Sem - 2 Sistema de Medición Angular (I) TRIGO 4° SEC I
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Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opción
San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó I Bim. / TRIGONOMETRÍA / 4TO. AÑO
213
1 vuelta = 360°
Sistema de Medición Angular I
Objetivos
Reconocer los sistemas de medición angular, así como las unidades que involucran al interior de ellas.
Convertir correctamente unidades de un sistema a otro, usando el método del factor de conversión.
O
Sistemas de Medición Angular
Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando los siguientes:
1. SISTEMA SEXAGESIMAL
L l a m a d o t a m b i é n i n g l é s , tiene como unidad a un grado sexagesimal (1º), que viene a ser la 1/360 parte del ángulo de una vuelta. Esto es:
Unidad: 1° =
1º1º
1º
P
1 vuelta360
También tenemos:
1 min sexag.: 1’ = 1º60
⇒ 1º = 60’
1 seg sexag.: 1’’ = 1’60
⇒ 1’ = 60’’
⇒ 1º = 3600’’
2. SISTEMA CENTESIMAL
Llamado también francés, tiene como unidad a un grado centesimal (1g), que viene a ser la 1/400. parte del ángulo de una vuelta. Esto es:
1g1g
1g
PO
Unidad: 1g = 1 vuelta400
1 vuelta = 400g
También tenemos:
1 min centesimal 1m 1g
100
⇒ 1g = 100m
=
1 seg centesimal 1s 1m
100
⇒ 1m = 100s
=
⇒ 1g = 10000s
Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la trigonometría. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo.
Hiparco, notable geómetra y astrónomo griego, sistematizó estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base de la trigonometría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonometría.Fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.
Orígenes de la Trigonometría
La INTELIGENCIA como primera opción Colegios TRILCE
I Bim. / TRIGONOMETRÍA / 4TO. AÑO San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó
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Expresa: θ =
1 rad > 1º < 1g
xº y’ z’’ = xº + y’ + z’’ ag bm cs = ag + bm + cs
39º = 10g ⇒ 9(60’) = 10(100m)
⇒ 27’ = 50m
360º = 400g = 2πrad
⇒ 180º = 200g = π rad
En el gráfico:L: Long. del arco AB.R: Radio de la circunferencia.
3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR
Llamado también internacional, tiene como unidad a un radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia.
θ
R
R
O L
A
B
Si L = R ⇒ θ = 1 radián
La región AOB se denomina sector circular AOB.
Por regla de tres simple:
Ángulo Longitud del arco
1 rad1 vuelta
R2πR
1 vuelta . R =2πR . 1rad
∴ 1 vuelta = 2πrad
Consideraciones
y
9º = 10g
Observación
y
81’’ = 250s
Conversión entre Sistemas
Es el procedimiento que permite expresar las unidades de un ángulo en diferentes sistemas. El método del factor conversión es muy apropiado en estas situaciones y consiste en multiplicar la medida a convertir por una fracción del tipo:
donde numerador y denominador son iguales.
Por ejemplo; convierte.
(unidad que se quiere)
(unidad a cancelar)
1) 120º a radianes.
α = 120º πrad180º
α = 2π3
rad
2) 140g a radianes.
β= 140g πrad200g
β = 7π10
rad
3) 120g a sexagesimales.
θ= 120g
θ = 108º
9º10g
4) 63º a centesimales.
φ= 63º
φ = 70g
Resolución:
π3
rad - 30g
en el sistema sexagesimal.
Tenemos: θ = π3
rad - 30g
convirtiendo:
θ = π3
rad 180ºπrad
- 30g 9º10g
θ = 60º - 27º
∴ θ = 33º
Sabiendo que (7x + 1)º = 40g,determina el valor de x.
Resolución:
Tenemos: (7x + 1)º = 40g
(7x + 1)º = 40g
9º
10g.
quedaría: 7x + 1 = 36 7x = 35
∴ x = 5
10g
9º
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
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Nivel I
En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden y 50g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?
Resolución:
∴ x = 27º
3 π5
rad
Graficando:
B
A C
50g
x3 π
5
i) A = π5
3 rad 180ºπrad
A = 108º
B = 50g 9º10g
B = 45º.
ii) A + B + C = 180º 108º + 45º + x = 180º 153º + x = 180º
Sabiendo que:xºy’z’’ = 12º46’37’’ + 8º53’42’’,calcula:
Resolución:
x+zy
C =
Tenemos:xºy’z’’ = 12º46’37’’ + 8º53’42’’xºy’z’’ = 20º99’79’’xºy’z’’ = 20º100’19’’xºy’z’’ = 21º40’19’’
x = 21y = 40z = 19
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Luego: C = 21 + 1940
C = 4040
∴ C = 1
Si un ángulo mide (7x + 2)º y su suplemento es 12xg, ¿cuál es el valor de x?
Resolución:
Tenemos que: (7x + 2)º + 12xg = 180ºconvirtiendo:(7x + 2)º + 12xg . = 180º9º
10g
operando:
7x + 2 + = 180
35x + 10 + 54x = 900 89x = 890
54x5
∴ x = 10
A l b e r t E i n s te i n , f í s i co y m a t e m á t i c o, p u b l i c ó e n 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300 000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.
Ejemplo 5: 1) Expresa 60º en radianes.
a) d)
b) e)
c)
π3
rad
π4
rad
π5
rad
π6
rad
π9
rad
2) Expresa 80º en radianes.
a) 2 d) 5
b) e) 2
c) 4
π9
rad
π3
rad
π9
rad
π9
rad
π3
rad
3) Expresa rad en grados
sexagesimales.
a) 10º b) 12º c) 18º d) 20º e) 24º
π9
4) Expresa 2 rad en grados
sexagesimales.
a) 36º b) 60º c) 54º d) 72º e) 80º
π5
5) Expresa 120g en radianes.
a) d) 4
b) 2 e) π rad
c) 3
π5
rad
π3
rad
π5
rad
π9
rad
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6) Expresa 70g en radianes:
a) d)
b) e) 2
c)
rad7π207π10
rad
3π20
rad
3π10
rad
π9
rad
7) Expresa en grados
centesimales.
a) 10g b) 20g c) 30g d) 40g e) 50g
3π20
rad
8) Expresa en grados
centesimales.
a) 20g b) 30g c) 40g d) 60g e) 80g
2π5
rad
9) E x p r e s a 7 0 g e n g r a d o s sexagesimales.
a) 53º b) 63º c) 73º d) 56º e) 66º
10) Expresa 130g en grados sexage-simales.
a) 107º b) 117º c) 127º d) 106º e) 116º
11) E x p r e s a 7 2 º e n g r a d o s centesimales.
a) 70g b) 60g c) 80g d) 90g e) 100g
12) E x p r e s a 1 8 º e n g r a d o s centesimales.
a) 10g b) 20g c) 30g d) 16g e) 26g
13) En 78’ tenemos:
a) 1º8’ b) 1º18’ c) 1º28’ d) 1º38’ e) 1º78’
14) En 132’ tenemos:
a) 2º12’ b) 2º22’ c) 2º32’ d) 2º42’ e) 2º52’
15) En 254’ tenemos:
a) 3º14º b) 3º24’ c) 4º24’ d) 4º14’ e) 5º24’
16) Si un ángulo mide y su complemento es 14xº, ¿cuál es el
valor de x?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
π9
rad
17) Si un ángulo mide y su complemento es (5x -2)º, ¿cuál
es el valor de x?
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
2π5
rad
18) Si un ángulo mide 54º y su complemento es (7x - 2)g, ¿cuál es el valor de x?
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
19) Si un ángulo mide 63º y su suplemento es 13xg, ¿cuál es el valor de x?
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10
Nivel II
21) Un ángulo mide (8x - 2)º y también (9x - 3)g, ¿cuál es el valor de x?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
20) Un ángulo mide (3x + 6)º y también (4x + 2)g, ¿cuál es el valor de x?
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 10
22) Un ángulo mide 9xº y también
rad, ¿cuál es el valor de x?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
πx+1
23) Un ángulo mide (10x + 2)º y
también rad, ¿cuál es el
valor de x?
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
2πx-2
24) En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden (7x + 3)º y (7y + 1)g. Determina y - x.
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3
25) En un triángulo equilátero dos de sus ángulos se expresan como
rad y , calcula yx.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16
πx +2
50yg
3
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26) En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 10g y rad.
¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?
a) 30º b) 45º c) 60º d) 15º e) 90º
2π5
27) En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 80g y rad.
¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?
a) 24º b) 36º c) 48º d) 54º e) 72º
π3
28) En un cuadrilátero, sus ángulos interiores se encuentran en
progresión aritmética de razón
rad. ¿Cuál es la medida del
menor en el sistema sexagesimal?
a) 20g b) 30g c) 40g d) 50g e) 60g
π 5
29) En un cuadrilátero, sus ángulos interiores se encuentran en progresión aritmética de razón 20g. ¿Cuál es la medida circular
del menor?
a) d)
b) e)
c)
radπ20π
10rad
3π20
rad
3π10
rad
9π20
rad
30) Sabiendo que xºy’z’’ = 7º34’25’’ + 3º47’52’’, calcula:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 182 e) 1/3
C = x+y+1z
Nivel III
31) Sabiendo que xºy’z’’ = 3º46’36’’ + 4º24’34’’, calcula:
a) 1 d) 3/2 b) 2 e) 2/3c) 19/11
C = x+yz+1
32) Sabiendo que a+b+c = 63 y además: xºy’z’’ = aºb’c’’ + bºc’a’’+cºa’b’’, calcula:
a) 1 b) 0 c) 10 d) 20 e) 40
L= x - yz
33) Sabiendo que: a+b+c+d+e= 65 y además: xºy’z’’ = aºb’c’’+ bºc’d’’+cºd’e’’, +dºe’a’’ + eºa’b’’, calcula:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20
L= x - yz
34) Sabiendo que: calcula: L = (a + b).c
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
π7
rad = 2aº 4b’ 5c’’,
35) Siendo que: calcula:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 3/2 e) 4/3
π7
rad = 10º ab’ cd’’,
L= a+b+1c+d
36) Siendo: calcula: L = a + b - c
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2
2π13
rad = 2aº 4b’ 4c’’,
37) Siendo el complemento de un
ángulo igual a rad, ¿cuál es
la medida sexagesimal de dicho
ángulo?
a) 73º38’11’’ d) 82º19’13’’ b) 63º42’17’’ e) 81º23’15’’ c) 73º36’46’’
π11
38) En un triángulo, dos de sus ángulos interiores mide 140g y rad.
¿Cuál es la medida sexagesimal
del tercer ángulo?
a) 34º b) 44º c) 32º d) 42º e) 52º
π15
39) En un triángulo isósceles, uno
de sus ángulos mide 160g. ¿Cuál es la medida sexagesimal de uno
de los ángulos congruentes?
a) 9º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º
40) En un triángulo sus, ángulos interiores se expresan por tres números en progresión aritmética de razón . ¿Cuál es la medida
sexagesimal del mayor?
a) 50º b) 60º c) 70º d) 80º e) 90º
π18
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44) Del gráfico, calcula x/y.
a) d) -
b) - e)
c)
41) En un cuadrilátero, las medidas de sus ángulos interiores están en progresión aritmética de razón 40g. ¿Cuál es la relación entre el mayor y el menor de los ángulos del cuadrilátero?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
42) Un ángulo mide (7x+4)º y su complemento 40xg. ¿Cuál es la medida circular del ángulo que se expresa como 5xº + 10xg?
a) d)
b) e)
c)
7π30
rad
7π15
rad
7π36
rad
7π18
rad
7π45
rad
43) Un ángulo mide (8x+4)º y su suplemento 40xg. Señala el equivalente de Q = + 5xg en
el sistema radial.
a) d)
b) e)
c)
xº2
π10
rad
π18
rad
π20
rad
π36
rad
π9
rad
1537
1537
1137
1137
3715
(x+2y)º (3x-y)g
45) De acuerdo al gráfico, halla x/y.
a) d)
b) e)
c)
955991991955855991
99185512
(x+y)º (5y-x)m
46) D e a c u e r d o a l g r á f i c o , determina:
a) π/10 d) π/40b) π/20 e) π/60c) π/30
C= π+3z3β-2α
47) D e a c u e r d o a l g r á f i c o , determina:
a) 1/7 d) 7/30b) 3/14 e) 7/60c) 14/30
C= 7 - z6β - α
3α
5βgzrad
2π3
rad
3α 20βg
πz7 rad
48) Se inventa un nuevo sistema de medición angular P, tal que su unidad es igual a 1º + 1g. ¿Cuántas unidades de este sistema, le corresponde a un ángulo que mide rad?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 10 e) 20
19π90
49) Se crean dos nuevos sistemas de medición angular “J” y “C”, tales que sus unidades (1* y 1**) equivalen a la 1/500 y 1/600 parte del ángulo de una vuelta, respectivamente. Si en un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 100* y 100**, ¿cuál es la medida circular del tercer ángulo?
a) d)
b) e)
c)
2π15
rad
5π12
rad
π5
rad
4π15
rad
7π15
rad
¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.