Selectividad física Andalucía 2014 resuelta - Opción A

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Resolución de las cuestiones y problemas de la selectividad de física andaluza del 14 de junio de 2014.

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1.- a) Explique las características del campo gravitatorio de una masa puntual. b) Dos partículas de masas m y 2m están separadas una cierta distancia. Explique qué fuerza actúa sobre cada una de ellas y cuál es la aceleración de dichas partículas. a) Cuando una masa se dispone en un punto determinado, se dice que esta genera una perturbación del espacio que denominamos campo gravitatorio. Más concretamente, la intensidad de campo gravitatorio en un punto se define como la fuerza que actúa sobre una masa testigo de 1 kg cuando se sitúa en ese punto, en las proximidades de la primera. Matemáticamente:

𝑔𝑔 = 𝐹𝐹𝑚𝑚′

Como es sabido, la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales viene dada por la ley de gravitación universal:

𝐹𝐹 = 𝐺𝐺 𝑚𝑚𝑚𝑚′𝑟𝑟2

Por lo tanto, la intensidad del campo gravitatorio que genera una masa puntual tiene por expresión:

𝑔𝑔 = 𝐺𝐺 𝑚𝑚𝑟𝑟2

Así pues, la intensidad de campo gravitatorio presenta las siguientes características:

Es directamente proporcional a la masa que crea el campo.

Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la masa y el punto considerado.

Sus unidades en el Sistema Internacional son N kg⁄ .

La constante de proporcionalidad, 𝐺𝐺, se conoce como constante de gravitación universal, pues su valor es el mismo en cualquier lugar del universo y aproximadamente igual a 6,67 ⋅ 10−11 Nm2kg−2.

No podemos olvidar que el campo gravitatorio es un campo vectorial, es decir, cada punto del espacio lleva asociado un vector cuya dirección es la que une ese punto con la masa que crea el campo. El vector campo gravitatorio siempre está orientado hacia esta masa, debido a que la fuerza gravitatoria es atractiva y no repulsiva. Vectorialmente, el vector campo gravitatorio se puede expresar del siguiente modo:

𝑔𝑔 ⃗ = −𝐺𝐺 𝑚𝑚𝑟𝑟2 �̂�𝑢𝑟𝑟 = −𝐺𝐺 𝑚𝑚

𝑟𝑟3 𝑟𝑟 ⃗

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Donde �̂�𝑢𝑟𝑟 es un vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto donde estamos estudiando el campo gravitatorio.

Otra característica fundamental del campo gravitatorio es que es conservativo, lo que supone que:

La circulación del vector campo gravitatorio en una trayectoria cerrada es cero:

� 𝑔𝑔⃗

𝐿𝐿⋅ 𝑑𝑑𝑙𝑙 ⃗= 0

Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria al desplazar su punto de aplicación sobre un ciclo es también nulo.

Existe una función o campo escalar asociado al campo gravitatorio denominado potencial que verifica que:

𝑔𝑔 ⃗ = −∇������𝑉𝑉

De modo que la circulación del vector campo gravitatorio en una línea solo depende de las posiciones inicial y final y no de la trayectoria descrita. Esta circulación puede calcularse como la diferencia de los potenciales en estos puntos:

� 𝑔𝑔⃗𝐵𝐵

𝐴𝐴⋅ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵

Consecuencia inmediata de esto es que el trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria también es independiente del camino seguido y se puede calcular del siguiente modo:

𝑊𝑊 = 𝑚𝑚(𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵) = −∆𝐸𝐸𝑝𝑝

(Esta pregunta es muy amplia y debe admitir respuestas muy diferentes a la que yo he propuesto)

b) Para facilitar la resolución de esta cuestión, supondremos que las masas se encuentran sobre el eje 𝑂𝑂𝑂𝑂, cuyo vector unitario designaré por 𝚤𝚤.̂

El módulo de la fuerza atractiva que actúa sobre las masas se deduce de la ley de gravitación universal:

𝐹𝐹 = 𝐺𝐺 𝑚𝑚𝐴𝐴𝑚𝑚𝐵𝐵𝑟𝑟2 = 𝐺𝐺 𝑚𝑚 ⋅ 2𝑚𝑚

𝑑𝑑2 = 𝐺𝐺2𝑚𝑚2

𝑑𝑑2

En forma vectorial, las fuerzas quedarían del siguiente modo:

𝐹𝐹1⃗2 = 𝐺𝐺 2𝑚𝑚2

𝑑𝑑2 𝚤𝚤 ̂ 𝐹𝐹2⃗1 = −𝐺𝐺 2𝑚𝑚2

𝑑𝑑2 𝚤𝚤 ̂

Donde 𝐹𝐹1⃗2 es la fuerza de la masa 1 sobre la masa 2 y viceversa.

Como cabría esperar, se verifica la ley de acción y reacción:

𝐹𝐹1⃗2 = −𝐹𝐹2⃗1

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Por otra parte, las aceleraciones se pueden calcular a través de la segunda ley de Newton, que establece que la aceleración de la que está animado un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza a la que es sometido, siendo la constante de proporcionalidad la masa:

𝐹𝐹 ⃗ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ ⟶ 𝑎𝑎⃗ = 𝐹𝐹 ⃗𝑚𝑚

Considerando que el cuerpo 2 es aquel cuya masa es 2𝑚𝑚, sustituimos:

𝑎𝑎1⃗ = 𝐹𝐹2⃗1𝑚𝑚1

= 𝐹𝐹2⃗1𝑚𝑚 = −𝐺𝐺2𝑚𝑚

𝑑𝑑2 𝚤𝚤 ̂

𝑎𝑎2⃗ = 𝐹𝐹1⃗2𝑚𝑚2

= 𝐹𝐹1⃗22𝑚𝑚 = 𝐺𝐺 𝑚𝑚

𝑑𝑑2 𝚤𝚤 ̂

Conclusión: si bien la fuerza que actúa sobre ambas masas es la misma, el cuerpo de mayor masa se desplaza a una aceleración menor que el otro.

2.- a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz y las leyes que los rigen. b) Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: i) la imagen de un objeto en un espejo convexo es siempre real, derecha y de menor tamaño que el objeto; ii) la luz cambia su longitud de onda y su velocidad de propagación al pasar de aire a agua. a) Si la luz (u otra onda) interactúa con un medio cuyas características no coinciden con el de aquel en el que se está propagando, puede ocurrir, entre otras cosas, que la luz pase al otro medio o que permanezca en el medio de propagación original.

El primero de estos fenómenos se denomina reflexión, y las leyes que lo gobiernan son las siguientes:

La normal a la superficie, el rayo incidente y el rayo reflejado están en el mismo plano.

El ángulo de reflexión es igual que el de incidencia:

𝚤𝚤 ̂ = 𝑟𝑟 ̂

En caso de que el rayo pase al otro medio, se produce refracción, cuyas leyes son:

La normal a la superficie, el rayo incidente y el rayo refractado están en el mismo plano.

La relación entre los ángulos de incidencia y de refracción viene dada por la ley de Snell:

𝑛𝑛1 sin 𝚤𝚤 ̂ = 𝑛𝑛2 sin𝑅𝑅�

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Donde 𝑛𝑛 es el índice de refracción del medio, definido como el cociente que sigue:

𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Un mismo rayo de luz puede sufrir reflexión y refracción al llegar a la superficie que separa dos medios, tal y como ilustra la imagen.

b) La primera afirmación es falsa. Las imágenes formadas por espejos convexos son siempre menores, derechas y virtuales. Esto es debido a que los rayos de luz que se reflejan en el espejo convexo, cuyo radio de curvatura es positivo, se separan del eje principal y no llegan a cortarse, es decir, no convergen en un punto, sino que divergen. Las prolongaciones de los rayos de luz detrás del espejo sí intersecan, dando lugar a una imagen virtual.

Por el contrario, la segunda afirmación es verdadera. La velocidad de la luz en un medio depende de su índice de refracción. Los índices de refracción del aire y del agua no son iguales. En consecuencia, la luz no viaja a la misma velocidad en estos medios.

𝑐𝑐𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚

≠ 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

⟶ 𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚 ≠ 𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Asimismo, a sabiendas de que la frecuencia de una onda no se modifica cuando esta sufre refracción (de lo contrario, un rayo de luz roja monocromática dejaría de ser

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rojo al pasar de aire a agua), la longitud de onda también varía, pues existe una relación entre esta y la velocidad de propagación de la onda:

𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝜆𝜆𝜆𝜆

Es decir:

𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚 ≠ 𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ⟶ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚𝜆𝜆 ≠ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝜆𝜆 ⟶ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚 ≠ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

3.- Por el conductor A de la figura circula una corriente de intensidad 200 A. El conductor B, de 1 m de longitud y situado a 10 mm del conductor A, es libre de moverse en la dirección vertical. a) Dibuje las líneas de campo magnético y calcule su valor para un punto situado en la vertical del conductor A y a 10 cm de él. b) Si la masa del conductor B es de 10 g, determine el sentido de la corriente y el valor de la intensidad que debe circular por el conductor B para que permanezca suspendido en equilibrio en esa posición. g = 9,8 m s-2 μo = 4π ⋅ 10-7 T m A-1

a) Consideraremos que la corriente circula en el sentido positivo del eje de abcisas. El vector campo magnético en un punto viene dada por la ley de Biot y Savart:

𝑑𝑑𝐵𝐵����� = 𝜇𝜇04𝜋𝜋

𝐼𝐼𝑑𝑑𝑙𝑙 ⃗× 𝑟𝑟̂𝑟𝑟2

De esta ecuación se desprende que este vector es en todo momento perpendicular al plano determinado por el vector cuya dirección y sentido son los de la corriente eléctrica y el vector de posición, y que el sentido del mismo vendrá dado por la regla de la mano derecha.

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El módulo del campo magnético creado una corriente rectilínea, uniforme e indefinida se calcula a través de la siguiente fórmula:

𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0𝐼𝐼2𝜋𝜋𝑟𝑟

Introducimos los datos que proporciona el enunciado:

𝐵𝐵 = 4𝜋𝜋 ⋅ 10−7 TmA−1 ⋅ 200 A2𝜋𝜋 ⋅ 0,1 m = 4 ⋅ 10−4 T

b) La condición de equilibrio es que la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, es decir:

�𝐹𝐹�⃗�𝑚 = 0𝑛𝑛

𝑚𝑚=1

Las fuerzas que se dan sobre el conductor B son el peso y la fuerza magnética. Así, se tiene que cumplir que:

𝑃𝑃⃗ + 𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 ⟶ �𝑃𝑃⃗ � = �𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎�

La fuerza magnética sobre un conductor se calcula a través de la primera ley de Laplace:

𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐼𝐼𝑙𝑙 ⃗× 𝐵𝐵����� ⟶ �𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎� = 𝐼𝐼𝑙𝑙𝐵𝐵 sin 𝜃𝜃

El ángulo que forman el vector 𝑙𝑙 ⃗ y el campo magnético (que es el creado por el conductor A) es de 90°:

�𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎� = 𝐼𝐼𝐵𝐵𝑙𝑙𝐵𝐵

Empezaremos por calcular la intensidad de corriente que ha de circular por el conductor B para que la fuerza magnética equilibre el peso. Para ello, igualamos los módulos de estas fuerzas y despejamos la intensidad que no conocemos:

⎩�⎨�⎧�𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎� = 𝐼𝐼𝐵𝐵𝑙𝑙𝐵𝐵

𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0𝐼𝐼𝐴𝐴

2𝜋𝜋𝑟𝑟

⟶ �𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎� = 𝐼𝐼𝐴𝐴𝐼𝐼𝐵𝐵𝜇𝜇0𝑙𝑙2𝜋𝜋𝑟𝑟

�𝑃𝑃⃗ � = �𝐹𝐹�⃗�𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎� ⟶ 𝑚𝑚𝑔𝑔 = 𝐼𝐼𝐴𝐴𝐼𝐼𝐵𝐵𝜇𝜇0𝑙𝑙2𝜋𝜋𝑟𝑟 ⟶ 𝐼𝐼𝐵𝐵 = 2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟

𝐼𝐼𝐴𝐴𝜇𝜇0𝑙𝑙

𝐼𝐼𝐵𝐵 = 2𝜋𝜋 ⋅ 0,01 kg ⋅ 9,8 m s2⁄ ⋅ 0,01 m200 𝐴𝐴 ⋅ 4𝜋𝜋 ⋅ 10−7 TmA−1 ⋅ 1 m = 24,5 A

Para comprobar que hemos despejado de forma adecuada, podemos verificar si la ecuación obtenida es dimensionalmente correcta, es decir, si sus unidades se corresponden con la de la intensidad de corriente.

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Las dimensiones de la expresión de 𝐼𝐼𝐵𝐵 en función del resto de parámetros son las siguientes:

[𝐼𝐼𝐵𝐵] = kg[𝐵𝐵]s2

Las dimensiones del tesla son kg ⋅ s−2 ⋅ A−1. Sustituyendo se comprueba fácilmente que la ecuación es dimensionalmente correcta.

Falta por determinar el sentido de la corriente que circula por el conductor B. El sentido debe ser elegido de modo que la fuerza magnética resultante se oponga al peso. Si dibujamos un esquema:

Vemos que las corrientes de los conductores A y B deben circular en sentidos contrarios. De este modo, las fuerzas magnéticas entre los conductores son repulsivas y es posible equilibrar la fuerza peso.

4.- Sobre una superficie de potasio, cuyo trabajo de extracción es 2,29 eV, incide una radiación de 0,2 ⋅ 10-6 m de longitud de onda. a) Razone si se produce efecto fotoeléctrico y, en caso afirmativo, calcule la velocidad de los electrones emitidos y la frecuencia umbral del material. b) Se coloca una placa metálica frente al cátodo. ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial entre ella y el cátodo para que no lleguen electrones a la placa? h = 6,6 ⋅ 10-34 J s ; c = 3 ⋅ 108 m s-1 ; e = 1,6 ⋅ 10-19 C ; me = 9,1 ⋅ 10-31 kg a) Se producirá efecto fotoeléctrico si y solo si la energía de los fotones que llegan a la superficie de potasio es suficiente para ionizar los electrones del metal, es decir, si esta energía supera el trabajo de extracción o trabajo umbral.

Según la hipótesis cuántica de Planck, la energía de un fotón es directamente proporcional a su frecuencia, siendo la constante de proporcionalidad la constante de

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Planck. Por otra parte, el enunciado no nos da la frecuencia de los fotones, pero sí su longitud de onda.

�𝐸𝐸 = ℎ𝜆𝜆

𝑐𝑐 = 𝜆𝜆𝜆𝜆

⟶ 𝐸𝐸 = ℎ𝑐𝑐𝜆𝜆 = 6,6 ⋅ 10−34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 m s⁄

0,2 ⋅ 10−6 m = 9,9 ⋅ 10−19 J

Nos proporcionan el trabajo de extracción en electrón-voltios. Lo pasamos a julios:

𝑊𝑊0 = 2,29 eV ⋅1,6 ⋅ 10−19 J

1 eV = 3,7 ⋅ 10−19 J

La energía que portan los fotones es mayor que el trabajo umbral: sí se produce efecto fotoeléctrico.

En segundo lugar, hallaremos la frecuencia umbral del material, que se define como la frecuencia de los fotones cuya energía es igual al trabajo de extracción:

𝑊𝑊0 = ℎ𝜆𝜆0 ⟶ 𝜆𝜆0 = 𝑊𝑊0ℎ = 3,7 ⋅ 10−19 J

6,6 ⋅ 10−34 Js = 5,6 ⋅ 1014 Hz

Finalmente, la velocidad máxima de los fotoelectrones se puede calcular haciendo uso de la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

𝐸𝐸𝑓𝑓𝑚𝑚𝑓𝑓ó𝑛𝑛 = 𝑊𝑊0 + 12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚

2 ⟶ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 = �2�𝐸𝐸𝑓𝑓𝑚𝑚𝑓𝑓ó𝑛𝑛 − 𝑊𝑊0�𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 = �2(9,9 ⋅ 10−19 J − 3,7 ⋅ 10−19 J)9,1 ⋅ 10−31 kg = 1,2 ⋅ 106 ms

b) Lo que hemos de determinar es el potencial de frenado, esto es, la mínima diferencia de potencial necesaria para detener a los electrones emitidos. Cuando un electrón con una determinada velocidad inicial penetra en una región en la que existe una diferencia de potencial de forma que el campo del que esta se deriva frena al electrón, se produce una conversión de energía cinética en energía potencial. El principio de conservación de la energía mecánica implica que:

∆𝐸𝐸𝑐𝑐 + ∆𝐸𝐸𝑝𝑝 = 0 ⟶ ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = −∆𝐸𝐸𝑝𝑝 ⟶ 12𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚

2 = 𝑒𝑒𝑉𝑉𝑓𝑓𝑟𝑟𝑚𝑚𝑛𝑛𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚

Despejamos el potencial de frenado:

𝑉𝑉𝑓𝑓𝑟𝑟𝑚𝑚𝑛𝑛𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚2

2𝑒𝑒 = 9,1 ⋅ 10−31 kg ⋅ (1,2 ⋅ 106 m s⁄ )2

2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 C = 4,1 V

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