas oficiales el contexto económico,
determina ciertas prácticas que redundan en detrimento de el aprovechamiento de
6
las actividades del alumnado: partiendo de la escasez de recursos económicos a
nivel general, se desprende a nivel particular, ciertas evidencias que operan para
propiciar un deterioro en la educación, por ejemplo: Existe una resistencia de los
padres de familia para cooperar económicamente en ciertas actividades didácticas,
como son principalmente los apoyos de materiales, pues al faltar éstos, las sesiones
escolares pierden apoyo didáctico. Este problema, está detectado, como obstáculo,
por lo tanto, la intención de la estrategia didáctica de esta investigación, contempla la
puesta en práctica de un método didáctico de uso mínimo de material económico que
se puede aprovechar en otras ocasiones. Naturalmente en el contexto económico se
contempla, como ya se mencionó, todo el entorno social que el deterioro económico
produce en la atención que los padres de familia le prestan a sus hijos, cuando no
tienen trabajo o tienen la necesidad de trasladarse a lugares lejanos a sus fuentes de
empleo, como es el caso que se está tratando, y que podemos extender la
problemática económica a la pérdida de la conciencia de la importancia de la
educación, en cuanto a ser una vía de ascenso económico y social, es decir, los
padres obligan a los hijos a sumarse a la fuerza de trabajo cuando no perciben una
mejoría económica o aprovechamiento escolar de sus hijos.
CONTEXTO ESCOLAR
En contexto social y económico de la problemática de este trabajo, se aprecia en sus
diferentes manifestaciones el deterioro en los aprendizajes dentro de los diversos
grados del nivel escolar de Secundaria, éstos, se han hecho evidentes en el bajo
aprovechamiento de las Matemáticas –como demostraremos más adelante- y en el
7
aumento de los padres de familia de contratar servicios de ayuda extraescolar para
sus hijos y que logren nivelarse, aprobar el ciclo o pasar de un nivel a otro superior.
Sin embargo, estos contextos –social y económico-, no explican la totalidad de la
problemática, ya que cubre también, aspectos relacionados con la preparación de los
docentes, como el que cuenten con el material didáctico apropiado, entre otros.
Baste unas evidencias para constatarlo: Los libros de la Secretaría de Educación
Pública, al final del curso escolar, se muestran a medio contestar por los alumnos, o
lo que es más grave, sin contestar, los chicos exteriorizan que nunca los ocuparon.
1.2 JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA
Las razones para justificar este trabajo de investigación, parten de la misma
problemática del ejercicio docente: la dificultad por parte de los alumnos de
comprender la construcción de los productos notables algebraicos en el Tercer
Grado de Educación Secundaria en el área de matemáticas, esta práctica enfrenta
múltiples facetas, que se enumeran en las dimensiones del problema más adelante.
Es tradicional que los alumnos, al recibir su aprendizaje relacionado con las
matemáticas, vivifiquen las primeras dificultades obstaculizadoras que se les
presentan para resolver determinados problemas, se autoconstruyen una imagen de
impotencia y frustración que llega hasta el temor ante los exámenes, que los
empujan a un rechazo a todo lo que signifique matemáticas; orillándolos a frenar su
desarrollo escolar. Por lo que, es posible mediante un adecuado método de
enseñanza, revertir esta situación ante el reto de aprender matemáticas en general, y
8
en particular, con el método que se propone en este trabajo para lograr aprendizajes
significativos en los productos notables algebraicos y en otras ramas de las
matemáticas que en su conjunto, se puede afirmar, en función de la experiencia
docente, que se ha transformado en sentido positivo la apreciación que tenían
algunos exalumnos, con la creencia firme de la dificultad de esta materia.
Otra razón de justificación, implica la posibilidad de socializar esta experiencia como
docente en esta área específica de la enseñanza de las matemáticas.
1.3 ELEMENTOS DE DELIMITACIÓN DEL TEMA ELEGIDO
PARA SU ANÁLISIS
Los elementos de delimitación del tema respecto a la contextualización del mismo, es
decir, el ambiente social, económico y escolar del área geográfica en la cual se
presenta y se observa el fenómeno educativo que afecta y ha sido detectado por la
sustentante, para efectos metodológicos de un correcto planteamiento del problema
sustantivo de la Investigación, se consideraron cuatro aspectos fundamentales en
esta acción, estos son:
1.3.1 EL SUJETO DE LA INVESTIGACIÓN
Los jóvenes de 14 a 15 años de edad, de educación media.
9
1.3.2 EL ENFOQUE QUE SUSTENTA A LA INVESTIGACIÓN
Estrategia didáctica para facilitar la construcción de los productos notables
algebraicos, en el Tercer Grado de Educación Secundaria.
1.3.3 LA UBICACIÓN GEOGRÁFICA ESPECÍFICA DEL PROBLEMA
”Instituto Pedagógico Abraham Lincoln, S. C.” CCT, 15PES0637E ubicado en
Avenida Islas No. 34, Col. Atlanta, Cuautitlán, Izcalli, Estado de México.
1.3.4 UBICACIÓN TEMPORAL DE LA PROBLEMÁTICA
Ciclo Escolar 2006-2007
1.4 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Las bases metodológicas de construcción de un paradigma de trabajo investigativo,
se originan en una correcta selección de herramientas enunciativas que orienten
permanentemente las líneas de indagación que requiere el tema y problema
seleccionado, bajo los criterios de delimitación ya establecidos en el punto anterior,
se concluyó en la pregunta eje que a continuación se expresa:
¿Cuál es la estrategia didáctica que facilite la construcción de los productos notables
algebraicos entre los alumnos del Tercer Grado de Educación Secundaria del
10
“Instituto Pedagógico Abraham Lincoln” ubicado en Avenida Islas No. 34, Col.
Atlanta, Cuautitlán, Izcalli, Estado de México, durante el periodo escolar 2006-2007?
1.5 LA HIPÓTESIS GUÍA
Con la intención única y específica, de orientar la constante búsqueda de la o las
respuestas pertinentes a la problemática identificada en el presente trabajo
académico investigativo, se pensó en construir un enunciado que permitiera, el no
dispersarse durante las acciones de búsqueda de datos y bajo el criterio
metodológico validado por autores de amplio reconocimiento internacional y nacional
se constituyó el enunciado que en el siguiente párrafo se ubica sin la tendencia o
aspiración de contrastación estadística puesto que no es una hipótesis de trabajo con
esa perspectiva puesto que únicamente se considera la posibilidad de no perder de
vista el enfoque de análisis previo para la investigación documental.
La hipótesis guía sería:
La realización de esquemas y construcciones geométricas de figuras planas y
cuerpos sólidos con el apoyo del juego, resultan una alternativa para lograr
aprendizajes significativos acerca de los productos notables algebraicos en los
alumnos del tercer grado de Educación Secundaria, del “Instituto Pedagógico
Abraham Lincoln” ubicado en Avenida Islas No. 34, Col. Atlanta, Cuautitlán,
Izcalli, Estado de México, durante el periodo escolar 2006-2007.
11
1.6 LOS OBJETIVOS DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Toda investigación de corte positivista, reúne el requisito de plantear objetivos de
carácter general y carácter específico. Ello, tiene la intención de visualizar
previamente qué se va a hacer, cómo se consideran algunos aspectos a tratar, pero
fundamentalmente los horizontes a alcanzar con el trabajo de investigación que se
realiza.
Los objetivos que se incluyen en este documento son los siguientes:
1.6.1 OBJETIVO GENERAL
Revisar y analizar detenidamente mediante una Investigación Documental todos los
documentos que permitan apreciar y conocer los variados elementos que darán
pauta a la elaboración de diferentes estrategias y actividades que conduzcan al logro
de aprendizajes significativos acerca de los productos notables algebraicos entre los
alumnos del tercer grado de Educación Secundaria.
1.6.2 Objetivos particulares
• Diseñar y llevar a cabo la Investigación Documental
• Cambiar la apreciación que los alumnos tienen de las matemáticas como
materia difícil
• Elevar los índices de aprovechamiento en el área de matemáticas
• Mejorar la comprensión de los productos notables algebraicos
12
• Ayudar a asimilar los conceptos matemáticos con el juego y la participación de
grupos
• Socializar la experiencia docente
1.7 PROCESO METODOLÓGICO LLEVADO A CABO EN LA
INDAGACIÓN BIBLIOGRÁFICA, BASE DEL PRESENTE ENSAYO
El ensayo que se presenta, fue elaborado bajo los criterios formales y de
estructuración de contenido que establece el Manual de técnicas de Investigación
Documental de la Universidad Pedagógica Nacional. Este representa la guía para la
presentación de documentos recepcionales y también productos de clase a lo largo
de los estudios de los alumnos de las diferentes licenciaturas que se imparten en la
institución.
Representa una excelente orientación para la búsqueda bibliográfica en las variadas
fuentes y sistemas de información documental, ya que presenta desde la consulta,
elaboración y análisis de los materiales que necesita el (la) sustentante para la
construcción de su informe para efectos de titulación. En el presente ensayo, se
construyeron con base en dicho texto, tras la consulta de fuentes bibliográficas,
primarias y secundarias, fichas bibliográficas y fichas de trabajo que generaron la
base de los análisis y conclusiones hechas en el documento.
La sistematización de la búsqueda y elaboración de las fichas de trabajo fue
realizada conforme a las modalidades que presenta el manual citado, principalmente:
13
Fichas textuales, de resumen, de comentario y de síntesis, lo favoreció la
interpretación de diferentes autores tomados en cuenta para el trabajo de
investigación.
La metodología general seguida fue la siguiente:
a) Discriminación de la temática.
b) Revisión y análisis de las diferentes fuentes de información (primarias y
secundarias)
c) Redacción de las fichas bibliográficas
d) Planteamiento de argumentaciones relevantes respecto a los textos y
elaboración de fichas de trabajo.
e) Construcción de un fichero.
f) Análisis y síntesis de los documentos reunidos en el fichero.
g) Interpretación de los datos reunidos.
h) Redacción del borrador.
i) Presentación.
Finalizadas las acciones citadas, se procedió a la redacción del primer borrador
el cual se sometió a revisión, se atendió a las sugerencias de corrección y se
presentó el documento final para su dictaminación ante las autoridades
correspondientes.
14
CAPÍTULO 2. LOS ELEMENTOS TEÓRICOS DE LA
INVESTIGACIÓN. ELEMENTOS TEÓRICOS BÁSICOS PARA
LA ESTRUCTURACIÓN DEL MARCO TEÓRICO.
El marco teórico de este trabajo de investigación se sustentará en lo general en
consideraciones de la concepción constructivista de la enseñanza; en lo particular, es
decir, en la articulación con el propio trabajo en cuanto al método de enseñanza de
los productos notables algebraicos en matemáticas se recurrirá a las aportaciones
teóricas de Ausubel, Bruner, Piaget y Vigotsky.
2.1. POSICIÓN PEDAGÓGICA CONSTRUCTIVISTA: PRINCIPIOS Y
AUTORES
A grandes rasgos, las premisas del constructivismo son: La educación escolar es una
práctica social y socializadora; La educación escolar es también fuente de
“socialización e individualización” y, por último, la educación escolar es una actividad
constructiva, en cuanto que reúne en un todo la socialización e individualización de
los sujetos. Ahora, la construcción del conocimiento en la escuela forma un “triángulo
interactivo” entre: “el papel mediador de la actividad mental constructiva del alumno”
por un lado, “los contenidos escolares: saberes preexistentes socialmente
construidos” por el otro lado; y “el papel del profesor en la guía y orientación de la
15
actividad mental constructiva de los alumnos hacia la adquisición de saberes ya
construidos”37.
La posición constructivista nos ofrece algunos elementos teóricos que facilitan una
práctica educativa eficaz, autocrítica y humana. A continuación se hacen dos
consideraciones pedagógicas derivadas de tal posición:
PRIMER PRINCIPIO DEL CONSTRUCTIVISMO.
El conocimiento no se recibe de una fuente externa fijándose en la mente sino
que la construye el propio sujeto mediante su actividad mental.38
2.1.1. EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE DAVID P. AUSUBEL39
En la actualidad se siguen presentando los problemas matemáticos en el aula, como
conjuntos de conocimientos elaborados y acabados, con los conceptos explicados,
ejercicios y problemas de éstos ya solucionados, por lo que los alumnos tienden a
ser receptores pasivos de estas explicaciones verbales y escritas, en consecuencia,
resuelven mecánica y de memoria el aprendizaje matemático, limitando el desarrollo
37 César Coll. Constructivismo e intervención educativa, ¿Cómo enseñar lo que se ha de construir?. Ponencia presentada en el Congreso Internacional de Psicología y Educación. “Intervención Educativa”. Madrid, Noviembre de 1991. Antología Básica Corrientes Pedagógicas contemporáneas. Págs. 9-27 38 SEP. Sugerencias para la práctica docente sobre la base del constructivismo, matemáticas. Coordinación sectorial de Educación Secundaria. Subdirección de apoyo técnico complementario. Departamento de proyectos académicos. México, 2001. Pág. 5 39 Joao B. Araújo y Clifton B. Chadwick. “La teoría de Ausubel”, en: Tecnología Educacional. Teorías de Instrucción. España, Paidós Educador, 1988. En la Antología Básica, El niño: desarrollo y proceso de construcción del conocimiento. Págs. 133-138
16
cognitivo y cognoscitivo de los niños, impidiéndoles hacer construcciones mentales
apropiadas, como lo menciona David P. Ausubel en la problemática de sus
investigaciones.
La aprehensión del conocimiento,- hacerlo propio-, significa que ha sido introducido
en su mente por otro camino distinto a la memorización. En este trabajo se intenta
seguir el camino de la asimilación por un medio comprensivo, en el que actuarán
varios elementos estimulativos como son: la técnica grupal entre los propios
compañeros, que aportarán opiniones, críticas reflexivas con la retroalimentación
participativa de cada uno de ellos, su creatividad individual y grupal; el juego en la
participación colectiva; y el manejo lúdico de los instrumentos de trabajo, en la
medida que la manipulación exploratoria de formas y colores de los materiales
didácticos, como papeles y plastilinas; presentarán un ambiente propicio para la
asimilación; en el entendido de que la apropiación del conocimiento, sólo es posible –
o se facilita-, cuando el maestro tiene la habilidad o los instrumentos pedagógicos y
estratégicos apropiados, que permitan disponer una amplia gama de recursos para
que por diversos caminos se llegue a la mente del alumno.
El conocimiento de la etapa de desarrollo del adolescente (que desarrollaremos más
adelante con Piaget) nos muestra características especiales, ya que muchas veces el
maestro piensa que los alumnos son “flojos e irresponsables”, “que no se han fijado
metas en la vida”, o que tienen “problemas familiares” y no nos percatamos que es
nuestra responsabilidad investigar las situaciones por las que están pasando, el
17
hecho real es que cualquier persona que se encuentre en un ambiente cercano a la
inactividad, por lo mismo, no puede ser productivo, y sí en cambio mostrar signos en
su comportamiento indisciplinado; debemos de pensar que son seres humanos que
pueden construir y reconstruir el mundo conforme se vayan ubicando en su realidad
social.
La construcción mental del alumno va unida a la motivación, al interés, a “lo
llamativo”, al involucramiento de las actividades para adquirir un conocimiento; estos
requisitos del papel que juega el docente innovador en los alumnos permite o ayuda
a la construcción mental en el propio sujeto, es decir, el conocimiento relevante es
apropiado, es retenido en forma significativa por la mente del alumno.
SEGUNDO PRINCIPIO DEL CONSTRUCTIVISMO.
El alumno aprende sólo lo que le es significativo
La verdadera labor del maestro es proponer a los alumnos –o aceptar que ellos
propongan- las actividades del objeto de estudio, de tal modo que sean interesantes,
para que queden atraídos, se vean inevitablemente magnetizados a realizar las
distintas operaciones a través de las cuales construyan su conocimiento.
Para un alumno, el conocimiento le es significativo cuando reconoce elementos en
ese objeto de estudio, inmersos en su experiencia cotidiana.
18
En la estrategia didáctica de este trabajo de investigación se pretende motivar a los
alumnos recurriendo a una dinámica, consistente en el uso de la imaginación
interpretativa de algo que los conecte con sus intereses personales, visualizando
áreas y volúmenes de su entorno inmediato.
Ahora bien, la adquisición y retención de conocimientos de manera “significativa” –en
oposición a las asignaturas sin sentido, aprendidas de memoria o mecánicamente,
en nuestro problema del ¿por qué a los alumnos se les dificulta en mayor medida la
comprensión de los productos notables algebraicos cuando sus cimientos no están lo
suficientemente sólidos como para construir nuevos conocimientos? El problema
parte por principio, de que ningún nuevo conocimiento se construye en el vacío; es
decir, que cada aprendizaje se encadena a otro previamente adquirido y que, aún si
fuera aprendido de memoria, este encontraría dificultades para enlazarse con el
siguiente. Ausubel intenta clarificar este problema cuando menciona los “constructos”
como la “estructura cognitiva”, como un conjunto organizado de ideas que preexisten
al nuevo aprendizaje que se va a instaurar, para que funcione esta estructura,
Ausubel propone tres niveles de interrelación, el nivel de inclusión por subsunción, -él
denomina “subsunción” a “la estrategia cognitiva que permite al individuo, a través de
aprendizajes anteriores ya estables de carácter más genérico, abarcar nuevos
conocimientos que sean específicos o subordinados de aquellos”40. Estas
subsunciones o estrategias cognitivas amplias son capaces de abarcar los
conocimientos recién adquiridos: 40 Ibid. Pág. 134
19
“Su importancia estriba en que, si no existiesen, el nuevo contenido tendría
que ser aprendido en el vacío mecánicamente, o sea de memoria. La
organización del nuevo contenido en torno a un tema o telón de fondo común
posibilita su integración con conocimientos preexistentes”41
Para nuestro análisis, la “inclusión por subsunción” sí opera como estrategia
cognitiva porque ésta, si fue suficientemente “estable y clara” para proporcionar un
“anclaje firme” a los nuevos contenidos recién aprendidos. Concretamente, el
aprendizaje de los conceptos de los productos notables algebraicos, si encuentran un
soporte cognitivo que permita a los alumnos aprender con claridad este nuevo
conocimiento. La subsunción o “telón de fondo” en nuestra problemática es la
capacidad o manejo de superficies en los alumnos de este nivel que fue aprendido
en el manejo y manipulación de objetos en la primaria. De ahí se explica
posiblemente, el éxito del aprendizaje de los productos notables algebraicos en los
alumnos que toman los cursos de regularización en matemáticas, y se emplean
modelos gráficos para la comprensión de los productos notables algebraicos.
2.1.2. ÁREA DE DESARROLLO POTENCIAL DE LEV SEMENOVICH
VIGOTSKY
Como toda una cantidad apreciable de teóricos constructivistas, esta tesis sostiene
que un nuevo conocimiento tiene que estar cimentado por la solidez de los
anteriores, Vigotsky nos dice al respecto: “el desarrollo potencial del niño abarca
41 Idem.
20
desde su capacidad de actividad independiente hasta su capacidad de actividad
imitativa o guiada”42
A este principio se le llama, área de desarrollo potencial o zona de desarrollo
próximo, y es el eje de la relación dialéctica entre aprendizaje y desarrollo. Lo que el
alumno pueda hacer hoy con ayuda, favorece y facilita que lo haga sólo mañana, y
esto estimula y activa los procesos internos en el marco de las interrelaciones que
convierten en adquisiciones internas. De esta forma, un concepto matemático como
los productos notables algebraicos, encadenado a una serie de conceptos y prácticas
que se inician desde su aprendizaje temprano, los conocimientos que sobre estos
cimientos se van construyendo, permite entender una de las dificultades con la que
los jóvenes se enfrentan en cada ciclo escolar, las relaciones coherentes entre los
nuevos conceptos matemáticos con los cuales puedan construir construcciones
mentales nuevas y de mayor complejidad. El enfoque de esta problemática, permite
que la propuesta didáctica intente reforzar subtemas anteriores al aprendizaje de los
productos notables algebraicos, para que el nuevo conocimiento encuentre unas
bases lo suficientemente sólidas para poder tener la confianza de que los nuevos
conocimientos sean perdurables.
42 Ángel Pérez Gómez. “Los procesos de enseñanza-aprendizaje: Análisis didáctico de las principales teorías del aprendizaje”, en: Sacristán Gimeno, J. y Pérez Gómez , A. Comprender y transformar la enseñanza, Madrid, Morata, 1992. Pág. 22
21
2.1.3. LA PSICOLOGÍA GENÉTICA DE JEAN PIAGET
Vigotsky se contrapone a Piaget en cuanto al desarrollo que el niño consigue con la
edad y el aprendizaje. El primero sostiene que el desarrollo sigue al aprendizaje,
puesto que éste, es quien crea el área de desarrollo potencial. Para Piaget, el
desarrollo de las estructuras cognitivas van unidas al desarrollo de la afectividad y de
la socialización del niño y van señalados por periodos. Para nuestro interés de ubicar
esos periodos con la edad que corresponde al aprendizaje de los productos notables
algebraicos, es ubicado al llamado cuarto periodo de las operaciones formales.
Piaget atribuye la máxima importancia en este periodo, el desarrollo de los procesos
cognitivos y las relaciones sociales que estos hacen posibles.
Desde el punto de vista intelectual aparece el pensamiento formal por el cual es
posible una coordinación de operaciones que anteriormente no existía, a este nivel
hay la capacidad para prescindir del contenido concreto para situar lo actual en un
más amplio esquema de posibilidades; aquí ya formula hipótesis y es capaz de
deducir hasta llegar al resultado de un problema obteniendo verdades de carácter
cada vez más general, relacionando afirmaciones y negaciones, utilizando
operaciones proporcionales como son las implicaciones, ejemplo: si tenemos un
trinomio cuadrado perfecto, entonces los alumnos ya pueden descubrir que éste,
proviene del producto notable llamado el cuadrado de un binomio. Los procesos de la
lógica en el adolescente, van a la par con otros cambios del pensamiento y de toda
su personalidad en general, consecuencia de las transformaciones en esta edad en
sus relaciones sociales. Al abrir sus horizontes en la comprensión de la sociedad,
22
tiende a asumir actitudes utópicas que lo enfrentan a contradicciones entre sus ideas
con la realidad.43
2.1.4. EL JUEGO EN LA DIDÁCTICA DE JEROME BRUNER
La intención de formar grupos en el modelo didáctico de aprendizaje de los productos
notables algebraicos, cumple el propósito de potenciar la herramienta didáctica por
medio del juego. Bruner44, puntualiza algunos aspectos del juego y sus
características generales que permitirá argumentar la propuesta de este trabajo, son
los siguientes:
1. El juego es un agente de socialización. En la medida que la sociedad impone
una dinámica de competencia, el juego requiere de reglas, comunicación y
pensamiento.
2. El juego no debe tener consecuencias frustrantes.
3. En el juego hay mucha retroalimentación de ideas.
4. Con el juego se interioriza el mundo exterior, el individuo se apropia de él, lo
transforma ayudándolo en su desarrollo personal, además de que el jugar
produce placer.
5. El juego al ser relevante para su vida futura, constituye un “medio” para
“mejorar la inteligencia”
43 J. de Ajuriaguerra. Estudios del desarrollo según Jean Piaget, en: Manual de Psiquiatría Infantil. Barcelona-México, Masson, 1983, p. 24-29. De la Antología Básica El niño… Págs. 55 y 56. 44 Jerome Bruner. “Juego, pensamiento y lenguaje”, en: Acción, pensamiento y lenguaje. J. L. Linaza (compilador), México, Alianza, 1986. p. 211-219. De la Antología Básica, El juego. Págs. 71-77
23
6. El juego que contenga una estructura e inhiba la espontaneidad no es en
realidad juego.
7. En el juego se utiliza el pensamiento y la imaginación en un diálogo con un
interlocutor para que haya interrelación de ideas.
La vinculación entre la pedagogía del juego con estas características y el método
didáctico propuesto, quedará integrado en las actividades que se implementarán en
la escuela.
2.1.5. ESQUEMATIZACIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Los esquemas de los productos notables algebraicos, se tomaron de las
representaciones gráficas publicadas por diferentes autores: así, por ejemplo: de las
representaciones gráficas de los productos notables algebraicos, se recurrió a la obra
Álgebra Elemental de Baldor45; para los ejemplos y algunas aplicaciones de los
productos notables algebraicos, se consultó la Geometría Analítica de Lehmann46;
Algunos ejemplos de ecuaciones de las cónicas en donde se aplican los productos
notables algebraicos, del autor Benjamín Garza Olvera47
45 Aurelio Baldor. Álgebra Elemental. España, Edime, 1967. Págs. 99-102 46 Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. México, UTEHA, 1963. Págs. 11 12 47 Benjamín Garza Olvera. Matemáticas III, Geometría Analítica. México, SEP-SEIT, 1998. Págs. 75, 311, 313-314
24
2.2 CONTRASTACIÓN TEÓRICO PRÁCTICA SOBRE LA REALIDAD
DE LA PRÁCTICA DOCENTE
Con base en el constructivismo, no sólo se refiere a indicadores cuantitativos al
realizar la acción del proceso enseñanza-aprendizaje, porque se margina a grupos
en lo social y económico, si no además se incluirán valoraciones cualitativas. Este
trabajo de Investigación Documental, está pensado en hacer una reflexión acerca de
cómo se ha dado el concepto de productos notables algebraicos en forma
tradicional o memorística, aprendiéndose “la reglita” que lleva al resultado de las
operaciones algebraicas que se realizan, como por ejemplo, al elevar al cubo un
binomio, cuya “reglita” es la siguiente: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (el cubo del
primer término más el triple producto del cuadrado del primer término, multiplicado
por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del
segundo término, más el cubo del segundo término) y de igual forma existen
“reglitas” para los demás productos notables, como son: el producto de binomios
conjugados, (a + b) (a –b) = a2 – b2, producto de binomios con un término común (x
+ 5)(x – 8) = x2 – 3x – 40; el cuadrado de un binomio, (a + b)2= a2 + 2ab + b2, etc.
¿QUÉ SON LOS PRODUCTOS NOTABLES ALGEBRAICOS?
Se llaman productos notables algebraicos, a ciertos productos algebraicos que
cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es
decir, sin verificar la multiplicación, esto último es una ventaja en la simplificación del
resultado final, sin embargo, en la enseñanza se dan estas fórmulas memorizadas,
sin una explicación clara de dónde provienen cada uno de sus términos algebraicos.
25
No se plantean en la enseñanza secundaria los productos notables de una forma
secuencial, cada concepto no esta articulado con un todo, cada concepto se explica
lisa y llanamente por lo expuesto en el pizarrón; no existen otros elementos en la
explicación que permitan al alumno comprender determinado concepto matemático
en una formulación clara y precisa. Los productos notables algebraicos, se utilizan en
los cursos superiores de diferentes grados de la enseñanza, la debilidad en su
comprensión o ambigüedad en sus rasgos particulares forman lastres que dificultan
el desarrollo y aprovechamiento posterior.
La enseñanza “memorística” no deja un conocimiento significativo; la valoración
cualitatitiva del enfoque constructivista consiste en que el docente aplique estrategias
innovadoras que estimulen a sus alumnos, para que ellos construyan su propio
conocimiento desarrollando habilidades creativas, despertando en ellos el interés de
relacionar conocimientos y experiencias ya asimilados.
Con respecto a la capacidad que ya tiene el adolescente, según Piaget, de manejar
ya proposiciones, incluso si las considera como simplemente probables (hipotéticas).
Las confronta mediante un sistema plenamente reversible de operaciones, lo que le
permite pasar a deducir verdades de carácter cada vez más general. Al resolver
productos notables, el alumno puede hacer reversible las operaciones y resultados,
por ejemplo: La diferencia de cuadrados exactos se puede factorizar haciendo
reversible la operación, dicho algebraicamente sería:
26
(a + b)(a – b) = a2 - b2
a2 – b2 es el resultado; ahora esto último lo dan como dato y a partir de éste, a2 –
b2, ¿Cómo se puede encontrar de dónde provino? Entonces, se hace una operación
reversible, es decir, se hace una operación mental que supone la interrogación de
encontrar los factores que dieron origen a ese resultado; el maestro no tiene
posibilidades de explicar verbalmente esa reversión, sólo se logra intuir por medio de
las operaciones reversibles que el alumno construye en su mente.
Para resolver este problema, en la estrategia se muestra gráficamente la posibilidad
de esa conexión:
Tenemos un cuadrado Y un cuadrado de lado b
de lado a
Al cuadrado de lado a,
se quita el cuadrado
de lado b
a2
b2
a2 c
b2
a
ba
b
a
b
a
b
27
Y trazando la línea de puntos,
se obtiene el rectángulo c,
D C
cuyos lados son
a2 c
b2
A B
c
b
a-b
b y (a –b) si ahora se traslada
el rectángulo c hacia arriba, en la forma
indicada por la flecha, obtenemos:
El rectángulo ABCD, cuyos lados son:
(a + b) y (a – b), y cuya área sería: (a + b) (a – b) = a2 – b2
D C
a2 c
b2
c
D C
A B
a+b
A B
a-b
28
Es decir, el rectángulo ABCD, es el resultado del producto de binomios conjugados,
que es igual a la diferencia de cuadrados exactos. a2 – b2
Los alumnos al recibir estos conceptos, específicamente los productos notables
algebraicos, en forma memorística, no desarrollan todo su potencial que les permita
seleccionar, organizar y relacionar sus conocimientos para llegar a descubrir nuevos
aprendizajes; mientras que, con diagramas esquemáticos y ejemplos volumétricos,
ayudan a la comprensión de estos elementos matemáticos de suyo abstractos;
además esta forma de trabajo, los invita a analizar algunos de los atributos de las
matemáticas como son: proporcionalidades, posiciones y superposiciones,
reversibilidades, movimientos de rotaciones y traslaciones, correspondencias, entre
otros. El ejercicio mental, el asombro que significa el contacto con los
descubrimientos que partan de elementos conocidos y que, paso a paso se van
formando líneas, planos y volúmenes, representados por los productos notables
algebraicos como lo indican los esquemas de este trabajo, encaminado a la
posibilidad de que dispongan de una vía para que los motive y estimule en el interés
y gusto por las matemáticas.
29
2.3. IMPORTANCIA DE ESTABLECER EN LAS ESCUELAS, UNA
PRÁCTICA EDUCATIVA DE CALIDAD POR PARTE DE LOS
DOCENTES.
La importancia de implementar ciertos recursos didácticos que mejoren el
aprovechamiento de los alumnos en el área de matemáticas, parten de los hechos
del bajo rendimiento académico medido en parámetros internacionales, éstos nos
muestran índices decepcionantes, según la Organización de Cooperación y
Desarrollo (OCDE)48 en los resultados de la investigación publicada en el área de
niveles educativos dados a conocer después de que México ingresó a este
organismo en 1994, revela un panorama desalentador en los resultados en
matemáticas y ciencias, aplicados a jóvenes de 15 años; estos exámenes
presentados en 29 de los 30 países dentro de la organización y 11 naciones que
querían entrar a la OCDE mostraron que: “Los exámenes que se aplicaron a los
jóvenes probaron que 66% de los estudiantes mexicanos estaban en el último nivel o
sea, nivel cero de cinco niveles ,en matemáticas. Menos del 1% estuvo en los
primeros niveles”49. Para la última evaluación en el 200450 hecha por organismos
48 La OCDE es un foro internacional en el que los gobiernos de 30 países democráticos y con economías de mercada trabajan juntos para atender los retos económicos, sociales, políticos y ambientales de la globalización y la interdependencia. 49 http://www.internationalschool.edu.mx, 19 de junio del 2005 50 El estudio se lleva a cabo cada tres años, es aplicado a jóvenes estudiantes de 15 años, evaluando conocimientos y habilidades en las áreas de matemáticas, ciencias, lectura y solución de problemas.
30
oficiales mexicanos como el Instituto Nacional para la Evaluación Educativa (INEE)51,
los resultados casi no han variado, es decir, el nivel de aprovechamiento se ha
estancado en el último lugar52
Otro ámbito en la detección del problema se descubre o se hace evidente por la
dificultad de los alumnos en tener acceso a los niveles superiores de enseñanza, los
alumnos que pretenden ingresar al nivel de enseñanza media superior, encuentran
en el área de matemáticas un verdadero cedazo; las estadísticas recientes así lo
indican.
Por todo lo antes citado, se considera importante establecer que, resulta necesario
un esquema de trabajo a nivel aula para dirigir acciones de actividades matemáticas,
para dilucidar los productos notables algebraicos entre los alumnos del tercero de
Secundaria.
51 El INEE fue creado el 8 de agosto del 2003, se responsabilizó a partir del 2003, para aplicar en México las pruebas llamadas Estándares Nacionales de Lectura y Matemáticas, así como pruebas del Programa para la Evaluación Internacional de estudiantes (en inglés Programme for International Student Assessment, PISA) de la OCDE Los puntajes obtenidos fueron de 385 de 500 posibles en el 2004, en el 2001 fueron de 386 en el área de matemáticas. Fuente http//bine.org.mx del 19 de junio del 2005 52 http://www.internationalschool.edu.mx, 19 de junio del 2005
31
CAPÍTULO 3. UNA PROPUESTA PARA LA SOLUCIÓN
DE LA PROBLEMÁTICA.
Las dimensiones de la problemática, medida o aquilatada por una amplia variedad de
registros, algunos, evidentemente subjetivos como son aquellos que se nutren de la
creencia justificada o no de que las matemáticas “son difíciles”, “sólo las entienden
los inteligentes”, “A fulanito se le dificultan las matemáticas”, y comentarios que
indican un substrato que en nada ayudan a comprender la problemática. Sin
embargo, sí es posible tener una idea en función, tanto de los parámetros
internacionales de aprovechamiento en el área de matemáticas, como en la
apreciación de los propios docentes sobre la temática. A grandes rasgos se puede
resumir la problemática en los siguientes puntos, enlistados de lo simple a lo
complejo:
Los alumnos detienen su aprovechamiento en año lectivo, es decir, pueden tener
calificaciones aprobatorias, pero basta que no logren calificar en el área de
matemáticas para que se convierta en un freno para ascender de grado. Si logran
aprobar con la calificación mínima, los conocimientos necesarios de matemáticas
para llevar el nivel de aprovechamiento, será difícil llevar el paso del currículo.
Naturalmente en el hipotético caso de que logren los alumnos llegar a cursar
estudios superiores en las aplicaciones en el área Físico-Matemática, tendrán un
lastre insalvable, puesto que en los cursos superiores, los docentes difícilmente
32
tienen el tiempo y disponibilidad de explicar los conceptos y las reglas de los
productos notables algebraicos. Una deficiencia numérica de profesionales en las
áreas físico-matemáticas en los niveles de la investigación, docencia y en las
actividades productivas. Y consecuentemente, un freno en el desarrollo del país,
medido no solamente en el aprovechamiento potencial de nuestros recursos
humanos, si no también en un retroceso en la competencia económica que nos
impone la globalización.
Ante el diagnóstico del bajo rendimiento en el área de matemáticas en las
competencias de alumnos mexicanos en certámenes extranjeros, nos indica un
deterioro en el aprendizaje de las matemáticas, de cuyo origen todavía no esta
suficientemente identificado, pero, sus consecuencias a largo plazo son sombrías en
cuanto que el vector del desarrollo de un país descansa sobre la capacitación de sus
fuerzas productivas, en áreas tan sensibles como el desarrollo de sus recursos
humanos.
Las matemáticas son una herramienta instrumental en la cual se apoyan todas las
demás ciencias. Todos los conceptos que maneja están sistematizados en el sentido
de la construcción lógica de sus leyes, postulados y teoremas.
La enseñanza de las matemáticas forman parte de la columna vertebral de los
programas oficiales docentes –junto con las Ciencias Naturales, las Ciencias
33
Sociales- en los diversos niveles; tanto en la Secundaria como en la Preparatoria,
representa en tiempo aula-semana más que ninguna otra materia.
Pese a que el propio Programa Oficial de Matemáticas, sugiere vincular las
experiencias de los alumnos con sus contenidos por medio de la resolución de
situaciones problemáticas que ayudan a despertar la curiosidad de los alumnos, y les
permita a partir de las preguntas planteadas por el docente, explorar las relaciones
entre nociones conocidas y utilizarlas para descubrir o hacerse de nuevos
conocimientos; estas sugerencias de las autoridades educativas no siempre son
llevadas a la práctica, en este trabajo de Investigación Documental, se retoma esta
argumentación tratando de llevarla a cabo con algunas adiciones, como son una
didáctica adecuada a la edad de los alumnos, tanto en el desarrollo de sus procesos
cognoscitivos, de acuerdo con Piaget; como el uso del juego y la participación
colectiva de acuerdo con las teorías de Bruner, para sus nuevas relaciones sociales
que éstos hacen posibles, en función de las aportaciones teóricas de otros
pensadores, de quienes se recurrirá más adelante.
En virtud de la dimensión del problema, la trascendencia y cómo repercute a corto y
mediano plazo, nos obliga a buscar los caminos adecuados que encausen la
solución de este problema del bajo rendimiento escolar en matemáticas. Solución
inmediata y vital para el desarrollo del país.
34
3.1 TÍTULO Y JUSTIFICACIÓN DE LA PROPUESTA.
ESTRATEGIA DIDÁCTICA
PARA FACILITAR LA CONSTRUCCIÓN
DE LOS PRODUCTOS NOTABLES ALGEBRAICOS
EN EL TERCER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Por principio, la justificación deberá cumplir la mejora de calidad de la docencia
tomando en cuenta: el reconocimiento de los discursos y expectativas que sobre la
formación docente se ha planteado así, los Planes de Estudio de la Universidad
Pedagógica Nacional (UPN), anclados sobre los propósitos de la práctica educativa,
puntos como: flexibilidad del currículum; preparación, formación y elementos teóricos
para los maestros, énfasis en los procesos de enseñanza-aprendizaje, la toma del
contexto social de los centros educativos; son los elementos que dirigidos a cualquier
proyecto de trabajo Académico Educativo le dan sustento.
La justificación, parte pues de la valoración de la problemática como ya se mencionó,
su importancia y conveniencia de la aplicación de la propuesta, pero se sumaría una
observación más: El rescate de ciertas prácticas didácticas que pueden solucionar
una problemática en la enseñanza de las matemáticas, prácticas que tienden a ser
desplazadas u olvidadas, algunas de ellas por el avance de las nuevas tecnologías
35
(computadoras y calculadoras) que les simplifica el trabajo de cálculo a los alumnos,
pero les impide desarrollar los mecanismos de deducción y el ejercicio del
razonamiento para esquematizar los problemas; punto éste, donde descansa parte
sustancial de la propuesta.
3.2 MARCO JURÍDICO-LEGAL PARA LA VIABILIDAD DEL DISEÑO
E IMPLANTACIÓN DE LA PROPUESTA.
El Programa de la Secretaría de Educación Pública (SEP) para la enseñanza de las
matemáticas en el Tercer Grado de Educación Secundaria, contempla diversas
indicaciones encaminadas a preparar al alumno en el razonamiento deductivo,
poniendo énfasis en las construcciones geométricas:
En los programas anteriores, para el primer y segundo grado de la escuela secundaria, la
geometría aparecía solamente en la séptima unidad. Esto no favoreció su enseñanza e hizo
que con frecuencia sólo se estudiara en el tercer grado. Para remediar esta situación, se
propone que durante los tres grados de la escuela secundaria la geometría se estudie a lo
largo de todo el año escolar.
Los nuevos programas enfatizan los siguientes aspectos en la enseñanza de la geometría:
Los trazos y construcciones geométricos, como una forma de explorar y conocer las
propiedades y características de las figuras geométricas y preparar el paso al razonamiento
deductivo. 53
53 http:// www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep 514 matematicas, 17 de junio del 2005
36
Otros propósitos que los Planes y Programas oficiales del sector contempla:
• Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y procedimientos
básicos a través de la solución de problemas.
• Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema.
• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.
• Reconocer situaciones análogas (es decir, que desde un punto de vista
matemático tienen una estructura equivalente).
• Escoger o adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un problema.
• Comunicar estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y
concisa.
• Predecir y generalizar resultados.
• Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo.54
Con respecto a los cambios en el tema de la enseñanza del álgebra:
“El álgebra ha sido tradicionalmente uno de los temas centrales de la enseñanza de las
matemáticas en la escuela secundaria y conserva este carácter en los nuevos programas, sólo
que ahora se contempla una aproximación inicial menos abrupta. Para ello se proponen, desde
el primer grado, algunos contenidos de preálgebra; el propósito es aprovechar las oportunidades
que ofrecen la aritmética y la geometría para que los estudiantes se inicien gradualmente en el
uso de literales y otros temas que preparan el acceso al álgebra55.
54 Plan y programas de estudio de educación secundaria. Matemáticas. http//www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematica. 17 de junio del 2005 55 Idem
37
Para enriquecer el significado de las expresiones con literales es importante
acompañarlas -desde el principio- con actividades que propicien la construcción de
tablas de valores y su presentación en forma gráfica.
Con respecto al marco jurídico-legal que permita darle viabilidad del diseño e
implantación de la propuesta, se recurrirá a la misma SEP; ahí se encontrará una
compilación de las normas jurídicas en el Área Administrativa que específica, las
Normas de carácter general vigentes en el 2006, cuyos ejes normativos son fieles a
las atribuciones que la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y la
Ley Orgánica de la Administración Pública Federal, le otorgan a la SEP. Tres son las
normatividades de consulta para nuestro interés: La Educación y sus Normas
Jurídicas56; La Regulación de la Educación en Materia Federal57 y Patrimonio
Cultural y el Derecho Autoral58.
3.3 BENEFICIARIOS DE LA PROPUESTA.
En primer término, los alumnos, en segundo los docentes y en tercer término la
sociedad. En función de los beneficios que se pueden obtener de acuerdo a los
criterios generales de la propuesta.
56 http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_La Educación_y_sus_Normas_Juridicas 21 de agosto del 2006 57 http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_Normatividad_y_Consulta..21 de agosto del 2006 58 Dgaj @ sep.gob.mx; o a: dpge @ sep.gob.mx.
38
3.4 CRITERIOS GENERALES DE APLICACIÓN DE LA PROPUESTA.
El fin que se persigue con esta propuesta es hacer tangibles los conceptos
matemáticos que se perciben en forma abstracta en los productos notables
algebraicos, concepto matemático que abre un puente entre el álgebra y las
representaciones gráficas de la Geometría, y posteriormente en grados superiores la
Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral; para poder lograr esto, se
recurre a la didáctica educativa, como es el juego y animaciones de figuras, cuerpos
geométricos, gráficas, etc. por medio de una planeación en la que interviene tiempo,
lugar y modo.
• Contribuir en la parte que toca a los docentes en mejorar la educación
secundaria
• Cambiar la apreciación que se tiene de las matemáticas como materia difícil
• Elevar los índices de aprovechamiento en el área de matemáticas
• Aumentar la matrícula de las carreras físico-matemática
• Mejorar la comprensión de los productos notables
• Ayudar a asimilar los conceptos matemáticos con el juego y la participación de
grupos
• Socializar la experiencia docente
Podemos añadir algunos de los propósitos que los planes y programas oficiales del
sector, contempla:
39
• Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y procedimientos
básicos a través de la solución de problemas.
• Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema.
• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.
• Reconocer situaciones análogas (es decir, que desde un punto de vista
matemático tienen una estructura equivalente).
• Escoger o adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un problema.
• Comunicar estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y
concisa.
• Predecir y generalizar resultados.
• Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo
El plan en general se llevará a cabo con la duración de un mes, dos sesiones por
semana con una duración de una hora cada una; registrando los resultados de cada
sesión, así como, el desarrollo de las mismas actividades. Los propósitos de este
plan son los siguientes:
• Crear un ambiente propicio para el aprendizaje de los productos notables
algebraicos, de las matemáticas a través del apoyo de las relaciones humanas
afectivas y de los instrumentos didácticos propuestos, en la materia curricular
de dicho grado.
• Desarrollar en el alumno el razonamiento deductivo para que le encuentre el
gusto por las matemáticas
40
• Propiciar la comprensión del concepto de productos notables algebraicos como
enlace con otras materias de matemáticas que se imparten en grados
superiores.
• Disminuir el rechazo de las matemáticas como materia “difícil” y que estas
pueden tener un cierto grado “de placer en su práctica”
• Fortalecer los vínculos con los padres de familia al hacerlos partícipes en
algunas de las actividades.
• Crear un ambiente de respeto y armonía entre los integrantes del grupo
incluyendo al maestro.
• Desarrollar habilidades y destrezas en la elaboración de figuras matemáticas,
tanto manual como mentalmente.
• Reforzamiento de conocimientos previos.
41
3.5 DISEÑO DE LA PROPUESTA.
En las actividades por desarrollar, los jóvenes tendrán la edad que Piaget considera
como la etapa formal o de operaciones hipotético-deductivas, el joven puede razonar
de acuerdo a hipótesis, ya no sólo a objetos; construye nuevas estructuras de lógica
proporcional y con ellas hace combinaciones, construyendo otras más complicadas;
ya no son sólo operaciones simples de clase, relaciones y números, ya puede operar
sobre material simbólico, como es el lenguaje algebraico matemático; puede
establecer hipótesis y hacer deducciones.
La relación entre los productos notables algebraicos y las matemáticas, implica un
concepto básico para construcciones matemáticas de mayor complejidad, como los
ejemplos que a continuación se describen.
En geometría analítica, tenemos que la fórmula de la distancia entre dos puntos A y
B, que no pertenecen a una misma recta horizontal o vertical, resulta:
d= AB= V( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2
Ejemplo:
Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 13, es el punto A
(-1,-5); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada.
Al sustituir los datos dados en la fórmula tenemos:
d=distancia Abscisa del punto B = 2
Abscisa del punto A= -1 Ordenada del punto B =?
42
Ordenada del punto A= - 5
13 = V (2+1)2 + (y+5)2
( 13 )2 =(V 32 + (y+5)2 )2
169 = 9+y2 +10y +25 y2 +10y -135 = 0
Por medio de la fórmula general: y=( - b +- V b2 - 4ac) / 2a
obtenemos el valor de: y = 15.29 ó y= -17.64
En lo subrayado están presentes los productos notables algebraicos. Son ejemplos
de conceptos que se enseñan en Preparatoria, en los que están presentes los
productos notables algebraicos.
En las ecuaciones de las cónicas, como por ejemplo la ecuación de la circunferencia
en su forma ordinaria, tenemos:
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
En lo subrayado tenemos presentes, los productos notables algebraicos.
Otro ejemplo lo tenemos en la ecuación ordinaria de la parábola:
(x-h)2 = 4p(y-k) parábola con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo
al eje y.
En lo subrayado tenemos un producto notable algebraico.
43
En estos ejemplos, se tienen que desarrollar esos productos notables para encontrar
nuevas ecuaciones, como son las ecuaciones generales de las cónicas; y hacer
procesos reversibles para volver a obtener las ecuaciones iniciales.
Existen una gran variedad de ejemplos en donde se ocupan los productos notables.
Cuando se dan ejemplificados nuevos conocimientos en forma visual como son: las
propiedades de las ecuaciones de primer grado en un plano cartesiano, el teorema
de Pitágoras por medio de áreas en los catetos y en la hipotenusa, y por supuesto
los productos notables algebraicos -el cuadrado de un binomio, el producto de
binomios conjugados, el cubo de un binomio, etc.- en el que esta delimitado el
problema de este trabajo, se asimila en forma significativa y se puede relacionar con
otros conocimientos para hacer y comprender nuevas construcciones matemáticas.
Se va a utilizar el recurso didáctico del juego con el propósito de desarrollar
habilidades y destrezas en los jóvenes.
Al estar construyendo y jugando con las áreas que se forman de la suma de
segmentos multiplicados por sí mismo, y también por sus restas, van desarrollando
los alumnos habilidades que derivan en su pensamiento, en términos de transformar,
no únicamente en configurar resultados de conceptos abstractos en matemáticas.
Para la evaluación se deben de cuidar los procesos de elaboración o construcción (el
razonamiento) Al evaluar a los alumnos, los aprendizajes basados en el tratamiento o
procesamiento superficial de la información que se ha de aprender, aprendizajes
44
verbalistas, hechos al pie de la letra, en donde no se van realizando relaciones, no
deben ser tomados en cuenta en las actividades que se realizarán. También se debe
tomar en cuenta la socialización lograda por los alumnos, los alcances, como son:
responsabilidad, control, conceptos, principios, habilidades o estrategias de
aprendizaje, se deben tomar muy en cuenta, para evaluar el nivel de aprendizaje
logrado. El alumno también debe aprender a autoevaluarse, a darse cuenta de sus
logros, es una de las metas que toma en cuenta el constructivismo, ya que cada ser
es responsable de la adquisición de sus propios conocimientos.
A continuación se explicará con un ejemplo una de las actividades que se llevará a
cabo, graficando dos de los productos notables algebraicos.
El material será por medio de hojas de papel de colores llamativos, con los que se
formarán gráficamente éstos. Veamos un ejemplo:
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ ab + ab +b2
2ab
Con el segmento (a+b) y la fórmula del área de un cuadrado A= l 2
A= (a+b)(a+b) = (a+b)2
(a+b) al multiplicarse (a+b) veces; de aquí ello observarán que ab + ab son dos
términos semejantes que representan dos áreas iguales, por lo tanto son iguales al
45
doble producto de ab, por lo que el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del
primer término, más el doble producto del primer término por el segundo más el
cuadrado del segundo término; esto forma un trinomio cuadrado perfecto:
Gráficamente se representa así:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
46
Otro ejemplo, será la representación gráfica del producto de binomios con un término
común. (x+a) (x+b)= x2+(a+b)x+(a)(b)
El primer esquema es el cuadrado de área X2; en el dibujo que sigue, a la altura x,
se le quitan dos unidades y al lado superior x, se le aumentan cinco unidades; al
buscar el área de este nuevo rectángulo, si contamos los cuadros y utilizamos lo que
se llama valor numérico de esta expresión, al sustituir los valores de x=8, a=5 y b=-2,
obtenemos setenta y ocho unidades cuadradas de área.
47
Gráficamente se representa así:
X2
X-2
X+5
X
48
Los demás productos notables algebraicos también se pueden representar
gráficamente; a cada equipo le corresponderá representar diferentes productos
notables algebraicos, después se intercambiarán elementos de los diferentes
equipos y materiales para analizar e intercambiar ideas y dudas que surjan de ellos,
para que haya una interrelación y retroalimentación de conocimientos.
Esta propuesta quedará abierta para nuevas problemáticas y conocimientos del
mismo nivel de tercer año de secundaria como son: factorización de los productos
notables algebraicos, resolución de ecuaciones de segundo grado por medio de
factorización; se puede hacer una relación previa de conocimientos del siguiente
nivel de estudios en forma introductoria, como puede ser: encontrar las fórmulas que
representen las cónicas.
3.5.1. CARACTERÍSTICAS TEÓRICO-CURRICULARES
DE LA PROPUESTA.
Las características de esta propuesta toma por principio la consideración de que sólo
lo útil de los hechos llevados a la experiencia, pueden acceder a un conocimiento
significativo de los productos notables algebraicos en el Tercer Grado de Secundaria.
Mediante el material y la estrategia novedosa del juego, el reforzamiento de
conceptos previamente aprendidos que se darán en la primera sesión de las
actividades a llevar a cabo, se pretende motivar y dar confianza en si mismos a los
alumnos e interés por ver de otra forma las acciones matemáticas.
49
Las características teóricas de la propuesta, están articuladas en cuatro aspectos: El
aprendizaje por descubrimiento, de Ausubel; en segundo punto, El juego como
herramienta didáctica de Bruner; La psicología genética de Piaget; y por último: El
área de Desarrollo Potencial de Vigotski. En el segundo capítulo de este trabajo, se
mencionaron algunas de las principales características de los puntos medulares de
sus aportes teóricos de corte constructivista; Ahora, abordaremos esos cuatro
aspectos teóricos alrededor de la propuesta y cómo se interrelacionan entre sí.
El sujeto que accede al conocimiento.
Nuestro sujeto, el alumno de entre los catorce y quince años, estàn en el período que
de acuerdo J. Piaget, es el de la inteligencia operatoria formal.( o Hipotético-
deductiva) El adolescente supera ya el nivel sensorio-motor y el de las operaciones
concretas y es capaz, como el adulto, de establecer hipótesis y realizar deducciones.
Su pensamiento se regula, por una lógica formal que no necesita remitirse a
experiencias concretas para resolver cuestiones o problemas; a esto se le llama
pensamiento puro porque es independiente de la acción, se puede operar sobre
material simbólico como esquemas, el lenguaje o las matemáticas.59
Existen materias como las matemáticas, en las que al resolver problemas se llega al
resultado verdadero por investigación y descubrimiento de la inteligencia humana por
medio de propiedades universales y autónomas de esa materia; es por eso la
59 Jean Piaget, Psicología y Pedagogía. Madrid, Ariel, 1983. Pág. 14
50
importancia de repensar los métodos de enseñanza.60 Así, la edad en que el sujeto
se encuentra con el desarrollo óptimo de sus facultades para adquirir los
conocimientos del nivel de matemáticas de esta propuesta, se enlaza con la
indicación de encontrar y proponer los mecanismos de una didáctica apropiada,
como el juego.
Tener conocimiento de un concepto matemático es manipular sobre él, lograr
transformarlo y analizar los cambios de esas transformaciones para conocer nuevos
mecanismos logrando acceder a nuevos aprendizajes61, por esto, la importancia de
la esquematización de áreas y cuerpos sólidos en la construcción de los productos
notables algebraicos.
En el desarrollo cognoscitivo las acciones interiorizadas de los procesos de
transformaciones son las operaciones lógicas y matemáticas, motores de todo juicio
o de todo razonamiento, que tienen carácter reversible62, esto es, un concepto u
operación matemática o lógica que nos da un resultado, sólo se explica por las
operaciones que necesariamente le precedieron. Por lo tanto, el razonamiento de
Piaget en la constitución de las estructuras del desarrollo del pensamiento del joven,
prefigura también el propio mecanismo de reversibilidad de las matemáticas.
60 Ibid. Pág. 53 61 Ibid. Pág. 56 62 Ibid, Pág. 57
51
El desarrollo de las estructuras del conocimiento de los jóvenes de Piaget, coincide
con Lev Semenovich Vigotski que son propias de cada estadio del desarrollo físico y
mental de cada edad; en contraste para este último, la interacción social y el
instrumento lingüístico son decisivos para entender el desarrollo cognoscitivo de los
jóvenes; es decir existe un condicionamiento socio-cultural que influye muy
significativamente en el proceso de maduración63
La ejecución que realiza el niño mediante sus propios recursos, y el nivel que puede
alcanzar en forma óptima64 sólo se logra mediante el apoyo estratégico de vías
diferentes para acceder a un conocimiento significativo, es lo que Vigotski llama:
“Zona de desarrollo proximal”65 Para él, en esta asistencia externa, es en donde se
debe intervenir con estrategias innovadoras como es la propuesta de este trabajo,
pero respetando su actividad espontánea.
La asistencia externa, para Vigotski significa tres formas de acción: La primera es
repensar la manera del quehacer educativo, tomando en cuenta las diferencias
individuales y las dificultades de cada niño. La segunda, toma en consideración la
forma de evaluar el aprendizaje, tomando no sólo en cuenta las habilidades
espontáneas sino preocupándonos también por sus las habilidades de intercambio
social en la resolución de problemas. Y por último, tomar muy en cuenta la 63 Enrique García González, La construcción histórica de la Psiqué. México, Trillas, 2001. Pág. 18 64 Vigotski sostiene que este mecanismo tiene un límite, existen tareas y operaciones que los niños no pueden realizar a ciertas edades. 65 Ibid. Pág. 19
52
planeación cuidadosa del tipo de experiencia socio-cultural que se vea sometido por
el tipo de actividades.
Esta propuesta en su aspecto didáctico recurre a la creatividad del alumno, Vigotski
habla de la creatividad y la imaginación a partir de los dos componentes
fundamentales del comportamiento y del desarrollo del niño, un componente
reproductor ligado a la memoria, entendido como reconocimiento y representación
afectiva que le da sustento al individuo; y otro impulso creativo o combinatorio que
tiene como sustento la imaginación; ambas interactúan entre sí, pero esta capacidad
creativa se desarrolla de forma paulatina –como los demás procesos y capacidades
mentales- con un componente importante que se cita: “La actividad creadora de la
imaginación se encuentra en razón directa con la variedad y riqueza de la
experiencia acumulada por el hombre…”66 Así, los conocimientos psicopedagógicos
actuales para mejorar la educación soportados en las aportaciones de la influencia
social y cultural de las aportaciones teóricas de Vigotski, se retoman los conceptos
de creatividad e imaginación para esta estrategia educativa en su sentido
fundamental.
En el recurso didáctico, se recurre al juego; algunos de sus aspectos generales del
juego, ya fueron puntualizados en el capitulo 2. 1. 4., específicamente, para nuestros
sujetos, el juego también tiene un desarrollo en la conducta de los niños, según la
66 Ibid. Pág. 63
53
clasificación de Piaget, citado por Juan Delval67 El juego es una actividad que tiene
el fin en sí misma. El sujeto no trata de adaptarse a la realidad sino de recrearla,
predominando la asimilación sobre la acomodación. Existen tres clasificaciones al
propio desarrollo físico y mental de los niños, El juego de ejercicio correspondiente al
periodo sensorio-motor; el juego simbólico, dominante entre los dos-tres años y los
seis-siete años; pero el que nos interesa, es el clasificado como juego de reglas: que
se desarrolla de los seis años a la adolescencia, que corresponde a la etapa
operatoria, de acuerdo con el mismo Piaget. Este juego tiene un carácter social, en el
que existen reglas que los participantes deben respetar, para esto es necesaria la
cooperación, pues sin la aportación de todos no existe el juego, por supuesto que
debe de haber competencia para que haya un ganador individual o de equipo, esto
obliga a situarse en el punto de vista del otro para tratar de anticiparse y no dejarse
ganar; esto obliga a que exista una coordinación de puntos de vista de cada uno de
los jugadores, de aquí la importancia que existe para el desarrollo social y para evitar
el egocentrismo. Además de que el juego de reglas subsiste y se desarrolla durante
toda la vida68 En esta etapa la regla reemplaza al símbolo y enmarca al ejercicio.
De Piaget se tomaron estos fundamentos del juego; de su relación con las
matemáticas y el juego, Vigotski menciona: siendo la imaginación el hilo conductor
del juego, existe el peligro de que sea comparado como actividad semejante al
álgebra, es decir tanto el juego como el álgebra podrían ser considerados como
67 Juan Delval. “El Juego”, en: El desarrollo humano. Madrid, Siglo XXI. 1994. Págs, 291-293. Antología Básica de la UPN. El Juego. Pág. 26 68 Idid. Pág. 57
54
sistema de signos que generalizan la realidad; es decir debe existir la motivación que
conduzca a la construcción de nuevos conocimientos mediante el juego: “Estoy
convencido de que el juego no es exactamente una acción simbólica en el sentido
estricto del término: de modo que es imprescindible averiguar el papel de la
motivación en el juego”69
Un rasgo especial de la percepción humana, es la llamada percepción de objetos
reales, es decir, no sólo la percepción de colores y formas, sino también de
significado70. En la propuesta, las representaciones esquemáticas de los productos
notables algebraicos en las fórmulas obtenemos áreas y cuerpos tridimensionales,
no sólo se distinguen sus partes por medio de colores, sino también haciendo énfasis
el significado de cada parte. Otro aspecto de importancia, se refiere Bruner al control
del juego; esto es que, el propio jugador debe controlar sus acciones, aunque este
dentro de un juego por equipo, para que le proporcione la importante oportunidad de
pensar, de hablar y ser èl mismo, aunque se retroalimente de las otras opiniones de
sus compañeros71.
Con respecto a Ausubel, él hace énfasis en que, se debe llevar a cabo un análisis
reflexivo acerca de las diferentes concepciones y enfoques que se le han dado al
llamado método de enseñanza basado en el descubrimiento. Sí realmente se desea
69 L. S. Vigotski. “El papel del juego en el desarrollo del niño”, en: El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Barcelona. Crítica, 1988. p. 141-158. En la Antología Básica de la UPN, El juego. Pág. 62 70 Ibid. Pág. 65 71 Ibid. Pág. 78
55
aportar material enriquecedor de conocimientos a los alumnos, se deben de
promover formas más eficientes y adecuadas para ello. Se debe de repensar la
selección, organización del conjunto de conceptos que despierten el interés real,
mediante presentaciones estratégicas nuevas, aplicadas en implementaciones
didácticas.
Cuando se logra un aprendizaje significativo, la manifestación evidente de los
alumnos se refleja en sus actitudes de disposición y atención para relacionar
sustancialmente el contenido nuevo con su estructura cognoscitiva, es decir,
aumentando el potencial de significados (imágenes, símbolos, estructuras,
esquematizaciones…etc.); estas acciones van a la par con su desarrollo cognoscitivo
de modo intencional por el mismo individuo. En forma contraria al realizar el proceso
de aprendizaje en forma mecánica, se perciben conocimientos superficiales, en los
que se carece de significado, mucho menos de “relacionabilidad sustancial” que lleve
a estructuras de importancia para su desarrollo cognoscitivo.
Con respecto a la importancia de la instrumentación didáctica, Ausubel es explícito:
“Aun el mejor programa de experiencias de solución de problemas, no sustituye a la
cantidad mínima necesaria de exposición didáctica adecuada.72 Es decir, la solución
de problemas en matemáticas, no garantiza por sí mismo, el descubrimiento
significativo porque la mente inexperta en materia de ciencia solo se ve aturdida por
72 David P. Ausubel, Psicología Educativa: un punto de vista cognoscitivo. Tr. Roberto Holier Domínguez, Mëxico, Trillas, 1978. Págs. 233-251
56
la complejidad natural de los datos empíricos, y aprende mucho más de modelos y
diagramas esquemáticos.
3.5.2. EL MAPA DE ACTIVIDADES PARA SALÓN DE CLASES.
El plan de la estrategia en su totalidad se pretende llevar a cabo con una duración de
ocho sesiones de una hora cada una. Registrando los resultados de cada sesión en
un diario de campo con explicación anecdótica, así como, el desarrollo de las
mismas actividades. Los objetivos particulares de este plan son los siguientes:
• Crear un ambiente propicio para el aprendizaje de los productos notables
algebraicos de las matemáticas, a través del apoyo de las relaciones humanas
afectivas y de los instrumentos didácticos propuestos en la materia curricular de
dicho grado.
• Desarrollar en el alumno el razonamiento deductivo, este razonamiento es el
que se aplica en matemáticas, los principios en los que se apoyan son de dos
tipos: postulados73 y definiciones; ambos son principios generales que se
aceptan como verdaderos, el razonamiento deductivo lleva un proceso
mediante el cual una persona usa un principio general aceptado como
verdadero, para obtener una conclusión en un caso o hecho particular; algunas
veces a la conclusión misma se le llama deducción. Por este método se llega a
obtener nuevos conocimientos, es decir, obtener nuevas proposiciones como
consecuencia lógica de otras anteriores.
• Propiciar la comprensión del concepto de productos notables algebraicos como
enlace con otras materias de matemáticas que se imparten en grados
superiores.
73 Las proposiciones como: axioma, postulado, teorema, corolario son denominaciones que se utilizan en la Geometría plana y del espacio que tiene como propósito clarificar los mecanismos de una demostración geométrica y algebraica. Así, un axioma es una proposición que, siendo evidente, no requiere demostración; el postulado aunque no tenga la evidencia de un axioma, se acepta sin demostración; un teorema necesita demostrarse.
57
58
• Disminuir el rechazo de las matemáticas como materia “difícil” y que estas
pueden tener un cierto grado “de placer en su práctica”
• Fortalecer los vínculos con los padres de familia al hacerlos partícipes en
algunas de las actividades.
• Crear un ambiente de respeto y armonía entre los integrantes del grupo
incluyendo al maestro.
• Desarrollar habilidades y destrezas en la elaboración de figuras matemáticas,
tanto manual como mentalmente.
• Reforzamiento de conocimientos previos.
TABLA DE PLANEACIÓN. Productos notables algebraicos. OBJETIVO GENERAL El objetivo general la implementación de una metodología didáctica, soportada teóricamente, para lograr en los jóvenes de 14a 15 años un aprendizaje significativo de los Productos Notables algebraicos en la asignatura de matemáticas en el Tercer Grado de la Educación Secundaria.
FECHA TEMA SUBTEMA OBJETIVO PARTICULAR
ESTRATEGIA ACTIVIDADES Fase y tiempo
RECURSOS MAT. Y HUM.
EVALUACIÓN Y OBSERV.
BIBLIOGRAFÍA
03-07 Primera sesión
Presentación y argumentación Examen exploratorio de conocimientos previos
Elementos del cuestionario exploratorio. Definiciones de álgebra, ecuación de 1er. grado, simbología de las cantidades en el álgebra, ecuación de 2°grado, incógnita, segmento rectilíneo, etc.
Base común. Práctica y conceptual para iniciar en la 3ª. sesión con el tema principal: Productos notables algebraicos. Identificar el nivel de conocimientos, fobias y rechazo de las matemáticas.
Reconocimiento mutuo. Dialogo maestro-alumnos para conocer sus inquietudes bajo las premisas de: • Respeto y
confianza mutua
• Buena comunicación
• Participación equitativa y ordenada.
1/2 hora presentación y argumentación. 1/2 hora para la contestación del cuestionario
Gis, pizarrón, hojas, lápiz, pluma, goma y regla
Nivel real de cada alumno, la participación y comunicación colectiva e individual
Coll, Constructivismo…, Op. cit. SEP., Sugerencias…, Op. cit. Araújo, “La teoría…, Op. cit. Piaget, Psicología…,Op. cit. García, La construcción…, Op. cit. Ausubel, Psicología…, Op. cit.
03-07 Segunda sesión
Reforzamiento de conocimientos algebraico previos
Definiciones de: álgebra, geometría, línea, segmento rectilíneo, área, superficie, cuerpo.
Reforzamiento y nivelación
En grupos de 5 alumnos, interrogatorio sobre los subtemas. Acción participativa, en el logro de llegar a las definiciones que aclaren bien los conceptos.
Sesión de una hora. Un moderador y un motivador. Equipo. Participaciones escritas y en el pizarrón
Gis, pizarrón, lápiz, y pluma, hojas de papel, goma
Participación. Nivel de conocimientos previos. Creatividad, aportaciones, imaginación individual y grupal; integración en general.
Pérez, Los procesos…,Op. cit. Baldor, Álgebra…, Op. cit. Bruner, “Juego…, Op. cit. Delval, “El juego…, Op. cit.
59
03-07 Tercera sesión
Productos Notables El cuadrado De un Binomio El trinomio cuadrado perfecto Deducción yEstablecimiento de los términos
Áreas (2ª. Dimensión) y traslación de ellas
Enfatizar en la importancia del tema principal y la relación con otras áreas de las matemáticas. Captar por qué el resultado del tema se llama trinomio cuadrado perfecto Comprensión de la 2da. Potencia en álgebra También representa Un área como en Aritmética
Acción participativa. Equipos de 5 alumnos Explicación verbal y escrita de los productos notables algebraicos. (a + b)2 = a2+2ab + b2
(cada término en diferente color) Uso del juego
Sesión una hora. Fase ubicación del tema. Representación gráfica de un producto notable algebraico por equipo. Figuras Geométricas imaginativas a manera de juego
Hojas de colores, pegamento, tijeras, y Juego Geométrico
Creatividad, aportaciones, imaginación individual y grupal, integración en general Presentación de los trabajos e intercambio de ideas reafirmación de conceptos
Baldor, Álgebra…,Op. cit. Ajuriaguerra, Estudios…, Op. cit.
03-07 Cuarta sesión
Productos Notables El cubo de un Binomio (1ª. Parte)
Volumen (3ª. Dimens.)
Comprensión de la 3ª. dimensión y del número de términos comparativos con el binomio de 2do. Grado .El cubo de la suma de dos números.
Equipos Modelado de un volumen. Producto notable ( a + b)3 = a3 +3a2b +3ab2 + b3
(cada término en diferente color) Uso del juego
Sesión –una hora Fase de avance de tema Y finalización Representación de un volumen, elegido por consenso, construyendo sus dimensiones en equipo
Barras de Plastilina de colores, un plástico, Juego de Geometría
Creatividad, aportaciones, imaginación individual y grupal, integración en general. Presentación trabajos
Lehmann, Geometría…, Op. cit. Baldor, Álgebra…, Op cit.
03-07 Quinta sesión
Productos Notables Algebraicos. El cubo de un Binomio (2ª. Parte)
Volumen (3ª. Dimens.)
El cubo de la diferencia de dos números
Equipos Modelado de un volumen. Producto notable ( a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 – b3
(cada término en diferente color) Juego
Sesión de una hora. Representación de un volumen, construyendo sus dimensiones en equipo
Barras de Plastilina de colores, un plástico, Juego de Geometría
Creatividad, aportaciones, imaginación individual y grupal; integración. Presentación trabajos
Garza, Matemáticas…, Op. cit. Baldor, Álgebra…,Op cit.
60
03-07 Sexta sesión
Recapitulación Reafirmación de concepto
Redondear el tema Identificar incomprensiones
Asimilación de conceptos por medio de la relajación y recapitulación
Sesión –una hora. Fase recapitulación. Realizar un modelo por medio de áreas de algún objeto de el interés del alumno: Áreas, curvas (un animal, juguete, instrumento musical o deportivo, etc.) Elaboración de dos problemas en donde intervengan productos notables algebraicos.
Hojas de colores, pegamento, tijeras, y un Juego de Geometría.
Creatividad, aportaciones, imaginación individual y grupal e integración en general. Presentación de trabajos. Comentarios y conclusiones
Bruner, “Juego…, Op. cit. Delval, “El juego…, Op cit. Vigotski, El papel del juego…, Op. cit.
03-07 Séptima sesión
Examen de evaluativo final
Valoración de la comprensión de los conceptos del proyecto
Conocer el grado de variación con respecto al cuestionario exploratorio de la primera sesión
Aplicación de problemas sencillos en donde intervengan los productos notables algebraicos.
Una hora para la aplicación del examen final
Una hoja, regla, lápiz y goma
La evaluación será individual, cualitativa y cuantitativa.
Margarita Pansza González. et al. Fundamentación didáctica, México, Gernika, 1988. Págs. 167-215
03-07 Octava sesión
Presentación del último trabajo
Intercambios de opiniones
Identificar y reafirmar la comprensión del concepto de productos notables. Avance en la socialización e integración. Evaluación final
Intercambio de comentarios y expresiones por medio de la exposición colectiva en el aula del último trabajo.
Sesión- una hora. Fase convivencia en la exposición
Propios de una convivencia (refrescos y alimentos)
Logros, satisfacciones y socialización
Génova Sastre y Montserrat Moreno. Descubrimiento y construcción del conocimiento. España, Gedisa, 1985. Págs. 99-118.
61
PLANEACIÓN
Esta estrategia está pensada para el segundo semestre del ciclo escolar 2006/2007 en la Escuela Secundaria
particular No. 0157 “Instituto Pedagógico Abraham Lincoln, S. C.”; ubicada en: Av. Islas No. 34, Colonia Atlanta,
Cuautitlán Izcalli, Estado de México, con el grupo de 3º año de Secundaria. El plan en su totalidad se llevará a cabo
con la duración de un mes, con ocho sesiones en total. Los objetivos particulares de este plan son los siguientes:
Para transformar la metodología que se ha llevado a cabo hasta ahora para comprender los productos notables
algebraicos, se aplicará un examen indagatorio o exploratorio de conceptos anteriores, como es el concepto de
multiplicación en aritmética, el concepto de áreas en geometría, el concepto de dimensiones y sus equivalencias, un
reforzamiento del lenguaje algebraico como: expresión algebraica, término, monomio, binomio, etc.- para empezar a
aplicar el plan de trabajo desde la primera sesión, empleando los tiempos y espacios, el material didáctico que se va a
utilizar en las representaciones gráficas y plásticas de algunos de los productos notables algebraicos que se realizarán
en el aula y en el patio de la escuela.
62
PRIMERA SESIÓN
Presentación y argumentación. En esta sesión se hará la presentación ante el grupo, explicándoles cuál va a ser el motivo de mi presencia durante las
semanas que va a durar la aplicación del proyecto. En esta sesión se marcarán los lineamientos de conducta y de
trabajo mediante los cuales se llevarán a cabo las actividades a realizar, que son:
• Respeto y confianza mutua
• Buena comunicación
• Participación equitativa y ordenada.
Aplicación de un cuestionario exploratorio, consistente en ocho preguntas sencillas acerca de conocimientos
previos. (Anexo 1. Cuestionario exploratorio) para tener una evaluación previa del nivel de conocimientos de los
alumnos en el arranque de esta estrategia.
SEGUNDA SESIÓN
Reforzamiento y retroalimentación de conocimientos algebraicos y geométricos básicos previos Ya con un análisis y visión más amplia del nivel de conocimientos básicos previos, en el que se encuentre el grupo, se
dará inicio a la actividad de reafirmación de éstos mismos.
Esta actividad también lleva la intención de una retroalimentación.
63
A continuación se enunciarán las definiciones más importantes:
¿Qué es el Álgebra?
Es la rama de las Matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible, esto es, que el
concepto de cantidad en Algebra es mucho más amplio que en Aritmética. Para lograr la generalización, las cantidades
se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.
Así, x representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar l0 o más de l0 o menos de l0,
como nosotros elijamos. Es necesario hacer notar que cuando nosotros le asignemos un valor determinado a una letra,
esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que se le ha asignado.
Ejemplo:
¿Cuál será el área de un jardín circular que tiene de radio 3m?
Fórmula: A = ll. r2 A =II( 3 m)2 r = 3m En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 5 expresa un
solo valor: 5; para expresar un valor mayor o menor que éste, se escribirá un número diferente de 5.
¿Qué es la Geometría?
Es la ciencia que trata de las figuras geométricas.
Figura geométrica. Llámese figura geométrica todo punto, línea superficie o sólido en general, toda combinación de
puntos.
Magnitudes geométricas. Son los sólidos, las superficies, y las líneas.
El punto se puede definir diciendo que es lo que tiene posición solamente y carece de dimensiones. (intersección de
dos líneas, extremo de una línea.)
La línea recta. Una imagen de este conjunto de puntos es un rayo luminoso, el borde de una hoja de papel o regla etc.
64
En el reforzamiento del lenguaje algebraico se realizarán ejercicios como:
Un número cualquiera. a
La suma de dos números cualesquiera. a + b
La diferencia de dos números cualesquiera. x-y
El triple producto de dos números 3ab
El doble producto de dos números. 2mn
El cuadrado de la suma de dos números. ( a + b )2
El cubo de la suma de dos números. ( a + b )3
El cubo de la diferencia de dos números. ( a – b )3
La diferencia de los cuadrados de dos números cualesquiera. x 2– y2
Un número disminuido en cinco unidades multiplicado por el mismo número aumentado en tres unidades
. ( x – 5 ) ( x + 3 ) = x2 + ( -5 + 3 ) x + (–5)(3)=x2-2x-15 Productos de binomios con un término común
Un segmento rectilíneo.-Es la parte cualquiera de una línea recta determinada o acotada por dos puntos, en sí la línea
recta no tiene ni principio ni final, sólo tiene una dimensión: longitud.
Por dos puntos pasa una recta y solamente una. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto en común.
¿Cómo se generan las magnitudes geométricas?
1) La línea por el movimiento de un punto;
2) La superficie por el movimiento de una línea;
3) El sólido por el movimiento de una superficie.
Una superficie se define como el límite de los sólidos, carecen de espesor, tienen sólo dos dimensiones.
65
ESTRATEGIA:
Acción participativa
En el logro de llegar a las definiciones que aclaren bien los conceptos se usará la acción participativa.
En grupos de cinco alumnos con un representante en cada uno de los equipos, cuya función será tratar de que haya
equidad en las aportaciones de todos para lograr una retroalimentación eficaz de todos los contenidos en cada una de
las sesiones.
TERCERA SESIÓN
La importancia de la segunda potencia en álgebra y su relación con el área de una superficie. Explicación de estos conceptos y su importancia en la comprensión futura de su aprendizaje en los ciclos posteriores.
Productos notables algebraicos, el cuadrado de un binomio. Establecimiento del término. Por medio de la presentación de la suma de segmentos rectilíneos de diferente magnitud,
I_______x______I___y__I x + y este segmento rectilíneo x + y con su movimiento hacia abajo,
generará un cuadrado perfecto, si se repite ( x + y ) veces en su movimiento, es decir, este segmento multiplicado por
sí mismo sería: ( x + y )2, en lenguaje algebraico significa, el cuadrado de un binomio.
I_______x______I___y__I I______________I______I I______________I______I I______________I______I I______________I______I
66
l
X2
Y2
2XY
2XY
I I
I
I
(X + Y )2=X2+2XY+Y2 (trinomio cuadrado perfecto)
Para poder llegar a esta representación geométrica, se inducirá a que los alumnos imaginen y recuerden el concepto
de área y su fórmula, que es: A = l x l ó, (área igual a lado por lado) A = l2
Al representar geométricamente esta área, se inducirá a los alumnos, para que observen qué tipo de figuras
geométricas están dentro de esta área cuadrada. Se observará, que se forman dos áreas cuadradas diferentes; dos
cuadrados de diferentes dimensiones y dos rectángulos iguales, como se observan en la figura anterior.
El producto notable algebraico (al pie de la figura) se llama trinomio cuadrado perfecto*, porque el resultado consta de
tres términos, que forman un cuadrado perfecto. Al desarrollar este producto, sería: 2 2 (x + y) ( x + y) = x + xy + xy + y (aplicando la propiedad
distributiva)
67
xy + xy son dos términos semejantes, cuya adición es igual a 2xy
2xy representan el área de los dos rectángulos iguales
X2 y y2 representan el área de los dos cuadrados iguales
partir de la observación de esta construcción geométrica, podemos deducir que el cuadrado de un binomio es igual
A
al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del
segundo término. Y esto es una regla fija, los productos notables algebraicos, se caracterizan porque cada uno de ellos cumplen con una regla fija, y su resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Así, queda establecido el concepto de producto notable.
Para identificar un trinomio cuadrado perfecto, basta con observar que su primer y tercer términos, tienen raíz
(2x + 3)2 = 4x2 + 12 x + 9
= 3
2 (2x) (3) = 12 x
cuadrada exacta, y que su segundo término es igual al doble producto de esas dos raíces cuadradas obtenidas.
Ejemplo:
____ __ V 4x2 = 2x ; V 9
68
ESTRATEGIA
Acción participativa Se formarán grupos de cinco alumnos quienes trabajarán en el manejo de los conceptos explicados. A partir de una
suma de segmentos dados por ellos, manipularán el material didáctico proporcionado, examinarán, analizarán y
discutirán las figuras formadas. Socializando y retroalimentando sus ideas y comprensión de los conceptos mostrados.
Reforzando los conocimientos adquiridos del concepto del cuadrado de un binomio a partir de la construcción de
áreas, la formación de un trinomio cuadrado perfecto y la deducción y establecimiento del concepto de producto
notable.
Estos tres elementos, el cuadrado de un binomio, el trinomio cuadrado perfecto y la identificación de productos
notables algebraicos , son conceptos que deben quedar firmemente definidos y comprendidos para avanzar en las
siguientes sesiones.
CUARTA SESIÓN
Productos Notables, el cubo de un binomio (el cubo de la suma de dos términos) El concepto del cubo de un número, que algebraicamente se representa como a3 , lo podemos apreciar mediante un
segmento que mide de longitud a, si por medio del movimiento de l _______a______l hacia abajo, a veces, generaría
una superficie de área = a2 , o sea A = a2 ; pero como vimos en el reforzamiento (segunda sesión) una superficie en
movimiento genera un sólido.
Tomando en cuenta que el segmento AB = BC= CD=DA
Como el siguiente:
69
Si tenemos la superficie ABCD
a2
B D’
D
A A’
CC’
B’
Y se mueve a la posición A’B’C’D’ A una distancia de la misma
magnitud de cada segmento
según indican las puntas de flecha.
La apreciación del producto notable, el cubo de un binomio, o el cubo de la suma de dos términos, que en este caso
sería, la suma de dos segmentos de diferente magnitud I_____a_____I___b___I ( a + b )3 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ), que asociando los dos primeros factores, tendríamos ( a + b )2 ( a + b ) = (a2 + 2ab + b2 ) ( a + b)
Aplicando la propiedad distributiva, tendríamos: ( a2 + 2ab + b2 ) ( a + b ) = a3 + 2a2 b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
Reuniendo términos semejantes, obtenemos: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (fórmula 1)
70
La visualización de estas operaciones, para su comprensión volumétrica, llevaremos a cabo un juego constructivo
manual. Por ejemplo, la fórmula 1, Vemos que a3 es un cubo de dimensiones a x a x a; b3 es un cubo de
dimensiones de b x b x b; y así,
3 a2 b y 3 a b2 , son tres prismas rectangulares con dimensiones de a x a x b; y tres prismas rectangulares con
dimensiones de b x b x a.
(La visualización de la imagen tridimensional del cubo, aparece en la impresión de este documento)
Rompecabezas de sólidos A partir de aquí, los alumnos deberán investigar, intuir, deducir, manipular y construir en función de estos datos. ¿Qué
tipo de cuerpos se formarán en el espacio, cada uno de estos sólidos representarán los términos algebraicos del
desarrollo del cubo de un binomio? Pregunta que los alumnos responderán con la manipulación del material sugerido.
En la fórmula 1, en cada uno de sus términos, el alumno identificará la cantidad de cuerpos formados, marcará sus
lados, los contabilizará en función de sus dimensiones; tratará de hacer coincidir cara con cara de iguales magnitudes,
hasta lograr formar y descubrir la posición volumétrica de los ocho sólidos de la fórmula 1.
Formado el cuerpo del cubo de un binomio,
71
Construcción del cubo de un binomio a partir de seis caras (el cuadrado de un binomio) (a + b)2 = a2+2ab+b2
a
b
ab b2
a2
( a+ b)2 = a2+ 2ab+ b2
El cubo de un binomio (a+ b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
72
ESTRATEGIA
Acción participativa Consiste en el intercambio de ideas, propuestas de cómo solucionar el problema de representación volumétrica del
polinomio presentado, no va a ser una competencia entre los equipos, sino una retroalimentación con las ideas que
vayan surgiendo.
El proceso constructivo, comprenderá dos etapas, la primera corresponde a la construcción de los componentes
básicos de la fórmula 1 (ocho cuerpos) la segunda etapa, será la construcción de todo el cuerpo.
Las reglas del juego La intención de la participación colectiva, puede frenarse si no existen reglas claras del accionar de los equipos, para
su correcta dirección, las reglas sugeridas serán las siguientes:
• No es una competencia formal, por lo tanto, nadie resultará ganador, los logros y descubrimientos, serán
compartidos, por medio de un orden de exposición de descubrimientos, que serán expuestos por el moderador de
cada equipo según el registro y orden de pedir la palabra.
• Terminada la primera etapa de todos los equipos, estos arrancarán simultáneamente la segunda etapa. Bajo el
criterio de que todos los alumnos se les permitirá la oportunidad de comprender la primera etapa, para evitar en lo
posible que existan alumnos rezagados.
73
Integrantes de los equipos Un moderador por cada equipo. Tendrá el papel de representarlo, levantar la mano y exponer lo que se acordó. De
conservar el orden.
El maestro, llevará el rol de las intervenciones que se expresarán. Moderará las intervenciones en función del manejo
de los resultados que vayan apareciendo en las intervenciones, con el propósito de socializar los resultados que se
vayan obteniendo, es decir, tratará de nivelar los descubrimientos para que haya una participación equitativa.
QUINTA SESIÓN
Productos Notables, el cubo de un binomio (el cubo de la diferencia de dos términos) El tema, propósito y estrategia será igual que la sesión anterior, con el mismo proceso y aplicación, la diferencia será
sólo que el modelo a construir y descubrir sus características serán las producidas por el desarrollo del cubo de la
diferencia de dos términos.
( a – b )3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3
Hay que hacer notar que en el cubo de la diferencia de dos números, la regla fija es igual a de la adición de la sesión
anterior, pero que los signos de los términos van alternados, en la siguiente forma: más, menos, más, y menos.
74
SEXTA SESIÓN
Descanso En esta sesión se procurará reafirmar conocimientos mediante una recapitulación, reconocer e identificar dudas con la
participación colectiva, la intervención en el pizarrón permitirá colectivizar estos puntos.
Últimos temas a tratar Serán dos productos notables algebraicos sencillos que son: el producto de dos binomios con un término común,
ejemplo:
( x + 4 ) ( x + 3) = x2 + 3x + 4 x + 12 Reunión de términos semejantes
X2 + 7x +12 Su regla fija es igual al producto de las partes comunes, más la suma algebraica de las partes no comunes,
multiplicada por la parte común, más el producto de los términos no comunes.
Esta representación la pueden realizar en una hoja cuadriculada, y por medio de áreas, como lo hicimos con el
cuadrado de un binomio; así identificarán el trinomio de segundo grado, que no es cuadrado perfecto.
El otro producto notable es: el producto de binomios conjugados; en el que ambos binomios tienen los mismos
términos, pero uno de ellos es suma o adición y el otro binomio es una diferencia, ejemplo:
( 2x + y ) ( 2x – y ) = 4 x2 - y2
75
Su regla fija por lo tanto es: el producto de binomios conjugados, es igual, al producto de las partes idénticas menos el
producto de las partes simétricas.
Construcción de un cuerpo al gusto de cada equipo Construcción de un cuerpo por medio de plastilina de algún objeto de interés colectivo, hecho por cada equipo.
Trabajos que serán exhibidos en la última sesión.
ESTRATEGIA
Acción participativa En los productos notables de esta sesión, serán sugeridos para su solución por los propios alumnos, solucionados por
ellos mismos en el pizarrón. Las dudas que surjan serán discutidas colectivamente hasta llegar a sus soluciones.
La construcción de un objeto al gusto de cada equipo y su exhibición, permitirá un reforzamiento y fijación en la mente
de los alumnos, del proceso de su realización y el mecanismo constructivo que contiene el objeto.
SÉPTIMA SESIÓN
Examen evaluativo final Este examen permitirá hacer un comparativo para evaluar las variaciones del proyecto.
Constará de ocho preguntas sencillas que englobarán los temas principales del proyecto.
76
OCTAVA SESIÓN
Exposición Presentación mediante una exposición colectiva del último trabajo de cada equipo, así como los demás modelos
construidos.
El intercambio de experiencias y explicaciones de la razón de los modelos construidos permitirá una socialización y
reforzamiento de los conceptos del proyecto.
EXAMEN EXPLORATORIO Con palabras sencillas, escribe las contestaciones de las siguientes preguntas.
1. ¿Qué entiendes por Álgebra?
2. ¿Qué símbolos usa el Álgebra para representar las cantidades?
3. ¿Qué es una ecuación de primer grado?
4. ¿Cómo se llama a la cantidad desconocida de una ecuación?
5. ¿Qué es un segmento rectilíneo?
6. ¿Qué entiendes por términos semejantes?
7. Relaciona las fórmulas siguientes con respuesta acertada
Área de un cuadrado V = AB x h Área de un rectángulo A = b x h Volumen de un prisma rectangular V = l x l x l ó V=l3
Volumen de un cubo A = l2 ó A= l x l
77
78
8 ¿Se te han dificultado los conocimientos algebraicos?
Cualquiera que sea tu respuesta, di por qué.
Escuela Secundaria particular No. 0157 “Instituto Pedagógico Abraham Lincoln, S. C.”; ubicada en: Av. Islas No. 34,
colonia Atlanta, Cuautitlán Izcalli, estado. de México
EXAMEN FINAL
1. ¿Qué entiendes por productos notables algebraicos?
2. Realiza el siguiente producto notable ( x + 5 )2 =
3. Desarrolla ( x – 2 )3
4. ¿Qué producto notable nos da como resultado un trinomio cuadrado perfecto?
a) El cubo de un binomio b) El producto de binomios con término común c) El cuadrado de un
binomio
5. Problema. Juan compró ( x + 2) m ancho de un terreno por ( x + 3 ) m de largo. Encuentra el área del
terreno
6. ¿De qué forma es el terreno de Juan, en el problema anterior?
7. ¿Cuál es la regla fija del producto de dos binomios con un término común?
8. ¿Qué se obtiene al multiplicar dos binomios conjugados?
3.5.3. LA EVALUACIÓN Y EL SEGUIMIENTO EN EL DESARROLLO
DE LA PROPUESTA.
Para transformar la metodología que se ha llevado a cabo para comprender los
productos notables algebraicos, se debe aplicar un examen indagatorio o exploratorio
de conceptos anteriores como es el concepto de multiplicación en aritmética, el
concepto de áreas en geometría, el concepto de dimensiones y sus equivalencias.
Un reforzamiento de lenguaje algebraico –término, expresión algebraica, monomio,
binomio, etc.- para empezar a hacer un plan de trabajo, planear las estrategias, sus
tiempos y sus espacios, el material didáctico que se va a utilizar en las
representaciones gráficas y plásticas de algunos de los productos notables
algebraicos que se realizarán en el aula y en el patio de la escuela.
En la evaluación de esta propuesta, se contemplan varias vertientes; la propuesta en
sí, la aplicada a los alumnos, y el seguimiento y valoración que se tenga que
implementar para que se tome como modelo más allá de una prueba piloto. Para la
primera, la metodología de la evaluación, partirá de considerar elementos
cuantitativos y cualitativos; es decir, la evaluación, va más allá de cuantificaciones
numéricas, esta tomará en cuenta las apreciaciones muchas veces subjetivas como
son: la socialización entendida como la cooperación e intercambio de ideas en el
equipo de trabajo; el desarrollo cognitivo representado por las aportaciones verbales
que cada alumno expone, y las cognoscitivas más elementales de apreciar; la
creatividad medida por la originalidad de caminos alternativos y novedosos para
encontrar las soluciones a los problemas planteados o que se vayan presentando; la
79
autoevaluación que cada alumno lleve a cabo acerca de su trabajo, como una forma
de medir sus alcances y posibilidades; por último, la manifestación material de su
trabajo o prueba, en el modelo esquemático de papeles de colores y plastilina que
ellos manipularán, se tendrán elementos de juicio valorativos.
La evaluación y seguimiento de la propuesta, como posibilidad de extenderla en más
de un centro escolar, tendrán que tomarse en cuenta sólo si los resultados son
positivos; es decir, la diferencia entre las pruebas exploratorias e iniciales, en
contraste con las valoraciones finales de la prueba piloto contengan elementos de
avance en el aprendizaje y asimilación de los productos notables algebraicos.
3.6. RESULTADOS ESPERADOS CON LA IMPLEMENTACIÓN
DE LA PROPUESTA.
Principalmente que los alumnos, obtengan no sólo una comprensión adecuada del
concepto, desarrollo y aplicación de los productos notables algebraicos; sino también
los inicios de una exploración metodológica para encontrar nuevos caminos en la
comprensión de ciertas áreas de las matemáticas –diferentes caminos de explicación
para un mismo resultado muy propio de la materia-; con un efecto positivo
concomitante: la adquisición de confianza en el aprendizaje e intentar borrar el miedo
o rechazo a las matemáticas como una materia difícil. Los resultados esperados de
la propuesta, medidos con evidencias positivas, permitirá tal vez hacer coparticipes a
otros mentores en las bondades de esta; el elevar el nivel de aprovechamiento
terminal en el área de matemáticas, será pretencioso considerarla como una
80
aportación que eleve el nivel de rendimiento, tan sólo un granito de arena más en la
responsabilidad compartida.
81
CONCLUSIONES
Es indudablemente el bajo aprovechamiento en la materia de Matemáticas en la
educación Media Básica de la Secundaria, Ello motivó la realización del presente
trabajo.
Su contenido está seleccionado, organizado y desarrollado, de tal manera, que tenga
secuencias relevantes, reforzamiento de conceptos previos y la utilización
esquemática como parte medular para que los jóvenes traten de comprender
situaciones que se plantean en problemas en los que intervienen los productos
notables algebraicos, abriendo la posibilidad de extender su beneficio en futuros
aprendizajes matemáticos.
Como la materia de matemáticas es instrumental, es importante la esquematización
para su cabal comprensión; puesto que, los conceptos explicados toman otra
dimensión, menos abstracta, los ejemplos de este proyecto se apoyan
fundamentalmente en las representaciones gráficas, esquemas y modelos de
cuerpos sólidos; que despertarán en los jóvenes el interés por descubrir relaciones y
nuevas construcciones.
Por medio del juego, los alumnos reactivan las ideas que comparten y enriquecen en
su participación colectiva; se desarrollan habilidades tanto manuales –capacidad de
representación física- como imaginativas –representación mental, útiles para su
desarrollo cognoscitivo.
82
No basta la experiencia adquirida durante un buen número de años, si no se
fundamenta el quehacer educativo apoyado por los grandes descubrimientos
psicopedagógicos de los teóricos e investigadores constructivistas como Vigotski,
Piaget, Bruner y Ausubel, de quienes se han tomado algunas de sus aportaciones;
de Vigotski, su concepto de zona de desarrollo próximo, en donde identifica
claramente los procesos de aprendizaje de los jóvenes, la intervención externa, ya
sea docente o cultural, desarrollada ésta de una manera zigzagueante y no en forma
escalonada. Este trabajo, por consiguiente, es cuidadoso en tomar en cuenta la
individualidad de cada alumno; la búsqueda del desarrollo de su imaginación que
parta de los instrumentos didácticos propuestos, con el apoyo de la riqueza
fuertemente cristalizada en la conducta de los niños como en el juego que Bruner
aporta en sus concepciones; el aprendizaje significativo que se da cuando es por
descubrimiento y no por la autoridad que el docente impone, como lo propone
Ausubel. De las aportaciones de Piaget tanto de su teoría fundamental Etapa del
desarrollo hipotético deductivo-periodo de la operaciones formales, en su Psicología
Genética; como de temática específica como son sus investigaciones también del
juego y de las operaciones lógico-matemáticas en el desarrollo estructural de los
jóvenes.
83
BIBLIOGRAFÍA
• AJURIAGUERRA de, J. “Estadios del desarrollo según Jean Piaget”, en:
Manual de Psiquiatría Infantil. Barcelona- México, Masson, 1983.
• ÁLVAREZ BALANDRA, Arturo. La construcción de proyectos de investigación
en la Maestría en Educación: campo de la educación matemática desde la
concepción epistemológica de la dialéctica crítica.
http://www.hemerodigital.unam.mex 24-02-05
• ARAÚJO, Joao B. y Clifton B. Chadwick. “La teoría de Ausubel”, en:
Tecnología educacional. Teorías de Instrucción. España, Paidós, Educador,
1988.
• AUSUBEL, David, P. Psicología Educativa: un punto de vista cognoscitivo, tr.
Roberto Holier Domínguez, México, Trillas, 1978.
• BACKHOOFF ESCUDERO, Eduardo. et al. El aprendizaje del español, las
matemáticas y la expresión escrita en la educación básica en México, México,
INEE, 2006.
• BALDOR, Aurelio. Algebra elemental. España, Edime, 1967.
• BANEGAS GONZÁLEZ, Israel y Blanco Bosco, Emilio. Políticas y sistemas de
evaluación educativa en México, México, INEE, 2005.
• BARABTARLO Y SEDANSKY, Anita. “A manera de prólogo, Introducción,
Socialización y Educación y Aprendizaje grupal e Investigación-Acción. Hacia
una construcción del conocimiento”, en: Investigación-acción: Una didáctica
para la formación de profesores. UNAM-Castellanos editores, México, 1995.
84
• BRUNER, Jerome. “Juego, pensamiento y lenguaje”, en: Acción, pensamiento
y lenguaje. J. L. Linaza (compilador), México, Alianza, 1986.
• COLL, César. Constructivismo e intervención educativa, ¿Cómo enseñar lo
que se ha de construir? Ponencia presentada en el Congreso Internacional de
Psicología y educación. “Intervención Educativa”. Madrid, Noviembre de 1991.
• DELVAL, Juan. “El juego”, en: El desarrollo humano, Madrid, Siglo XXI, 1994.
Antología Básica de la UPN. México, 1994. El juego.
• GARCÍA GONZÁLEZ, Enrique. Vigotski. La construcción histórica de la
psique. México, Trillas, 2001.
• GARZA OLVERA, Benjamín. Matemáticas III, Geometría Analítica. México,
SEP-SEIT, 1998.
• LEHMANN, Charles H. Geometría Analítica, México, UTEHA, 1963.
• PANSZA GONZÁLEZ, Margarita. et al. Fundamentación didáctica. México,
1988.
• PIAGET, Jean. Psicología y Pedagogía, Madrid, Ariel, 1983.
• PÉREZ GÓMEZ, Ángel. “Los procesos de enseñanza-aprendizaje: Análisis
didáctico de las principales teóricas del aprendizaje”, en: Sacristán Gimeno, J.
y Pérez Gómez, A. Comprender y transformar la enseñanza, Madrid, Morata,
1992.
• SASTRE, Génova y Moreno, Montserrat. Descubrimiento y construcción del
conocimiento. España, Gedisa, 1985.
• SEP. Programas y enfoque sobre las matemáticas en secundaria
http://www.sep.gobmx/wb2/sep/sep_514matematicas, 17 de junio del 2005.
85
• SEP. Sugerencias para la práctica docente sobre la base del constructivismo,
matemáticas. Coordinación sectorial de educación secundaria, Subdirección
de apoyo técnico complementario. Departamento de Proyectos Académicos.
México, 2001.
• VIGOTSKI, L. S. “El papel del juego, en el desarrollo del niño”, en: El
desarrollo de los procesos psicológicos superiores, Barcelona, Crítica, 1988.
Antología Básica de la UPN, “El Juego” México, 1994.
• http//www.internationalschool.edu.mx. 19 de junio del 2005
• http//www.bine.org.mx 19 de junio del 2005
• Para la normatividad y el marco legal:
http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_La Educación_y_sus_Normas_Juridicas
21 de agosto del 2006.
http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_Normatividad_y_Consulta..21 de agosto
del 2006
Dgaj @ sep.gob.mx; o a: dpge @ sep.gob.mx.
86
