Semana 13: Determinación de cónicas. Haces de cónicas...
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Repaso Determinar una conica Haz de conicas Conicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces
Semana 13: Determinacion de conicas. Hacesde conicas proyectivas.
Sonia L. Rueda
ETS Arquitectura. UPM
Geometrıa afın y proyectiva, 2015
Repaso Determinar una conica Haz de conicas Conicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces
Geometrıa afın y proyectiva
1. Algebra lineal
2. Geometrıa afın y euclıdea
3. Conicas y cuadricas
Repaso Determinar una conica Haz de conicas Conicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces
Conicas y cuadricas
3.1 Introduccion al espacio proyectivo.
3.2 Clasificacion y determinacion de conicas.
3.3 Clasificacion de cuadricas y elementos notables.
Repaso Determinar una conica Haz de conicas Conicas degeneradas de un haz Algunos tipos de haces
Contenidos
Repaso: Conica afın y proyectiva
Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas
Haz de conicas
Conicas degeneradas de un haz
Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.
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Repaso: Conica afın y proyectiva
Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas
Haz de conicas
Conicas degeneradas de un haz
Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.
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Conicas afines (reales)
Elipse Hiperbola Parabola
Junto con los casos degenerados (dos rectas reales que se cortan,dos rectas reales paralelas o coincidentes) o imaginarios.
Ecuaciones reducidas:
x2
a2+
y2
b2= 1,
x2
a2− y2
b2= 1, y2 = 2px .
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Conica afın
Dado
p(x , y) = a11x2 + a22y
2 + a12xy + a01x + a02y + a00 ∈ R[x , y ],
llamamos conica afın al conjunto de puntos del plano
C = {(x , y) ∈ R2 | p(x , y) = 0}
Expresamos su ecuacion en forma matricial, siendo A la matriz dela conica,
p(x , y) =(
1 x y) a00 a01/2 a02/2
a01/2 a11 a12/2a02/2 a12/2 a22
1xy
.
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Conica proyectiva
El polinomio homogeneo de grado dos
a00x20 + a11x
21 + a22x
22 + a12x1x2 + a01x1x0 + a02x2x0 ∈ R[x0, x1, x2]
define una forma cuadratica ω : R3 → R que tiene como matrizasociada la matriz A de la conica
ω(X ) = XAX t
siendo X = (x0, x1, x2). Llamamos conica proyectiva al conjunto depuntos de P2
C = {X ∈ P2 | ω(X ) = 0}.
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Repaso: Conica afın y proyectiva
Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas
Haz de conicas
Conicas degeneradas de un haz
Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.
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Determinar una conica
Hallar los 6 coeficientes de su ecuacion
λp(x , y) = λ(a11x2 + a22y
2 + a12xy + a01x + a02y + a00) = 0
en funcion de un parametro λ.
λ
a00 a01/2 a02/2a01/2 a11 a12/2a02/2 a12/2 a22
Necesitamos 5 condiciones, 5 ecuaciones lineales en loscoeficientes.
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Determinar una conica
Existen infinitas conicas proyectivas que pasan por 4 puntos de P2.
Ejemplo con Maple:
Haz de conicas Conicas degeneradas
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Interseccion de dos conicas
Dadas dos conicas proyectivas C1 y C2, definidas por formascuadraticas ω1, ω2 : R3 → R, determinadas por matrices A1, A2.
La interseccion de dos conicas C1 y C2 puede ser un numero finito oinfinito de puntos, solucion del sistema de ecuaciones cuadraticas:{
ω1(x0, x1, x2) = XA1Xt = 0
ω2(x0, x1, x2) = XA2Xt = 0
La interseccion es infinita si las conicas son coincidentes o si,siendo degeneradas, tienen una recta en comun.
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Interseccion de dos conicas
Si excluimos estos casos la interseccion son cuatro puntos.
El sistema de 2 ecuaciones cuadraticas tienes 4 soluciones(contando multiplicidades):
1. 4 soluciones reales distintas.
2. 2 soluciones reales distintas y 1 real doble.
3. 2 soluciones reales dobles.
4. 1 solucion real de multiplicidad 4.
5. 2 soluciones reales y 2 complejas conjugadas.
6. . . .
Estudiaremos los casos 1, 2 y 3.
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Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas
Haz de conicas
Conicas degeneradas de un haz
Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.
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Haz de conicas
Sean C1 y C2 dos conicas con interseccion finita.
Definicion El haz de conicas H determinado por C1 y C2 es unafamilia de conicas dada por la ecuacion
λ1ω1(X ) + λ2ω2(X ) = 0, con (λ1, λ2) ∈ R2 − {(0, 0)},
y la matriz del haz es λ1A1 + λ2A2.
Proposicion 1
1. Todas las conicas de H intersecan en los puntos comunes deC1 y C2. Llamamos puntos base de H al conjunto de puntosde P2 interseccion de todas las conicas del haz.
2. Por un punto que no sea punto base de H pasa una solaconica de H.
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Determinar una conicaInfinitas conicas pasan por 4 puntosInterseccion de dos conicas
Haz de conicas
Conicas degeneradas de un haz
Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.
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Conicas degeneradas de un haz
Proposicion 2 Supongamos que el haz H esta determinado por lasconicas C1 y C2 y que al menos una de ellas es no degenerada. Elhaz de conicas H contiene a lo sumo 3 conicas degeneradas(contadas con multiplicidades).
Supongamos que C2 es no degenerada, det(A2) 6= 0:
det(A1 + µA2) = det(A2)µ3 + · · ·+ det(A1) = 0.
• Tres soluciones reales µ1, µ2, µ3. Conicas degeneradas conmatrices
A1 + µ1A2, A1 + µ2A2, A1 + µ3A2.
• Una solucion real µ1 y dos complejas. La unica conicadegenerada tiene matriz A1 + µ1A2.
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Haz de conicas
Conicas degeneradas de un haz
Algunos tipos de haces4 puntos reales distintos.2 puntos reales distintos y 1 real doble.2 puntos reales dobles.
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4 puntos reales distintos.Haz de conicas H con puntos base A,B,C y D. Conicasdegeneradas del haz:
C1 ≡ (A + B)(C + D) = r1r2 = 0,
C2 ≡ (A + C )(B + D) = s1s2 = 0,
C3 ≡ (A + D)(B + C ) = l1l2 = 0.
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2 puntos reales distintos y 1 real doble.Haz de conicas H con puntos base A,B y C = D. Conicasdegeneradas del haz:
C1 ≡ (A + B)(C + C ) = rt = 0,
C2 ≡ (A + C )(B + C ) = s1s2 = 0.
La recta t es tangente a las conicas no degeneradas del haz en C .
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2 puntos reales dobles.Haz de conicas H con puntos base A = B y C = D. Conicasdegeneradas del haz:
C1 ≡ (A + A)(C + C ) = t1t2 = 0,
C2 ≡ (A + C )(A + C ) = s2 = 0.
Las rectas t1 y t2 son tangentes a las conicas no degeneradas delhaz en A y C respectivamente.