Segundo grado números reales
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Números Reales
Para el segundo grado de secundaria
I. E. “G.H.J.”
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Objetivos de la lección
1. Conocer los distintos subconjuntos de los números Reales
2. Identificar a qué conjuntos de los Reales pertenece un número dado
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Conjuntos de los Reales
![Page 4: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/4.jpg)
Números Naturales
(“Natural Numbers”) Son los números que se utilizan
para contar: {1, 2, 3, 4, 5, …}
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Números Cardinales(“Whole Numbers”)
Son los mismos números Naturales a los cuales se les ha añadido el número Cero:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
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(“Integers”) Son todos los números Cardinales a
los cuales se les ha añadido el reflejo de los números Naturales en la parte izquierda de la recta numérica, o sea, los opuestos de los números Naturales.{…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Números Enteros
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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(“Rational Numbers”) Son los números que se pueden
escribir como una fracción, en la cual el numerador y denominador son Enteros, excepto el denominador que no puede ser
Números Racionales
cero.
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Ejemplos de Racionales
• Fracciones
• Decimales
– Propias– Impropias– Mixtas
– Exactos– Periódicos
Naturales Cardinales Enteros
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(“Irrational Numbers”) Son los números que no son
racionales, o sea, aquellos que no se pueden escribir como fracción, como por ejemplo:
Raíces cuadradas que no son exactas (inexactas)
Decimales infinitos que no son periódicos
Números Irracionales
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(“Real Numbers”) Es la unión de los números
Racionales con los Irracionales.
Números Reales
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Practica identificar números
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¿A qué conjuntos pertenece: –9?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
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¿A qué conjuntos pertenece: 0?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 14: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/14.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: 30,456?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 15: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/15.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: -25,000?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 16: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/16.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: 25.4 ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 17: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/17.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: 3.232323… ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 18: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/18.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
4.78
![Page 19: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/19.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
35
![Page 20: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/20.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
25
![Page 21: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/21.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
3π
![Page 22: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/22.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: 3.14 ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 23: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/23.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
7
8
![Page 24: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/24.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
135
![Page 25: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/25.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
10
5
![Page 26: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/26.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
10
3
![Page 27: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/27.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
10
10
![Page 28: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/28.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
10
10−
![Page 29: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/29.jpg)
¿A qué conjuntos pertenece: 2.13453… ?
Naturales Cardinales Enteros
Racionales IrracionalesReales
![Page 30: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/30.jpg)
Clic para salir
![Page 31: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/31.jpg)
¿Por qué el denominador no puede ser cero?
• La división por cero no está definida ya que no existe número alguno que se obtenga como resultado cuando se divide por cero.
• Ejemplo: = 0 10
Dividir por 0 significa buscar un número que cuando se multiplique por 0, de 10, en este ejemplo.
¿Qué número se multiplica por 0 y da 10? Ninguno, ya que todo número que se
multiplica por 0 da 0.
10
0
?
![Page 32: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/32.jpg)
Naturales• Para determinar si un número
Natural es también Racional, basta tomar un ejemplo.
• Tomemos como ejemplo el número 5.
• ¿Se puede escribir el 5 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?
• Si. El 5 se puede escribir como:5
1
![Page 33: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/33.jpg)
Naturales• ¿Habrá alguna otra forma de
fracción equivalente al 5?
• Si. Veamos: 10,
2
15,
3
20,
4
50
10
• ¿Cuántas formas hay de escribir el 5 como fracción?• Hay infinitas maneras de escribir el 5 como una fracción.• Para buscar una fracción equivalente a 5, solo hay que buscar dos números tales que al dividirse se obtenga 5 como resultado.
![Page 34: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/34.jpg)
Naturales• ¿Se podrá hacer lo mismo con los
otros números Naturales?• Si. La forma más fácil es colocar
el número sobre 1:10,
1
18,
1
21,
1
38,
1
43
1
• ¿Son todos los Naturales, Racionales? • Sí. Todos los números Naturales son Racionales.
![Page 35: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/35.jpg)
• Para determinar si un número Cardinal es también Racional, basta tomar un ejemplo.
• Tomemos como ejemplo el único número Cardinal que no es Natural, o sea, el 0.
• ¿Se puede escribir el 0 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?
• Si. El 0 se puede escribir como:
0
1
Cardinales
0
1 Observa que es equivalente a 0. Observa que no hemos escrito el cero en el denominador.
![Page 36: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/36.jpg)
• ¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 0?
Cardinales
0
2
0
3
0
4
0
7• Si. Veamos: , , ,
• ¿Cuántas formas hay de escribir el 0 como fracción?• Hay infinitas maneras de escribir el 0 como una fracción.
![Page 37: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/37.jpg)
Cardinales• ¿Se podrá hacer lo mismo con
los otros números Cardinales?
• ¿Son todos los Cardinales Racionales? • Sí. Todos los números Cardinales son Racionales.
12
1
25
1
31
1
58
1
93
1
• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1: , , , ,
![Page 38: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/38.jpg)
• Para determinar si un número Entero es también Racional, basta tomar un ejemplo como hemos hecho antes.
• Tomemos como ejemplo un número negativo: -4
• ¿Se puede escribir el -4 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?
• Si. El -4 se puede escribir como:4
1
−
Enteros
![Page 39: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/39.jpg)
Enteros• ¿Se podrá hacer lo mismo con
los otros números Enteros?
12
1
− 25
1
− 31
1
58
1
0
1
• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1: , , , ,
• ¿Son todos los Enteros Racionales? • Sí. Todos los números Enteros son Racionales.
![Page 40: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/40.jpg)
Fracciones Propias
• Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador.
Observa que todas las fracciones propias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales.
2
3
3
5
3
7
26
37
4
100• Ejemplos: , , , ,
![Page 41: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/41.jpg)
Fracciones Impropias
• Son aquellas fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.
Observa que todas las fracciones impropias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales.
12
3
7
53
1
6
6
40
40• Ejemplos: , , , ,
![Page 42: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/42.jpg)
Fracciones Mixtas
• Son aquellas fracciones que consisten de un número entero y una fracción propia.
Observa que la fracción del número mixto siempre es una fracción propia.
133
125
3168
1246
− 44521
−• Ejemplos: , , , ,
![Page 43: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/43.jpg)
• Para determinar si una fracción mixta es Racional, basta con tomar un ejemplo y ver si se puede convertir a una fracción que cumpla con la definición de Racional.
• ¿Se puede convertir un número mixto a fracción?
• Sí, veamos el ejemplo en la próxima pantalla.
• Por tanto, las fracciones mixtas son Racionales.
Fracciones Mixtas
![Page 44: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/44.jpg)
• ¿Cuál es el proceso para convertir el número mixto a fracción?
• Para convertir un número mixto a fracción:– Se multiplica el entero por el
denominador.– A ese resultado se le suma el numerador.
Este es el numerador de la fracción. – Se coloca el mismo denominador en la
fracción.
Fracciones Mixtas
Observa que siempre se obtiene una fracción impropia
135
16
5• Ejemplo: =
![Page 45: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/45.jpg)
Decimales exactos
• Son aquellos que no son periódicos. Los periódicos son los que se repite infinitamente una misma cifra o período.
• Ejemplos: 0.5, 0.23, 2. 145• ¿Se pueden convertir estos
decimales a fracción?• Sí, veamos el ejemplo en la próxima
pantalla.• Por tanto, los decimales exactos son
Racionales.
![Page 46: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/46.jpg)
Decimales exactos• Para convertir un decimal exacto a fracción:
– Leerlo correctamente, de acuerdo al valor de lugar decimal
– Colocar el denominador que corresponda al valor de lugar decimal
Observa que el valor de lugar decimal incrementa en potencias de 10 y esta potencia corresponde al denominador de la fracción. Observa que el último ejemplo representa un número mixto que se puede convertir a fracción impropia.
14521000
23
100
5
10
• Ejemplos:–0.5- cinco décimas- –0.23- veintitres centésimas-–2. 145- dos y cientocuarenta y cinco milésimas-
![Page 47: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/47.jpg)
Decimales Periódicos
• Son decimales infinitos en los cuales se repite una misma cifra o período de numéros
• ¿Se pueden convertir estos decimales a fracción?• Sí, veamos la explicación en la próxima pantalla.• Por tanto, los decimales periódicos son Racionales.
0.3 0.45 2.376Ejemplos: 4.656565… , , ,
![Page 48: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/48.jpg)
Decimales Periódicos
• Se pueden convertir los decimales periódicos a fracción, aunque no demostraremos este proceso en estos momentos ya que es un tanto complejo y se necesitan conocimientos más avanzados.
• Sin embargo, podemos demostrar que si una fracción representa un decimal periódico, entonces, el decimal periódico puede representarse como fracción también.
![Page 49: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/49.jpg)
Decimales Periódicos
• Tomemos el ejemplo de la fracción:
• Para convertir la fracción a decimal, hay que dividir el numerador por el denominador. Veamos:
0.33… 3 1.00 -9 10 -9 1
1
3
0.3Observa que 0.33… equivale a y por tanto, es un decimal periódico que se puede escribir como una fracción.
0.3
![Page 50: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/50.jpg)
Muy bien.
![Page 51: Segundo grado números reales](https://reader033.fdocuments.co/reader033/viewer/2022042512/55ae9a4c1a28ab6a438b4855/html5/thumbnails/51.jpg)
Incorrecto. Trata otra
vez.