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MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES.- SELECTIVIDAD A1, B1

SELECTIVIDAD A1, B1: PROGRAMACIÓN LINEAL La idea básica de este tipo de ejercicios: Representar inecuaciones: Pasos básicos:

• Encontrar la inecuación de dos incógnitas (𝑥, 𝑦). • Despejar la incógnita y manteniendo el signo de la inecuación en todo momento y sobre todo

recordando : −𝑦 > 𝑥 + 1 → 𝑦 < −𝑥 − 1 • Crear una tabla de valores.

𝑥𝑦

• Para terminar, después de representar la línea, tenemos que decidir que plano es la solución;

𝑦 > 𝑥𝑦 ≤ −𝑥 + 1

Observad en cada ejemplo el signo de la inecuación cuando el signo tiene el igual (≤, ≥) la línea se representa como una línea continua, mientras que si no tiene el igual (<, >) la línea se representa en discontinua. Por otro lado, para saber que parte del plano pintar; ¡Fíjate en la incógnita y, en signo que tiene!:

𝑦 > ⋯ → 𝑆𝑒𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑙𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜.

𝑦 < ⋯ → 𝑆𝑒𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑙𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜.

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¡Para determinar los puntos que limitan el área de la solución! Tenemos que determinar las coordenadas de los puntos A, B y C. Para ellos tenemos que hacer un sistema con las rectas que hacen intersección y crear el punto:

𝐴 → @ 𝑦 = −3𝑦 = −𝑥 + 1𝐵 → @

𝑦 = −𝑥 + 1𝑦 = 2𝑥 + 2𝐶 → @

𝑦 = −3𝑦 = 2𝑥 + 2

El problema de estos ejercicios suele estar en determinar las inecuaciones de los enunciados. Cuando el problema nos pide que determinemos el MÁXIMO o mínimo, tenemos que sustituir dichos puntos en la función de optimización y ver que punto da el valor mas grande y el valor mas pequeño.

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑃𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜

MATRICES Un número por una matriz:

𝐴 = O𝑎 𝑏𝑐 𝑑R 𝑦𝜆 = 3

𝜆 ⋅ 𝐴 = 3 ⋅ O𝑎 𝑏𝑐 𝑑R = O3𝑎 3𝑏

3𝑐 3𝑑R

Multiplicación de matrices:

𝐴 = O𝑎 𝑏𝑐 𝑑R 𝑦𝐵 = O𝑥 𝑦

𝑧 𝑡R

𝐴 ∙ 𝐵 = O𝑎 𝑏𝑐 𝑑R ∙ O

𝑥 𝑦𝑧 𝑡R = W𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑧 𝑎 ∙ 𝑦 + 𝑏 ∙ 𝑡

𝑐 ∙ 𝑥 + 𝑑 ∙ 𝑧 𝑐 ∙ 𝑦 + 𝑑 ∙ 𝑡X

𝑦 > −3

𝑦 > 2𝑥 + 2

𝑦 ≤ −𝑥 + 1

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Cálculo de la matriz inversa PRIMER METODO En general el calculo de la matriz inversa se hace a través de determinantes que por ahora no conoces, sin embargo, cuando las matrices son pequeñas, se puede hacer con un sistema de ecuaciones:

Imagina que tienes 𝐴 = O 2 −3−2 1 Ry quieres calcular 𝐴!",sabiendo que 𝐴 ⋅ 𝐴!" = 𝐼 entonces vamos a

resolver el siguiente sistema sabiendo que 𝐴!" = O𝑎 𝑏𝑐 𝑑R.

Ejemplo:

𝐴 ⋅ 𝐴!" = 𝐼 → O 2 −3−2 1 R ⋅ O

𝑎 𝑏𝑐 𝑑R = O1 0

0 1R

O2𝑎 − 3𝑐 2𝑏 − 3𝑑−2𝑎 + 𝑐 −2𝑏 + 𝑑R = O1 0

0 1R

[

2𝑎 − 3𝑐 = 1−2𝑎 + 𝑐 = 02𝑏 − 3𝑑 = 0−2𝑏 + 𝑑 = 1

→ 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑒𝑙𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑐𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠𝑑𝑜𝑠𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 →

𝑐 = −12 𝑦𝑎 = −

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𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑙𝑜𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜𝑐𝑜𝑛𝑙𝑎𝑠𝑑𝑜𝑠𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 → 𝑑 = −12 𝑦𝑏 = −

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Por tanto la expresión de la matriz inversa de 𝐴, será: 𝐴!" = `− "#

− $#

− "%

− "%

a

SEGUNDO METODO Para este segundo método utilizaremos el método de Gauss, que consiste en hacer cero, en esta ocasión de una forma un tanto especial:

O7 32 1c

1 00 1R

Como podemos comprobar, se coloca la matriz 𝐴 = O7 32 1R a la izquierda y a la derecha la matriz

identidad del mismo orden que la matriz sobre la que queremos calcular su inversa. A continuación, haciendo transformaciones tenemos que lograr obtener la matriz identidad a la izquierda, cuando lo logremos, a la derecha,, aparecerá la matriz inversa de la matriz inicial.

O7 32 1c

1 00 1R → 𝐸" − 3𝐸% → O1 0

2 1c1 −30 1 R → 𝐸% − 2𝐸" → O1 0

0 1c1 −3−2 7 R

Como podemos comprobar, la matriz identidad ha aparecido en la parte de la izquierda, eso quiere decir

que, la matriz de la derecha será la matriz inversa de 𝐴.𝐴!" = O 1 −3−2 7 R

Este método se puede aplicar a cualquier matriz cuadrada independientemente de su orden.

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RANGO DE UNA MATRIZ Recordar que para calcular el rango de una matriz lo podemos hacer mediante su determinante:

|𝐴$&$| ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3

|𝐴$&$| = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) < 3 En este caso tendríamos que buscar otro determinante 3𝑥3o uno de 2𝑥2para demostrar que el 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2 Recordar, por si esto sirviera de ayuda, el rango de una matriz es el numero de filas no nulas, es decir, diferentes de cero. ECUACION MATRICIAL

𝐴 ⋅ 𝑋 = 𝐵 𝐴!" ∙ 𝑋 = 𝐴!" ∙ 𝐵 → 𝑋 = 𝐴!" ∙ 𝐵

𝑋 ∙ 𝐴 = 𝐵 𝑋 ∙ 𝐴!" = 𝐵 ∙ 𝐴!" → 𝑋 = 𝐵 ∙ 𝐴!"

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EJERCICIOS RESUELTOS: Ejercicio 1.- Considérense las siguientes desigualdades en el plano XY cuando 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0.

𝑥 + 2𝑦 ≤ 7; 𝑥 + 𝑦 ≥ 3; 2𝑦 − 𝑥 ≥ −4 • Dibuja el recinto restringido por las desigualdades anteriores en el plano XY. • Encuentra el máximo de la función 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 en el recinto del apartado anterior.

𝑥 + 2𝑦 ≤ 7 → 𝑦 ≤7 − 𝑥2

𝑥 + 𝑦 ≥ 3 → 𝑦 ≥ 3 − 𝑥

2𝑦 − 𝑥 ≥ −4 → 𝑦 ≥−4 + 𝑥2

Ahora tenemos que hacer una tabla de valores con cada una de las rectas que tenemos en amarillo.

Cuando ya tenemos las rectas representadas tenemos que decidir que parte del plano tiene que dibujarse con cada una de ellas. Recordad para ello la explicación en función del signo de desigualdad.

Y ahora tenemos que calcular los puntos de intersección que limita el área.

𝐴 → j𝑦 = 3 − 𝑥𝑥 = 0 𝐵 → k

𝑥 = 0

𝑦 =7 − 𝑥2

𝐶 → [𝑦 =

7 − 𝑥2

𝑦 =−4 + 𝑥2

𝐷 → k𝑦 = 0

𝑦 =−4 + 𝑥2

𝐸 → @ 𝑦 = 0𝑦 = 3 − 𝑥

𝐴 → (0,3)𝐵 → (0,3'5)𝐶 → (0'75, 5,5)𝐷 → (4,0)𝐸 → (3,0)

Ahora tenemos que analizar que punto nos da el máximo para esta función: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 Y como podemos compra el punto C es el que mayor valor nos da y por tanto el máximo.

𝐶 → 𝐹(0'75, 5'5) = 2 ∙ 0,75 + 3 ∙ 5'5 = 1,5 + 16,5 = 18