SEGUNDA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO III-2012

8/13/2019 SEGUNDA PRCTICA DE ANLISIS MATEMTICO III-2012

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

Creada po r ley: 25265

FACULTAD DE CIENC IAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE CIVIL- HUANCAVELICA

CTEDRA :ANLISIS MATEMTICO III

CATEDRTICO :Mag. Mat. CASTAEDA CAMPOS, Csar

ALUMNOS :MERINO ORTIZ, Rodrigo

: PAITN MONTAEZ, Claudio

: PEREZ QUISPE, Vitaliano

: QUISPE ALARCON, Willian Carlos

: TELLO LAURA, Ciro Robinson

: TORIBIO FERNANDEZ, Wilmer

CICLO :III B

HUANCAVELICA-PER2012

SEGUND PRCTIC DE NLISIS M TEMTICO IIITEMA:


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ANLISIS MATEMTICO III Pgina 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD CIENCIAS DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL- HUANCAVELICA

A TODOS LOS ESTUDIANTES

DE CIENCIAS E INGENIERA


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INTRODUCCIN

El presente trabajo de Anlisis Matemtico III , ejercicios resueltos de reas usando

sumatorias, integrales y Volumen de un slido de revolucin que hemos realizado con el

esfuerzo y dedicacin de los integrantes del grupo donde hemos tratado mtodos

estudiados en clase como: Hallar reas usando sumatorias, usando integrales definidas y

y el volumen de un slido de revolucin.


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SEGUNDA PRCTICA DE ANLISIS MATEMTICO III: TERCER CICLO B

I.- REAS USANDO SUMATORIAS:

4..- Calcular el rea formada por Solucin

Hallando la


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Hallando la


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6..- Hallar el rea descrita por Solucin.


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9..- Calcular el rea descrita por

Tomamos para hallar R3:

Reemplazando en la frmula de sumatorias se tiene:


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(

)

Por propiedad de los lmites se tiene:

Hallamos el rea total: Pero como todas las regiones tienen la misma forma, entonces tendrn lamisma rea; ya que se hall la regin tres, el rea total ser:

10..- Calcular el rea descrita por


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Para A1

Reemplazando en la frmula:

Por la propiedad:

Por la propiedad:


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Se multiplica 2 veces por lo que se muestra en la grafica.

Para A2


Por la propiedad:


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Por la propiedad:

Se multiplica por 2 por repetirse las mismas veces de la multiplicacin.

Para A3


Por la propiedad:


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Por la propiedad:

II.- REAS USANDO INTEGRALES


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1. 1.1

1.1 Hallar el rea comprendida entre

Solucin:

Graficando las dos funciones e intersecando para encontrar el rea encerrada

tenemos la siguiente figura:

Como el rea del margen izquierdo es igual al rea del margen derecho solo

desarrollaremos el del lado derecho, para eso necesitamos los lmites inferior y

superior, para lo cual analizaremos la expresin siguiente:

el numerador a los reales y el denominadorsiempre va ser un nmero positivo

Como es un nmero real y positivo por tanto debemos encontrar el mnimo valor

que toma x para lo cual despejamos x:


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Pero como estamos trabajando solo con el margen derecho entonces x toma el

valor positivo.

.de aqu,

Pero De la expresin Entonces el rango de la integral sera:

Para lo cual hallamos el par (a, b) para eso igualamos las dosexpresiones:


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Por la ecuacin general

Esta expresin pertenece al conjunto de los nmeros complejos, entonces slo

nos quedamos con la expresin del lado derecho:

Entonces haciendo semejanza:


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Como ya tenemos los lmites de la integral del rea de la parte derecha que es pasamos a operar:AT=2A entonces nos bastara con hallar el rea de la parte derecha:


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1.4Hallar el rea limitada por

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y 1 0.5 0.3 0.25 0.2 0.17 0.14 0.125 0.11 0.1

X -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1Y -0.125 -0.14 -0.17 -0.2 -0.25 -0.3 -0.5 -1


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i. Hallando las intersecciones,(igualando funciones)

;

.39 3n la funcin . ;

ii. Hallando el rea sombreada usando integrales.Cuando x [1.31, 7.39]


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1.6


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2.1.7

Tabulando la siguiente funcin:

-3 1822.5-2 160-1 2.50 01 2.52 1603 1822.5

Tabulando la siguiente funcin:


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-6 0

-4.564524 1.198114-1.521508 2.1162451.521508 2.7425374.564524 3.2503117.60754 3.6888410.650556 4.080509

13.693572 4.437744

Hallando reas con integrales:

2.1.9


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9..- Hallar el rea de la regin limitada

-3.010241 -10.121501-2.232463 -4.607767-1.454685 -2.02483-0.676907 -0.7297980.100871 0.1010420.878648 0.996151.656426 2.5248642.434204 5.6595333.211982 12.3939813.989759 27.011691


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-10.444092 -16.888184-7.90096 -11.801921-5.357829 -6.715658-2.814697 -1.629395-0.271566 3.4568682.271566 8.5431324.814697 13.6293957.357829 18.7156589.90096 23.80192112.444092 28.888184

Hallando reas con integrales:

1.10


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Solucin:

Graficando :

Utilizando el caso II, de clculo de reas de figuras planas.

]


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Entonces:

Analizando en la grafica

+3(2)

5..- Hallar el rea de la regin limitada por | | Solucin:

Graficando las funciones:

| | | | | |

| |

X=12


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6..- Hallar el rea de la regin limitada por


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Solucin.

|


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|

| |

8.) Hallar el rea de la regin limitada por


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En este problema no se puede calcular el rea puesto que las dos funciones

Solo intercepta en un solo punto.

9./) Hallar el rea de la regin limitada por Solucin>Tabulando la funcion para graficar:

-6 946.133408-4.666667 904.539484-3.333333 855.697873-2 794.002467-0.666667 698.709544

0.666667 361.9213122 306.1927843.333333 275.4113994.666667 253.5040156 236.3591

Dando forma la ecuacin de forma de hiprbola:


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2..- Hallar el rea de la regin limitada por Solucin:


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Despejando el variable y.

| | | | De la ecuacin (1) sacamos dos ecuaciones:

| |

| | De la ecuacin (2) podemos deducir tambin dos ecuaciones:

| | | |

| |

| | De la ecuacin (3) podemos deducir tambin dos ecuaciones:

| | | | | | | | Por lo tanto tenemos:


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| |

| | | | | |

Analizando la ecuacin (a) | | | | | | ***Si | | ***Si | |

Analizando la ecuacin (c)

| |

| | | | ***Si | |


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***Si | | En forma general tenemos:

Graficando las siguientes funciones:

Hallando el rea de la regin:

Como es simtrico hallamos solo el primer cuadrante


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Como hay cuatro regiones iguales multiplicamos por cuatro

11,) Hallar el rea de la regin limitada por

solucion:


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Desarrollo por sustitucin trigonomtrica:

Dando forma:

Reemplazando:

Mediante integrales trigonomtricas:


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Reemplazando :

}

5- Hallar el rea de la regin limitada por Solucin:


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Sus vrtices

| | La parbola se abre a la izquierda

Sus vrtices

| | La parbola se abre a la derecha


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Graficando:

Calculando los valores de los lmites inferiores.

Igualando las siguientes funciones

Hallando el rea:


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6..- Hallar el rea de la regin limitada por Solucin:


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Tabulando:

X -3 -2 -1 0 1 2 3Y -3 -8 -11 -

12-11 -8 -3

Tabulando:

X -3 -2 -1 0 1 2 3Y -1 4 7 8 7 4 -1

2.


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III.- VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN; Calcular el volumen delslido de revolucin que ese obtiene al hacer girar la regin formada por:


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1) alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-12

Grfico general

Hallando alrededor del eje x

Como se muestra en el grfico un anillo

Hallando alrededor del eje y

x

y


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Hallando alrededor del eje x = -12

3.) Alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-8, alrededor de y=4Solucin


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Calculamos el volumen del slido de revolucion que se obtiene al hacer giraralredor del eje X.

e


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Calculamos el volumen del slido de revolucion que se obtiene al hacer giraralredor del eje Y.


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4.-.. Alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-5, alrededor de y=-6

Solucin: por la forma de la ecuacin sabemos que es una parbola. hallamos su vrtice:

donde: h=4 y k=32El vrtice es: v (4; 32) Hallamos los lmites:

asumimos que y= 0

Alrededor del eje x: (por el

mtodo de discos)


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Alrededor del eje y: (por el mtodo de cascarones)

}


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Alrededor del eje x=5:

}

Alrededor Del Eje Y=-6:


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6.- alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=6, alrededor de y=-12

Solucin:

Hallando el punto de interseccin


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Reemplazando en :

Tenemos los puntos de interseccin

, los puntos son Hallando el volumen con respecto al eje Y

Hallando el volumen con respecto al eje X:

Hallando el volumen respecto alrededor de


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Hallando las integrales

Volumen respecto alrededor del eje


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7.- alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-5, alrededor de y=6

Hallamos el punto de interseccin:

Hallamos el volumen al rotar en y=6

V= V=

V=


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Resolvemos la primera integral:

Du=-dx

V= V=

Reemplazamos:

V= Procedemos a remplazar los valores de x:

V= V=

V= V= 9.- Alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededorde x=-8, alrededor de y=8

Despejando la ecuacin:


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Reemplazando en la ecuacin:

Tabulando la funcin:

0 2.83 -2.831 2.827 -2.8272 2.824 -2.8243 2.820 -2.8204 2.810 -2.8105 2.800 -2.800

6 2.790 -2.790

Graficando la tabulacin:

Aplicando integrales para el desarrollo del volumen del solido:(haciendo girar

en x):


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10.- alrededor del eje X, alrededro del eje Y, alrededorde y=x+2, alrededor de y=-6 .

Solucin:


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rea al rededor del eje "x"

Integrando:

(

)


65/69




[ ( ) (

) ( )]

Reemplazando:

[

(

)

(

) (

)]


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[ ( ) (

) (

) (

)]

[ () (

)]

rea al rededor del eje "y":

Hallando los lmites:


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68/69




rea alrededor de "y=-6"

[

]


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De la ecuacin (I) tenemos:

[

(

)

(

) (

)]

Entonces reemplazando tenemos:

[ () (

) ( )]

[

() () ( )

(

)]

[ () (

)]

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